This project has received funding from the European Union s Seventh Framework Programme Tento pracovní list byl vytvořen v rámci evropského projektu Fibonacci, projektu zaměřeného na badatelsky orientovanou výuku. Věk: 15-19 let Předmět: Matematika Téma: Objem kužele Cíl: Určení výšky hladiny, která vyznačí polovinu objemu kužele. Forma výuky: Pokusná metoda, výpočet a práce s počítačovým modelem. Práce ve dvojicích. Časová dotace: Dvě vyučovací hodiny, mohou být i oddělené Pomůcky: Skleněná nálevka (vnitřní průměr 10 cm), 3 plastové průhledné kelímky 0,2 l, malířská papírová lepicí páska (šířka 1cm), pravítko, láhev s vodou, kofola, kalkulačka, tabulky. Počítač s programem Cabri 3D. Zdroje: L. Samková, Matematika v laboratoři, UPVM konference 2011, České Budějovice Autor: Mgr. Jitka Nováková, L. Samková Twin Centrum: TC1 České Budějovice, http://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/fibo.html
Objem kužele. Pracovní list 1 Na plášť kuželové baňky nalepte svisle papírovou pásku, výrazně na ní označte dno a vrchol kužele. A. Odhadněte výšku hladiny, která odpovídá polovině objemu kužele. Svůj odhad zaznamenejte na pásku. Odhad prakticky ověřte. B. Odhadněte výšku pro 1/4, 1/3, 1/2, 2/3 a 3/4 objemu, své odhady zaznamenejte na pásku. C. Pásku opatrně sejměte a přelepte na pracovní list. Na kužel stejným způsobem nalepte druhou pásku. D. Odměřte požadované objemy v odměrném válci a vytvořte na druhé pásce stupnici. E. Sejměte i druhou pásku, nalepte na papír vedle první a porovnejte je. Vše ověřte výpočtem. Skupina č. Jméno : Zde nalepte pásky z kužele: Odhad Měření
Objem kužele. Pracovní list 2 S podporou počítačového modelu kužele určete závislost výšky hladiny na požadovaném poměru objemů. Vložte obrázek ukazující tuto závislost. Své tvrzení dokažte výpočtem. Měňte výšku a průměr kužele. Skupina č. Jméno :
Objem kužele. Pracovní list 3 Na zobrazeném bokorysu kužele určete výšku hladiny, která vyznačí polovinu objemu kužele. Svůj postup popište. Skupina č. Jméno :
Objem kužele - Učitelský pracovní list Komentář k listu 1: Pro dvojici žáků připravíme kuželovou nálevku a dvě lepící pásky. Díru ve vrcholu kužele je možné ucpat kouskem modelíny. Kuželová nálevka je pro pokus lepší než kuželová baňka, hned ze dvou důvodů: i) U kuželové baňky je mnohem jednodušší odhad poloviny objemu při odlévání. Je možné využít naklonění baňky o 90, při kterém v baňce zůstane cca polovina objemu kdežto z nálevky při tomto naklonění vyteče veškerá tekutina. ii) U kuželové nálevky je názornější a přehlednější výpočet dá se při něm lépe a snáze využít podobnost trojúhelníků/kuželů: celá kuželová nálevka je podobná své zaplněné části. U kuželové baňky toto neplatí, zaplněná část tvoří komolý kužel. K většímu zájmu o připravený pokus můžeme žáky k řešení části A) motivovat výzvou k přípitku kofolou, při kterém se musí o kofolu v nálevce spravedlivě rozdělit: nálevku naplníme kofolou, žáci ji podle určené hladiny rozdělí do dvou stejných průhledných kelímků a porovnají výšky hladin v kelímcích. Každé dvojici pořídíme fotografii, dokumentující přesnost odhadu. Po provedení odhadů a měřících pokusů dle návodu v pracovním listě změří žáci přesné rozměry nálevky a výsledky pokusů ověří výpočtem. Potřebné vzorce vyhledají v tabulkách. Komentář k listu 2: Připomeneme potřebné znalostmi pro práci v CABRI 3D (funkce Délka úsečky, objem, kalkulačka a vkládání textu do rámečku). Komentář k listu 3: Žáci vypracují list č.3 s předtištěným zadáním kužele - je vhodné připravit několik variant s různými rozměry kužele. Sami si zvolí metodu, jak určí výšku hladiny, jestli výpočtem nebo za pomoci počítače. Na závěr seznámíme žáky s výsledky, ke kterým se měli dopracovat: Výška hladiny je třetí odmocnina z poměru objemů kuželů. Pro ½ objemu je hladina ve výšce 0.79*výška kužele, tedy přibližně ve 4/5 výšky kužele. Nezáleží na rozměrech kužele. Stejné pravidlo platí i pro jehlan. Naše zkušenosti s projektem: První fáze bádání - odhad poloviny objemu a následné ověření je velice důležitá. Výsledek je pro žáky značně udivující, většina odhadů se zásadně liší od spravedlivé poloviny. Toto zjištění je pro žáky kladná motivace k dalšímu zkoumání. Pokusem získají reálnou představu o požadovaných výškách hladin, počítačový model je nepřekvapí, výsledkům věří.
Výsledky projektu záleží na studijním zaměření a stupni matematických znalostí žáků. Projekt proběhl ve dvou skupinách odlišného zaměření - strojní a stavební průmyslová škola. Jedna skupina již kužel probírala dříve, pro druhou to bylo první seznámení. Žáci stavebního oboru se rychleji seznámili s programem CABRI 3D a bez problémů v něm úlohu dokončili. Výpočtová část jim dělala problémy, kužel počítali poprvé. Žáci strojního oboru volili výpočty, práce s počítačovým modelem je moc nebavila.