Název: Studium kmitů na pružině Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika) Tematický celek: Mechanické kmitání a vlnění Ročník: 4. (. ročník vyššího gymnázia) Popis - stručná anotace: Žák experimentálně určí tuhost pružiny a následně určí setrvačnou hmotnost mechanickým oscilátorem. Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ..17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.
Výukové materiály Pomůcky stojan s držákem pružiny a měřidla, sada závaží s háčkem, pružina, datalogger, modul siloměr, stopky, délkové měřidlo (nebo čidlo polohy), váhy Teorie S kmitavým pohybem se běžně setkává každý z nás. Můžeme ho najít například v hudebních nástrojích, při jízdě automobilem, v některých hodinách či na dětském hřišti na houpačce. Kmitavý pohyb může být užitečný, ale někde může i škodit a snažíme mu zabránit. Ke kmitavému pohybu dochází zejména u těles, na které působí pružná síla. Pokud takovéto těleso vychýlíme z rovnovážné polohy, dojde ke změně pružné síly, která se bude snažit těleso vrátit do jeho rovnovážné polohy, a vlivem setrvačnosti začne těleso kmitat. Takovému pohybu se říká kmitavý pohyb. Oscilátor můžeme chápat jako systém, ve kterém se vzájemně přeměňuje jedna forma energie v jinou a zpět, jeho projevem je opakovaná výchylka nějaké veličiny do krajních hodnot, minimálních i maximálních. Mechanický oscilátor můžeme chápat jako mechanickou soustavu, která vykonává kmitavý pohyb. Oscilátor začne kmitat teprve po dodání energie, která je potřeba pro vychýlení z rovnovážné polohy. Poté začne oscilátor volně kmitat. Jestliže těleso o hmotnosti m zavěsíme na pružinu o tuhosti k, prodlouží se pružina o Δl působením síly o velikosti F. Pro tuhost pružiny k= F Δ l. Pro tíhovou sílu platí vztah F G =m g, počítáme s g = 9,81 m.s -. Mechanický oscilátor má periodu vlastního kmitání T Úkol m k. Změříme-li periodu kmitání oscilátoru, můžeme určit hmotnost tělesa T. k m. 4. Žák experimentálně určí tuhost pružiny a následně určí setrvačnou hmotnost mechanickým oscilátorem. Postup práce Určení tuhosti pružiny experimentálně 1. Pružiny upevníme na držák stativu a podél pružiny upevníme délkové měřidlo (v případě, že chceme použít čidlo pro snímání polohy, položíme čidlo pod pružinu).. Na pružinu zavěsíme první startovací závaží (např. o hmotnosti 50g) a pomocí měřidla určíme počáteční délku pružiny l 0. Toto závaží zůstává na pružině po celou dobu kmitání a je zde z důvodu nelineárního chování pružiny na začátku natahování. 3. Na pružiny zavěšujeme postupně závaží různých hmotností a pro každý případ změříme opět délku pružiny l i. 4. Určíme prodloužení pružiny Δl = l i l 0. Údaje zapisujeme do tabulky. 5. Vypočítáme (nebo odměříme) velikost tíhové síly, která způsobila prodloužení pružiny. mg 6. Vypočteme tuhost pružiny podle vztahu k. l 7. Z naměřených hodnot vypočítáme absolutní chybu tuhosti pružiny a pak relativní chybu tuhosti pružiny. 8. Pro výpočet setrvačné hmotnosti tělesa použijeme průměrnou tuhost pružiny.
Určení periody kmitání oscilátoru a výpočet hmotnosti 1. Na pružinu zavěsíme těleso neznámé hmotnosti a mírným protažením pružinu rozkmitáme.. Stopkami změříme dobu, za kterou těleso vykoná 0 kmitů. 3. Měření desetkrát opakujeme. 4. Vypočteme periodu pro jednotlivá měření a průměrnou periodu kmitavého pohybu. 5. Z naměřených hodnot vypočítáme absolutní chybu periody a pak relativní chybu periody kmitání. Výsledky Tab.1 Měření tuhosti pružiny počáteční délka pružiny po zavěšení startovacího závaží l 0 = 146 mm gravitačné zrychlení g = 9,81 m.s -1 č.měř. m (g) F = m.g (N) l (mm) Δl (mm) k (N.m -1 ) Δk (N.m -1 ) 1 10 0.0981 180 34.885 0.046 0 0.196 19 73.688 0.151 3 30 0.943 47 101.914 0.075 4 40 0.394 8 136.885 0.046 5 50 0.4905 317 171.868 0.09 6 60 0.5886 355 09.816 0.03 7 70 0.6867 390 44.814 0.05 k =,839 N.m 1 k = k ± k, k k =,84 ± 0,40 N.m 1, k = 14 % č.měření 0 T (s) T (s) ΔT (s) 1* 16.66 0.8330 0.0349 17.33 0.8665 0.0014 3 17.39 0.8695 0.0016 4 17.36 0.8680 0.0001 5 17.41 0.8705 0.006 6 17.31 0.8655 0.004 7 17.4 0.8710 0.0031 8 17.41 0.8705 0.006 9 17.4 0.8700 0.001 10 17. 0.8600 0.0079 aritmetický průměr 0.8679 0.006 *První měření jsme do aritmetického průměru ani do celkových výsledků nezapočítali z důvodu velké chyby. T = T ± T, T T = 0,868±0,003 s, T =0,35 %
Výpočet setrvačné hmotnosti m= T k 4, m = 0,054 k g = 54 g Výpočet relativní chyby m = T T k k, m =14,6 % Výpočet absolutní chyby m= m m, m = 0,0079 k g m= m ± m, m m= 0,054±0,0079 kg, m =14,6 % Závěr: Tuhost použité pružiny byla určena experimentálně: k=,84±0,40 N.m 1, k =14 %. Perioda kmitání závaží byla určena s velkou přesností (0,35%). Určení setrvačné hmotností bylo zatíženo chybou z měření tuhosti pružiny. Setrvačná hmotnost tedy: m= 0,054±0,0079 kg, m =14,6 %. Při ověření hmotností pomocí vah vychází hmotnost m= 0,05±0,005 kg. Další rozšíření 1. Laboratorní práci je možné rozšířit o studium kmitů při spojení dvou pružin sériově a paralelně.. Možné experimentální ověření vztahu pro mechanický oscilátor. Literatura [1] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER J. Fyzika, Vysoké učení technické v Brně Nakladatelství PROMETHEUS Praha, 000 ISBN 81-7196-14-7
Pracovní list pro žáka Studium kmitů na pružině Laboratorní práce č. Vypracoval: Třída, školní rok: Spolupracovali: Pomůcky stojan s držákem pružiny a měřidla, sada závaží s háčkem, pružina, datalogger, modul siloměr, stopky, délkové měřidlo (nebo čidlo polohy), váhy Teorie S kmitavým pohybem se běžně setkává každý z nás. Můžeme ho najít například v hudebních nástrojích, při jízdě automobilem, v některých hodinách či na dětském hřišti na houpačce. Kmitavý pohyb může být užitečný, ale někde může i škodit a snažíme mu zabránit. Ke kmitavému pohybu dochází zejména u těles, na které působí pružná síla. Pokud takovéto těleso vychýlíme z rovnovážné polohy, dojde ke změně pružné síly, která se bude snažit těleso vrátit do jeho rovnovážné polohy, a vlivem setrvačnosti začne těleso kmitat. Takovému pohybu se říká kmitavý pohyb. Oscilátor můžeme chápat jako systém, ve kterém se vzájemně přeměňuje jedna forma energie v jinou a zpět, jeho projevem je opakovaná výchylka nějaké veličiny do krajních hodnot, minimálních i maximálních. Mechanický oscilátor můžeme chápat jako mechanickou soustavu, která vykonává kmitavý pohyb. Oscilátor začne kmitat teprve po dodání energie, která je potřeba pro vychýlení z rovnovážné polohy. Poté začne oscilátor volně kmitat. Jestliže těleso o hmotnosti m zavěsíme na pružinu o tuhosti k, prodlouží se pružina o Δl působením síly o velikosti F. Pro tuhost pružiny k= F l. Pro tíhovou sílu platí vztah F G =m g, počítáme s g = 9,81 m.s -. Mechanický oscilátor má periodu vlastního kmitání T Úkol m k. Změříme-li periodu kmitání oscilátoru, můžeme určit hmotnost tělesa T. k m. 4. Žák experimentálně určí tuhost pružiny a následně určí setrvačnou hmotnost mechanickým oscilátorem. Postup práce Určení tuhosti pružiny experimentálně 1. Pružiny upevníme na držák stativu a podél pružiny upevníme délkové měřidlo (v případě, že chceme použít čidlo pro snímání polohy, položíme čidlo pod pružinu).. Na pružinu zavěsíme první startovací závaží (např. o hmotnosti 50g) a pomocí měřidla určíme počáteční délku pružiny l 0. Toto závaží zůstává na pružině po celou dobu kmitání a je zde z důvodu nelineárního chování pružiny na začátku natahování. 3. Na pružiny zavěšujeme postupně závaží různých hmotností a pro každý případ změříme opět délku pružiny l i. 4. Určíme prodloužení pružiny Δl = l i l 0. Údaje zapisujeme do tabulky. 5. Vypočítáme (nebo odměříme) velikost tíhové síly, která způsobila prodloužení pružiny.
mg 6. Vypočteme tuhost pružiny podle vztahu k. l 7. Z naměřených hodnot vypočítáme absolutní chybu tuhosti pružiny a pak relativní chybu tuhosti pružiny. 8. Pro výpočet setrvačné hmotnosti tělesa použijeme průměrnou tuhost pružiny. Určení periody kmitání oscilátoru a výpočet hmotnosti 1. Na pružinu zavěsíme těleso neznámé hmotnosti a mírným protažením pružinu rozkmitáme.. Stopkami změříme dobu, za kterou těleso vykoná 0 kmitů. 3. Měření desetkrát opakujeme. 4. Vypočteme periodu pro jednotlivá měření a průměrnou periodu kmitavého pohybu. 5. Z naměřených hodnot vypočítáme absolutní chybu periody a pak relativní chybu periody kmitání. Výsledky Tab. 1 Měření tuhosti pružiny počáteční délka pružiny po zavěšení startovacího závaží l 0 = mm gravitačné zrychlení g = 9,81 m.s -1 č.měř 1 3 4 5 6 7 m (g) F = m.g (N) l (mm) Δl (mm) k (N.m -1 ) Δk (N.m -1 ) k= k= k ± k, k = k = ± N.m 1, k =
Tabulka č. Měření periody kmitavého pohybu č.měření 1 3 4 5 6 7 8 9 10 0 T (s) T (s) ΔT (s) aritmetický průměr T = T ± T, T T = ± s, T = Výpočet setrvačné hmotnosti m= T k 4 = m= kg= g Výpočet relativní chyby m = T T m = k k = Výpočet absolutní chyby m= m m m= kg m= m ± m, m m= ± kg, m =
Závěr: