DIPLOMOVÁ PRÁCE. Bc. Michal Řehůřek. Experimenty z kmitání a vlnění pro Praktikum školních pokusů I. Katedra didaktiky fyziky

Transkript

1 DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Michal Řehůřek Experimenty z kmitání a vlnění pro Praktikum školních pokusů I Katedra didaktiky fyziky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Dana Mandíková, CSc. Studijní program: Fyzika (N1701) Studijní obor: Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Praha 2017

2 Rád bych poděkoval vedoucí mé diplomové práce RNDr. Daně Mandíkové, CSc. za mnoho přínosných námětů, konzultací, i za možnost testování konkrétních úloh ve výuce. Dále bych chtěl poděkovat mému konzultantovi doc. RNDr. Zdeňku Drozdovi, Ph.D. za podnětné náměty a zpětnou vazbu při testování úloh, a RNDr. Petru Kácovskému, Ph.D. za pomoc s vkládáním úloh na webové stránky Sbírky fyzikálních pokusů. V neposlední řadě děkuji Filipu Kozelkovi a Ing. Michalu Petrilakovi za odbornou pomoc při 3D tisku pomůcky k jedné z úloh. Největší dík patří mé rodině za celoživotní pomoc a podporu při studiu i za nekonečnou trpělivost, kterou se mnou měli při sepisování mé diplomové práce. Dále děkuji svým přátelům, kteří mi byli oporou.

3 Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne...

4 Název práce: Experimenty z kmitání a vlnění pro Praktikum školních pokusů I Autor: Bc. Michal Řehůřek Katedra / Ústav: Katedra didaktiky fyziky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Dana Mandíková, CSc., Katedra didaktiky fyziky Abstrakt: V této diplomové práci jsme se soustředili zejména na tvorbu demonstračních experimentů a návodů na jejich provedení k tématu mechanické kmitání, vlnění a akustika. Zařazeny jsou i další typy úloh a aktivity, jejichž součástí je experiment. Východiskem při tvorbě experimentů a úloh byla rešerše tématu v učebnicích pro základní a střední školy, která je shrnuta v úvodu práce. Značnou část úloh jsme testovali v rámci výuky a získané podněty zakomponovali do jejich výsledné podoby. Podstatnou součástí práce jsou přílohy, především videa, dokumentující průběh experimentů, a pracovní listy pro žáky. Úlohy, včetně návodů, aktualizují a doplňují předmět Praktikum školních pokusů I, který je součástí vzdělávání budoucích učitelů fyziky na MFF UK. Měly by tedy sloužit jako inspirace budoucích i stávajících učitelů fyziky. Úlohy jsou prezentovány také v online Sbírce fyzikálních pokusů (fyzikalnipokusy.cz). Klíčová slova: Školní experimenty, Kmitání, Vlnění, Praktikum školních pokusů

5 Title: Oscillation and wave experiments for Practical Course in School Experiments I Author: Bc. Michal Řehůřek Department: Department of Physics Education Supervisor: RNDr. Dana Mandíková, CSc., Department of Physics Education Abstract: In our thesis we focused on demonstrational-experiment-projections and instructions for mechanical oscillations, waves and acoustics. Nevertheless, we did not marginalize other types of tasks linked to experiments. As a starting point of our thesis we used a search of our topic carried out on textbooks for elementary and high schools. This search forms a part of introduction of our thesis. We carried out a considerable part of presented experiments personally during lessons with our students and distilled new experience into the final guidelines of presented experiments. Attachment plays a significant part of the thesis, above all video records of experiments and woorksheets for students. Experiments, with instructions included, update and supplement the subject Practical Course in School Experiments I, which forms part of the compulsory professional preparation of physics teachers at MFF UK. The experiments might therefore serve as an inspiration both for current and future physics teachers. They are synoptically presented in an online Collection of Physics Experiments (fyzikalnipokusy.cz/en). Keywords: School experiments; Oscillation; Wave; Practical Course in School Experiments

6 Obsah 1. Úvod Vymezení tématu v Rámcových vzdělávacích programech Téma kmitů, vln a zvuku v učebnicích Učebnice pro střední školy Učebnice pro základní školy Úlohy: Kmitavý pohyb Měření periodických dějů pomocí vrtačky Měření frekvence otáčení vrtačky při šroubování Měření frekvence otáčení vrtačky na prázdno Převod pohybu po kružnici na kmitavý pohyb Kyvadlo: Závislost periody kyvu na délce závěsu Kritické tlumení Úlohy: Mechanické vlnění Struna a zvuk Experimenty s velkou pružinou Kyvadla stejné délky: Nevlnění Vlna z lidí: Podélné a příčné vlnění Měření parametrů příčných a podélných vln Rozjezd kolony aut Fáze vlny Proužky moaré Rázy Interference kruhových vln Pohyb proužků vůči sobě Stojatá zvuková vlna a rázy vlnění Stojaté vlnění Nadstavbová úloha: Vlnová funkce mikročástice... 52

7 3.11. Vlna z lidí: Lom vlny Úlohy: Akustika Neprostupnost zvuku vakuem Rychlost zvuku ve vzduchu a butanu Vědecká metoda, zahřívání zvonící tyče Problémová úloha 1: Vlnová délka Problémová úloha 2: Výsledky nejsou reálné, nová hypotéza Výroba hudebního nástroje Hudební nástroj z PVC trubek Hudební nástroj z ocelových tyčí Barva zvuku Testování úloh První testování Druhé testování Třetí a čtvrté testování Závěr Zdroje Seznam příloh Seznam obrázků Obr. č. 1: Obálky použitých učebnic Obr. č. 2: Pomůcky pro tvorbu jednoduchého závitu Obr. č. 3: Uchycení smirkového papíru ve vrtačce Obr. č. 4: Jedna sekunda záznamu rotací vrtačky Obr. č. 5: Souvislost pohybu po kružnici a kmitů Obr. č. 6: Zapojení reproduktoru k větráku Obr. č. 7: Konstrukce pomůcky s kyvadly Obr. č. 8: Tlumené kmity zkumavky Obr. č. 9: Příčný a podélný pulz

8 Obr. č. 10: Odraz vlny na pevném konci Obr. č. 11: Demonstrace podélného vlnění Obr. č. 12: Příčná vlna šířící se přirozenou rychlostí směrem vlevo Obr. č. 13: Zpracování úlohy 3.5 žáky při testovací hodině Obr. č. 14: Model dvou kolon aut s různými délkami provázků reprezentujících různou reakční dobu řidičů Obr. č. 15: Původní pomůcka s magnety kutálejícími se v hliníkové kolejnici Obr. č. 16: Vizualizace krytu na magnet Obr. č. 17: Celý magnetický vlnostroj Obr. č. 18: Fáze Měsíce Obr. č. 19: Fáze dřepu sportovce Adama Obr. č. 20: Vlna v řadě dřepujících sportovců Obr. č. 21: Překryv rovnoběžných proužků Obr. č. 22: Interference dvou zdrojů kruhových vln demonstrovaná kruhovými proužky moaré Obr. č. 23: Znázornění interference ze dvou zdrojů kruhových vln pomocí proužků moaré Obr. č. 24: Uspořádání experimentu Obr. č. 25: Kmitny a uzly na liště s pískem Obr. č. 26: Kvantově mechanický model orbitalů atomu vodíku Obr. č. 27: Přibližné znázornění vlny pravděpodobnosti výskytu jednoho samotného zrnka písku na liště Obr. č. 28: Lom vlny znázorněný geometrickou optikou Obr. č. 29: Mobilní telefon umístěný v ruční vývěvě Obr. č. 30: Uspořádání experimentu s laboratorní vývěvou Obr. č. 31: Módy stojaté vlny v hranolu s otevřenými konci Obr. č. 32: Módy stojatých vln v otevřené trubce a jednostranně uzavřené trubce Obr. č. 33: Naměřené frekvence trubky Obr. č. 34: Popis ovládání programu Vizual Analyzer

9 Obr. č. 35: Hudební nástroj z trubek vyrobený skupinou žáků během testovací hodiny Obr. č. 36: Ukázka kreativního zpracování hudebního nástroje z PVC trubek Obr. č. 37: Hudební nástroj z ocelových tyčí Obr. č. 38: Kalibrační měření frekvence tyče Obr. č. 39: Módy stojaté vlny na struně Obr. č. 40: Spuštění frekvenční analýzy v Audacity Obr. č. 41: Frekvenční analýza v Audacity Seznam grafů Graf č. 1: Srovnání slabého a kritického tlumení Graf č. 2: Vzorový výsledek grafu podélného vlnění Graf č. 3: Časový diagram složeného kmitání s blízkou frekvencí složek Graf č. 4: Závislost hlasitosti Lp na tlaku vzduchu p uvnitř vývěvy pro různé frekvence tónu Seznam tabulek Tab. č. 1: Seznam analyzovaných učebnic a jejich označení Tab. č. 2: Zastoupení témat v učebnicích Tab. č. 3: Úlohy vhodné pro výuku na ZŠ Tab. č. 4: Dopočtené délky závěsů Tab. č. 5: Porovnání frekvencí stojaté vlny v téže nádobě se vzduchem a butanem.. 61 Tab. č. 6: Výpočet délky trubek z frekvence a kontrolní měření metrem Tab. č. 7: Výpočet délky trubek Tab. č. 8: Výpočet délek tyčí z frekvence a kontrolní měření posuvným měřidlem Tab. č. 9: Výpočet délky tyčí Tab. č. 10: Zastoupení prvních 11 módů při hře tónu d dur na housle

10 1. Úvod Cílem práce je aktualizovat a doplnit úlohy k tématu Mechanické kmitání a vlnění ve stávajícím předmětu Praktikum školních pokusů I, vyučovaném na MFF UK v rámci magisterského studijního programu. Při přípravě úloh vycházíme z učiva zpracovaného v učebnicích pro základní a střední školy, jako doplnění k těmto knihám se pokusíme navrhnout sadu vhodných experimentů. Skripta Praktika školních pokusů I použijeme jako kontrolu, abychom nepsaly návody, které již existují (1). Prioritou pro nás je vytvořit demonstrační experimenty, kromě nich zařadíme i náměty na další úlohy a aktivity s experimenty: Laboratorní úlohu, v níž žáci zkoumají či měří nějakou závislost Praktickou úlohu, v níž žáci vytvářejí nějaký předmět Problémovou úlohu, v níž se experiment neslučuje se zkušenostmi žáků Pohybovou aktivitu, v níž se žáci fyzicky stanou součástí experimentu Skupinovou práci Pokusíme se zachovávat jednotnou formu úloh v celé práci, podobnou již vzniklým úlohám k jiným tématům fyziky v rámci Praktik školních pokusů. Úlohy budou společně s dalšími zveřejněny na webových stránkách. Vzhledem k rozmanitosti typů úloh může být u některých forma přizpůsobena. Úlohy jsou určeny pro použití ve výuce, proto část úloh bude testována ve výuce studentů střední školy, u jiných se pokusíme vyjít z námětů, které byly v jisté formě vyzkoušené autorem v předešlé praxi. V rámci práce budeme využívat také volně dostupný software, u některých použitých programů stručně zmiňujeme i návod ke vhodnému použití. 1

11 1.1. Vymezení tématu v Rámcových vzdělávacích programech Téma mechanického kmitání, vlnění a akustiky je v rámcových vzdělávacích programech (RVP) obsaženo velmi stručně, proto si dovolíme pojmout tuto kapitolu jako citaci celé pasáže: Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Okruh: Pohyb těles a jejich vzájemné působení Učivo: Mechanické kmitání a vlnění kmitání mechanického oscilátoru, jeho perioda a frekvence; postupné vlnění, stojaté vlnění, vlnová délka a rychlost vlnění; zvuk, jeho hlasitost a intenzita. Očekávané výstupy: Žák objasní procesy vzniku, šíření, odrazu a interference mechanického vlnění. (2) Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Okruh: Zvukové děje Učivo: Vlastnosti zvuku látkové prostředí jako podmínka vzniku šíření zvuku, rychlost šíření zvuku v různých prostředích; odraz zvuku na překážce, ozvěna; pohlcování zvuku; výška zvukového tónu. Očekávané výstupy: Žák rozpozná ve svém okolí zdroje zvuku a kvalitativně analyzuje příhodnost daného prostředí pro šíření zvuku. Žák posoudí možnosti zmenšování vlivu nadměrného hluku na životní prostředí. (3) 2

12 1.2. Téma kmitů, vln a zvuku v učebnicích Vybrali jsme 3 učebnice fyziky pro SŠ a 6 učebnic pro ZŠ (Tab. 1), abychom zhodnotili zastoupení výše uvedeného tématu a mohli k výuce vedené podle těchto učebnic doporučit praktické úlohy. Shrnutí rešerše je uvedeno v tabulce 2. Zde najdeme učivo rozdělené do 3 hlavních témat: Kmitavý pohyb, Mechanické vlnění a Akustika. Každá učebnice je popsána v jednom sloupci, kde je barevně znázorněno, zda se daným tématem zabývá (zelená), zda se jím zabývá pouze okrajově (žlutá) nebo se jím vůbec nezabývá (červená). Pomocí tabulky můžeme vybrat praktické úlohy vhodně doplňující výuku vedenou podle určité učebnice. Jednotícími znaky učebnic pro žáky základních škol jsou jejich názornost, přehlednost a čtivost. Pokud střední škola nehodlá věnovat výuce mechanických kmitů a vln širší prostor, než požaduje RVP, byly by některé z učebnic určených pro žáky základních škol vhodné i pro výuku středoškolských studentů. Výhodou některých učebnic pro střední školu je matematické odvozování, a množství témat. Nevýhodou je příliš strohé předkládání látky, které ubírá srozumitelnosti i atraktivnosti učiva. Seznam učebnic v tabulce 1 doplňujeme jejich obálkami na obrázku 1 a obsahem sledovaných témat v jednotlivých učebnicích v tabulce 2. Učebnice i jejich obálky jsou označeny písmeny A až I. Při jakýchkoli zmínkách o učebnicích budeme nadále používat tato přidělená označení. 3

13 Značka A B C D E F G H I Název Autor, nakladatelství (zdroj) Fyzika pro gymnázia. Mechanické kmitání a vlnění. Lepil, Oldřich, Prometheus (4) Fyzika pro střední školy II. Lepil, Oldřich, Prometheus (5) Fyzika pro netechnické obory SOŠ a SOU. Štoll, Ivan, Prometheus (6) Fyzika pro 9. ročník základní školy. Jáchim, František a Tesař, Jiří, SPN pedagogické nakladatelství (7) Fyzika 6: pro základní školy a víceletá gymnázia. Fyzika 9: pro základní školy a víceletá gymnázia. Macháček, Martin, Prometheus (8) (9) Fyzika pro 8. ročník základní školy a primu víceletého gymnázia. Rauner, Karel a kolektiv. Fraus (10) Fyzika kolem nás: fyzika I pro základní a občanskou školu. Fyzika kolem nás: fyzika 4 pro základní a občanskou školu. Rojko, Milan a kolektiv. Scientia (11) (12) Fyzika pro 8. ročník základní školy. Kolářová, Růžena a Bohuněk, Jiří, Prometheus (13) Fyzika I.: učebnice pro 6. ročník Fyzika IV: pro školy se základním vzděláváním. Míček, Arnošt, Rosecká Zdena a Kroupa, Roman, Tvořivá škola (14) (15) Tab. č. 1: Seznam analyzovaných učebnic a jejich označení. 4

14 Obr. č. 1: Obálky použitých učebnic. 5

15 Tab. č. 2: Zastoupení témat v učebnicích. Popis sloupců: 0 = téma se v učebnici nevyskytuje, 1 = téma je obsaženo okrajově, 2 = téma je v učebnici více rozvedeno. Pro větší přehlednost jsou hodnoty zvýrazněny barevnou škálou. V posledním sloupci jsou odkazy na úlohy z této práce, související s daným tématem. 6

16 Učebnice pro střední školy Postavení témat, kterými se zabývá tato diplomová práce, je ve středoškolských učebnicích různé. Učebnice C se k tématu kmitání staví jako k úzkému rozšíření mechaniky, mechanické vlnění je zase úvodní kapitolou pro optiku. K výuce vedené podle této učebnice doporučujeme zařazení motivačních experimentů, případně experimentů použitelných v optice (např. 3.8 Proužky moaré nebo 3.11 Vlna z lidí: lom vlny). Učebnice B předkládá učivo výrazně podrobněji. Téma Kmitů a vln je probráno před tématy Elektřina a Optika, což značí záměr využít analogie mechanických a elektromagnetických vln. Obě středoškolské učebnice obsahují více témat, než učebnice pro základní školy, učivo je však předkládáno stručněji. V učebnicích pro základní školy je více prostoru pro objevování a pochopení učiva, proto bychom je při výuce těchto témat preferovali jako výchozí materiál i pro výuku na střední škole s vědomím, že je potřeba některá témata doplnit z jiného zdroje. Takto by byly nejlépe využitelné učebnice D, F a G. Nejrozsáhleji jsou všechna témata popsána v učebnicích řady Fyzika pro gymnázia, která jim věnuje celou knihu A. Z tohoto důvodu jsme se rozhodli použít strukturu této knihy pro pořadí našich úloh. V rozdělení tématu Mechanické kmitání, vlnění a akustika na jednotlivé kapitoly existuje v učebnicích výrazná nejednotnost. Někde je téma rozděleno přirozeně na 3 podtémata, jinde jsou různě spojována Učebnice pro základní školy Učebnice H a I zabývají pouze tématem zvuk, zatímco učebnice D a F přejímají středoškolskou strukturu od kmitů, přes vlny po zvuk. Zbývající učebnice E a G probírají úvod zvuku v 6. třídě a potom v 9. třídě probírají celé téma hlouběji podle středoškolské struktury. Z námi vybraných učebnic nás nejvíce oslovila učebnice E. Navozuje otázky a podává náměty k experimentování. Výklad střídá s popularizačními články tzv. Dokumenty a na konci každé části obsahuje kapitolu rozšiřujícího učiva pro zvídavé žáky. Zatímco ostatní učebnice jsou koncipované především jako podpora výuky, tato učebnice, je vhodná i pro samostudium. Čtenáře vhodně motivuje k dalšímu čtení. Učebnice F vyniká po stránce rozsahové i grafickým zpracováním. 7

17 Další učebnice G zaujala strukturou, každé téma je uceleně rozvrženo na jediné dvojstránce. U této učebnice nám bylo blízké i propojení experimentů s pomůckami v praktiku na MFF, kde pravděpodobně vznikala. Pro učitele základních škol přikládáme tabulku s úlohami vhodnými pro užití na ZŠ (Tab. 3): Název úlohy Typ úlohy 2.1 Měření periodických dějů pomocí vrtačky Laboratorní úloha 4.4 Výroba hudebního nástroje Praktická úloha 2.2 Převod pohybu po kružnici na kmitavý pohyb Motivační úloha 3.2 Experimenty s velkou pružinou Demonstrační experiment 3.5 Měření parametrů příčných a podélných vln Skupinová práce 4.1 Neprostupnost zvuku vakuem Demonstrační experiment 2.3 Kyvadlo: Závislost periody kyvu na délce závěsu Laboratorní úloha Tab. č. 3: Úlohy vhodné pro výuku na ZŠ. 8

18 2. Úlohy: Kmitavý pohyb 2.1. Měření periodických dějů pomocí vrtačky Laboratorní úloha Cíle experimentu Žák využívá periodicity při měření frekvence a periody velmi rychlých dějů Žák manipuluje s vrtačkou Zadání 1. Změřte, za jak dlouho vykoná vrtačka jednu otáčku, když zašroubováváte šroub. Určete frekvenci otáčení vrtačky. 2. Změřte, jak dlouho trvá vrtačce jediná otáčka, když se točí na maximum. Určete maximální frekvenci otáčení vrtačky. Porovnejte s údajem od výrobce. Teorie Jediná otáčka trvá vrtačce zlomek sekundy. Není v lidských silách zaznamenat na stopkách tak krátký čas. Než se však vrtačka otočí třeba desetkrát nebo stokrát, uplyne čas měřitelný. Výsledek měření bude velice přesný, protože se jedná o průměr celé desítky (případně stovky) měření. Při výpočtu frekvence počítáme počet kusů za čas. Napočítat do desíti nebo do sta je velmi jednoduché, pokud na to máme dost času. Musíme proto měření koncipovat tak, aby při každé otáčce přibyl právě jeden díl něčeho, co můžeme spočítat na konci experimentu. Žáci by si měli nejprve zkusit změřit jednu otáčku bez nápovědy, aby pochopili, jak obtížný je to úkol. Následně společně přijdeme na to, jak změřit dobu trvání jedné otáčky při měření více otáček. První pokusy slouží k tomu, aby se žáci seznámili s ovládáním vrtačky a naučili se zašroubovat šroub. Pomůcky Vrtačka nebo akumulátorový šroubovák, upevněný závit a delší šroub (nebo delší vrut s dírami předvrtanými do dřeva), bit na šroubování, stopky, smirkový papír, deska, PC s mikrofonem a programem na zpracování hudby (např. Audacity 1 (16)) 1 Odkaz ke stažení naleznete ve zdrojích 9

19 Měření frekvence otáčení vrtačky při šroubování Postup V první úloze budeme šroubovat šroub do závitu (Obr. 2). Změříme čas, za jak dlouho trvá zašroubovat šroub celý, a spočítáme počet závitů. Při každé otáčce vrtačky se šroub pootočí právě o jeden závit. Změřený čas tedy vydělíme počtem závitů. Pro výpočet frekvence v první úloze je nezbytná znalost trojčlenky. Obr. č. 2: Pomůcky pro tvorbu jednoduchého závitu. Prkno je vhodné volit delší, aby jej druhý žák ve skupině mohl bezpečně držet zapřené například o stěnu. Při měření je nutný dozor učitele. Vzorový výsledek Celkový čas šroubování t = Celkový počet zašroubovaných závitů P = Čas jedné otáčky T = t P = Frekvence (trojčlenkou) f = 1 T = 10

20 Měření frekvence otáčení vrtačky na prázdno Postup V druhé úloze budeme měřit děj daleko rychlejší, který by neměl být zpomalován vrtáním. Použijeme smirkový papír upevněný do vrtačky (Obr. 3). Obr. č. 3: Uchycení smirkového papíru ve vrtačce. Červená šipka znázorňuje směr otáčení. Roztočenou vrtačku přiblížíme k jakékoliv desce tak, aby do ní smirkový papír narážel částí hrubé plochy (hrubá plocha dělá při nárazu dostatečně hlučný zvuk). Pomocí programu Audacity nahrajeme na PC několik vteřin tohoto děje. Doporučujeme ztlumit mikrofon tak, aby samotný ruch vrtačky nepřesahoval maxima. V grafickém znázornění záznamu pak spočítáme počet úderů za sekundu. Vzorový výsledek V programu Audacity zvětšíme jednu sekundu záznamu (Obr. 4). Každý náraz by měl být zřetelně viditelný, pokud ne, musíme zajistit, aby byly nárazy hlučnější než hluk vrtačky. 11

21 Obr. č. 4: Jedna sekunda záznamu rotací vrtačky. Šipky znázorňují nárazy smirkového papíru o desku (tj. otočky vrtačky). Nyní můžeme změřit frekvenci tak, že spočítáme počet nárazů. Ve vzorovém případě došlo za sekundu ke 46 nárazům. f = 46 nárazů/s = 46 otáček/s = otáček/min Použili jsme vrtačku Narex EVP 13 H-2C. Výrobce vrtačky uvádí maximum otáček/min. Technické poznámky Pokud jsou nárazy málo zřetelné, můžeme v programu Audacity ztlumit hluk vrtačky. Nejprve označíme část záznamu, která zaznamenává zvuk vrtačky, kde ještě nedochází k nárazům. V nabídce Efekty zvolíme Zmenšení šumu a klikneme na Získat profil šumu. Nyní označíme část záznamu, která zaznamenává nárazy vrtačky. V nabídce Efekty zvolíme opět Zmenšení šumu a dáme OK. Hluk vrtačky i nárazů se výrazně zmenší, bude proto potřeba přiblížit graf několikanásobným poklepem na osu y. Po zvětšení uvidíme, že hluk vrtačky byl oslaben mnohem více než nárazy, které by teď měly jít snáze spočítat. 12

22 2.2. Převod pohybu po kružnici na kmitavý pohyb Demonstrační experiment Cíle experimentu Žák popíše vztah mezi pohybem po kružnici a harmonickým kmitavým pohybem Teorie Pohybu harmonického oscilátoru odpovídá průmět pohybu rovnoměrného po kružnici do svislé roviny (Obr. 5). (4) Obr. č. 5: Souvislost pohybu po kružnici a kmitů. Harmonické kmity odpovídají průmětu rovnoměrného pohybu po kružnici do roviny (4). Náš experiment hravou formou ukazuje, že lze snadno převést pohyb po kružnici (větrák) na kmitavý pohyb (reproduktor) a dává tak tyto dva pohyby do úzké souvislosti. Pomůcky Větrák k PC, reproduktor, vhodné spojovací vodiče Postup Větrák připojíme na vstup reproduktoru. Lze využít pouze jeden reproduktor, tudíž je potřeba předem zjistit, která část konektoru (jack) je reproduktor a která je uzemněna (Obr. 6). 13

23 Obr. č. 6: Zapojení reproduktoru k větráku. Začneme s nízkou hlasitostí reproduktoru a postupně ji zvyšujeme, aby nedošlo k jeho poškození příliš vysokým elektrickým proudem. Připojení na jack je možné pomocí krokodýlků nebo jako na obrázku, pomocí kolíčku na prádlo. Větrák rozpohybujeme fouknutím. Je vhodné nechat celou demonstraci na žácích. Vzniká zvuk připomínající rozjíždějící se motorku, což u žáků během demonstrace vyvolalo velké nadšení. Tuto úlohu lze použít také pro demonstraci výroby elektrické energie. Vzorový výsledek Viz Příloha 1 Větrák.mp4. Technické poznámky Cílem je upevnění souvislostí mezi pohybem po kružnici a kmitavým pohybem, a také motivace studentů. Samotný průběh kmitání nemusí být harmonický, protože celý kmit reproduktoru neodpovídá celé otáčce rotoru větráku. Ve vzorovém pokusu větrák obsahoval 4 cívky okolo rotujícího magnetu. Ke kmitu dojde při přiblížení a oddálení magnetu ke každé z nich. Zvuková analýza ukázala, že pro splnění cíle není vhodný bližší rozbor průběhu kmitu. 14

24 2.3. Kyvadlo: Závislost periody kyvu na délce závěsu Demonstrační experiment/praktická úloha. Cíle experimentu Žák predikuje výsledek a ověřuje hypotézu Žák aplikuje dříve nabyté poznatky o periodě Žák užívá nelineárního vzorce k určení periody kyvu kyvadla z jeho délky, a to k výpočtu parametrů pomůcky Žák pozoruje zajímavý efekt (motivace) Teorie Doba jedné periody kyvu matematického kyvadla závisí na délce jeho závěsu podle vzorce: T = 2π g l kde T je perioda, l je délka závěsu, g je tíhové zrychlení. Čím kratší je délka závěsu, tím kratší je doba jeho kyvu, nejedná se však o lineární závislost, ale o závislost kvadratickou. Budeme-li pozorovat více kyvadel s různě dlouhými závěsy, můžeme vidět zajímavý efekt kyvadla se po určitém čase τ pravidelně setkávají v rovnovážné poloze. Lze toho dosáhnout např. tak, že kyvadla uspořádáme do řady a nastavíme délku závěsů tak, aby každé následující kyvadlo mělo oproti předchozímu takovou délku závěsu, že za čas τ stihne o jeden kmit více než předchozí kyvadlo. Na následujícím odkazu nalezneme zjednodušenou demonstraci stejného efektu na trojici pružin, kde první pružina za čas τ stihne jeden, druhá dva a třetí tři kmity. (17) Po odstartování experimentu dojde k pozvolnému vizuálnímu rozchodu kyvadel. Po uplynutí času τ se kyvadla opět sjednotí v synchronní kyv. 15

25 Pomůcky Pomůcka s kyvadly o Hliníková tyč/profil U s vyvrtanými otvory, pevná nit nebo tenký provázek, kulatá rybářská olůvka (nebo jiná závaží dostatečné hmotnosti, aby vypnula použitý závěs), oboustranná lepicí páska, deska pro zahájení experimentu Pro náročnější variantu o Stopky, metr a projektor Postup konstrukce pomůcky Do hliníkové tyče (hliník proto, aby se do něj snadno vrtalo), nebo profilu tvaru U vyvrtáme menší otvory 2 v pravidelných rozestupech 2-3 cm. Propočítáme délky závěsů 3. V našem případě jsme zvolili délku nejdelšího závěsu 50 cm, vypočetli dobu kyvu 1,42 s a zvolili počet 15 kyvů, než dojde k setkání s ostatními kyvadly. Výsledný čas: τ = 21,28 s Ostatní údaje byly dopočteny (Tab. 4): Počet period za 21,28 s T (s) l (m) Tab. č. 4: Dopočtené délky závěsů. 15 1,42 0,5 16 1,33 0, ,25 0, ,18 0, ,12 0, ,06 0, ,01 0, ,97 0, ,93 0, ,89 0,195 Na jednom konci hliníkové tyče (či profilu ve tvaru U ) pevně upevníme nit a pak ji provlékáme otvory a olůvky jak ukazuje Obr Pro vrtání je vhodné tyč upevnit do svěráku a před vrtáním si dírku předklepnout hřebíkem, aby vrták nesjížděl do strany. Vyvrtané otvory je vhodné zabrousit, aby nám netrhaly závěs. 3 Jako závěs jsme nejprve použili nit. Její nevýhodou je, že se při opakované manipulaci trhá. Doporučujeme proto použít provázek, ačkoli ten se zase při změně délky závěsu kroutí. 16

26 Obr. č. 7: Konstrukce pomůcky s kyvadly. a) Konstrukce z niti a tyče. b) Konstrukce z provázku a profilu tvaru U Nit/provázek mezi kyvadly jsme podlepili oboustrannou lepicí páskou, abychom zamezili náhodným posunům, ale umožnili posun úmyslný. Vznik pomůcky byl inspirován videem publikovaným Harvardskou univerzitou na motivy experimentu Ernsta Macha 4 (18). Postup pokusu zjednodušený Zjednodušený postup používá hotovou pomůcku k demonstraci závislosti periody kmitu na délce závěsu kyvadla. Před experimentem bychom měli nechat žáky zvolit hypotézu: a) Všechna kyvadla se budou kývat stejně b) Kratší kyvadla se budou kývat pomaleji, a tudíž budou mít delší periodu c) Delší kyvadla se budou kývat pomaleji, a tudíž budou mít delší periodu d) Středně dlouhá kyvadla se budou kývat nejpomaleji nebo nejrychleji Po experimentu by mělo proběhnout zhodnocení hypotéz a diskuse pozorovaného děje. Nemělo by chybět ani jeho vysvětlení. Důležité je pozorování tvaru pomůcky. Závěsy nejsou v přímce (což se nejlépe pozná přiložením pravítka), ale jsou naskládány do tvaru ležaté paraboly. Takováto parabola je grafem druhé odmocniny, což nám umožní předložit žákům vzorec pro výpočet periody. 4 Citovaný zdroj obsahuje videozáznam 17

27 Postup pokusu náročnější Cílem náročnějšího postupu je úprava pomůcky namísto použití pomůcky již hotové. Žákům předložíme pomůcku, která nemá správně rozměřené délky závěsů, a nedochází ke sjednocení kyvů kyvadel. Žáci mají za úkol pomůcku upravit po vzoru videa s výsledným efektem. Pokud se žáci pokusí poskládat kyvadla za sebe od nejdelšího po nejkratší, zjistí, že se kyvadla plynule rozejdou, ale už se nesynchronizují. V tuto chvíli žákům napovíme otázkou: Jak zařídit, aby se kyv kyvadel opět sjednotil? Žákům poskytneme dostatek času, aby si mohli odpověď promyslet. Ke konstrukci samotné pomůcky je nutné znát závislost periody na délce závěsu. Toto měření můžeme snadno provést tak, že dvojice žáků změří délku a periodu jednoho z kyvadel 5, svůj výsledek zapíší do tabulky na tabuli (ideálně přes MS Excel). Vynesením tabulky do grafu vyjde parabola. Konstantu úměrnosti žákům sdělíme, viz vzorec: T = 2π g l Posledním krokem, je použití vzorce k výpočtu délek závěsů stávající pomůcky. Každá dvojice přepočítá délku svého kyvadla tak, aby jeho délka byla kompatibilní s pevně stanovenou délkou nejdelšího kyvadla: Každé další kyvadlo musí mít takovou délku, aby do setkání s předchozím kyvadlem stihlo o jednu periodu více. Parametry nejdelšího kyvadla by měl stanovit učitel tak, aby odpovídaly ověřeným parametrům naší pomůcky (tj. délka závěsu a počet period, než se setká s ostatními kyvadly). Vzorový výsledek Viz Příloha 2 Kyvadla různých délek.mp4. 5 Délku je nutno měřit od těžiště olůvka, periodu měříme z celkového naměřeného času většího počtu kyvů, například z deseti, vyhneme se tak příliš velké chybě měření. 18

28 2.4. Kritické tlumení Demonstrační experiment Cíle experimentu Žák vyjmenuje původce tlumení oscilací Žák popíše kritické tlumení a jeho využití Teorie V běžném světě se téměř vždy setkáváme s kmity tlumenými. Amplituda tlumených kmitů se s časem postupně zmenšuje. Pokud je tlumení dostatečně silné, nedojde ani k přechodu tělesa přes rovnovážnou polohu. Ke kritickému tlumení dochází tehdy, pokud je tlumení právě tak silné, aby se těleso dostalo co nejdříve do rovnovážné polohy a už se z ní nevychýlilo. Při příliš silném tlumení je výrazně prodloužena doba, než se těleso do rovnovážné polohy dostane. y Kritické tlumení Podkritické tlumení t Graf č. 1: Srovnání slabého a kritického tlumení 6. Kritické tlumení má mnoho použití, například u tlumičů vozidel. Snadno pozorovatelným příkladem je zavírání vchodových dveří budov pomocí dveřních zavíračů, u nichž požadujeme, aby se co nejdříve zavřely, ale zároveň není žádoucí, aby při zavírání bouchly o rám. 6 Grafy byly sestrojeny numerickým řešením rovnice tlumených kmitů (38) x + 2δx + ω 0 2 x = 0, kde ω 0 je úhlová frekvence netlumených kmitů, δ součinitel tlumení, počáteční podmínky x(0) = 1, x (0) = 0. Pro kritické tlumení je zvoleno ω 0 = δ = 1 s 1 pro nekritické tlumení je ω 0 = 10δ = 1 s 1. 19

29 Pomůcky Zkumavka s kovovým závažím, odměrný válec cca dvojnásobné šířky jako zkumavka, odměrný válec, do kterého se zkumavka těsně nasune, voda, jar Postup Do širšího odměrného válce nalijeme vodu a necháme v něm plavat zkumavku zatíženou kovovým závažím. Pokud zkumavku mírně ponoříme, začne na hladině kmitat slabě tlumeně. Do vody přidáme jar a vytvoříme na hladině vrstvu pěny. Zkumavka strhává pěnu, bublinky pěny se deformují (dochází k disipaci energie v pěně) a tlumení se bude blížit kritickému. Pokud zkumavku umístíme do odměrného válce podobného průměru jako zkumavka, zůstane mezi stěnou zkumavky a válce jen tenká vrstva vody. Při ponoření zkumavky voda stoupá úzkým prostorem, po uvolnění je zkumavka vytlačována vzhůru, voda zaplňuje prostor pod ní. Jelikož je rychlost průtoku omezena viskozitou vody, je kmitání opět silně tlumeno (Obr. 8). Obr. č. 8: Tlumené kmity zkumavky. a) Slabé tlumení odporem vody, b) tlumení pěnou, c) tlumení viskozitou kapaliny. Vzorový výsledek Viz Příloha 3 Kritické tlumení.mp4 20

30 3. Úlohy: Mechanické vlnění 3.1. Struna a zvuk Problémová úloha Cíle experimentu Žák odlišuje viditelnou vlnu šířící se strunou, od vlny zvukové, která se od struny šíří vzduchem Žák zdůvodní, proč je pro popis zvuku vhodnější frekvence než vlnová délka Teorie Vlna na struně je příčnou stojatou vlnou šířící se materiálem struny. Vlna je relativně rychlá, protože struna je z pevné látky, a je napnutá. Vlna na struně je pozorovatelná pouhým okem. Chvějící se struna pravidelně rozráží vzduch okolo sebe se stejnou frekvencí, jakou kmitá. Vzduchem se šíří postupná vlna, která je podélná a oproti vlně v materiálu struny o řád pomalejší. Jsou tu dvě různé vlny. Jejich jednotícím parametrem je frekvence. Každá je jinak rychlá, a proto během jedné periody urazí různou vzdálenost, tj. mají různou vlnovou délku. Frekvence je pro popis postupného vlnění vhodnější než vlnová délka, protože je ve všech materiálech stejná jako frekvence zdroje, a také se zpravidla lépe měří. U stojaté vlny na struně se nabízí měřit vlnová délka, protože se při ladění struny nemění. Pomůcky Monochord, mikrofon, program na frekvenční analýzu např. Visual Analyzer7 (19), pravítko Postup Na strunu monochordu zahrajeme tón a zaznamenáme jeho zvuk na mikrofon. Pomocí nahrávky určíme frekvenci vlnění. První skupina dostane za úkol změřit vlnovou délku vlny pravítkem. Druhá skupina dostane za úkol dopočítat vlnovou délku vlny z nahrávky pomocí frekvence a rychlosti zvuku. Výsledky se budou lišit. Následovat by měla diskuse proč. 7 Odkaz ke stažení naleznete ve zdrojích, návod na práci s programem je uveden v úloze

31 Metodické poznámky Úlohu zadáme formou měření se závěrem navozujícím problémovou situaci. Je vhodné rozdělit třídu na dvě skupiny. 22

32 3.2. Experimenty s velkou pružinou Demonstrační experiment Cíle experimentu Žák pozoruje rychlost šíření postupné vlny Žák rozlišuje podélné a příčné vlnění Žák popíše odraz vlny na pevném konci pružiny Teorie Pružina velkého průměru a malé tuhosti umožňuje vybudit pulz vhodný pro pozorování, a to především díky: velké amplitudě a malé rychlosti šíření pulzu možnosti vybudit podélné i příčné vlnění (Obr. 9) možnosti vytvořit jediný pulz; tak dojde k zamezení vzniku stojaté vlny možnosti pozorovat odraz příčného pulzu na pevném a volném konci pružiny Obr. č. 9: Příčný a podélný pulz (10). Na pevném konci se vlnění vrací s opačnou fází. Na volném konci se vlnění vrací se stejnou fází (Obr. 10). 23

33 Obr. č. 10: Odraz vlny na pevném konci (4). Video model odrazu od pevného i volného konce naleznete na: (17) Pomůcky Pružina velkého průměru a malé tuhosti, stojan k připevnění jednoho konce, provázek Postup Pružinu položíme na lavici a na jednom konci upevníme. Je vhodné, aby délka pružiny byla při natažení cca 3 m, přitom nebyla výrazně přepjatá. Prudkým pohybem ruky vybudíme podélný nebo příčný pulz a pozorujeme jeho šíření. Odraz od volného konce demonstrujeme tak, že připevněný konec pružiny nastavíme 30 cm dlouhým provázkem. Ten umožní pohyb konce pružiny. Odraz se lépe demonstruje na méně napnuté pružině a s prudším impulzem ruky. Žáci mohou: diskutovat rozdíl mezi podélnou a příčnou vlnou diskutovat rozdíl mezi pohybem jedné smyčky pružiny a pohybem celé vlny měřit rychlost vlny popsat změnu fáze vlny po odrazu od pevného konce Vzorový výsledek Viz Příloha 4 Velká pružina.mp4 Metodické poznámky Pružinu je snadné poničit přílišným natažením, nedoporučujeme proto dávat pružinu k dispozici žákům. 24

34 3.3. Kyvadla stejné délky: Nevlnění Demonstrační experiment/problémová úloha. Cíle experimentu Žák rozpozná v konkrétní situaci, zda se jedná o vlnu či ne Žák aplikuje získané znalosti o vlnění Teorie Řada kyvadel, z nichž každé další kýve s opožděnou fází o Δφ oproti předchozímu kyvadlu, působí dojmem šířící se vlny mezi kyvadly. Nejedná se o vlnění, přestože je možné vlnu pozorovat a určit většinu charakteristik vlnění. Důvodem je chybějící vazba mezi kyvadly. Každé kyvadlo kmitá samo za sebe, bez ohledu na okolí. Zdánlivá rychlost šíření je určena pouze původním nastavením velikosti Δφ. Nejjednodušším důkazem, že se nejedná o vlnění, je utlumení některého z prostředních kyvadel. Toto utlumení se nebude šířit dál, jak bychom očekávali u vlny. Kromě tvaru a základních charakteristik nebudou fungovat ani jevy jako například odraz vlny na volném konci a vznik stojatého vlnění. Paradoxně by se takto skutečná vlna (na omezeném prostoru) nechovala. Pomůcky Pomůcka s kyvadly, (shodná s experimentem 2.3 Kyvadlo: Závislost periody kyvu na délce závěsu) Pomůcka musí mít nastaveny stejné délky závěsu pro všechna kyvadla. Postup Před demonstrací experimentem zadáme žákům otázku: Jedná se o vlnění? Pokud ano, jedná se o podélné nebo příčné vlnění? Řadu kyvadel s rovnoměrnými rozestupy a stejnými délkami závěsu vychýlíme deskou do stejné krajní polohy. Desku postupně naklápíme, a tím jednotlivá kyvadla vypouštíme, viz video Příloha 4 Kyvadla nevlna.mp4. Rovnoměrný posun desky stranou není vhodný, jelikož se po ní závaží nesmýkají bez tření. Doporučení pro zařazení experimentu do výuky: na úvod kapitoly mechanické vlnění, aby žákům byly zřejmé všechny podmínky kladené na vlnění. 25

35 v rámci opakování, vhodné je navázat diskuzí o tom, že nepozorujeme odraz vlny, případně vlnu stojatou. kdykoliv jako problémovou úlohu k prohloubení učiva a k motivaci žáků. jako problémovou úlohu po vysvětlení pojmů příčné a podélné vlnění. Vzorový výsledek Viz Příloha 5 Kyvadla nevlna.mp4. Metodické poznámky Pozorování je vhodné doplnit diskusí o tom, zda se o vlnění jedná či nejedná. Je možno rozdělit třídu na dvě skupiny podle toho, ke kterému názoru se přiklánějí, a nechat je vysvětlit, proč se k tomuto názoru přiklánějí. Situaci navodíme vhodnou formulací otázky, např.: Jedná se o vlnění? Pokud ano, jedná se o podélné nebo příčné vlnění? Aby se zvýšily šance na rozdělení třídy (nastolení problému), doporučujeme, aby žáci svoji odpověď rozmysleli sami a zapsali si ji. Žáci tak při rozdělování třídy už budou jasně rozhodnuti a nebudou se rozhodovat na základě toho, kam jdou spolužáci. Jednoduchým důkazem, že se nejedná o vlnění, je zastavení některé z kuliček. Při našem testování tuto formu důkazu vymysleli a provedli sami žáci. 26

36 3.4. Vlna z lidí: Podélné a příčné vlnění Pohybová úloha Cíle experimentu Žák zažije roli částice v postupné vlně Žák rozlišuje podélné a příčné vlnění Žák pozoruje charakteristiky vlny Teorie Mechanické vlnění se šíří jakýmkoliv pružným prostředím, tedy i lidmi držícími se za ruce. Vazbu mezi lidmi lze zařídit také tak, že žák následující pozoruje předchůdce a sám opakuje jeho pohyby. V tomto případě je vhodné využít nějakou dobře definovanou sekvenci pohybů jako: Stoj, dřep, stoj a vzpažení rukou v cyklické smyčce. V takovém případě lze zkoumat charakteristiky periodické vlny jako vlnová délka, amplituda, frekvence či perioda. Důležité je zdůraznit a diskutovat, zda žák opakuje pohyb po někom a je tedy součástí vlny nebo žák dělá pohyb sám za sebe a tudíž se o vlnu nejedná. Na následujícím odkazu můžete pro inspiraci shlédnout perfektně secvičenou vlnu vojáky (20): Jelikož při obou demonstracích každý žák zažije směr svého pohybu a vidí směr šíření celé vlny, může samostatně formulovat definici podélného a příčného vlnění. Úlohu jsme přejali a upravili po vzoru aktivity pozorované v rámci výuky fyziky na gymnáziu Špitálská (21). Pomůcky Dostatečný počet žáků, ideálně více než 15. Volitelně je možné využít fotoaparát/kameru s projektorem a metronom Postup Podélná vlna 27

37 Necháme žáky stoupnout si jeden za druhého do řady, každý žák dá své ruce na ramena žáka před sebou (Obr. 11). Úkolem je, aby každý žák zopakoval žákovi před sebou to, co se stalo jemu. Učitel bude stát poslední na konci fronty a bude zdrojem podélné vlny. Jemným postrčením do ramen žáka před sebou spustí vlnu. Je vhodné, aby žák vepředu (na začátku řady) měl před sebou volný prostor. Obr. č. 11: Demonstrace podélného vlnění. Zdroj vlnění je vpravo (pro žáky vzadu), podélná vlna se šíří směrem doleva (pro žáky dopředu). Fotografie zachycuje vlnu ve chvíli, kdy dorazila ke 4. osobě. Žáci vepředu řady teprve čekají, co se bude dít, protože postup vlny nevidí. Příčná vlna Nejsnazší motivační variantou je zadat žákům, ať se sami dohodnou, secvičí a demonstrují mexickou vlnu. Na této demonstraci lze dobře ukázat rozdíl mezi pohybem částic a pohybem celé vlny. Lze také využít dobře definované sekvence pohybů jako: Stoj, dřep, stoj a vzpažení rukou v cyklické smyčce. Vlnu můžeme nechat postupovat přirozenou rychlostí jako na obr. 12 (A až C) nebo jednotlivé fáze provádět na tleskání. V takovéto vlně mohou žáci pojmenovat žáka ve stejné fázi a změřit tak vlnovou délku. Sami na sobě mohou měřit periodu. 28

38 Obr. č. 12: Příčná vlna šířící se přirozenou rychlostí směrem vlevo. A: Začátek vlny, pouze první čtyři osoby vykonávají pohyb, B: Vlna o přibližně jednu periodu později, C: Vlna postoupila o přibližně dvě osoby vlevo. Přestože prostředí není zcela homogenní, můžeme na tomto obrázku dobře demonstrovat pojem vlnová délka. 29

39 Další varianty Úlohy lze využít i k jiným cílům, např. v rámci opakování jako skupinovou práci. Rozdáme žákům grafy popisující postupnou podélnou vlnu: Graf závislosti výchylky na poloze a graf závislosti výchylky zdroje na čase. Rozmístíme žáky do řady s půl metrovými rozestupy. Jejich úkolem je dohodnout se a modelovat postupující vlnu znázorněnou grafy. My jsme pro tuto úlohu použili vlnu s parametry: Vlnová délka λ = 4 m, perioda T = 8 s, amplituda y m = 4 dm. Během úlohy je vhodné pustit metronom s frekvencí f metronom = 1 Hz. Úloha má tři úskalí. První žák, tj. zdroj, musí vědět, jaký pohyb bude vykonávat. Žáci si musí uvědomit, že stačí pozorovat žáka ve vlně před sebou a vykonávat pohyb podle něj. Nejtěžší je zařídit správnou rychlost vlny, každý žák musí svůj pohyb dostatečně opozdit, aby se vlna pohybovala rychlostí v = 0,5 m/s a vlnová délka byla opravdu λ = 4 m. Je pravděpodobné, že žáci budou potřebovat více pokusů, než se jim podaří vlnu vymodelovat. Po každém nezdaru, by měli dobře pojmenovat jednu věc, která se nezdařila a tu se pokusit opravit. Při naší testovací hodině bylo potřeba čtyř pokusů. Metodické poznámky Podle počtu žáků lze třídu rozdělit na dvě poloviny, které se vystřídají cvičící a pozorující nebo mohou být součástí vlny všichni, v tom případě je vhodné využít fotoaparát nebo kameru. U všech pohybových aktivit je důležité, aby si žáci formulovali a zaznamenali své vlastní závěry z aktivity. Učitel by jim měl pomoci vhodnými otázkami a poskytnout dostatek času, během kterého mohou žáci odpovědi samostatně formulovat. Každá samostatná odpověď žáka, je výrazně hlubším poznatkem, než jakákoliv informace sdělená učitelem. 30

40 3.5. Měření parametrů příčných a podélných vln Skupinová práce Cíle měření Žák rozlišuje podélné a příčné vlnění Žák užívá a měří charakteristiky vlnění Žák propojuje vizuální průběh vlny s jejím grafickým znázorněním Žák pracuje ve skupině Pomůcky Pravítko nebo metr, stopky, PC/tablet pro každou skupinu žáků (příp. projektor pro učitele), videa modelů vln ve formátu.gif Model příčné vlny: Příloha 6_1 Příčná vlna doleva.gif Příloha 6_2 Příčná vlna doprava.gif Model podélné vlny: Příloha 6_3 Podélná vlna.gif Zadání pro žáky Naleznete jej v samostatném souboru v Příloha 6_4 PL gif modely vln.docx. 1. Rozdělte list papíru (min. velikosti A3) podélně na dva sloupce: Levý nazvěte příčné vlnění, pravý podélné vlnění. 2. Zakreslete obě vlny, jako byste je vyfotili. 3. Zakreslete, kde se nachází zdroj vlnění. 4. Pozorujte pohyb celé vlny. Zapište směr každého z těchto pohybů a přisuďte mu přízviska kmitavý nebo rovnoměrný přímočarý. 5. Pozorujte pohyb jediného bodu vlny. Zapište směr každého z těchto pohybů a přisuďte mu přízviska kmitavý nebo rovnoměrný přímočarý. 6. Změřte periodu, frekvenci, vlnovou délku a amplitudu obou vln. 7. Porovnejte směr pohybu jedné částice vlny se směrem šíření vlny. Napište toto srovnání celou větou s užitím příslovce podél a napříč. 8. Pro obě vlnění zakreslete grafy závislosti okamžité výchylky první částice na čase tak, aby v čase 0 sekund byla první částice v rovnovážné poloze. 31

41 9. Pro obě vlnění zakreslete grafy závislosti okamžité výchylky všech částic na poloze tak, aby v čase 0 sekund byla první částice v rovnovážné poloze. 10. Ke všem osám polohy a výchylky zapište, jakým míří směrem (doleva, doprava, nahoru nebo dolů). 11. Diskutujte rozdíly mezi grafy a reálnou vlnou. Postup Samotnému měření by měla předcházet hodina, která žáky seznámí se všemi veličinami a problémy. Nejedná se o aktivitu, kde se žák dozvídá nové informace, ale o aktivitu, kdy povrchně známé vědomosti hlouběji pochopí a procvičí. Žáky rozdělíme do skupin. Každá skupina pracuje na papíře formátu minimálně A3 a má k dispozici obrazovku, na které může sledovat modely obou vlnění. Žáci plní úkoly dle zadání, učitel obchází skupiny a radí individuálně. Videa vlnění je na PC potřeba mít otevřené tak, aby dosahovala své maximální velikosti. Skutečná velikost videí je dána rozlišením displeje, proto se může u jednotlivých skupin lišit. Výsledek Pro ilustraci si můžete prohlédnout řešení trojice žáků z výuky, na které byla úloha testována. Řešení je foceno ve stavu před společným vyhodnocením a opravou výsledků, proto obsahuje množství chyb (Obr. 13). Obr. č. 13: Zpracování úlohy 3.5 žáky při testovací hodině. Fotografie byla pořízena po dokončení samostatné práce skupiny 3 žáků, ale před společnou kontrolou výsledků. 32

42 Obrázky vln kreslíme proto, abychom konfrontovali viděné na videu se statickými grafy. Celá vlna se pohybuje rovnoměrně přímočaře vlevo nebo vpravo. Jedna částice vykonává vždy kmitavý pohyb, u příčného vlnění nahoru a dolů, tedy napříč (kolmo) ke směru vlny, u podélného vlnění zleva doprava, tedy podél (rovnoběžně) směru vlny. Periodu je možné měřit dvěma způsoby, buď pomocí periodického pohybu jedné částice, nebo jako dobu potřebnou k posunu vlny o jednu vlnovou délku. Frekvenci budou žáci určovat výpočtem z periody. Pokud se některá skupina pokusí měřit přímo frekvenci, měli by ji měřit např. za 100 s a následně převést na jednotku hertz. Vlnovou délku je možné měřit jako vzdálenost kterýchkoliv dvou bodů, jejichž fáze se liší o 2π, nebo jako vzdálenost, kterou vlna urazí za čas jedné periody. Amplitudu je možné měřit mezi rovnovážnou polohou a maximem nebo jako polovinu rozdílu obou maxim. Graf závislosti výchylky na poloze příčné vlny se shoduje s obrázkem vlny viděné očima. Graf závislosti výchylky na poloze podélné vlny má vodorovnou osu v levo-pravém směru, svislou osu má také v levo-pravém směru, na každé ose však nese údaje o jiné veličině. Od obrázku se geometricky liší, jelikož na obrázku není sinusoida - body jsou na přímce a liší se pouze hustota částic. Graf závislosti výchylky na čase má sice tvar sinusoidy, popisuje však jednu jedinou částici a změnu její polohy. Na obrázku není vidět čas, jelikož je zachycen jediný okamžik. Fotografie odpovídající tomuto grafu by tedy vypadala jako jediný bod na prázdném papíře (rozmazaný, jelikož je focen v pohybu). Metodické poznámky Žáci by měli pracovat ve skupinách a společně vytvořit plakát formátu alespoň A3. Vhodná je skupinová práce, protože veličiny nejsou každému zřejmé a žáci je mohou na modelech společně objevovat. Prvním problémem, na který jsme narazili při testování úlohy, bylo přimět žáky rozdělit list papíru na dva sloupce podélně. Intuitivně jej každý žák dělil příčně. 33

43 Doporučujeme, aby žáci kromě výsledků měření zaznamenávali také podrobný postup měření, např. kam přikládali pravítko, kdy mačkali stopky, co při měření pozorovali apod. Grafické znázornění vlnění je pro žáky střední školy obzvláště obtížné, jelikož okamžitá výchylka je funkcí dvou proměnných a funkce dvou proměnných nejsou v matematice středoškolským učivem. Ke každé vlně tedy existují dva typy grafů, které se obvykle neshodují s vlnovkou viděnou očima. Graf znázorňující sinusoidu žáci intuitivně považují za graf vlny, protože tak vlna přece vypadá, přestože grafu ve skutečnosti nerozumí. Důležitý krok je, aby si žák uvědomil, že existuje vizuální rozdíl mezi vlnou viděnou očima a grafem, který ji popisuje. Proto je vhodné jej konfrontovat s modelem podélné vlny. Podélná vlna se vizuálně žádnému ze svých grafů nepodobá. Ve chvíli, kdy podoba není zřejmá, je žák donucen najít novou souvislost mezi reálnou vlnou a jejími grafy a tím lépe pochopit význam grafu (Graf 2). Přesný tvar grafu není cílem měření. Cílem je, aby se žáci při měření seznámili s tím, co graf obsahuje. Proto tvar sinusoidy může být načrtnut ručně, ovšem s důrazem na přesné přiřazení maxim a nulových bodů. Nejdůležitější na grafech jsou jejich popisky. Necháme žáky připsat k osám polohy i výchylky, zda jsou ve směru doprava, doleva, nahoru nebo dolů (Graf 2). Výchylka DOPRAVA y (cm) 0,5 Podélná vlna 0 Poloha DOPRAVA x (cm) ,5 DOLEVA Graf č. 2: Vzorový výsledek grafu podélného vlnění. Každou osu doplňuje informace o jejím skutečném směru. Hodnoty na osách se mohou lišit podle velikosti a rozlišení obrazovky zařízení, na kterém provádíme měření. 34

44 Tvorba videa ve formátu.gif Podobné video lze naprogramovat, nebo vytvořit v programu jakým je např. MathLab. Podobné simulace i se seznamem dalších programů pro výrobu podobných simulací můžeme nalézt také na stránkách Dr. Daniel A. Russella z Pensylvánské státní univerzity: (17) Kvůli jednoduchosti jsme použili pracnější, zato jednodušší způsob. V Excelu jsme vygenerovali graf vlny v sousledných časových okamžicích a obrázek po obrázku jej vložili do programu na tvorbu gif videí (konkrétně Zoner GIF Animator 5; existuje řada dalších freeware programů). Tento program obrázky spojil ve video a vložil mezi jednotlivé snímky časovou prodlevu. Soubor videa je možné spustit v běžně dostupných grafických nebo webových prohlížečích v nekonečné smyčce. Nedoporučujeme používat Internet Explorer, jelikož při našem testování smyčku neopakoval celou. Simulace vytvořené touto formou zabírají na disku velké množství místa, proto doporučujeme jejich optimalizaci pomocí programu File Optimizer (22). Naše video jsme takto komprimovali na 500 krát menší velikost. 35

45 3.6. Rozjezd kolony aut Demonstrační experiment Cíle experimentu Žák rozliší pohyb jednotlivých částic od pohybu celé vlny Žák formuluje vliv pevnosti vazby na rychlost šíření vlny Teorie Při rozjezdu kolony stojících aut (dopředu) se šíří vlna směrem vzad: nejprve se rozjede první auto, následuje druhé a až poté třetí. Rychlost rozjezdu je dána reakční dobou řidičů. Při nulové reakční době by vlna měla rychlost světla, což poukazuje na výhodu bezpilotních aut. Pro motivaci možno žáky odkázat na: (23). Kolonu aut je možno modelovat. My jsme použili dřevěných hranolů spojených pomocí háčků a provázků (Obr. 14). Obr. č. 14: Model dvou kolon aut s různými délkami provázků reprezentujících různou reakční dobu řidičů. Čím delší je provázek mezi hranoly, tím pomalejší bude rychlost šíření vlny. Pomocí dvou řad hranolů vedle sebe, z nichž jedna má dlouhé provázky a druhá krátké, lze demonstrovat závislost rychlosti šíření vlny na síle vazby. Analogicky lze užít také model sestavený z magnetů. Magnety umístíme do řady na hliníkovou kolejnici tak, aby se mohly kutálet, a všechny měly severní pól směrem k nám (Obr. 15). Magnety se budou navzájem odpuzovat. Když jim uvolníme prostor na příslušné straně kolejnice, jeden po druhém se začnou kutálet do volného prostoru, 36

46 směrem opačným se bude šířit rázová vlna. Rychlost šíření vlny bude tím vyšší, čím hustěji magnety uspořádáme, tedy čím silnější bude vazba mezi nimi. Obr. č. 15: Původní pomůcka s magnety kutálejícími se v hliníkové kolejnici. Úlohy lze použít souběžně s cílem zobecnit vztah mezi silou vazby a rychlostí šíření jakékoliv vlny. Pomůcky 7 až 14 dřevěných hranolů s přivrtanými háčky na obou koncích, provázek Pro demonstraci s magnety je třeba pomůcku vyrobit. Bude potřeba 15 až 30 válcových magnetů (rozměry: průměr 2,5 cm, výška 0,5 cm), plastové krytky na magnety vytištěné na 3D tiskárně, oboustranná lepicí páska, hliníková kolejnice vhodných rozměrů Postup Při testování úlohy ve výuce jsme využili pracovní list, viz Příloha 7_1 PL kolona aut.docx. Nejprve jsme předvedli experiment s dřevěnými špalíky a nechali žáky samostatně odpovědět na otázku: Na čem závisí rychlost šíření vlny mezi rozjíždějícími se špalíky? (např. na délce provázků). Poté jsme žáky nechali samostatně se zamyslet nad otázkou: Na čem závisí rychlost vlny v rozjíždějící se koloně aut? (např. na reakční době řidičů). Nakonec jsme předvedli experiment s magnety s podobnou otázkou (např. na stlačení magnetů k sobě). Poté měli žáci za úkol zobecnit závěr, na čem závisí rychlost šíření jakékoliv vlny. Metodou peer-instruction 8 pak necháme žáky dojít k jednotnému závěru. V naší zkušební hodině došli žáci k závěru: Na rychlost šíření vlny prostředím má vliv rychlost přechodu informace/síly mezi body A a B. Jedná se spíše o vhodné 8 Metoda, kdy žáci samostatně rozmyšlené odpovědi nejprve diskutují ve dvojicích, následně ve čtveřicích a osmičlenných skupinkách, až se nakonec celá třída dohodne na jednotném závěru. 37

47 přeformulování definice rychlosti šíření vlny, ale díky tomu, že byla formulována samotnými žáky, byla veličina lépe pochopena. Učitelem přidaná formulace: Rychlost šíření závisí na pevnosti vazby částic. tak byla velmi dobře přijata. Vzorový výsledek Viz Příloha 7_2 Kolona aut.mp4 Technické poznámky Pomůcku s magnety jsme vyrobily. Je zapotřebí vytisknout na 3D tiskárně dostatečné množství krytek na magnety (3D model ve formátu.stl viz Příloha 7_3 Kryt na magnet.stl). Prvotní model jsme vyrobili v programu Tinkercad (24) a následně ho, ve spolupráci s pracovníky obsluhující 3D tiskárnu, upravili kvůli zlepšení jeho názornosti. Při samotném tisku došlo k zesílení tloušťky stěn součástek ve všech směrech o 0,3 mm, proto je 3D model menších rozměrů, aby po tisku doléhal přesně k hranám magnetu. O přesnosti tisku doporučujeme jednat s firmou, která bude tisk provádět, a podle potřeby model upravit. Průměr vsazených válcových magnetů je 25 mm, jejich tloušťka je 5 mm. Byl vytisknut zkušební model (Obr. 16 A). Při testování vytištěné pomůcky jsme zjistili, že rozšířením kol zamezíme nevhodnému přetáčení magnetů. Navrhli jsme také změnu geometrie části dosedající na kolejnici, abychom kolo lépe stabilizovali a zamezili tření o hrany. Upravený model (Obr. 16 B), je součástí příloh (Příloha 7_3 Kryt na magnet.stl). Obr. č. 16: Vizualizace krytu na magnet. A Vizualizace krytu ze 3 částí použitá při prvním 3D tisku, B finální verze jedné z dvojice krytek magnetu pro použití v praxi. 38

48 Ke každému magnetu vytiskneme dva kryty a kusem oboustranné lepicí pásky přilepíme. Dáváme pozor, aby byl magnet na obou stranách správně vycentrován. Kolejnici vyrobíme z hliníkových profilů, my jsme využili dvou hranolů délky 1000 mm, šířky 30 mm a tloušťky 2,9 mm zakoupených v hobbymarketu, mezi ně vložili nemagnetickou výplň vhodné šířky a vše k sobě připevnili. Při demonstraci je vhodné, aby pomůcka byla buďto zcela vodorovně nebo jen velmi mírně z kopce ve směru rozjezdu. Obr. č. 17: Celý magnetický vlnostroj (upravená verze pomůcky po prvním 3D tisku). Cena tisku 40 krytek pro 20 magnetů se v současné době pohybuje okolo Kč, celá pomůcka (Obr. 17) by tak mohla stát do Kč. Z hlediska demonstrace postupné podélné vlny by mohla být užitečná i delší varianta pomůcky. 39

49 3.7. Fáze vlny Demonstrační experiment Cíle experimentu: Žák užívá veličinu fáze při popisu vlnění Teorie Pro kmitání, případně i kmitavý pohyb šířící se prostředím, zavádíme veličinu zvanou fáze, která popisuje vztah mezi časem (u vlnění i polohou) a okamžitou výchylkou. Obvykle se na střední škole značí φ, vyskytuje se v argumentu funkce sinus a její jednotkou je 1 radián. Význam veličiny ze vzorce není snadno pochopitelný. Každý periodický pohyb můžeme rozdělit na jednotlivé fáze. Nejprve začíná, poté probíhá, končí a následně opět začíná. Všeobecně známé jsou fáze Měsíce, 8 různých fází (od fáze úplňku po další fázi úplňku) je na Obr. 18. Je přirozené vnímat tyto úseky chronologicky a dělit je na úseky jako první čtvrtina pohybu, druhá čtvrtina pohybu etc. Bavíme-li se o fázi pohybu, bavíme se o nějaké části celku, který se opakuje, proto veličina nemá jednotku, ale dělitelné celky (opakování). Proto se k popisu používá obloukové míry, kde 2π rad, znamená jeden celek (otočení). Obr. č. 18: Fáze Měsíce (12). Fázi lze snadno demonstrovat různými opakovanými tělocvičnými úkony, např. děláním dřepů. Obr. 19 ukazuje jednotlivé fáze pohybu sportovce Adama. Na počátku Adam stojí a chystá se pokrčit kolena, v dalších fázích klesá, poté se nachází ve dřepu, následují fáze, kdy vstává, narovnává se, a nakonec je opět napřímen a chystá se znovu pokrčit kolena k druhému dřepu. 40

50 Obr. č. 19: Fáze dřepu sportovce Adama (25). Pro popis kmitů a vln je důležité rozlišovat, zda dva objekty kmitají (dřepují) ve stejné fázi, v opačné fázi nebo mezi nimi není zvláštní vztah. Na Obr. 20 je vyfocena řada sportovců, kde každý dřepuje s mírným zpožděním fáze za sportovcem nalevo, který právě dokončil první dřep. Vypadá to, že většina sportovců má k sobě na obrázku někoho, kdo je ve stejné fázi dřepu, např. dvojice Adam a Gustav, Boris a František, Cyril a Emil. Ve skutečnosti jsou ale ve fázi pouze Adam a Gustav. Např. Boris je na začátku dřepu a bude teprve klesat, zatímco František už dřep dokončuje a směr jeho pohybu je nahoru, analogicky i Cyril a Emil. Toto je jeden z problémů, na který žáci často narážejí při čtení grafů. Obr. č. 20: Vlna v řadě dřepujících sportovců. Zdrojem vlny je Adam, který právě dokončil 1. dřep, ostatní po něm opakují se zpožděním (25). Když se nyní zeptáme žáků na to, kteří sportovci jsou vůči sobě v opačné fázi, nejspíše dostaneme intuitivní odpověď: dvojice Adam a Dalibor, Boris a František, Cyril a Emil. Opět to není pravda, pokud jsou sportovci v opačné fázi, jsou tak po celou dobu pohybu. Je zřejmé, že pokud necháme sportovce Františka dokončit dřep úplně nahoru, 41

51 sportovec Boris se nestihne dostat úplně dolů, a tudíž nekonají pohyb v opačné fázi. Sportovec Boris je v opačné fázi než Emil, sportovec Cyril je v opačné fázi než František. Pomůcky: Obrázky 19 a 20, dobrovolník z řad studentů Postup Vybereme jednoho žáka, který bude pomalu a plynule dřepovat s periodou T = 4 s. Vedle žáka dřepujeme také a postupně demonstrujeme pohyb ve fázi, pohyb s opačnou fází a pohyb jiný, bez významné souvislosti fází. Vhodnou demonstrací je postavit se s asistentem oba dva do polodřepu a nechat třídu rozhodnout, zda jsme ve fázi či nikoliv. Následně lze demonstrovat jak pohyb ve fázi, tak i pohyb s opačnou fází, jelikož záleží na tom, kterým směrem se ze statické polohy vydáme. Vzorový výsledek Viz Příloha 8 Fáze.mp4. Metodické poznámky Obrázků je vhodné využít při prvním setkání žáků s grafem vlnění. Jeden obrázek zachycuje časovou závislost výchylky jedné částice, druhý zachycuje prostorovou závislost výchylky všech částic. Tento rozdíl mohou žáci sami formulovat porovnáním obou obrázků. Vnímání rozdílu mezi nimi výrazně usnadní orientaci žáků v grafech popisujících vlnění. Po experimentech doporučujeme zařadit práci s grafy: hledání dvojic bodů ve stejné fázi a odečítání vlnové délky. 42

52 3.8. Proužky moaré Rázy Demonstrační experiment Cíle experimentu Žák pozoruje model interference dvou podobných rovinných vln Teorie Proužky moaré vzniknou, když vezmeme dva listy papíru se sadami proužků podobné šířky nebo tvaru a překryjeme je přes sebe. Jedná se tedy o optický klam. Využijeme proužků natištěných na listech papíru a výsledný efekt získáme prosvícením listů zpětným projektorem. Jestliže černou barvu ztotožníme s výchylkou částic jedním směrem a bílou s výchylkou opačným směrem, získáme model vlny, který připomíná její fotografii v určitém čase. Složením dvojice rovnoběžných proužků, jejichž šířky se liší cca o 10 %, získáme efekt podobný rázům (Graf 3). Graf č. 3: Časový diagram složeného kmitání s blízkou frekvencí složek (4) Jelikož list papíru s proužky je možno posouvat, můžeme ze statických rovnoběžných proužků udělat model pomalu se pohybující vlny. Pozorováním konkrétního bodu, přes který list papíru posouváme, můžeme pozorovat efekt rázů v reálném čase (Obr. 21). 43

53 Obr. č. 21: Překryv rovnoběžných proužků. Proužky se liší šířkou cca o 10 %. Získáme výrazný efekt podobný rázům vlnění. Posunem listů vpravo můžeme lépe modelovat pohybující se vlnu. Pomůcky Zpětný projektor, lihový černý fix, euroobal, 2 listy papíru s vytištěnými objekty: list papíru s natištěnými rovnoběžnými proužky o šířce proužků 0,5 cm (viz Příloha 9_1 Rovnoběžné pruhy.jpg) list papíru s rovnoběžnými proužky, který vytiskneme zvětšený o 10 % Postup Vytiskneme dvakrát rovnoběžné proužky, podruhé ve zvětšení o 10 %. Proužky z jednoho listu s rovnoběžnými proužky přerýsujeme nesmazatelnou fixou na euroobal. Zasunutím druhého listu do euroobalu se proužky překryjí a vznikne výsledný efekt. Vzorový výsledek Viz video Příloha 9_3 Proužky moaré rázy.mp4 Metodické poznámky Proužky moaré můžeme nechat vyrobit žáky třeba jako dobrovolný domácí úkol. Tvorbu proužků na PC, a jejich přerýsování na euroobal, vymysleli sami žáci, mezi hodinami, kde se výuka úlohy testovala. 44

54 Interference kruhových vln Demonstrační experiment Cíle experimentu Žák geometricky zdůvodní vznik interferenčních proužků při dvouštěrbinovém experimentu Žák pozoruje vliv vzdálenosti štěrbin na výsledném interferenčním obrazci Teorie Obr. č. 22: Interference dvou zdrojů kruhových vln demonstrovaná kruhovými proužky moaré. Vzdálenost zdrojů (středů) se postupně zvyšuje od obrázku A až D. Pro vzdálenost zdrojů výrazně větší, než je vlnová délka, se efekt vytrácí. Složením dvou obrazců se soustřednými kružnicemi získáme efekt podobný dvouštěrbinovému experimentu, kde skládáme kruhové vlny (Obr. 22). 45

55 Posunem obrazců středy (zdroji) od sebe nebo k sobě můžeme sledovat vliv vzdálenosti štěrbin na výsledném interferenčním obrazci. Při vzdálenosti středů výrazně větší, než je vlnová délka, efekt vymizí. Pomůcky Zpětný projektor, 2 listy papíru se soustřednými kružnicemi pravidelně se zvětšujících poloměrů (viz Příloha 9_2 Kruhové pruhy.jpg (26)) Postup Kruhové proužky tiskneme dvakrát stejné. Bylo by náročné je přerýsovávat, proto experiment demonstrujeme prosvícením překryté dvojice listů ostrým světlem např. použitím zpětného projektoru. Vzorový výsledek Viz video Příloha 9_4 Dvouštěrbinový experiment.mp4 Metodické poznámky Experiment s kružnicemi doporučujeme využít při výuce dvojštěrbinového experimentu v optice Pohyb proužků vůči sobě Problémová úloha Cíle úlohy: Žák vede diskusi nad nemožností vlny překročit rychlost světla Žák aplikuje znalosti teorie relativity na problematiku vlnění Pomůcky: List papíru s černými proužky viz Příloha 9_1 Rovnoběžné pruhy.jpg, průhledný euroobal s cca o 10 % širšími černými proužky Úvodní experiment Vložíme-li list s proužky o šířce 0,5 cm do euroobalu s proužky o 10 % většími, vzniknou výrazné proužky moaré. Když začneme list papíru pomalinku vysunovat z euroobalu, proužky moaré se rozpohybují vysokou rychlostí opačným směrem (Příloha 10 Moaré v pohybu.mp4). 46

56 Zadání problémové úlohy po experimentu Představme si předcházející experiment v jiných rozměrech. V původním experimentu byl rozdíl vlnových délek 1 mm a vlna se šířila rychlostí 10 cm/s. V dalším experimentu si představme, že bychom dokázali vyrobit proužky lišící se o šířku jediného atomového jádra, tj. přibližně m. Rychlost vysouvání listu papíru zachováme stejnou jako u původního experimentu. Jaká bude nyní rychlost šíření pozorovaného jevu? Porovnejte s rychlostí světla. Teorie: Mezi rozdílem vlnových délek a rychlostí šíření rázů je nepřímá úměra. Proto jestliže jsme rozdíl vlnových délek zmenšili o 12 řádů, bude rychlost o 12 řádů vyšší. v = ms 1 To je výrazně vyšší rychlost, než rychlost světla. Jeden z pilířů teorie relativity říká, že rychlost přenosy hmoty či energie je limitně omezena rychlostí světla: c = ms 1 Proužky moaré vytvářejí při pohybu přes sebe optický klam, který pozorujeme my jako vnější pozorovatelé. Je zřejmé, že se při tomto jevu nepřenáší nadsvětelnou rychlostí žádná hmota. Mezi tím, co je namalováno na listu papíru a na folii, není žádné skutečné pojítko, jejich vzájemný posun nemění to, co na nich už bylo namalováno dlouho předtím, než se začaly vůči sobě pohybovat. Mezi místy na papíře proto nedochází ani k žádnému přenosu energie (informace). Proužky moaré v tomto případě vytvářejí pohybující se jev podobný vlně, o vlnu se však nejedná. Šíření vlny s sebou nese přenos energie, a tudíž podléhá omezením rychlosti dle teorie relativity. Populárně podané vysvětlení je k nalezení na videu kanálu Vsauce zveřejněném na Youtube pod názvem What Is The Speed of Dark?. Video bohužel není přeloženo do českého jazyka. (27) 47

57 3.9. Stojatá zvuková vlna a rázy vlnění Demonstrační experiment Cíle experimentu: Žák popíše experimentální důkaz, že zvuk je vlnění. Žák nalezne poslechem oblasti kmiten a uzlů u stojatého zvukového vlnění. Žák vysvětlí vznik stojatého vlnění jako interferenci dvou vln. Žák slyší změnu amplitudy při poslechu dvou zvukových vln blízké frekvence. Teorie Umístíme-li dva totožné zdroje vlnění do vzdálenosti, která bude celočíselným násobkem 𝑛 vlnové délky 𝜆, vznikne na spojnici stojatá vlna s právě 2𝑛 1 kmitnami. Pokud to budou zdroje kulových vln (reproduktory), budou se tvořit kmitny a uzly všude v prostoru, podle toho, zda dojde k pozitivní či negativní interferenci. Obr. č. 23: Znázornění interference ze dvou zdrojů kruhových vln pomocí proužků moaré. Zdroje jsou vzdáleny necelých 10 vlnových délek. Některé kmitny nalezneme tam, kde se kříží vnější okraje černých kružnic, některé uzly například ve středu bílých polí. Při poslechu interference dvou reproduktorů tento geometrický obrazec nabere zcela nového rozměru. Zeleně je vyznačen prostor s pravidelnou a jasnou strukturou uzlů a kmiten, kde jsou rozdíly nejlépe slyšitelné. O rozložení kmiten a uzlů nám může dát představu úloha 3.8 Proužky moaré. Obrazec popisující naši situaci vznikne překryvem soustředných kružnic se středy ve dvou 48

58 různých bodech (Obr. 23). Rozdíl mezi kmitnou a uzlem v obrázku popíšeme jen stěží, při demonstraci experimentu pomocí reproduktorů však místa jasně odlišíme sluchem: Kmitna je slyšet výrazně, uzel je téměř neslyšitelný. Tento experiment řadíme mezi nejsnazší na provedení a přitom nejpřesvědčivější experimenty. Výuka stojatého vlnění nebo interference by o tento experiment neměla být ochuzena. Pokud u jednoho z reproduktorů změníme frekvenci tónu o 1 Hz, složením zvukových vln obou reproduktorů dojde k jevu zvanému rázy. Složený zvuk, který uslyšíme, bude pravidelně kolísat s velmi nízkou frekvencí (Graf 3). Pomůcky: Stereo reproduktory připojené k PC, dostatečně dlouhý prodlužovací kabel, venkovní prostor a generátor tónů (28)) Postup Zapojíme reproduktory a umístíme je do vzdálenosti d = 5 m od sebe. Spustíme generátor tónů a u obou reproduktorů nastavíme frekvenci f = 340 Hz. S touto frekvencí bude vlnová délka λ = 1 m, což nám usnadní přibližné výpočty. Vzdálenost kmitny a uzlu na spojnici reproduktorů bude přibližně 25 cm. Odhadnout přesnou vzdálenost reproduktorů pro vznik úplných uzlů a kmiten na jejich spojnici je velmi náročné. Výrazně snazší je nalézt uzly a kmitny mimo tuto spojnici, viz zelené pole na obrázku 23. Pro demonstraci rázů je vhodné zvýšit frekvenci tónu, aby relativní rozdíl mezi frekvencemi reproduktorů byl co nejmenší. Na jednom reproduktoru nastavíme například f 1 = 800 Hz, na druhém reproduktoru nastavíme f 2 = 801 Hz. Vznikne tak dostatečně přesvědčivé kolísání zvuku. Pro důkaz, že se jedná o jev, který vznikl interferencí dvou vln, stačí vypojit konektor z jednoho reproduktoru. Efekt rázů zmizí. Opětovným zapojením konektoru k reproduktoru efekt znovu nastane. Technické poznámky Úlohu na stojaté vlnění je vhodné demonstrovat mimo uzavřenou místnost, protože v místnosti nám budou interferenční obrazec narušovat vlny odražené od stěn. Úlohu na rázy je možno provést i v místnosti (např. ve třídě) 49

59 3.10. Stojaté vlnění Demonstrační experiment Cíle experimentu Žák pozoruje vznik uzlů a kmiten na stojaté vlně Žák vysvětlí důvod vzniku hromádek písku v uzlech a volného místa v kmitnách Připravit žáka na to, aby rozpoznal analogickou příčinu vzniku uzlů a kmiten při měření rychlosti zvuku Kundtovou trubicí (1) (29) Teorie Tenkou krycí částí plastové elektroinstalační lišty se snadno šíří příčné vlnění. Upevníme-li lištu na koncích, do středu přiložíme zdroj kmitů a zvolíme vhodnou frekvenci, vytvoří se na liště stojatá vlna s dobře viditelnými kmitnami a uzly. Stojatá vlna vznikne složením původní a odražené vlny. Vzdálenost dvou kmiten je polovinou vlnové délky. Pro zviditelnění kmiten a uzlů je vhodné použít písek. Díky tomu, že lišta má tvar písmene U, písek při kmitech nevypadává ven, pouze je sklepáván z prostoru kmiten do prostoru uzlů. Při vyšších amplitudách lze kmitny a uzly na samotné liště vidět pouhým okem. Stejného principu se užívá při měření Kundtovou trubicí (1) (29), kde dochází k podélnému vlnění vzduchu, které není vidět. Náš experiment je k tomuto experimentu názornou přípravou díky viditelnosti stojaté vlny a tím snazšímu zdůvodnění nahromadění písku v uzlech. Pomůcky Dvoumetrová plastová elektroinstalační lišta (tvar zploštělého písmene U), zdroj kmitů (např. reproduktor s generátorem tónů), 2 svorky k přichycení ke stolu, písek, barvivo, lopatka a smeták Postup Mezi dvě lavice upevníme krajní konce napnuté lišty. Střed lišty připevníme ke zdroji kmitů. Do lišty rovnoměrně nasypeme obarvený písek. V našem případě jsme použili lištu délky l = 2 m a frekvenci zdroje f = 39 Hz. Pozorovali jsme stojaté vlnění s pěti kmitnami a šesti uzly. Na obr. 24 lze vidět uzly a kmitny pouhým okem. 50

60 Obr. č. 24: Uspořádání experimentu. Při vyšších amplitudách lze kmitny a uzly na samotné liště vidět pouhým okem: Červené šipky značí kmitny, oranžové uzly. Je nutno zvolit dostatečnou amplitudu pro podélný posun písku, ale zase ne příliš vysokou aby písek nepřekonal příčnou bariéru. Na obr. 25 A a B můžeme vidět hromádky písku v uzlech a volný prostor v kmitnách. Na obr. 25 C je detail přechodu mezi uzlem a kmitnou. Obr. č. 25: Kmitny a uzly na liště s pískem. A, B Výřez výsledného rozložení písku. C Detail přechodu. Technické poznámky Pokus je vhodné ukázat žákům nejprve bez písku. Mohou si tak stojaté vlnění dobře prohlédnout, aniž by se všude sypal písek. Po nasypání písku do lišty, je vhodné vybudit stojatou vlnu jen po dobu nutnou k přemístění písku. Při spuštění zdroje kmitů na delší dobu se nevyhneme postupnému vypadávání písku na podlahu. 51

61 U kraje je vhodné žlábek lišty ukončit plastelínou, aby se zamezilo nadměrnému vypadávání písku. Pro narušení symetrie lze zdroj kmitů umístit také o jednu kmitnu dále od středu. Výsledek bude stejný Nadstavbová úloha: Vlnová funkce mikročástice Vlnová funkce mikročástice Ve fyzice mikrosvěta nejsou elementární částice reprezentovány kuličkami o konkrétní poloze, ale vlnovou funkcí, jejíž normovaný kvadrát udává rozložení pravděpodobnosti nalezení částice v určitém prostoru. Jelikož principiálně nemůžeme částici pozorovat z bodu do bodu, omezujeme její popis na oblak reprezentující místa, kde částici můžeme najít a okolní prostor, kde je pravděpodobnost jejího výskytu minimální. Například elektron v atomu vodíku je podmínkami danými jádrem omezen na určitý prostor. Rozložení tohoto prostoru je jiné pro různé energie elektronu (Obr. 26). Obr. č. 26: Kvantově mechanický model orbitalů atomu vodíku. Hustota teček určuje míru pravděpodobnosti, že při měření nalezneme elektron na daném místě. (V atomu vodíku je pouze jeden jediný elektron.) (30) Experimentátor, který se snaží pozorovat částici v mikrosvětě, ji pozoruje pomocí měření. Dokud nic nenaměří, existuje pouze vlnová funkce a vědec nic nevidí. Tím, že vědec provede měření, získá jednu fotografii. Říkáme, že měřením se vlnová funkce kolabuje do jednoho konkrétního umístění. Hned po získání fotky se však vlnová funkce popisující částici znovu rozpíná do prostoru a umístění částice při dalším měření je opět ponecháno pravděpodobnosti. 52

62 Analogicky se chová zrnko písku, které náhodně umístíme na prázdnou lištu z původní úlohy. Po chvíli strávené na liště, bude velká pravděpodobnost, že jej nalezneme poblíž některého z uzlů a naopak malá pravděpodobnost, že jej nalezneme poblíž kmitny. Vlnová funkce jediného zrnka písku bude vypadat, jako na obrázku 27, který je způsobem znázornění podobný obrázku 26 pro jediný elektron umístěný v atomu vodíku. Obr. č. 27: Přibližné znázornění vlny pravděpodobnosti výskytu jednoho samotného zrnka písku na liště. Princip nerozlišitelnosti částic Experiment dobře demonstruje princip nerozlišitelnosti částic. V mikrosvětě jsou například všechny neutrony naprosto totožné a není možné si jeden označit a pozorovat jej. Stejně tak v našem experimentu zdánlivě není možné v záplavě tisíců zrn pozorovat jedno jediné. Pokud pořídíme dvě fotografie s časovým rozestupem jedné sekundy, nebudeme schopni identifikovat posun jednotlivých zrn. Pokud si vybereme zrno na první fotografii, nebudeme schopni říct, které to je na fotografii druhé. Uvidíme pouze změnu rozmístění celku. 53

63 3.11. Vlna z lidí: Lom vlny Pohybová úloha Cíle experimentu: Žáci v roli vlnoplochy zažijí vliv rychlosti pohybu v prostředí na směr pohybu Žák pojmenuje důvody změny směru šíření vlny při přechodu přes rozhraní dvou prostředí Teorie: Lom vlnění na rozhraní dvou prostředí je důsledkem toho, že vlnoplocha je vždy kolmá na směr šíření vlny, což plyne přímo z Huygensova principu. Jedná se tedy o jev vysvětlitelný geometrickou optikou (Obr. 28), což nám umožňuje vpravit žáky do role paprsku. Obr. č. 28: Lom vlny znázorněný geometrickou optikou (4) Řada žáků jdoucích vedle sebe po rovnoběžných trajektoriích nám může reprezentovat svazek paprsků. Jednotnou vlnoplochu vytvoříme tak, že se žáci budou držet za ruce a v žádném případě se v průběhu demonstrace nepustí. Pokud krajní žák z řady bude donucen zpomalit (bod A na obr. 28), nezbude ostatním nic jiného, než změnit směr rychlosti, jelikož velikost rychlosti je pevně dána prostředím. Měnit směr rychlosti pohybu je nutné do doby, než i ostatní žáci narazí na nové prostředí a srovnají tak velikost rychlosti. To, že se žáci drží za ruce, nám zaručuje kolmost vlnoplochy, protože dva body ležící na dvou různých rovnoběžkách jsou si nejblíže, pokud jsou na téže vlnoploše. Jelikož 54

64 mají žáci omezenou délku rukou, nemohou tuto vzdálenost příliš změnit od té nejmenší možné, tj. od té na vlnoploše. Pomůcky: Dostatečný počet žáků (ideálně 8 a více), lano, dostatečně velký prostor (tělocvična, park apod.) Postup: Doporučujeme demonstrovat přechod z prostředí s vysokou rychlostí šíření vlny do prostředí s rychlostí nižší. Je potřeba, aby se žáci v experimentu dobře zorientovali: Jednotliví žáci jsou paprsky, řada žáků tvoří vlnoplochu. Dokud žáci nepřekročí lano, musí se pohybovat pořád stejnou rychlostí, po přechodu každý jednotlivec výrazně zpomalí. Pohyb v prvním prostředí doporučujeme jako klidnou chůzi, pohyb ve druhém prostředí musí být výrazně pomalejší. Aby se demonstrace podařila, musí se žáci po celou dobu držet za ruce. Nejprve sjednotíme chůzi tak, že necháme paprsky dopadat na rozhraní kolmo. V takovém případě se směr paprsků po přechodu rozhraním měnit nebude, pouze celá řada studentů při přechodu lana najednou zpomalí. Poté zkusíme nastavit úhel dopadu mezi 30 až 50. Žáky seřadíme tak, aby mezi prvními, kdo budou nuceni zpomalit, byli statní jedinci, kteří se nepustí a udrží zpomalenou rychlost po přechodu lana (prostředí), přestože je spolužáci budou tahat vpřed. Řada by měla sama po příchodu prvního žáka k lanu měnit směr v důsledku zvyšující se vzdálenosti mezi žáky po zpomalení prvního z nich. Pokud se tak nestane, můžeme zvýšit úhel dopadu a zpomalit rychlost šíření ve druhém prostředí. Pokud se řada žáků trhá, je na místě je upozornit, že v daném prostředí nesmí měnit velikost rychlosti, ale mohou změnit směr, pokud je to nutné. 55

65 4. Úlohy: Akustika 4.1. Neprostupnost zvuku vakuem Demonstrační experiment Cíle experimentu Žák slyší, že zvuk se vakuem nešíří. Teorie Pro šíření zvuku je potřeba látkové prostředí, ve vakuu nedochází k přenosu pohybu kmitajících částic. Umístíme-li pod skleněný zvon reproduktor a následně vývěvou vyčerpáme vzduch, zvuk z reproduktoru nebude slyšet. Na tento experiment se odkazuje mnoho učebnic A, E, G, H, I (Tab. 1), proto jsme se ho rozhodli zařadit do naší práce. Jak se ukázalo, experiment lze demonstrovat s ruční kuchyňskou vývěvou (Obr. 29). Na tom, zda hlasitost zvuku poklesla, jsme nedošli ke shodě: Výsledek experimentu byl nejednoznačný. Pro zvýraznění výsledku jsme provedli měření i za použití laboratorní vývěvy (Obr. 30), s tou experiment nebyl průkazný, a to i přes dosažení tlaku pouhých p = 0,05 atm. Pomůcky Ruční vývěva, molitan, mobilní telefon. V přesnější verzi laboratorní vývěva, polystyren, reproduktor, generátor tónů a hlukoměr Postup s ruční vývěvou Vnitřek vývěvy vyplníme molitanem a vložíme do něj mobilní telefon (Obr. 29). Pumpováním odčerpáme část vzduchu uvnitř vývěvy. Zavoláme na mobilní telefon a necháme jej vyzvánět. Do vývěvy postupně vpouštíme vzduch a posloucháme, zda se hlasitost vyzvánění zvyšuje. 56

66 Obr. č. 29: Mobilní telefon umístěný v ruční vývěvě. Vzorový výsledek Změnu hlasitosti vyzvánění vně vývěvy detekujeme subjektivně sluchem. Pro tuto práci jsme provedli také měření hlukoměrem (během výuky nedoporučujeme). Naměřená intenzita při odčerpaném zvuku byla v rozpětí 71,5 db až 72 db, po opětovném napuštění zvuku do vývěvy stoupla na 73,5 db až 74 db. Technické poznámky V rámci práce jsme se pokusili zařadit přesnější experiment s použitím laboratorní vývěvy. Experiment nebyl průkazný, postup a výsledky uvádíme níže. Do laboratorní vývěvy jsme umístili reproduktor podložený větší vrstvou polystyrenu, který měl zajistit zvukovou izolaci od kovové kostry vývěvy. K reproduktoru jsme přivedly vývody z generátoru tónů. Ve směru zvuku z reproduktoru jsme umístili hlukoměr (Obr. 30). Veškerá měření se tak odehrávala uvnitř vývěvy, kde je značně odstíněn hluk okolí. 57

67 Obr. č. 30: Uspořádání experimentu s laboratorní vývěvou. Odčerpávání vzduchu z vývěvy je hlučné, proto měření provádíme od chvíle, kdy ve vývěvě dosáhneme co nejnižšího tlaku. Postupným připouštěním vzduchu do vývěvy zvyšujeme tlak uvnitř vývěvy. Měření jsme provedli s různými frekvencemi tónů. Závislost hlasitosti na tlaku můžeme vidět v grafu 4 (Graf 4). 100 L p (db) Hlasitost 330 Hz Hlasitost 80 Hz ,5 1 p (atm) Graf č. 4: Závislost hlasitosti L p na tlaku vzduchu p uvnitř vývěvy pro různé frekvence tónu. Při frekvenci tónu 330 Hz došlo při tlaku kolem 0,3 atm nejprve k nepatrnému zesílení tónu a až na hranici 0,05 atm pak k mírnému snížení hlasitosti o necelé 3 db. Zesílení si vysvětlujeme rezonancí zvonu. Frekvence tónu 80 Hz je zástupcem frekvencí, při kterých k rezonanci nedošlo. Hlasitost se začala snižovat při tlacích nižších než 0,2 atm, ale celkově o pouhý 1 db. Takto malá změna je sice měřitelná, není však v rámci experimentu slyšitelná. Spolu 58

68 s dalšími vlivy jako je rezonance konstrukce podléhá měření větší hrubé chybě než samotný efekt, který chceme pozorovat. 59

69 4.2. Rychlost zvuku ve vzduchu a butanu Demonstrační experiment Cíle experimentu: Žák pozoruje závislost rychlosti šíření zvuku na vlastnostech prostředí, v němž se zvuk šíří Žák měří rychlost zvuku v butanu Žák aplikuje poznatky o stojatém vlnění při měření rychlosti zvuku v plynu Teorie: Rychlost šíření zvuku ve vzduchu je dle našeho měření vyšší než v butanu. Molární hmotnost butanu C 4 H 10 je přibližně 58 g/mol. Molární hmotnost vzduchu je 29 g/mol, což je polovina. Pokud částicím obou plynů dodáme stejnou pohybovou energii například reproduktorem, potom rychlost, kterou se budou částice pohybovat, bude v butanu výrazně menší. To prodlouží dobu mezi srážkami s dalšími atomy plynu a i celá zvuková vlna se bude šířit pomaleji. Vezmeme dva stejné odměrné válce, v jednom ponecháme vzduch a druhý napustíme butanem. Pokud vybudíme stojatou vlnu (například fouknutím na hranu hrdla) vzniknou v obou nádobách stojaté vlny s kmitnou u hrdla, uzlem u dna a stejnými vlnovými délkami λ. Rychlost šíření v je ve vzduchu vyšší, proto bude podle vzorce: v = λ f také frekvence f kmiten stojaté vlny ve vzduchu vyšší než v butanu. Pomůcky: Dva stejně vysoké odměrné válce nebo plastové trubky, butan, PC s programem Vizual Analyzer 9 (19) Postup: Oba válce postavíme vedle sebe. Umístíme reproduktor do hrdla válce. Do jednoho válce napustíme butan z plynového vařiče, hustota butanu je vyšší než vzduchu, takže vzduch postupně vytlačí. Při napouštění pozorně posloucháme klesající frekvenci vycházejícího zvuku. Fouknutím na hranu válce vybudíme stojatou vlnu na vzduchovém válci a následně porovnáme s butanovým válcem. Pro nespornost měření doplňujeme 9 Odkaz ke stažení naleznete ve zdroji. Obsluha programu je popsána v úloze 4.4 Výroba hudebního nástroje 60

70 o data naměřená mikrofonem, která nám program Vizual Analyzer zobrazuje v reálném čase (Tab. 5). Vzorový výsledek: Vzorové řešení naleznete v příloze (Příloha 11 Rychlost zvuku vzduch a butan.mp4). f (Hz) Vzduch Butan Mód Mód Mód Tab. č. 5: Porovnání frekvencí stojaté vlny v téže nádobě se vzduchem a butanem. Frekvence, a tím i rychlost šíření zvuku, je pro butan přibližně o šestinu nižší. Metodické poznámky: Experiment lze provést v jedné nádobě, nejprve se vzduchem a až poté s butanem. Testovací hodina však ukázala, že bez naměřených dat z PC (tj. porovnáváme pouze poslechem) je experiment neprůkazný, proto doporučujeme použít nádoby dvě. Experiment výrazně zapáchá, je proto nutné vhodně zvolit umístění experimentu. 61

71 4.3. Vědecká metoda, zahřívání zvonící tyče Laboratorní úloha/problémová úloha Cíle experimentu Žák na příkladu projde cyklem vědecké metody od teorie, přes hypotézu, její úpravu, zavržení, opravení teorie, novou hypotézu a její využití Nepřesnosti v úloze Teorie, která je zde popsána, platí pro podélné vlny, v experimentu použijeme tuto teorii pro příčné vlny, a to ze dvou důvodů: Chyba bude velmi malá. Nepřesnost je dána tím, že vztah mezi frekvencí a délkou tyče není lineární, ale kvadratický. Délka tyče zahříváním se mění výrazně méně než rychlost a tudíž chyba bude malá. Úroveň znalostí žáků, úloha v korektním podání by přesahovala základní kurz středoškolské fyziky. Pro učitele je tu závažný důsledek. Pro příčné vlnění tyče mód vlny k nemusí vycházet celočíselně, je proto vhodné experiment předchystat v celočíselné konfiguraci, abychom žáky nemátli. Toho docílíme vhodnou volbou délky tyče. Příčinou nepřesnosti jsou nenulová tloušťka tyče a komplikovanější vliv modulu pružnosti v ohybu, což způsobí i to, že vlnění není harmonické (31). Teorie Mezi rychlostí zvuku v, vlnovou délkou λ a frekvencí vlny f je vztah: λ = v f Rychlost šíření zvuku je dána materiálem. Pro neměnný materiál je mezi frekvencí a vlnovou délkou nepřímá úměrnost. Kolikrát se zvýší frekvence, tolikrát se sníží vlnová délka a naopak. Studený hranol má tepelnou roztažností menší délku než horký, proto bude znít vyšší frekvencí. Kvantitativní výpočet provedeme až po naměření experimentu. Vztah mezi délkou a změnou teploty tělesa určuje teplotní součinitel délkové roztažnosti α. Ten říká, o kolik metrů se metrové těleso prodlouží při zahřátí o 1 C. 62

72 Pomůcky Ocelový hranol nebo tyč délky cca 10 cm s otvorem pro zavěšení, tenký drátek na zavěšení, palička od ladičky nebo kladívko, stojan, kahan, zápalky, posuvné měřidlo, kleště, PC s programem pro zpracování zvuku Postup experimentu Postup experimentu doporučujeme sledovat s vytištěným pracovním listem s řešením pro učitele (Příloha 12_1 PL vzor zahřívání tyče.docx), mimoto je přiložen také prázdný pracovní list pro žáky (Příloha 12_2 PL zahřívání tyče.docx). Před experimentem zadáme úlohu pro žáky, odpověď si vypracují sami do sešitu: Udeříme paličkou do studeného hranolu, poté ho nad kahanem zahřejeme a udeříme znovu. Bude zahřátý hranol znít jinak než studený? Bude frekvence zvuku zahřátého hranolu vyšší nebo nižší než u hranolu studeného? (Příklad 1 Přílohy 12_1) Poté zavěsíme ocelový hranol na tenký drátek. Ujistíme se, že při úderu paličkou zní netlumeně. Změříme jeho délku posuvným měřidlem. Předpokládáme, že studený hranol má pokojovou teplotu. Udeříme paličkou do hranolu a zvuk zaznamenáme. Pro záznam je vhodné použít program, který umožňuje frekvenční analýzu, např. volně dostupný program Vizual Analyzer 10 (19). Provedeme analýzu a zaznamenáme hodnoty nejvýznamnějších tónů. Může se stát, že po zahřátí některý z tónů bude utlumený, doporučujeme proto experiment předem vyzkoušet. Nyní zahřejeme hranol nad kahanem. Ihned po odstavení udeříme paličkou znovu a zaznamenáme zvuk. Žáci sami zapíší výsledek, zaznamenají, zda je frekvence vyšší nebo nižší a zkontrolují svoji hypotézu. My mezitím v programu odečteme přesnou hodnotu frekvence. Tuto část experimentu je možné provádět i na základní škole jako důkaz tepelné roztažnosti těles. 10 Odkaz ke stažení naleznete ve zdroji. Obsluha programu je popsána v úloze 4.4: Výroba hudebního nástroje 63

73 Problémová úloha 1: Vlnová délka Zadání: Ověřte platnost vzorce λ = v f dosazením hodnot naměřených na studeném hranolu. Rychlost zvukových vln v oceli je v = m/s (32). (Příklad 2) Diskutujte, proč nevychází rovnost. Řešení Vlnová délka zvuku v oceli je něco jiného než délka ocelového hranolu. Délka se shoduje pouze pro 2. kmitový mód jak je vidět na obrázku (Obr. 31). My nevíme, o kolikátý mód se jedná. Obr. č. 31: Módy stojaté vlny v hranolu s otevřenými konci. Mezi délkou tyče l a vlnovou délkou λ je vztah: kde k je celé číslo udávající pořadí módu. λ = 2l k, Dosazením dostaneme vztah mezi délkou hranolu a frekvencí tónu: A po úpravě: 2l k = v f. l = vk 2f. Pokud budeme pozorovat před i po zahřátí hranolu stejný mód tónu, můžeme délku hranolu a frekvenci navzájem převádět pomocí nepřímé úměrnosti. (Příklad 2 a Teorie 2 Příloha 12_1) 64

74 Vzorový výsledek Na videu je možné vidět postup s ohříváním studeného hranolu i postup s chlazením horkého hranolu. Ohřívání má výhodu rychlosti, ovšem kahan může nepříznivě hlučit do mikrofonu a přehlušit měření. Chlazení je delší, zato probíhá potichu. Žáci si při syčení vody na rozpáleném hranolu uvědomí její nebezpečně vysokou teplotu. Vzorový výsledek naleznete v příloze 12_3 Zahřívání tyče.mp4. Jako vedlejší úkaz si můžeme povšimnout, že od určité teploty přestává hranol znít, což by nemělo chybět v zápisu pozorování Problémová úloha 2: Výsledky nejsou reálné, nová hypotéza Dosazením měřených hodnot do vzorce: l = v 2kf vychází nereálný výsledek (Příklad 3 Příloha 12_1). Pokud měření ověříme posuvným měřidlem, zjistíme, že prodloužení nedosahuje ani desetiny vypočteného výsledku. Následuje tedy zamítnutí původní hypotézy a hledání omylu v její formulaci. Omyl je v předpokladu, že při změně teploty se nemění rychlost šíření vlnění. Při vyšší teplotě dochází k oslabení vazby oddalováním částic a vyšší rychlostí pohybu atomů. Snižuje se tak napětí a tím i rychlost šíření vln. Hypotézu upravíme, aby postihovala změnu rychlosti vlivem teploty (Teorie 3 Příloha 12_1). Z upravené teorie není možno určit prodloužení hranolu pouze z frekvence tónu, změníme tedy její využití. Nová teorie nám pomůže určit rychlost šíření vlny v horkém hranolu pomocí známých frekvencí a jeho délky. Poslední teorii můžeme podrobit testování. Z teorie vyplývá hypotéza, že rychlost šíření zvuku je nižší. Žáci hypotézu potvrdí výpočtem. (Příklad 5 Příloha 12_1) 65

75 4.4. Výroba hudebního nástroje Praktická úloha Cíle experimentu Žák upevňuje znalost nepřímé úměrnosti mezi vlnovou délkou a frekvencí Žák užije kalibraci měření Volitelně: Žák vytvoří vlastní hudební nástroj na základě svých výpočtů Hudební nástroj z PVC trubek Teorie Mezi výškou vzduchového sloupce h v trubce a frekvencí zvuku f je nepřímá úměrnost: h~ 1 f Kolikrát se zvýší frekvence, tolikrát se sníží vlnová délka a naopak. Pro měření výšky sloupce vzduchu u ostatních trubek, potřebujeme znát délku jedné z nich pro kalibraci měření. U měření je dobře vidět, že nevzniká pouze 1 tón, ale také tóny vyšších harmonických frekvencí. Pro výpočet nepřímou úměrností je vhodné počítat vždy odpovídající mód. Frekvence se liší podle způsobu úhozu: Pokud do trubky foukáme, vybudíme vlnění, které má na obou koncích volný prostor a tudíž se zde tvoří kmitny. Pokud do otvoru na konci trubky uhodíme dlaní a dlaň necháme přitisknutou na otvoru, vznikne v tomto místě uzel. Pokud do trubky uhodíme dlaní a dlaň zase oddálíme, uzel se uvolní. Budou obsaženy tóny obou předchozích možností. Tato varianta má méně jasnou strukturu, proto ji nedoporučujeme (Obr. 32 a 33). Při úderech dlaní do trubek delších než 80 cm se ukázalo, že základní frekvence není dostatečně hlasitá pro měření. 66

76 Obr. č. 32: Módy stojatých vln v otevřené trubce a jednostranně uzavřené trubce. Vlevo varianta s oběma konci volnými. Vyšší frekvence jsou násobky základní frekvence. Vpravo varianta s jedním koncem uzavřeným dlaní po úhozu. Frekvence jsou posunuty níže o polovinu základní frekvence oproti variantě s volnými konci. Obr. č. 33: Naměřené frekvence trubky. A Záznam měření varianty s oběma konci volnými pro délku tyče 64,4 cm. B Záznam měření téže tyče po úderu dlaní, je zde vidět posun. Ze znalosti módu vlny je možné vypočítat rychlost zvuku ve vzduchu, viz úloha 4.2: Rychlost zvuku ve vzduchu a butanu. Pomůcky Trubky z PVC různých délek, pilka, metr, PC s programem pro zpracování zvuku (Vizual Analyzer 11 (19)) a mikrofonem, smirkový papír 11 Odkaz ke stažení naleznete ve zdroji. 67

77 Ovládání programu Vizual Analyzer Pro měření frekvencí budeme používat freeware program Vizual Analyzer (19). Nejprve popíšeme jeho základní ovládání, které pak využijeme v experimentu (Obr. 34). Obr. č. 34: Popis ovládání programu Vizual Analyzer. 1. Zapnutí a přerušení měření. Po zapnutí se staré údaje vymažou. 2. Okno s frekvenční analýzou. Každé frekvenci je přiřazena její relativní hlasitost. 3. Přechod na nabídku pro nastavení osy x. 4. Tlačítko Log přepíná lineární a logaritmické měřítko osy (zvlášť pro osu x a osu y). Tlačítko Hold způsobí, že každé frekvenci bude přiřazena maximální hlasitost během celého měření. Tuto možnost využijeme tehdy, chceme-li měření zpracovávat až po jeho ukončení. Nevýhodou je, že se nám budou ukládat i ruchy ze třídy. 5. Upravuje měřítko hlasitosti. Při použití nabídky Hold není možné měnit. Při výběru možnosti Hold zůstává aktivní poslední nastavení. 6. Nastavení rozpětí osy x. Zde upozorňujeme, že maximum, je nezvykle nahoře. 68

78 Postup Pokud hodinu vedeme na základní škole jako hodinu vyrob si svůj hudební nástroj, je vhodné předem zvolit, zda budeme do PVC trubek foukat nebo do nich tlouci dlaní/plácačkou. Zvolíme si, který mód budeme pozorovat. Nedoporučujeme mód základní, jelikož není vždy měřitelný. První měření a výpočty doporučujeme provést demonstračně. Postupně zodpovíme otázky: 1. Předpovězte frekvenci tónu, znáte-li délku trubky 2. Určete délku trubky, chcete-li získat určitou frekvenci tónu (nutné pro výrobu vlastního hudebního nástroje) Nastavíme Vizual Analyzer. Citlivost volíme tak, aby hluky třídy co možná nejméně zasahovaly do měření; je vhodné užít logaritmickou stupnici osy y. Zvolíme nastavení Hold a dále vhodné rozpětí osy x. Osu x nastavíme na lineární škálu. Tvorbu zvuku do mikrofonu přenecháme vybranému žákovi, učitel pouze spouští a ukončuje měření. Údaje každého měření je vhodné zaznamenávat do tabulky. Vzorový výsledek Pro názornost ve vzorovém záznamu nepoužíváme nastavení Hold, ale průměrování nastavené na 5 s. Pro výpočty se jeví vhodné nepoužívat základní mód, ale následující, jelikož u některých měření není základní mód dostatečně hlasitý. Vždy je však z měření patrné, pokud základní mód chybí (viz měření 89,7 cm jeden konec pevný ve videu). Výsledky měření jsou shrnuty v tabulce 6. Vzorový záznam je znázorněn v příloze 13_1 Výroba hudebního nástroje.mp4. Frekvence druhého módu úderem dlaně f (Hz) Vypočtená délka l (m) Vypočtená délka l (cm) Délka změřená metrem (cm) První tyč 280 0,897 89,7 Kalibrační měření Kalibrační měření 89,7 Druhá tyč 310 0,810 81,0 81,3 Třetí tyč 390 0,644 64,4 64,4 Čtvrtá tyč 525 0,478 47,8 47,9 Tab. č. 6: Výpočet délky trubek z frekvence a kontrolní měření metrem. Příloha 13_2 Záznam skladby.mp4 obsahuje záznam písničky zahrané žákem na vlastnoručně vyrobený hudební nástroj (Obr. 35). Některé tóny mírně neladí, jelikož žáci nepoužili vzorovou tabulku, ale v rámci práce rozdělili oktávu na 8 tónů v duchu 69

79 rovnoměrného temperovaného ladění. Správně měla být oktáva rozdělena na 13 tónů (8 tónů a 5 půltónů). Obr. č. 35: Hudební nástroj z trubek vyrobený skupinou žáků během testovací hodiny. Metodická poznámka Pro zvýšení motivace žáků můžeme spojit výuku fyziky s výtvarnou výchovou, kde si žáci vytvoří hudební nástroj zajímavějšího designu v rámci celotřídního projektu. Trubka musí mít vhodnou délku, zůstává ale volnost ve volbě tvaru. Motivační může být i video skupiny Blue Man Group, která tohoto nástroje užívá v kombinaci s plácačkami. Hudba zní velmi netradičně (Obr. 36). Obr. č. 36: Ukázka kreativního zpracování hudebního nástroje z PVC trubek (33). 70

80 Vyrob si vlastní hudební nástroj Spočítej, jaké délky plastových trubek by měl výrobce nařezat, aby vytvořil tóny jednočárkované oktávy? Doplň do tabulky (Tab. 7). C D E F G A H C f (Hz) l (mm) l (m) Tab. č. 7: Výpočet délky trubek. (34) Dle údajů z tabulky může žák pomocí PVC trubek stejného průměru, metru a pily sám vytvořit hudební nástroj s rozsahem celé oktávy Hudební nástroj z ocelových tyčí Teorie Při úderu do ocelové tyčky se šíří zvuk tyčkou hlavně v podobě příčné vlny. U této vlny je nepřímá úměrnost mezi délkou tyče d a odmocninou frekvence f: d~ 1 f Stále platí, že čím je delší tyč, tím hlubší je tón. Před výpočtem nepřímé úměrnosti je nejprve potřeba určit kvadrát frekvence f (35). Pomůcky Ocelové tyčky různých délek (stejné tloušťky), PC s programem pro zpracování zvuku (Vizual Analyzer 12 (19)) a mikrofonem, kladívko, posuvné měřidlo, pravítko, provázek, izolepa, smirkový papír, pilka na železo Postup Vezmeme tyče ze známého kovu a zavěsíme je. Nejjednodušší je pověsit je za provázek přilepený k tyči izolepou. My jsme využili zakoupený nástroj na obrázku (Obr. 37). 12 Odkaz ke stažení naleznete ve zdroji. 71

81 Obr. č. 37: Hudební nástroj z ocelových tyčí. Experiment provádíme analogicky jako s trubkami. Do tyčí vedeme úhozy kladívkem. Při zpracování použijeme složitější tabulku (Tab.8). Při měření dalších tyčí musíme použít mód frekvence, které si vzájemně odpovídají. Není zde možné využít pořadí módu, jelikož se nejedná o harmonickou vlnu (Obr. 38). Vzorový výsledek Obr. č. 38: Kalibrační měření frekvence tyče. Tyč délky l = 95,10 mm, frekvence f = 3045 Hz. Jak je vidět z různých rozestupů vrcholů, nejedná se o harmonické vlnění. Frekvence (Hz) f l (m) l (mm) Délka změřená posuvným měřidlem (mm) První tyč ,18 0, ,1 Kalibrační měření Kalibrační měření 95,10 Druhá tyč ,87 0, ,2 85,20 Třetí tyč ,27 0, ,4 80,35 Čtvrtá tyč ,77 0, ,3 75,20 Tab. č. 8: Výpočet délek tyčí z frekvence a kontrolní měření posuvným měřidlem. 72

82 Vyrob si vlastní hudební nástroj Spočítej, jaké délky ocelových tyčí by měl výrobce nařezat, aby vytvořil tóny čtyřčárkované oktávy? Doplň do tabulky (Tab. 9). C D E F G A H C f (Hz) f l (m) l (mm) Tab. č. 9: Výpočet délky tyčí. (34) Užitím tabulky může žák z železné tyče pomocí pravítka, pilky na železo, provázků a izolepy sám vytvořit hudební nástroj s rozsahem celé oktávy. Technické poznámky Pro řezání ocelových tyčí je vhodné mít k dispozici svěrák. Při testování jsme vyzkoušeli i hliníkové tyče, ty se snadno řežou, ale oproti ocelovým tyčím zní výrazně hůře a jsou přibližně dvakrát dražší. Délka tyčí by neměla být kratší než 7 cm. 73

83 4.5. Barva zvuku Laboratorní úloha Cíle experimentu Žák samostatně objeví, co je barva zvuku a proč stejný tón zní na různých nástrojích jinak Žák pozoruje na příkladech, že vyšší harmonické frekvence jsou celočíselným násobkem frekvence základní. Žák využívá grafy, případně MS Excel, při zpracování velkého množství dat (mezipředmětové vztahy). Teorie Hudební nástroje nevytvářejí tón pouze jedné dané frekvence. Např. struna (analogicky i vzduchový tubus) na sobě může vytvořit různé stojaté vlny (Obr. 39). Obr. č. 39: Módy stojaté vlny na struně. Tyto vlny rozkmitávají vzduch s frekvencí základní nebo násobnou, podle toho, o kolikátý mód se jedná. Násobným frekvencím se říká vyšší harmonické frekvence a jejich procentuální zastoupení ve výsledném tónu se liší dle druhu hudebního nástroje. V této úloze je budeme hledat podle jejich hlasitostního zastoupení v nahrávce. Čistý tón určité frekvence z tónového generátoru, který neobsahuje vyšší harmonické frekvence, nám připadá nepřirozený a nepodobný tónu hranému na hudební nástroj. Běžné předměty totiž neumí vydávat pouze základní frekvence tónu. 74

84 Přenosem parametrů vlny na struně na zvuk se zabývá úloha 3.1: Struna a zvuk. S úlohou úzce souvisí úloha 4.4 Výroba hudebního nástroje. Pomůcky PC s programem Audacity (16), záznamy tónů zahraných na různé hudební nástroje (případně různé hudební nástroje a mikrofon), vzorové nahrávky, viz přílohy 14_1 až 14_5 zdroj (36) Postup Pomocí mikrofonu a programu Audacity přehrajeme žákům nahrávku. (Případně s nimi nahrajeme tón hudebního nástroje.) V programu označíme oblast zaznamenávající zvuk nástroje a v nabídce Rozbor zvolíme Kreslit spektrum (Obr. 40). Nastavení okna a jednotlivé frekvence maxim odečteme podle obrázku 41. Obr. č. 40: Spuštění frekvenční analýzy v Audacity. 75

85 Obr. č. 41: Frekvenční analýza v Audacity. Nabídka Osa umožní diskusi o logaritmickém měřítku. Nabídka Uložit v jiném formátu slouží pro další zpracování v Excelu. Pro porovnání barvy zvuku dvou nástrojů je vhodné použít stejné tóny. Zpracování s použitím Excelu Motivace k využití Excelu Minutový záznam zvuku obsahuje přibližně jeden milion údajů o tom, v jaké poloze se ve kterém čase nacházel mikrofon. Při spektrální analýze tyto údaje rozdělíme do čtyř tisíc kategorií podle frekvence, a z nich budeme hledat pouze několik nejhlasitějších. Bez využití vhodného softwaru je velmi náročné v tabulce se čtyřmi tisíci řádky najít potřebná data. Program Audacity vykreslí graf, ve kterém označí maxima. Podobný nástroj pro hledání maxim můžeme vytvořit v programu MS Excel. Návod ke zpracování dat: Příloha 14_6 Zpracování barvy.xlsx + Videonávod Příloha 14_7 Návod frekvenční analýza.mp4. Videonávod byl vytvořen pomocí programu Screencast o matic, který slouží k záznamu obrazovky počítače (37) Popis tabulky Sloupce A a B jsou určeny pro importovaná data. 76