Matematické metody rozhodování

Matematické metody rozhodování Roman Hájek, Klára Hrůzová, Tomáš Konečný, Markéta Krmelová, Martin Trnečka 20. března 2010 Rozhodovacíproblém: Výběrideálníhonotebooku. ID Notebook Váha Design Baterie Procesor RAM Disk 1 Acer 2,50 nic moc 2 Intel Celeron 1 160 2 Asus 2,60 ujde 3,5 AMD Turino X2 2 500 3 HP 2,49 nicmoc 5 IntelCore2DuoT5870 4 320 4 Dell 2,64 ujde 4 Intel Pentium Dual Core T3400 3 250 5 Lenovo 2,50 nic moc 4 Intel Centrino 2 250 6 Packard 2,70 dobrý 3 Intel Pentium Dual Core T4300 3 320 7 Samsung 2,60 ujde 3 Intel Core i3 4 500 8 Sony 2,70 dobrý 4,5 Intel Core 2 Duo T6600 4 500 9 Toshiba 2,72 ujde 3,5 Intel Pentium Dual Core T4400 2 500 10 Fujitsu 2,70 nic moc 3 Intel Core 2 Duo P7450 4 320 Tabulka 1: Tabulka důsledků Poznámka: Hodnoty ve sloupci Design jsou seřezany: nic moc < ujde < dobrý. Hodnoty ve sloupci procesor jsouseřezenytakto:1<2<4<7<6<9<3,5<8 <10. Strom cílů: Výběr notebooku Dobrá konfigurace Praktičnost Design Procesor RAM Disk Baterie Váha Obrázek 1: Strom cílů Seřazení kritérií: Procesor RAM Baterie Disk Design Váha 1

Váhy kriterii: Označení Název Váha Váha (přímou metodou) (normovaná) K 1 Procesor 0.8 0.30 K 2 RAM 0.7 0.27 K 3 Baterie 0.5 0.19 K 4 Disk 0.3 0.12 K 5 Design 0.2 0.08 K 6 Vaha 0.1 0.04 Rozdělení kriterii do skupin: Tabulka 2: Kriteria K 1,K 2 K 3,K 4 K 5,K 6 Obrázek 2: Rozdělení kriterii dle kategorii Metfesselova alokace: K 4 =11.5% K 5 =7.5% K 6 =5% K 1 =30% K 3 =19% K 2 =27% Obrázek 3: Metfesselova alokace(přímá) Poznámka: Označenípoužitévobrázku4jenásledující. K 1 K 6 označujejednotlivákriteria. K A označuje množinuvšechkritérií. K B = K A \ {K 1 }, K C = K B \ {K 2 }... Výsledné váhy kritérií získané pomocí postupné Metfesselovi alokace ukazuje tabulka 12. 2

K A K 1 0.3 K 2 0.38 K B K 3 0.43 0.7 K C K 4 0.46 0.62 K D 0.57 K E 0.54 K 5 K 6 0.56 0.44 Obrázek 4: Metfesselova alokace(postupná) Označení Název Váha (nepřímá metoda) K 1 Procesor 0.300 K 2 RAM 0.266 K 3 Baterie 0.186 K 4 Disk 0.114 K 5 Design 0.075 K 6 Vaha 0.059 Tabulka 3: Kritéria získaná Metfesselovou alokací Nepřímé metody stanovení vah kritérií: 1. Preferenční pořadí: Označení Název Váha w i Normovanáváha v i K 6 Váha 1 0.04 K 5 Design 2 0.08 K 4 Disk 3 0.12 K 3 Baterie 5 0.19 K 2 RAM 7 0.27 K 1 Procesor 8 0.30 Tabulka 4: Váhy kritérií získané metodou preferenčního pořadí 3

2. Párové srovnávání: Kritéria K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Váha w i Normovanáváha v i K 1 0 1 1 1 1 1 6 0.29 K 2 0 0 1 1 1 1 5 0.24 K 3 0 0 0 1 1 1 4 0.19 K 4 0 0 0 0 1 1 3 0.14 K 5 0 0 0 0 0 1 2 0.10 K 6 0 0 0 0 0 0 1 0.05 Tabulka 5: Váhy kritérií získané metodou párového srovnávání Saatyho metoda: Hodnoty se do matice přiřazují podle následujících kritérií. 1- stejně významné 3- K i jeslaběvýznamnější K j 5- K i jedostivýznamnější K j 7- K i jeprokazatelněvýznamnější K j 9- K i jeabsolutněvýznamnější K j Pro náš rozhodovací problém pak matice odpovdá tabulce 6 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 1 1.0000 3.0000 5.0000 5.0000 9.0000 9.0000 K 2 0.3333 1.0000 5.0000 5.0000 9.0000 9.0000 K 3 0.2000 0.2000 1.0000 3.0000 7.0000 7.0000 K 4 0.2000 0.2000 0.3333 1.0000 7.0000 7.0000 K 5 0.1111 0.1111 0.1429 0.1429 1.0000 3.0000 K 6 0.1111 0.1111 0.1429 0.1429 0.3333 1.0000 Tabulka 6: Saatyho matice S Matice ovšem nemusí být konzistentní. Pro zjištění konzistentnosti je potřeba vypočítat vlastní číslo matice S. Výsledkem výpočtu pomocí programu Matlab jsou následující dvě matice. Tyto matice pak slouží pro výpočet koeficientu nekonzistence CI= λ max m m 1 0.7802 0.7663 0.7663 0.7663 0.7663 0.7802 0.5451 0.3223 + 0.4635i 0.3223 0.4635i 0.3223 0.4635i 0.3223 + 0.4635i 0.5451 0.2454 0.1205 + 0.2087i 0.1205 0.2087i 0.1205 + 0.2087i 0.1205 0.2087i 0.2454 0.1714 0.1769 + 0.0149i 0.1769 0.0149i 0.1769 0.0149i 0.1769 + 0.0149i 0.1714 0.0551 0.0271 0.0469i 0.0271 + 0.0469i 0.0271 0.0469i 0.0271 + 0.0469i 0.0551 0.0385 0.0170 0.0361i 0.0170 + 0.0361i 0.0170 + 0.0361i 0.0170 0.0361i 0.0385 Tabulka7:PomocnámaticeekSaatyhomatici S 4

6.8470 0 0 0 0 0 0 0.2024 + 2.2989i 0 0 0 0 0 0 0.2024 2.2989i 0 0 0 0 0 0 0.4109 + 0.6766i 0 0 0 0 0 0 0.4109 0.6766i 0 0 0 0 0 0 0.4301 Tabulka8:PomocnámaticeekSaatyhomatici S kde mjepočetkritériíaλ m axjemaximálníhodnotazdruhématice.výsledekprokonzistentní matici by se měl blížit nule, ale protože nevíme, jak blízko nule by měla být, vypočítáme relativní koeficient nekonzistence daný vztahem CR= CI RI(m) kde RI(m) je pro náš případ rovno hodnotě 1.252. Aby byla matice konzistentní, je třeba, aby hodnota CR 0, 1 Po dosazení dostáváme výsledek 0.1353. Matice je tedy nekonzistentní a musíme ji tedy upravit. Po úpravě budeme postupovat stejným způsobem, jak pro první matici. Prvky upravené Saatyho matise se vpočítají pomocí vlastního vektoru z předchozích dvou matic. Vlatnívektorjevybránz6.Zvolenýsloupecodpovídásloupci,vněmžsenachází λ max v7. Výsledek vypadá následovně. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 1 1.0000 1.4313 3.1793 4.5519 14.1597 20.2649 K 2 0.6987 1.0000 2.2213 3.1803 9.8929 14.1584 K 3 0.3145 0.4502 1.0000 1.4317 4.4537 6.3740 K 4 0.2197 0.3144 0.6985 1.0000 3.1107 4.4519 K 5 0.0706 0.1011 0.2245 0.3215 1.0000 1.4312 K 6 0.0493 0.0706 0.1569 0.2246 0.6987 1.0000 Tabulka9:Saatyhomatice S Tentokrát je CR = 0. Matice je tedy konzistentní. Při výpočtech docházelo k zaokrouhlení. 0.9874 0.7802 0.9905 0.9830 0.9552 0.9552 0.1380 0.5451 0.0972 0.1719 0.0857 + 0.1846i 0.0857 0.1846i 0.0621 0.2454 0.0640 0.0228 0.2088 0.0347i 0.2088 + 0.0347i 0.0434 0.1714 0.0710 0.0526 0.0212 + 0.0097i 0.0212 0.0097i 0.0139 0.0551 0.0004 0.0289 0.0163 0.0164i 0.0163 + 0.0164i 0.0097 0.0385 0.0163 0.0008 0.0150 + 0.0017i 0.0150 0.0017i Tabulka10:PomocnámaticeekSaatyhomatici S 5

0 0 0 0 0 0 0 6.0000 0 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0000 + 0.0000i 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000i Tabulka11:PomocnámaticevkSaatyhomatici S Váha Váha Označení Název (Metfess) (Saaty) K 1 Procesor 0.300 0.425 K 2 RAM 0.266 0.297 K 3 Baterie 0.186 0.134 K 4 Disk 0.114 0.094 K 5 Design 0.075 0.030 K 6 Vaha 0.059 0.020 Tabulka 12: Kritéria získaná Saatyho metodou Kompenzeční metoda: K i =RAM, K j =váha.změnuhodnotykriteriiukazujetabulka?? Notebook Váha Design Baterie Procesor RAM Disk i Packard 2,70 dobrý 3 IntelPentiumDualCoreT4300 3 320 j Packard 2,70 dobrý 3.5 IntelPentiumDualCoreT4300 2 320 Tabulka 13: Změna kriterii h RAM (x i )=0.667 h baterie (x i )=0.333 Z předchozího pak plyne závěr, že h RAM (x j )=0.333 h baterie (x j )=0.5 Korelace vah: 2 v RAM = v baterie Použíjeme váhy získané pomocí Metfesselovi alokace. w 1 =0.3+0.266+0.114=0.68 v 1=0.309, v 2=0.274, v 4=0.117 w 2 =0.186+0.059=0.245 6

w 1 = 0.7 w 2 = 0.2 w 3 = 0.1 K 1,K 2,K 4 K 3,K 6 K 5 Obrázek 5: Korelace vah v 3 =0.152, v 6 =0.048 w 3 =0.1 v 5 =0.1 7