Název: Stereometrie řez tělesa rovinou

Transkript

1 Název: Stereometrie řez tělesa rovinou Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Matematika (Deskriptivní geometrie) Tematický celek: Stereometrie Ročník: 5. (3. ročník vyššího gymnázia) Popis - stručná anotace: Žák sestrojí řezy těles. U vybraných příkladů dopočítá i obsah řezu. Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.

2 Teorie Výukové materiály Řez tělesa rovinou představuje průnik roviny s tělesem. Při konstrukci sestrojujeme průsečnice roviny se stěnami tělesa. Existují tři základní pravidla, které usnadňují postup konstrukce řezu tělesa. 1. pravidlo pravidlo spojování bodů: Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží také v této rovině. Tedy pokud známe v libovolné stěně tělesa dva různé body roviny řezu, nakreslíme jejich spojnici. Průnik této spojnice a stěny je jednou stranou řezu. 2. pravidlo pravidlo konstrukce rovnoběžek Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách. Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné. 3. pravidlo tři průsečnice různoběžných rovin Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li tyto tři roviny jediný společný bod, procházejí tímto společným bodem všechny tři průsečnice. Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana, se protínají jednom bodě. Pokud známe jednu stranu řezu, můžeme ji protáhnout do rovin ostatních stěn. Průsečíky s ostatními stěnami najdeme tak, že protáhneme hranu, která: leží v rovině, ve které leží protahovaná úsečka, leží v rovině, ve které potřebujeme najít další bod, a najdeme její průsečík se známou stranou řezu.

3 Úlohy Výukové materiály 1. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM; K leží na hraně AE tak, že KE : KA = 2 : 1, L je střed hrany BC a M leží na hraně GC tak, že MC : GM = 3 : Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou XYZ; X je střed AB, Y leží na hraně GH tak, že GY : YH = 2 : 1 a bod Z leží na přímce CD tak, že D je střed úsečky CZ. 3. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou RST; R leží na polopřímce AB tak, že 5 3 platí AR = AB, S leží na polopřímce AE tak, že platí AS = AE, T je střed 4 2 hrany FG. 4. Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte řez této krychle rovinou SAB SBC SDH.

4 Výukové materiály 2. Sestrojte řezy jehlanu vyznačenými body: Zajímavost Geogebra 3D - Geogebratube.org Literatura [1] Matematika pro gymnázia Stereometrie, Pomykalová Eva, Prometheus, 2010

5 Stereometrie řez tělesa rovinou Pracovní list pro žáka Vypracoval: Třída: Datum: Teorie Řez tělesa rovinou představuje průnik roviny s tělesem. Při konstrukci sestrojujeme průsečnice roviny se stěnami tělesa. Existují tři základní pravidla, které usnadňují postup konstrukce řezu tělesa. 1. pravidlo pravidlo spojování bodů: Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží také v této rovině. Tedy pokud známe v libovolné stěně tělesa dva různé body roviny řezu, nakreslíme jejich spojnici. Průnik této spojnice a stěny je jednou stranou řezu. 2. pravidlo pravidlo konstrukce rovnoběžek Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách. Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné. 3. pravidlo tři průsečnice různoběžných rovin Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li tyto tři roviny jediný společný bod, procházejí tímto společným bodem všechny tři průsečnice. Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana, se protínají jednom bodě. Pokud známe jednu stranu řezu, můžeme ji protáhnout do rovin ostatních stěn. Průsečíky s ostatními stěnami najdeme tak, že protáhneme hranu, která: leží v rovině, ve které leží protahovaná úsečka, leží v rovině, ve které potřebujeme najít další bod, a najdeme její průsečík se známou stranou řezu.

6 Úlohy Pracovní list pro žáka 1. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM; K leží na hraně AE tak, že KE : KA = 2 : 1, L je střed hrany BC a M leží na hraně GC tak, že MC : GM = 3 : Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou XYZ; X je střed AB, Y leží na hraně GH tak, že GY : YH = 2 : 1 a bod Z leží na přímce CD tak, že D je střed úsečky CZ. 3. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou RST; R leží na polopřímce AB tak, že 5 3 platí AR = AB, S leží na polopřímce AE tak, že platí AS = AE, T je střed 4 2 hrany FG. 4. Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte řez této krychle rovinou SAB SBC SDH.

7 2. Sestrojte řezy jehlanu vyznačenými body: Pracovní list pro žáka