u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
|
|
- Marian Novotný
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou vetory v bázi { i j, }, P pltí u v = 0, právě dyž u, v jsou olieárí vetory, u v = - ( v u ), vetorový souči je tiomuttiví, 3 u ( v + w ) = u v + u w, 4 α (u v ) = α u v = u α v pro libovolé α R j j = = 0, i j =, Vět: Nechť u, v jsou eulové eolieárí vetory P pltí: Vetorový souči u v je olmý oběm vetorům u, v u v = u v si ϕ, de ϕ je úhel vetorů u, v 3 Soustv vetorů u, v, u v je v tomto pořdí prvotočivá Def: Smíšeým součiem vetorů Vět: Pro smíšeý souči vetorů u u u 3 u, v, w zýváme číslo u ( v w) u, v, w pltí u ( v w) = v w v w v 3 w 3, de u = u i + u j + u 3, v = v i + v j + v 3, Chyb! Chybé propojeí, u ( v w) = v ( w u ) = w( u v ) 3 je ezáporý, právě dyž ásledují vetory u, v, w v ldé orietci, 4 ejsou-li vetory omplárí, je bsolutí hodot jejich smíšeého součiu rov objemu rovoběžostěu sestrojeému z těchto vetorů, 5 jsou-li vetory omplárí, je smíšeý souči rove ule Def: Normál je ždá olmá přím příslušé roviě Normálový vetor je te, terý lze umístit do libovolé ormály dé roviy Rozbor obecé rovice roviy: Je-li d = 0, rovi prochází počátem soustvy souřdic Je-li = 0, rovi je rovoběžá s osou x, obdobě pro b = 0 ebo c = 0 3 Je-li = b =0, rovi je rovoběžá se souřdou roviou xy o rovici z = ost, obdobě = c = 0, resp b = c = 0 4 Rovice z = 0, y = 0, x = 0 vyjdřují postupě souřdé roviy xy, xz, yz
2 Vět: Rovice roviy určeé třemi eolieárími body A = [x, y, z ], B = [x, y, z ], C = [x 3, y 3, z 3 ] má tvr x x y y z z x x 3 x x y y 3 y y z z 3 z z = 0 Pozám: Prmetricá rovice roviy určeé třemi body je X = A + t u + su 3 ebo rozepsé do slože x = x + t (x x ) + s(x 3 x ) y = y + t (y y ) + s(y 3 y ) z = z + t (z z ) + s(z 3 z ), t, s R Vět: Vzdáleost v bodu A = [x, y, z ] od roviy x + by + cz + d =0 je x + by + cz + d v = + b + c Vět: Odchylou dvou rovi o rovicích x + b y + c z + d = 0, x + b y + c z + d = 0 je ostrý ebo prvý úhel ϕ jejich ormálových vetorů = (, b, c ), = (, b, c ), tz cos ϕ = Def: Svzem rovi zýváme možiu všech rovi procházejících pevou přímou (osou svzu) ebo možiu všech vzájem rovoběžých rovi Vět: Rovici svzu rovi, terý je urče rovimi o rovicích x + b y + c z + d = 0, x + b y + c z + d = 0 lze zpst ve tvru α ( x + b y + c z + d ) + β ( x + b y + c z + d ) = 0, de α, β jsou libovolá reálá čísl, z ichž spoň jedo je růzé od uly Pozám: Uvžujme tři roviy o rovicích x + b y + c z = d x + b y + c z = d 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 Je-li h(a) = h(a r ) = 3, roviy mjí právě jediý společý bod Je-li h(a) = h(a r ) =, roviy ptří témuž svzu 3 Je-li h(a) = h(a r ) =, všechy tři roviy jsou totožé 4 Je-li h(a) =, h(a r ) = 3, roviy se protíjí ve vzájemě rovoběžých průsečicích 5 Je-li h(a) =, h(a r ) = 3, jde o tři růzé vzájem rovoběžé roviy 6 Je-li h(a) =, h(a r ) =, roviy jsou rovoběžé, le dvě z ich splývjí Vět: Pro ostrý ebo prvý úhel ϕ dvou příme se směrovými vetory s p pltí vzth s p cos ϕ = s p
3 Vět: Pro odchylu ϕ přímy se směrovým vetorem s roviy s ormálovým vetorem pltí si ϕ = s s Pozám: Vzdáleost bodu A od přímy p určíme jo vzdáleost bodu A od jeho prvoúhlého průmětu A přímu Prvoúhlý průmět A určíme jo průsečí přímy p s roviou olmou přímce p jdoucí bodem A Def: Jestliže 0,,, jsou libovolá reálá, popř omplexí čísl je ezáporé celé číslo, p výrz P(x) = 0 + x+ + x, 0, zýváme (reálým, popř omplexím) polyomem proměé x stupě Rovici P(x) = 0 zýváme lgebricou rovicí stupě Def: Kořeem eboli řešeím lgebricé rovice P(x) = 0 rozumíme ždé číslo c, teré této rovici vyhovuje, tz P(c) = 0 Lieárí dvojčle x c zýváme ořeový čiitel (ftor) lgebricé rovice Záldí vět lgebry: Kždá lgebricá rovice stupě má spoň jede omplexí oře Def: Číslo c se zývá -ásobý oře lgebricé rovice P(x) = 0, právě dyž pro ždé omplexí číslo x pltí P(x) = (x c) Q(x), de Q(c) 0 Vět: Algebricá rovice P(x) = 0 stupě má v tělese omplexích čísel právě ořeů c,, c pltí P(x) = (x c ) (x c ) (x c ) Def: Reálá čísl, terá jsou ořey lgebricých rovic P(x) = 0, de P(x) je libovolý polyom s celočíselými oeficiety se zývjí lgebricá Osttí reálá čísl se zývjí trscedetí Vět: Má-li lgebricá rovice P(x) = 0 s reálými oeficiety imgiárí oře c = u + iv, p má té omplexě sdružeý oře c = u iv Vět: Mezi oeficiety ormové lgebricé rovice x + - x x + 0 = 0 jejími ořey c,, c pltí tzv Viètovy vzthy (symetricé fuce ořeů) c = - = (c + c + + c ) = - = c c + + c c + c c c - c = i -3 = c c c 3 + c c c 4 + c - c - c = 0 = ( ) c c c, c, i c c c j, i c i j Def: Biomicou rovicí zýváme rovici x = 0, de je libovolé omplexí číslo
4 Vět: Biomicá rovice x = 0, 0, má v možiě omplexích čísel růzých ořeů α + π α + π c = (cos + i si ), = 0,,, Pozám: Kždé omplexí číslo růzé od uly má v možiě omplexích čísel od sebe růzých -tých odmoci, tz omplexích čísel c tových, že c = Řešit biomicou rovici x = 0, zmeá jít všechy -té odmociy z 3 Body předstvující obrzy ořeů biomicé rovice x = 0 tvoří vrcholy prvidelého -úhelí Vět: Normová vdrticá rovice x + px + q = 0 má v C dv ořey p ± p x, = 4q, pro teré pltí Viètovy vzthy x + x = p, x x = q Pozám: Kořey vdrticé rovice x + bx + c = 0 s omplexími oeficiety jsou omplexí čísl x, = čísl b 4c b ± b 4c, de b 4c je jed ze dvou druhých odmoci Pozám: Pro ořey rovice x 3 + x + x + 0 = 0 pltí Viètovy vzorce x + x + x 3 = x x + x x 3 + x x 3 = x x x 3 = 0 Def: Triomicou rovicí zýváme rovici x + bx + c = 0 pro 0 Vět: Substitucí x = y převádíme řešeí triomicé rovice řešeí vdrticé rovice dvou rovic biomicých Def: Algebricou rovici x + - x x + 0 = 0, pro jejíž oeficiety, = 0,,,, pltí vzth ) = - zýváme ldě reciproou, b) = - zýváme záporě reciproou Vět: Kždá reciproá rovice má s ořeem c i oře c Vět: Kždá ldě reciproá rovice lichého stupě ždá záporě reciproá rovice sudého stupě má oře Kždá záporě reciproá rovice má oře + Důslede: Po přípdém vytutí ořeových čiitelů x x + lze ždou reciproou rovici převést ldě reciproou rovici sudého stupě Vět: Zvedeme-li do ldě reciproé rovice P(x) = 0 sudého stupě ovou ezámou vzthem y = x + x přejde rovici Q(y) = 0 stupě
5 Def: Nechť,, b,,b jsou dvě báze vetorového prostoru V Nechť P = (p ij ) je tová čtvercová mtice stupě, že pro ždé i =,, pltí b i = p i + p i + + p i P P se zývá mtice přechodu od báze,, bázi b,,b Vět: Nechť P je mtice přechodu od báze libovolý vetor V pltí souřdic vetoru,, bázi b,,b v prostoru V Pro x = x P -, de x je vetor původích x vetor ových Def: Nechť m, jsou přirozeá čísl Zobrzeí A rtézsého součiu,,, m,,, do možiy všech reálých čísel zveme reálou mticí typu (m, ) { } { } Def: Mtici 0 zýváme ulovou, má-li všechy prvy rovy ule Čtvercovou mtici I = ( ij ) stupě zýváme jedotovou, jestliže všechy prvy hlví digoály jsou rovy jedé, tz ii = pro ždé i =,,, všechy osttí prvy jsou rovy ule Def: Mtici A T typu (, m), terá vzie z mtice A typu (m, ) záměou řádů z sloupce (bez změy jejich pořdí) zveme mticí trspoovou mtici A Čtvercová mtice A se zývá symetricá, jestliže A = A T Def: Nechť A = ( ij ), B = (b ij ) jsou mtice téhož typu (m, ) Součet A + B těchto mtic defiujeme jo mtici C = (c ij ) opět typu (m, ), pro terou c ij = ij + b ij pro všech i =,, m, j =,, Vět: Pro libovolé mtice A, B, C stejého typu pltí A + B = B + A omuttivost sčítáí, (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C - socitivost sčítáí Def: Souči reálého čísl mtice A = ( ij ) typu (m, ) defiujeme jo mtici B = (b ij ) typu (m, ), pro jejíž všechy prvy pltí b ij = ij Vět: Pro libovolé mtice A, B stejého typu reálá čísl, pltí ( + ) A = A + A, (A + B) = A + B, 3 ( A) = ( ) A Def: Nechť A = ( ij ) je mtice typu (m, p) b = (b ij ) je mtice typu (p, ) Součiem AB těchto mtic rozumíme mtici C = (c ij ) typu (m, ) tovou, že c ij = i b j Vět: Nechť A, B, C jsou tové mtice, že existují dále uvedeé součiy P pltí (AB) C = A (BC) socitivost ásobeí, (A + B) C = AC + BC prvý distributiví záo, 3 C (A + B) = CA + CB - levý distributiví záo Vět: Mticová rovice A + X = B, de A, B jsou mtice stejého typu, má právě jedo řešeí X = B A, dále pltí A+ X = A X = 0 p =
6 Vět: Pro libovolou čtvercovou mtici A stupě pltí AI = IA = A, de I je jedotová mtice stupě Def: Je-li A čtvercová mtice stupě, p defiujeme A o = I, A = A, A = A - A pro libovolé přirozeé číslo Mticí A zýváme -tou mociou mtice A Def: Čtvercovou mtici zveme ilpotetí, jestliže pro ějé přirozeé číslo pltí A =0 Def: Přirozeé číslo, udávjící mximálí počet lieárě ezávislých řádů (resp sloupců) mtice, zýváme řádovou (resp sloupcovou) hodostí mtice Vět: Řádová sloupcová hodost libovolé mtice se rovjí Hovoříme tedy o hodosti h(a) mtice A typu (m, ), pro terou pltí h(a) mi (m, ) Vět: Hodosti vzájem trspoových mtic jsou stejé Def: Nechť A je čtvercová mtice stupě Jestliže h(a) =, říáme, že mtice A je regulárí Jestliže h(a), říáme, že mtice A je sigulárí Def: Mtice A = ( ij ) typu (m, ) se zývá trojúhelíová, dyž m pro i =,, m je ii 0 ij = 0 pro j i Vět: Hodost trojúhelíové mtice je rov počtu jejích řádů Vět: Mtice A B mjí stejou hodost, jestliže jed ze druhé vzie spoň jedou z těchto úprv: záměou pořdí libovolých řádů, vyecháím ebo přidáím ulového řádu, 3 vyecháím ebo přidáím řádu, terý je lieárí ombicí osttích řádů, 4 ásobeím libovolého řádu číslem růzým od uly, 5 přičteím dému řádu lieárí ombice osttích řádů Def: Uvedeé úprvy mtic ozčujeme jo evivletí příslušé mtice A, B zýváme evivletí Píšeme A ~ B Def: Čtvercovou mtici A zýváme iverzí mticí mtici A stejého stupě, jestliže pltí A A = A A = I Vět: Jestliže čtvercová mtice je regulárí, p í existuje právě jed iverzí mtice Jestliže je čtvercová mtice sigulárí, iverzí mtice í eexistuje Gussov metod iverze mtice Elemetárí úprvou ve čtvercové mtici rozumíme záměu libovolých řádů, vyásobeí ěterého řádu eulovým reálých číslem, 3 přičteí -ásobu jistého řádu jiému řádu Tyto elemetárí úprvy se djí vyjádřit jo souči původí mtice tzv mtice elemetárích úprv, terá vzie z jedotové mtice záměou příslušých řádů, vyásobeím příslušého řádu eulovým reálým číslem,
7 3 přičteím -ásobu příslušého řádu jiému řádu Vět: Jsou-li A, B regulárí mtice stejého stupě, p jejich souči AB je opět regulárí mtice pltí (AB) - = B - A - Vět: Je-li A mtice typu (m, ), B mtice typu (, p), p (AB) T = B T A T Jsou-li A, B mtice stejého typu, p (A+B) T = A T + B T 3 Je-li A regulárí mtice, p (A - ) T = (A T ) - Vět: Nechť A je regulárí mtice stupě B libovolá mtice typu (, p) P mticová rovice AX = B má právě jedié řešeí X = A - B Vět: Nechť A je regulárí mtice stupě B libovolá mtice typu (m, ) P mticová rovice XA = B má právě jedo řešeí X = BA - Def: Dvojice i, j se zývá iverze v permutci () =,,,, jestliže i j i j Def: Nechť A = ( ij ) je čtvercová mtice stupě Reálé číslo α det A = A = ( ) ( ), de sčítáme přes všechy permutce () čísel,,, α je počet iverzí v permutci (), se zývá determit mtice A Vedoucím čleem determitu rozumíme souči prvů hlví digoále mtice A Lplceov vět o rozvoji determitu: Nechť A je čtvercová mtice stupě P pro ždé i =,,, pltí det A = r= determitu vyecháím i-tého řádu r-tého sloupce i+ r ( ) ir M ir, de M ir je subdetermit vzilý z dého Vět: Pro vzájem trspoové čtvercové mtice pltí det A = det A T Vět (o řdových úprvách determitu): () Násobíme-li libovolou řdu determitu číslem, p se číslem ásobí celý determit (b) Vyměíme-li v determitu dvě rovoběžé řdy, p determit změí zméo (c) Přičteme-li ěteré řdě determitu libovolou lieárí ombici řd s í rovoběžých, p se hodot determitu ezměí Důsledy: Společý čiitel jedé řdy determitu můžeme vytout před determit Jsou-li v determitu dvě rovoběžé řdy stejé, p je determit rove ule 3 Jsou-li rovoběžé řdy determitu lieárě závislé, p je determit rove ule 4 Je-li determit růzý od uly, p jsou jeho řdy lieárě ezávislé op Vět: Je-li čtvercová mtice A = ( ij ) stupě trojúhelíová, p její determit je rove součiu prvů hlví digoále, tj det A = Vět: Čtvercová mtice A je regulárí, právě dyž její determit je růzý od uly Důslede: Mtice je sigulárí, právě dyž je její determit rove ule
8 Vět: Neulová mtice A typu (m, ) má hodost h, právě dyž z í lze vybrt spoň jede eulový determit řádu h všechy determity řádu většího ež h vybré z mtice A jsou rovy ule Vět: Jestliže A B jsou čtvercové mtice stejého stupě, potom det AB = det A det B Vět: Je-li A regulárí mtice, p det A - = det A Vět: Je-li A = ( ij ) regulárí mtice stupě, potom iverzí mtice mtici A se dá zpst ve tvru A A A A - A A A = det A, A A A de A ij je lgebricý doplě prvu ij T Defiice: Soustvou m lieárích rovic s ezámými x,, x rozumíme soustvu x + x + + x = b x + x + + x = b m x + m x + + m x = b m, de ij, i =,, m, j =,, b,, b m jsou reálá čísl Mtice A = m m m se zývá mtice soustvy Mtice m m m b b b m se zývá rozšířeá mtice soustvy Vět: Je-li čtvercová mtice A regulárí, p soustv lieárích rovic A x = b má právě jedié řešeí x = A - b
9 Frobeiov vět: Soustv lieárích rovic má řešeí, právě dyž je hodost mtice soustvy rov hodosti rozšířeé mtice soustvy Vět: Nechť soustv lieárích rovic s ezámými má řešeí Jestliže h(a) =, p má soustv právě jedo řešeí Jestliže h(a), p má soustv eoečě moho řešeí, přičemž z h ezámých lze volit libovolá reálá čísl osttí ezámé jsou určey jedozčě Pozám: Nechť má soustv lieárích rovic eoečě moho řešeí Vzth popisující pomocí prmetrů všech řešeí soustvy, se zývá obecé řešeí soustvy Dosdíme-li z volitelé ezámé orétí reálá čísl, dostáváme tzv prtiulárí řešeí soustvy Prtiulárí řešeí soustvy, ve terém jsou volitelé ezámé rovy ule, se zývá záldí řešeí soustvy Def: Mjí-li dvě soustvy lieárích rovic o ezámých tutéž možiu řešeí, zývjí se evivletí Gussov elimičí metod řešeí soustvy lieárích rovic: Rozšířeou mtici dé soustvy uprvíme trojúhelíový tvr Této trojúhelíové mtici přiřdíme soustvu, terou řešíme odspodu Jordov metod řešeí soustv lieárích rovic (metod úplé elimice): Rozšířeou mtici soustvy převedeme trojúhelíový tvr V trojúhelíové mtici logicy odspodu vyulujeme prvy d hlví digoálou 3 N hlví digoále tto zísé mtice vytvoříme jedičy 4 Výsledé mtici přiřdíme soustvu Def: Homogeí soustvou zýváme soustvu lieárích rovic, v íž všech čísl prvých strách rovic jsou uly Vět: Homogeí soustv lieárích rovic s ezámými má vždy řešeí Je-li h(a) =, p má jedié řešeí x = (0,, 0) Je-li h(a), p má eoečě moho řešeí, přičemž z h(a) ezámých lze volit libovolá reálá čísl osttí ezámé jsou určey jedozčě Vět: Obecé řešeí homogeí soustvy lieárích rovic je lieárí prostor dimeze h, de je počet ezámých h hodost mtice soustvy Vět: Nechť ehomogeí soustv lieárích rovic má řešeí P obecé řešeí ehomogeí soustvy je rovo součtu libovolého prtiulárího řešeí ehomogeí soustvy obecého řešeí odpovídjící homogeí soustvy Vět (Crmerovo prvidlo): Jestliže mtice A soustvy lieárích rovic o ezámých x,, x je regulárí, p má tto soustv právě jedo řešeí, teré se dá zpst ve tvru det A j x j =, j =,,,, de A j je mtice, terá vzie z mtice A áhrdou j-tého det A sloupce sloupcem prvých str rovic soustvy
10 Def: Kždou podmožiu R rtézsého součiu A B zveme biárí relcí mezi možimi A, B V přípdě A = B hovoříme o biárí relci v možiě A Def: Relcí evivlece v možiě A rozumíme ždou relci R v A, terá je reflexiví, tj pro všech x A je [x, x] R, symetricá, tj [x, y] R [y, x] R, 3 trzitiví, tj [x, y] R [y, z] R [x, z] R Def: Rozldem možiy A zveme ždý systém moži ϕ P(A), ϕ = { A } tový, že Ø ϕ, A A l = Ø pro l, 3 A = A, de A ϕ Def: Nechť R A B je libovolá relce Iverzí relcí relci R rozumíme tovou relci R - B A, pro terou pltí [y, x] R -, právě dyž [x, y] R Def: Složeou relcí R = R o R relcí R, R v možiě A zýváme tovou relci R v možiě A, jejímiž prvy jsou právě všechy uspořádé dvojice [x, y] A, pro teré existuje prve z A tový, že [x, z] R [z, y] R Vět: ) (R o S) - = S - o R - b) (R o S) o T = R o (S o T) socitivost sládáí Def: Biárí relci U A B zveme zobrzeím z možiy A do možiy B, právě dyž e ždému x A existuje ejvýše jedo y B tové, že [x, y] U V přípdě A = B hovoříme o zobrzeí v možiě A Def: Je-li O (U) = A říáme, že U je zobrzeím možiy A do B Je-li O (U) = B říáme, že U je zobrzeím z možiy A B (surjetiví zobrzeí eboli surjece) 3 Říáme, že zobrzeí U z možiy A do B je prosté zobrzeí z A do B, právě dyž pro ždé dvě dvojice [x, y ] U, [x, y ] U pltí x x y y (ijetiví zobrzeí eboli ijece) 4 Prosté zobrzeí U možiy A B zýváme vzájemě jedozčé zobrzeí A B (bijetiví zobrzeí eboli bijece) Vět: Nechť U je zobrzeí z možiy A do B Relce U - je iverzí zobrzeí U, právě dyž U je prosté zobrzeí z A do B Vět: Nechť U je zobrzeí z A do B, V zobrzeí z B do C P relce U o V je zobrzeí z A do C Def: Uárí opercí v možiě A zýváme zobrzeí možiy A do A Biárí opercí v možiě A zýváme zobrzeí A A do A
11 Def: Uspořádá -tice reálých čísel se zývá -čleý (-rozměrý) ritmeticý vetor Vět: Pro libovolé vetory, b, c R pltí + b = b + - omuttivost sčítáí ( + b ) + c = + ( b + c ) - socitivost sčítáí =, de 0 = (0,, 0) je tzv ulový vetor (eutrálí prve pro sčítáí) 4 pro ždý vetor existuje právě jede vetor b t, že pltí + b = 0 (opčý vetor b = vzhledem ) Def: Nechť R, = (,, ) R Vetor = (,, ) R zýváme -ásobe vetoru Vět: Pro libovolá čísl, R vetory, b, c R pltí: ( + b ) = + b, ( + ) = + - distributiví záoy pro ásobeí vetoru číslem ( ) = ( ) socitiví záo pro ásobeí vetoru číslem 3 = Def: Moži T mjící spoň dv prvy spolu s opercemi +, se zývá těleso, jestliže pltí: + b = b +, (+b) + c = + (b + c) =, tz existece eutrálího prvu vzhledem e sčítáí (ulový prve) 4 pro ždé existuje právě jedo b t, že + b = 0 (b = - ) 5 b = b 6 (b)c = (bc) 7 =, tz existece eutrálího prvu vzhledem ásobeí (jedotový prve) 8 pro ždé 0 existuje právě jedo b t, že b = (b = - = ) 9 ( + b) c = c + bc Def: Nechť V je eprázdá moži, teré je defiová operce + echť T je těleso Řeeme, že V je lieárí (vetorový) prostor d T, jestliže pltí: V spolu s opercí + má vlstosti 4 z defiice těles Je defiová operce ásobeí prvů z V prvy těles T t, že pltí vlstosti z předchozí věty Prvy lieárího (vetorového) prostoru zýváme vetory Vět: Pro t 0 má v libovolém vetorovém prostoru rovice + t x = b právě jedié řešeí Def: Nechť (W,, ) (V, +, ) jsou vetorové prostory d tělesem T Řeeme, že (W,, ) je vetorovým podprostorem prostoru (V, +, ), jestliže pltí W V b = + b, =, pro ždé, b W ždé T
12 Vět: Nechť W V, W Ø, de V je vetorový prostor d tělesem T (W, +, ) je vetorový podprostor V, právě dyž pro libovolá, b W libovolé t T pltí + b W, t W (W je uzvřeá vzhledem e sčítáí i ásobu) Def: Řeeme, že vetor je lieárí ombicí vetorů,, reálá čísl λ,, λ tová, že pltí = λ + + λ, právě dyž existují Def: Řeeme, že vetory,, jsou lieárě závislé, právě dyž existují reálá čísl λ,, λ, z ichž spoň jedo je růzé od uly, tová, že pltí λ + + λ Řeeme, že vetory,, jsou lieárě ezávislé, ejsou-li lieárě závislé = 0 Vět: Vetory,, jsou lieárě závislé, právě dyž spoň jede z ich je lieárí ombicí osttích Vět: Nechť,,, jsou vetory lieárího prostoru V d tělesem T Nechť W je moži všech lieárích ombicí vetorů,,, z V je lieárí podprostor prostoru V Potom W spolu s opercemi Def: Říáme, že podprostor W z předchozí věty je vytvoře vetory,,,,, ebo že je systém geerátorů podprostoru W Podprostor W se zývá lieárí obl možiy vetorů M = {,, } zčíme ho (M) Def: Nechť V je vetorový prostor moži vetorů M V M se zývá báze vetorového prostoru V, jestliže pltí ) (M) = V, b) M je moži lieárě ezávislých vetorů Vět: Systém vetorů e = (, 0,, 0), e = (0,,, 0),, e = (0, 0,, ) je báze vetorového prostoru R Vět: Nechť V je vetorový prostor d tělesem T, terý má oečou bázi Potom ždé dvě báze prostoru V mjí stejý počet prvů Def: Nechť V je vetorový prostor mjící oečou bázi Počet prvů báze se zývá dimeze prostoru V Řeeme, že prostor má eoečou dimezi, jestliže emá oečou bázi Vět: Kždý prve vetorového prostoru lze jedozčě vyjádřit jo lieárí ombici prvů dé báze tohoto prostoru Def: Tvoří-li vetory,, bází vetorového prostoru V je-li prve b V vyjádře ve tvru b = x + + x vzhledem bázi,,, říáme, že čísl x,, x jsou souřdice vetoru b
13 Def: Dv lieárí prostory V V se zývjí izomorfí, existuje-li mezi imi vzájemě jedozčé zobrzeí tové, že odpovídá-li prvu V prve V prvu b V prve b V, potom ) prvu + b V odpovídá prve + b V, b) prvu λ V odpovídá prve λ V, de λ R (obecě prve těles T) Vět: Průi, resp součet, dvou podprostorů W, W lieárího prostoru V je opět jeho podprostorem Def: Podprostor W lieárího prostoru V zýváme diretím součtem W = W W podprostorů W, W, jestliže W = W + W W W je triviálí podprostor Vět Dimeze prostoru W W je rov součtu dimezí prostorů W W Def: Říáme, že v dém lieárím prostoru je defiová slárí souči, jestliže je ždé dvojici, b prvů lieárího prostoru přiřzeo reálé číslo (, b ) tové, že pltí (, b ) = ( b, ), ( + b, c ) = (, c) + ( b, c), 3 (, b ) = (, b ), 4 (,) 0, (,) = 0 = 0 Def: Lieárí prostor se zvedeým slárím součiem zýváme eulidovsý prostor Def: Normou (bsolutí hodotou, veliostí, délou) prvu eulidovsého prostoru se zývá reálé číslo = Jedotovým prvem zýváme prve eulidovsého prostoru, jehož orm je rov jedé Vět (Schwrzov erovost): Nechť P pltí (, b ) b Vět (trojúhelíová erovost): Pro libovolé dv prvy + b + b Vět: Pro libovolé prvy 0, = 0 = 0, λ = λ, 3 + b + b Def: Vzdáleostí dvou prvů ρ (, b ) = b = ( b, b), b jsou dv libovolé prvy eulidovsého prostoru, b eulidovsého prostoru pltí, b eulidovsého prostoru libovolé reálé číslo λ pltí, b eulidovsého prostoru se zývá číslo
14 Def: Nechť E je eulidovsý vetorový prostor W jeho podmoži P ortogoálím doplňem možiy W zýváme možiu W = { E; pro všechy b W je b } Vět: Nechť W, V jsou podmožiy eulidovsého prostoru E P W je podprostor vetorového prostoru E, je-li W V, p V W, 3 součet dimezí vzájem ortogoálích doplňů v -rozměrém prostoru E je rove Vět: Nechť W je podprostor eulidovsého prostoru oečé dimeze P existuje ortoormálí báze podprostoru W Důz: Nechť,, je báze podprostoru W Iducí lze doázt, že existují eulové ortogoálí vetory b,, b, pro teré pltí b = b = + λ b b 3 = 3 + λ3 b + λ 3 b b = + λ b + + b λ Pro libovolé vyásobíme rovost b = + λ b + λ b + + λ b postupě vetory b,, b - využijeme jejich ortogolitu Dosteme pro ždé j =,, - postupě (b, b j) = (, b j ) + λ j (b j, b j ) prvou část rovosti položíme rovu ule, protože chceme, by vetory b, b j byly ortogoálí Tím dosteme rovici, z íž jedozčě vyjádříme λ j Tto lezeme všechy oeficiety λ,, λ -, tím i vetor b Zísé vetory b,, b tvoří ortogoálí bázi podprostoru W Abychom dostli hledou bi ortoormálí bázi c,, c, stčí položit c i = pro i =,, b Pozám: Předcházející důz je ostrutiví Uvedeý postup se zývá Schmidtov ortogolizčí metod V ždém -rozměrém eulidovsém vetorovém prostoru existuje moho ortoormálích bází Ortogolizčí proces báze,, vetorů, čímž zísáme růzé ortoormálí báze i lze zčít od růzých Vět: Nechť W je libovolý podprostor -rozměrého eulidovsého prostoru E Potom libovolý vetor c E se dá pst ve tvru c = + b, de W, b W Vetor se zývá ortogoálí projecí vetoru c do podprostoru W Důz: Je-li c W, p stčí položit c = c + 0, protože 0 W Je-li c W vetory c, c tvoří ortoormálí bázi podprostoru W, p vetory c, c,, c jsou lieárě ezávislé podle Schmidtovy ortogolizčí metody existují čísl λ +,, λ + t, že vetor b = c + λ + c + + λ c je ortogoálí vetory c,, c, což zmeá b W Tedy + c = + b, de W b W
15 Def: Úhlem dvou eulových prvů terý cos ϕ = (, b) b, b eulidovsého prostoru zýváme úhel ϕ, pro Def: Dv eulové prvy eulidovsého prostoru zýváme ortogoálí, jestliže jejich slárí souči je rove ule Jsou-li všechy prvy báze eulidovsého prostoru po dvou ortogoálí, hovoříme o ortogoálí bázi Jsou-li víc všechy prvy báze jedotové, hovoříme o ortoormálí bázi
p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor
. LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící
VíceMatice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1
Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
Více20. Eukleidovský prostor
20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude
Více2. Matice a determinanty
Mtce deterty Defce : Odélíové sche (řádů) (sloupců) čísel zvee tce typu : [ ] M Je-l luvíe o čtvercové tc Prvy ( ) tvoří hlví dgoálu Zčíe ovyle : [ ] O - všechy prvy ulové - ulová tce I - edotová tce (
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Více2.3. DETERMINANTY MATIC
2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
VíceAnalytická geometrie
7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceKKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij
Více4. Model M1 syntetická geometrie
4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Více4 Mřížka tvořená body, mřížková funkce a její Fourierova transformace, reciproká mřížka
4 Mříž tvořená body, mřížová funce její Fourierov trnsformce, reciproá mříž Reciproé vetory bázi reciproých vetorů používl již olem r 880 J W Gibbs ve svých přednášách o vetorové nlýze [], str 0, 83 Do
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
VíceNejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení
V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie
VíceNové symboly pro čísla
Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pegogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM 00/00 CIFRIK Záí: Vyšetřete všem probrým prostřeky polyom 0 0 Vyprcováí: Pole věty: Rcoálí kořey. Nechť p Q je koře polyomu
Více1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
Více1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,
DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceÚvod do lineárního programování
Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceCvičení z termomechaniky Cvičení 5.
Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko
VíceVEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceSoustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VíceM a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e
M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i
Více( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled
řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
Více4. Determinanty. Výpočet: a11. a22. a21. a12. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33
. Determinnty Determinnt, znčíme deta, je číslo přiřzené čtvercové mtici A. Je zveden tk, by pro invertibilní mtici byl nenulový pro neinvertibilní mtici byl roven nule. Výpočet: = + = + + - - - + + +
VíceÚvod do zpracování měření
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1
Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen
Více2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
VíceCvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.
Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu
Více0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1
) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
VíceDISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY
DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
Více1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů
.8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících
VíceAlgebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz
Více10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI
Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou
VíceSTEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie
VíceLineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů
Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceSoustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný
Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod
VíceIV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...
IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou
Více4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema
4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou
VíceKuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně
Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
Více=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:
3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-
Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VícePravděpodobnost a statistika - absolutní minumum
Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky
Více8.2.6 Geometrická posloupnost
8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího
VíceÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF
Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice
VíceOperace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.
1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceMária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)
Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel
VíceMATEMATIKA PRO EKONOMY
VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
VíceKapitola 1. Tenzorový součin matic
Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B
Více2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
2. část: Základy matematického programováí, dopraví úloha. 1 Úvodí pomy Metody a podporu rozhodováí lze obecě dělit a: Eaktí metody metody zaručuící alezeí optimálí řešeí, apř. Littlův algortimus, Hakimiho
Více