6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

Transkript

1 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece řdy; defiici bsolutí reltiví kovergece řdy její výzm; přesé zěí ejpoužívějších kritérií kovergece řd. Klíčová slov této kpitoly: řd, součet řdy, kovergece divergece řdy, ritmetická, geometrická hrmoická řd, utá podmík kovergece řdy, bsolutí reltiví kovergece řdy, lterující řd, kritéri kovergece řd, Leibizovo kritérium pro lterující řdy, srovávcí kritérium, odmocié Cuchyho kritérium, podílové d Alembertovo kritérium, Rbeovo kritérium, Abelovo kritérium. Čs potřebý k prostudováí učiv kpitoly:,0 +,25 hodiy (teorie + řešeí příkldů)

2 Číselé řdy. Defiice. Nechť je dá posloupost { }. Symbol = zýváme řdou příslušé poslouposti. Součet s = zýváme -tým částečým součtem této řdy. Je-li posloupost částečých součtů s, s 2, s,... kovergetí má koečou limitu s = lim s, říkáme, že řd je kovergetí má součet s. Jik je řd divergetí. Aritmetická, geometrická hrmoická řd. Ukázkový příkld. Aritmetická řd + ( + d) + ( + 2 d) +... = + ( ) d je kovergetí je tehdy, je-li = 0 d = 0. Součet prvích čleů = = ( + ) = 2 + ( ) s d má řd součet +, pokud je d < 0, má řd součet. Ukázkový příkld 2. Geometrická řd Pokud je d > 0, + q+ q + = q je kovergetí právě tehdy, je-li q < ; její q součet pk je s =. Součet prvích čleů s = = q q. Ukázkový příkld. Hrmoická řd = je divergetí (má součet + ). 2 4 = Nutá podmík kovergece řdy. Vět. Nutou podmíkou kovergece řdy = je lim = 0. Pozámk. Uvedeá podmík je utá, ikoliv postčující, jk je vidět příkldu hrmoické řdy, která tuto podmíku splňuje přesto je divergetí. Vět. Jsou-li řdy = 2 resp. b, pk jsou kovergetí i řdy ( ± b ) b + b + b +... = b kovergetí mjí součet,, resp. k pltí:

3 Pozámk. ( ) ± b = + b, resp. k = k. Opčá vět epltí, tz. je-li kovergetí řd ( ± b ) z řd, b. Npř. řd ( ) ( ) ( ), emusí být kovergetí žádá je kovergetí (všechy čley jsou ulové), le řdy divergují. Dále, řd, která vzike vyecháím závorek, tj. řd tké eí kovergetí. Vidíme tedy, že ekoečé řdy se chovjí ěkdy zčě odlišě od koečých součtů, př. si emůžeme obecě dovolit libovolě odstrňovt závorky měit pořdí čleů. K objsěí této otázky je uté ejprve zvést dvě ové defiice. Absolutí reltiví kovergece. Defiice. Říkáme, že řd = koverguje bsolutě, jestliže koverguje řd bsolutích hodot =. Pokud řd ikoliv, říkáme, že řd koverguje reltivě (ebsolutě). koverguje, le řd Ukázkový příkld 4. + Řd ( ) = má součet l2 je tedy reltivě kovergetí, protože 2 4 již víme, že řd bsolutích hodot, což je hrmoická řd, diverguje. Uvedeá řd, ve které se střídjí zmék čleů, se zývá lterující řd. Vět. Koverguje-li řd ormálí kovergece)., koverguje tké řd (tj. z bsolutí kovergece plye Vět. Je-li řd bsolutě kovergetí, pk řd, která vzike z této řdy přerováím (tz. změou pořdí čleů) je opět bsolutě kovergetí má týž součet. Vět. Je-li řd reltivě kovergetí, pk jejím vhodým přerováím lze získt řdu s předem dým součtem ebo řdu divergetí. Kritéri kovergece řd. Ke zjištěí, zd je řd kovergetí čí ikoliv, slouží růzá kritéri (ebo-li postčující podmíky). Uvedeme spoň pro prxi ejdůležitější.

4 Vět (Leibizov, pro lterující řdy). Nechť pro lterující řdu , 0 pltí 2..., lim = 0. Pk je tto řd kovergetí. Vět (srovávcí kritérium). Nechť řdy () b+ b2 + b +... (2) jsou řdy s kldými čley echť b pro skoro všech (tz pro všech ejvýše s výjimkou koečého počtu). Řd (2) je tzv. mjort k řdě (). Pk z kovergece řdy (2) plye kovergece řdy () z divergece řdy () plye divergece řdy (2). Vět (odmocié, Cuchyho kritérium). Nechť je řd s kldými čley echť lim kovergetí, je-li k >, je řd divergetí. Vět (podílové, d Alembertovo kritérium). Nechť je řd s kldými čley echť lim + kovergetí, je-li k >, je řd divergetí. = k. Pk je-li k <, je řd = k. Pk je-li k <, je řd Vět (Rbeovo kritérium). Nechť je řd s kldými čley echť řd kovergetí, je-li k <, je řd divergetí. lim = k +. Pk je-li k >, je Pozámk. Pokud v ěkterém ze tří posledích kritériích ste přípd k =, elze o kovergeci řdy tímto kritériem rozhodout. Vět (Abelovo kritérium). Jsou-li { }, { b } dvě poslouposti, z ichž { } řd, koverguje i řd b. b je ohričeá mootóí, pk koverguje-li

5 Shrutí kpitoly: Symbol = zýváme řdou příslušou k poslouposti { }. Součtem této řdy zýváme limitu poslouposti částečých součtů s = lim s, kde s = Pokud tto limit existuje je koečá, hovoříme o kovergetí řdě, v opčém přípdě o řdě divergetí. V prxi výzmým přípdem je geometrická řd koverguje právě když q < ; pk má součet s =. q q, která Nutou podmíkou kovergece řdy je lim = 0, tz. jedotlivé čley řdy se musí s rostoucím eomezeě blížit ule. To, že se jedá pouze o utou, ikoliv postčující podmíku, lze dokumetovt hrmoické řdě, která diverguje k +. U ěkterých řd závisí existece hodot jejich součtu přerováí jejích čleů, příp. umístěí závorek (epltí tedy komuttiví ebo socitiví záko). Defiujeme bsolutě kovergetí řdu jko řdu, u íž koverguje tké řd bsolutích hodot. Řdu, která koverguje, le ekoverguje bsolutě, zýváme reltivě kovergetí řdou. Výše uvedeé estdrdí chováí (epltost komuttivío socitivího záko) se týká právě reltivě kovergujících řd. K určeí kovergece řd používáme růzá kritéri (postčující podmíky), z ichž ejdůležitější jsou: Leibizovo kritérium pro lterující řdy, srovávcí kritérium, odmocié Cuchyho kritérium, podílové d Alembertovo kritérium, Rbeovo kritérium Abelovo kritérium.

6 Otázky: Jk zí přesá defiice číselé řdy? Uveďte defiici součtu řdy. Co zmeá, že řd koverguje, resp. diverguje? Jká je utá podmík kovergece řdy? Defiujte ritmetickou, geometrickou hrmoickou řdu objsěte, jk je to s jejich kovergecí. Uveďte tké přípdý vzorec pro součet řdy. Jk zí defiice bsolutě reltivě kovergetí řdy? K čemu jsou uvedeé pojmy vhodé? Pltí pro číselé řdy vždy komuttiví socitiví záko? Co přesě můžete říci o součtu bsolutě kovergetí reltivě kovergetí řdy? Jk je defiová lterující řd? Co jsou to kritéri kovergece řd? Formulujte zpměti Leibizovo kritérium pro lterující řdy, srovávcí kritérium, odmocié Cuchyho kritérium, podílové d Alembertovo kritérium, Rbeovo kritérium Abelovo kritérium kovergece řd. Příkld. Njděte součet geometrické řdy: ) 5 ; b) ( ) 2 ; c) ; d) =, 4 =. 64 Návod. V příkldech c) d) ejprve formulujte vzorec pro -tý čle řdy. Příkld 2. Zvolte vhodé kritérium rozhoděte, zd řd koverguje ebo diverguje: )! ; b) ; c) 2 4 ; d) ; e)

7 Řešeí příkldů: ) 5 4 ; b) ; c) ; d) ) Koverguje podle srovávcího kritéri, kde b =. Pro > 2 je totiž ; 2! 2 + 2b) Koverguje podle podílového kritéri, protože lim = ; + 2c) Koverguje podle podílového kritéri, protože lim = ; 4 + 2d) Diverguje podle podílového kritéri, protože lim = ( 2 2e) Koverguje př. podle odmociého kritéri, protože lim = =. 0 ( ) ); Dlší zdroje:. POLÁK, J. Přehled středoškolské mtemtiky. 6. vyd. Prh: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská mtemtik v úlohách I.. vyd. Prh: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská mtemtik v úlohách II.. vyd. Prh: Prometheus, REKTORYS, K. spol. Přehled užité mtemtiky. 6. přepr. vyd. Prh: Prometheus, 995. ZÁVĚR: