0.1 Úvod do lineární algebry

Transkript

1 Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání vektorů a 1, a 2,, a n b 1, b 2,, b n = a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n Příklad 01 2, 3, 4 + 1, 4, 5 = 2 + 1, 3 + 4, = 3, 1, 1 Definice 013 Definice násobení vektoru reálným číslem α α a 1, a 2,, a n = α a 1, α a 2,, α a n Příklad , 3, 2, 7 = 5 10, 5 3, 5 2, 5 7 = 50, 15, 10, 35 Příklad 03 Jsou dány vektory V 1 = 2, 3, 5 a V 2 = 1, 2, 1 Vypočtěte souřadnice vektoru U, pro který platí: U = 2V 1 + 3V 2 Řešení : U = 2V 1 + 3V 2 = 22, 3, , 2, 1 = 4, 6, , 6, 3 = 1, 12, 13 Závěr: 1, 12, 13 = 22, 3, , 2, 1 Příklad 04 Vypočtěte souřadnice vektoru U, pro který platí: U = 3V 1 5V 2 + 2V 3, kde V 1 = 3, 4, 2, V 2 = 2, 3, 1 a V 3 = 5, 3, 1 Shrnutí 1, 12, 13 = 22, 3, , 2, 1 9, 9, 13 = 33, 4, 2 52, 3, , 3, 1 Definice 014 Řekneme, že vektor U je lineární kombinací skupiny vektorů V 1, V 2, V n, jestliže existují reálná čísla α 1, α 2,,α n taková, že U = α 1 V 1 + α 2 V α 2 V 2 Příklad 05 Vektor 1, 12, 13 je lineární kombinací vektorů 2, 3, 5 a 1, 2, 1 Vektor 9, 9, 13 je lineární kombinací vektorů 3, 4, 2, 2, 3, 1 a 5, 3, 1 Příklad 06 Zjistěte, zda vektor U = 2; 5; 0 je lineární kombinací vektorů V 1 = 2; 1; 3 a V 2 = 2; 1; 2 Řešení: Je-li vektor U lineární kombinací vektorů V 1 a V 2, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici U = α V 1 + β V 2 2; 5; 0 = α2; 1; 3 + β 2; 1; 2 = 2α; α; 3α + 2β; β; 2β = 2α 2β; α + β; 3α 2β 2 = 2α 2β 5 = α + β 0 = 3α 2β α = 2 β = 3 Závěr: Vektor U je lineární kombinací vektorů V 1 a V 2 Definice 015 Skupinu vektorů V 1, V 2, V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů, resp o těchto vektorech řekneme, že jsou lineárně nezávislé

2 Matematika KMI/PMATE 2 Vektor 1, 12, 13 je lineární kombinací vektorů 2, 3, 5 a 1, 2, 1 Vektory 1, 12, 13, 2, 3, 5 a 1, 2, 1 nejsou lineárně nezávislé Vektor 9, 9, 13 je lineární kombinací vektorů 3, 4, 2, 2, 3, 1 a 5, 3, 1 Vektory 9, 9, 13, 3, 4, 2, 2, 3, 1 a 5, 3, 1 nejsou lineárně nezávislé Definice 016 Skupinu vektorů V 1, V 2, V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů V 1 = 1, 0, 0, V 2 = 0, 1, 0, V 3 = 0, 0, 1 1, 0, 0 = α0, 1, 0 + β0, 0, 1 = 0, α, 0 + 0, 0, β = 0, α, β 0, 1, 0 = α1, 0, 0 + β0, 0, 1 = α, 0, 0 + 0, 0, β = α, 0, β 0, 0, 1 = α1, 0, 0 + β0, 1, 0 = α, 0, 0 + 0, β, 0 = α, β, 0 Skupina není lineárně závislá, resp je lineárně nezávislá O geometrickém významu lineární nezávislosti vektorů viz 02 Matice Definice 021 Maticí typu m, n nazýváme schéma m n reálných čísel a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a mn = a m1 a m2 a mn Příklad B = Definice 022 Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici Příklad 08 V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a Řešení : a 23 = 2, a 31 = 6, prvek a 42 v dané matici neexistuje Definice 023 Jednotlivé řádky, resp sloupce v matici můžeme chápat jako tzv řádkové, resp sloupcové vektory Např v matici lze druhý řádek chápat jako vektor r 2 = 1, 4, 2; třetí sloupec jako vektor s 3 = Definice 024 Matici typu n n, tj matici, která má stejný počet řádků jako sloupců, nazýváme čtvercová matice

3 Matematika KMI/PMATE 3 Příklady čtvercových matic: , B = , C = Definice 025 Matici typu n m, kde n m, tj matici, která má jiný počet řádků než sloupců, nazýváme obdélníková matice Příklady obdélníkových matic: , B = , C = Definice 026 Prvky matice ve tvaru a ii nazýváme diagonální prvky Všechny diagonální prvky matice vytvářejí tzv diagonálu , B = , C = Červeně označené prvky v matici představují příslušné diagonální prvky Definice 027 Čtvercovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní trojúhelníková matice Obdélníkovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní lichoběžníková matice , B = Definice 028 Čtvercovou matici, ve které jsou všechny diagonální prvky rovny jedné, a všechny zbývající prvky jsou rovny nule, nazýváme jednotková matice Matici, ve které jsou všechny prvky rovny nule, nazýváme nulová matice , B = Definice 029 Řekneme, že dvě matice A a B jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu stejný počet řádků a sloupců a pro všechny indexy i a j platí rovnost a ij = b ij, tj a 11 = b 11, a 12 = b 12,, a mn = b mn =

4 Matematika KMI/PMATE 4 Definice 0210 Hodnost matice je číslo, které udává počet lineárně nezávislých řádkových vektorů v matici Příklad h 3 Dvě matice se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejný počet sloupců a stejnou hodnost Úpravy, které převádějí matici v matici s ní ekvivalentní nazýváme ekvivalentní úpravy Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů 4 Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme 5 Připojení dalšího řádkového vektoru, který je lineární kombinací řádkových vektorů matice 6 Záměna pořadí sloupcových vektorů Definice 0211 Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice Matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou matici Hodnost tj počet řádků této horní lichoběžníkové matice je rovna hodnosti původní matice Gaussova metoda umožňuje rozhodnout o dané skupině vektorů v aritmetickém vektorovém prostoru, zda je či není lineárně závislá Navíc převádí soustavu rovnic zapsanou v maticovém tvaru na jinou soustavu, ovšem se shodným řešením Příklad 010 Určeme hodnost matice A, kde: 1, 3, 2, 2, 4 2, 6, 3, 0, 1 1, 1, 3, 1, 5 2, 2, 13, 2, 1 Řešení: Použijeme Gaussův algoritmus Příklad 011 Úprava matice Gaussovou eliminací

5 Matematika KMI/PMATE Příklad 012 Úprava matice Gaussovou eliminací , 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, 9 Příklad 013 Úprava matice Gaussovou eliminací 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, , 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 Získali jsme horní lichoběžníkovou matici, která má hodnost 3 Proto je h 3 03 Soustava lineárních rovnic Definice 031 Soustava rovnic Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m kde a ij, b i jsou reálná čísla a x i neznámé, se nazývá soustava m lineárních algebraických rovnic o n neznámých, stručně soustava lineárních rovnic Matice je tzv matice soustavy a matice se nazývá rozšířená matice soustavy a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m Definice 032 Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = u 1, u 2,, u n R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností

6 Matematika KMI/PMATE 6 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = 5; 2; = 5 u = 2; 0; = 5 Definice 033 Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má alespoň jedno řešení právě tehdy, když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají tutéž hodnost Jestliže soustava lineárních rovnic o n neznámých má matici soustavy a rozšířenou matici soustavy téže hodnosti rovné číslu h, potom platí: 1 Jestliže h = n, soustava má právě jedno řešení 2 Jestliže h < n, soustava má nekonečně mnoho řešení Přitom všechna řešení dostaneme tak, že jistých n h neznámých volíme všemi možnými způsoby a zbývajících h neznámých jednoznačně vypočítáme Definice 034 Homogenní soustava lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic, jejichž pravé strany jsou rovny nule, se nazývá homogenní soustava lineárních rovnic Každou takovou soustavu můžeme zapsat ve tvaru: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 kde x 1, x 2,, x n jsou neznámé a prvky a ij jsou příslušné koeficienty u j-té neznámé v i-tém řádku soustavy Předchozí soustava je pouze speciálním případem soustavy s nenulovou pravou stranou Má však některé speciální zajímavé vlastnosti 1 Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení 2 Množina M všech řešení obecné soustavy lineárních rovnic tj soustavy rovnic s nenulovou pravou stranou je rovna součtu m + V libovolného tzv partikulárního řešení m obecné soustavy s vektorovým prostorem V všech řešení příslušné soustavy homogenních rovnic Vypočtěte řešení soustavy lineárních rovnic: Soustavu zapíšeme v maticovém tvaru: x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 3 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 = 7 2x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 = Při úpravě matice používáme následující úpravy k tomu, abychom ji převedli do tvaru horní lichoběžníkové matice: změna pořadí řádků matice vynásobení řádku matice nenulovým číslem

7 Matematika KMI/PMATE 7 přičtení nenulového násobku i-tého řádku k j-tému řádku vynechání řádku, který je lineární kombinací zbývajících řádků zejména pokud obsahuje pouze nuly Tím soustavu rovnic převedeme na jinou, ekvivalentní, soustavu, která má ovšem stejné řešení jako původně zadaná soustava rovnic Podle Frobeniovy věty může mít soustava lineárních rovnic celkem tři různé počty řešení: Definice 035 Soustava nemá řešení Toto nastane tehdy, jestliže se hodnost základní a rozšířené matice nerovnají Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 1 Soustava lineárních rovnic může mít celkem tři různé počty řešení: Definice 036 Soustava má právě jedno řešení Hodnost základní a rozšířené matice rovnají a tato hodnota je rovna počtu neznámých Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar resp 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 1x 4 = 3, x 4 = 3 Nyní uvažujme třetí řádek v závěrečné matici: řádek představuje rovnici tedy rovnici 0x 1 + 0x 2 + 2x 3 + x 4 = 1, 2x 3 + x 4 = 1 Již víme, že hodnota neznámé x 4 je rovna číslu 3 Rovnici upravíme do tvaru Je tedy 2x = 1, resp 2x 3 3 = 1 2x 3 = 2, resp x 3 = 1 Nyní již víme, že x 3 = 1 a x 4 = 3 Nyní uvažujme druhý řádek v závěrečné matici: řádek představuje rovnici 0x 1 + 1x 2 + 2x 3 + 1x 4 = 3, je tedy x 2 2x 3 x 4 = 3 Již víme, že x 3 = 1 a x 4 = 3 Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x = 3, resp x = 3

8 Matematika KMI/PMATE 8 Je tedy x 2 = 2 Nyní již víme, že x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3 Nakonec uvažujme první řádek v závěrečné matici: řádek představuje rovnici 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 Víme, že x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3 Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x = 2, resp x = 2 Je tedy x 1 = 1 Tím jsme získali hodnoty všech neznámých: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3 Toto řešení zapíšeme ve vektorovém tvaru: x 1, x 2, x 3, x 4 = 1, 2, 1, 3 Definice 037 Soustava má nekonečně mnoho řešení Hodnost základní a rozšířené matice se rovnají a tato hodnota je menší než počet neznámých Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar Poslední rovnice 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0, resp 0 = 0 nepřináší žádnou informaci, proto ji vůbec nebereme v úvahu Třetí řádek v závěrečné matici představuje rovnici tedy jednu rovnici s dvěma neznámými: 0x 1 + 0x 2 + 2x 3 + x 4 = 1, 2x 3 + x 4 = 1 Již víme, jak tyto rovnice řešit Neznámou x 3 položíme rovnu parametru t a neznámou x 4 vyjádříme pomocí tohoto parametru Je x 3 = t, kde t R a platí 2t + x 4 = 1, tedy x 4 = 1 2t Nyní uvažujme druhý řádek v závěrečné matici: řádek představuje rovnici 0x 1 + 1x 2 + 2x 3 + 1x 4 = 3, je tedy x 2 2x 3 x 4 = 1 Již víme, že x 3 = t a x 4 = 1 2t Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x 2 2t 1 2t = 3, resp x = 3 Je tedy x 2 = 2 Nyní již víme, že x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t, kde t R První řádek v závěrečné matici představuje rovnici 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 Víme, že x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x t t = 2, resp x t = 2

9 Matematika KMI/PMATE 9 Je tedy x 1 = t Tím jsme získali hodnoty všech neznámých: x 1 = t, x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t, kde t R Toto řešení zapíšeme ve vektorovém tvaru: x 1, x 2, x 3, x 4 = t, 2, t, 1 2t t R Řešení soustavy lze zapsat i v jiném tvaru Je: x 1, x 2, x 3, x 4 = t, 2, t, 1 2t t R = 0, 2, 0, 1 + t, 0, t, 2t = 0, 2, 0, 1 + t1, 0, 1, 2, kde vektor 0, 2, 0, 1 představuje partikulární řešení nehomogenní soustavy rovnic a množina t1, 0, 1, 2 je obecným řešením příslušné homogenní soustavy rovnic 04 Operace s maticemi Definice 041 Označení V následujícím textu bude symbol Mm, n značit množinu všech matic o rozměrech m n, tedy matici s m řádky a n sloupci Symbol M2, 2 tedy např značí množinu všech čtvercových matic s dvěma řádky a dvěma sloupci Příklad 014 Příklad M2, 3 Příklad 015 Příklad M3, 2 Definice 042 Sčítání matic Nechť a ij a b ij jsou libovolné matice z množiny Mm, n Potom sčítání matic a ij a b ij je definováno vzorcem: a ij + b ij = a ij + b ij, je tedy a 11 a 1n a 21 a 2n + b 11 b 1n b 21 b 2n = a 11 + b 11 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 2n + b 2n a m1 a mn b m1 b mn a m1 + b m1 a mn + b mn Příklad 016 Příklad = Definice 043 Násobení matic reálným číslem Násobení matice libovolným číslem α R je definováno takto αa ij = αa ij Příklad 017 Příklad = Lze snadno ověřit, že množina Mm, n spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří vektorový prostor o dimenzi m n

10 Matematika KMI/PMATE 10 Definice 044 Skalární součin vektorů Nechť u a v jsou dva vektory z aritmetického vektorového prostoru R n, tedy Skalární součin u v vektorů u a v je roven u = u 1,, u n, v = v 1,, v n u v = u 1,, u n v 1,, v n = u 1 v u n v n Příklad 018 Příklad 1, 5, 4, 3 2, 6, 3, 1 = = 41 Definice 045 Skalární součin vektorů Skalárně můžeme násobit i sloupcové vektory, nebo řádkový vektor se sloupcovým Příklad 019 Příklad = = = 44 Příklad 020 Příklad 1, 5, = = = 44 Definice 046 Násobení matic Nechť a ij Mp, q a b ij Mq, r Potom součinem matic a ij a b ij rozumíme matici c ij Mp, r, pro jejíž prvky platí c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a iq b qj, tedy platí, že prvek c ij je skalárním součinem i-tého řádku první matice a j-tého sloupce druhé matice Příklad 021 Příklad = = Příklad 022 Příklad = Definice 047 Vlastnosti součinu matic I Dvě matice lze vynásobit, jestliže lze provést příslušné skalární součiny, tj jestliže první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků Pokud se tyto počty nerovnají, matice nelze násobit Definice 048 Vlastnosti součinu matic II Násobíme-li dvě matice, potom výsledná matice má stejný počet řádků jako první matice a stejný počet sloupců jako druhá matice

11 Matematika KMI/PMATE 11 Příklad 023 Příklad - nekomutativita součinu matic = = Definice 049 Vlastnosti součinu matic III Násobení matic není obecně komutativní Nestačí říci, které matice násobíme - musí se také určit, v jakém pořadí se mají vynásobit Příklad 024 Příklad - násobení jednotkovou maticí a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 = a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b c 1 c 2 c 3 c 4 c 1 c 2 c 3 c 4 a1 a 2 a 3 b 1 b 2 b a1 a = 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Výše uvedený příklad ukazuje, že jednotková matice má charakter jednotkového prvku vzhledem k násobení matic, tedy AJ = A, resp J A, kde J značí jednotkovou matici Právě uvedenou vlastnost J AJ = A často využíváme při řešení maticových rovnic Mějme matici a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a ij = a m1 a m2 a mn Řekneme, že matice b ij je transponovaná matice k matici a ij značíme b ij = a ij T, jestliže platí a 11 a 21 a m1 a ij T = b ij = a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn Příklad 025 Příklad Vypočtěte transponovanou matici k matici A, kde Řešení: Je A T = T = Jsou dány matice A, B, X, kde , B = 5 5, X = x y z Rozepište maticovou rovnici AX = B

12 Matematika KMI/PMATE 12 Řešení: Nejprve nalezneme matici AX Je zřejmé, že výsledná matice bude mít tři řádky a jeden sloupec AX = x x + 2y + 5z y = 3x + 5y + 8z z 2x + 4y + 9z Nyní porovnáme matici AX s maticí B Je x + 2y + 5z AX = B 3x + 5y + 8z = 5 5 2x + 4y + 9z 8 x + 2y + 5z = 5 3x + 5y + 8z = 5 2x + 4y + 9z = 8 Definice 0410 Shrnutí Soustavu rovnic lze přepsat ve tvaru AX = B, kde A je matice soustavy a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn X = x 1, x 2,, x n T je vektor matice neznámých a B = b 1, b 2,, b m T je vektor matice hodnot pravých stran soustavy Definice 0411 Inverzní matice Mějme čtvercovou matici A Matici A 1, pro kterou platí rovnost A A 1 = A 1 J, kde J je jednotková matice, nazýváme inverzní maticí k matici A Inverzní matice nám v jistých případech pomůže vypočítat řešení soustavy rovnic Je AX = B A 1 AX = A 1 B JX = A 1 B X = A 1 B soustava rovnic řešení soustavy rovnic Definice 0412 Výpočet inverzní matice pomocí eliminační metody Uvedeme způsob výpočtu inverzní matice pomocí eliminační metody Za zadanou matici A doplníme příslušnou jednotkovou matici Pomocí úprav neměnících hodnost matice pak přepočítáváme matici tak, aby v první části matice vznikla jednotková matice V druhé části matice se pak nachází inverzní matice A Příklad 026 Příklad - výpočet inverzní matice Vypočtěte inverzní matici k matici A, kde

13 Matematika KMI/PMATE A 1 = Příklad 027 Řešení soustavy rovnic pomocí inverzní matice Vypočtěte řešení soustavy Při řešení použijeme výsledek předchozí úlohy: = Příklad 028 Řešení soustavy rovnic pomocí inverzní matice , B = X = A 1 B = X = x y = = 1 3 z resp X = x, y, z = 1, 3, 4