Jádro
Připomínám, co jsme se dozvěděli na druhé hodině: Objevili Rutherford, Geiger, Marsden rozptyl alfa částic na zlaté folii Asi 100 000krát menší než atom, obsahuje většinu hmoty atomu Víme: Skládá se z protonů a neutronů souhrnně nazývaných nukleony Takže je něco musí přitahovat k sobě Drží pohromadě jadernou silou, kterou zprostředkovávají částice zvané mezony neboli piony Při tom zprostředkování se piony rodí a zanikají a tím předávají energii Vztah mezi hmotou a energií dává teorie relativity, kterou budeme potřebovat k popisu síly
Relativita: už jsme potkali na cvičení v příkladu elektronového mikroskopu Pro částici typu č s klidovou hmotností m č v klidu je energie rovna klidové energii a hybnost je rovna nule m č c Když se nyní částice pohybuje rychlostí v, pak její hmotnost vzroste na takže energie pohybující se částice je: E = m č c 1 v c m č 1 v c a hybnost: p = m č v 1 v c = m č c 1 v c v c = E v c pc = E v c takže rychlost můžeme vyloučit E pc = E 1 v c = m č c 1 v c 1 v c = m č c Dostáváme tak relativistické vyjádření energie pomocí hybnosti E = pc + m č c
Odtud: E = pc + m č c Podíváme se na chování této závislosti energie na hybnosti Pokud je první člen pod odmocninou podstatně menší než druhý, jsme v nerelativistické limitě a můžeme udělat přiblížení E = m č c 1 + pc m č c m č c 1 + 1 pc m č c = m č c + 1 pc m č c = m č c + p m č Takže v nerelativistické limitě je energie částice rovna součtu klidové energie a nerelativistické kinetické energie, jak bychom čekali Jak se hybnost zvětšuje, první člen nabírá na důležitosti oproti druhému, až převládne a nárůst energie je pak lineární v hybnosti E pc pro pc m č c Tím jsme dostali ultrarelativistickou limitu, kdy vztah mezi energií a hybností je jako u nehmotného fotonu
Obecně vztah mezi energií a hybností je přes klidovou energii m č c, což je minimální možná energie Konkrétně pro pion m π c 140meV Na dlouhých vzdálenostech se vlnová funkce chová jako rovinná vlna ψ π = exp i ħ px Et Ale pro statický potenciál, tj. pro nulovou frekvenci ω = 0 dostaneme pro energii E = ħω = 0 pc + m π c = 0 p = m π c p = im π c Takže jsme dostali imaginární hybnost, jako při tunelování
Tím pádem, stejně jako při tunelování, se z komplexní exponenciály stane reálná ƛ π = ψ π = exp m πc ħ x = exp x ƛ π kde redukovaná Comptonova délka pionu ƛ π se dá vyjádřit pomocí redukované Comptonovy délky elektronu ƛ ħ m π c = ƛ m e m π = ƛ m ec m π c 4 10 13 m 0,5MeV 140MeV = 1 70 10 13 m 1,4fm Na dlouhých vzdálenostech tedy dostáváme exponenciální pokles Odtud vlastnosti jaderné síly: -je nezávislá na náboji, stejná pro protony a neutrony -má krátký dosah několika fm, proto ji nepozorujeme v makrosvětě na rozdíl od elektromagnetické síly na těchto vzdálenostech přitažlivá. -na kratších vzdálenostech než asi fm je naopak odpudivá kvůli Pauliho principu: nukleony jsou fermiony a nechtějí být v jednom stavu. To je zřejmé pro dva protony a dva neutrony, ale platí to i pro proton a neutron --náznak toho, že protony a neutrony nejsou elementární, nýbrž jsou složeny ze stejných částic zvaných kvarky, viz dále
Potenciální energie jaderné síly Má podobný průběh jako potenciální energie mezi atomy, jak jsme ji potkali při studiu molekul další náznak, že nukleony jsou složené částice jako atomy, a že jaderná síla je druhotným projevem síly, která drží pohromadě nukleony Charakteristická vzdálenost fm a charakteristická energie desítky MeV oproti necelému nm a desítkám mev pro atomy (pro reaktivnější atomy H jsme měli jednotky ev)
Atom: mnohoelektronová vlnová funkce, všichni přitahovaní k jádru, vzájemně se odpuzovali Připomínám pro He ħ m 1 + + e 4πε 0 r 1 r + 1 r 1 r ψ f r 1, S z,1, r, S z, = = Eψ f r 1, S z,1, r, S z, Tady podobné: mnohanukleonová vlnová funkce splňující Schrodingerovu rovnici Rozdíly: -jádro samotné nemá žádné jádro, jen působení nukleonů mezi sebou jako elektronů -zato nukleony dvojího druhu protony a neutrony -komplikovaný potenciální energie oproti 1/r v atomu -elektrické odpuzování 1/r jako u elektronů v atomu je navíc jen mezi protony, ale uvidíme, že je menší
Jako u atomů přiblížení pohybu nukleonů ve střední potenciální energii ostatních, tj. převedení na jednočásticovou Schrodingerovu rovnici, kde ale potenciál závisí na vlnové funkci Potenciálová jáma, k protonové se připočte Coulomb a tím ji trochu změní Přibližně 3d harmonický oscilátor, plus vazba spinu na orbitální moment hybnosti viz cvičení V jámě vznikají diskrétní hladiny energie, jak už víme
Výsledné hladiny: orbitální (s,p,d, ) plus spin-orbit štěpení vede na celkový moment hybnosti -viz cvičení
Tyto hladiny teď zaplňujeme od zdola nahoru, jako elektrony v atomu Počet protonů v jádře se značí Z = protonové, nábojové číslo, počet neutronů se značí N = neutronové číslo Hmotnosti protonu a neutronu jsou si velmi blízké M P 1,676 10 7 kg 938,3MeV/c M N 1,6749 10 7 kg 939,6MeV/c Rozdíl méně než 0,15% Proto se zavádí hmotnostní číslo A=Z+N Značení prvku A Zkratka prvku Příklady uvidíme dále Názvosloví: jádrům se stejnou hodnotou jednoho z čísel se říká iso-něco stejné Z isotopy, určuje prvek a tím chemii, stejné N isotony, stejné A isobary
Kromě toho, že protony a neutrony mají skoro stejnou hmotnost, jaderná síla na ně působí stejně, jak už víme, jenom elektrická trochu jinak (viz trochu jiné potenciální energie) Proto se proton a neutron v jádře chovají jako dva různé stavy stejné částice, podobně jako dva různé spinové stavy elektronů v atomu, kterým tím pádem Pauliho princip dovolil být na stejné hladině Zavádí se proto tzv. isotopický spin, zkráceně isospin, který má hodnotu +1/ pro proton a hodnotu -1/ pro neutron Takže zaplňujeme hladiny od nejnižší nahoru částicemi s různým spinem a isospinem nebo, ekvivalentně, dva soubory hladin energie, jeden pro protony, druhý pro neutrony
Nejvíce stabilní zaplněné slupky, obdoba atomů inertních plynů Říká se jim magická čísla. Dokonce mohou být dvakrát magická, pro protony a neutrony např. p+n= 4 He 8p+8n= 16 O 0p+0n= 40 Ca Dál začne být dvojí magické obsazení obtížné, protože jádra by chtěla přebytek neutronů, ale jenom malý, jak uvidíme dále Ještě stabilní je 0p+8n= 48 Ca i když přebytek neutronů je velký Když už Z a N nejsou magická, tak stabilitě pomáhá, když jsou aspoň sudá kvůli Pauliho principu: Sudý počet částic párování spinová část antisymetrická, orbitální symetrická, jako dva elektrony v základním stavu He tady to vede k silnějšímu přitahování Sudo-sudá jádra stabilnější než sudo-lichá nebo licho-sudá Nejméně stabilní licho-lichá. Stabilní jen první čtyři 1p+1n= H= D 3p+3n= 6 Li 5p+5n= 10 B 7p+7n= 14 N
Zaplnění slupek se projeví spinem jádra, což je celkový moment hybnosti, složený jako vektorový součet z orbitálního a spinového jednotlivých nukleonů. Kvůli tendenci k párování bývá malý, max. 6 Se spinem je spojený magnetický moment Proton, neutron mají spin ½, jsou to fermiony Magnetický moment protonu, neutronu nebo jádra μ = γ I ħ μ N Tady je μ N = eħ m P 5,1 10 7 Am Obdoba dříve zavedeného Bohrova magnetonu jaderný magneton μ B = eħ m e 0,9 10 3 Am Ve jmenovateli hmotnost protonu pro μ N místo hmotnosti elektronu pro μ B. Elektron je asi 000 krát lehčí, takže jaderný magneton je asi 000 menší než Bohrův Proto na elektronovou spinovou resonanci jsou pro pole řádu Tesla potřeba frekvence GHz, kdežto na jadernou jenom MHz, jak jsme viděli. I je spin, γ je gyromagnetický moment, číslo řádu jednotek Pro proton μ,798μ N Pro neutron μ 1,91304μ N Pro elektron koeficient je 1 nebo, kdežto tady to jsou takhle vachrlatá čísla další náznak toho, že obě částice jsou složené. Navíc neutron by neměl magnetický moment vůbec, kdyby nebyl složený nemá žádný náboj
Spin a magnetický moment některých jader jádro I/ħ μ/μ N jádro I/ħ μ/μ N n 1/ -1.91 p 1/.79 H 1 0.86 3 H 1/ 3 3 He 1/ -.1 6 Li 1 0.8 7 Li 3/ 3.3 9 Be 3/ -1. Můžeme analyzovat pomocí slupkového modelu 10 B 3 1.8 13 C 1/ 0.7 14 N 1 0.4 15 N 1/ -0.8 17 0 5/ -1.9 19 F 1/.6 Slupkový model nejlépe funguje blízko magických čísel; uzavřená slupka dá nulu 1p(1/)+n(0)= 3 H p(0)+1n(1/)= 3 He U těchto dvou jsou magnetické momenty blízké magnetickým momentům protonu a neutronu 7p(1/)+8n= 15 N Tady do uzavřené slupky chybí proton, takže magnetický moment má opačné znaménko než magnetický moment protonu. Má menší absolutní hodnotu, protože orbitální a spinový jdou proti sobě kvůli spin orbitální vazbě 8p+9n(5/)= 17 O Tady je nad uzavřenými slupkami jeden neutron, který má magnetický moment jen od spinu, protože nemá náboj. Proto magnetický moment je velmi blízký neutronu.
V jiných případech složitější U čtyřech stabilních licho-lichých jader se spiny většinou sčítají 1p(1/)+1n(1/)= H 3p(3/)+3n(3/)= 6 Li 5p(3/)+5n(3/)= 10 B 3p(3/)+4n(0)= 7 Li 7p(1/)+7n(1/)= 14 N U zbylých licho-sudých nebo sudo-lichých jader víceméně funguje párování a tím vyrušení v sudé části 6p(0)+7n(1/)= 13 C Magnetický moment velmi blízký součtu magnetických momentů protonu a neutronu, protože orbitální pohyb nepřispívá Tady se nesčítají Všichni mají kladný magnetický moment 4p(0)+5n(3/)= 9 Be Sčítají se V 14 N chybí jeden proton a jeden neutron do uzavřené slupky, proton má zmenšený magnetický moment o orbitální část, proto kladný celkový magnetický moment Znaménka magnetickým momentů odpovídají lichému protonu a lichému neutronu Znaménko magnetického momentu odpovídá chybějícímu neutronu do uzavřené slupky 9p(5/)+10n= 19 F Dva neutrony nad uzavřenou slupkou interagují s jedním protonem a zmenší spin jádra na ½ magnetický moment jako od spinu protonu
Náboj uzavřené slupky je sféricky symetrický Odchylky od sférické symetrie popisuje kvadrupólový moment Q = 5 a b Ze a b Q > 0 Q = 0 Q < 0
Měření: Červeně vyznačená magická čísla, kde Q=0
Pole jádra v atomu nemá dno, proto elektrony hustěji a hustěji v atomech a velikost atomu zůstává zhruba stejná U jádra zůstává zhruba stejná vzdálenost mezi sousedními nukleony daná minimem v pionové interakci Odtud stálá hustota a zvětšující se jádro
Prostorové rozložení hustoty ρ = exp( ρ 0 r R a ) + 1 Význam veličin ρ 0 = 0,17u/fm 3,8 10 17 kg/m 3 Hustota jádra až do povrchové vrstvy u = 1g/N A 1,6605 10 7 kg R r 0 A 1/3 a 0,6fm Atomová hmotnostní jednotka Poloměr jádra kde r 0 1,fm Tloušťka povrchové vrstvy Graf prostorového rozložení hustoty:
Atomová hmotností jednotka u = 1g/N A 1,6605 10 7 kg 931,5MeV/c je blízká hmotnosti protonu a neutronu, M P 1,676 10 7 kg 938,3MeV/c M N 1,6749 10 7 kg 939,6MeV/c Rozdíly: Hmotnosti obou částic se mezi sebou liší asi o 1MeV, ale oba o 7 8MeV větší než u Jak to?
Opět kvůli E = mc Pokles hmotnosti je projevem vazebné energie W M A, Z = ZM P + NM N W A, Z /c která je tedy 7 8MeV na nukleon Uvidíme znovu, až budeme probírat štěpení Tato hodnota vyhovuje též požadavku, že potenciální energie je řádově rovna kinetické viz odhady energie základního stavu atomu vodíku a harmonického oscilátoru na cvičení Odhad kinetické energie: E kin ħ ur = ħ ma B m u a B R = Ry m u a B R 13,6eV 0,51MeV 930MeV 0,53 10 10 m 1, 10 15 m = 13,6eV 0,51 0,93 0,53 1, 10 10 3 15MeV což řádově souhlasí s jednotkami MeV; pro poloměr jsme vzali dolní odhad R = r 0
Vazebná energie na nukleon W A, Z /A pro většinu prvků skutečně je kolem 8MeV
Křivka má maximum lehká jádra se můžou slučovat, těžká štěpit a uvolní se energie o tom ještě bude řeč Zuby spojené s diskrétními hladinami a s paritou více vidět pro malá A Výsledek kvantové mechaniky, který se dá popsat poloempirickou formulí kapkový model, Weizsacker
Kapkový model členy s názorným fyzikálním významem plus odhad jejich velikosti Klasické členy 1. Vazba nukleonů v jádře je přibližně konstantní příspěvek k vazebné energii W 1 = a 1 A Lineární kvůli krátkému dosahu sil každý nukleon interaguje jen se sousedy, jinak by bylo kvadratické, jako elektrická níže každý s každým. Nukleony na povrchu jsou vázány méně jednotka povrchu stojí energii povrchového napětí σ, které vede ke kulatému tvaru kapky. Proto se vazebná energie sníží W = σ 4πR = 4πr σ A /3 a A /3 3. Protony se odpuzují: vazebná energie se sníží o energii rovnoměrně nabité koule, kterou jsme spočítali na cvičení W 3 = 3 5 Ze 4πε 0 R = 3 5 e Z 4πε 0 r 0 A 1/3 a 3 Z A 1/3
Odtud můžeme spočítat tuto poslední konstantu a 3 Hrubý odhad: Viděli jsme na cvičení, že klasický poloměr elektronu je řádově 1fm r 0, takže a 3 by mělo vyjít řádově klidová energie elektronu rovná zhruba 0,5MeV Přesnější výpočet Víme, že Ry = 1 e 4πε 0 a B t.j. e 4πε 0 = Rya B takže a 3 = 3 5 e 4πε 0 r 0 = 3 5 Ry a B r 0 = = 3 5 13,6eV 0,53 10 10 m 1, 10 15 m = 3 1,36 0,53MeV 0,7MeV 5 1, Vazebná energie je řádu 10MeV, takže elektrická energie je dosti malá oprava, jak už jsme čekali
Kvantové členy 4. Asymetrie stojí energii kvůli Pauliho principu Matematicky: energie, na kterou přidáme další částici, roste s počtem částic Říká se jí chemický potenciál, značí se písmenem μ a platí pro ni Pro protony E Z + 1 E Z = μ Z Pro neutrony E N + 1 E N = μ N Pro oba druhy částic přibližně stejná závislost a navíc μ je kvůli Pauliho principu rostoucí funkce svého argumentu
Když je závislost energie na počtu částic dostatečně hladká, můžeme přiblížit rozdíl derivací E Z + 1 E Z de Z dz = E Z a totéž pro N Takže E Z = μ Z Odtud integrací E Z = dz μ Z 0 Z a totéž pro N
Takže Taylorův rozvoj dá E Z + E N = E Z + N + Z N + E N + Z + N Z = = E A N Z + E A + N Z E A + A E +E A + A E N Z N Z + + 1 E A + 1 E A N Z N Z + + Konstantní a kvadratické členy se sečtou, lineární se odečtou E Z + E N E A + E A N Z Ovšem E A = μ A takže E A = A μ E Z + E N E A + μ A N Z Chemický potenciál kvůli Pauliho principu roste s počtem částic, takže μ A > 0
Ale roste pomalu: E A roste zhruba lineárně s argumentem, kvůli krátkodosahové síle Derivace je zhruba dělení argumentem, takže první derivace E tj. μ roste pomalu a druhá derivace E tj. první derivace μ klesá jako mínus první mocnina Přírůstek k energii od asymetrie proto zhruba je C A N Z = C N + Z Z A = C A Z A μ A C A Odtud vidíme, že při zadaném poměru protonů a neutronů energie od asymetrie roste lineárně s počtem nukleonů, tak jako objemový člen vazebné energie C A Z A = C A Z A A = C 1 Z A A Takže asymetrií se vazebná energie se sníží o energii W 4 = C A Z A A Z a 4 A
5. Parita ovlivňuje energii kvůli párování: Už jsme říkali, že nejstabilnější jsou sudo-sudá jádra, pak sudo-lichá a licho-sudá Licho-lichá jsou až na první čtyři nestabilní Závislost na paritě klesá s rostoucím hmotnostním číslem, zhruba jako A 3/4 Matematické vyjádření + δ A 3/4 sudo-sudá W 5 = 0 sudo-lichá a licho-sudá δ A 3/4 licho-lichá
Celkově: W A, Z = a 1 A a A /3 a 3 Z A 1/3 a 4 A Z A + W 5 Už víme, že a 3 0,7MeV Weizsackerova formule Prozkoumáme na cvičení Vazebná energie kolem 10MeV znamená, že a 1 bude též někde kolem 10MeV, o něco větší protože ostatní členy od ní odečítají. a má stejný původ, takže bude mít podobnou velikost Koeficienty a 4 a δ jsou odvozeny od celkové energie, nejen potenciální, a proto budou větší, i když stejného řádu Skutečně to takhle vyjde. Hodnoty v MeV: a 1 15,8 a 17,8 a 4 3,7 δ 34
Graficky: podíl jednotlivých členů na vazebné energii na nukleon W A, Z /A W A, Z A = a 1 a A 1/3 a Z 3 A 4/3 a 4 konst klesá roste A Z A + W 5 A zhruba konst malé
Asymetrický člen ve skutečnosti mírně roste, protože trochu roste nadbytek neutronů Na jeden nukleon prozkoumáme na cvičení To bude mít zásadní význam pro štěpnou reakci, kterou probereme později Weizsackerova formule určuje tvar nuklidového diagramu Obdoba periodické tabulky prvků pro jádra Čára nejstabilnějších jader začíná diagonálně a pak se odklání k N-rich
Červeně magická čísla
Ještě názorněji, když vynášíme na třetí osu rozdíl vazebné energie nejstabilnějšího isobaru a daného nuklidu, takže nejstabilnější isobary jsou na dně údolí, které má parabolický tvar viz cvičení Do údolí padají jádra prostřednictvím β rozpadů: β z neutron-rich a β + z proton-rich --to bude také na cvičení Na konci údolí α rozpad, jak je ukázáno na předešlé stránce Tím se dostáváme k radioaktivitě
Radioaktivita = samovolná emise částice jádrem, přičemž se jádro změní Tomuto procesu se říká radioaktivní rozpad K jeho popisu se zavádí veličina aktivita A (neplést s hmotnostním číslem) = počet rozpadů za sekundu už jsme ji potkali na úplně prvním cvičení při jednom odhadu velikosti atomu Matematický zápis A = dn dt Jednotka 1 Bq = 1 bequerel = 1 rozpad za sekundu V praxi často užívaná jednotka 1 Ci = 1 curie = 3,7 10 10 Bq = zhruba aktivita 1 g 6 Ra Které jádro se rozpadne? Nedá se říct, je to čistě náhodný proces. Náhodnost naznačuje, že potřebujeme kvantovou mechaniku
říká: aktivita úměrná počtu jader Obecný rozpadový zákon dn dt = λn Přepíšeme: Konstanta λ má jednotku 1/s, tj. 1/λ je čas dn = nλdt = n dt 1/λ tj. za dobu dt podstatně kratší než 1/λ se rozpadne část Jinak: Pokud n = 1, pak dn dt = λ dt 1/λ Pak už nemáme spojitou funkci n, takže nemáme ani derivaci, takže tenhle vztah platí jen zhruba: 1/λ je tedy zhruba čas, za který se rozpadne jedno jádro Ale je to tak přesně, jak uvidíme z řešení rovnice,
kterým je exponenciála n t = n 0 exp λt Dalo by se řešit separací proměnných. Ověříme přímým dosazením a derivováním exponenciály lineární funkce, jako už mnohokrát Dosazení t = 0 dá interpretaci integrační konstantě n 0 : je to počet jader v čase t = 0 Když teď za t dosadíme 1/λ, dostaneme n t = 1/λ = n 0 exp λ/λ = n 0 e Takže 1/λ je doba, za kterou počet jader klesne na 1/e své původní hodnoty,
ale je to taky průměrná doba života: Ta jádra, která měla dobu života t se akorát rozpadnou v krátkém intervalu dt kolem t, takže jejich zastoupení je 1 n 0 dn dt dt Tím pádem průměrná doba života jádra je t = t 1 dn n 0 dt dt 0 Integrace per partes dá t = 1 n 0 0 dt d dt tn + 1 n 0 0 dt n dt dt = dt exp λt 0 = 1 λ
Místo průměrné doby života jádra se obvykle zavádí poločas rozpadu t 1/ : = doba, za kterou se rozpadne polovina jader Jelikož polovina je víc než 1/e, čekáme, že poločas rozpadu bude menší než 1/λ tj. n t 1/ = n 0 n 0 exp λt 1/ = n 0 λt 1/ = ln t 1/ = ln λ 0,693 λ Takže poločas rozpadu je asi 70% z průměrné doby života jádra.
Graficky: rozpad s poločasem rozpadu 5 let:
Rozpad trojího druhu, označení podle pronikavosti, tj. podle toho, co je zastaví jádro 4 He List papíru elektron (nebo pozitron) Několik mm hliníku foton Masivní kus olova Čím těžší částice vylétá, tím hůř proniká Probereme postupně
Alfa rozpad Připomínám: první dvakrát magické jádro je 4 He Může se vytvořit uvnitř větších jader z nejslaběji vázaných nukleonů na vrcholu potenciálové jámy ty tam nahoře jsou kvůli Pauliho principu, protože dole v jámě už je plno Pokud se vytvoří, pak ho zbytek jádra odpuzuje elektrostaticky Tím, že je jádro 4 He, tj. alfa částice, na vrcholu jámy, může ho zbytek jádra elektrostaticky vytlačit ven Mechanismus je tunelování skrz vystouplý okraj potenciálové jámy pro nabité částice kvantová mechanika, náhoda Odtud dostaneme velké rozmezí poločasů alfa rozpadu
Typická frekvence pohybu nukleonu v jádře z energie a Planckova vztahu f = E h 1MeV 10 15 evs = 101 /s což je frekvence nárazů alfa částice na stěnu a tím frekvence pokusů protunelovat ven Označíme pravděpodobnost průchodu, tj. transmise jako T. Pak pro dobu rozpadu jednoho jádra 1/λ platí, že za tu dobu opakováním s frekvencí f naroste pravděpodobnost průchodu zhruba na 1: f 1 λ T 1 Odtud poločas rozpadu: t 1/ = ln λ ln ft a jeho logaritmus ln t 1/ ln ln f ln T
Tvar okraje potenciálové jámy v detailu: R x max Připomínám pravděpodobnost průchodu, tj. transmise, označená T T exp x max dx M ħ α V x E R R je poloměr jádra a tím vnitřní kraj klasicky nedostupné oblasti x max je vnější kraj klasicky nedostupné oblasti, tj. V x max = E
Už jsme počítali pro barieru konstantní výšky, kde jsme snadno spočetli integrál z konstanty, a pro parabolickou jámu harmonického oscilátoru daleko od středu, kde jsme mohli zanedbat celkovou energii vůči potenciální a tím zjednodušili výpočet. Tady uděláme podobné zanedbání V x = Z e 4πε 0 x protože alfa částice obsahuje protony a zbytek jádra Z protonů Odtud ln T M αe ħ x max R dx V x E 1 = M αe ħ x max R dx Z e 4πε 0 Ex 1 Zavedeme bezrozměrnou proměnnou ξ E V x = 4πε 0E Z e Z e x dx = 4πε 0 E dξ
ln T 4 Z e M 4πε 0 ħ E α ξ max ξ R dξ 1 ξ 1 Ve výrazu před integrálem máme skoro konstantu jemné struktury α, pouze chybí c (trochu nešťastná shoda označení konstanty a jádra 4 He stejným písmenem α) 4 Z e M α 4πε 0 ħ E = 4 Z e 4πε 0 ħc c M α E = 4 Z α M αc E Nová horní mez: ξ max 4πε 0E Z e x max = E V x max = 1 Nová dolní mez: ξ R 4πε 0E E Z e R = V R Užitím e Ry = 1 4πε 0 a B dostaneme 4πε 0 e = 1 Rya B takže ξ R = 1 4 Z E Ry R a B
Typické hodnoty: Z = 90, E = 5MeV, A = 50 R 1,fm 50 1/3 7,6fm ξ R = 1 4 Z E Ry R 1 a B 350 5MeV 14eV 7,6 10 15 m 0,53 10 10 m = 5 7,6 350 1,4 0,53 0,15 1 ln T 4 Z α M αc E 1 ξ R dξ 1 ξ 1 Pro chování integrálu a tím nakonec též pro chování logaritmu poločasu rozpadu jsou důležité dvě věci: 1. Pro ξ 0 funkce 1 ξ 1 diverguje ale dostatečně pomalu, že integrál je konečný
1 1 Proto dξ 1 ξ 1 = dξ ξ R 0 1 ξ 1 ξ R dξ 1 ξ 1 0 První integrál je konečné číslo, které se dá spočítat, např. ve Wolfram Alpha: Dá se taky spočítat substitucí. Zjistili jsme, že ξ R 1, takže v druhém integrálu můžeme zanedbat 1 vůči 1/ξ, takže ξ R 0 dξ 1 ξ 1 ξ R 0 dξ ξ = ξ R = 1 4 Z E Ry R a B = 1 Z E Ry R a B Dosazení: ln T 4 Z α M αc E π 1 Z E Ry R = a B = π Z α M αc E 4α Z M αc Ry R a B
Odtud konečně ln t 1/ ln ln f + π Z α M αc E 4α Z M αc Ry R a B Rozsah hodnot Z mezi 85 a 100, tj. rozptyl asi 10% kolem středu kdežto E mezi asi 4 a, 9 MeV tj. asi 50% kolem středu Takže zhruba budeme považovat za proměnnou jenom E a všechno ostatní za konstanty Tehdy log t 1/ a + b E pro konstanty a, b Experimentálně zjistili Geiger a Nuttall 1911, tedy ještě před kvantovou mechanikou; Pomocí kvantového tunelování vysvětlil Gamow 198
Energie alfa částic 4 9 MeV Odpovídající poločasy rozpadu: 10 10 a (stáří vesmíru) až 10-7 s Platnost 5 řádů I nejkratší časy jsou delší než třeba doby přechodu v atomech řádu ns, a ještě tím spíš než charakteristické doby oscilací v jádře 10-1 s. Exponenciální závislost tunelování velmi potlačí pravděpodobnost průchodu i pro nejkratší časy
Beta rozpad Už jsme potkali v souvislosti s Weizsackerovou formulí a s rozborem stability jader Připomínám obrázky ze cvičení: Při β vylétne záporně nabitý elektron a Z se zvýší o 1 Při β + vylétne kladně nabitý pozitron, tj. antielektron, a Z se sníží o 1 Místo vypuštění kladně nabitého pozitronu může jádro naopak zachytit záporně nabitý elektron (EC=electron capture), což navíc bývá pravděpodobnější
Taky jsem při cvičení řekl, že z jádra též vylétne neutrino nebo antineutrino Na to se přišlo ze spojitého rozložení energií vylétávajících elektronů nebo pozitronů Pauli (1930): přebytečnou energii nese neutrální částice, kterou nepozorujeme, takže musí být malá neutr - ino --přímá detekce až 1953, Reines a Cowan Detekce je těžká, protože interagují slabě Ale tím zase mají význam v astronomii, např. jediné částice ze středu Slunce (světlo z povrchu)
Na cvičení jsme potkali tři slabé procesy Slabá interakce --způsobuje beta rozpad β : n p + e + νe β + : p n + e + + ν e EC: p + e n + ν e Ukazuje se, že působení slabé interakce je dokonce uvnitř nukleonu, na vzdálenostech asi tisíckrát menších než fm Vzpomínáme si: fm jsme dostali zhruba jako redukovanou Comptonovu vlnovou délku pionu Univerzální působí takřka mezi všemi částicemi ƛ π = Rozlišuje mezi pravou a levou a mezi částicemi a antičásticemi ħ m π c 1,4fm Hmotnost je ve jmenovateli. Takže by nás mohlo napadnout, že když slabá interakce má tisíckrát menší dosah, tak je zprostředkovaná tisíckrát těžší částicí nebo částicemi A to je pravda uvidíme dále
První pozorování narušení pravo-levé symetrie: 60 Co 60 Ni +e + νe Hvězdička u Ni znamená excitovaný stav, což povede ke gama rozpadu, viz dále (stabilní isotop 59 Co; naopak 60 Co je licho-liché jádro) Výsledek: více elektronů vylétá proti směru magnetického pole, a tím spinu jádra, než po směru To by se v zrcadle otočilo Data z experimentu: Pro anti-kobalt by to bylo naopak
The Feynman Lectures on Physics: To illustrate the whole problem still more clearly, imagine that we were talking to a Martian, or someone very far away, by telephone. We are not allowed to send him any actual samples to inspect; for instance, if we could send light, we could send him right-hand circularly polarized light and say, That is right-hand light just watch the way it is going. But we cannot give him anything, we can only talk to him. He is far away, or in some strange location, and he cannot see anything we can see. For instance, we cannot say, Look at Ursa major; now see how those stars are arranged. What we mean by right is We are only allowed to telephone him. Now we want to tell him all about us. Of course, first we start defining numbers, and say, Tick, tick, two, tick, tick, tick, three,, so that gradually he can understand a couple of words, and so on. After a while we may become very familiar with this fellow, and he says, What do you guys look like? We start to describe ourselves, and say, Well, we are six feet tall. He says, Wait a minute, what is six feet? Is it possible to tell him what six feet is? Certainly! We say, You know about the diameter of hydrogen atoms we are 17,000,000,000 hydrogen atoms high! That is possible because physical laws are not invariant under change of scale, and therefore we can define an absolute length. And so we define the size of the body, and tell him what the general shape is it has prongs with five bumps sticking out on the ends, and so on, and he follows us along, and we finish describing how we look on the outside, presumably without encountering any particular difficulties. He is even making a model of us as we go along.
He says, My, you are certainly very handsome fellows; now what is on the inside? So we start to describe the various organs on the inside, and we come to the heart, and we carefully describe the shape of it, and say, Now put the heart on the left side. He says, Duhhh the left side? Now our problem is to describe to him which side the heart goes on without his ever seeing anything that we see, and without our ever sending any sample to him of what we mean by right no standard right-handed object. Can we do it? It turns out that the laws of gravitation, the laws of electricity and magnetism, nuclear forces, all satisfy the principle of reflection symmetry, so these laws, or anything derived from them, cannot be used. But associated with the many particles that are found in nature there is a phenomenon called beta decay, or weak decay. In short, we can tell a Martian where to put the heart: we say, Listen, build yourself a magnet, and put the coils in, and put the current on, and then take some cobalt and lower the temperature. Arrange the experiment so the electrons go from the foot to the head, then the direction in which the current goes through the coils is the direction that goes in on what we call the right and comes out on the left. So it is possible to define right and left, now, by doing an experiment of this kind.
Gama rozpad tj. emise fotonu při přechodu jádra z excitovaného stavu do nižšího stavu Úplně stejný princip jako emise fotonu z atomu, jak jsme ho potkali už v Bohrově modelu staré kvantové mechaniky Jak se dostane jádro do excitovaného stavu? Typicky předchozím alfa nebo beta rozpadem Např. u Ni vzniklý z Co byl v excitovaném stavu označeném hvězdičkou. Při přeskocích dolu vyzařuje fotony Nejprve dvě možnosti pro beta. Pak jeden nebo dva gama rozpady přivedou Ni do základního stavu bez hvězdičky Rozdíl oproti atomům jen ve velikosti energie: v atomu hladiny vzdálené o řádově ev, takže vlnová délka fotonů řádově μm, tj. viditelné nebo blízko V jádrech MeV, takže vlnová délka řádově milionkrát menší než μm pm
Rozpadové řady Složení postupných rozpadů alfa, beta, gama Při alfa se hmotnostní číslo A zmenší o 4, při beta a gama se nezmění takže jsou čtyři řady 4n, 4n + 1, 4n +, 4n + 3 Každá začíná dlouho žijícím prvkem a alfa rozpadem 4n + 1 výjimečná: začátek 37 Np má poločas rozpadu asi miliony let, takže už žádné v přírodě není Tento isotop ale vzniká uměle v detektorech kouře alfa rozpadem 41 Am (nejběžnějšího isotopu Am) s poločasem 43 let V přírodě je tato řada na posledním stupni: 09 Bi s nejdelším známým alfa poločasem rozpadu as 10 19 let, tj. miliarda stáří vesmíru takovouhle má exponenciála moc Pak se rozpadne na 05 Th
Zbylé tři řady přirozeně začínají důležitými štěpnými materiály: 4n: 3 Th, poločas 1,4 10 10 let Existuje thoriový cyklus, zatím málo využívaný 4n + : 38 U, poločas 4,5 Gy 4n + 3: 35 U, poločas 0,7Gy jeden krok z této řady na cv. Tyto dva poločasy Všechny tři končí stabilními isotopy olova, třemi ze čtyř (chybí 04) pro Oklo Olovo Z=8 je magické; 08 je dokonce dvakrát magické Všechny 4 řady graficky: K povšimnutí: většinou alfa rozpady šikmo dolů (4 doprava, dolů), tím se zvětšuje N/Z, což se občas srovná beta rozpadem nahoru
Princip: Uhlíkové datování Uhlík má dva stabilní isotopy 1 C (98,9%) a 13 C (1,1%) Willard Libby, 1949 Kosmické záření vede kromě jiného k produkci neutronů, které se pak mohou srazit s dusíkem, Což vede k reakci n + 14 N 14 C + p. Tak vznikne 14 C, kterého je v atmosféře cca 10 1 Za života mají organismy koncentraci 14 C v rovnováze s atmosférou. Po smrti začne koncentrace exponenciálně klesat kvůli dosti pomalému beta rozpadu Z relativního zastoupení zjistíme stáří Poločas rozpadu 5730 40 let, tedy λ = ln 5730y = 1 867y n 14C vzorek = n 14C standard exp λt t = 867y ln n 14C standard n 14C vzorek Vzorec předpokládá konstantní koncentraci 14 C v atmosféře. Ve skutečnosti jsou odchylky cca. 5%, a proto se dělá kalibrace, obvykle podle letokruhů Metoda použitelná do asi 50 tis let. Chyba: od cca 5 let pro stáří 1000 let k cca 100 let pro stáří 5 000 let.
Jaderné reakce Interakce jádra s částicí nebo jiným jádrem, při které vzniká nové jádro Nejjednodušší: částice + jádro jiné jádro + jiná částice Příklad je uvedený vznik 14 C v atmosféře: n+ 14 N 14 C +p Ta probíhá samovolně v přírodě, konkrétně vysoko v atmosféře První umělá, kterou provedl Rutherford 1919 je jí dosti podobná: 4 He + 14 N 17 O +p Významným typem jaderné reakce je štěpení jader a slučování jader --probereme později
Kvarky, leptony a Velký třesk Poslední krok na cestě k menším škálám: Atom Jádro Nakonec nás to dovede k poznání toho největšího Vesmíru
Trocha historie kterou jsme zčásti už potkali elektron (1897), proton (1917), neutron (193) struktura atomu: protony, neutrony v jádře, elektrony v obalu Viděli jsme, že kvantová mechanika vysvětlila: chemické vlastnosti pomocí elektronů jaderné vlastnosti, rozpady; ještě uvidíme štěpení, fúzi pomocí protonů a neutronů A k tomu neutrino (1930) pro rozpad Dosud dost dobrý popis hmoty, kterou běžně máme kolem nás
Další zdroje hmoty Kosmické záření (1936), π (1947, už byl předpovězen pro jadernou sílu: Yukawa, 1935), Urychlovače,,, spojení mikrosvěta s astronomií viz na konci -dnešní: Fermilab (Chicago), CERN (Ženeva), SLAC (Stanford), DESY (Hamburg) Detektor v CERN: Postupně objeveny stovky částic. Nejprve zmatek, postupně řád
Trojí hrubé dělení 1. fermiony-bosony, jak už víme podle hodnot spinu S z = m s ħ, kde m s = s, s 1, s s celé (0, 1,, ) bosony s polocelé (1/, 3/, 5/, ) fermiony Důležitá statistika: fermiony splňují vylučovací princip (viz stavba atomů), bosony ne při dostatečně nízkých teplotách budou všechny bosony v nejnižším stavu Páry 87 Rb při teplotě řádu 100nK
. hadrony-leptony podle druhu interakce: gravitační (zanedbatelná v částicové fyzice), elektromagnetická, slabá působí na všechny částice (el-mag na nabité) silná působí jen na některé hadrony mezony (bosony) baryony (fermiony) nepůsobí na jiné leptony Na cvičení zákony zachování spojené s různými druhy částic
3. částice-antičástice Dirac (198): spojení kvantové mechaniky a speciální relativity Připomínám, že v relativitě platí: E = pc + m č c Odtud jsme usoudili E = + pc + m č c Schválně jsem tady explicitně napsal znaménko plus, protože může být též E = pc + m č c
Diracova interpretace: pro fermiony znaménko mínus dá antičástice, pokud ve vakuu jsou všechny stavy se zápornou energií jsou obsazené, a tvoří tzv. Diracovo moře Potom částice dodaná nad Diracovo moře, antičástice odebraná z Diracova moře Dirac původně dělal teorii pro elektron a tím předpověděl anti-elektron, tj. pozitron E etc.. E etc.. E etc.. mc -mc mc -mc mc -mc etc.. vacuum etc.. electron etc.. positron Přímá analogie k elektronům a děrám v polovodiči
Pozitron experimentálně objeven o několik let později --193, Anderson, který pak také objevil mion Pro určení směru pohybu a tím znaménka náboje: zpomalen 6mm tlustou olověnou destičkou
Pak z elektronů rozšířeno i na další částice: každá částice má antičástici Někdy je částice svojí vlastní antičásticí (např. foton) Antičástice má stejnou hmotnost, dobu života a spin, ale opačný náboj a některá kvantová čísla 1996 několik atomů antivodíku v CERN snaha pochopit asymetrii hmota-antihmota ve vesmíru
Příklad částicových procesů Skutečné dráhy v bublinkové komoře Analýza Částice a antičástice v procesech
Událost 1 = anihilace přilétajícího antiprotonu s protonem z kapaliny v komoře vznik 4 pionů a 4 antipionů p p 4 4 Zákony zachování: Zákon zachování náboje Magnetické pole zakřivení drah. Znaménko vidět ze směru rotace Zákon zachování hybnosti vše se hýbe směrem doprava před i po události 1 Zákon zachování energie Před událostí 1: E m c p 938MeV 1876MeV Po události 1: E 8 m c 8 139.6MeV 1116.8MeV Takže zbývá minimálně asi 760MeV na kinetickou energii pionů a antipionů
Událost = rozpad pionu nestabilní částice se střední dobou života =,6 10-8 s Velmi dlouhá doba čekali bychom Dlouhá doba života slabá interakce (viz -rozpad minule) rozsah interakce 1fm 15 8 3 10 s 10 s rychlost interakce c (blízko 10-1 s pro jaderné reakce z minula) neutrino nenechá stopu Kinetická energie mionu a neutrina je minimálně m c m c 139,6MeV-105,7MeV 33,9MeV Zákon zachování momentu hybnosti, pokud jsou spiny mionu a antineutrina orientovány opačně, protože mion a antineutrino mají spin 1/ a pion má spin 0
Událost 3 = rozpad mionu; mimo obrázek mion také nestabilní; =, 10-6 s (téměř stokrát delší než pro pion) Opět rozpad slabou interakcí e e Elektron je asi 00 lehčí než mion, téměř všechna klidová energie mionu na kinetickou energii produktů Dvě neutrina kvůli zachování momentu hybnosti (všechny částice mají spin 1/) Navíc neutrina jsou různá nyní se podíváme podrobněji
Leptony Tři rodiny stejné vlastnosti kromě hmotnosti Zákon zachování tří leptonových čísel L e, L, L (a tím i celkového leptonového čísla) L x je +1 pro částici z rodiny x, -1 pro antičástici z rodiny x, 0 pro jinou částici např. právě uvedený rozpad mionu ( L 1) e ( Le 1) e( Le 1) ( L 1)
Hadrony Mnohem víc než leptonů (stovky); už jsme potkali proton, neutron a pion Zákon zachování baryonového čísla B B=+1 pro bariony, -1 pro antibariony, jinak 0 Stabilita protonu jakožto nejlehčího baryonu (velmi důležitá pro nás) např. při rozpadu p e e by se (kromě jiného) nezachovávalo baryonové číslo: 1 0 0
Další kvantová čísla hadronů navíc k dosud uvedeným charakteristikám: hmotnost, náboj, spin, leptonové číslo, baryonové číslo např. podivnost (strangeness), Gell-Mann & Nishijima, 1950, kvantové číslo S některé částice vznikají rychle v párech, ale samy se pomalu rozpadají Např. p probíhá rychle p neprobíhá skoro nikdy n probíhá pomalu Gell-Mann & Nishijima: rychlá silná interakce zachová podivnost ( S 0) p ( S 0) ( S 1) ( S 1) podivnost se nezachová pomalou slabou interakcí ( S 1) n( S 0) ( S 0) Později další kvantová čísla: charm, bottomness, topness
Nejlehčí hadrony Mezony se spinem 0 Uspořádání Eightfold way Gell-Mann, Ne eman (1961) Baryony se spinem 1/ Podobně pro spin 3/: trojúhelník s 10 místy, jedno chybělo předpověď - (Gell-Mann, 196), potvrzeno
Kvarky Tvar diagramů ukazuje na vnitřní strukturu hadronů, jako tvar periodické tabulky ukazuje na vnitřní strukturu atomů (Gell-Mann, Zweig, 1964) (vždycky Gell-Mann s někým) tři rodiny jako u leptonů není náhoda velký rozsah hmotností top skoro jako jádro zlata objeven až 1995 hmotnost nukleonů (asi 1GeV) převážně dána kinetickou energií kvarků u,d
Hadrony z kvarků Též na cvičení
-rozpad Postupné zpřesňování: Hlubší pochopení díky kvarkům První popis s nejasným zavedením neutrina pro zákony zachování: Fermiho teorie (1933): Na fundamentální úrovni: (viz n = udd, p = uud) Zde už jsou všechny částice bodové (elementární)
Základní síly a zprostředkující částice Elektromagnetická síla: klasicky elektromagnetické pole, kvantově fotony (kvantová elektrodynamika) Slabá síla: zprostředkovaná částicemi W +,W -, Z o hmotnosti necelých 100GeV, jak jsme čekali podobná elektromagnetické elektroslabé sjednocení umožňuje Higgsův boson (Weinberg, 1967) Silná síla: působí mezi kvarky, barevný náboj R,G,B, zprostředkovaná gluony silná + roste se vzdáleností (na rozdíl od elektroslabé) neexistují volné barevné náboje, ale jen neutrální objekty možnosti: RR GG BB mezony RGB baryony Možná elektroslabá a silná síla mohou být sjednoceny v GUT (grand unified theory)
Standardní model Vše pohromadě Interakce tenkými čarami
Zbývá gravitace Velmi slabá, ale vždycky přitažlivá zanedbatelná v mikrosvětě důležitá na astronomických škálách, kde ostatní síly a kvantové jevy jsou slabé Takhle je tomu teď. Na začátku vesmíru byly tak extrémní hustota a teplota, že gravitace byla srovnatelná s ostatními silami Pořád ještě nacházíme vysoce energetické částice z té doby v kosmickém záření Studium elementárních částic pomůže rané kosmologii vztah malého a velkého
Rozpínání Vesmíru Galaxie ve vzdálenosti r se od nás vzdaluje rychlostí v podle vztahu v Hr H (50 80)km/(sMpc) pc( parsec) 3,3ly Hubble, 199 Pro představu vzdáleností: nejbližší hvězda Proxima Centauri 1,3pc Mléčná dráha napříč 34kpc nejbližší galaxie v Andromedě 0,78Mpc Pošleme zpátky v čase smršťování do nuly Velký třesk před asi 10 10 lety
Raná historie Vesmíru 10-43 s formuje se čas a prostor 10-34 s inflace, kvark-gluonové plasma 10-4 s kvarky vytvářejí nukleony 1min nukleony vytvářejí lehká jádra (do Li) 379 000y jádra a elektrony vytvářejí atomy; světlo se může volně pohybovat reliktní záření (Penzias & Wilson, 1965) 10 10 y my