VÝPOČET RIZIKA V POJIŠTĚNÍ OSOB Calculation of risk in life insurance

Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Finanční podnikání VÝPOČET RIZIKA V POJIŠTĚNÍ OSOB Calculation of risk in life insurance Diplomová práce Vedoucí diplomové práce: Mgr. Petr ČERVINEK Autor: Beáta STEINOVÁ Brno, květen 2009

Jméno a příjmení autora: Beáta Steinová Název diplomové práce: Výpočet rizika v pojištění osob Název práce v angličtině: Calculation of risk in life insurance Katedra: Financí Vedoucí diplomové práce: Mgr. Petr Červinek Rok obhajoby: 2009 Anotace Předmětem diplomové práce Výpočet rizika v pojištění osob je odvození vzorců pro výpočet rizika pojistných produktů v životním pojištění. V první části je popsáno zařazení pojistné matematiky do ekonomického systému, druhá část se zabývá úmrtnostními tabulkami a třetí část obsahuje odvozování vzorců pro výpočet pojistného a rizika pojištění. Annotation The topic of the dissertation Calculation of risk in life insurance is derivation of formulas for calculation of the risk of insurance products in life insurance. The first part describes the inclusion of actuarial mathematics into the economic system; the second part deals with mortality tables; and the third part contains the derivation of formulas for calculations of the premium and the insurance risk. Klíčová slova Pojištění, pojistný trh, pojistná matematika, životní pojištění, kalkulace pojistného, pojistnětechnické riziko Keywords Insurance, insurance market, actuarial mathematics, life insurance, calculation of premium, insurance - technical risk

Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Výpočet rizika v pojištění osob vypracovala samostatně pod vedením Mgr. Petra Červinka a uvedla v ní všechny použité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisy Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU. V Brně dne 4. května 2009 vlastnoruční podpis autora

Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala Mgr. Petru Červinkovi za cenné připomínky a odborné rady, kterými přispěl k vypracování této diplomové práce.

OBSAH ÚVOD... 6 1 RIZIKO POJISTNÉHO V EKONOMICKÉM SYSTÉMU... 8 1.1 EKONOMICKÝ SYSTÉM... 8 1.2 FINANČNÍ TRHY... 10 1.3 POJISTNÝ TRH... 12 1.4 POJISTNÁ MATEMATIKA... 15 1.5 RIZIKO POJIŠTĚNÍ... 17 2 ÚMRTNOSTNÍ TABULKY... 23 2.1 ÚMRTNOSTNÍ TABULKY V POJIŠŤOVNICTVÍ... 24 2.2 POPIS ÚMRTNOSTNÍ TABULKY... 25 2.3 SOUVISLOSTI VE VZORCÍCH... 27 2.4 KOMUTAČNÍ ČÍSLA... 28 3 ODVOZENÍ VZORCŮ PRO VÝPOČET RIZIKA... 31 3.1 POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD DOŽITÍ... 31 3.2 POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI... 36 3.2.1 Pojištění pro případ smrti trvalé... 36 3.2.2 Pojištění pro případ smrti dočasné... 38 3.2.3 Pojištění pro případ smrti odložené... 41 3.2.4 Pojištění pro případ smrti odložené dočasné... 43 3.3 SMÍŠENÉ POJIŠTĚNÍ... 49 3.4 POJIŠTĚNÍ DŮCHODU... 53 3.4.1 Doživotní bezprostřední důchod předlhůtní... 53 3.4.2 Doživotní bezprostřední důchod polhůtní... 56 3.4.3 Dočasný bezprostřední předlhůtní důchod... 58 3.4.4 Dočasný polhůtní důchod... 61 3.4.5 Odložený předlhůtní doživotní důchod... 64 3.4.6 Odložený polhůtní doživotní důchod... 67 3.4.7 Odložený předlhůtní dočasný důchod... 69 3.4.8 Odložený dočasný důchod polhůtní... 73 ZÁVĚR:... 80 LITERATURA:... 82 SEZAM PŘÍLOH:... 83 SEZNAM OBRÁZKŮ:... 84 SEZNAM TABULEK:... 84

Úvod Mezi základní potřeby lidstva patří nejen potrava, oblečení a bydlení, ale i mnoho dalších statků usnadňujících a obohacujících život jednotlivce i celého lidstva. Materiální statky a jejich výroba je tak rozhodující a hlavní podmínkou dnešního života. Tento vývoj však nelze považovat za plynulý a bez poruch. Za rušivé elementy považujeme především ničivé síly samotné přírody, ale také nedokonalosti jednotlivců či celé společnosti. Základním rysem těchto událostí je jejich neočekávanost a nahodilost jak v čase, tak i v rozsahu. Nahodilé události škodlivého charakteru jsou pro existenci lidské společnosti naprosto přirozeným rysem, vyskytujícím se v historicky různých formách i v různém rozsahu v každém stupni vývoje lidské společnosti. Rozpoznání škodlivosti mnohých nahodilých událostí vedlo k hledání nejvhodnějšího způsobu ochrany. Tak vzniká a vyvíjí se zábranná činnost prevence, předcházení nahodilým událostem, anebo zmírňování jejich rozsahu (represe). Ukázalo se však, že i sebedokonalejší opatření nebezpečí zcela neodstraní. Byly hledány další způsoby ochrany. Jako nejúčinnější obrana proti škodlivým následkům nahodilých škodlivých událostí je nahromadění dostatku prostředků sloužících k náhradě poškozeného nebo zničeného majetku, nebo k zajištění nezbytných prostředků nutných pro život lidí postižených nahodilou událostí. Většinou však jednotlivec není schopen nahromadit takové množství rezerv pro případ náhodné události, a ani nemůže v tomto případě spoléhat na společnost. Dochází tak ke sdružování lidí, kteří jsou vystaveni stejným rizikům. V tomto sdružování nalézáme základ rozvíjejícího se pojištění. Ekonomickou podstatu pojištění vidíme ve sdružování jednotlivců ohrožených stejným nebezpečím. Pojišťovnictví patří ve vyspělých státech světa k základním ukazatelům ekonomické úrovně země a po nástupu tržní ekonomiky se stále více dostává do popředí zájmu. Teoretickým základem pojišťovnictví je pojistná matematika, jejíž zvládnutí je nezbytné pro zkvalitnění služeb pojišťovnictví. Technickou stránku pojištění zajišťuje i statistika. Pojištěním se zabezpečuje občanům právo výplaty pojistné sumy v předem dohodnuté výši v případě pojistné události, která nastala v průběhu trvání pojištění. Z výše uvedeného plyne důležitost pojmů nahodilá událost a pojistná událost. Nahodilých událostí, tj. událostí, které nemůžeme s jistotou očekávat, je mnoho, a ne všechny mohou být považovány za zdroj pojištění. To se zabývá jen takovými situacemi, jež mají za následek škodu na majetku nebo zdraví, případně událostí, která je spojena s určitým zájmem, z něhož plyne potřeba finančních prostředků (např. dožití se určitého věku, sňatek, počátek studia, ). 6

Pojistná událost je tak spojována s nahodilou událostí, ze které vyplývá povinnost pojišťovny poskytnout pojistné plnění. Aby mohla pojišťovna spolehlivě určit hodnotu převzatých závazků a stanovit tak výši pojistného nebezpečí, musí zhodnotit pojistnou událost. Toto nebezpečí nebo také pojistné riziko slouží k hodnotovému vyjádření četnosti a rozsahu pojistných událostí, četnost a rozsah pojistných závazků, které pojišťovna převzala prostřednictvím sjednaných pojištění. Pojistné nebezpečí, určené jako hodnota pojistných událostí, je v čase variabilní, neustále se mění. Životní pojištění se vyznačuje poměrně dlouhou tradicí spojenou se vznikem pojištění. V minulosti se v popředí vyskytovalo riziko smrti, zabezpečení pohřbu nebo podpory pozůstalých. V současné době pojištění představuje soubor různých skupin pojištění, který seskupuje dvě základní rizika: riziko smrti a riziko dožití. Pojistná matematika životního pojištění využívá dvou modelů životního pojištění diskrétního a spojitého. Oba modely je možno vytvářet deterministicky nebo stochasticky. Nejjednodušším modelem používaným v dnešní pojistné praxi je model diskrétní deterministický, který je pro výpočty výšky pojistného a rezerv naprosto postačující. Při tvorbě nových produktů a současně i vývoji pojištění v dnešní době však již nestačí počítat jen rezervy, ale i to, jak je pojištění rizikové. Pro tento případ je potřebný již model stochastický. Stochastický model má tu výhodu, že díky němu můžeme počítat i další charakteristické veličiny dané náhodné proměnné. Pomocí směrodatné odchylky můžeme upřesnit stanovení současné hodnoty. Právě směrodatná odchylka udává riziko pojistného, u kterého platí, že čím je vyšší, tím je pojištění riskantnější. Cílem práce je odvození vzorců pro výpočet rizika pojistných produktů v životním pojištění. Konkrétně pak budeme odvozovat vzorce pro jednorázové netto pojistné jednotlivých druhů pojištění v oblasti životního pojištění osob pomocí stochastického diskrétního modelu. Důvodem počítání rizika je, že v případě bezrizikového pojištění se toto riziko bere v úvahu, připočítává se ke střední hodnotě. Pojišťovny by se o takovéto bezrizikové pojištění měly snažit. 7

1 Riziko pojistného v ekonomickém systému 1.1 Ekonomický systém Před začátkem popisu finančního systému, který zahrnuje pojistný trh a tudíž i oblast pojistné matematiky, je nutno se seznámit se systémem ekonomickým, jehož součástí je systém finanční, kterým se dále budeme zabývat. Ekonomický systém můžeme popsat jako uspořádání subjektů, objektů a různých toků plateb, výstupů a výrobních faktorů. Zjednodušeně ho můžeme popsat takto: ekonomika zahrnuje dva subjekty domácnosti a podniky, kde domácnostmi chápeme vlastníky zdrojů, které tyto zdroje (práce, majetek) dodávají podnikům a naopak od nich přijímají zboží a služby podnikovým sektorem vyprodukované. V tomto dvousektorovém systému ekonomiky rozeznáváme dva toky reálný tok představující reálnou ekonomiku (jde o vnitřní smyčku obrázku 1) a peněžní tok finančního systému (vnější smyčka obrázku 1). Obrázek 1: Ekonomický systém Příjem (mzdy, nájem, úroky, zisky) Vstupy zdrojů (práce, komodity, půda) Podnikový sektor Sektor domácností Spotřeba vstupů (zboží a služby) Platby za výstupy Zdroj: Fuchs FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004, str. 14 Výše uvedené schéma znázorňuje pouze zjednodušenou formu fungování ekonomického systému. Je nutno si uvědomit, že ekonomika nemůže existovat bez trhů. 8

Obrázek 2: Ekonomický a finanční systém Trh zboží a služeb Podnikový sektor Finanční systém Finanční trh Sektor domácností Trh výrobních faktorů Zdroj: Fuchs FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004, str. 15 V grafu dvousektorové ekonomiky je vyčleněn trh finanční, trh výrobních faktorů a trh výrobků a služeb. V obrázku 2 máme vyznačeny směry toku produkce a výrobních činitelů probíhající ve směru vnějších šipek a tok plateb probíhající opačným směrem. Centrem finančního systému je finanční trh. Základní funkcí ekonomik je alokace materiálních zdrojů za účelem výroby zboží a poskytování služeb, kterých si společnost žádá. Za komplexní alokaci zdrojů poskytování výrobků a služeb zodpovídají ve většině ekonomik trhy. Jedná se především o trhy zboží a služeb, trh výrobních faktorů a finanční trh. Dělení ekonomického systému je možno provést podle následujícího schématu. Tato práce se dále bude zabývat pouze finančními trhy. Obrázek 3: Ekonomický systém Ekonomický systém Trh zboží a služeb Trh výrobních faktorů Domácnosti Firmy Finanční trhy Zdroj: REJNUŠ O., Peněžní ekonomie (Finanční trhy), Brno: Akademické nakladatelství CERM s. r. o., 2006, str. 26 9

1.2 Finanční trhy Finanční trhy jsou nedílnou součástí každé ekonomiky. Finanční systém je možno chápat jako mechanismus, jehož prostřednictvím se prostředky k zapůjčení dostávají k těm, kteří si je chtějí vypůjčit. Je souhrnem všech dílčích segmentů finančního trhu, tak i všech na nich obchodovaných finančních nástrojů (instrumentů) a rovněž všech ekonomických subjektů, které při respektování legislativou stanovených zákonů a dalších souvisejících předpisů tyto finanční nástroje s využitím svých odborných znalostí a technik obchodují, nebo poskytováním celé řady různých odborných finančních služeb fungování finančního systému napomáhají. 1 Finanční trh je místem, kde se střetává nabídka a poptávka po finančních instrumentech, neboli platebních prostředcích, cenných papírech, devizách, drahých kovech či pojistné ochraně. Finanční trh má podobu trhu peněžního nebo kapitálového. Peněžní trh se zabývá krátkodobým poskytováním půjček a obchodováním s krátkodobými cennými papíry, zatímco kapitálový trh je určen pro financování dlouhodobých investic. Na finančních trzích se střetávají deficitní a přebytkové subjekty. Finanční trh jim umožňuje přemisťování finančních prostředků mezi sebou. Existují tři způsoby přerozdělování: přímé Obrázek 4: Přímé financování Deficitní subjekt Emise primárních cenných papírů Peněžní prostředky za nákup cenných papírů Přebytkový subjekt Zdroj: Fuchs FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004, str. 18 1 REJNUŠ O., Peněžní ekonomie (Finanční trhy), Brno: Akademické nakladatelství CERM s. r. o., 2006, str. 18 10

polopřímé Obrázek 5: Polopřímé financování Primární cenné papíry Primární cenné papíry Deficitní subjekt Finanční zprostředkovatel Přebytkový subjekt Peněžní prostředky Peněžní prostředky Zdroj: Fuchs FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004, str. 19 nepřímé Obrázek 6: Nepřímé financování Primární cenné papíry Sekundární cenné papíry Deficitní subjekt Finanční zprostředkovatel Přebytkový subjekt Peněžní prostředky Peněžní prostředky Zdroj: Fuchs FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004,str. 19 Úkolem finančních zprostředkovatelů je ulehčování realizace peněžních transakcí, snižování finančních nákladů. Jejich kvalifikace pro odhad rizika je vyšší. Díky nim je umožněn vzájemný kontakt, spojení a propojení všech ekonomických subjektů vystupujících na finančním trhu. Cena zprostředkování může být úrok, marže, pojistné, zajistné atd. Finanční trhy plní mnoho funkcí, avšak nejdůležitější z nich jsou: 2 funkce akumulační soustřeďování volných finančních prostředků z různých zdrojů funkce alokační umisťování finančních prostředků funkce přerozdělovací přerozdělování mezi přebytkovými a deficitními subjekty funkce selekční přerozdělování prostředků subjektům, které je dokážou nejefektivněji využít 2 ČEJKOVÁ V., NEČAS S., Pojistný trh, Brno: MU Brno, 2005, str. 15 11

Členění finančních trhů: z hlediska času krátkodobý do 1 roku střednědobý 1 až 4 roky dlouhodobý nad 4 roky podle charakteru aktivace finančních prostředků 3 primární trhy sekundární trhy podle obsahu 4 dluhové trhy akciové trhy komoditní trhy měnové trhy z hlediska jeho jednotlivých segmentů peněžní trh kapitálový trh devizový trh komoditní trh pojistný trh 1.3 Pojistný trh Také u pojistného trhu jde o fungování na principu shromažďování a rozdělování finančních prostředků, jako u rozdělování hrubého domácího produktu. Mluvíme zde o rezervách, které se vytvářejí pro případ úhrady pojistného plnění. Jedná se o náhodu předem neurčitelnou. Je pro ně typický nárok na čerpání při splnění podmínek stanovených zákonem, vyhláškami, pojistnými podmínkami, pojistnou smlouvou atd. Pojišťovnictví je považováno za jednu z klíčových oblastí národního hospodářství a plní úlohy jako je pojistná ochrana fyzických i právnických osob, bezporuchový chod ekonomiky státu. Považujeme je za konkurenta i partnera bankovního sektoru na finančním trhu. Pojištění lze definovat jako vztah tvorby a rozdělování rezerv v závislosti na riziku a používání těchto rezerv k úhradě potřeb, které jsou v jednotlivých případech výskytu náhodné, vcelku však odhadnutelné. Pojištění tedy funguje na principu a teorii tvorby rezerv pro předpokládané pojistné plnění, respektive pojistné náhrady v budoucnosti. 5 3 FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004, str. 28 4 FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004, str. 28 5 ČEJKOVÁ V., NEČAS S., Pojistný trh, Brno: MU Brno, 2005, str. 16 12

Pojistný trh je typický tím, že se na něm střetává nabídka a poptávka po pojistné ochraně. Obchody tohoto trhu se týkají pojištění a zajištění. Jsou to služby mající fiktivní charakter. Tyto služby mají riziko spočívající v získání protihodnoty až po realizaci pojištěného rizika. Na pojistném trhu se uplatňují principy solidárnosti, neekvivalentnosti a podmíněné návratnosti. Na poptávkové straně pojistného trhu nalezneme různorodou skupinu fyzických osob, právnických osob a sdružení. Stranu nabídky pojistného trhu představují pojistitelé, zajistitelé a zprostředkovatelé. Pojišťovací instituce Jedná se o důležité subjekty finančních trhů s celosvětově se zvyšujícím významem. Jejich důležitou vlastností je zabezpečování řady specifických funkcí nutných pro efektivní fungování ekonomiky a jejího vývoje. Důvody: Možnost pojištění a tím taky zvýšení finanční bezpečnosti pro případ vzniku nepředvídatelných událostí Jsou vlastníkem velkého finančního potenciálu pro investování do dlouhodobých finančních aktiv (výrazné propojení s kapitálovými trhy) Napomáhání udržování stability nejen finančního, ale i celého ekonomického systému Dělení pojišťovacích institucí: 6 Pojišťovny Zajišťovny Pojišťovny Finanční instituce charakteristické činností spočívající v poskytování ochrany klientům pro případ finanční ztráty vzniklé v důsledku tzv. pojistných událostí. Pojišťovny na sebe přebírají rizika, která vyplývají z uzavřených pojistných smluv. Podstatou pojištění je přenos rizika mezi velké množství pojištěných, rozložené na agregaci nezávislých pojistných událostí. 6 REJNUŠ O., Peněžní ekonomie (Finanční trhy), Brno: Akademické nakladatelství CERM s. r. o., 2006, str. 88 13

Rozdělení pojišťoven z hlediska předmětného zaměření jejich činnosti Pojišťovny působící v oblasti životního pojištění Pojištění pro případ dožití Pojišťovny vyplácejí pojistnou částku v případě, že osoba pojištěná ve věku x se dožije konce sjednané pojistné doby n (zemře-li pojištěný před koncem pojistné doby, pojištění zanikne bez náhrady). Pojištění pro případ smrti Pojišťovna vyplácí sjednanou pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž pojištěná osoba ve věku x zemře. Smíšené pojištění Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře, nejpozději ale při dožití doby n. Toto pojištění je kombinací dočasného pojištění pro případ smrti a pojištění pro případ dožití. Pojištění důchodu Jedná se o speciální pojištění pro případ dožití s pojistným plněním ve formě výplaty důchodu pravidelně se opakujícím. Pojišťovny působící v oblasti neživotního pojištění Úrazová pojištění Pojištěný obdrží pojistná plnění v případě, kdy v důsledku úrazu dochází k tělesnému poškození, ať už trvalému nebo dočasnému, nebo smrti pojištěného. Komerční zdravotní pojištění Jedná se o doplněk všeobecného zdravotního pojištění pro případy, které nejsou z běžného pojištění kryty. Majetková pojištění Kryjí se zde rizika související s poškozením pojištěného majetku. Pojištění odpovědnosti Pojištění pro případ, že by pojištěný mohl způsobit třetí osobě svou činností škodu a to na zdraví, životě, majetku, U neživotního pojištění je společné to, že pojišťovna vyplatí pojistné plnění pouze v případě, kdy nastane pojistná událost. Není však jisté, jestli se tato událost po dobu pojištění vyskytne, a pokud ano, tak kolikrát. 14

1.4 Pojistná matematika Pojištění je založeno po stránce technické na stanovení budoucích závazků i ostatních nákladů pojišťovny. K tomu je potřeba využívání pojistné techniky (především pojistné matematiky a statistiky) pojišťovnou. Pojistná matematika je vedle ekonomicko-finanční agendy a pojistného práva velmi důležitou složkou dnešního pojišťovnictví. Pojednává o matematických modelech a metodách, které popisují probíhající pojistné skutečnosti a objasňují vznikající problémy pojišťovnictví. Rozlišujeme oblasti pojistné matematiky pojištění osob, pojistné matematiky pojištění majetku a finanční matematiky. Můžeme na ni pohlížet jako na část stochastické matematiky, která se skládá z teorie pravděpodobnosti a statistiky. V rámci pojistné matematiky můžeme rozlišovat dva směry. První, teoretický směr, se zabývá tzv. teorií rizika. Jde o součást teoretické matematiky využívající obecné teorie pravděpodobnosti, náhodné procesy atd. Druhý směr, používaný v pojišťovnách a jiných státních institucích zabývajících se problematikou pojišťovnictví, je zaměřen na pojistnou matematiku denní praxe. Používání pojistných výpočtů je přímo vyžadováno legislativou. Hlavní úkol pojistné matematiky spočívá v připravenosti propočtů a jejich použití pojistitelem v kompenzaci rizik s pojištěným. K tomu patří matematický popis pojištěných rizik, tarifikace a kalkulace provizí, pojistně-technická analýza, dělení rizika mezi pojistitele, pojištěného a zajistitele, propočet rezerv pro škodní průběh, popis úrokového rizika a řízení uložení kapitálových investic. Základní principy pojištění osob Princip fiktivního souboru spočívá v předpokladu, že počet osob, které uzavřou ve věku x stejný typ pojištění (pojistné smouvy), se rovná l x z použité úmrtnostní tabulky. Jinými slovy, stejný typ pojištění uzavřou všechny osoby, které jsou ve věku x naživu. 7 I když tento předpoklad odporuje skutečnosti, zjednodušuje všechny naše úvahy a vede nakonec k výsledkům, které budou dostatečně přesné v praktickém použití. Dále pojišťovna předpokládá, že všechny osoby v daném modelovém souboru, které se dožily daného věku, nebo které se narodily v daném roce, se narodily 1.1. a všechny osoby, které v daném roce zemřely, zemřely 31.12. 7 ČERVINEK P., Pojistná matematika I., Brno: MU Brno, 2008, str. 11 15

Princip ekvivalence vychází z předpokladu rovnosti příjmů a výdajů pojišťovny v případě diskontace k témuž datu při uzavírání homogenního souboru pojistných smluv. Jde o základní princip, na kterém jsou založeny všechny pojistně-matematické výpočty v životním i neživotním pojištění. Při těchto výpočtech, které se provádějí v rámci principu ekvivalence, musí pojišťovna odhadnout, jaké budou její budoucí příjmy i výdaje, a přitom zohlednit aspekty časového rozložení příjmů a výdajů i náhodný charakter finančních toků. Všeobecná rovnice ekvivalence: Očekávaná počáteční hodnota pojistného = očekávaná počáteční hodnota pojistného plnění Předpoklady výpočtů, jejichž hodnoty ovlivní výsledky veškerých výpočtů v pojistné matematice, tvoří aktuárskou bázi. Jejími základními prvky jsou: Úroková míra Úmrtnostní tabulky (řešeny v samostané kapitole) Náklady pojišťovny Úrokem se rozumí finanční náhrada, kterou dostaneme za dané období v případě, že se zřekneme finančních prostředků a vložíme jej například do nějaké finanční instituce. Vyjadřuje se v procentech z vložených finančních prostředků. Pro výpočty je však vhodnější použití tvaru desetinného čísla, jež nazýváme úroková míra a značíme ji písmenem i. Úročení peněz pojišťovnou je závazkem promítajícím se do příspěvku pojištění snížením (např. v případě pojištění na dožití, smrti) nebo zvýšením (např. pojištění důchodu) pojistného právě o daný úrok. Pokud budeme chtít zjistit, jakou částku z vložených prostředků (K) budeme mít za jedno úrokovací období, použijeme vztah: K K 1 i Výraz 1 i se nazývá úročitel, určuje jednotkovou hodnotu získanou po jednom roce. V případě, že potřebujeme určit, s jakou finanční částkou získáme po uplynutí jednoho úrokovacího období předem určený kapitál, použijeme postup, který nazýváme diskontování. Diskontním faktorem, nebo také odúročitelem, nazýváme vztah: v 1 1 i Počáteční hodnotu kapitálu pak určíme vztahem: K K 1 i K v 16

Dále je důležité si uvědomit, jak úroková míra ovlivňuje výši pojistného, případně hodnotu rizika. V těchto vztazích existuje nepřímá úměra v případě, že se bude úroková míra zvyšovat, kalkulované pojistné i počítané riziko se budou snižovat. Netto a brutto pojistné Pro pojišťovnu je důležité získat z vybraného pojistného prostředky k výplatě pojistných plnění, ale také prostředky k zajištění vlastního chodu. Z tohoto důvodu rozlišujeme nettopojistné, jež je stanoveno takovým způsobem, aby pokrylo ve velkém souboru pojistných smluv právě takové náklady pojišťovny, které vznikají na základě potřeb pojistného plnění. V případě, že do pojistného jsou započítány i náklady vlastního provozu pojišťovny zajišťující bezproblémový chod, hovoříme o bruttopojistném. Právě bruttopojistné je uváděno v sazebnících pojišťovny, které slouží k uzavírání pojistných smluv v praxi. Nejedná se však o nic jiného než o přirážku k netto pojistnému, kterou si pojišťovna sama stanoví, proto se v následujícím textu touto přirážkou nebudu zabývat a všechny výpočty budou prováděny v netto hodnotách. Jednorázové a běžné pojistné Další hledisko ovlivňující výpočty pojistné matematiky spočívá v tom, jestli je pojistné placeno najednou mluvíme o jednorázovém pojistném, nebo je rozloženo do více splátek (roční nebo področní pojistné), zde se používá pojem běžné (lhůtní) pojistné. V tomto případě jsem se rozhodla pro jednorázové pojistné, na kterém se dá nejlépe ukázat výpočet rizika pojištění a to z toho důvodu, že vzorce pro tyto výpočty jsou výchozí a z nich jsou potom dále odvozovány vzorce pro roční, případně področní pojistné. Jednorázové nettopojistné Rovná se přímo hodnotě nároků pojištěného vůči pojišťovně. 8 Tato hodnota se vztahuje k okamžiku uzavření pojištění, kdy je také pojistné zaplaceno. Počáteční hodnota pojištění Tímto termínem se rozumí očekávaná počáteční hodnota příslušného pojistného plnění (pravá strana rovnice ekvivalence). Můžeme ji počítat jako střední hodnotu náhodné veličiny Z, nebo k ní můžeme přistupovat pomocí komutačních čísel. 1.5 Riziko pojištění Pojem rizika s přesně vymezeným významem se v dnešní době užívá v řadě pravděpodobnostních disciplín. Významné postavení zaujímá tento pojem i v oblasti pojišťovnictví, protože každé pojištění je přirozeně svým způsobem spojeno s rizikem nastoupení pojistné události. Teorie rizika používaná v rámci pojišťovnictví umožňuje 8 CIPRA T., Matematické metody demografie a pojištění, Praha: NTL - Nakladatelství technické literatury, 1990, str. 378 17

ohodnotit náhodné odchylky od očekávané hodnoty, se kterými je každé pojištění spojováno. Pro odvrácení negativních důsledků těchto odchylek pojišťovny vytvářejí bezpečnostní fondy z bezpečnostních přirážek započítávaných do pojistného. Význam rizika pojištění Výpočty rizika pojištění se používají ve všech pojišťovnách pro výpočty možných ztrát z pojištění. Kalkulují se tak nejoptimálnější podmínky pro pojišťovnu, aby i v případě, že nastanou neočekávané události, byla schopna i nadále fungovat a vyplácet svým klientům pojistná plnění. Kdyby pojišťovna brala v úvahu i riziko a chtěla mít bezrizikové pojistné, připočítala by ke střední hodnotě právě riziko. Další možností je, že pojišťovna vytvoří několik variant daného pojištění, určí si maximální poměr pojistného a rizika, který je ochotna akceptovat, a podle toho se rozhodne, kterou variantu použije. Není však jisté, že vše bude probíhat tak, jak pojišťovna předpokládá. Může se např. změnit některá ze složek aktuárské báze. V takovém případě je důležité i zajištění pojišťovny, aby redukovalo nepříznivé dopady na finanční situaci dané instituce. Pojistné riziko možnosti pohledu na riziko pojištění Rizikem v dnešním světě rozumíme nejistotu a nahodilosti. Pojištění má význam jako nástroj eliminace negativních důsledků nejistoty a nahodilostí. Pojištění se zabývá jevy náhodného charakteru, jejichž důsledkem může být vznik škody. Na pojištění lze také nahlížet jako na ochranu proti pojistným rizikům. Pojištěný přenáší pro něj neúnosná rizika na pojistitele. Z hlediska pojistitele mluvíme o rizicích převzatých od klientů v rámci pojistného kmene transformujících se do tzv. pojistně-technického rizika spočívající v potenciálním nebezpečí, že ve skutečnosti nedosáhne vyrovnání přijatého pojistného a vyplacených pojistných plnění. Takovéto riziko měříme výší variability mezi očekávaným stavem, jenž je východiskem výpočtu pojistného, a stavem skutečným, odrážejícím se ve vyplaceném pojistném plnění. Jedná se však o náhodnou veličinu mající náhodný charakter. Podstata činnosti pojišťovacích institucí je založena na tom, že s růstem velikosti pojistného kmene klesá pojistně-technické riziko. Příklad 9 : Nechť v určitém pojištění nastává během jednoho roku pojistná událost s pravděpodobností 0,01 (tj. v jednom případu ze sta), přičemž pojistná událost je vždy spojena se škodou ve výši 1 000 000 Kč. Z individuálního hlediska potenciálních klientů se zjevně jedná o značně rizikovou záležitost vyžadující pojistnou ochranu. Proveďte rozbor z hlediska pojistně-technického rizika. 9 CIPRA T., Pojistná matematika - teorie a praxe, Praha: EKOPRESS s. r. o., 1999, str.17, Příklad 2.1.1. 18

Řešení: Nechť náhodná veličina X i označuje výši škody v i-té pojistné smlouvě (i = 1,, N). Tyto náhodné veličiny jsou navzájem nezávislé a mají pravděpodobnostní rozdělení tvaru 1000000 s pravděpodobností 0,01 X 0 s pravděpodobností 0,99 Z pohledu pojistitele hraje důležitou roli výše škody připadající v průměru na jednu pojistnou smlouvu E X X EX EX 10000 10000 10000Kč N N N neboť diskrétní náhodná veličina X i má zřejmě střední hodnotu tvaru E(X i ) = 1 000 000 0,01 + 0 0,99 = 10 000. Pojistitel proto jako cenu za poskytnutí této pojistné ochrany předepíše roční pojistné právě ve výši 10 000 Kč (střední hodnota výše škody na jednu pojistnou událost). Takové pojistné inkasované za jeden rok např. v N = 100 pojistných smlouvách, tj. celkem 100 10 000 = 1 000 000 Kč, pokryje právě jednu pojistnou událost, která by vzhledem k uvedené pravděpodobnosti měla během roku nastat. Pojistně-technické riziko pojistitele, že pojistné 10 000 Kč v rámci pojistného kmene s N pojistnými smlouvami nebude stačit, je přirozené měřit směrodatnou odchylku výše škody na jednu pojistnou smlouvu, což je v pravděpodobnostním počtu obvyklá míra pro ocenění chyby vzniklé použitím směrodatné odchylky (tj. v našem případě použitím hodnoty 10 000 Kč) σ X X varx varx 9,9 10 9,9 10 N N N neboť diskrétní náhodná veličina X i má rozptyl 10 : 99500 N Kč var X EX EX 0,01 1000000 0,99 0 100000 9,9 10. Pro kmen o velikosti N = 100 je pojistně-technické riziko ještě poměrně velké (pojistné 10 000 Kč podléhá chybě ve výši 99 500/100 1/2 = 9 950 Kč), s rostoucím N ale klesá, takže např. pro kmen o velikosti N = 10000 se již redukuje na přijatelnou úroveň (pojistné 10 000 Kč pak podléhá chybě ve výši 99 500/10 000 1/2 = 995 Kč). Pro ocenění tohoto rizika se vedle výpočtu střední hodnoty příslušných náhodných veličin zkoumá i jejich pravděpodobnostní rozdělení = pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny, která představuje počáteční hodnotu pojistného plnění a pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny, která představuje počáteční hodnotu pojistného včetně jejich sdruženého pravděpodobnostního rozdělení. Numerické ocenění pojistně-technického rizika 10 Odvození vzorce pro výpočet rozptylu na straně 20. 19

pojistitele se často redukuje na výpočet směrodatné odchylky náhodné veličiny a často se jednoduše nazývá riziko pojištění. Střední hodnota je jednou z charakteristik náhodné veličiny, která má využití v pojistné matematice. Udává výši pojistného. Je definovaná vztahem: EX x px x konkrétní realizace náhodné veličiny p(x) pravděpodobnost výskytu Jde tedy v podstatě o jakýsi průměr možných hodnot veličiny X, v němž jsou jednotlivé hodnoty váženy odpovídajícími pravděpodobnostmi. 11 Základní vlastnosti střední hodnoty: 12 Střední hodnota konstanty je rovna konstantě, tj. E(c) = c Střední hodnota součinu konstanty a náhodné veličiny je rovna součinu této konstanty a střední hodnoty dané veličiny, tj. E(cX) = c E(X) Střední hodnota součtu náhodných veličin je rovna součtu jejich středních hodnot, tj. E(X 1 +X 2 + +X s ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + + E(X s ) Střední hodnota součinu s nezávislých náhodných veličin je rovna součinu jejich středních hodnot, tj. E(X 1 X 2 X s ) = E(X 1 ) E(X 2 ) E(X s ) Směrodatná odchylka je druhou odmocninou rozptylu, udává se ve stejných jednotkách jako střední hodnota (v tomto případě výše pojistného). Rozptyl je definován jako průměr čtverců odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru. 13 Rozptyl udává míru variability náhodné veličiny, obecné vyjádření má podobu: DX EX x px DX x EX px x px 2 x EX px EX px EX 2 EX EX EX 1 DX EX EX X náhodná veličina 11 HINDLS R., HRONOVÁ S., SEGER J., Statistika pro ekonomy, Praha: Professional Publishing, 2004, str. 72 12 HINDLS R., HRONOVÁ S., SEGER J., Statistika pro ekonomy, Praha: Professional Publishing, 2004, str. 72 13 HINDLS R., HRONOVÁ S., SEGER J., Statistika pro ekonomy, Praha: Professional Publishing, 2004, str. 36 20