i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
|
|
- Kryštof Kadlec
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných n tic reálných čísel, tj. x R n x = (x 1, x 2,..., x n ), x i R pro i = 1, 2,..., n. Množinu R n se zvolenou souřadnicovou soustavou nazývýme n-rozměrný euklidovský prostor a jeho prvky nazýváme body. Orientovanou úsečku s počátečním bodem a a koncovým bodem b chápeme jako volný vektor u = (u 1, u 2,..., u n ), kde a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) a u i = b i a i, 1 i n. Naopak budeme chápat b = a + u jako bod o souřadnicích b i = a i + u i, 1 i n. Rozumíme tedy vztahům: u = b a, b = a + u, b = a + (c d). Vzdálenost bodů x = (x 1, x 2,..., x n ) a y = (y 1, y 2,..., y n ) je definována vztahem x y = n (x i y i ) 2. Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice Body určené podmínkou jsou body úsečky s krajními body a a b. i=1 x = a + t(b a), t R. x = a + t(b a), t 0, Funkce více reálných proměnných. Jako přirozené zobecnění funkce jedné reálné proměnné, se kterými jsme pracovali v předchozích kurzech matematiky je funkce, kde nezávisle proměnnou je uspořádaná dvojice, trojice, či obecně n tice reálných čísel. Všechny základní pojmy, které se váží k funkcím jedné reálné proměnné se obdobně zavádí pro funkce více proměnných. Uveďme nejdříve definici. Definice. Reálná funkce více reálných proměnných. Zobrazení f, které každému bodu x R n přiřazuje nejvýše jedno reálné číslo y = f(x) nazýváme reálnou funkcí n reálných proměnných. Tuto relaci obvykle zapisujeme pomocí některého ze symbolů: y = f(x), x R n ; y = f(x 1, x 2,..., x n ), kde x = (x 1, x 2,..., x n ); f : R n R. Množinu všech hodnot x R n, pro které existuje y = f(x) nazýváme definičním oborem funkce f a označujeme symbolem D f. Množinu všech hodnot {y; y = f(x), x D f } nazýváme oborem hodnot funkce f a označujeme jej symbolem H f. Množinu všech uspořádaných dvojic {(x, y); y = f(x), x D f } R n+1 nazýváme grafem funkce f. 3
2 Poznámka. Nejčastěji budeme pracovat s funkcemi v R 2 či R 3. Budeme mluvit o funkcích dvou či tří reálných proměnných a budeme pro ně používat názornější označení: n = 2 : z = f(x, y) místo obecného y = f(x 1, x 2 ); n = 3 : u = f(x, y, z) místo obecného y = f(x 1, x 2, x 3 ). Definice. Hladina funkce. Je-li z = f(x, y) funkce dvou proměnných, pak hladinou (k-hladinou) funkce f nazýváme množinu bodů, pro které platí f(x, y) = k. Poznámka. Ze tvaru hladin si můžeme udělat představu o chování funkce. Obor hodnot získáme jako množinu všech čísel k, pro které je hladina neprázdná množina. Příklad. Určete definiční obor D f a pokud bude možné i hladiny a obor hodnot H f dané funkce: 1. f(x, y) = 1 x 2 y 2. Řešení. Musí být argument odmocniny nezáporný a tedy pro definiční obor dostaneme podmínku 1 x 2 y 2 0 x 2 + y 2 1. Definičním oborem funkce je kruh se středem v počátku a poloměrem 1. 1 x 2 y 2 = k 1 x 2 y 2 = k 2, k 0 x 2 + y 2 = 1 k 2. Musí být ale 1 k 2 0, k 0 0 k 1. Hladinami funkce jsou kružnice se středem v počátku. Obor hodnot je H f = 0, f(x, y) = sin x. Řešení. Funkce sinus je definovaná v celém R, tedy pro definiční obor dostaneme podmínku 0. To je rovina s vyjmutou přímkou y = x. sin Odtud dostaneme rovnice hladin x = k x = C, C R. y = 1 C x, x 0 pro C 0 a x = 0, y 0 pro C = 0. C Hladinami je svazek polopřímek, které procházejí počátkem. Obor hodnot získáme z oboru hodnot funkce sinus. Je tedy H f = 1, f(x, y) = ln(x 2 y). Řešení. Argument logaritmu musí být kladný, tedy pro definiční obor dostaneme podmínku x 2 y > 0 y < x 2. 4
3 Definičním oborem je množina bodů v rovině, která leží pod parabolou danou rovnicí y = x 2. ln(x 2 y) = k, k R x 2 y = e k y = x 2 e k. Hladina je posunutou parabolou y = x 2, která má vrchol v bodě (0, e k ). Odtud dostaneme obor hodnot H f = R. 4. f(x, y) = x y. Řešení. Argument odmocniny musí být nezáporné číslo. Je tedy podmínka pro definiční obor 0 0 x y > 0 nebo 0 x y < 0. x y Otud plyne, že x y < x x > 0 nebo x < y x x < 0. x y = k, k 0 x y = k2 = k 2 (x y) x 0 y = k k 2 x x 0. Odtud dostaneme obor hodnot H f = 0, ). 5. f(x, y) = x ln(1 y 2 ). Řešení. Pro definiční obor dostaneme podmínky x y 2 > 0 x 1 y < 1. Podmínku pro hladiny nebudeme uvádět. 6. f(x, y) = arcsin (xy). Řešení. Funkce arkussinus je definována v intervalu 1, 1. Podmínka pro definiční obor je 1 xy 1. Definičním oborem je část roviny mezi hyperbolami y = 1 x a y = 1 x. Pro hladiny dostaneme rovnice xy = k, 1 k 1. Pro k = 0 jsou hladinami osy souřadnic, pro k > 0 je jí hyperbola v 1. a 3. kvadrantu a pro k < 0 je jí hyperbola ve 2. a 4. kvadrantu. Oborem hodnot je interval H f = π 2, π 2. 5
4 7. f(x, y) = arctg y x. Řešení. Funkce arkustantens je definována pro všechny hodnoty v R, dostaneme tedy pro definiční obor podmínku x 0. To je rovina bez osy y. arctg y x = k, π 2 < k < π 2 y x = tgk y = tgkx, x 0. Hladiny tvoří svazek polopřímek s vrcholem v počátku. Oborem hodnot je interval H f = ( π 2, π 2 ). 8. f(x, y) = e x2 +y 2 2. Řešení. Funkce f je definována v R. e x2 +y 2 2 = k, 0 < k 1 x 2 + y 2 = 2lnk. Hladinami jsou kružnice se středem v počátku a poloměrem 2lnk. Oborem hodnot je interval (0, Klasifikace bodů a množin v R n Definice. Okolí bodu. ε okolím (okolím) bodu a nazýváme množinu U(a) = U ε (a) = {x; x a < ε}. Definice. Klasifikace bodů. Je-li A R n, A, pak bod a nazýváme: - vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje okolí U(a) bodu a takové, že U(a) A. - hraničním bodem množiny A, jestliže každé okolí U(a) bodu a obsahuje jak body z množiny A, tak body, které množině A nepatří. Množinu všech hraničních bodů množiny nazýváme hranicí množiny. - vnějším bodem množiny A, jestliže existuje okolí U(a) bodu a takové, že U(a) A =. - hromadným bodem množiny A, jestliže každé okolí U(a) bodu a obsahuje body množiny A různé od bodu a. - izolovaným bodem množiny A, jestliže existuje okolí U(a) bodu a takové, že U(a) A = {a}. Množina, která obsahuje pouze své vnitřní body se nazývá otevřená. Množina, která obsahuje všechny své hraniční body se nazývá uzavřená. 4. Spojitost funkce. Připomeneme si význam spojitosti funkce, se kterým jsme se setkali v předchozích kurzech. Pro funkci y = f(x) znamenala spojitost tu skutečnost, že malá změna argumentu proměnné x vyvolá malou změnu hodnoty y. Tuto podmínku jsme zapisovali pomocí okolí bodu. Podmínka je stejná i pro funkce více proměnných, mění se jen geometrický význam okolí bodu. 6
5 Definice. Spojitost funkce. Říkame, že funkce y = f(x) je spojitá v bodě x 0 D f, jestliže ke každému ε okolí U ε (y 0 ) bodu y 0 = f(x 0 ) existuje δ okolí U δ (x 0 ) bodu x 0 takové, že platí ( ) x D f U δ (x 0 ) y = f(x) U ε (y 0 ). Podmínku ( ) lze také zapsat ve tvaru x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. O funkci, která je spojitá v každém bodě množiny M D f říkáme, že je spojitá v množině M. Funkci spojitou v každém bodě svého definičního nazýváme spojitou. Věta. Vlastnosti spojitých funkcí. Jsou-li funkce f a g spojité v bodě x 0, pak jsou spojité v bodě x 0 také funkce f, f + g, f.g a f/g, je-li g(x 0 ) 0. Důkaz. Odvození je shodné s důkazy vět pro funkce jedné proměnné. Věta. Spojitost složené funkce. Je-li funkce y = g(x) spojitá v bodě x 0 a funkce f = f(y) je spojitá v bodě y 0 = g(x 0 ), pak je složená funkce F = F (x), F (x) = f(g(x)) spojitá v bodě x 0. Poznámka. Uvedeme si jednoduchou vlastnost, která nám dovolí rozhodovat o spojitosti pro většinu funkcí. Formulujeme je pro jednoduchost pro funkce dvou proměnných. Věta. Je-li funkce f = f(x, y) = h(x) funkce dvou proměnných a je-li funkce h spojitá v intervalu (a, b), pak je funkce f(x, y) spojitá v množině {(x, y); a < x < b, < y < } jako funkce dvou proměnných. Příklad. Rozhodněte, které z funkcí z příkladu z odst. 2 jsou spojité. 5. Limita funkce Poznámka. Pro funkce více proměnných zavádíme pojem ity funkce i pro funkce více proměnných. Vyšetřujeme pomocí něj chování funkce v okolí hraničních bodů a bodů nespojitosti. Situace je ovšem mnohem komplikovanější. Definice. Limita funkce. Říkame, že funkce y = f(x) má itu y 0 v bodě x 0, který je hromadným bodem definičního oboru, jestliže ke každému ε okolí U ε (y 0 ) bodu y 0 = f(x 0 ) existuje δ okolí U δ (x 0 ) bodu x 0 takové, že platí ( ) x D f U δ (x 0 ), x x 0 y = f(x) U ε (y 0 ). Podmínku ( ) lze také zapsat ve tvaru ( ) 0 < x x 0 < δ f(x) y 0 < ε. Skutečnost zapisujeme symbolem f(x) = y x x 0. 0 Poznámka. Při řešení úlohy najít itu funkce využíváme následující tvrzení. Věta. Je-li funkce y = f(x) spojitá v bodě x 0, který je hromadným bodem definičního oboru, pak x x 0 f(x) = f(x 0 ). 7
6 Poznámka. Při ověřování spojitosti funkce či výpočtu ity pro funkce více proměnných podle definice znamená nalézt řešení nerovnice ve tvaru f(x) y 0 < ε x x 0 < δ. Zde je ale řešení okolí v R n, což přináší problémy při výpočtu. Budeme vše ilustrovat na příkladě dvou proměnných. Příklad. Vypočtěte ity funkce f v bodě x 0. x 2 y 2 a) (x,y) (0,0) x 2 + y ; 2 b) (x,y) (0,0) x y ; x 2 y a) (x,y) (0,0) x 4 + y. 2 Řešení. a) Budeme počítat itu ze všech směrů po přímkách y = kx, x 0. Dostaneme k 2 x 4 x 0 x 2 (1 + k 2 ) = k2 1 + k 2 x 0 x2 = 0. Z výpočtu vyplývá, že ita může existovat a pokud existuje, pak je rovna 1. Existence ity plyne z odhadu x 2 y 2 x 2 + y 0 2 (x2 + y 2 ) 2 = x 2 + y 2. x 2 + y 2 b) Budeme počítat itu ze všech směrů po přímkách y = kx, k 1, x 0. Dostaneme (k + 1)x x 0 x(1 k) = k k 1 = 1 + k x 0 1 k. Protože jsou ity z různých směrů různé, ita funkce neexistuje. c) Budeme počítat itu ze všech směrů po přímkách y = kx, x 0. Dostaneme x 0 kx 3 x 2 (x 2 + k 2 ) = k x 0 x 2 x 2 + k 2 = 0. Z výpočtu vyplývá, že ita může existovat a pokud existuje, pak je rovna 0. To, že ita neexistuje ukážeme tím, že vypočteme ity po parabolách y = kx 2, x 0. Je x 0 kx 4 x 4 (1 + k 2 ) = k 1 + k 2. Protože jsou ity po různých parabolách různé, ita neexistuje. Poznámka. Výpočet ity, algoritmus. Při vypočtu ity f(x) x x 0 8
7 postupujeme ve dvou krocích: 1. Vypočteme itu funkce jedné proměnné ze všech možných směrů, t.j. f(x 0 + tu), t 0 kde u R n, u = 1. Jsou-li ity z alespoň dvou směrů různé, nebo ita v některém ze směrů neexistuje, pak neexistuje počítaná ita. 2. Jsou-li ity ze všech směrů stejné, rovny y 0, pak má funkce itu y 0 právě když sup{ f(x) y 0 ; 0 < x x 0 r, x D f } = 0. r 0+ Tato ita je itou funkce jedné proměnné r a při jejím výpočtu je možné použít všechna z dřívějších kurzů známá pravidla pro počítání. Problém je skryt do výpočtu supréma, kde je možné ovšem použít jeho odhadu. 6. Vektorová funkce, zobrazení Poznámka. Při popisu veličin se často setkáme s případem, kdy je závislá veličina vícerozměrná. Mluvíme pak o vektorové funkci (poli), nebo o zobrazení. Definice. Zobrazení v R n. Jestliže je bodu x R n přiřazen nejvýše jeden bod y R m, pak říkáme, že je dáno zobrazení z R n do R m. Píšeme pak y = F (x), nebo F : R n R m. Poznámka. Definiční obor a obor hodnot definujeme zcela obdobně jako pro funkci více proměnných. Poznámka. Je zřejmé, že pro hodnotu y = (y 1, y 2,..., y m ) je závislost y i = f i (x 1, x 2,..., x n ), 1 i m, funkcí n proměnných. Tato funkce se nazývá souřadnicí zobrazení F. Poznámka. Budeme se opět zabývat především případy kdy m, n = 1, 2, 3 a pak budeme mluvit o vektorové funkci(poli) a budeme častěji používat označení, které je bližší označení z aplikací. F = (f 1, f 2 ) F = (F 1, F 2 ); F = (f 1, f 2, f 3 ) F = (F 1, F 2, F 3 ). Věta. Spojitost zobrazení. Zobrazení F = (f 1, f 2,..., f m ) je spojité v bodě x 0 právě když jsou v tomto bodě spojité jeho souřadnice f i (x) = f i (x 1, x 2,..., x n ), 1 i m. Věta. Limita zobrazení. Zobrazení F = (f 1, f 2,..., f m ) má v bodě x 0 itu y 0 právě když mají v tomto bodě ity jeho souřadnice f i (x) = f i (x 1, x 2,..., x n ), 1 i m 9
8 a F (x) = ( f x x 0 x x i (x)). 0 Důkaz. Obě tvrzení vyplývají ze skutečnosti max{ a i b i ; 1 i n} a b n a i b i. i=1 Poznámka. Znázornit chování vektorového pole F = (F 1, F 2 ) můžeme provést třeba tak, že do bodu x = (x, y) umístíme vektor F (x) = (F 1 (x, y), F 2 (x, y)). Příklad. Znázorněte vektorové pole: a) F (x, y) = (x, ( y); ) b) F x (x, y) = x 2 + y, y ; 2 x 2 + y ( 2 ) c) F y (x, y) = x 2 + y, x. 2 x 2 + y 2 Spojitost složeného zobrazení Poznámka. Zcela shodně můžeme formulovat obecnou větu o spojitosti složeného zobrazení jako jsme tuto vlastnost formulovali pro funkce jedné proměnné. Vše se liší jenom v tom jak konkrétně vypadá okolí bodu. Věta. Spojitost zobrazení. Je-li G = G(x) zobrazení z R n do R k spojité v bodě x 0 a zobrazení F = F (y) z R k do R m je spojité v bodě y 0 = G(x 0 ), je složené zobrazení H = F (G), H(x) = F (y), y = G(x) spojité v bodě x 0. Obrázek důkazu 10
1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 8-9 Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Funkce více proměnných Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Definice Necht M R n, M. Funkcí n proměnných je zobrazení
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =
Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší
VíceVEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární
VEKTOR Úvod Vektor je abstraktní pojem sloužící k vyjádření jistého směru a velikosti. S vektorovými veličinami se setkáváme například ve fyzice. Jde o veličiny, u nichž je rozhodující nejen velikost,
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceKapitola 1. Reálné funkce více reálných proměnných. 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n
Obsah 1 Reálné funkce více reálných proměnných 5 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n...................... 5 1.1.1 Algebraické vlastnosti prostoru R n.................. 5 1.1.2 Metrické vlastnosti prostoru
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceSpojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceDodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceNejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0527
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
VíceFunkce více proměnných - úvod
Funkce více proměnných - úvod Helena Říhová FBMI 14. července 2014 Helena Říhová (ČVUT) Funkce více proměnných - úvod 14. července 2014 1 / 16 Obsah 1 Úvod Grafy funkcí dvou proměnných Eukleidovská vzdálenost
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceLIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Více2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce
2.6. Limita funkce Nechť c R jevnitřnínebokrajníbod intervalu definičního oboru funkce f.(funkce v něm může, ale nemusí být definovaná.) Jestliže vzorům x blízkým bodu c, ale různýmod c, (tedy x (c d,
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
Více30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceMANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH
Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
Více