Uverzt Krlov v Prze Pegogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM 00/00 CIFRIK
Záí: Vyšetřete všem probrým prostřeky polyom 0 0 Vyprcováí: Pole věty: Rcoálí kořey. Nechť p Q je koře polyomu 0 K. Pk p, q q 0. určíme možu M všech rcoálích čísel, které mohou být kořey: V šem přípě je p ±, ±, ±, ±, ± 0, ± 0 proto q { } { ± } { ±, ±, ±, ±, ± 0, ± 0} M. Tuto možu M ještě omezíme, eboť pltí vět: Nechť p Q je koře polyomu 0 K, echť c Z. q Pk qc p c, qc p c používá se ejčstěj pro c, ky ostáváme pro koře p q pomíky p, q p q. Nejprve zjstíme, že 0, p q q p q p 0 výsleek. Dlší výpočet zpíšeme o tbulky: p q q p q p 0 výsleek - o - - e - - o 0-9 e - e -0-9 e - - o 0-9 e - e -0-9 e Zjstl jsme, že M {,, }. Horerovým schémtem vyšetříme, které prvky z jsou kořey polyomu : M - -0-0 - -0-0 - -0-0 0 0 - - 0-8 -8 0 8 0 0-8 - - 9-8 9 8 Z vypočítých hoot plye závěr polyom 0 0 emá rcoálí kořey.
Oh počtu reálých kořeů jejch polohy Descrtesov vět: Počet klých kořeů polyomu 0 K je buď rove počtu zmékových změ v posloupost 0,, K, jeho koecetů, ebo je o suý počet meší. 0 V polyomu 0 jsou zmékové změy. Počet klých kořeů je tey buď ebo. Všechy reálé kořey polyomu A, A 0 K leží v tervlu A, m 0,, K, ke V šem přípě je A m,,, 0, 0 0 proto všechy reálé kořey polyomu 0 0 v tervlu ; Dlší ohy polohy reálých kořeů polyomu leží 0 K. Přepokláejme, že spoň jee z koecetů polyomu je záporý. Ozčme ejmeší záporý koecet, r prví záporý koecet s ejvětší klý koecet pře prvím záporým koecetem, B ejvětší z bsolutích hoot záporých koecetů. Pk pro kžý reálý koře α polyomu 0 K pltí: Mclurov vět Lgrgeov vět Tllotov vět α <, 0 r α < B, α < rs s Pro áš polyom 0 0 r s 0 B 0 0 pltí:
Mclurov vět: Lgrgeov vět: α < α < α < α < α < α < r 0 0 B 0 Tllotov vět: Použtí těchto vět ám půvoí oh ; ezlepšlo. Dolí ohy kořeů polyomu polyom g, pro který pltí α < α < α < rs 0 získáme opkováím postupu pro g je sué, kyby bylo lché, pltlo by g protože Polyom g tey je. 0 0 s 0 g protože má jeeu zmékovou změu, má jee klý koře. Proto má polyom jee záporý koře. Pro polyom g 0 pltí: 0 r s B 0 0 0 0 Mclurov vět: Lgrgeov vět: α < 0 α < α < r α < B 0 Tllotov vět: α < α < α < rs s 0 0 α < 0 <, Zjstl jsme, že reálé kořey polyomu 0 0 v tervlu ; leží. Jee koře je záporý buď tř ebo jee je klý.
Seprovt kořey polyomu koře polyomu. Seprce kořeů zmeá určt tervly, v chž leží právě jee Sturmův řetězec: Nechť R[]. Sturmovým řetězcem polyomu zýváme koečou posloupost polyomů,,, K, m, eových tkto:,, q j j j, q j j, K, m m m m polyom je zbytek př ěleí polyomu polyomem, je, D. j j Sturmov vět: Buď R[]. Nechť je α < β α β 0. Pk počet vzájem růzých kořeů polyomu 0 ležících v tervlu α, β je rove číslu σ α σ β, ke K σ je počet zmékových změ ve Sturmově řetězc polyomu 0 K. Pomocí této věty můžeme určt přesý počet kořeů ého polyomu v ém tervlu. Sturmův řetězec polyomu 0 0 má tyto čley: 9 8 00 00 799 00 0 0 0 jeotlvé výpočty čleů posloupost jsou uveey v otku. D 0 0 Protože je st,, emá polyom 0 víceásobé kořey tj. má pouze jeouché kořey. j m
Sestrojme yí tbulku zméek polyomu ze Sturmov řetězce v tervlu ;, k výpočtu zméek hoot v jeotlvých boech můžeme využít tké Horerovo schém ukázk v otku: σ - - - 0 Z tbulky víme, že polyom 0 jee jeouchý koře v tervlu má jee jeouchý koře v tervlu,,.
Iterkčí metoy hleáí reálých kořeů polyomu R[ ] Meto půleí tervlu: Hleáme koře α polyomu s přesostí ε > 0. Buď c,c tkový tervl, že zmék čísel c, c jsou růzá pk v tervlu c,c leží spoň jee koře polyomu. Ozčme c c c. Pk buď c 0 α c, ebo c 0. Ke kostrukc bou c použjeme te z tervlů c,c, c,c, pro který pltí c c < 0 tj. te tervl, v jehož krjích boech má ukce opčá zmék. Popsým způsobem pokrčujeme tk louho, ž lezeme buď přímo koře α, ebo ž pltí c c < ε. Meto teče Newtoov meto: R má jeouché kořey. Nechť α, β je Přepokláejme, že polyom [ ] tkový tervl, uvtř kterého leží jeý koře α polyomu, echť celém tervlu α, β je 0, 0. Ozčme c to z čísel α, β, pro ěž pltí c c > 0, ruhé z čísel α, β, tj. číslo, pro ěž pltí < 0. Utvořme posloupost c c c, c c, c c, K, c c c c,,, K. Potom je z posloupostí je klesjící, ruhá rostoucí obě posloupost kovergují ke kořeu α polyomu. Meto seče meto regul ls: R má jeouché kořey. Nechť α, β je Přepokláejme, že polyom [ ] tkový tervl, uvtř kterého leží jeý koře α polyomu celém tervlu α, β je 0, 0. Ozčme α c Sestrojme posloupost { c } přepsem c β β c β c Pk posloupost { } β β α β α. c,,,k. c koverguje ke kořeu α polyomu., echť
Apromce kořeů Pltí 0,. Uvžujme ejprve tervl,. Protože > 0, < 0, < 0, > 0, můžeme použít kteroukol z uveeých terkčích meto. Použjme příkl Newtoovu metou: c c c c c c -,87 c c 8,98 c c c c -,97 c c,00 c c c c -,7 c c 0,0907 c c c c -,07 c -,8779 c -,8 c -,0 c - -,09 -,99-0,099 Víme, že posloupost { je rostoucí, posloupost lm c lm. Proto c } { } c,07,,0, -70-9,8-0,008-9,7 klesjící 7
0 I v ruhém tervlu, můžeme použít Newtoovu metou, protože < 0, > 0, > 0, >. c c 8 c c c c,8 c c 8,098 c c c c,0 c c,07 c c c c,0 c c 0,07 c c c c,08 c,08808 c,8977 c,0 c,0 c - -9,70 -,08978-0,078 Víme, že posloupost { je klesjící, posloupost lm c lm. Proto c } { } c,0;,08, 8 9,98 7,889 9, rostoucí Závěr: Polyom 0 0 má v reálé jeouché kořey. Prví z ch v tervlu,07,, 0 ruhý v tervlu, 0;,08. Polyom je stupě, proto má lší v kompleí kořey. Progrm DERIVE všechy kořey vypočetl tkto: 8
DODATKY Horerovo schém ve vybrých boech - -0-0 - -0-0 - 0-8 -8-0 - - - 9-8 - - - - -0-0 - -0-0 0 0 8 0-9 8 Výpočty polyomů Sturmov řetězce 0 0 0 : 8 9 0 8 0 : 0 0 8 9 0 8 0 0 8 9 : 0 800 80 88 0 88 0 88 8 9 : 0 8 8 9 : 0 00 00 8 9 88 0 00 00 9
: 9 8 : 00 00 00 9 8 0 8 0 08909 0 00 799 00 9 8 799 00 00 00 9000 00 799 00 9000 LITERATURA NOVOTNÁ, J. TRCH, M.: Algebr teoretcká rtmetk. Polyomcká lgebr. Uverzt Krlov v Prze Pegogcká kult, Prh 000. ŠISLER, M. ANDRYS, J.: O řešeí lgebrckých rovc. Mlá rot, Prh 9. OBSAH Rcoálí kořey... Oh počtu reálých kořeů jejch polohy... Seprce kořeů... Iterkčí metoy hleáí reálých kořeů polyomu R[ ]... DODATKY... 9 LITERATURA... 0 OBSAH... 0 0