Název: Tvorba obrázků pomocí grafického znázornění komplexních čísel

Transkript

1 Název: Tvorba obrázků pomocí grafického znázornění komplexních čísel Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 6. (4. ročník vyššího gymnázia) Tématický celek: Komplexní čísla Stručná anotace: Pomocí grafického znázornění KČ žák postupně odkrývá zadaný obrázek. Časová dotace: 1 x 45 min. Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.

2 Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Rýsovací potřeby (pravítko, kružítko, tužka) Teorie Komplexní číslo ve tvaru z = a + bi je v Gaussově rovině zobrazeno jako bod. Chceme-li zobrazit jiné křivky (množinu všech komplexních čísel s danými vlastnostmi), využíváme geometrické interpretace absolutní hodnoty. 1) Kružnice množina všech bodů, jejichž vzdálenost od středu je rovna poloměru. 2) Kruh množina všech bodů, jejichž vzdálenost od středu je menší nebo rovna poloměru. 3) Přímka množina všech bodů, jejichž vzdálenost od dvou různých bodů je stejná. 4) Polorovina množina všech bodů, jejichž vzdálenost od jednoho bodu je menší nebo rovna, než vzdálenost od druhého bodu.

3 5) Elipsa množina všech bodů, jejichž součet vzdálenosti od dvou různých bodů (ohnisek) je stejný (dvojnásobek délky hlavní poloosy). Postup práce: Úkolem studentů je graficky znázornit jednotlivá komplexní čísla tak, aby společně vytvořili požadovaný objekt. Pracovní list pro učitele obsahuje výsledné řešení úlohy. V pracovním listu každého studenta by se mělo, vzhledem ke stejnému zadání, objevit totožné řešení. Výsledky 1) Zakreslete množinu komplexních čísel, pro která platí: a) z = a + bi b 2; 2 z + 4 z + 6 z = a + bi b 2; 4 z (4 + 3i) 2

4 2) Zobrazte zadaná komplexní čísla. U polorovin nejprve zobrazujte hraniční přímky a až následně určete jejich průnik z 4 z 6 z + 4 z + 6 z i z i z 3 15i z 4 16i z i z + i z 18i z 16i z 3 z 1 z + 3 z + 1 z 24i z 22i z 18i z 16i z i + z 3 23i 4 z 4 + z ) Do soustavy souřadné zakreslete obrázek a následně ho popište pomocí komplexních čísel. Úsečku můžete zakreslit, jako množinu všech komplexních čísel se stejnou vzdáleností od dvou různých komplexních čísel, přičemž omezíte jejich reálnou složku intervalem.

5 Pracovní list pro žáka Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Rýsovací potřeby (pravítko, kružítko, tužka) Teorie Komplexní číslo ve tvaru z = a + bi je v Gaussově rovině zobrazeno jako bod. Chceme-li zobrazit jiné křivky (množinu všech komplexních čísel s danými vlastnostmi), využíváme geometrické interpretace absolutní hodnoty. 1) Kružnice množina všech bodů, jejichž vzdálenost od středu je rovna poloměru. 2) Kruh množina všech bodů, jejichž vzdálenost od středu je menší nebo rovna poloměru. 3) Přímka množina všech bodů, jejichž vzdálenost od dvou různých bodů je stejná. 4) Polorovina množina všech bodů, jejichž vzdálenost od jednoho bodu je menší nebo rovna, než vzdálenost od druhého bodu.

6 5) Elipsa množina všech bodů, jejichž součet vzdálenosti od dvou různých bodů (ohnisek) je stejný (dvojnásobek délky hlavní poloosy). Postup práce: Úkolem studentů je graficky znázornit jednotlivá komplexní čísla tak, aby společně vytvořili požadovaný objekt. Pracovní list pro učitele obsahuje výsledné řešení úlohy. V pracovním listu každého studenta by se mělo, vzhledem ke stejnému zadání, objevit totožné řešení. Úlohy 1) Zakreslete množinu komplexních čísel, pro která platí: a) z = a + bi b 2; 2 z + 4 z + 6 b) z = a + bi b 2; 4 z (4 + 3i) 2

7 2) Zobrazte zadaná komplexní čísla. U polorovin nejprve zobrazujte hraniční přímky a až následně určete jejich průnik z 4 z 6 z + 4 z + 6 z i z i z 3 15i z 4 16i z i z + i z 18i z 16i z 3 z 1 z + 3 z + 1 z 24i z 22i z 18i z 16i z i + z 3 23i 4 z 4 + z ) Do soustavy souřadné zakreslete obrázek a následně ho popište pomocí komplexních čísel. Úsečku můžete zakreslit, jako množinu všech komplexních čísel se stejnou vzdáleností od dvou různých komplexních čísel, přičemž omezíte jejich reálnou složku intervalem.