Vlastnosti posloupností

Transkript

1 Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti Řešeí: Z volíme postupě,,, 7 9 Poslouposti mohou být zdáy ěkolik způsoby: výčtem prvků (koečé poslouposti) grficky (koečé poslouposti) vzorcem pro tý čle (viz př ) rekuretě Rekuretí zdáí poslouposti obshuje dv i více po sobě jdoucích čleů poslouposti Přitom je uté zdt dosttečý počet kokrétích čleů Příkld: Máme posloupost + =, = 8 Kždý čle této poslouposti (kromě prvího) získáme tk, že předchozí čle ásobíme dvěm pk od výsledku odečteme číslo Tkže je-li = 8, pk 6 =, 7 = td Uprvíme-li vzorec tk, by vyjdřovl čle, můžeme sdo dopočítt i čley před 7 td Příkld: Máme posloupost + = +, = 8, = V zdáí figurují tři po sobě jdoucí čley této poslouposti, proto je uté zdt dv kokrétí čley td Alogicky jko u fukcí zvádíme pojmy rostoucí (klesjící) posloupost či itu poslouposti Říkáme, že posloupost je rostoucí právě tehdy, když pro kždé dv její čley r, s, pro ěž je r < s, pltí r < s Říkáme, že posloupost je klesjící právě tehdy, když pro kždé dv její čley r, s, pro ěž je r < s, pltí r > s

2 Př Dokžte, že posloupost je klesjící Řešeí: Má-li být posloupost klesjící, musí pro její libovolé dv po sobě jdoucí čley, + pltit: + <, eboli 0 Vypočítáme ejdřív ěkolik prvích čleů této poslouposti =, =, = Vypdá to vskutku klesjící posloupost Důkz je všk uté =, + = provést pro libovolé dv po sobě jdoucí čley této poslouposti To jsou dv libovolé po sobě jdoucí čley poslouposti Ve jmeovteli posledího zlomku je souči dvou kldých čísel, proto je celý zlomek záporý tedy pltí erovost 0 Posloupost je klesjící Jk už bylo řečeo, kždá posloupost má svůj prví čle, ěkde zčíá Je-li posloupost rostoucí, je zřejmé, že její prví čle bude ejmeší zveme ho dolí mez poslouposti ( A opk, budeme-li uvžovt klesjící posloupost, její prví čle bude zřejmě ejvětší hovoříme o horí mezi poslouposti (h) Uvžujme příkld posloupost V miulém příkldu jsme dokázli, že je klesjící, její horí mez (čle ) je rov Otázkou je, klesá-li tto posloupost pro ž do, ebo existuje ějké číslo (it), ke kterému se budou s rostoucím blížit hodoty, le ikdy ho epřekročí Vypišme si zovu ěkolik čleů této poslouposti = = = 0, = = 0, 0 = 0 = 0,0 000 = = 0,00 000

3 Hodoty pro evidetě eklesjí ž do, blíží se shor k ule, eexistuje všk tkové, by = 0 Číslo 0 je tedy jkousi itou této poslouposti, ke které se sice čley pro rostoucí blíží, le ikdy ji epřekročí Tuto skutečost zpíšeme tkto: 0 (tuto itu si zpmtujte, čsto se používá při řešeí úloh) Existují-li dvě reálá čísl h, d tk, že pro libovolé přirozeé pltí d h, posloupost zýváme omezeou Posloupost je tedy omezeá s h =, d = 0 Limit poslouposti Def: Je dá posloupost reálé číslo Řekeme, že posloupost má v bodě itu, jestliže pro libovolé reálé kldé číslo existuje přirozeé číslo 0 tk, že pro kždé přirozeé číslo větší ež 0 pltí: < Zkrtkovitě: > 0 Zčíme 0 N tk, že N ; > 0 : < Co zmeá zápis <? Absolutí hodotu rozdílu dvou čísel lze chápt jko jejich vzdáleost číselé ose Vzdáleost tého čleu od ity má tedy být meší ežli Je zřejmé, že číslo 0 závisí volbě čísl, jk ukáže ásledující příkld Příkld: Evidetě pltí: = = 0, = 0,8 00 = 0, = 0, 6 6 = 0,87 = 0,7 = 0, = 0, Posloupost je rostoucí, omezeá, s dolí mezí d = = 0, s horí mezí h = = Zvolíme př = 0, hledáme tková čísl přirozeá, pro která pltí vzth: < 0, Jiými slovy hledáme všechy čley poslouposti, jejichž vzdáleost od čísl (ve svislém směru) bude meší ež 0, Dosteme soustvu erovic: 0, < <, 0,, Druhou erovici splňují všech přirozeá, změříme se tedy pouze prví erovici

4 0, Zbvíme se zlomku Zcel bez obv o zméko erovosti, jmeovtel emůže být záporý, jelikož N 0, 0, 0, 0, Zjistili jsme, že pro = 0, jsou hledá všech přirozeá čísl větší ež Číslo 0 tk může být libovolé přirozeé číslo Nyí zvolíme př = 0,00 hledáme přirozeá čísl tk, by pltilo < 0,00 Tedy všechy čley poslouposti, jejichž vzdáleost od ity je meší ežli jed tisíci Pltí: 0,999 < <,00 0,999, 00 0,999 0,999 0, 999 0,999 0, Opět má smysl řešit pouze prví erovici Zjistili jsme, že pro = 0,00 jsou hledá všech přirozeá čísl větší ež 999, tedy 000 více Z 0 tk můžeme volit 999 více Všechy čley poslouposti počíje čleem 000 mjí vzdáleost od čísl ve svislém směru meší ež jed tisíci Je zřejmé, že ť volíme jkkoli mlé > 0, vždy lezeme tkové 0 přirozeé, že pro všech přirozeá čísl > 0 jsou příslušé čley ve vzdáleosti meší ežli od ity = (ve svislém směru) Pro ázorost dodávám ještě dv obrázky Obr N obrázku je vidět, že hed druhý čle poslouposti ež 0, od ity = leží ve vzdáleosti meší

5 Obr 999 N obrázku je vidět, že počíje čleem 000 leží všechy čley poslouposti ve vzdáleosti meší ež 0,00 od ity = o Nechť poslouposti itu i posloupost o Nechť poslouposti itu i posloupost Věty o itách posloupostí b b mjí ity,, b Pk má pltí: b b b = b = b b mjí ity,, b Pk má pltí: b = b b = b o Nechť posloupost má itu,, echť c je libovolé reálé číslo Pk má itu i posloupost o Nechť poslouposti c pltí: c c c b mjí ity,, b, přitom je b b 0, b 0 pro všech přirozeá Pk má itu i posloupost = b b = b o Kždá posloupost má ejvýše jedu itu b pltí: Př Určete ity ásledujících posloupostí (pokud existují) ) b) c) si

6 ) Podle věty pltí: b) 0 c) 0 Poz Tkovou itu zveme itou evlstí N tuto itu použijeme jedoduchý leč osvědčeý fígl Čittel i jmeovtel vydělíme ejvyšší mociou ezámé = = 0 = 0 si Tdy se rozhodě vypltí zát průběh fukce y = si x Vypočítáme ejdřív ěkolik prvích čleů této poslouposti si si 0 si si 0 si td Z vlstosti fukce y = si x plye, že uvedeá čísl se budou opkovt stále ve stejém pořdí ž do ekoeč Jelikož kždá posloupost může mít ejvýše jedu itu, it poslouposti si eexistuje

7 Příkldy k procvičeí: Dokž, že posloupost ) je klesjící, b) je rostoucí, c) je rostoucí, je klesjící Rozhodi, zd jsou dé poslouposti omezeé shor, zdol, omezeé ) b) c) si Vypočítej ity dých posloupostí (pokud existují) ) b) c) 6 f) 8 g) h) Výsledky si ověř v progrmu MtMt I (místo musíš ovšem do předpisu fukcí psát x ) Progrm si stáhi ze složky Bousy