Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Reálná čísla
|
|
- Kristýna Moravcová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/ Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních čísel. Tyto množiny se zavádějí a značí takto: Množina čísel přirozených N = {,, 3, }. Množina čísel celých Z = {0,, -,, -, }. Množina čísel racionálních Q je množina čísel, která lze vyjádřit ve tvaru zlomku kde q N, p Z. p, q Množinu čísel racionálních chápeme včetně obvyklých operací sčítání, odčítání, násobení a dělení; ty jsou známy jako pravidla pro počítání s racionálními čísly. Jinými slovy lze říci, že "množina Q je uzavřena vzhledem k operacím sčítání, odčítání, násobení a dělení (s výjimkou dělení nulou)." To znamená, že například součin dvou racionálních čísel je opět číslo racionální. V praktických úlohách, ručních i pomocí kalkulátorů, se používá většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům předcházejí, však s racionálními čísly nevystačíme. Například již jednoduchá rovnice x = nemá řešení, které je racionální číslo. Proto se zavádějí čísla iracionální Q, např., π aj. Množina čísel reálných, značí se R, je sjednocením množin racionálních a iracionálních čísel; R = Q Q. K názorné ilustraci slouží zobrazení reálných čísel jako bodů na číselné ose (obr. 3.). Říká se pak, že množina reálných čísel obsahuje čísla, která vyplňují číselnou (případně reálnou) osu. Tím se míní fakt, že každému reálnému číslu 6
2 odpovídá jediný bod číselné osy a naopak každému bodu číselné osy odpovídá jediné reálné číslo. Jinak řečeno, na číselné ose nejsou žádná "prázdná místa", k jejichž "zaplnění" by bylo zapotřebí jiných čísel než reálných. Není obtížné si nyní uvědomit, že kdybychom na číselné ose zobrazili pouze všechna racionální čísla, nebyla by číselná osa vyplněna; zůstala by na ní prázdná místa, k jejichž zaplnění by byla zapotřebí právě všechna iracionální čísla. Poznámka: ) Jestliže přiřadíme do množiny přirozených čísel 0, pak tuto množinu označíme N 0. ) Pro uvedené číselné množiny platí tyto inkluze: N Z Q R. 3) O přesnějším zavedení reálného čísla se dozvíme v souvislosti s vyjádřením reálného čísla ve tvaru nekonečného desetinného zlomku. a b 0 R Obrázek 3. Zobrazení čísel na číselné ose AXIOMY OPERACÍ Vlastnosti operací sčítání a násobení reálných čísel jsou dány těmito axiomy: (A) a + b = b + a; ab = ba (komutativita). (A) a + (b + c) = (a + b) + c; a(bc) = (ab)c (asociativita). (A3) Existuje jediné řešení rovnice a + x = b; pro a 0 existuje jediné řešení rovnice ax = b. (A4) a(b + c) = ab + ac (distributivita). Úmluva: Pro stručnost se v dalším textu slovem "číslo" rozumí číslo reálné (pokud nebude uvedeno jinak). AXIOMY USPOŘÁDÁNÍ Vedle operací s čísly lze čísla porovnávat co do velikosti. Přesněji řečeno, čísla lze uspořádat. Uspořádání je dáno těmito axiomy: (U) Pro každou dvojici čísel a, b platí právě jeden ze vztahů a > b, a = b, a < b (trichotomie). (U) Je-li a < b a b < c, pak a < c (tranzitivita). (U3) Je-li a < b, pak a + c < b + c pro libovolné číslo c (monotonie sčítání). (U4) Je-li a < b a c > 0, pak ac < bc (monotonie násobení). 7
3 Z axiomů U - U4 se odvodí další vlastnosti uspořádání, které jsou známy jako pravidla pro počítání s nerovnostmi. V obvyklém smyslu se užívá zápisu a b (tj. a je menší nebo se rovná b) a zápisu pro složenou nerovnost a < b < c (tj. a < b a současně b < c), případně s použitím symbolu. Užitím nerovností se definují různé typy intervalů otevřený (a, b), uzavřený a, b, polouzavřený (a, b, případně a, b), neomezený s krajním bodem a (, a), případně (a, ), neomezený oboustranně (, ), jak jsou běžně používány. S uspořádáním souvisí zobrazení čísel jako bodů na číselné ose. Nerovnost a < b má pak názorný význam bod a leží nalevo od bodu b (obr. 3.) ABSOLUTNÍ HODNOTA Absolutní hodnota čísla a je číslo a = a. Častěji se definice uvádí ve tvaru (e) dále uvedených vlastností absolutní hodnoty, je nicméně ve shodě s geometrickou interpretací, totiž že absolutní hodnota čísla je rovna jeho vzdálenosti od počátku 0 číselné osy. Ztotožníme-li číselnou osu s osou x souřadnicového systému v rovině a použijeme-li vzorec pro vzdálenost bodů A = [a, 0], B = [0, 0] v rovině dostáváme ( a ) + ( 0 0) = a = a 0. (a) a 0. Vlastnosti absolutní hodnoty : (b) a = a. (c) (d) a a. a a. (e) Je-li a 0, pak a = a ; je-li a < 0, pak a = a. (f) a + b a + b (tzv. trojúhelníková nerovnost). (g) ab = a b, z z z =. z HORNÍ A DOLNÍ MEZ, OMEZENÁ MNOŽINA Buď M R. M je shora omezená, existuje-li takové číslo h, že pro každé x M platí x h; h je horní mez. M je zdola omezená, existuje-li takové číslo d, že pro 8
4 každé x M platí d x; d je dolní mez. M je omezená, je-li omezená shora i zdola. Geometrický smysl je patrný z obr. 3. (tučně jsou vyznačeny body odpovídající číslům z M). Nerovnost x h vyjadřuje, že číslo h je "horní mez", za niž se prvky z M "nedostanou", nerovnost d x vyjadřuje, že číslo d je dolní mez, před niž se prvky z M "nedostanou". d h 0 R Obrázek 3. Omezená množina Příklad: (a) Množina lichých čísel {, 3, 5, } není shora omezená, neboť ať zvolíme jakkoliv velké číslo h, existuje vždy takové liché číslo n, pro něž platí n > h. Tato množina je však zdola omezená, dolní mez může být například d = 0; je patrno, že dolních mezí existuje nekonečně mnoho, největší z nich (tzv. infimum) je. 5 3 (b) Buď M množina čísel, která lze vyjádřit ve tvaru, kde n je přirozené číslo. M je shora omezená, neboť < 5+ 3= 8. Číslo 8 lze volit za horní mez. Vzniká otázka, zda horní mez 8 není n 5 3 zbytečně velká. Ukážeme, že ji lze zmenšit. Platí = 5 < 5. Odtud vyplývá, že za horní mez lze volit číslo 5. Menší číslo za horní mez volit nelze, neboť zvolíme-li libovolné číslo Z < 5, pak lze vždy najít n o tak, že platí Z < 5 < 5. Číslo 5 lze prohlásit za nejmenší horní mez (tzv. supremum). M je zdola + n o 5 3 omezená, neboť platí > =. Vzniká podobná otázka, zda dolní mez nelze zvětšit. Platí 5 3 = 5 4. Číslo 4 lze tedy volit za dolní mez. Větší číslo za dolní mez volit nelze, neboť pro 5 3 n = je = 4. Číslo 4 lze prohlásit za největší dolní mez (tzv.infimum). M je omezená. Analogické úvahy jako v příkladu (b) jsou běžné v aplikacích například hledání co nepřesnějšího odhadu intervalu, ve kterém se nacházejí hodnoty sledované veličiny, odhad chyby při numerických výpočtech apod. Je přirozené hledat za horní mez číslo pokud možno nejmenší, za dolní mez číslo pokud možno největší. Největší dolní mez ze všech dolních mezí množiny M se nazývá infimum množiny M (značí se inf M), nejmenší horní mez ze všech horních mezí množiny M se nazývá supremum množiny M (značí se sup M). 9
5 NEKONEČNÉ DESETINNÉ ZLOMKY Pojem nekonečného desetinného zlomku (NDZ) souvisí s vyjádřením čísla v tzv. desetinném tvaru, jak se běžně užívá na střední škole. Například 3, =, = 4,333, 3 =, Výrazy na pravé straně mají tvar 3 a, (3.) 0, a a a 3 kde a o je číslo celé a a, a, a 3, jsou čísla nabývající hodnot 0,,, 9 hrající roli číslic za desetinnou čárkou. Zápis (3.) je zkráceným zápisem "nekonečného" součtu a a a3 a , (3.) který obsahuje zlomky mající ve jmenovateli rostoucí mocniny čísla 0. Proto se (3.), případně (3.) nazývá nekonečný desetinný zlomek a hovoří se o vyjádření čísla ve tvaru nekonečného desetinného zlomku. Platí důležité tvrzení: Každé reálné číslo lze vyjádřit nekonečným desetinným zlomkem a naopak, každý nekonečný desetinný zlomek vyjadřuje reálné číslo. Ze střední školy víme, že v případě, že reálné číslo je racionální, je příslušný nekonečný desetinný zlomek periodický, tj. od určitého indexu se skupina číslic perioda stále opakuje (vyznačuje se pruhem), například = 0,3 = 0,3. V případě, že reálné číslo je iracionální, je neperiodický, tj. neexistuje žádná skupina číslic, která by se opakovala, například 00 = 4, 436. Jak najdeme vyjádření reálného čísla ve tvaru nekonečného desetinného zlomku? vynechává): Pro racionální čísla jej dostaneme jako výsledek prostého dělení ( 0 se Příklad: 3 = 0, 666 = 0, 6 ; = 0, 3000 = 0, 30= 0, 3; = 0, = 0, Často je zapotřebí naopak racionální číslo ve tvaru nekonečného desetinného zlomku vyjádřit jako podíl (zlomek). Pak lze užít postupu, jak je uvedeno v následujícím příkladu. 0
6 Příklad: (a) Vyjádříme 0, 45 jako zlomek. Platí a =0, 45, po vynásobení 00 je 00 a =45, 45, což lze přepsat jako a = 45+ 0,45 tedy 00 a=45+ a, odtud 00 a a= 45, 99a= 45 a nakonec a = =. 99 (b) Vyjádříme, 3 jako zlomek. Platí a=, 3, po vynásobení 0 je 0 a= 3, 3, což lze přepsat jako 4 0 a = +, 3, tedy 0 a =+ a, odtud 0 a a=, 9a= a nakonec a = =. 9 3 (c) Vyjádříme, 35 jako zlomek. Platí a=,35, po vynásobení 0 je 0 a = 3, 5, po opětovném vynásobení 0 máme 00 a = 35, 5 což lze přepsat jako 00 a = + 3, 5, tedy 00 a= + 0a, odtud 6 00 a 0a=, 90a= a nakonec a = = (d) Vyjádříme, 35 jako zlomek. Platí a=,35, po vynásobení 00 je 00 a=, 35, po opětovném vynásobení 00 máme 0000 a = 35, 35 což lze přepsat jako 0000 a = 94+, 35, tedy a= a, odtud 0000 a 00a= 94 a nakonec a = = Pro iracionální čísla je třeba použít numerických metod. Tyto hodnoty jsou uvedeny v tabulkách, případně je lze získat použitím kalkulátoru. V některých případech (například u odmocnin) lze "ručním" způsobem najít výsledek na předem zadaný počet platných desetinných míst. Příklad: Určíme přibližně na 4 platná desetinná místa. Zřejmě pro platí < <, neboť =, = 4. Dále uvažujeme čísla,;,; ;,9. Dostáváme,4 =,96,,5 =,5, tedy, 4< <, 5. Analogicky uvažujeme,4;,4; ;,49. Platí,4 =,988,,4 =,064, tedy, 4< <, 4 (v této chvíli je určena na jedno platné desetinné místo). Pokračujeme-li tímto způsobem dále, určíme na libovolný počet platných desetinných míst. Dostáváme: < <, 4< < 5,, 4< <, 4, 44< <, 45, 44< <, 443, 44< <, 44 Z posledního vztahu vyplývá =, 44 při výpočtu jsme použili umocňování, které lze provádět "ručně", případně užitím jednoduchého kalkulátoru se základními operacemi.
7 V popsané konstrukci nekonečného desetinného zlomku lze použít místo čísla 0 i jiného přirozeného čísla. Fakticky jde o vyjádření čísla v jiné číselné soustavě. V době, kdy začínala éra počítačů a programy musely být psány v tzv. strojovém kódu, bylo zapotřebí čísla v obvyklé desítkové soustavě převádět pro účely zpracování počítačem do soustav jiných (zejména dvojkové, osmičkové, šestnáctkové), které bezprostředně odpovídaly způsobu zobrazení čísla v počítači. Tyto starosti nám dnes naštěstí odstranily programovací jazyky spolu s překladači.
8 Cílové znalosti. Základní charakterizace množin přirozených, celých, racionálních, iracionálních a reálných čísel.. Řešení rovnic a nerovnic s absolutními hodnotami. 3. Rozhodnout o omezenosti množiny. 4. Vyjádření čísla ve tvaru nekonečného desetinného zlomku. 3
3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204
.2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)
Matematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede
Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace
a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
1.2.7 Druhá odmocnina
..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž
4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)
( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502
.5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady
Úlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy
Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná
Na následující stránce je poskytnuta informace o tom, komu je tento produkt určen. Pro vyplnění nového hlášení se klikněte na tlačítko Zadat nové
Pro usnadnění podání Ročního hlášení o produkci a nakládání s odpady může posloužit služba firmy INISOFT, která je zdarma přístupná na WWW stránkách firmy. WWW.INISOFT.CZ Celý proces tvorby formuláře hlášení
ZÁPISKY Z ANALYTICKÉ GEOMETRIE 1 SOUŘADNICE, BODY
1 Souřadnice, body 1.1 Prostor prostor můžeme chápat jako nějaké prostředí, ve kterém můžeme mít různé věci na různých místech místo, poloha - tohle potřebujeme nějak popsat abychom mohli změřit nebo říci,
Vyhláška č. 294/2015 Sb., kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích
Změny 1 vyhláška č. 294/2015 Sb. Vyhláška č. 294/2015 Sb., kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích a která s účinností od 1. ledna 2016 nahradí vyhlášku č. 30/2001 Sb. Umístění svislých
4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí
4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle
3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506
3.5.8 Otočení Předpoklady: 3506 efinice úhlu ze základní školy: Úhel je část roviny ohraničená dvojicí polopřímek se společným počátečním bodem (konvexní a nekonvexní úhel). Nevýhody této definice: Nevíme,
1 Matematické základy teorie obvodů
Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení
Příklad 1.3: Mocnina matice
Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních
6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se
Postup při úmrtí. Ústav soudního lékařství a toxikologie 1.LF UK a VFN v Praze doc. MUDr. Alexander Pilin, CSc
Postup při úmrtí Ústav soudního lékařství a toxikologie 1.LF UK a VFN v Praze doc. MUDr. Alexander Pilin, CSc 1 Postup při úmrtí Úmrtí osoby nebo nález těla mimo zdravotnické zařízení poskytovatele se
ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM
Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 7. ročník J.Coufalová : Matematika pro 7.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko, J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 7.ročník ZŠ (Prometheus)
Antény. Zpracoval: Ing. Jiří. Sehnal. 1.Napájecí vedení 2.Charakteristické vlastnosti antén a základní druhy antén
ANTÉNY Sehnal Zpracoval: Ing. Jiří Antény 1.Napájecí vedení 2.Charakteristické vlastnosti antén a základní druhy antén Pod pojmem anténa rozumíme obecně prvek, který zprostředkuje přechod elektromagnetické
AMC/IEM HLAVA B PŘÍKLAD OZNAČENÍ PŘÍMOČARÉHO POHYBU K OTEVÍRÁNÍ
ČÁST 2 Hlava B JAR-26 AMC/IEM HLAVA B [ACJ 26.50(c) Umístění sedadla palubních průvodčí s ohledem na riziko zranění Viz JAR 26.50 (c) AC 25.785-1A, Část 7 je použitelná, je-li prokázána shoda s JAR 26.50(c)]
Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.
KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).
5.2.1 Matematika povinný předmět
5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v
TVAROVÉ A ROZMĚROVÉ PARAMETRY V OBRAZOVÉ DOKUMENTACI. Druhy kót Části kót Hlavní zásady kótování Odkazová čára Soustavy kót
TVAROVÉ A ROZMĚROVÉ PARAMETRY V OBRAZOVÉ DOKUMENTACI Druhy kót Části kót Hlavní zásady kótování Odkazová čára Soustavy kót KÓTOVÁNÍ Kótování jednoznačné určení rozměrů a umístění všech tvarových podrobností
1. a) Přirozená čísla
jednotky desítky stovky tisíce desetitisíce statisíce miliony 1. a) Přirozená čísla Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jejich pomocí zapisujeme počet věcí
Kótování na strojnických výkresech 1.část
Kótování na strojnických výkresech 1.část Pro čtení výkresů, tj. určení rozměrů nebo polohy předmětu, jsou rozhodující kóty. Z tohoto důvodu je kótování jedna z nejzodpovědnějších prací na technických
Aritmetika s didaktikou II.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé
Dů kazové úlohy. Jiří Vaníček
Dů kazové úlohy Jiří Vaníček Následující série ú loh je koncipována tak, ž e student nejprve podle předem daného konstrukčního postupu sestrojí konstrukci a v ní podle návodu objeví některý nový poznatek.
Algoritmizace a programování
Pátek 14. října Algoritmizace a programování V algoritmizaci a programování je důležitá schopnost analyzovat a myslet. Všeobecně jsou odrazovým můstkem pro řešení neobvyklých, ale i každodenních problémů.
V této části manuálu bude popsán postup jak vytvářet a modifikovat stránky v publikačním systému Moris a jak plně využít všech možností systému.
V této části manuálu bude popsán postup jak vytvářet a modifikovat stránky v publikačním systému Moris a jak plně využít všech možností systému. MENU Tvorba základního menu Ikona Menu umožňuje vytvořit
Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio
Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3
TEORIE MÍRY. A to jsme se docela snažili. Nešlo to jinak.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola
Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 16. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY NOSNÍKY Nosníky jsou zpravidla přímá tělesa (pruty) uloţená na podporách nebo
Ploché výrobky z konstrukčních ocelí s vyšší mezí kluzu po zušlechťování technické dodací podmínky
Ploché výrobky z konstrukčních ocelí s vyšší mezí kluzu po zušlechťování technické dodací podmínky Způsob výroby Dodávaný stav Podle ČSN EN 10025-6 září 2005 Způsob výroby oceli volí výrobce Pokud je to
2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I
Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou
VYR-32 POKYNY PRO SPRÁVNOU VÝROBNÍ PRAXI - DOPLNĚK 6
VYR-32 POKYNY PRO SPRÁVNOU VÝROBNÍ PRAXI - DOPLNĚK 6 Platnost od 1.1.2004 VÝROBA PLYNŮ PRO MEDICINÁLNÍ ÚČELY VYDÁNÍ PROSINEC 2003 1. Zásady Tento doplněk se zabývá průmyslovou výrobou medicinálních plynů,
1. DÁLNIČNÍ A SILNIČNÍ SÍŤ V OKRESECH ČR
1. DÁIČNÍ A SIIČNÍ SÍŤ V OKRESE ČR Pro dopravu nákladů, osob a informací jsou nutné podmínky pro její realizaci, jako je kupříkladu vhodná dopravní infrastruktura. V případě pozemní silniční dopravy to
Instrukce Měření umělého osvětlení
Instrukce Měření umělého osvětlení Označení: Poskytovatel programu PT: Název: Koordinátor: Zástupce koordinátora: Místo konání: PT1 UO-15 Zdravotní ústav se sídlem v Ostravě, Centrum hygienických laboratoří
PALETOVÉ REGÁLY SUPERBUILD NÁVOD NA MONTÁŽ
PALETOVÉ REGÁLY SUPERBUILD NÁVOD NA MONTÁŽ Charakteristika a použití Příhradový regál SUPERBUILD je určen pro zakládání všech druhů palet, přepravek a beden všech rozměrů a pro ukládání kusového, volně
Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 -
Číslicová technika učební texty (SPŠ Zlín) str.: - -.. ČÍTAČE Mnohá logická rozhodnutí jsou založena na vyhodnocení počtu opakujících se jevů. Takovými jevy jsou např. rychlost otáčení nebo cykly stroje,
10 je 0,1; nebo taky, že 256
LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání
GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny
GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická
MANUÁL PRO HODNOCENÍ OTEVŘENÝCH TESTOVÝCH ÚLOH MATEMATIKA SADA B (TEST PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY DO 8LETÉHO GYMNÁZIA)
PH-M5MBCINT MANUÁL PRO HODNOCENÍ OTEVŘENÝCH TESTOVÝCH ÚLOH MATEMATIKA SADA B (TEST PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY DO 8LETÉHO GYMNÁZIA) 1. TYPY TESTOVÝCH ÚLOH V TESTU První dvě úlohy (1 2) jsou tzv. úzce otevřené
MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE
MECHANICKÁ RÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ RÁCE Konání práce je podmíněno silovým působením a pohybem Na čem závisí velikost vykonané práce Snadno určíme práci pro případ F s ráci nekonáme, pokud se těleso nepřemísťuje
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl
I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb
I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní
Rámcová smlouva na nákup propagačních předmětů
Dodatečné informace k podlimitní veřejné na služby s názvem Rámcová smlouva na nákup propagačních předmětů Zadavatel Název: Fond dalšího vzdělávání Sídlo: Na Maninách 20, 170 00 Praha 7 Právní forma: příspěvková
Geometrická optika 1
Geometrická optika 1 Popis pomocí světelných paprsků těmi se šíří energie a informace, zanedbává vlnové vlastnosti světla světelný paprsek = přímka, podél níž se šíří světlo, jeho energie index lomu (základní
1.4.1 Výroky. Předpoklady: Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je či není pravdivé
1.4.1 Výroky Předpoklady: Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je či není pradié Číslo π je iracionální. pradiý ýrok Ach jo, zase matika. není ýrok V rozrhu máme deset hodin matematiky týdně.
Matematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace
pracovní list studenta
Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,
TEPELNÁ ČERPADLA ALTERNATIVNÍ ZDROJE TEPLA
INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ.1.07/1.1.00/08.0010 TEPELNÁ ČERPADLA ALTERNATIVNÍ
Návrh induktoru a vysokofrekven ního transformátoru
1 Návrh induktoru a vysokofrekven ního transformátoru Induktory energii ukládají, zatímco transformátory energii p em ují. To je základní rozdíl. Magnetická jádra induktor a vysokofrekven ních transformátor
Uživatelská dokumentace
Uživatelská dokumentace k projektu Czech POINT Provozní řád Konverze dokumentů z elektronické do listinné podoby (z moci úřední) Vytvořeno dne: 29.11.2011 Verze: 2.0 2011 MVČR Obsah 1. Přihlášení do centrály
Pasport veřejného osvětlení
Pasport veřejného osvětlení Černolice 2014 SATHEA VISION s.r.o 1 Obsah 1 Úvod... 3 2 Pasport veřejného osvětlení... 3 2.1 Rozvodná síť... 3 Rozvodna 1 U obecního úřadu (Černolice 64)... 3 Rozvodna 2 Nový
6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi
6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky od Ing. Magdaleny Čepičkové
(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3)
Učební tet k přednášce UFY1 Předpokládejme šíření rovinné harmonické vln v kladném směru os z. = i + j kde i, j jsou jednotkové vektor ve směru os respektive a cos ( ) ω ϕ t kz = + () = cos( ωt kz+ ϕ )
Posouzení stávající soustavy vytápění. Posouzení stávající soustavy vytápění. Semináře JOULE 2012 Ing. Vladimír Galad galad@volny.
Posouzení stávající soustavy vytápění ÚVOD Připomeňme si, že existuje několik typů soustav pro vytápění a s nástupem nových technologií a využívání netradičních a obnovitelných zdrojů tepla přibývá řada
Autorizovaným techniků se uděluje autorizace podle 5 a 6 autorizačního zákona v těchto oborech a specializacích:
Společné stanovisko Ministerstva pro místní rozvoj a České komory autorizovaných inženýrů a techniků činných ve výstavbě k rozsahu oprávnění autorizovaného technika pro výkon vybraných činností ve výstavbě
DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT
DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT Doc. Ing. Daniel Makovička, DrSc.*, Ing. Daniel Makovička** *ČVUT v Praze, Kloknerův ústav, Praha 6, **Statika a dynamika konstrukcí, Kutná Hora 1 ÚVOD Obecně se dynamickým
KINEMATICKÉ ELEMENTY K 5 PLASTOVÉ. doc. Ing. Martin Hynek, Ph.D. a kolektiv. verze - 1.0
Katedra konstruování stroj Fakulta strojní K 5 PLASTOVÉ KINEMATICKÉ ELEMENTY doc. Ing. Martin Hynek, Ph.D. a kolektiv verze - 1.0 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpo
Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu
Úloha č. 4 Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úkoly měření:. Určete moment setrvačnosti vybraných těles, kruhové a obdélníkové desky.. Stanovení momentu setrvačnosti proveďte s využitím dvou rozdílných
Statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 -
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková 2 34 Statistika Semestrální práce - 0 - 1. Úvod Popis úlohy: V této práci se jedná se o porovnání statistických
Kód uchazeče ID:... Varianta: 15
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 15 1. V únoru byla zaměstnancům zvýšena mzda o 15 % lednové mzdy. Následně
VÝBĚROVÉ ŘÍZENÍ NA OBSAZENÍ PRODEJNÍCH MÍST NA AKCI VELIKONOČNÍ SLAVNOSTI 2016
Kulturní a vzdělávací středisko U Tří kohoutů, příspěvková organizace Nerudova 294/14, 602 00 Brno IČO: 00101508 DIČ: CZ00101508 bankovní spojení: 4939621/0100 tel.: 543 212 508, mobil: 725 825 598 info@kaveeska.cz
NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE
NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE 1. Přehled možností programu 1.1. Hlavní okno Hlavní okno programu se skládá ze čtyř karet : Projekt, Zadání, Výsledky a Návrhový
METODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA
METODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA Získávání tepla ze vzduchu Tepelná čerpadla odebírající teplo ze vzduchu jsou označovaná jako vzduch-voda" případně vzduch-vzduch". Teplo obsažené
MSSF Benefit praktický průvodce pro žadatele v rámci Operačního programu Rozvoj lidských zdrojů
MSSF Benefit praktický průvodce pro žadatele v rámci Operačního programu Rozvoj lidských zdrojů MSSF Benefit dostupnost a instalace MSSF Benefit bude dostupný ke stažení na stránkách www.kr-olomoucky.cz
Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst
Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Obsah Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst... 1 1 Účel a cíl metodického listu... 2 2 Definice indikátoru Počet nově vytvořených pracovních míst...
S M L U V N Í P O D M Í N K Y Smluvní podmínky pro účast na akcích pořádaných společností Media Events Company s.r.o.
S M L U V N Í P O D M Í N K Y Smluvní podmínky pro účast na akcích pořádaných společností Media Events Company s.r.o. Tyto smluvní podmínky (dále jen Podmínky ) upravují práva a povinnosti společnosti
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ. Strana
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ Strana Vyhledávání textu - přidržte klávesu Ctrl, kurzor umístěte na příslušný řádek a klikněte levým tlačítkem myši. 1. Právní předpisy upravující přijímací řízení ke studiu ve střední
Grafický manuál jednotného vizuálního stylu
Grafický manuál jednotného vizuálního stylu Logo dvouřádková varianta Základním prvkem jednotného vizuálního stylu je logo společnosti. Logo je snadno zapamatovatelné a i bez slovního označení dostatečně
PRAVIDLA PRO PRODEJ BYTŮ A NEBYTOVÝCH PROSTOR V MAJETKU MĚSTA VRBNO POD PRADĚDEM
PRAVIDLA PRO PRODEJ BYTŮ A NEBYTOVÝCH PROSTOR V MAJETKU MĚSTA VRBNO POD PRADĚDEM Čl. I Základní ustanovení 1) Těmito Pravidly se stanoví postup při prodeji bytů a nebytových prostor, které jsou dosud ve
Zadávací dokumentace k veřejné zakázce
Zadávací dokumentace k veřejné zakázce Otevřené řízení Tato veřejná zakázka na stejnokroj pánský a dámský je zadávána v otevřeném zadávacím řízení podle 21 odst. 1 písm. a) zákona č. 137/2006 Sb. o veřejných
5.6.16. Stroje, technická zařízení, přístroje a nářadí
5.6.16. Stroje, technická zařízení, přístroje a nářadí http://www.guard7.cz/lexikon/lexikon-bozp/stroje-technicka-zarizenipristroje-a-naradi Bezpečnost pro stroje, technická zařízení, přístroje a nářadí
Studie proveditelnosti. Marketingová analýza trhu
Studie proveditelnosti Marketingová analýza trhu Cíl semináře Seznámení se strukturou marketingové analýzy trhu jakou součástí studie proveditelnosti Obsah 1. Analýza makroprostředí 2. Definování cílové
Společné stanovisko GFŘ a MZ ke změně sazeb DPH na zdravotnické prostředky od 1. 1. 2013
Společné stanovisko GFŘ a MZ ke změně sazeb DPH na zdravotnické prostředky od 1. 1. 2013 Od 1. 1. 2013 došlo k novelizaci zákona č. 235/2004 Sb., o dani z přidané hodnoty (dále jen zákon o DPH ), mj. i
ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ MEII - 3.1 MĚŘENÍ ZÁKLADNÍCH EL. VELIČIN
Projekt: ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ Téma: MEII - 3.1 MĚŘENÍ ZÁKLADNÍCH EL. VELIČIN Obor: Mechanik Elektronik Ročník: 2. Zpracoval(a): Jiří Kolář Střední průmyslová škola Uherský Brod, 2010 Projekt
Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ
Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ Obsah 1. Úvod 2. Kontaktní logické řízení 3. Logické řízení bezkontaktní Leden 2006 Ing.
Uložení potrubí. Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu. Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí
Uložení potrubí Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí Obsah: 1. Definice... 2 2. Rozměrový návrh komponent... 2 3. Podpěra nebo vedení na souosém
Databázové a informační systémy
Databázové a informační systémy 1. Teorie normálních forem Pojem normálních forem se používá ve spojitosti s dobře navrženými tabulkami. Správně vytvořené tabulky splňují 4 základní normální formy, které
L 110/18 Úřední věstník Evropské unie 24.4.2012
L 110/18 Úřední věstník Evropské unie 24.4.2012 NAŘÍZENÍ KOMISE (EU) č. 351/2012 ze dne 23. dubna 2012, kterým se provádí nařízení Evropského parlamentu a Rady (ES) č. 661/2009, pokud jde o požadavky pro
Metoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka
Metoda konečných prvků 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Diskretizace Analýza pomocí MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný
VÝZVA K PODÁNÍ NABÍDKY
VÝZVA K PODÁNÍ NABÍDKY Výzva k podání nabídky a prokázání kvalifikace pro veřejnou zakázku: KOUTEX 2014 (recyklace textilního odpadu) - zadávanou jako zakázku malého rozsahu nespadající pod aplikaci zákona
Data v počítači EIS MIS TPS. Informační systémy 2. Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50
Informační systémy 2 Data v počítači EIS MIS TPS strategické řízení taktické řízení operativní řízení a provozu Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50 18.3.2014
Vydání občanského průkazu
Vydání občanského průkazu 01. Identifikační kód 02. Kód 03. Pojmenování (název) životní situace Vydání občanského průkazu 04. Základní informace k životní situaci Občanský průkaz je povinen mít občan,