VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Brno, 2016 Pavel Smělý

2 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION ÚSTAV TELEKOMUNIKACÍ DEPARTMENT OF TELECOMMUNICATIONS ANALÝZA ČASOVĚ PROMĚNNÉHO SPEKTRA KLAVÍRŮ ANALYSIS OF TIME-VARYING SPECTRUM OF PIANOS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR Pavel Smělý VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR MgA. Mgr. Ondřej Jirásek, Ph.D. BRNO 2016

3 Bakalářská práce bakalářský studijní obor Audio inženýrství Ústav telekomunikací Student: Pavel Smělý ID: Ročník: 3 Akademický rok: 2015/16 NÁZEV TÉMATU: Analýza časově proměnného spektra klavírů POKYNY PRO VYPRACOVÁNÍ: Proveďte kontaktní a ambientní měření spektra nejméně u tří různých značek klavírů, zaměřte se zejména na z Steinway, Bechstein, Förster, Petrof, Yamaha, Kawai a Bösendorfer. V prostředí Matlab vytvořte funkci pro zobrazení časově proměnného modulového kmitočtového spektra a funkci pro zobrazení amplitudové obálky jednotlivých harmonických složek ve fázi attack a decay. Proveďte měření rozměrů klavírů (tvar korpusu, délka a rozložení strun), jakosti strun a kladívek a místa, kde kladívka dopadají na strunu, a určete, kde leží nejbližší uzly a kmitny. Analyzujte spektra jednotlivých značek v daných oktávách, všímejte si podílu vyšších harmonických na témbru. Porovnejte výsledky měření mezi jednotlivými nástroji. Zobecněte, k jakému témbru a proč každý z nástrojů inklinuje, jak dlouho jeho tóny doznívají a jak se barevně mění. Doporučte, jak vaše poznatky využít v klavírní hře nebo při konstrukcích nástrojů. DOPORUČENÁ LITERATURA: [1] GEIST, B. Akustika - jevy a souvislosti v hudební teorii a praxi. Praha: MUZIKUS s.r.o., ISBN [2] SYROVÝ, V. Hudební akustika. Praha: AMU, ISBN [3] MYERS, A. Characterization and Taxonomy Of Historic Brass Musical Instruments from an Acoustical Standpoint, The University of Edinburgh, Termín zadání: Termín odevzdání: Vedoucí práce: Konzultant bakalářské práce: MgA. Mgr. Ondřej Jirásek, Ph.D. doc. Ing. Jiří Mišurec, CSc., předseda oborové rady UPOZORNĚNÍ: Autor bakalářské práce nesmí při vytváření bakalářské práce porušit autorská práva třetích osob, zejména nesmí zasahovat nedovoleným způsobem do cizích autorských práv osobnostních a musí si být plně vědom následků porušení ustanovení 11 a následujících autorského zákona č. 121/2000 Sb., včetně možných trestněprávních důsledků vyplývajících z ustanovení části druhé, hlavy VI. díl 4 Trestního zákoníku č.40/2009 Sb. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Vysoké učení technické v Brně / Technická 3058/10 / / Brno

4 ABSTRAKT Tato práce se zaměřuje na problematiku analýzy časově proměnného spektra klavírů. Počátek práce pojednává o postupném vývoji klavíru se zaměřením na zvukovou barvu a konstrukci a podrobně rozebírá jednotlivé jeho části a jejich vliv na zvukové spektrum. Teoretická část se také zaměřuje na problematiku harmonické analýzy jak v hudebním pojetí zvukové barvy, tak využitím matematických metod zpracování signálů, které tuto analýzu umožňují. Další část se zabývá již praktickými úkoly práce jako je popis aplikace a funkcí vytvořených v prostředí MATLAB pro zkoumání časově proměnného spektra tónů, popisem metody a postupu snímání a měření tří koncertních klavírů. Práce také rozebírá, na praktických ukázkách dokládá a mezi měřenými klavíry porovnává nejdůležitější akustické jevy, které v nástroji při tvorbě tónů vznikají, popisuje zvukovou barvu jednotlivých nástrojů a udává doporučení. KLÍČOVÁ SLOVA amplitudová obálka, dvojitý dozvuk, klavír, neharmonicita, phantom partials, spektrální analýza, spektrogram, vývoj klavíru ABSTRACT This work focuses on an analysis of a time-varying spectrum of pianos. The beginning of the work deals with the gradual evolution of the piano, aiming at timbre and design, and it analyzes in detail its individual parts and their influence on the sound spectrum. The theoretical part also concentrates on the issue of harmonic analysis in both the musical conception of timber and the usage of mathematical signal processing methods that make this analysis possible. Another part deals with practical tasks of the work such as a description of an application and functions created in the interface of MATLAB for exploring the time-varying spectrum of tones, description of the method and procedure of the measuring of three concert grand pianos. The work also analyzes, by supporting it with practical examples and by comparing the measured pianos, the most important acoustic phenomena that originate from the production of tones in the instrument; it describes the timber of individual instruments, and it gives recommendations. KEYWORDS amplitude envelope, evolution of the piano, double decay, inharmonicity, phantom partials, piano, spectral analysis, spectrogram SMĚLÝ, Pavel Analýza časově proměnného spektra klavírů: bakalářská práce. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Ústav telekomunikací, s. Vedoucí práce byl MgA. Mgr. Onřej Jirásek, Ph.D. Vysázeno pomocí balíčku thesis verze 2.61;

5 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že svou bakalářskou práci na téma Analýza časově proměnného spektra klavírů jsem vypracoval(a) samostatně pod vedením vedoucího bakalářské práce a s použitím odborné literatury a dalších informačních zdrojů, které jsou všechny citovány v práci a uvedeny v seznamu literatury na konci práce. Jako autor(ka) uvedené bakalářské práce dále prohlašuji, že v souvislosti s vytvořením této bakalářské práce jsem neporušil(a) autorská práva třetích osob, zejména jsem nezasáhl(a) nedovoleným způsobem do cizích autorských práv osobnostních a/nebo majetkových a jsem si plně vědom(a) následků porušení ustanovení S 11 a následujících autorského zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů, včetně možných trestněprávních důsledků vyplývajících z ustanovení části druhé, hlavy VI. díl 4 Trestního zákoníku č. 40/2009 Sb. Brno podpis autora(-ky)

6 PODĚKOVÁNÍ Rád bych poděkoval vedoucímu bakalářské práce panu MgA. Mgr. Ondřeji Jiráskovi, Ph.D. za odborné vedení, pomoc při měření a podnětné návrhy k práci. Také bych chtěl poděkovat Ing. Petru Frenštátskému za odborné konzultace. Brno podpis autora(-ky)

7 Faculty of Electrical Engineering and Communication Brno University of Technology Purkynova 118, CZ Brno Czech Republic PODĚKOVÁNÍ Výzkum popsaný v této bakalářské práci byl realizován v laboratořích podpořených z projektu SIX; registrační číslo CZ.1.05/2.1.00/ , operační program Výzkum a vývoj pro inovace. Brno podpis autora(-ky)

8 OBSAH Úvod 12 1 Stručný původ a vývoj klavíru 13 2 Konstrukce klavíru Kladívková mechanika Vídeňská mechanika Anglická mechanika Herzova - Érardova repetiční mechanika Ostrunění Kmitání na struně Menzura Neharmonicita Vliv úderu kladívka na strunu Ostrunění klavíru Skříň klavíru Spektrální analýza Harmonická analýza Fourierova řada Diskrétní Fourierova transformace DFT Zvuková barva Objektivní hodnocení barvy zvuku Struktura harmonického spektra Phantom partials Spektrální analýza v prostředí MATLAB Aplikace na zobrazení spektrogramu a amplitudové obálky Určení základního kmitočtu nahraných vzorků Přesné určení kmitočtů a modulů harmonických složek nahraných vzorků Měření klavírů Popis a metoda nahrávání zvukových vzorků Metoda snímání Použitá zařízení Měřené klavíry

9 5.2.1 SHIGERU-KAWAI EX CONCERT GRAND PETROF I. MONDIAL STEINWAY & SONS D Výsledky měření a porovnání klavírů Menzurace strun a místo dopadu kladívek Šířka spektra Doznívání tónu Absence fundamentu Amplitudová obálka a tranzienty Dvojitý útlum (double decay) Dýchání tónu Srovnání časového vývoje harmonických složek a spektra měřených klavírů Nejnižší poloha - subkontra A Kontra oktáva (tón A 1 ) Velká oktáva (tón A ) Malá oktáva (tón a ) Jednočárkovaná oktáva (tón a 1 ) Dvoučárkovaná oktáva (tón a 2 ) Tří a čtyřčárkovaná oktáva (tón a 3, tón a 4 ) Krátké shrnutí Výsledky měření neharmonicity Závěr Shrnutí Doporučení pro konstrukci nástrojů Doporučení pro klavírní hru Doporučení 76 Literatura 77 Seznam symbolů, veličin a zkratek 78 Seznam příloh 79 A Obsah přiloženého CD 80

10 SEZNAM OBRÁZKŮ 1.1 Úder na strunu jazýčkem (upraveno z [1]) Úder trsátkem na strunu cembala (upraveno z [1]) Spektrum klavíru a cembala [3] Zjednodušená model klávesové mechaniky klavíru (upraveno z [1]) Varianta zjednodušeného modelu mechaniky klavíru pro svislé uložné strun (upr. z [1]) Vídeňská klavírní mechanika - vymršťovací ([8]) Anglická klavírní mechanika - nárazová ([8]) Stojaté příčné vlnění na struně Vlnový průběh pro tóny G 1 až g 2 [1] Šíření rozruchu strunou po úderu kladívka [6] Nákres uchycení strun (upraveno z [1]) Modální analýza kmitů ozvučné desky klavíru Rozložení strun u klavíru Shigeru-Kawai EX Nejrozšířenější rozdělení hudebních signálů Zobrazení spektra vzorku tónu měřeného klavíru Petrof pomocí FFT Amplitudové frekvenční spektrum tónu klavíru a jeho intervalová struktura Mechanismus posilování a doplňování spektra (převzato z [6]) Zobrazení spektra tónu klavíru se zvýrazněním vybraných složek (phantom partials) Detail vybraných harmonických složek klavíru Shigeru-Kawai tónu a 1 (vlevo: 1. harm, vpravo: 5. harmonická) Vytvořená aplikace v prostředí MATLAB Zobrazení rozměrů, menzury a polohy mikrofonu při snímání klavíru KS- EX Měřený klavír Shigeru-Kawai EX Concert Grand v Nahrávacím studiu Divadla na Orlí Měřený klavír Petrof I. Mondial v Hudební fakultě JAMU v Brně Zobrazení rozměrů, menzury a polohy mikrofonu při snímání klavírů Petrof I. Mondial a Stainway D Měřený klavír Steinway & Sons D-274 v Hudební fakultě JAMU v Brně Detail spektrogramu vybraných tónů měřených klavírů Detail 3D spektrogramu tónu a pro prvních 10 harmonických klavíru SK EX Spektrogram tónů A 2 v dynamice forte měřených klavírů Spektrogram tónů C, c 1 a c 3 v mezzoforte klavíru SK EX

11 6.5 Změřená délka poklesu tónů měřených klavírů o 45dB tónů Obecné schéma časové ADSR obálky Obecné zjednodušené schéma časové obálky perkusních tónů Zobrazení průběhu prvních pěti harmonických složek tónu a 1 klavíru Steinway Zjednodušené zobrazení vlnění strun na kobylce (převzato z [10]) Amplitudové obálky 1. harmonických tónů Es 1 a Ges 1 klavíru SK EX Vývoj amplitudy prvních 5ti harmonických složek tónu A Zobrazení harmonických složek tónu A 1 v dynamice piano a forte Zobrazení časového průběhu prvních 5 harmonických složek měřených klavírů u tónů A a a Zobrazení časového průběhu prvních 5 harmonických složek měřených klavírů u tónů a 1 a a Harmonické spektrum měřených klavírů u tónů A 1, A, a a a Harmonické spektrum měřených klavírů u tónů a2, a 3 a a Graf výsledků měření neharmonicity spektra klavírů u tónů A 2, A a a Tabulka výsledků měření neharmonicity spektra klavírů

12 SEZNAM TABULEK 6.1 Měření menzury strun a místa dopadu kladívek Výsledek měření délky poklesu amplitudy tónů o -40 db

13 ÚVOD Práce se zabývá analýzou časově proměnného spektra klavíru. Pomocí teoretických poznatků, vlastního měření a analýzy se snaží vysvětlovat, popisovat a vyvozovat závěry týkající se spektra klavírního tónu. Práce zkoumá a demonstruje charakteristické jevy ve spektru nástroje a ukazuje souvislosti se subjektivní rovinou zvukové barvy. Problematika analýzy časově proměnného spektra klavíru je značně komplexní téma, kterému se nedá dost dobře porozumět bez předchozích znalostí a teoretických poznatků, jako jsou principy kmitání struny, tvorby harmonických složek nebo i pochopení mechanismu úderu excitátoru (kladívka) na oscilátor (strunu). Jak již bylo naznačeno, samotnou barvu tónů klavíru, tedy spektrum, ovlivňuje mnoho faktorů. Z tohoto důvodu jsou první strany práce věnovány tématu postupného vývoje klavíru s přesahem k technické realizaci i vývoji zvukového spektra strunných klávesových nástrojů, potažmo klavíru. Kapitola Konstrukce klavíru nahlíží podrobněji na jednotlivé části nástroje. Hlavní komponenty ovlivňující spektrum klavíru jsou právě kladívka mechaniky, ostrunění, litinový rám, nebo rezonanční deska. Všechny tyto součásti jsou v této kapitole obecně popsány. Třetí kapitola se zabývá zvukovým spektrem, jak z teoretického hlediska jeho principu a analýzy, tak z pohledu promítnutí jeho složek do zvukové barvy. Čtvrtá kapitola popisuje aplikace v prostředí MATLAB pro analýzu časově proměnného modulového kmitočtového spektra klavíru, zobrazení obálky jednotlivých harmonických složek, a další funkce, které byly pro potřeby této práce vytvořeny. V páté kapitole se nacházejí výsledky měření a porovnání jednotlivých značek klavírů, jako jsou např. měření menzurace, šířky spektra, doznívání tónů, neharmonicty aj. Je zde také podrobně rozebrán vliv harmonických složek na témbr měřených nástrojů v celém jejich rozsahu. Závěr práce je věnován doporučením pro konstrukci nástrojů, klavírní hru a celkové zhodnocení. 12

14 1 STRUČNÝ PŮVOD A VÝVOJ KLAVÍRU Funkční spojení kladívkové mechaniky a strunného nástroje lze považovat za vcelku novodobý vynález. Přestože není přesně známo, kdy se poprvé začalo používat nepřímého mechanismu při úderu na strunu, víme zcela určitě, že první úspěšný a více rozšířený hudební nástroj tohoto typu byl až v 15. století klavichord. Dříve byly klávesové a strunné nástroje (chordofony) vyvíjeny odděleně jako dva rozdílné typy bez jakéhokoliv propojení. První chordofony se skládaly z několika strun natažených na tyči či desce. Již starověké lyry a loutny zaznamenané například v Bibli měly vlastní tělo - rezonátor. v šestém století před Kristem používal Pythagoras při svých experimentech, pomocí kterých se snažil najít matematické poměry hudebních intervalů, tzv. monochord, jehož konstrukce představovala pouze jednu strunu nataženou přes dřevěnou krabici s posuvnou kobylkou, jejíž nastavení ovlivňovalo délku struny a tedy výšku tónu. [1]. Dalším vývojovým krokem bylo rozmnožení počtu strun. Vzniká tedy nový pojem zvaný polychord. Tento nástroj má svůj původ už ve starověku, kde za zmínku stojí například Ptolemaiův patnáctistrunník. Je důležité zdůraznit, že vznik prvních typů varhan se datuje také do starověku, a tak se velmi brzo setkáváme s kladívkovou mechanikou jako řešením pro ovládání systému, který vedl vzduch do varhanních píšťal. Například římský architekt, inženýr a teoretik Vitruvius žijící v 1. století před Kristem psal o primitivních kladívkách, které se tehdy používaly u varhan. O dvě století později postavil matematik a vynálezce Heron z Alexandrie varhany s mechanikou, jež měly kladívka osazena pružinami, které po zahrání tonů vrátily kladívko do původní pozice. Kromě rozdílného způsobu tvorby tónů jsou varhany na rozdíl od strunných kladívkových nástrojů tzv. neperkusní, tedy mají jiný časový průběh tónu. Rozdíly mezi tóny perkusních a neperkusních nástrojů, jsou popsány v kap 4.5. [1] V průběhu středověku byl Pythagorův monochord spojen s klávesovou mechanikou - klaviaturou, takže každá klávesa byla prakticky páka, která měla na jednom konci připevněný malý jazýček, zvaný tangent. (obr. 1.1). Jazýček udeřil v určitém místě do struny a tím ji rozkmital. Zároveň ji však v místě úderu rozdělil a tím ovládal její délku. Díky tomu, že měl nástroj pouze jednu strunu a tedy všechny tóny byly hrány jen na tuto strunu, byla polyfonní hudební produkce prakticky nemožná. Později bylo pochopitelně k nástroji přidáno více strun, avšak stále ne tolik, jako byl počet kláves, a proto bylo možné stále hrát omezeně pouze v určitých intervalech. Tento nástroj se nazývá klavichord, přesněji legato klavichord. Jeho vznik se datuje přibližně do 14. století a byl hojně užíván v období baroka. Hlavním problémem klavichordu bylo, že měl velmi slabě znějící tón, na druhou stranu však 13

15 nabízel umělci větší dynamické možnosti hry. Umožňoval také hru vibrata, pokud byla klávesa stlačena a tedy dokud se jazýček přímo dotýkal struny. [1] Obr. 1.1: Úder na strunu jazýčkem (upraveno z [1]). Ve snaze učinit nástroj hlasitějším byl v 15. století vyvinut nástroj virginal (virga - trn), u nás známý jako spinet (spina - trn, hrot). Řešením problému s malou hlasitostí se zdála být varianta prodloužení strun. Problémem však bylo, že metoda úderu jazýčku na strunu byla při použití delších strun nevyhovující. A proto vznikl u tohoto nástroje nový systém, využívající zadrhnutí o strunu kouskem tuhého brku, buvolí kůže nebo kovovým háčkem. Po uvolnění klapky poté dojde k utlumení zvuku pomocí malého tlumícího dusítka (obr. 1.2). Právě toto drnknutí a zpětný chod trnu způsobuje charakteristický impulz se spojitým spektrem znějící při každém stisknutí i uvolnění klávesy. Tento opakující se impulz budí následný hukot, který může být u některých cembal velmi výrazný a patrný hlavně při kontaktním snímání mikrofonem. Důvodem tohoto hluku je tlumení oscilujících strun a rezonující kobylky a desky na nízkých frekvencích. [5][6] V 16. století došlo k náhlému zdokonalení této techniky, prodlužovaly, přidávaly a znásobovaly se struny, což vedlo ke vzniku nástroje cembala. Tento nástroj se těšil dlouho velké oblibě, avšak stále měl velmi malý dynamický rozsah. Pro kompenzaci tohoto problému vznikaly různé rejstříky, pedály a přídavné klaviatury. Další nevýhodou byla potřeba velmi častého ladění a opotřebování trsacích hrotů. Tóny cembala mají ve spektru více harmonických než tóny klavíru. To je patrné z ukázky spektra obou nástrojů na obrázku 1.3. [1] [3] Barvu zvuku cembala ovlivňuje rovněž materiál, z něhož jsou vyrobena trsací pera (jazýčky) cembala, která se u větších nástrojů vyskytují ve dvou odlišných soustavách ( rejstřících ). Jsou-li zhotovena z mědi, připomíná zvuk svou barvou zvuk harfy, jsou-li vyrobena z kůže, tón je měkký a kulatější. [3] 14

16 Obr. 1.2: Úder trsátkem na strunu cembala (upraveno z [1]). Obr. 1.3: Spektrum klavíru a cembala [3]. K realizaci další a téměř poslední vývojové etapy vzniku klavíru došlo v první třetině 18. století. Hnací silou byla snaha docílit možnosti odstíněné dynamiky, která by se realizovala bez složitých úprav, aparátu dvojí klaviatury a rejstříků, jako tomu bylo u cembala. Je zajímavé, že v této době přišli s vynálezem nového systému úhozu nezávisle na sobě tři vynálezci. Bartolomeo Cristofori sestrojil roku 1708 nástroj zvaný stromento col piano e forte, čili nástroj se slabou a silnou dynamikou. Francouzský výrobce cembal Jean Martius předložil pařížské královské akademii roku 1716 tři modely podobného druhu jako Cristofori. Třetí byl německý varhaník Christoph Gottlieb Schröter, který vytvořil dva modely v roce Všechny tyto tři 15

17 objevy měly jeden zásadní a průlomový prvek. Využívaly perkusivní způsob úderu na struny pomocí malých kladívek. Důležitým prvkem těchto nástrojů byl právě úskok kladívek - po úderu na strunu se kladívko okamžitě vrací zpět i přestože hráč třeba drží klávesu stlačenou. Tato vlastnost výrazně prodloužila délku tónu; samotný úder generuje subtilnější zvuk s rychle nastupující tónovou složkou. Poté, co hráč klávesu pustí, dojde k utlumení struny tlumítkem. Žádný z těchto vynálezů však nebyl příliš úspěšný a nenašel valné praktické využití. Až Gottfried Silbermann, saský nástrojář, se této myšlenky ujal a sestrojil roku 1728 v podstatě revoluční nástroj - pianoforte, později jen piano. V roce 1783 přišel následně anglický designér Broadwood s tlumícím pedálem, který při stlačení zvedá všechna tato tlumítka a nechává strunu volně znít. [5] Přes všechny zde popsané výhody pianoforte pronikalo do hudby po boku zaběhlých předchůdců, cembala a klavichordu téměř celé století. Dokonce i J. S. Bach poté, co mu byl představen kladívkový klavír a poté, co navrhnul dokonce pár jeho úprav, zůstal věrný cembalu. V 19. století, kromě toho, že byl klavír velmi aktivně upravován a zdokonalován, nabyl velké obliby a postupně naprosto vytlačil své předchůdce ze hry. Jedno z těchto vylepšení je například mechanismus dvojitého odskoku a opakování tónu, který umožnil romantickým skladatelům psát virtuózní díla, které by jinak nebyla možná interpretovat. S poslední významnou úpravou konstrukce klavíru přišel Henry Steinway v roce 1855, kdy navrhnul koncertní klavír s litinovým rámem, který sloužil dlouho jako model pro ostatní výrobce. Litinový rám udrží struny pod mnohem větším napětí, ty poté lépe pruží a produkují plnější zvukové spektrum. Až na malé výjimky nedocházelo od této doby již k žádným velkým změnám v konstrukci klavíru. [1] [5] 16

18 Obr. 2.1: Zjednodušená model klávesové mechaniky klavíru (upraveno z [1]). 2 KONSTRUKCE KLAVÍRU 2.1 Kladívková mechanika Systém přenosu impulzu a síly z prstů hráče přes kladívkovou mechaniku je pro klavír velmi typický, specifický a také ve světě hudebních nástrojů poměrně jedinečný. Jedná se o technicky nejsložitější část nástroje. Na obrázku 2.1 vidíme velmi zjednodušený model mechaniky koncertního klavíru. Tento model je velmi podobný základnímu modelu Cristoforiho. Je třeba poznamenat, že kladívko není pevně spojeno s klávesou tak, jako to bylo u již zmíněných starších klávesových nástrojů. Jak z nákresu vyplývá, kladívko dostává impulz z klávesy skrze zvedák (ang. jack). Poté se kladívko odráží od zvedáku a samo pokračuje směrem ke struně. Fakt, že kladívko není v době úderu do struny nijak spojeno s klávesou je velmi důležitý pro odvození a pochopení charakteristiky hry, interpretace a vlivu hráče na tón samý. Kladívko se po odražení od struny vrací zpět do poloviny své původní polohy, kde jej zachytí tzv. chytač. Po uvolnění klávesy hráčem spadne do své původní polohy jak chytač, tak i celé kladívko a dusítko, které strunu utlumí. V případě pianina, kde jsou struny i kladívka ve vertikální poloze, hrají velkou roli pérka či pružiny, pro fungování mechanismu. Toto můžeme vidět na obr Během vývoje klavíru se mechaniky rozdělily na dva hlavní typy. První se označuje jako nárazová (např. anglická) a vymršťovací (vídeňská) Vídeňská mechanika Doba vzniku tzv. vídeňské mechaniky se datuje do období poloviny 18. století. Velkými průkopníky tehdejší kladívkové mechaniky byli synové J. S. Bacha (Carl Phi- 17

19 Obr. 2.2: Varianta zjednodušeného modelu mechaniky klavíru pro svislé uložné strun (upr. z [1]). lipp. Emanuel a Johann Christian), dále například W. A. Mozart nebo Muzio Clementi. Německý stavitel klaívrů J.A. Silbermann vychoval řadu odborníků, kteří tvořili středoněmeckou školu klavírnictví, která se poté rozšířila po roce 1750 do jihoněmeckého prostoru a do Anglie. Právě přičiněním představitele jihoněmecké školy J. A. Steina a A. Streicha z Vídně došlo k vypracování ustálené formy klavírní mechaniky - vídeňské. Tato mechanika, která je zobrazena na obrázku 2.3, spočívala v nadzdvižení zadní části klávesy, která byla opatřená regulovatelnou mosaznou vidlicí. Při hře tloukla kladívka na struny zespodu. Ocelová otočná osička spojovala násadku kladívka s vidlicí. Horní plocha zobáčku potaženého jelení kůží se při stlačování kláves opřela o spodní plochu vypouštěče a nutila kladívko upevněné na opačném konci násadky stoupat nahoru ke strunám. Dopad kladívek je méně přesný, než u anglické mechaniky, protože se samo místo odpadu může při silnějším úhozu posunout nepatrně dopředu, a tím se pozmění i výsledná barva tónu. Dusítka jsou umístněna na zvláštní, společné, shora viditelné liště, která se při stisknutí pravého pedálu zvedá. [8] [5] Víděňská mechanika byla pro svůj poměrně lehký a pružný úder kladívek na struny i způsob hry nejzpůsobilejším vyjadřovacím prostředkem klavírních skladeb Haydnových, Mozartových, Dusíkových, Hummelových i Weberových a vůbec pro klavírní školu Czerného. [8] 18

20 Obr. 2.3: Vídeňská klavírní mechanika - vymršťovací ([8]). Obr. 2.4: Anglická klavírní mechanika - nárazová ([8]) Anglická mechanika Také nárazový typ mechaniky procházel vývojem a změnami. Byli to Bachers a Stodart, angličtí stavitelé klavírů, kteří kolem roku 1777 vytvořili funkční a vyhovující systém. Proto byla mechanika nazvána anglická (obr. 2.4). Jiné zdroje ([5]) zase uvádějí, že to byl John Broadwood, který kolem roku 1780 zkontruoval první anglickou mechaniku. Jasné však je, že se klavírní mechanika vyvíjela a zdokonalovala postupně po malých krůčcích za příspění mnoha konstruktérů a klavírníků. Narozdíl od vídeňské mechaniky, která má kladívka potažena navíc jelenicí, ta anglická má kladívka oplstěná. Anglická mechanika upevňuje kladívka na zvláštní lištu nezávisle od klávesové páky. Kladívka jsou obrácena od hráče a dopadají ve směru k němu, nerozdíl od vídeňské. Kladívko je uvedeno do pohybu jazýčkem na zadním konci klávesové páky. Dusítka jsou umístěna jednotlivě na klávesových pákách. Odpor kláves je u anglické mechaniky ještě menší, než u vídeňské, dopad kladívek je také přesnější.[8] V novější době se užívá ponejvíce mechaniky anglické, která poskytuje zpěvnější a nosnější tón, umožňuje lehčí spád kláves a lepší repetici. [8] 19

21 2.1.3 Herzova - Érardova repetiční mechanika Jedním z nejdůležitějších přínosů pro kladívkovou mechaniku bylo vylepšení francouzského výrobce harf a klavírů Sebastiena Érarda, který vybavil anglickou mechaniku zařízením, umožnujícím rychlé a citlivé repetování kladívek. Tato tzv. Francouzská Mechanika zajišťovala možnost rychlého opakování stejných tónů tím, že se kladívko nevrátilo hned do původní pozice, ale pouze se trochu vzdálilo od struny, dokud byla klávesa stisknuta a při repetici se k ní rychle vrátí. Do výchozí polohy se kladívko vrátí až teprve, když je klávesa hráčem puštěna. Tuto repetiční Érardovu mechaniku v roce 1840 vylepšil a zjednodušil francouzský klavírista, skladatel a výrobce klavírů Henri Herz. Přes různé snahy zkonstruovat lepší klavírní mechaniku, Herzova - Érardova mechanika zástává v základních principech nezměněna až do dnešní doby a zastínila všechny ostatní druhy mechanik. Toto vypovídá pouze o genialitě Herzově - Érardově řešení, které předstihlo svoji dobu. [8] [5] 2.2 Ostrunění Kmitání na struně Základním kmitajícím prvkem všech strunných nástrojů je struna, ať je jednoduchá, opředená, kovová, střevová nebo z plastické hmoty. Strunou se po rozeznění šíří příčné vlnění, tedy kolmo k délce struny. Pro příčnou netlumenou vlnu platí pohybová rovnice, kde y odpovídá výchylce, t času a x prostorové souřadnici: y 2 x = 1 2 y (2.1) 2 c 2 t 2 Rychlost šíření příčných vln c je definováno: c = F d (2.2) kde F je tahová síla struny a d hmotnost struny na jednotku délky. Šíří-li se bodovou řadou současně dvě různá vlnění, pak se skládají - interferují v jedno vlnění výsledné. Toto vlnění má stejnou rychlost šíření jako vlnění dílčí, která se šíří v téže bodové řadě stejnou rychlostí. Nejdůležitější případ interference vlnění nastává, když dvě postupná vlnění o stejné amplitudě, frekvenci a směru kmitání bodů na téže řadě jdou proti sobě stejnou rychlostí. V tomto případě vznikne vlnění stojaté. [6] Díky pevnému uchycení struny na každém jejím konci může odrazem postupných vln vznikat již zmíněné vlnění. Na těchto pevných koncích vznikají uzly a mezi nimi kmitny, jak je naznačeno na obrázku 2.5. Po odeznění přechodových dějů zůstanou kmitat pouze takové stojaté vlny, které mají v místě upevnění uzel. Tomuto jevu se 20

22 říká rezonance. Od rezonance se odvíjí i tzv. vlastní (rezonanční) frekvence, kterých je teoreticky na struně nekonečně mnoho. Základní rovnice pro vlnu říká, že rychlost šíření vlny v je rovna součinu frekvence vlnění f a vlnové délky α. Zároveň pro vlastní frekvence struny délky l platí: v = fα (2.3) f = n v, n = 1, 2, 3,...[Hz] (2.4) 2l Kmit pro n = 1 je základní kmit, pro n = 2 první harmonická, atd. Pro strunné nástroje s ideálními strunami platí, že vyšší harmonické složky jsou celočíselnými násobky základní frekvence (fundamentu).[4] Dosazením rovnice 2.2 do rovnice 2.3 vznikne známý Taylorův vzorec pro frekvenci n-té harmonické složky kmitů struny. Pořadí příslušné harmonické je n, l je délka struny, F je tahová síla struny, D je průměr struny, ρ je hustota materiálu. f n = n n F d = (2.5) 2l F ld πρ Vztah 2.5 však platí pouze u ideální, dokonale pružné struny. Pro přesnější stanovení základní frekvence kmitání reálné struny lze použít empirický Seebeckův vzorec: f = f D2 4l πe (2.6) F kde E je Youngův model pružnosti materiálu struny. Tento vzorec ale nebere v úvahu tzv. neharmonicitu, o které pojednávají další odstavce. [6] Menzura V dnešní době se vyrábějí klavíry o různých délkách. Můžeme najít kousky v délce od 140 cm až po koncertní křídla dosahující téměř 3 metry. Menzur je tedy mnoho druhů a velikostí. Nejedná se však pouze o stanovení délek chvějících se částí strun, jde hlavně o vytvoření souladu mezi délkami strun a jejich tloušťkami, délkami úhozů, kmitočtem naladěných strun, a vlastními mechanickými vlastnostmi strun. Po dlouholetých zkušenostech nalézali jednotliví výrobci klavírů vždy svou menzuru, kterou považovali za nejlepší a kterou si často uchovávají jako jejich výrobní knowhow Neharmonicita Kdybychom vztah 2.4 aplikovali na struny klavíru, který má klasicky 7 celých oktáv, f max = 128 * f min, měly by velmi rozdílnou délku a realizace takového nástroje 21

23 Obr. 2.5: Stojaté příčné vlnění na struně. by byla neproveditelná. Aby se předešlo tomuto problému velmi dlouhých strun, mění se u strun jiné parametry jako tuhost, napětí strun a v nejnižších polohách se pro zvýšení tloušťky používají struny opředené měděným vinutím. Právě díky těmto změnám se poměry vyšších harmonických složek tónu klavíru liší od zjednodušených předpokladů. Alikvotní tóny tedy neodpovídají přesně celočíselným násobkům základní frekvence tónu, ale můžeme registrovat mírné vychýlení. Tento jev se nazývá neharmonicita, harmonická nepřesnost, (angl. inharmonicity), [4] Experimentálně bylo dokázáno, že tuhost ovlivňuje strunu jako disperzní médium. To znamená, že se strunou šíří zvukové vlny různými rychlostmi, které jsou závislé na jejich frekvenci. [1] Vlny o vyšších frekvencích se šíří rychleji. V případě hudebního tónu to znamená, že se vyšší harmonické složky šíří rychleji, než ty nižší. Toto můžeme pozorovat na obrázku 2.6, kde byl průběh vlny zobrazen pro 5 tónů a tuhost struny byla vzata v úvahu. Ve vlně G 1 je zpočátku pouze jeden výkyv - hřeben, který obsahuje všechny harmonické složky. Později ale vzniká čím dál více malých výkyvů, které se formují před hlavním hřebenem základního tónu. Stejný jev vzniká i u dalších tónů, jen není tak zjevný. U klavíru způsobuje neharmonicita odchýlení u 10. harmonické složky v 22

24 Obr. 2.6: Vlnový průběh pro tóny G 1 až g 2 [1]. průměru o třetinu půltónu výš a 20. harmonická složka má odchýlení celého tónu. [4] Skutečná frekvence f n u n-té harmonické složky je dána Youngovým vzorcem: ( ) f n n = f 2 π 3 D 2 2 E n l F (2.7) kde n je pořadí příslušné harmonické, l je délka struny, F je tahová síla struny, D je průměr struny, ρ je hustota materiálu struny a E je Youngův model pružnosti materiálu struny. [2] Neharmonicita I n n-té složky a koeficient neharmonicity B jsou dány vztahy: I n = f n nf 1 = Bn 2 kde B = π3 D 4 E 64L 2 F (2.8) 23

25 2.2.4 Vliv úderu kladívka na strunu Barva tónu klavíru je v první řadě dána vazbou excitátoru - kladívka na oscilátor - strunu, a to z hlediska jak místa úderu, tak doby kontaktu. [2] Pokud udeříme kladívkem na napnutou strunu klavíru, začnou se šířit na obě strany příčné rozruchy (obrázek 2.7). Faktorem, který ovlivňuje výsledný tvar kmitu struny je ale doba kontaktu kladívka a struny. Čím vyšší je tón, tím více se prodlužuje doba kontaktu, pro tón c 4 je to již téměř celá perioda tónu. Platí závislost, že čím je delší doba kontaktu kladívka se strunou, tím menší je obsah vyšších harmonických ve spektru kmitů struny.[2] Jestliže je u klavíru místo úderu kladívka 1/8 struny, cyklické spektrum kmitů potom bude vykazovat minima na násobcích frekvence 8. harmonické složky. Potlačení těchto složek je tak silné, že se dá mluvit dokonce v místech daných minim o antiformantových oblastech. Toto místo se zřetelně projevuje ve spektru tónů C 1 až c 1 v lokálním minimu na 8. až 9. harmonické složce. Obecně lze u cyklických spekter tónů nejspodnějších 3 až 4 oktáv nástroje vymezit tzv. vrchní cyklus s lokálními minimy na 7. až 9. harmonické složce a jejich násobcích. Další, tzv. spodní cyklus tvoří ve spektru tónu klavíru minima na 3. až 5. harmonické složce a jejich lichých násobcích. Minima spodního cyklu souvisejí s krátkodobým intenzivním zatlumením kmitů struny hmotou kladívka, a to těch harmonických složek, které mají v místu úderu kladívka kmitnu. Čím měkčí je kladívko, tím výraznější jsou minima spodního cyklu. Tento jev útlumu určitých harmonických složek vlivem úderu kladívka je experimentálně ověřen v kapitole 4.2. [2] Ostrunění klavíru Klavír je osázen kovovými strunami, které jsou nataženy na litinovém rámu pod vysokým tlakem (obrázek 2.8). Struny se vyrábí ze speciální směsi litinové ocele (dřívější mosaz neodolávala větším napětím v tahu). Pro vyšší tóny se užívá strun tenkých, pro hlubší struny postupně silnějších, až po velmi silné struny v nejspodnějších polohách. Aby se dosáhlo dostatečně silného a vyrovnaného zvuku v celém spektru tónů, ve vysoké a střední poloze se zpravidla užívá tří stejně laděných strun. Struny jsou vpředu i vzadu uchyceny kolíčky. Přední ladící kolíčky jsou čtyřhranné pro uchycení ladícím klíčem. Dole jsou zapuštěny do količníku. Zadní kolíčky jsou železné a zapouštějí se do litinového rámu, který svírá dřevěnou skříň. Celkové napětí strun může činit až kg. [4] 24

26 Obr. 2.7: Šíření rozruchu strunou po úderu kladívka [6]. Obr. 2.8: Nákres uchycení strun (upraveno z [1]). 25

27 2.3 Skříň klavíru Skříň nebo corpus je dřevěná konstrukce postavená na třech nohách. Má dno, stěny a odklápěcí dvoudílné víko, které lze zvednout žerdí v její celé nebo částečné délce. Ke skříni patří ještě vzpěry pod ozvučnou deskou. Ozvučná deska je umístěná pod celým ostruněním. Obvykle je sklížena z prkének jednoho dřeva zralého stromu. Nároky na suchost a kvalitu dřeva jsou velmi vysoké. Na spodní straně desky jsou dřevěná žebra ve vzdálenosti asi 16 cm od sebe a přetínají vlákna ozvučné desky v pravém úhlu. Zajištují desce pevnost i pružnost a zamezují tvoření příčných kmitů. Deska je několikrát přetřena rezonančním lakem, který odolává změnám teploty. Přenáší se na ni kmitání strun a je jednou z nejdůležitějších součástí klavíru a proto její složení patří obyčejně k výrobnímu tajemství. [4] Díky širokému spektru tónů klavíru je požadováno, aby ozvučná deska jednolitě zesilovala široký rozsah frekvencí. Moderní technické možnosti umožnily zkonstruovat ozvučné desky s relativně rovnou frekvenční odezvou. Aby se toho dosáhlo, musí každý vibrační mód desky být schopen pojmout širší rozsah frekvencí. Frekvenční odezvy jednotlivých módů desky se překrývají a tvoří celkovou frekvenční odezvu desky. Frekvenční poloha módů a tvar kmitů souvisí v první řadě s velikostí, tvarem a s konkrétním provedením ozvučné desky. Na obrázku 2.9 jsou uvedeny tvary prvních šesti módů u klavíru o délce 190 cm. Obecně platí, že čím blíže je struna desce, tím lépe je zesilována. To je jeden z důvodů, proč se struny umisťují do dvou úrovní a zčásti se překrývají, jak můžeme vidět na obrázku 2.10, kde je zachycen detail ostrunění měřeného koncertního křídla.[1] [2] 26

28 Obr. 2.9: Modální analýza kmitů ozvučné desky klavíru. 27

29 Obr. 2.10: Rozložení strun u klavíru Shigeru-Kawai EX. 28

30 3 SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Jeden z nejdůležitějších prostředků, jak analyzovat hudební signály je kromě dynamické a melodické roviny právě rovina harmonická. Zatímco se do dynamické roviny promítají změny amplitudy (přesněji např. změny intenzity akustického tlaku), do melodické roviny spadají závislosti frekvence na čase komplexního signálu i jeho jednotlivých frekvenčních složek jako je např. průběh nasazení a ustálení výšky tónu a její změny s časem odpovídající časové obálce tónu. Přestože každá z uvedených rovin nějakým způsobem intepretuje pohled na složitý hudební signál, je pojem analýzy signálu spojován nejčastěji právě s rozborem v rovině harmonické, tedy rozkladem na jednoduché frekvenční složky. Vzájemné uspořádání frekvenčních složek se nazývá frekvenční struktura a její číselný anebo grafický zápis je frekvenční spektrum. [6] Základní a nejrozšířenější klasifikace hudebních signálů lze vidět na obrázku 3.1. Stacionární signály, narozdíl od těch nestacionárních nemění na dostatečném časovém intervalu své vlastnosti. Deterministické signály mají v každém okamžiku daný definiční vztah - předpis, zatímco stochastické signály nelze popsat jasnou matematickou funkcí. Rozdíl mezi periodickými a kvaziperiodickými signály je dán v tom, zdali jsou charakterizovány diskrétním harmonickým frekvenčním spektrem, u něhož frekvence vyšších harmonických složek jsou celistvými násobky základní frekvence (periodické signály), nebo zdali jsou vyšší harmonické v poměru celých násobků jen částečné či vůbec (kvaziperiodické signály). [6] Obr. 3.1: Nejrozšířenější rozdělení hudebních signálů Reálný hudební signál je však kombinací několika typů uvedených signálů. Periodický charakter vykazují dlouhé, vydržované tóny, kvaziperiodický zvuk mají některé laděné perkusní nástroje, a příkladem stochastického signálu je třeba zvuk činelu. Nás nyní zajímají již zmíněné vydržované tóny, které mají obecně komplexní charakter a pro účely zvukové analýzy a syntézy je lze považovat za periodické. Takové 29

31 signály se dále dělí na harmonické, které mají ve svém spektru pouze jedinou spektrální čáru na příslušné frekvenci, a na komplexní signály, které mají kromě základní složky i další na celistvých násobcích základní frekvence. Takovéto signály lze rozvinout pomocí tzv. Fourierových řad. Tomuto procesu se říká harmonická analýza periodického signálu. [6] 3.1 Harmonická analýza Harmonická analýza, jak již bylo naznačeno, je operace, při které je periodický signál rozkládán na dílčí harmonické složky, nebo skládán z harmonických složek, jejíchž frekvence je celočíselným násobkem základního tónu - fundamentu. Jejich amplituda je dána spektrem modulů (amplitud). Této vlastnosti se dá skvěle využít u analýzy hudebního tónu, kde, ze znalosti problematiky kmitání na struně (např. vztah: 2.4) lze vidět jasné propojení mezi harmonickou analýzou pomocí Fourierových řad a vlastním stojatým vlněním struny. Těmito metodami lze tedy velmi efektivně analyzovat jak poměry amplitud (modulů) jednotlivých harmonických složek tónu klavíru, na kterých struna kmitá, tak určit přesné kmitočty, které se, jak již bylo zmíněno, od idealizované struny ve skutečnosti zčásti liší Fourierova řada V roce 1823 uvedl poprvé Jean Babtiste Fourier novou medodu - harmonickou analýzu, na základě které lze každé periodické (ale i neperiodické) kmitání rozložit v řadu harmonických složek o frekvencích f, 2f, 3f, 4f... a jejich amplitudy. Fourierova řada má několik tvarů; amplitudově-fázový, komplexní a goniometrický, který je popsán níže: [7] [3] f(t) = a [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] (3.1) k=1 pro k = 1, 2, 3... (pořadové číslo harmonické složky o frekvenci kω, kde se Fourierovy koeficienty příslušné řadám vypočítají vzorci a 0 = 2 T T 0 f(t)dt a k = 2 T T 0 f(t) cos kωdt b k = 2 T T 0 f(t) sin kωdt (3.2) Diskrétní Fourierova transformace DFT V době digitálního zvukového záznamu a jeho zpracování můžeme přenést obecný problém harmonické analýzy zvukového vzorku do roviny numerického řešení Fourierových řad a integrálů. K této digitální analýze slouží diskrétní podoba Fourierovy 30

32 transformace - DFT, která vychází z Rychlé Fourierovy Transformace (FFT - Fast Fourier Transform). FFT byla poprvé publikována v roce 1964 jako rychlý algoritmus pro výpočet koeficientů Fourierovy řady. DFT je jedna z nejdůležitějších operací v číslicovém zpracování signálu. Pro diskrétní obraz S[k] a posloupnosti s[n], přímé a zpětné diskrétní Fourierovy transformace platí: S[k] = s[n] = 1 N N 1 n=0 N 1 n=0 s[n]e jk 2π N n, k = 0, 1,..., N 1 (3.3) s[n]e jk 2π N n, k = 0, 1,..., N 1 (3.4) kde N... počet vzorků signálu, k = odpovídající vzorek v časové doméně, n = odpovídající vzorek ve frekvenční doméně. [7] [6] Na obrázku 3.2 lze vidět reálné zobrazení spektra tónu klavíru pomocí FFT. Obr. 3.2: Zobrazení spektra vzorku tónu měřeného klavíru Petrof pomocí FFT. 3.2 Zvuková barva Abychom mohli aplikovat a přenést objektivní poznatky o spektru, výskytu, poměru a poloze harmonických či neharmonickch složek získané matematickými metodami zpracování signálů do oblasti lidského vnímání, je třeba mít poznatky o subjektivním fenoménu vnímání hudebního zvukového signálu z pohledu zvukové barvy. Samotné definování barvy zvuku se může stát něčím vcelku složitým, protože pojmenováním barvy zvuku přívlastkem úzký, dutý, ostrý, průzračný, plný, měkký se dostáváme do subjektivní roviny závislé na hudebních zkušenostech, znalostech a možná i představivosti člověka. Naštěstí existuje v těchto pojmenováních (a představě výsledného 31

33 zvuku) mezi lidmi určitá shoda. Před samotným zkoumáním spektra je tedy třeba se trochu zaměřit na problematiku zvukové barvy. Přestože nebyla barva zvuku též (témbr) zprvu s matematickým rozkladem FŘ vůbec spojována, časem se ukázalo, že právě toto spojení má pro akustiku obrovský význam. S tzv. základním psychoakustickým zákonem přišel v roce 1843 německý fyzik G. S. Ohm, který měl za to, že ucho vnímá pravidelné kmitání (sinus) jako jednoduchý tón a každé periodické kmitání se skládá z mnoha těchto jednodušších sinusových průběhů. Z Ohmových poznatků vyšel H. von Helmholtz, který za podpory Fourierova matematického aparátu definoval základní vztahy mezi typem spektra tónu a vjemem jeho barvy. Mezi důležité body této teorie mimo jiné patří: Komplexní tóny tvořené řadou harmonických nižších pořadových čísel, cca do 6. složky, znějí plně a hudebně. Absence harmonických vysokých pořadových čísel způsobuje jejich libozvučnost a měkkost. Právě klavírní tóny jsou tímto typické. Tóny tvořené lichými harmonickými znějí dutě a při velkém počtu harmonických i huhňavě, nasálně. Pokud ve spektru převažuje první harmonická, má tón plnou barvu, v opačném případě je tón prázdný, úzký. Tento rozdíl lze vidět dobře např. mezi klavírem a cembalem. Pokud má tón intenzivní 6. anebo 7. harmonickou, je jeho barva ostrá a drsná. [6] V roce 1863 vyslovil Helmholtz také známou relativní a absolutní teorii zvukové barvy. Barva tónu je určena počtem a intenzitou jednotlivých harmonických složek. U hudebních tónů jsou poměry intenzit složek na výšce tónu nezávislé, u vokálů hrajou roli formanty. V praxi to znamená, že se barva hudebních tónu se stoupající výškou nemění, zatímco u vokálů se nemění frekvenční poloha formantů - zdůrazněných harmonických. V této souvislosti se však rozlišuje i pojem pohyblivý formant. C. Stumpf, první představitel psychoakustiky, navázal a vznikla Helmholtzova - Stumpfova nauka o harmonických formantech. Podle Stumpfa je barva vokálu určena celou, pevně stanovenou oblastí harmonických tónů - formantovou oblastí. Podle počtu harmonických tónu Stumpf klasifikoval: Podle 1. až 3. harmonické je určující kulatost a plnost tónu, podle intenzity 1. a 3. harmonické dutost a prázdnost. [6] Oproti Helmholtzovi prosazoval Stumpf názor, že vztah mezi fyzikálním podnětem a subjektivním důsledkem v procesu vnímání zvuku není jednoznačný a neměnný a nelze jej vysvětlit pouhým rozkladem na jednoduché prvky či děje. Tím předurčil další vývoj psychoakustiky na řadu desetiletí a rozdělil tak hudební akustiku na větev hudebně fyzikální a hudebně psychologickou...opětovné sblížení těchto dvou odlišných 32

34 pohledů na jeden společný jev - zvuk, zejména jeho barvu nastalo až v postatě v druhé polovině 20. století. [6] Posledním fyzikem který bude zmíněn je E. Schumann, který v roce 1929 přišel se svými Zákony barvy zvuku. Ve zkratce: Zákon formantových oblastí (Barva tónu hudebního nástroje je dána, nezávisle na výšce základní harmonické, pevnou frekvenční polohou formantových oblastí, které se vyznačují silnějšími vyššími harmonickými.) Zákon formantových intervalů. (Pro barvu je rozhodující také interval mezi formantovými oblastmi, resp. nejsilnějšími harm. tóny těchto oblastí.) Zákon akustického posuvu. (Při stoupající dynamice se posouvá intenzitní maximum v určité formantové oblasti na harmonické složky vyššího čísla.) Zákon akustického skoku (Zabývá se tóny se dvěma formantovými oblastmi.) [6] Vedle vyšších harmonických se na barvě zvuku podílejí také tóny parciální (částkové), nakmitávací a dokmitávací pochody. Často se spektrum rozlišuje na tzv. intervalové a f ormantové oblasti. Hranice mezi těmito dvěma oblastmi se povětšinou klade mezi 6. a 8. harmonickou. [6] Objektivní hodnocení barvy zvuku Podmínkou pro objektivní hodnocení barvy zvuku je najít parametry měřitelnosti, které by dostatečně vyjadřovaly subjektivní postoj k hodnocenému zvuku. Český jazyk disponuje obrovským množstvím přívlastků, které hudebníci používají pro popis hudební barvy. tyto výrazy lze sestavovat do různých protichůdných párů (světlý - tmavý, slabý - silný, měkký - ostrý). [6] Například definice jasnosti BR (brightness) se definuje podle Beauchampa z podílu harmonických složek ve spektru tónu: n kc k k=1 BR = c 0 + n (3.5) c k k=1 kde n... počet uvažovaných harmonických složek, c k... velikost k-té harmonické složky v lineárním měřítku, c 0... prahová velikost užitečné harmonické složky. Pro případ, kdy c 0 = 0 přechází výraz 3.5 na vztah pro těžiště spektra tónu : f T = BRf 1 (3.6) 33

35 Dále Beauchamp definuje hlasitost tónu (nejedná se o hladinu v sonech či hladinu hlasitosti) jako efektivní amplitudu signálu: RMS = n c 2 k (3.7) Jako snahu o zjednodušení popisu velikosti spektra na jedno určité číslo, které může dostatečně spolehlivě popisovat tuto vlastnost, lze uvést vzorec pro objem spektra 3.8. Pro K harmonických a N volitelných dynamických hladin spektra v tomto vzorci platí: K N V = k p n q Δ k (3.8) k=1 n=1 kde k... je číslo příslušné harmonické, p... parametr frekvenční váhy, n... příslušná dynamická hladina, q... parametr dynamické váhy a Δ k... konstanta (pokud úroveň k-té harmonické dosahuje hladinu N k, nebo ji přesahuje, pak Δ k = 1, pokud je nižší, tak = 0)[6] k= Struktura harmonického spektra Na obrázku 3.3 můžeme vidět všeobecně známou pevnou strukturu harmonického spektra na příkladu tónu klavíru. U harmonického spektra je tato struktura dána sledem hudebních intervalů (celočíselných násobků), které se se stoupajícím pořadovým číslem zužují od oktávy až k mikrointervalům. Subjektivně dochází k dalšímu obohacování zvuku v důsledku nelineárního zkreslení ve sluchovém orgánu - vzniku kombinačních rozdílových a součtových tónů. Vlivem nedokonalostí lidského ucha dochází i k ochuzování zvukové informace v důsledku lineárního zkreslení a efektu maskování slabších tónů souzvuku těmi silnějšími. Na obrázku 3.4 lze vidět příklad jednotlivých rozdílových a součtových tónů ve spektru. Například u intervalu oktávy posiluje rozdílový tón 2-1=1 druhou harmonickou složku a součtový tón 2+1=3 třetí harmonickou složku (kvintu). Oktáva je výjimečným intervalem v tom, že přestože se ve spektru periodicky opakuje, nevede k obohacení subjektivního vjemu. Oktáva se tedy považuje za interval prázdný. Například u kvinty (intervalu mezi 2. a 3. harmonickou) vede její rozdílový tón 3-2=1 k posílení fundamentu. Součtový tón 3+2=5 posiluje 5. harmonickou (tercii). Obecně lze odvodit posilující mechanismus, kdy rozdílové tóny podporují harmonické složky k nižším až k té základní, zatímco součtové tóny posilují ty vyšší. [6] Podle literatury [6] lze zvukové spektrum rozdělit na oblast vjemu intervalů jednotlivých nižších harmonických složek a oblast vjemu formantů, které jsou tvořeny 34

36 Obr. 3.3: Amplitudové frekvenční spektrum tónu klavíru a jeho intervalová struktura Obr. 3.4: Mechanismus posilování a doplňování spektra (převzato z [6]) skupinami vyšších složek. Zjednodušeně řečeno, rozlišujeme oblast intervalovou a formantovou. Přechod mezi těmito oblastmi se klade mezi 6. a 8. harmonickou složku. (protože 7. a 8. harmonická má díky své povaze (malá tercie a velká sekunda) největší tzv. součinitel disonance) 35

37 3.2.3 Phantom partials Kromě subjektivního vzniku různých kombinačních tónů díky nelineárnímu zkreslení v lidském uchu (jak je popsáno v kapitole 3.2.2, lze podobný jev objektivně vypozorovat i v samém časově proměnném spektru zvuku vyzářeného nástrojem. Jedná se o tzv. phantom partials (fantomové, domnělé shorky - harmonické složky), které jsou tvořeny nelineárním sčítáním frekvencí. Jejich frekvence mohou být tedy spočítány jako součet nebo rozdíl normálních harmonických složek. Zatímco některé se objevují na dvojnásobku dané harmonické složky a tím tedy vyšší harmonickou hlavně posilují, další se objevují jako součet dvou následujících harmonických. V dokonale harmonickém hudebním nástroji mají tyto složky přesně stejnou frekvenci jako vyšší harmonické. V reálném nástroji se však projevuje jev neharmonicity spektra a proto se jejich frekvence mírně liší a to má již nezanedbatelné dopady na samo spektrum a tedy i výslednou barvu zvuku. Bylo zjištěno, že se tyto zvláštní neharmonické složky nejvýrazněji generují jako součty především přilehlých harmonických složek, tedy nejvíce f 4 + f 5, 2f 5, f 6 + f 7, f 7 + f 8. [9] Na obrázku 3.5 lze vidět pět zvýrazněných phantom partials, které přesně sedí do výpočtů pro tyto složky uvedeny výše: p 1 = 2f 5 ; p 2 = f 5 + f 6 ; p 3 = f 5 + f 7 ; p 4 = f 6 + f 7 ; p 5 = f 7 + f 8 ; Obr. 3.5: Zobrazení spektra tónu klavíru se zvýrazněním vybraných složek (phantom partials) Reálná klavírní struna kmitá ve dvou příčných rovinách ale také v podélném směru. V základu je to kladívko, které udeří do struny a vybudí kmitání v jednom směru, z něhož kmitání v ostatních dvou směrech získává svou energii. Všechny tyto tři vlnění spolu interagují a tím způsobují ono nelineární chování struny. [9] 36

38 Na obrázku 3.6 můžeme identifikovat zajímavý jev, kdy při velkém přiblížení harmonické složky ve spektru zaznamenáme místo jedné špičkové hodnoty harmonické složky špiček více. Tento jev je více či méně patrný v celém spektru klavíru. Stejně jako literatura [4] a [9] se domnívám, že se jedná o další typ phantom partials, tedy tóny generované na dvojnásobku daných frekvencí. Situaci trochu komplikuje fakt, že struny jsou v jednotlivých tónech násobené. Tón z příkladu 3.6 je tvořen kmitáním 3 strun. Původní úvahy vedly k tomu, že by jednotlivé špičky mohly představovat kmitání jednotlivých strun, které jsou také, jak je známo, zčásti mezi sebou rozladěné. Při zkoumání všech měřených klavírů a v celém jejich spektru (jedno, dvojité či trojité opředení) jsem došel k názoru, že tam žádná tato viditelná jasná vazba, která by tuto myšlenku potvrzovala, není. Avšak obecný výskyt oněch phantom partials je nesporný. Obr. 3.6: Detail vybraných harmonických složek klavíru Shigeru-Kawai tónu a 1 (vlevo: 1. harm, vpravo: 5. harmonická) 37

39 4 SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB 4.1 Aplikace na zobrazení spektrogramu a amplitudové obálky Součástí zadání práce byl úkol vytvořit v prostředí Matlab funkci pro zobrazení časově proměnného modulového kmitočtového spektra a funkci pro zobrazení amplitudové obálky jednotlivých harmonických složek ve fázi attack a decay. Pro tvorbu aplikace, která by obsahovala obě tyto funkce a zároveň byla uživatelsky přístupná a nepotřebovala by při změně různých parametrů zobrazení vstupovat do zdrojového kódu, jsem zčásti použil interaktivní vývojové prostředí GUIDE. Důležitou funkcí pro tuto aplikaci je funkce SPECTROGRAM, která je v programu Matlab zabudovaná. Tato funkce využívá tzv. STFT (Short Time Fourier Transform) - krátkodobou Fourierovu transformaci a vrací spektrogram vstupního signálu. Obr. 4.1: Vytvořená aplikace v prostředí MATLAB Aplikace má několik možností zobrazení a analýzy zvukových souborů formátu WAV. Pro každé nastavení jsou potřebné parametry WINDOW SIZE, NOVERLAP 38

40 a NFFT, které jsou zároveň vstupními parametry funkce SPECTROGRAM. Položka WINDOW SIZE udává, kolik vzorků bude mít jedno okno. NOVERLAP udává počet vzorků, které se překrývají mezi jednotlivými okny, tedy míru překrytí oken; tato hodnota musí být vždy menší, než hodnota WINDOW SIZE. Poslední důležitá položka je NFFT a udává, z kolika bodů bude počítána STFT (Short Time Fourier Transform). Aplikace má také schopnost hromadného vybrání více souborů najednou a poté případné vykreslení jejich spektrogramu. Měla by být odladěna tak, aby zabraňovala chybnému nebo nevhodnému nastavení parametrů (jako např. rozsah, záporné hodnoty... ) Aplikace nabízí tyto možnosti zobrazení: Zobrazení spektrogramu - standardní zobrazení spektrogramu. Lze upravit frekvenční rozsah požadovaného zobrazení pomocí prvků ROZSAH ZOBRAZENÍ. Zásadním prvkem této funkce je funkce zabudovaná přímo v MATLABU s názvem SP ECT ROGRAM. Tato funkce využívá STFT a vrací spektrogram vstupního signálu. Zobrazení spektrogramu vybrané složky - zobrazuje výřez spektrogramu pro vybranou harmonickou složku nebo kmitočet. Zadáním zkoumaného kmitočtu se jednoduchým způsobem spočítá výsledný kmitočet, který je uprostřed zobrazovaného pásma, jejíž šířka se ovládá prvkem ŠÍŘKA PÁSMA. Pro potřeby této funkce je vhodné využít funkci pro nalezení frekvencí harmonických složek, skrývající se pod tlačítkem Zobrazit frekvence nalezených harmonických složek. Zobrazení obálky vybrané složky - zobrazuje amplitudovou obálku vybraného kmitočtu 3D režim - pro zobrazení spektrogramu nebo spektrogramu vybrané složky lze zvolit režim prostorového zobrazení využívající funkci SURF. Aplikace má také schopnost hromadného vybrání více souborů najednou a poté vykreslení jejich spektrogramu. Měla by být odladěna tak, aby zabraňovala chybnému nebo nevhodnému nastavení parametrů (jako např. rozsah, záporné hodnoty... ) Zobrazení FFT - tato funkce zobrazuje FFT spektrum načtených souborů ve vybraném rozsahu. Funkce využívá mechanismu skriptu F F T.m, který bude popsán níže. Zobrazení harmonických složek - funkce zobrazuje harmonické spektrum (kmitočty a moduly harmonických složek nalezené pomocí principu z F F T.m ) Zobrazení časového průběhu amplitud harmonických složek - Tato funkce zobrazuje časový průběh vybraného počtu harmonických složek tónu. Pro hledání frekvencí harmonických složek také využívá mechanismu z F F T.m. 39

41 4.1.1 Určení základního kmitočtu nahraných vzorků Pro hledání harmonických složek je důležité mít možnost co nejpřesněji určit výšku - základní frekvenci tónu. Po testování různých metod se jako nejspolehlivější varianta jevila autokorelační metoda (AutoKorelace.m). Ani tuto metodu se však nepovedlo přes snahu vyladit do dokonalosti. Při určování úplně nejvyšších tónů (a Hz) neidentifikuje základní harmonickou složku, ale nižší, rozdílovou složku o polovičním kmitočtu. U nízkých kmitočtů je tento problém ojedinělý a to pouze u nejnižšího tónu klavíru Přesné určení kmitočtů a modulů harmonických složek nahraných vzorků DFT (F F T.m) Tento skript vypočítává přesnou polohu harmonických složek a jejich moduly. Po načtení souboru je provedeno vypočtení F F T (pomocí zabudované fce Matlabu fft), poté je proveden denoising (odšumění) pomocí fce den oise3thoctave.m. Pomocí autokorelační fce (AutoKorelace.m) se nalezne základní kmitočet, pomocí kterého se nastaví parametry matlabovské fce f indpeaks, která hledá špičky v nalezeném DFT spektru. Pomocí pozice a velikosti nalezených špiček lze snadno nalézt frekvence a moduly jednotlivých harmonických složek. Metoda zoomfft (F F T zoom.m) Zoom FFT je metoda používaná pro analýzu úzkého výseku spektra ve vysokém rozlišení. V mnoha situacích je tato metoda efektivnější, než klasické DFT. Prvním krokem této metody je modulace zkoumaného místa do okolí 0 Hz, poté se použije filtr dolní propusti pro zabránění aliasingu, když budou data převzorkována na nižší vzorkovací frekvenci. Nakonec proběhne DFT již na nižší vzorkovací frekvenci. Úvodní operace skriptu F F T zoom.m jsou podobné jako u skriptu popisovaném výše. Po načtení souboru, provedení DFT, odšumění, výpočtu základní frekvence, proběhne také hledání složek metodou f indpeaks. Nalezené frekvenční složky se stanou vstupními informacemi pro funkci zoomf F T.m, která pomocí iterace zobrazuje jednotlivé frekvenční složky ve vysokém nastavitelném přiblížení. Pro nalezení modulů k frekvencím ze ZoomF F T byl použit tzv. Goertzelůvalgoritmus, který je výpočetně nenáročný a efektivní. Prakticky se jedná o výpočet jedné potřebné složky DFT. Je tedy výhodné jej použít v situacích, kdy nepotřebujeme znát celé spektrum, ale potřebujeme spočítat hodnoty pouze několika složek DFT. 40

42 Byly vytvořeny také další, pomocné výpočetní skripty, jako například doznenitonu.m pro výpočet poklesu -40 db amplitudy tónů. 41

43 5 MĚŘENÍ KLAVÍRŮ 5.1 Popis a metoda nahrávání zvukových vzorků Pro měření časově proměnlivého spektra klavíru byl zvolen postup nahrání vzorků klavírů v celém jeho rozsahu pro pozdější analýzu. Pro potřeby měření se nahrály: Tóny A v celém rozsahu klavíru - 8 tónů o celkové vzdálenosti 8 oktáv, celý netlumený průběh kmitání struny až do úplného (slyšitelného) odeznění. V dynamikách: forte (f) - znamená silně v hudební terminologii mezzoforte (mf) - středně silně piano (p) - slabě Tóny v intervalech malé tercie (tedy 3 půltónů) v celém rozsahu nástroje. (První tón A 2, poté C 1, Es 1, Ges 1, A 1... ) v dynamice mezzoforte a až do odeznění. Všechny vzorky byly zahrány klavírním hráčem. Je samozřejmostí, že idealní variantou by bylo nahrání vzorků pomocí speciálního mechanického zařízení, tzv. nahrávací lavice, která má nastavitelnou rychlost, resp. sílu úderu jak je popsáno v lit. [6]. Taková varianta by eliminovala dynamické rozdíly v jednotlivých zahraných tónech a umožňovala by přesné měření dynamických rozdílů. Protože se takovéto zařízení nepovedlo sehnat, musí se tato práce spokojit s tímto znepřesňujícím lidským faktorem - hráčem, který se snažil zahrát tóny co nejpřesněji z hlediska dané dynamiky. Vzorky nebyly po nahrání kromě rozdělení ( nastříhání ) do jednotlivých souborů nijak upravovány. Pouze pro potřeby srovnání vzorků z pohledu síly harmonických složek - tedy absolutní srovnánání modulů nalezených pomocí FFT byly vzorky hromadně klasicky normalizovány podle špičkových hodnot v DAW Reaper. To samozřejmě způsobuje zvýšení spodní hladiny šumu. Toto měření to však neovlivní. Další vyhodnocení jako délka tónů, neharmonicita a jiné byly prováděny na nenormalizovaných vzorcích, u kterých zase nevadí drobné rozdíly v úrovních vzorků Metoda snímání Po úvaze bylo rozhodnuto, že snímání bude provedeno pouze kontaktní metodou, tedy zblízka bez výrazného podílu odražených zvukových vln z místnosti, které mají pro výsledek měření pouze negativní vliv. Ambientní snímání, jak bylo zadáno, nebylo po konzultaci s vedoucím práce provedeno z důvodu bezpředmětnosti vůči povaze zadání práce. 42

44 Snímání bylo provedeno monofonně za použití dvou stabilně postavených kondenzátorových mikrofonů s kardioidní směrovou charakteristikou, s kterými se během měření nepohybovalo. Mikrofony byly namířeny na struny, přibližně do místa úderů kladívek tak, že jeden mikrofon byl směřován na snímání střední a horní části ostrunění, a druhý na spodní. Při analýze vzorků poté byl podle výšky tónu vybrán záznam z odpovídajícího mikrofonu. Měření všech klavírů probíhalo se stejnou konfigurací, nastavením mikrofonů a nahrávacího zařízení. Podle lit. [4], v jejíž experimetnu byl proveden test vzdálenosti mikrofonu při takovémto typu měření, nemají drobné změny vzdálensti mikrofonu výrazný vliv na frekvenční složky nahraných tónů. Polohu mikrofonů a jejich vzdálenosti můžeme vidět na obrázku. 5.1 Obr. 5.1: Zobrazení rozměrů, menzury a polohy mikrofonu při snímání klavíru KS- EX Použitá zařízení K měření byl použit pár mikrofonů AKG C391 B. Tento malomembránový kondenzátorový mikrofon s kardioidní směrovou charakteristikou, odstupem signál/šum 77 db a citlivostí 10 mv/pa má velmi vyrovnanou frekvenční charakteristiku v celém spektru, s mírným nárůstem citlivosti v okolí nad 6000 Hz. 1 Pro převedení analogového signálu na digitální byla použita zvuková karta M-Audio ProFire 610 a na záznam DAW software Cubase 6. Stopy byly pořizovány ve vzorkovací frekvenci 96 khz a bitové hloubce 32 bit (floating). 1 Informace použity z oficiálního webu výrobce Na této adrese je k dispozici i směrová a frekvenční charakteristika mikrofonu. 43

45 5.2 Měřené klavíry V práci byly měřeny tři kusy koncertních klavírů, které jsou ve svých značkách nejvyššími modely. Jedná se o japonský klavír Shigeru-Kawai, český Petrof a americký klavír značky Steinway & Sons SHIGERU-KAWAI EX CONCERT GRAND Prvním z měřených klavírů pro účely práce je koncertní křídlo značky Shigeru-Kawai. Tato firma začala s výrobou klavírů v roce 1927 v malé vesnici v Japonsku, jak uvádí oficiální webové stránky firmy. Firma Kawai se pyšní mnohými atributy svých pian, jako například technologií, tradičním pečlivým způsobem výroby zužující se rezonanční desky z nejlepších smrků nebo technikou ručního opředení basových strun. Ze smrku jsou také vyrobeny spodní nosníky klavíru. Kobylky jsou vytvořeny z nejtvrdšího dřeva a mechanika z uhlíkového kompozitu. Rozměry klavíru jsou uvedeny na obrázku 5.1. Hmotnost klavíru je 504 kg a výška 102 cm. 2 Tohoto špičkového modelu SK-EX se vyrobí ročně méně než 20 kusů. Jeden z těchto kusů byl pořízen do Nahrávacího studia Divadla na Orlí, kde jsme ho také měřili. Ve většině rozsahu tohoto nástroje jsou pro každý tón nasazeny tři struny stejné tloušťky, až po velké F. Odtud jsou napnuty struny po dvou, již silnější, a jejichž tloušťka se zvětšuje. Struny jsou už také opředené. V rozsahu od kontra F (F 1 ) jsou nataženy ty nejtlustší struny vždy po jedné. Vzhled klavíru je zachycen na obrázku PETROF I. MONDIAL Společnost Petrof je tradičním a v současné době největším výrobcem klavírů a pianin v Evropě. Firma byla založena v roce 1864 v Hradci Králové. Jak směle uvádějí stránky výrobce, klavíry Petrof jsou jedinečné jejich nezaměnitelným charakteristickým romantickým zvukem. Model Petrof I Mondial je starším modelem nejvyšší řady. PETROF vyrábí podstatnou část polotovarů a součástí nástrojů sama (na rozdíl od mnoha jiných výrobců pian). V dílnách firmy tak vznikají rezonanční desky, količníky, klávesnice, kladívka struny, kovové součásti a mnoho dalších dílů. Výjimku tvoří součásti od renomovaných evropských výrobců, jako například mechaniky Renner. Vedle originálních mechanik a kladívek Renner jsou v nástrojích používány mechaniky RENNER-PETROF vyráběné v kooperaci s touto firmou. 3 2 Informace z Informace z 44

46 Obr. 5.2: Měřený klavír Shigeru-Kawai EX Concert Grand v Nahrávacím studiu Divadla na Orlí Právě koncertní křídlo Petrof Mondial bylo v už v roce 1958 oceněno na EXPO Brusel zlatou medailí. Litinové rámy odebírá firma od externího dodavatele. Rezonanční deska je vyráběna klasicky z řezaného rezonančního smrku. Přestože se jedná o starší model, klavír prošel kolem roku 2009 generální opravou (nová kladívka, oprava mechaniky, nové struny, přelakování rezonanční desky a rámu, nový količník). Rozměry klavíru lze vidět na obrázku 5.4 a fotografii na obrázku 5.3 Co se týka ostrunění u tohoto klavíru, ve většině rozsahu jsou pro každý tón nasazeny tři struny stejné tloušťky, až po velké Cis. Odtud jsou napnuty mědí opředení struny po dvou, až po kontra Fis. Dále jsou až do nejspodnějších tónů nataženy struny po jedné, s velkou tloušťkou a taktéž silně opředené STEINWAY & SONS D-274 Světoznámá firma Steinway & Sons byla založena v New Yorku roce 1853 německým imigrantem Henrym E. Steinwayem a jeho syny. Tato možná nejvýraznější klavírní firma vlastní mnoho patentů a je často považována za vynálezce moderní klavírní konstrukce. Model D-274 je pravděpodobně nejznámějším a nejpoužívanějším modelem koncertního klavíru vůbec. Podle odhadu z roku 2004 tvořil tehdy D-274 až 90 % všech koncerních křídel v USA. Do roku 2010 bylo touto firmou vyrobeno přes klavírů a z toho bylo právě řady D. 4. Jak název napovídá, jeho délka je 274 cm, váha 480kg. Všechny zásadní prvky tohoto modelu byly vyvinuty již během 4 Zdroj: 45

47 Obr. 5.3: Měřený klavír Petrof I. Mondial v Hudební fakultě JAMU v Brně Obr. 5.4: Zobrazení rozměrů, menzury a polohy mikrofonu při snímání klavírů Petrof I. Mondial a Stainway D

48 19. století. Kromě mnoha dalších servisních úprav procedur byly klavíru vyměněny kladívka. Byla vybrána značka Abel. Tento model klavíru, narozdíl třeba od zmíněného Petrofu a Shigeru-Kawai (SK) má na ostrunění za kobylkou i před kapodastrem znějící alikvotní část, která není zatlumená a tedy se podílí na zvuku, který je sice údajně barevnější, ale jsou v něm přítomné jiné parazitní ruchy. Klavír je vyfocen na obrázku 5.5. Obr. 5.5: Měřený klavír Steinway & Sons D-274 v Hudební fakultě JAMU v Brně 47

49 6 VÝSLEDKY MĚŘENÍ A POROVNÁNÍ KLA- VÍRŮ 6.1 Menzurace strun a místo dopadu kladívek Oblast, ve které je struna rozechvívána kladívkem a ve které rezonuje, se nazývá menzura a odpovídá vzdálenosti mezi capo d astro a kobylkou (viz obrázek 2.8). Měření této délky a vzdálenosti od kobylky k místu úderu kladívka bylo provedeno pomocí svinovacího metru. Možné nepřesnosti měření byly způsobeny složitější manipulací a horší přístupností ke capo d astro a některým strunám. Přesto však bylo možné dobře doložit vliv místa excitace struny na samotné spektrum tónu, jak bude uvedeno níže. V tabulce 6.1 můžeme vidět výsledky tohoto měření, kde se měřily vzdálenosti pouze strun tónů A v celém rozsahu klaviatury. Vzdálenost dopadu kladívka nejkratší struny nebylo možné změřit. Veličina l m značí celkovou délku kmitající části struny, tzv. menzuru, l k značí vzdálenost od kobylky k přibližnému místu úderu kladívka. Poměr udává, ve kterém místě struny dopadá kladívko a rozeznívá tón. Místo úderu kladívka je velmi důležitým parametrem, který ovlivňuje barvu tónu klavíru. Obecně byla problematika popsána v kapitole Tab. 6.1: Měření menzury strun a místa dopadu kladívek Prvním a jasným poznatkem měření je fakt, že délky strun neodpovídají předpokladům ideálních strun, ze vztahu 2.4, tedy, že délka nejdelší struny je 128 násobkem té nejkratší. Příčiny tohoto jevu jako např. napětí, hustota a průměr strun jsou popsány v kapitole 2.2. Z měření vyplynulo, že v případě klavíru Shigeru Kawai (dále SK) u tónů a 3 a a 2 kladívka dopadají na struny v 1/11 délky menzury a od struny a 1 níž v 1/8, viz tabulka 6.1. U zbylých klavíru dopadá kladívko vždy ve vzdálenosti okolo 1/8. 48

50 Pří úderu kladívka na napnutou strunu se šíří oběma směry příčné rozruchy a výsledný tvar kmitu struny je v tomto případě ovlivněn dobou kontaktu kladívka a struny. Čím delší je tato doba kontaktu, tím menší je obsah vyšších harmonických ve spektru kmitů struny. [6] Z pohledu konstrukce menzury a doporučení místa úhozu kladívka je zajímavý pohled Josefa Pracha, zakladatele a prvního vedoucího vývojového oddělení firmy Petrof. Ten ve své knize ([8]), kterou dokončil až ve svých 80-ti letech, napsal svou teorii (metodu) určení délky menzury a dopadu kladívka. Jako referenční tón určil údajně nejcitlivější tón c 5, jehož délka menzury se u všech klavírů prakticky neliší - 52 mm. Nejbližší oktáva c 4 mám mít teoretickou délku 104mm, avšak menzurační délka musí být o 1/16 kratší z toho důvodu, že má již tlustší strunu, takže 97,5 mm. Zkráceně, pro přirozenou délku menzury určil z praxe tzv. směrné číslo. Pro oktávu to je k = 1,875. Sám výpočet pro menzurační délku struny je tedy např. f 3 =f 2 * k * 15/16. Tyto výpočty jsou u strun nízkých tónů o poznání komplikovanější, používají se struny opředené s jinou tuhostí a průměrem, a do hry vstupují další faktory. Pro námi měřené tóny A by se tedy jednalo o délky menzur 205 cm pro A 2, 173 cm pro A 1, dále 148 cm, 78 cm, 41 cm, 22 cm, 11,8 cm. Patrně nebude náhodou, že se tyto délky velmi shodují s menzurou měřeného klavíru Petrof (a rovněž vcelku i s ostatními klavíry). [8] Tón je závislý na pružnosti (tuhosti) struny. Protože dovedeme zhotovit strunu přesné délky a přesné tlošťky, můžeme ji dát též potřebnou tuhost jejím zkrácením. V tomto smyslu je v odborných kruzích ještě hodně nejasností. Menzury nástrojů vynikajících značek se však zásadně neliší, rozdíl je spíše v řešení rezonančních desek. Napětí struny určuje výšku jejího tónu. Poměr délky a tloušťky struny rozhoduje o její zvukové vydatnosti a kráse. [8] Prach také píše, že místo úderu kladívka ovlivňuje čistotu tónů a jejich krásu. Uvádí, že doporučuje 1/8 délky pro tón c a poté plynule přechází až k 1/24 u tónu c 5. Důležité je, aby poměr byl sudý. Dopad kladívka na strunu v 1/8 potlačuje ve spektru 8. harmonickou složku a její celočíselné násobky. Pomocí aplikace vytvořené pro účel této práce byly nahrané vzorky klavírů zpracovány a zobrazen spektrograf. Obecně lze tento jev potlačení harmonické složky pozorovat již od nejnižšího tónu klavíru v subkontra oktávě A 2 až k tónu a o tři oktávy výše a nazývá se tzv. vrchní cyklus. Nejnázorněji lze potlačení 8. a 16. složky vidět v tónech velké a malé oktávy - obrázek 6.1. U vyšších tónů přechází lokální minimum i k 9. a 10. harmonické (klavír SK). I u komorního a 1 lze stále ještě pozorovat oslabenou 8. harmonickou složku. Ve vyšších částech klavírního spektra už vrchní cyklus není pozorovatelný kvůli negenerování takového počtu vyšších harmonických a navíc jejich rychlému zeslabení. Nelze jednoznačně říci, u kterého z klavírů se tento jev projevuje nejsilněji, lze však pozorovat, že potlačení 49

51 Obr. 6.1: Detail spektrogramu vybraných tónů měřených klavírů 50

52 této složky není tak silné u klavíru Steinway & Sons jako u zbylých modelů. Na obrázku 6.2 lze vidět 3D zobrazení spektrogramu tónu a a útlum 8. harmonické. Obr. 6.2: Detail 3D spektrogramu tónu a pro prvních 10 harmonických klavíru SK EX 6.2 Šířka spektra Na obrázku 6.4 můžeme vidět tón C zahraný středně silně na klavír SK, u kterého zaznamenáváme přes 50 vyšších harmonických složek. Celé spektrum tónu C začíná na 66 Hz (fundament) a končí na hranici 4000 Hz. Zato tón c 1 o dvě oktávy výše již jich má zřetelných pouze 14. Šířku spektra má od přibližně 265 Hz do oblasti 4 khz. Tón c 3 o fundamentu přibližně 1058 Hz generuje spektrum (při střední intenzitě úhozu) spektrum až do 7 khz. Z obrázku můžeme tedy vyvodit zřejmý závěr, že se stoupající frekvencí tónu ubývá počtu harmonických složek. Nejvyšší složka spektra byla naměřena u nejvyššího tónu klaviatury A 4, jedná se o 4. harmonickou o frekvenci okolo Hz. Nejnižším tónem je A 2 (fundament 27,5 Hz). Tento rozsah spektra je však velmi orientační, nejedná se o užitečný rozsah spektra, který nepřesahuje podle literatury [6] standardně 10 až 12 khz. Toto můžeme potvrdit, protože podíly těchto vysokých harmonických složek jsou velmi malé. Všechny měřené klavíry jsou z pohledu šířky spektra velmi srovnatelné. Viditelný rozdíl v šířce spektra je snad pouze u nejnižších tónů. Zde se projevuje absence základní harmonické složky, jev 51

53 bude rozebrán ještě v dalších kapitolách. U klavíru Steinway se ve vysoké intenzitě neprojevuje a křídlo má tedy výraznější základní hamonickou složku oproti ostatním modelům. Na obrázku 6.3 se jedná o nejnižší složku okolo 27,5 Hz. ) Obr. 6.3: Spektrogram tónů A 2 v dynamice forte měřených klavírů 6.3 Doznívání tónu Velkou roli při zkoumání barvy klavíru hrají také dokmitávací pochody, jinak řečeno doznívání tónu. Pokud jsou dusítka zvednutá, délka tónu se výrazně prodlužuje, ale pokles intenzity tónu je zpočátku rychlejší. Tento efekt má spojitost s přenosem energie kmitání struny přes kobylku na rezonanční desku, který je příznivější ve směru kolmém ke kobylce než ve směru paralelním s kobylkou. [6] V tabulce 6.2 můžeme vidět výsledky měření doby poklesu amplitudy tónů měřených klavírů, tedy dobu, za kterou poklesl tón z maximální efektivní hodnoty (RMS) o -40dB. Hodnota požadovaného útlumu byla zvolena jednoduše úsudkem, aby byly výsledky co nejzřetelnější a názornější. Určení absolutní délky tónu je z objektivního hlediska nevhodné, protože je velmi obtížné určit hladinu, kdy je tón ještě subjektivně slyšitelný a kdy je již utopen v šumu. Grafické zobrazení průběhu poklesu jednotlivých tónu lze vidět na obrázku 6.5. Prvním zajímavým jevem, kterého si lze všimnout, je chování poklesu nejnižšího tónu A 2. Tento tón ztratí energii a poklesne vždy rychleji, než měřené tóny vyšší frekvence. Také lze v grafu 6.5 vypozorovat jev, kdy amplituda již zméněného tónu, narozdíl od ostatních, klesá plynule a nedochází k tzv. dýchání tónu (Tento jev je podrobněji vysvětlen v kapitole 6.5.2). Hlavním zapříčiněním těchto dvou jevů je fakt, že nejnižší struny nejsou nataženy v chórech a výsledný tón je reprezentován pouze jednou strunou, tudíž nedochází k vzájemné interkaci strun přes kobylku a 52

54 Obr. 6.4: Spektrogram tónů C, c 1 a c 3 v mezzoforte klavíru SK EX Tab. 6.2: Výsledek měření délky poklesu amplitudy tónů o -40 db 53

55 tón rychleji opadá. Celkově z měření také vyplývá, že nejdelší doznívání má u většiny tónů klavír značky Shigeru - Kawai, naopak nejkratší model Steinway. Obr. 6.5: Změřená délka poklesu tónů měřených klavírů o 45dB tónů 6.4 Absence fundamentu U nejníže položených strun klavíru se projevuje efekt potlačení základní harmonické složky, jako můžeme vidět na obrázku 6.4 u tónu C nebo na obrázku 6.3 u tónu A 2. Fundamentální složka není tak silná a často i rychleji odeznívá oproti vyšším harmonickým. Tento jev souvisí s rozměrovou nedostatečností ozvučné skřínky nástroje ve srovnání s vlnovou délkou nejhlubších tónů. [6] 54

56 Úkaz, kdy je 2. harmonická složka nebo i další složky silnější než základní složka, se také zpravidla projevuje i u nejnižší struny všech smyčcových nástrojů. Z mechanismu rozdílových tónů (viz.3.4) potvrzují subjektivně vyšší harmonické složky ty nižší, takže z psychoakustického hlediska dochází ke kompenzaci těchto potlačených nízkých složek - v tomto případě fundamentu,a tudíž nelze mluvit o nejistotě vjemu výšky tónu (např. u houslí). Vliv potlačení první harmonické bude podrobněji rozebrán v kapitole 6.6. [6] 6.5 Amplitudová obálka a tranzienty Pro analýzu hudebního zvuku je také výhodné si pro jednotlivé harmonické složky tónu zobrazit amplitudovou obálku, též nazývanou jako časová obálka. Tato interpretace obálky tónu či zvuku umožňuje typologicky rozlišovat tóny na perkusní a neperkusní, které vykazují nakmitávací pochody, zakmitaný stav a oblast dokmitávacích pochodů. U perkusního typu tónu vymezujeme tzv. ADSR obálku. A znamená attack (náběh), D - decay (útlum), S - sustain (podržení) a R - release (doznívání). Zjednodušené zobrazení ADSR obálky můžeme vidět na obrázku 6.6. V praxi zvukové syntézy a analýzy se používá ještě více označení dílčích části průběhu takového tónu. Jako tranzientní (přechodová oblast) se označuje oblast nakmitávacích pochodů. [6] Obr. 6.6: Obecné schéma časové ADSR obálky U perkusních tónů, které nevykazují zakmitaný stav, rozlišujeme pouze nakmitávací a dokmitávací pochody, jejich zjednodušené schéma můžeme vidět na obrázku 6.7. Příkladem takového zvuku je právě klavírní tón.[6] 55

57 Obr. 6.7: Obecné zjednodušené schéma časové obálky perkusních tónů Na obrázku 6.8 můžeme vidět graf amplitudové obálky prvních pěti harmonických složek tónu a 1 klavíru Steinway zahraném ve forte. Vidíme, že fáze tónu attack je obecně u klavírů velmi krátká, dá se počítat řádově v desítkách milisekund.. Fáze attack a celkové nasazení tónu se u klavíru vyznačuje také přítomností charakteristických hluků způsobených úderem kladívka. Úroveň těchto hluků často odpovídá intenzitě úderu kladívka. Stejnětak si všimněme fází decay, u kterých můžeme pozorovat zpočátku rychlý útlum. Také si můžeme všimnout typického zastoupení jednotlivých složek. Nejsilnější složka je první harmonická a směrem k vyšším se nejen snižuje jejich počáteční amplituda, ale zvyšuje také útlum. Obr. 6.8: Zobrazení průběhu prvních pěti harmonických složek tónu a 1 Steinway klavíru 56

58 6.5.1 Dvojitý útlum (double decay) Je důležité zmínit, že časový vývoj obálky tónu je pro charakteristiku zvuku a barvy nástroje stejně důležitý jako jeho spektrum. Na obrázku 6.14 můžeme na amplitudové obálce prvního zobrazeného tónu (c 1 ) vidět velmi zajímavý jev, který se děje právě ve fázi decay. V první části vidíme velmi rychlý útlum (v tomto případě okolo 12 db za sekundu), zatímco následuje druhá část útlumu, kde je míra útlumu daleko menší. Jinak řečeno, hned po vybuzení je tón velmi silný s velkou mírou útlumu a po dosažení docela nízké úrovně se poté přemění na útlum daleko nižší, který při netlumení pedálem dokáže znít velmi dlouho. Tento úkaz, známý jako dvojitý útlum (double decay), je právě pro klavírní tón naprosto typický a charakteristický. V roce 1977 přišel Gabriel Weinreich s důležitým článkem zvaným Coupled piano strings, který uspokojivě vysvětluje tento efekt. Zároveň se tak stává jakýmsi milníkem v oblasti zkoumání klavíru. Weinreich přišel se dvěma jevy, které způsobují efekt dvojitého dozvuku. První příčinou, která způsobuje tento jev je fakt, že po dopadu kladívka struna sice kmitá primárně ve vertikálním směru (ve směru dopadu kladívka), ale také v horizontálním. (Jako důkaz by se dalo provést měření, kdy při různých polohách mikrofonu by se zaznamenával jiný průběh vlnění díky různému směrovému vyzařování strun.) A protože kobylka, se kterou jsou struny pružně spojeny, reaguje na vertikální směr daleko pružněji, lépe, tak je také útlum ve vertikálním směru daleko silnější. Výsledkem je, že i to relativně malé množství horizontálního kmitání se stavá po chvíli dominantní. [10] Druhou příčinou vedoucímu k dvojitému útlumu je násobení strun pro jeden tón. Jak už bylo uvedeno v předchozích kapitolách, struny se u klavíru původně začaly násobit pro získání silnějšího a vyrovnanějšího zvuku. Pokud si hypoteticky představíme, že obě struny kmitají ve stejném místě na přesně stejném kmitočtu ale s opačnou fází, síly působící na kobylku se vyruší a kobylka tedy nebude nijak přenášet vlnění, bude v klidu, jakoby měla dokonalou tuhost. Nedochází tedy téměř k přenosu energie a samotný útlum strun bude minimální. Naopak, pokud budou struny takto kmitat ve fázi, jejich výchylka bude dvojnásobná a útlum (decay) bude velmi vysoký. Ale protože díky geometrickým a materiálovým nedokonalostem (hlavně kladívka a kobylky) nekmitají struny v chórech naprosto ve fázi a i ladiči nechávají struny mezi sebou záměrně poněkud rozladěné, dochází ke složitějším jevům a vzájemným působením strun přes kobylku. [10] Na obrázku 6.9 lze nalevo vidět zobrazení amplitudové obálky tónu klavíru, u kterého kmitá pouze jedna struna. Zbylé dvě jsou zatlumeny. Na prostředním obrázku je excitována stále jedna struna, ale je již odtlumena druhá struna, která s ní interaguje a kmitá v protifázi. Tím se prudce snižuje útlum. Také lze vidět, že 57

59 Obr. 6.9: Zjednodušené zobrazení vlnění strun na kobylce (převzato z [10]) již tady vzníká nový mód vlnění. Na obrázku úplně vlevo je zobrazen průběh, kdy jsou kladívkem rozezněny obě struny v jeden okamžik. Toto zobrazení již více připomíná reálný průběh tónové složky reálného klavíru. Podrobněji se tato práce problematikou vlnění strun v klavíru zabývat nebude. [10][1] Dýchání tónu Pro druhou část útlumu klavírního tónu je také typické `dýchání tónu, které vytvářejí klesající a znovu narůstající amplitudy složek, např. 3. harmonické. Toto dýchání je způsobeno střídáním směru kmitání strun v důsledku jejich vzájemného ovlivňování v případě dvojitých či trojitých sestav - chórů. [6] Vysvětlení tohoto jevu je zčásti obsaženo v kapitole a všimnout si jej můžeme na většině obrázcích, kde je zobrazen časový průběh amplitudy tónu či jeho harmonických složek. Jedná o velmi zajímavý jev, kdy se hraný tón po absolvování rychlého útlumu ustálí na útlumu nižším a začne tzv. dýchat. Tímto je myšlen efekt, kdy se tón zeslabí až vytratí, subjektivně utichá, a v určité periodě se zase rozeznívá. Pro porovnání se můžeme podívat na další přiložený obrázek 6.10, kde je vlevo tón Es 1 zastoupen pouze jednou opředenou strunou a tón Ges 1, který má již nataženy 2 struny. U prvního zobrazení žádný efekt dýchání nepozorujeme. To potvrzuje fakt, že dýchání tónu je způsobeno přítomností kmitání v různých směrech, které se v průběhu tónu mění v důsledku vzájemného ovlivňování v případě dvojitých či trojitých sestav sestrun - chórů. [6] 6.6 Srovnání časového vývoje harmonických složek a spektra měřených klavírů Na obrázcích 6.13 a 6.14 můžeme vidět časový vývoj amplitudy prvních pěti harmonických složek u tónů 4 oktáv A, a, a 1 a a 2, což se dá považovat za nejvyužívanější 58

60 Obr. 6.10: Amplitudové obálky 1. harmonických tónů Es 1 a Ges 1 klavíru SK EX rozsah klavíru. Na obrázcích a poté vidíme zastoupení harmonických složek ve spektru celé delky tónů měřených nástrojů Nejnižší poloha - subkontra A 2 Jako první si všimněme chování základní harmonické složky a začněme úplně u nejnižších tónů klavírního rozsahu. Jak můžeme na obrázku 6.11 vidět, první harmonická je velmi výrazně potlačená u všech klavírů. Nejsilněji se potlačení děje v subkontra a kontra oktávě, kde fundament prakticky není přítomen a až ve vyšších oktávách se začíná pomalu prosazovat. Naplno se jako nejsilnější složka začne jevit až prakticky v jednočárkované oktávě. Přestože absence základní harmonické nemá výrazný vliv na schopnost rozlišit výšku tónu (díky součtovým a rozdílovým tónům), nezanedbatelně ovlivňuje zvukovou barvu tím, že se tón zdá poněkud úzký. Také má negativní vliv na nosnost signálu. V subkontra i kontra oktávě má nejvíce potlačenou základní složku jednoznačně klavír Petrof. U Steinwaye se prudce zvyšuje podíl fundamentu s rostoucí intenziou úderu kladívka, zatímco tón klavíru Kawai je více stabilní. Velmi dobře lze rozdíl zaznamenat u tónů ve forte, kdy Steinway i Kawai mají plnější tón, zatímco Petrof působí více úzce, méně výrazně. Ve vyšších polohách se však situace mění. V subkontra oktávě mají všechny klavíry zčásti potlačenou i 2. harmonickou složku. 2. harmonická, jakožto interval oktávy, barvě nijak nepomáhá, dodává však tónu plnost. Jak bylo již řečeno dříve, efekt potlačení nízkofrekvenčních složek je způsoben rozměrovou nedostatečností nástroje. Nejnižší složky se tedy nemohou ideálně rozeznět a jsou silně potlačovány. Díky tomu se u nejnižších tónů klavíru nejsilněji projevuje 3. a 4. harmonická složka. Je třeba mít ale na zřeteli, že stále funguje onen 59

61 Obr. 6.11: Vývoj amplitudy prvních 5ti harmonických složek tónu A 2 posilovací mechanismus, kdy vzniká rozdílem (4-3=1) subjektivně slyšitelná 1. harmonická [6]. Třetí harmonická jako inteval kvinty barvu silně zabarvuje a činí tón více dutějším. Například u tónů A 2 můžeme tuto složku zaznamenat jako stálou, pomalu utichající, podkladovou, na rozdíl od 4. harmonické. Ta činí tón velmi pronikavým. Při zaznění tónu je nejsilnější a pak vcelku rychle utichá a do pár sekund se prolne se zmíněnou 3. harmonickou. Tento fakt je dobře slyšitelný například v dynamice mf klavíru Petrof (ton A 2 ). Poslední jev, který v této nízké poloze stojí za zmínku, je útlum dýchání tónů. Z obrázku 6.11 můžeme usoudit, že u nejnižších poloh dýchání podle předpokladu neprobíhá, avšak jednotlivé klavíry mají velmi různou strmnost fáze decay. Velmi vysoký útlum má v této poloze klavír Steinway, jeho 3. a 4. harmonická se silně utlumí už kolem 5 sekund. Klavír tak daleko rychleji ztrácí široký zvuk a rychle barevně upadá. Nejnižší a nejdelší útlum má klavír Petrof, který ještě po deseti sekundách zní oproti ostatním klavírům silně Kontra oktáva (tón A 1 ) Je důležité zmínit, že na barvu tónů má velký vliv intenzita úderu a v nízkých polohách to platí především. Ačkoliv v dynamice piano nejsou v nízkých polohách v jednotlivých barvách klavírů až tak výrazné rozdíly, v dynamice f orte ano. Klavír ve f orte nabírá ostrého zvuku, generují se silněji vyšší harmonické v celé intevalové i formantové části spektra a klavíry nabývají pocitu ostřejšího nebo až dokonce kovového tónu. Na obrázku 6.12 můžeme například vidět, že se u klavíru Steinway ve forte silně posiluje 7. a 9. harmonická složka (interval sekund, viz 3.3), což dodává tónu větší jas a bohatost. [11]. 8. harmonická a její násobky jsou stále potlačeny vlivem úderu kladívka. Z obrázku 6.12 můžeme také vyčíst informace o dýchání tónů, které probíhá u 60

62 všech klavírů, rozdíly jsou však v periodě dýchání a zastoupení jednotlivými harmonickými. Z obrázku 6.5 můžeme vyčíst u tónu A 1, že co se týká celkové amplitudy signálu, nejdelší periodu a nejplynuleji dýchá Shigeru - Kawai. Steinway dýchá s daleko menší periodou než SK a méně plynuleji právě díky povaze dýchání jeho jednotlivých harmonických složek, které samy dýchají silně s vyšší periodou, jak je patrné z obrázku V prvních 15 sekundách je jeho dýchání velmi výrazné a poté se tón více ustálí. Pro klavírní hru v této poloze je mnohem důležitější barva tónu blíže počátku tónu, protože málokdy se nechává tón doznívat úplně (přes 30 sukund). Subjektivní vjem dýchání tónu neregistrujeme jen změnou hlasitosti tónu, ale hlavně barevnými změnami, které vznikají v průběhu tónu. Tento sluchový efekt lze dobře demonstrovat právě na nahraném tónu A 1 ve forte klavíru Steinway. 1. a 2. harmonické jsou potlačené, 3. a 4. dýchají s velmi velkou periodou a od 5. harmonické se perioda dýchání velmi snižuje na délku okolo 2 sekund. Nejvýraznější zvukově slyšitelný efekt dýchání generuje v tomto případě právě 10. a 11. harmonická, které v pravidelných intervalech zvukově vystupují z tónu. Jeho dobrá rozeznatelnost je dána vysokou amplitudou tohoto signálu v poměru k nižším harmonickým, jako jsou 6. až 9., které jsou zde výrazně slabší (obr. 6.12) Velká oktáva (tón A ) Opět můžeme na obrázku 6.13 vidět, že nejstrmější počáteční útlum referenčního tónu z velké oktávy (A) má klavír Steinway, nejpomalejší má naopak klavír SK. Klavír Petrof má první fázi decay velmi plynulou. Z měření času útlumu o -40dB z předchozí kapitoly vyplývá, že nejdelší délku doznění ma klavír Petrof. Jev dýchání je pozorovatelný u všech značek. Ve velké oktávě mají tóny A klavíru SK a Petrof značně podobný témbr, přesto se tón Petrof zdá stále poněkud užší. Další rozdíly lze v barvě najít, zaměříme-li se především na její změny v čase v průběhu doznívání dónu. Naopak Steinway se s vyššími polohami začíná již znatelně barevně odlišovat. Vjem úzkého tónu je, jak bylo již zmíněno, způsoben obsencí základního tónu, který je u klavíru Petrof a Steinway stále ještě potlačován více, než u klavíru SK. Pocít úzkého tónu je tedy nejsilnější jednoznačně u klavíru Steinway, který, přestože má jako Petrof stejně malý podíl fundamentu, má navíc ještě stále potlačnou i 2. harmonickou, která společně s fundamentem velmi rychle po zaznění tónu upadá. U klavíru KS v tónu A zahraném v mf můžeme okolo 5. sekundy slyšet silný nárůst 3. harmonické složky (slyšitelná kvinta o oktávu výš). Podobný, avšak méně výrazný jev se nachází i u klavíru Petrof. Obecně jsou v této poloze jsou tóny již více průzračné a jednotlivé shorky jsou od sebe již lépe sluchově rozeznatelné. 61

63 Může to mít spojitost jak se samotnou stavbou spektra, tak s psychoakustickými aspekty schopnosti vnímání blízkých frekvencí (kritická pásma, maskování), protože se začínají jednotlivé harmonické složky od sebe již více frekvenčně vzdalovat. Ještě je třeba zmínit silné zastoupení především 6. harmonické složky (také však 5. a 7. o trochu méně) ve spektru všech klavírů, především KS a Petrof. Tyto složky dávají tónům jas a bohatost [11]. Všimněme si také silného poměru sudých harmonických složek ve spektru klavíru Steinway. V této části rozsahu má Steinway totiž poněkud zastřenější tón Malá oktáva (tón a ) V malé oktávě se zvuk jednotlivých klavírů ještě plněji profiluje. Steinway má stále nejstrmější křivku útlumu a Petrof má počáteční útlum, i celkovou délku doznívání nejdelší. Velmi silně dýchá Petrof i SK, zatímco Steinway křivku poklesu značně rovnější. 2. harmonická je stále u klavírů silnější, než první, avšak u klavíru Steinway se již situace začíná obracet a jeho fundament je již silnější, než harmonická složka o oktávu výše. Mezitím, co klavír SK má díky silnému 2. shorku a slabému 3. a 4. shorku dosti nepronikavý a kulatý zvuk, klavíry Petrof a Steinway jsou barevně daleko bohatější, zvukově ostřejší a jasnější a to nejen díky silnému podílu 3. a 4. harmonické složky, ale také díky silnějšímu podílu harmonických složek ve vyšší, formantové části spektra. Klavír Steinway má ze všech klavírů v této poloze zvuk neostřejší a nejjasnější, díky nejbohatšímu harmonickému spektru a silným zastoupení lichými harmonickými (viz. obrázek 6.15 třetí sloupec) Jednočárkovaná oktáva (tón a 1 ) Je velmi zajímavé pozorovat, jak se výrazně mění parametry tónů u jednotlivých nástrojů napříč celým rozsahem. Jestliže Steinway u tónu a měl velmi malý výskyt dýchání, nyní dýchá daleko více. Nejsilnější dýchání má však v tomto rozsahu klavír SK. U klavíru Petrof probíhá dýchání paradoxně pro změnu velmi málo a útlum má tedy velmi plynulý. Ze vzhledu spektra lze pozorovat, že se již tolik neuplatňuje vliv rezonátoru na spektrum - všechny klavíry mají již fundament jako nejsilnější složku, vzhled celého spektra je již vyrovnanější a pokles amplitud harmonických složek je plynulejší. Díky tomu začínají být tóny ještě měkčí a libozvučnější. Na obrázku 6.15 můžeme pozorovat u klavíru SK silnou absenci harmonických složek od pořadového čísla 9 a dále. Tón působí tak velmi nejasně, měkce a trošku tupě. Klavír Steinway zde působí zvukově bohatě a s velmi silnou základní harmonickou působí široce. Na 62

64 druhou stranu díky silným podílům 2. a 4. harm. složky je velmi pronikavý a působí až zvonivě Dvoučárkovaná oktáva (tón a 2 ) Z obrázku 6.5 z předchozí kapitoly si můžeme všimnout, že u tónu a 2 má klavír Steinway překvapivě malou míru útlumu, kdy se mezi 3. a 6. sekundou drží prakticky na stejné hladině, zatímco úrovně tónů ostatních křídel stále klesá. Stéjného jevu si můžeme všimnout i na obr. 6.14, na kterém pozorujeme silné rozdíly v dýchání tónů. Hlavní tónová složky klavíru Petrof již vůbec nedýchá, zatímco stejné složky u zbylých klavírů ano. U klavíru Steinway už by se nemuselo mluvit o dýchání, ale dokonce o pomalém efektu zvaném tremolo. Steinway a Petrof mají zde velmi podobnou skladbu spektra až na 2. harmonickou (a zčásti i 4.), kterou má Steinway silnější. Proto je jeho zvuk také plnější. Celková hlasitost zahraných tónu se s rostoucí výškou tónů snižuje. Struny mají velký útlum, malé rezonanční schopnosti a nejsou schopny energii excitátoru dostatečně využít Tří a čtyřčárkovaná oktáva (tón a 3, tón a 4 ) S posouváním se v rozsahu nástroje směrem nahoru se snižuje počet harmonickcých složek podílejících se na zvuku. Šířka spektra se tedy velmi snižuje. Délka doznění tónů je velmi nízká, tón se útlumí během pár sekund. U tónu a 3 se na výsledném zvuku aktivně podílí maximálně okolo 6. harmonických složek. Základní frekvence tónu a 3 je přibližně 1760 Hz a 6. harmonická se pohybuje okolo 10 khz. Nejsilnější jsou zde 1., 2. a 4. složka tónu. Tón je jasný a pronikavý. Je třeba opět zdůraznit velké rozdíly v pronikavosti tónů v různých dynamikách. Při zvýšení dynamiky se silně posiluje právě 2. harmonická složka Krátké shrnutí Z předchozích části lze vyvodit, že zvuková barva se u jednotlivých klavírů různě mění v závislosti na dynamice, poloze v rozsahu nástroje. Z tohoto důvodu bych nechtěl příliš zobecňovat a jasně stanovovat, který klavír má přesně jakou barvu, už jen díky subjektivnosti vlastního popisu, jak bylo dříve uvedeno v kap Domnívám se, že některé poznatky však zobecnit lze. Co se týká dynamického průběhu tónů, tak efekt dýchání tónu je nejvýraznější a nejstálejší u klavíru SK, mezitím co u jiných klavírů je tato vlastnost více proměnlivá. Stejně tak dobu doznívání tónů má nejdelší klavír SK, zatímco klavír Steinway obecně nejkratší. Prvotní decay má nejstrmější Steinway, na rozdíl od klavírů SK i Petrof, které utichají daleko pomaleji. 63

65 Z pohledu zvukové barvy má velmi zjednodušeně nejpronikavější, briskní až zvonivou barvu klavír Steinway. Petrof zní velmi vyrovnaně, v nižších polohách více úzce, ale co se týče harmonických složek je bohatý a barevný. Klavír SK je oproti ostatním více měkký, kulatý a méně pronikavý. 64

66 65 Obr. 6.12: Zobrazení harmonických složek tónu A 1 v dynamice piano a forte

67 6.7 Výsledky měření neharmonicity Neharmonicita byla vypočítávána pro všechny klavíry ze všech tónů A v rozsahu klavíru v dynamice mf. U nenormalizovaných vzorků se pomocí metody nalezení kmitočtů harmonických složek (FFT) nalezly reálné kmitočty vyšších harmonických složek, které se poté porovnávaly s teoretickými harmonickými násobky základní frekvence. V případě nejnižších tónů, kdy je základní harmonická složka potlačena a tím není kmitočet přesně určen, byla použita druhá harmonická složka pro výpočet harmonického spektra. Výsledky měření jsou přehledně v grafu Můžeme vidět, že neharmonicita s rostoucím pořadovým číslem harmonické složky roste. Dále následuje tabulka se všemi výsledky měření 6.18, ve které můžeme zaznamenat, že u nižších tónů je neharmonicita harmonických složek nižší, než u tónů vyšších. S rostoucí výškou tónu se tedy zvyšuje i neharmonicita jeho shorků. Výsledky jsou pro jednotlivé klavíry velmi podobné. Nejvyšší neharmonicitu má však klavír Steinway. Podrobněji je jev neharmonicitiy vysvětlen v kapitole Proměnná v tabulce n 6.18 znamená procentuální rozdíl frekvence reálné harmonické složky a teoretické hodnoty (celočíselnému násobku zákl. frekvence). Označení centy znamená vzdálenost mezi těmito dvěma frekvencemi, přepočítaná na tzv. centy. Jedná se o bezrozměrnou jednotku, která se používá v hudbě pro měření velikostí intervalů. Jeden cent je definován jako 1/100 temperovaného půltónu. 66

68 Obr. 6.13: Zobrazení časového průběhu prvních 5 harmonických složek měřených klavírů u tónů A a a 67

69 Obr. 6.14: Zobrazení časového průběhu prvních 5 harmonických složek měřených klavírů u tónů a 1 a a 2 68

70 Obr. 6.15: Harmonické spektrum měřených klavírů u tónů A 1, A, a a a 1 69

71 Obr. 6.16: Harmonické spektrum měřených klavírů u tónů a2, a 3 a a 4 70

72 Obr. 6.17: Graf výsledků měření neharmonicity spektra klavírů u tónů A 2, A a a 2 71

73 72 Obr. 6.18: Tabulka výsledků měření neharmonicity spektra klavírů