LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Lneární programování e druh matematckého programování. Matematcký model se skládá z:. účelové funkce. omezuících podmínek (vlastní omezení a podmínk nezápornost) Účelová funkce omezuící podmínk sou vádřen lneárním vztah s konstantním koefcent u ednotlvých proměnných s konstantním pravým stranam soustav omezení. Základní pom Vektor řešení (,,... n ) označue řešení optmalzačního prolému. Př určování optmální výroní struktur podnku složk vektoru řešení představuí např. množství ednotlvých druhů výroků. Optmální e taková struktura výro, př které rozhoduící velčna (např.zsk, náklad ) naývá etrémní hodnot (mamální neo mnmální). Tuto rozhoduící velčnu vadřueme pomocí účelové funkce. Účelová funkce z f ( ) e funkce vektoru řešení. Př hledání optmální výroní struktur představue účelová funkce např. závslost zsku na množství ednotlvých výroků, přčemž hledáme taková množství výroků, která zaručuí mamální zsk. Mamum neo mnmum etrém účelové funkce hledáme za určtých omezuících podmínek, které ovlvňuí velkost složek vektoru řešení. Jednou z omezuících podmínek př hledání optmální struktur e vztah mez dsponlním zdro nutných k výroě a spotřeou na ednotlvé výrok. Tto omezuící podmínk nazýváme omezuící podmínk vlastní a oecně e lze zapsat ako g, g neo g, kde g e daná funkce vadřuící např. závslost ( ) ( ) ( ) ( ) spotře ednotlvého zdroe na vroeném množství výroků, a sou dané konstant představuící např. dsponlní množství surovn. Další omezuící podmínk sou podmínk nezápornost a platí pro všechn složk vektoru řešení. Matematcká formulace oecné úloh lneárního programování (LP) Na množně nezáporných řešení soustav lneárních rovnc a a a M m a a a M m... a n... a n M... a mn n n n M naděte etrém lneární funkce z c c... c n n kde, m a (,,..., m;,,..., n) sou strukturní koefcent (,,..., m c (,,..., n ) ) sou požadavková čísla sou cen Zednodušený záps matematckého modelu úloh LP T A, o, z c etrém Jana Freelová
A matce tpu ( m n), eíž prvk tvoří koefcent a (,,..., m;,,..., n) m-členný vektor požadavků c n-členný vektor cen n-členný vektor neznámých (proměnných) o n-členný nulový vektor Postup př sestavování modelu. určt, co e výsledkem výpočtu (co představuí složk vektoru a v akých měrných ednotkách sou uváděn). rozhodnout, z akého hledska řešení dané úloh optmalzovat, tzn. zformulovat účelovou funkc. věcně a matematck formulovat vlastní omezuící podmínk Příklad Výroce čaů má k dspozc kg sušené mát a,5 kg sušené třezalk. Má možnost vráět dva druh lnných čaů, a to čstý mátový ča neo směs mát a třezalk v poměru :. Bln sou plněn do nálevových sáčků po g. Př výroě e nutné počítat s odpadem u mát 5% a u třezalk 8%. Čstého mátového čae prodá mamálně sáčků. Zsk z ednoho sáčku čsté mát e Kč a z ednoho sáčku směs Kč. Kolk sáčků každého druhu má výroce vrot, a zsk l mamální. počet sáčků čsté mát (ks) počet sáčků směs (ks) Dsponlní množství čstých ln e: máta g 5g 85g třezalka 5 g g 8g Vlastní omezuící podmínk: 6 85 4 8 Podmínk nezápornost: Účelová funkce: z ma Model LP s nárním proměnným Bnární proměnné naývaí pouze hodnot neo. Vadřuí skutečnost, že něaký ev nastal č nkolv; umožňuí matematck vádřt některé logcké vztah v modelovaném sstému. Příklad Stavení podnk s může vrat z 5 stave nevýše tak, a měsíční náklad na tto stav nepřekročl ml. Kč. Předpokládané měsíční náklad na tto stav a roční výnos z nch sou uveden v ta. (v ml. Kč). Jana Freelová
Ta. Stava S S S S 4 S 5 Náklad 8 4 66 78 Výnos 56 8 4 6 Pro které stav se má podnk rozhodnout, a předpokládané celkové roční výnos ze stave l co nevětší, estlže nemůže současně vrat stav S a S 4, ale má záem alespoň na edné stavě ze stave S, S, S 4., proměnné, které ndkuí výěr stave S, S, S, S 4 a S 5. Jsou to nární,, 4, 5 proměnné, které naývaí hodnot, pokud stava ude realzována a hodnot pokud neude realzována {,} pro,,,4,5 Vlastní omezuící podmínk 8 4 4 4 66 4 5 4 78 5 Podmínk nezápornost nesou uveden, neoť nární proměnná naývá hodnot a. Účelová funkce z 56 8 4 64 5 ma. Oecné vlastnost řešení úloh LP Úloha LP e tvořena omezuícím podmínkam vlastním, podmínkam nezápornost a účelovou funkcí. Př řešení úloh LP e soustava omezuících podmínek převedena na soustavu m rovnc o n neznámých (n>m). A la soustava m rovnc řeštelná, e nutno n-m neznámých zvolt. Tto volené neznámé sou nezákladní a neznámé, podle kterých e soustava řešena, sou základní (ázcké) neznámé. Pokud za n-m volíme, dostaneme základní (ázcké) řešení, které osahue nevýše m nenulových položek. Nedegenerované řešení počet nenulových složek základního řešení se rovná počtu nezávslých rovnc. Pokud e počet nenulových položek menší než než počet nezávslých rovnc, edná se o degenerované řešení. V úlohách LP přchází v úvahu pouze nezáporné řešení soustav přípustné řešení. Množna přípustných řešení úloh LP e množna konvení, ted konvení komnace přípustných řešení e zase přípustné řešení. Základní přípustné řešení osahue nevýše m kladných složek a vektor koefcentů těchto neznámých musí ýt lneárně nezávslé. Počet základních přípustných řešení se rovná nevýše Jana Freelová
( )!!! m m n n m n - tolka způso lze zvolt n-m nulových složek, a vznkla soustava m rovnc. Optmální řešení úloh přípustné řešení, které mamalzue neo mnmalzue účelovou funkc. Základní věta lneárního programování: Má-l úloha LP optmální řešení, má nutně též základní optmální řešení. Pokud má úloha LP více základních optmálních řešení, pak každá ech konvení komnace představue též optmální řešení, úloha má nekonečně mnoho rovnocenných optmálních řešení. Příklad : řešení nemá zvolíme, zvolíme 6, zvolíme 6 6 8 V prvních dvou případech sou sumatce koefcentů základních neznámých regulární a řešení sou základní, přípustná a nedegenerovaná. Ve třetím případě e matce sngulární, úloha nemá řešení. Příklad 4: 6, 6 6, 6 6 8 6 tato řešení sou základní, nepřípustná, nedegenerovaná Příklad 5:, 6, 6 8 6 tato řešení sou základní, přípustná, degenerovaná Vektorová nterpretace řešení soustav m rovnc o n neznámých 4 Jana Freelová
Vektor koefcentů základních neznámých tvoří áz m-rozměrného vektorového prostoru. Pokud základním neznámým e prvních m neznámých, vektor koefcentů těchto neznámých značíme a, a,..., a m a vektor pravých stran smolem, pak určení základního řešení e hledání koefcentů lneární komnace a a... m a m, neol hledání souřadnc vektoru v áz (a,a,,a m ). Různému výěru základních řešení odpovídaí různé áze. Hledání souřadnc vektoru v lovolné áz se provádí uď pomocí vektorové rovnce neo podle vzorce B. B Grafcké řešení úloh LP se dvěma neznámým Model úloh lneárního programování, který osahue pouze dvě neznámé, lze řešt grafck v rovně pravoúhlých souřadných os. V této rovně se neprve zorazí všechn omezuící podmínk (nerovnce a rovnce), potom se nade ech průnk v I. kvadrantu. Průnk představue množnu všech přípustných řešení, na které se vhledá etrém účelové funkce. Postup lustrueme na úloze s ča (vz příklad ). Matematcký model úloh: počet sáčků čsté mát (ks) počet sáčků směs (ks) Vlastní omezuící podmínk: a) ) c) 6 4 85 8 Podmínk nezápornost: Účelová funkce: z ma Grafcké řešení úloh 5 Jana Freelová
Každá nerovnce se dvěma proměnným e geometrck zorazena polorovnou. Hranční přímka této polorovn e určena rovncí získanou z příslušné nerovnce použtím znaménka rovnost. Která z opačných polorovn vťatých hranční přímkou vhovue dané nerovnc zstíme tak, že dosadíme do nerovnce souřadnce lovolného odu. Pokud nerovnce platí, pak e to polorovna, ve které tento od leží. Pokud neplatí, e to polorovna opačná. Neprve znázorníme všechn omezuící podmínk v rovně souřadných pravoúhlých os. 6 Jana Freelová
Společnému řešení všech nerovnc tvořících soustavu omezuících podmínek odpovídá průnk příslušných polorovn a I. kvadrantu. Podmínk sou v našem příkladu označen písmenk a,, c. Pokud l tento průnk prázdný, úloha nemá přípustné řešení. Neprázdný průnk všech polorovn a přímek, které sou konvení útvar, e opět konvení útvar, který má konečný počet kraních odů (vrcholů) a který e uď omezený neo neomezený. Tento průnk označueme ako množnu κ. Souřadnce akéhokolv odu z množn κ představuí přípustné řešení úloh. Kraní od množn κ (v našem příkladu sou tto vrchol označen písmen A, B, C, D, E) představuí základní přípustná řešení. Pokud má úloha optmální řešení, e to eden z vrcholů představuících základní přípustná řešení. Pro nalezení etrému účelové funkce na množně přípustných řešení sestroíme graf této funkce pro eí dvě lovolně zvolené hodnot. V našem příkladu sme zvoll neprve hodnotu 7 Jana Freelová
6 a potom hodnotu. Tím získáme dvě rovnoěžné přímk. Ze vzáemné poloh těchto dvou přímek můžeme určt směr, který odpovídá růstu, popř. poklesu hodnot účelové funkce. Přímka znázorňuící účelovou funkc pak posouváme rovnoěžně příslušným směrem až do posledního odu, který e společný s množnou κ. Pokud e množna κ neomezená, účelová funkce naývá neomezeně velkých neo neomezeně malých hodnot. Grafckým řešení úloh sme zstl, že optmální řešení se nachází v odě B. Toto lze prověřt postupným dosazením souřadnc všech kraních odů do účelové funkce. Bod A má souřadnce [; 45] a po dosazení do účelové funkce získáme hodnotu 5. Bod B má souřadnce [78; 45] a po dosazení do účelové funkce získáme hodnotu 9. Bod C má souřadnce [; 8,] a po dosazení do účelové funkce získáme hodnotu 5. Bod D má souřadnce [; ] a po dosazení do účelové funkce získáme hodnotu. Bod E má oě souřadnce nulové, ted hodnota účelové funkce e nulová. V odě B e hodnota účelové funkce nevětší. Znamená to, že nevšší zsk (9 Kč) dosáhneme př výroě 78 sáčků čsté mát a 45 sáčků směs. Zvláštní případ řešení úloh LP a) podmínk s odporuí úloha nemá přípustné řešení ) úloha má nekonečně mnoho rovnocenných optmálních řešení graf účelové funkce e rovnoěžný s některou z přímek, které omezuí množnu κ c) množna přípustných řešení e neomezená hodnota z neomezeně roste č klesá 8 Jana Freelová
d) hledání celočíselného řešení na množně přípustných řešení nás zaímaí en řešení ležící na průsečících svslých a vodorovných přímek, mez nmž e ednotková vzdálenost SIMPLEXOVÁ METODA Je to unverzální, terační metoda, k optmálnímu řešení se dostaneme v krocích. Přecházíme podle určtých pravdel od výchozího základního přípustného řešení dané úloh k ným základním přípustným řešením, která dávaí lepší hodnotu účelové funkce, až do dosažení optma. Algortmus smpleové metod:. získání výchozího základního přípustného řešení. provedení testu optma; estlže řešení není optmální, následue další krok. přechod k novému základnímu přípustnému řešení s lepší hodnotou účelové funkce 4. opakování. a.kroku až do nalezení optma, popř. až do zštění, že hodnota účelové funkce e neomezená Stanovení výchozího přípustného řešení úloh LP Proměnné, které sou osažen v původních omezuících podmínkách, se nazývaí strukturní proměnné. Omezuící podmínk ve tvaru nerovnc e nutné neprve převést na rovnce pomocí doplňkových proměnných. Matce soustav musí osahovat ednotkovou sumatc, kterou tvoří koefcent základních proměnných (kanoncký tvar). Nerovnce tpu - přčítáme doplňkové proměnné d, které představuí nevužtí horní hrance příslušného omezení, v účelové funkc maí tto doplňkové proměnné nulové koefcent. Nerovnce tpu - odečítáme doplňkové proměnné d, které představuí překročení dolní hrance příslušného omezení; v účelové funkc maí opět nulové koefcent a zároveň přčítáme k levým stranám eště tzv. umělé proměnné u. Pokud e omezení ve tvaru rovnce, též přčítáme umělé proměnné Zavedením umělých proměnných získáme rozšířenou úlohu k dané úloze, která e s původní ekvvalentní, pokud se umělé proměnné rovnaí nule. Pokud neestue přípustné řešení 9 Jana Freelová
rozšířené úloh s nulovým hodnotam umělých proměnných, nemá původní úloha řešení. Umělé proměnné se snažíme ze základního řešení vloučt, a to následuícím způso:.umělým proměnným přřazueme prohtvní cenu (u mamalzačních úloh nízké záporné číslo M a u mnmalzačních úloh vsoké kladné číslo M). Mnmalzueme součet umělých proměnných, který e vžd nezáporný (pokud součet, estue přípustné řešení úloh a pak řešíme dále ěžným způsoem; pokud součet >, původní úloha nemá přípustné řešení) Příklad:, 4 7 z 5,,5 9 5 8 ma Nerovnce převedeme na rovnce pomocí doplňkových proměnných:, d 9. 7 d 5 4,5 d Pro získání rovnc v kanonckém tvaru musíme přčíst eště umělé proměnné:, 4 7 z 5,5 d d u 8 d 9 u d 5 d d Mu Mu ma Pokud u u, oě soustav sou ekvvalentní. SIMPLEXOVÁ TABULKA Mamalzační úloh Příklad 6 Podnk vráí výrok V a V, přčemž má k dspozc omezené množství surovn S t a S 9 t. Cena výroku V e 5 ts.kč a cena výroku V e 8 ts.kč. Kolk kterých výroků Jana Freelová
má podnk vráět, a měl mamální trž? Spotřea oou surovn na výrok V a V sou uveden v následuící taulce. V V S,,5 S Matematcký model úloh: počet výroků V (ks) počet výroků V (ks), z 5,,5 9 8 ma, z 5,5 d 8 d 9 Koefcent strukturních a doplňkových proměnných zapíšeme do následuící taulk. První sloupec taulk osahue proměnné, které sou v áz (struktura áze). V áz sou proměnné, echž vektor tvoří ednotkovou matc. Další sloupce sou nadepsán smol všech proměnných, které se v úloze vsktuí. Hodnot ázckých proměnných zstíme v posledním sloupc taulk ( - vektor pravých stran). Poslední řádek taulk (ndení řádek označený písmenkem z ) osahue anulovanou rovnc účelové funkce. Hodnotu účelové funkce v ednotlvých krocích zstíme na průsečíku sloupce a ndeního řádku z. áze d d d,,5 d 9 z -5-8 Uvedené řešení e optmální, pokud neestue né základní přípustné řešení, které dávalo všší hodnotu účelové funkce (u mamalzačních úloh se v ndením řádku už nevsktue záporné číslo). V našem případě sou u výchozího řešení základní neznámé (osažené ve sloupc áze) d a d (d a d 9). Nezákladní proměnné sou zde a ( a ). Jana Freelová
Účelová funkce z 5* 8* * *9. Protože se v ndením řádku vsktuí záporná čísla, lze řešení zlepšt. Postup př řešení smpleovou metodou: V ndením řádku nademe nenžší číslo tento sloupeček označíme ako klíčový. Proměnná, která e nadepsaná v záhlaví klíčového sloupce se stane v dalším kroku základní, ted vstoupí do áze. Pak dělíme postupně pravou stranu kladným číslem v klíčovém sloupc pro všechn základní neznámé (pokud v klíčovém sloupc není kladné číslo, z e neomezená). Tam, kde vde podíl nenžší, to pole označíme ako klíčové (v naší taulce označené žlutě). Proměnná v řádku, ke kterému přísluší nenžší podíl z áze vstoupí. Úpravam musíme dostat do klíčového pole a nad a pod ně, pomocí Gauss-Jordanov elmnační metod. Novou základní proměnnou zapíšeme do sloupce áze namísto vloučené proměnné áze d d d,,5 d 9 z -5-8 4/5 / 8 d /5 -/ z 7/5 6/ 64 Základní neznámé sou nní a d ( 8 a d ) Nezákladní neznámé sou a d ( a d ) Účelová funkce z 5* 8*8 * * 64. V ndením řádku se ž nevsktue záporné číslo, řešení e optmální. Mnmalzační úloh Do řešení vstupue neznámá, která má v ndením řádku nevšší kladné číslo, vlučovanou proměnnou určueme steným způsoem ako u mamalzačních úloh. Optma e dosaženo tehd, pokud sou v ndením řádku pouze nekladná čísla. Zadání vz příklad 6. Matematcký model úloh: počet výroků V (ks) počet výroků V (ks) INTERPRETACE VÝSLEDNÉ SIMPLEXOVÉ TABULKY Jana Freelová
, z 5,,5 9 8 ma áze d d d,,5 d 9 z -5-8 4/5 / 8 d /5 -/ z 7/5 6/ 64 V úloze sou dvě strukturní proměnné (, ) a dvě doplňkové proměnné (d, d ). Ve výsledné taulce, ke které sme došl hned po prvním kroku smpleového algortmu, sou v áz proměnné a d (struktura áze se zšťue v prvním sloupečku taulk a postupně se mění). Hodnot těchto proměnných se zšťuí v příslušném řádku vžd v posledním sloupc ( 8 a d ). Hodnota účelové funkce se zstí v pravém dolním rohu výsledné taulk (z 64). Ostatní proměnné ( a d ) se v áz nevsktuí a maí ted nulovou hodnotu. V ndením řádku v konečné taulce sou pod ázckým proměnným nul a pod neázckým proměnným 7/5 a 6/. V našem příkladu to znamená, že mamální možný zsk 64 ts.kč nám zastí výroa 8 ks výroku V (výrok V se neudou vráět vůec). Surovnu S spotřeueme eze ztku a surovn S nám zůstane t. (druhá omezuící podmínka není splněna ako rovnce, neoť d, proto ztek S e t. Číslo 7/5 pod strukturní neázckou proměnnou nám ukazue, o kolk se zhoršla hodnota účelové funkce př zařazení edné ednotk proměnné do áze. V našem případě to znamená, že pokud chom do výroního programu zařadl výroek V (vrol chom ks tohoto výroku za původních podmínek), klesl trž na 6,6 ts.kč (64 7/5). Zároveň klesl počet vroených výroků V na 7, ks (8 4/5) a zlo méně surovn S ( /5), ted,8 t. Číslo 6/ pod doplňkovou neázckou proměnnou d se vztahue k první omezuící podmínce. Pokud chom první omezuící podmínku zmírnl (namísto t surovn chom měl k dspozc t této surovn), hodnota účelové funkce se zvýšla na 69, ts.kč (64 6/). Počet vroených výroků V se zvýšl na 8,66 ks (8 /) a ztek surovn se snížl na, t ( /). Př zpřísnění první omezuící podmínk se hodnota účelové funkce naopak snížla, počet vroených výroků V rovněž a naopak ztek surovn S se zvýšl. A, o, z c A matce tpu ( m n) MATICOVÝ ZÁPIS SIMPLEXOVÉ TABULKY T etrém m-členný vektor požadavků c n-členný vektor cen, eíž prvk tvoří koefcent a (,,..., m;,,..., n) Jana Freelová
n-členný vektor neznámých (proměnných) o n-členný nulový vektor Kanoncký tvar A E -c T o T E ednotková matce m-tého řádu o T m-členný řádkový nulový vektor V každém kroku smpleové taulk se původní soustava transformue do ného kanonckého tvaru s ednotkovou matcí na ném místě, tomu odpovídá změna áze. áze d d d,,5 d 9 z -5-8,,5 T A,, c ( 5, 8), 9 B d d d / B,5, B / / 8 B / 9 áze d d d,,5 d 9 z -5-8 4/5 / 8 d /5 -/ z 7/5 6/ 64 Struktura matce áze B se určue v ednotlvých krocích ve sloupečku áze (v našem případě e struktura matce áze po prvním kroku - proto BB - a d ). Hodnot v matc se vezmou vžd z výchozí smpleové taulk ve sloupečku proměnné, která e zařazena v příslušném kroku do áze (v našem příkladu ve výchozí taulce ve sloupečku pod a d ). Inverzní matce áze po prvním kroku se značí B. V taulce sou oě matce označen arevně. B A vektor koefcentů u strukturních proměnných ve výsledné smpleové taulce 4 Jana Freelová
/,,5 4/5 / /5 Hodnot základních proměnných ve výsledné taulce se spočítaí takto: / 8 B / 9 Struktura áze výsledné smpleové taulk e a d. Ve výchozí taulce v ndením řádku nademe ech cen. T c 8; ( ) ( ) B Jednotlvé část ndeního řádku lze určt takto: T 4/5 ( cb ) B A c ( 8;) ( 5;8) ( 7 /5; /5 T / ( cb ) B ( 8;) ( 6/;) / T 8 ( cb ) B ( 8;) 64 T ) ANALÝZA CITLIVOSTI Rozor ctlvost optmálního řešení na změn (stalta optmálního řešení). Změn se mohou týkat vstupních dat (vektor požadavků, vektor cen a matce strukturních koefcentů), dále počtu proměnných a počtu omezuících podmínek. Změní se uď údae ve výsledné smpleové taulce př zachování optmální áze, neo se změní struktura optmální áze. Změna vektoru požadavků Jakákolv změna ve vektoru požadavků se proeví v hodnotách základních proměnných a v hodnotě účelové funkce B Δ B B Δ ( ) o 8 / / Δ Δ Změna v. omezuící podmínce: Δ Δ 8 / Δ / 8 / Δ / Δ Δ, / Δ Δ / 5 Jana Freelová
Pokud pravá strana omezuící podmínk ude v ntervalu ;, 5, nezmění se struktura áze. Pokud ude pravá strana menší než, úloha nemá přípustné řešení; pokud e větší než,5, změní se struktura áze. Změna v. omezuící podmínce: Δ Δ 8 / / 8 Δ Δ Δ, Δ Δ Δ může ýt lovolné Pokud pravá strana. omezuící podmínk ude v ntervalu 8,, struktura áze se nezmění. Změna ve vektoru cen Př změně vektoru cen se změní údae pouze v ndením řádku: a) změna cen nezákladních proměnných se neproeví v hodnotě účelové funkce, zšťueme, ak velká změna cen zvolené nezákladní proměnné musí ýt, a se stala základní proměnnou ) změna cen základních proměnných ovlvní hodnotu účelové funkce; změna cen musí ýt v určtém ntervalu, a nenastala změna áze; pokud se cena základní proměnné rovná edné z mezí tohoto ntervalu, udou estovat rovnocenná optmální řešení Dualta v úlohách LP Ke každé úloze LP můžeme formulovat úlohu duálně sdruženou, která e k původní (tzv.prmární) úloze v ednoznačném vztahu. Oecné vztah mez duálně sdruženým smetrckým úloham prmár duál Počet proměnných n m Počet vlastních omezení m n Matce strukturních koefcentů A A T Vektor požadavků c Vektor cen c Tp omezení Nezápornost proměnných ano ano Tp etrému účelové funkce Ma. Mn. 6 Jana Freelová
Pokud sou některá vlastní omezení prmární mamalzační úloh tpu, musíme e převést na omezení tpu vnásoením (-). Podoně pokud sou v prmární mnmalzační úloze omezení tpu, musíme e převést na omezení tpu vnásoením (-). Příklad 7:, PRIMÁR z 5,,5 9 8 ma.,,5 8 DUÁL f 9, 5 mn. Příklad 8: PRIMÁR z, 6 4 85 8 ma. 6 4 DUÁL f 85 8,, mn. Nesmetrcké duální úloh Pokud soustava omezuících podmínek osahue omezení ve tvaru rovnc, u duálních proměnných není požadovaná nezápornost. Příklad 9: PRIMÁR 5 z 4, 5 5 ma. DUÁL,, f 5 5 5 4 mn. nemusí ýt nezáporné Vztah mez řešením duálně sdružených úloh. Pokud má prmár konečné optmální řešení, pak duál má konečné optmální řešení optmální hodnot se soě rovnaí z ma f mn 7 Jana Freelová
. Pokud v prmáru e hodnota účelové funkce neomezená, pak v duálu neestue přípustné řešení. Pokud v prmáru neestue přípustné řešení, v duálu účelová funkce neomezeně roste neo klesá neo neestue přípustné řešení Řešením edné ze sdružených úloh získáme řešení druhé úloh a naopak. Řešení nademe ve výsledné smpleové taulce, a to v ndením řádku. Optmální hodnot duálních strukturních proměnných nademe v ndením řádku výsledné smpleové taulk, a to pod přčítaným prmárním doplňkovým proměnným a naopak. Ve sloupečku pod strukturním proměnným v ndením řádku konečné smple. taulk prmární úloh nademe hodnot doplňkových proměnných duálu. Příklad : PRIMÁR DUÁL, z 5,,5 9 8 ma f,,5, 5 8 9 mn.,,5 d d 9,,5 g g 5 8 áze d d d,,5 d 9 z -5-8 4/5 / 8 d /5 -/ z 7/5 6/ 64 g 6/ 8 g 7/5 d 8 Jana Freelová
g d f mn 64 z ma 64 ( ) ( ) ( ) f c z T B T B mn ma ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), B c B c T B T B T B T B Pokud edna z úloh má nekonečně mnoho rovnocenných optmálních řešení, pak druhá úloha má degenerované řešení. Pokud e prmární úloha mnmalzační, ndení řádek ve výsledné smpleové taulce osahue pouze nekladná čísla. Optmální hodnot duálních proměnných se rovnaí asolutním hodnotám příslušných ndeních čísel. Podle stených pravdel určíme optmální řešení prmární úloh, pokud známe výslednou taulku příslušné duální úloh. Můžeme se rozhodnout, kterou úlohu udeme řešt, která e pro nás z výpočetního hledska výhodněší. Věta o komplementárnost doplňkových proměnných Pokud některé omezení v optmálním řešení ednoho ze sdružených prolémů e splněno ako ostrá nerovnost, odpovídaící duální proměnná se rovná nule. > > > > < > m m n n c a g c a g a d a d Ekonomcká nterpretace dualt Duální proměnné představuí ocenění ednotkového rozsahu daných výroních zdroů ( ) ( ) ( )... m m z. Nní předpokládeme změnu požadavkového čísla k o hodnotu Δ k, kde. k m Pak ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...... k k m m k k k z z z Δ Δ Δ Δ ( ), neol ( ) k k z Δ Δ. 9 Jana Freelová
Optmální hodnota duální proměnné udává změnu optmální hodnot účelové funkce přpadaící na ednotkovou změnu pravé stran příslušného omezení v prmáru. Duálně smpleová metoda Optmální áze úloh LP musí splňovat dva požadavk:. hodnota základních proměnných musí ýt nezáporná. ndení řádek musí splňovat test optma Je-l splněn pouze. od, áze e prmárně přípustná, př splnění pouze odu e duálně přípustná. Algortmus smple. metod spočívá ve stanovení výchozí prmárně přípustné áze a v postupné transformac této áze v áz, která e přípustná duálně prmárně smpleový algortmus. V některých případech e nutné přeít od áze duálně přípustné, ale prmárně nepřípustné, k áz přípustné prmárně. Tento algortmus se nazývá duálně smpleová metoda. Př ní určueme neprve vloučenou základní proměnnou a potom teprve proměnnou zařazenou do řešení. Z řešení vstoupí proměnná s nenžším záporným číslem ve sloupc a zařazená proměnná se určí tak, že ndení čísla nezákladních proměnných dělíme asolutním hodnotam odpovídaících záporných koefcentů v klíčovém řádku ( u mnmalzačních úloh ereme tato čísla v asolutní hodnotě). Jana Freelová