Finanční matematika. Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D Katedra matematických metod v ekonomice

Transkript

1 Finanční matematika 1. přednáška Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Katedra matematických metod v ekonomice Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

2 Podmínky klasifikovaného zápočtu Podmínky klasifikovaného zápočtu 3 dílčí písemné testy splněny na 50% (možná oprava jednoho testu), jinak závěrečný test aktivní účast na cvičení vypracování projektů (bude upřesněno) Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

3 Doporučená literatura Doporučená literatura Tomáš Cipra: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou, Ekopress, Praha, 2005 Tomáš Cipra: Finanční a pojistné vzorce, GRADA Publishing, Praha, 2006 Radová J., Dvořák P., Málek J.: Finanční matematika pro každého, GRADA Publishing, Praha, 2009 Radová J.: Finanční matematika pro každého: příklady, GRADA Publishing, Praha, 2008 Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

4 Finanční matematika Finanční matematika Soubor obecných matematických metod uplatněných v oblasti financí, jakými jsou např. poskytování krátkodobých a dlouhodobých úvěrů, investování nebo různé obchodní transakce. Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

5 Úvod do úročení Základní pojmy Úvod do úročení Základní pojmy úrok z hlediska dlužníka odměna za ztrátu kapitálu; riziko spojené se splacením v dané hodnotě a dané výši; riziko spojené se změnami (inflace) z hlediska věřitele cena za poskytnutý úvěr úročení úroková doba (doba splatnosti) úrokové období doba na jejímž začátku nebo konci je připsán úrok z vkladu (m necht značí počet úrokových období v rámci jednoho roku) Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

6 Úvod do úročení Základní pojmy úroková míra m zkratka význam úročení 1 p.a. per annum roční 2 p.s. per semestre pololetní 4 p.q. per quartale čtvrtletní 12 p.m. per mensem měsíční 365 (366) p.d. per diem denní spojité úroková sazba nominální úroková míra sjednaná úroková míra mezi vypůjčovatelem a poskytovatelem kapitálu reálná úroková sazba deflovaná nominální úroková sazba míra zisku, míra výnosu Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

7 Úvod do úročení Faktory ovlivňující úrokovou míru Úvod do úročení Faktory ovlivňující úrokovou míru diskontní sazba mezibankovní úroková míra PRIBOR LIBOR... strategie banky úroková marže riziko půjčky doba půjčky výše zapůjčeného kapitálu daňová politika státu Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

8 Úvod do úročení Typy úročení Úvod do úročení Typy úročení z hlediska způsobu započítávání úroku k zapůjčenému kapitálu 1 jednoduché úročení vyplácené úroky se k původnímu kapitálu nepřičítají a dále neúročí 2 složené úročení úroky se připisují k peněžní částce a spolu s ní se dále úročí z hlediska doby připisování úroku k zapůjčenému kapitálu A polhůtní (dekurzivní) úrok je vyplácen na konci úrokového období B předlhůtní (anticipativní) úrok je vyplácen na začátku úrokového období Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

9 Jednoduché úročení a diskontování Jednoduché úročení a diskontování Jednoduchý úrok polhůtní Jednoduchý úrok polhůtní (i) pro úrokovací období = 1 rok úroky se k původnímu kapitálu nepřidávají a dále se neúročí výpočet úroků ze stále stejného základu nejčastěji se využívá, je-li doba půjčky kratší než 1 rok p u t = K 0 i t = K k 360 (1) u t... jednoduchý úrok za dobu t K 0... základ (počáteční kapitál, jistina) i... roční úroková míra vyjádřená jako desetinné číslo p... roční úroková míra vyjádřená v procentech t... doba půjčky vyjádřená v letech (0 < t 1) k... doba půjčky vyjádřená ve dnech (0 < k 360, resp. 0 < k 365, resp. 0 < k 366) Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

10 Jednoduché úročení a diskontování Jednoduché úročení a diskontování Jednoduchý úrok polhůtní Jednoduchý úrok polhůtní vztahy plynoucí z (1) i = u t K 0 t K 0 = u t i t t = u t K 0 i (2) Splatná částka při jednoduchém úročení K t = K 0 + u t = K 0 (1 + i t) = K 0 (1 + Základ při jednoduchém úročení (jednoduché diskontování) p 100 k 360 ) (3) K 0 = K t 1 + i t = K t 1 + p 100 k 360 (4) Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

11 Jednoduché úročení a diskontování Jednoduchý úrok polhůtní Jednoduché úročení a diskontování Jednoduchý úrok polhůtní Example 1 Prioritní akcie jednoho českého koncernu s dividenou v zaručené výši 4,65% z nominální hodnoty 1 000Kč byla zakoupena za tržní cenu 619Kč. jaká je roční míra zisku pro kupce této akcie? (Prioritní akcie má zaručenou opakující se výplatu procent z nominální hodnoty bez ohledu na tržní cenu.) Example 2 [7,5%] Klient dostane od banky na 9 měsíců úvěr ve výši Kč s roční úrokovou mírou 12,6%, a s podmínkou, že na svém bankovním účtu musí udržovat alespoň 15% vypůjčené částky. Jaká je skutečná roční úroková míra takového úvěru? [14,8%] Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

12 Jednoduché úročení a diskontování Standardy Jednoduché úročení a diskontování Nejužívanější standardy 30E/360 (evropský standard, obchodní či německá metoda) t = k 360 = 360 (R 2 R 1 ) + 30 (M 2 M 1 ) + (D 2 D 1 ) 360 pokud je D 1 = 31 resp. D 2 = 31 nahradíme hodnotou 30 (všimněte si, že 1. den se do celkového počtu dní nezapočítává a poslední den se započítává) 30A/360 (americký standard, někdy označován 30/360) liší se od 30E/360 jen v případě, kdy D 1 není 30 nebo 31 a zároveň D 2 = 31: pak do (5) dosazujeme D 2 = 31 ACT/360 (mezinárodní či francouzská metoda) ACT/365 (mezinárodní či francouzská metoda) ACT/ACT (mezinárodní či francouzská metoda) (5) Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

13 Jednoduché úročení a diskontování Standardy Jednoduché úročení a diskontování Nejužívanější standardy Example 3 Jaký počet dní odpovídá období od do dle standardů 30E, 30A a ACT? Example 4 [1065, 1066, 1081] Klient uložil do banky vklad ve výši Kč dne 2. ledna a vybral ho i s úroky dne 28. prosince téhož roku. Kolik si klient vybral, jestliže vklad zaručoval roční úrokovou míru 3%. (Pro področní úročení vkladů je obvykle využíván standard ACT/360) [přestupný rok: ,63Kč, jinak Kč] Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

14 Jednoduché úročení a diskontování Diskont Jednoduché úročení a diskontování Diskont cena krátkodobé půjčky založena nikoli na základu K 0, ale na splátce K t hovoříme o bankovním diskontu na tomto principu založeny obchody s většinou krátkodobých cenných papírů (tj. splatnost do 1 roku) k D t = K t d t = K t d (6) 360 D t... bankovní diskont za dobu t K t... splatná částka (kapitál za dobu t) d... roční diskontní míra vyjádřená jako desetinné číslo t... doba půjčky vyjádřená v rocích (0 < t 1) k... doba půjčky vyjádřená ve dnech (0 < k 360, resp. 0 < k 365, resp. 0 < k 366) Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

15 Jednoduché úročení a diskontování Diskont Jednoduché úročení a diskontování Diskont Základ K 0 půjčky K t, který dlužník skutečně obdrží při diskontním principu: Example 5 K 0 = K t D t = K t (1 d t) = K t (1 d k 360 ) (7) Jaká je cena 9 ti měsíčního depozitního certifikátu v nominální hodnotě Kč s diskontní mírou 6,5%? Jaká je příslušná míra zisku? Jaká je příslušná čistá míra zisku? [95 125Kč, 6,8%, 5,8%] i = K t K 0 K 0 t > K t K 0 K t t = d Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

16 Jednoduché úročení a diskontování Diskont Jednoduché úročení a diskontování Diskont obyčejný, matematický diskont K 0 = bankovní, eskontní, směnečný diskont K t 1 + i t K 0 = K t D t = K t (1 d t) D t = K t d t skutečný diskont (true discount) TD t = D t 1 + i t = K t d t 1 + i t Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

17 Krátkodobé cenné papíry Diskontní cenné papíry Krátkodobé cenné papíry Diskontní cenné papíry cenný papír kótovaný na diskontním principu standard pro kótování většinou 30E/360 (v ČR) například: Depozitní certifikát (vkladový list) [emituje banka jako potvryení o provedeném vkladu] Eurodolar [depozitní cert. na dolarové vklady mimo dolarovou zónu] Směnka (nejčastěji vlastní, cizí, cizí na vlastní řad) Bankovní akcept [směnka, kterou akceptovala banka jako směnečný dlužník] Pokladniční poukázka [emituje st. instituce k pokrytí deficitu svého rozpočtu; v USA T-bill] Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19

18 Krátkodobé cenné papíry Diskontní cenné papíry Krátkodobé cenné papíry Směnka a její eskont Example 6 Stavební firma vydala obchodní směnku znějící na částku splatnou k Obchodní společnost zakoupila tuto směnku při roční diskontní míře 9.5% a směnku prodala při diskontní míře 9.3%. Jakou roční míru zisku realizovala obchodní společnost touto transakcí? [10,14%] Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO) Finanční matematika / 19