ÚLOHY SE SPORTOVNÍ TÉMATIKOU PRO MATEMATICKÉ TALENTY, vč. metodického listu doc. PhDr. Marta Volfová, CSc. Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010
Úlohy se sportovní tematikou pro matematické talenty 1) Na sobotní závod Na kole kolem Hradce přišlo v sobotu 84 dětí, na nedělní Cyklistiku u Labe jen 48 dětí. Určete, jaký byl celkový poměr počtu kluků a děvčat (za sobotu i neděli), víte-li, že v sobotu přišlo o 36 děvčat méně než kluků a poměr počtu děvčat a kluků v neděli byl 1: 3. 2) Adam s Evou hráli šachy o jablko. Adam vyhrál a utěšoval Evu: To víš, já hraji šachy dlouho, dvakrát déle než ty! Eva se zlobila Ale minule jsi říkal, že je hraješ třikrát déle! Adam se divil: To že jsem říkal? A kdy to bylo? Předloni. No tak to ano, mluvil jsem pravdu a dnes také. Jak dlouho tedy hraje Adam šachy? 3) Ivo, Eda a Ota na soutěži získali všechny tři medaile. Nechtěli se chlubit, tak takto žertovali: Ivo: Ota získal zlatou! Eda: Ale ne, Ota získal stříbrnou! Ota: Nedostal jsem ani zlatou, ani stříbrnou. Tělocvikář prozradil, že nositel zlaté medaile mluvil pravdu a bronzové lhal. Kdo získal jakou medaili? 4) Na 1 km dlouhé oválné dráze jezdí na kole Tom a jeho mladší bratr Jirka. Tom jezdí třikrát rychleji než Jirka a tak dráhu už několikrát objel. Všiml si přitom, že Jirku každých 5 minut přejíždí. Jaká je rychlost obou chlapců? 5) Náš klub dal letos o 20 % (o 25 %) víc gólů než klub B, ale o 20 % (25 %) méně než klub A. Kdo dal více gólů A nebo B? A kolikrát víc? 6) Náš klub chtěl v této sezóně vyhrát aspoň 60 % zápasů. Už jich odehrál třetinu ale vyhrál jen 40 % z nich. a) Kolik % zbývajících zápasů musí vyhrát, aby si splnil svůj cíl? b) A kdyby už vyhrál všechny zbývající zápasy o kolik % by přesáhl svůj cíl? Další úlohy jsou hodně obtížné i pro studenty SŠ mohou je však zkusit řešit i talentovaní žáci vyšších ročníků ZŠ. Řešení vyžaduje soustředění a dobré uvažování. 7) Po závodech, kde hrál každý s každým právě jednou bylo pořadí družstev A, B, C, D, E. Každé družstvo získalo jiný počet bodů. Víme, že - vítězné družstvo A nemělo žádnou remízu, - 2. v pořadí družstvo B nikdy neprohrálo, - družstvo D naopak nikdy nevyhrálo. Zapište tabulku závodů, uveďte do ní výhry, prohry, remízy a počty získaných bodů pro každé družstvo (za výhru jsou 2 body, za remízu 1 bod, za prohru 0). 8) V soutěži čtyř mužstev A, B, C, D známe některé výsledky zápasů, některé údaje o celkových počtech bodů, o celkových skóre a víme, že na 1. místě se umístilo C. Sestavte tabulku, doplňte do ní výsledky jednotlivých zápasů, celková skóre, počty bodů a umístění jednotlivých mužstev.
A B C D skóre body pořadí A 1 :1 : 3 B : 4 1 C 3 : 1 1. místo D : 5 1 : : 7 3 9) Ve finále Zelení třikrát vyhráli a umístili se na 1. místě s celkovým skóre 7 : 1. Červení dosáhli skóre 2 : 3, Modří 3 : 3. Poslední Hnědí prohráli všechny tři zápasy a jejich celkové skóre bylo 1 : 6. vyplňte tabulku, víte-li ještě, že Zelení porazili Červené 3 : 0 a že Červení i Modří právě jednou vyhráli, jednou prohráli a jednou remizovali. 10) V soutěži se utkalo několik družstev systémem každý s každým právě jednou. Víme, že vítězné družstvo získalo 7 bodů (vždy za výhru jsou 2 body, za remízu 1 bod, za prohru 0 bodů), druhé v pořadí 5 bodů a třetí 3 body. Kolik družstev bylo a kolik bodů získalo to poslední? 11) O výsledcích zápasů mezi družstvy J, K, L, M víme, že: J všechny zápasy vyhrálo, K dalo 2 góly, L dostalo 8 gólů a některé výsledky byly 2 : 0, 1 : 1, 2 : 2, 3 : 1 a 5 : 3; K hrálo s M 0 : 1. Určete celková skóre pro každé družstvo a pořadí družstev. (Uvažte, zda jsou informace postačující pro jednoznačnou odpověď.) 12) Úloha z 5. Mezinárodní MO Na olympiádě soutěžila družstva A, B, C, D, E. Někdo předpověděl, že jejich pořadí bude právě ABCDE ale žádné družstvo se neumístilo na předpovězeném místě a dokonce ani pořadí žádných dvou za sebou nebylo zachováno. Jiný předvídal pořadí DAECB a uhodl umístění právě dvou družstev a právě dvakrát dvě družstva za sebou následující. Jak se tedy umístila? Literatura Úlohy MO Volfová, M.: Metody řešení matematických úloh. Skriptum. Gaudeamus, Hradec Králové, 2000
METODICKÝ LIST k úlohám se sportovní tématikou, výsledky úloh a poznámky k řešení Úlohy se sportovní tématikou mohou být matematicky velmi různě řešeny. Často jde o úlohy o pohybu, které využívají vztah s = v. t, některé se vztahují k procentům, k poměrům, mnohé vyžadují jen logické myšlení (ty jsou asi nejtěžší, ale i nejzajímavější často se po prvním přečtení zdá, že to prostě řešit nelze až se ukáže, že lze; v našich úlohách to byly zejména úlohy na doplnění tabulek). Problémy motivují někdy právě svou obtížností, vyvolávají úsilí najít správné řešení, které je jakoby skryté, utajené, nepoddává se snadno. ad 1 řešení: v sobotu 84 všech, děvčat o 36 méně 84 36 = 48; 48 : 2 = 24 (počet děvčat) 24 + 36 = 60 (počet kluků) v neděli 48 všech, poměr počtu děvčat a kluků je 1 : 3, tedy 4 díly, tj. 1 díl je 48 : 4 = 12 (počet děvčat) 3 díly je 12. 3 = 36 (počet kluků) Celkem závodilo 24 + 12 = 36 děvčat a 60 + 36 = 96 kluků Poměr počtu děvčat a kluků byl 36 :96 = 6 : 16 = 3 : 8 ad 2 řešení: Eva hraje nyní šachy x let. Fakta ze slovní úlohy vyjádříme v tabulce pomocí x: předloni dnes Eva x 2 x Adam 2x 2 2x Předloni hrál Adam šachy třikrát delší dobu než Eva, což vyjádříme rovnicí: 2x 2 = 3.( x 2) 2x 2 = 3 x 6 4 = x. Tedy 2x = 8 a Adam hraje šachy 8 let. ad 3 řešení logickou úvahou - Kdyby ji dostal Ota, pak by jeho výrok Nedostal jsem ani zlatou ani stříbrnou nebyl pravdivý a to odporuje sdělení tělocvikáře. - Kdyby dostal zlatou Ivo, pak jeho výrok Ota dostal zlatou by nebyl pravdivý a to opět odporuje sdělení tělocvikáře. - Zlatou tedy dostal Eda. Ten jako nositel zlaté medaile mluví pravdu. Z jeho sdělení plyne, že Ota získal stříbrnou a pro Ivu zbyla bronzová medaile. ad 4 - jde o téměř standardní úlohu na pohyb. Vhodné je využít tabulku. Jirka ujede x km než ho dojede Tom. rychlost dráha čas km/h km hod Jirka v x 1 12 Tom 3v x + 1 1 12
x = v. 12 1 x + 1 = 3v. 12 1 + /12 v 3v 12 1 = 12 v + 12 = 3v v = 6 Rychlost Ondry je 6 km/h, Toma 18 km/h. ad 5 - nechť A dal a gólů, B dal b gólů a náš klub n gólů. Platí n = 1,2 b (n = 1,25 b) n = 0,8 a (n = 0,75 a) 1,2 b = 0,8 a (1,25 b = 0,75 a) a = 12 b (a = 1,25 b ) 8 0,75 a = 1,5 b 5 (a = 3 b ) Klub A dal 1,5 krát (1, 6 krát) víc gólů než klub B ad 6 - z je počet všech zápasů; ve zbylých 3 2 musí vyhrát x %. z 2z 3 a) 0,4 + x. = 0,6. z / z 3 3. 0,4 + 2x = 1,8 x = 0,7.... musí vyhrát 70 % zbývajících b) 1 2 p 0,4. 3 + 3 = 100 p = 80..... vyhrál by 80 % všech zápasů, cíl by o 20 % překonal ad 7 - Pro řešení podobných úloh bývá výhodné zapsat do tabulky možnosti výher (V), remíz (R) a proher P (podle údajů v textu) i možné bodové zisky A B C D E počty bodů A VP VP VP VP 0 8 b B VR VR VR VR 4 8 b C D RP RP RP RP 0 4 b E 1) A s B může jen vyhrát nebo prohrát, ale B s A může jen vyhrát nebo remizovat tedy A s B prohrává 2) B má již jistých 5 bodů (má výhru s A, s ostatními aspoň remízu) 3) A se umístilo na 1. místě, musí mít tedy víc bodů než B, tedy aspoň 6. Zbývající zápasy (s C, D a E) musí vyhrát a B zápasy s C, D, E remizovat 4) D ani jednou nevyhrálo. Kdyby prohrálo s E, mělo by maximálně 2 body a E aspoň 3 ovšem D se umístilo před E, proto musí spolu remizovat a aby mělo D více bodů než E, musí s C remizovat a E s C prohrát 5) Řešení udává výsledná tabulka
A B C D E počty bodů A P V V V 6 b B V R R R 5 b C P R R V 4 b D P R R R 3 b E P R P R 2 b ad 8-1) Dané výsledky doplníme do opačné poloviny tabulky (a totéž vždy pro každý zjištěný počet gólů) 2) C má dostat jen jeden gól již ho má od D; doplníme proto řádek ( : 0) i sloupec (0 : ) u C 3) B má v tabulce jednu remízu (s A) a celkem 1 bod; ostatní zápasy s C a D tedy musí prohrát 4) D má jistou výhru nad B (viz 3)) a získá 3 body musí proto s A nebo C remizovat; s A to nebude (to by A od D dostalo 5 gólů, ale celkem má dostat jen 3); bude remizovat s C 1 : 1; aby měl 3 body, musí s A prohrát; dostane celkem 7 gólů od B jeden (doplníme v řádku D ( : 1) i B (1 : ) 5) V řádku B doplníme prohry B s C a B s D vzhledem k celkovému skóre (a k již vyznačenému) je jediná možnost B : D = 1 : 2 (aby prohrál, musí dostat aspoň dva góly; kdyby však dostal tři, podle celkového skóre už by nebyl gól na prohru s C); B : C = 0 : 1 6) Nyní doplníme (podle již zapsaného a z celkového skóre) C : A = 1 : 0 7) V řádku A (podle celkového skóre a již zapsaného doplníme A : D = 5 : 1 8) Doplníme celou tabulku A B C D skóre body pořadí A 1 : 1 0 : 1 5 : 1 6 : 3 3b 2. místo B 1 : 1 0 : 1 1 : 2 2 : 4 1 b 4. místo C 1 : 0 1 : 0 1 : 1 3 : 1 5 b 1. místo D 1 : 5 2 : 1 1 : 1 4 : 7 3 b 3. místo (Metodická poznámka: řešitelům lze doporučit, aby výsledky každé úvahy zaznamenávali do tabulky tak, aby bylo možné posloupnost jednotlivých kroků znovu projít a překontrolovat. Je možné s každým novým doplněním načrtnout další tabulku nebo vyplňovat různými barvami.) ad 9 Řešení lze hledat např. takto: Vytvořte tabulku, zapište do ní Z : Č = 3 : 0 a poznamenejte do ní, kde bude výhra, remíza, prohra. Dále: Uvažujeme Červené: už nedostanou žádný gól a mají jednou remizovat (to musí být tedy 0 : 0) a jednou mají vyhrát a mají dát 2 góly. Tedy s Modrými remizují 0 : 0 a nad Hnědými vyhrají 2 : 0. Zeleným zbývá ještě skóre 4 : 1 pro dvě výhry ty mohou být 2 : 1 a 2 : 0 nebo 3 : 1 a 1: 0. Hnědým zbývá skóre 1 : 4 pro dvě prohry ty mohou tedy být 1 : 2 a 0 : 2 nebo 1 : 3 a 0: 1. Modří mají pro jednu výhru a jednu prohru skóre 3 : 3 mají celkem 6 možností: 3 : 0 a 0 : 3 nebo 3 : 1 a 0 : 2 nebo 3 : 2 a 0 : 1 nebo 2 : 0 a 1 : 3 nebo 2 : 1 a 1 : 2 nebo 1 : 0 a 2 : 3. Stačí probrat možnosti Z : M, přiřadit k nim (nutné) možnosti Z : H a uvážit, co vyplývá pro M : H z možností M a z možností H (obě se musí shodovat)
Z : M Z : H M : H (z možností M) M : H (z možností H) 3 : 1 1 : 0 2 : 0 3 : 1 2 : 1 2 : 0 2 : 1 2 : 1 2 : 0 2 : 1 3 : 1 2 : 0 1 : 0 3 : 1 2 : 3 1 : 0 Řešení: Zelení Červení Modří Hnědí skóre Zelení 3 : 0 2 : 1 2 : 0 7 : 1 Červení 0 : 3 0 : 0 2 : 0 2 : 3 Modří 1 : 2 0 : 0 2 : 1 3 : 3 Hnědí 0 : 2 0 : 2 1 : 2 1 : 6 ad 10 Za každý zápas jsou přiděleny 2 body (buď oba vítězí nebo při remíze oběma soupeřům po 1 bodu). n.( n 1) Je-li n družstev, je zápasů (při systému každý s každým právě jednou ) (každý 2 hraje se všemi ostatními mimo sebe; zápas by se tak započítával dvakrát, oběma soupeřům; proto dělíme číslem 2). Za zápas 2 body tedy je-li n družstev, je celkový počet bodů n.( n 1) 2. = n. (n 1). 2 Provedeme odhad, kolik mohlo být družstev: a) 8 družstev.... tedy rozděleno 8. 7 = 56 bodů. První tři získala 7 + 5 + 3 = 15 bodů, zbylých 5 dostane 5. 6 15 = 41 bodů. Kdyby všichni dostali (jako ten třetí) 3 body, celkem 5. 3 = 15 bodů, zbylo by ještě 41 15 bodů. b) 7 družstev.... 7. 6 = 42 bodů; první tři 15 bodů zbývá 42 15 = 27 bodů; zbylí 4 by mohli získat maximálně 4. 3 = 12 bodů (zbylo by 27 12 bodů) c) 6 družstev..... 6. 5 = 30 bodů; 30 15 = 15; zbylá tři mohou dostat maximálně 3. 3 = 9 bodů zbylo by 6 bodů d) 5 družstev.... 5. 4 = 20 bodů; 20 15 = 5, čtvrté by mohlo dostat 3 body a páté 2 Řešení: družstev bylo 5, poslední získalo 2 body. ad 11 - Máme vyplnit 5 výsledků ( pravá horní a levá dolní část tabulky si odpovídá, např. K : M = 0 : 1, M : K = 1 : 0). Družstvo J získalo 6 bodů, tedy všechny zápasy vyhrálo. Z toho vyplývá, že zápasy mezi KL a LM musí skončit remízou. a) Volme K : L = 2 : 2. Pak (protože K dá celkem jen 2 góly, je prohra s J 0 : 2) a zápas L : M bude 1 : 1 ( 2. remíza) L má dostat 8 gólů, už má v tabulce 3, tedy s J musí prohrát 3 : 5 a výsledek J : M bude 3 : 1. Tabulka je vyplněná J K L M skóre body pořadí J 2 : 0 5 : 3 3 : 1 10 : 4 6 b 1. K 0 : 2 2 : 2 0 : 1 2 : 5 1 b 4. L 3 : 5 2 : 2 1 : 1 6 : 8 2 b 3. M 1 : 3 1 : 0 1 : 1 3 : 4 3 b 2. První řešení
b) Volme druhou možnost: K : L = 1 : 1 Pak je L : M = 2 : 2, L : J = 3 : 5, K : J = 1 : 3 (aby K dalo celkem 2 góly) a na J : M zbývá možnost 2 : 0. Našli jsme druhé řešení (viz tabulku) J K L M skóre body pořadí J 3 : 1 5 : 3 2 : 0 10 : 4 6 b 1. K 1 : 3 1 : 1 0 : 1 2 : 5 1 b 4. L 3 : 5 1 : 1 2 : 2 6 : 8 2 b 3. M 0 : 2 1 : 0 2 : 2 3 : 4 3 b 2. Vidíme, že ačkoliv výsledky jednotlivých zápasů nejsou jednoznačně určeny, celková skóre i pořadí družstev stanovit lze. ad 12 - Řešit lze různě třeba i vypisováním možných permutací. Mohlo by jich být 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120, ale víme, že A nemůže být na 1. místě, B na druhém, že po C nikdy nenásleduje D... atd. Nejekonomičtější způsob řešení je vybrat dvě dvojice, které uhodl druhý předvídající. Rozumné je uvažovat, které to mohou být: - jistě ne ty za sebou následující se společným prvkem např. DA, AE (uvažte proč), - je třeba vyloučit dvojice DA a EC (uvažte proč), - je třeba vyloučit dvojice AE a CB (uvažte proč) atp. Řešení: E, D, A C, B