1 Vývoj poznatků o atomu, modely atomu 5

Obsah 1 Vývoj poznatků o atomu, modely atomu 5 1.1 Záření černého tělesa.............................. 6 1.2 Objev atomového jádra............................. 7 1.3 Obtíže klasického výkladu planetárního modelu............... 10 2 Kvantově mechanický model atomu 15 2.1 De Broglieho hypotéza............................. 16 2.2 Elektron v kubickém monokrystalu...................... 16 2.3 Interpretace vlnové funkce........................... 19 2.4 Kvantově mechanický model vodíku...................... 22 2.5 Ověření existence elektronových hladin.................... 25 3 Magnetické vlastnosti atomu 27 3.1 Moment hybnosti elektronu.......................... 27 3.2 Magnetooptické jevy.............................. 28 3.3 Zavedení spinu................................. 30 3.4 Spin orbitální interakce............................. 31 4 Atomy s více elektrony 33 4.1 Pauliho princip................................. 33 4.2 Elekronové konfigurace............................. 33 4.3 Periodická soustava prvků........................... 34 4.4 Energetické stavy víceelektronových atomů.................. 37 4.5 Velmi jemná struktura............................. 38 1

OBSAH 4.6 Hundova pravidla................................ 39 5 Elektromagnetické přechody v atomu 41 5.1 Parita...................................... 42 5.2 Spektra atomů................................. 43 5.3 Rentgenovské záření.............................. 45 5.4 Augerův jev................................... 47 5.5 Fotoefekt.................................... 47 5.6 Comptonův jev................................. 48 6 Atomové jádro 51 6.1 Nukleony.................................... 51 6.2 Nukleonová vazbová energie, Kapkový model................. 53 6.3 Spin a magnetický moment jádra....................... 55 7 Radioaktivní procesy 57 7.1 α rozpad..................................... 58 7.2 β rozpad..................................... 60 7.3 γ rozpad a vnitřní konverze.......................... 62 8 Jaderné reakce 63 8.1 Zákony zachování v jaderných reakcích.................... 63 8.2 Typy reakcí................................... 65 8.3 Štěpení a termojaderná fúze.......................... 66 8.4 Elementární částice............................... 70 8.4.1 Interakce mezi částicemi........................ 71 9 Průchod částic hmotou 73 9.1 Průchod nabitých částic hmotou........................ 73 9.2 Interakce fotonů s hmotou........................... 75 10 Detektory a spektrometry 77 10.1 Plynem plněné detektory............................ 78 2

Obsah 10.2 Scintilační detektory.............................. 79 10.3 Polovodičové detektory............................. 80 10.4 Dráhové komory................................. 81 10.5 Registrace neutronů............................... 81 10.6 Detekce fotonů................................. 82 3

OBSAH 4

Kapitola 1 Vývoj poznatků o atomu, modely atomu V přírodě pozorujeme téměř neomezenou mnohotvárnost různých látek a neuvěřitelné množství rostlin a živočichů. Objev toho, že vše se skládá z několika desítek různých typů atomů, je jedním z nejdůležitějších poznatků, který lidstvo dosáhlo. Významným objevem byly bezesporu radioaktivní prvky tj. radionuklidy. Protože látky se skládají z částic (atomů a molekul), definujeme látkové množství počtem částic, které látka obsahuje. Jednotkou látkového množství je mol. Vzorek skládající se ze stejných částic má látkové množství jeden mol tehdy, když obsahuje tolik částic (např. atomů, molekul nebo iontů), kolik je atomů ve vzorku nuklidu uhlíku 12 6C s hmotností 0,012 kg. Počet částic v látkovém množství jeden mol je určen Avogadrovou konstantou. N A = 6,022 10 23 atomů/mol Hmotnost atomů a molekul se vyjadřuje často pomocí atomové hmotnostní konstanty m u : atomová hmotnostní konstanta m u je rovna 1/12 hmotnosti nuklidu uhlíku 12 6C. Problém m u = 1,66 10 27 kg Odhadněte objem molekuly vody. Molekula vody se skládá ze dvou atomů vodíku 1 1H a jednoho atomu kyslíku 16 8O. Molární hmotnost je M m = 18 10 3 kg mol 1. Hustota vody je ρ = 10 3 kg m 3. Molární objem (objem jednoho molu látky)je potom V m = M m ρ = 18 10 3 kg mol 1 10 3 kg m 3 = 18 10 6 m 3 mol 1 Na jednu molekulu připadá objem 5

KAPITOLA 1. VÝVOJ POZNATKŮ O ATOMU, MODELY ATOMU V m = 18 10 6 m 3 mol 1 N A 6 10 23 mol 1 = 3 10 29 m 3. Ve vodě jsou molekuly H 2 O těsně u sebe a objem připadající na jednu molekulu se přibližně rovná skutečnému objemu molekuly. Pokud si představíme prostor připadající na jednu molekulu jako krychli, pak hrana té krychle bude: a = 3 30 10 30 m 3 = 3,1 10 10 m 3 Molekula vody je typickým příkladem menší molekuly. Rozměry atomů jsou řádově 10 10 m. Rozměry menších molekul jsou několikrát větší. Dle výše uvedeného příkladu odhadněte velikost molekuly soli NaCl. 1.1 Záření černého tělesa Jeden z prvních experimentů, které protiřečily klasické mechanice byl nesouhlas naměřených měrných tepel některých látek např. diamantu s předpovědí klasické mechaniky. Měrné teplo udává, jak roste energie látky E s rostoucí teplotou. Známe-li tuto závislost, můžeme z ní prostě spočítat, jakou energii (kolik tepla) je třeba látce dodat, aby se její teplota zvýšila o jeden stupeň (E(T + 1) E(T )). Podle věty o rovnoměrném rozdělení je teplota spojena se vztahem pro energii jednoho atomu vztahem E = 3kT, kde k je Boltzmanova konstanta a T termodynamická teplota. Musíme jen znát počet atomů N v dané látce např. krystalu. Ekvivalentně lze výpočet provést tak, že vezmeme v úvahu všechny módy vlnění krystalu, tedy pohybů ve všech stupních volnosti. Pro konečný objem krystalu bude i toto číslo konečné, ovšem pro elektromagnetické vlnění uzavřené v objemu může být nekonečně mnoho módů, kterých může nabývat. Tepelná kapacita záření by vycházela nekonečná. Protože se nekonečný počet módů (možností, jak může kmitat a s jakými vlnovými délkami elektromagnetické vlnění v uzavřeném prostoru) rozprostírá směrem ke krátkovlnné oblasti, byl tento nezdar nazván ultrafialovou katastrofou (oblast spektra vlnových délek kratší než viditelné světlo se označuje jako ultrafialové). Planck navrhl hypotézu, že energie elektromagnetického vlnění se nemění spojitě, ale po určitých kvantech, které jsou násobkem Planckovy konstanty h. Planckova hypotéza správně vysvětlila, kolik energie obsahuje elektromagnetické pole uzavřené v určitém objemu a při určité teplotě. Roku 1907 si tuto hypotézu vypůjčil Einstein k tomu, aby stejně vysvětlil, kolik energie obsahují při určité teplotě krystalické látky, kdy použil jednoduchý model krystalu a uplatnění Planckovy hypotézy nápadně zlepšilo souhlas teoretických měrných tepel s experimentálními. Zejména vysvětlil, proč měrná tepla při nižších teplotách klesají. 6

1.2. Objev atomového jádra 1.2 Objev atomového jádra Koncem 19. století, při studiu vedení elektrického proudu v plynech, objevil anglický fyzik J. J. Thomson elektron. Náboj elektronu je záporný a jeho velikost se rovná elementárnímu náboji e. Hmotnost elektronu m e je asi 1840 krát menší než hmotnost atomu vodíku. e = 1,602 10 19 C, m e = 9, 1 10 31 kg Thomson navrhl jednoduchý model atomu tak, aby výsledný objekt, tedy atom, byl neutrální a náboj elektronů v atomu byl vykompenzován kladným nábojem. Podle něj v atomu, který obsahuje počet elektronů Z, jejichž celkový náboj je Ze, je kompenzován záporný náboj elektronů kladným nábojem +Ze. Thomson předpokládal, že kladný náboj atomu a téměř celá jeho hmotnost jsou zhruba rovnoměrně rozděleny v celém objemu atomu. Fyzikové nazývali tento model pudinkovým, přičemž měli na mysli pudink s rozinkami. Koule pudinku představovala hmotu atomu s jeho kladným nábojem, rozinky představovaly elektrony. K nové představě o struktuře atomu vedly experimenty E. Rutherforda a jeho spolupracovníků Geigera a Marsdena z roku 1911. Rutherford si jako první uvědomil, že částice α (kladně nabité částice s nábojem +2e), které vznikají při radioaktivních přeměnách látek, lze použít jako prostředek pro zkoumání struktury atomu. V experimentech se částice α z radioaktivního zdroje rozptylovaly na atomech zlata. Experiment: Částice α emitované zdrojem Z v dutině olověného bloku prochází kanálkem. Úzký svazek částic dopadá kolmo na zlatou fólii F viz obrázek 1.1. Částice, které prošly fólií a byly jí rozptýleny vyvolávají záblesky (scintilace) na stínítku S. Na stínítku je nanesena speciální látka (scintilátor), která při dopadu nabité částice nebo elektromagnetického záření vydává záblesk viz kapitola o scintilačních detektorech 10.2. Mikroskop M je určen na pozorování záblesků. V prostoru mezi stínítkem a fólií bylo zajištěno dostatečné vakuum, aby nedocházelo k dodatečnému rozptylu částic a ve vzduchu. Výsledek měření: Pokus ukázal, že téměř všechny částice α, které prošly fólií, zachovávaly původní směr pohybu, nebo byly odkloněny o velmi malé úhly. Jen několik částic bylo odkloněno o větší úhly, řádově 135 až 150. Vysvětlení: Při průchodu těžké a kladně nabité α částice elektronovým obalem, který je v atomu rozprostřen, nemůže dojít k jejímu znatelnějšímu odklonu od původního směru. Hmotnost elektronu je totiž mnohem menší než hmotnost α částice a přitom záporný náboj je rozložen rovnoměrně v celém objemu elektronového obalu, takže se částice α na elektronech prakticky nerozptylují. Jen malý počet částic α, které prolétávají v blízkosti jádra se ostře odchyluje. V malých vzdálenostech r od jádra působí na kladně nabitou částici α s nábojem 7

KAPITOLA 1. VÝVOJ POZNATKŮ O ATOMU, MODELY ATOMU Obrázek 1.1: Rutherfordův pokus - experimentální uspořádání +2e odpudivá síla jádra o velikosti. F = 1 2e Ze 4πε 0 r 2 Zde je Z počet protonů (kladných částic nacházejících se v jádře, jak zjistíme později), ε 0 je permitivita vakua (permitivita vyjadřuje elektrické vlastnosti prostředí) a e elementární elektrický náboj. Rutherford odvodil vzorec pro závislost počtu částic α, rozptýlených v určitém úhlu ϑ, na energii těchto částic E a na náboji jádra Z. Pravděpodobnost tohoto procesu vztažená na jedno rozptylové jádro byla vyjádřena účinným průřezem procesu. Účinný průřez je vlastně pravděpodobnost, že dojde k rozptylu do dané části prostorového úhlu označené dω (prostorový úhel je jednoznačně vymezen rozptylových úhlem ϑ, neboť se jedná o sféricky symetrickou úlohu), pro projektil s počáteční kinetickou energií E viz obrázek 1.2. dσ dω = (Z 1Z 2 e 2 ) 2 16E 2 1 sin 4 (ϑ/2) Odchýlení částice s nábojem Z 1 odražené od původního směru jádrem s nábojem Z 2, tj. rozptylový úhel ϑ, bude mít závislost na měnící se vzdálenosti mezi dráhou nalétávající částice a její rovnoběžkou procházející jádrem tj. srážkovým parametrem b následující viz obrázek 1.2. coth ϑ 2 = 2Eb k, k = Z 1Z 2 4πε 0 8

1.2. Objev atomového jádra E je vstupní energie částice. Z tohoto vztahu vyplývá, že pro rostoucí energii nalétávající částice E a pro pevný srážkový parametr b bude klesat rozptylový úhel. Také pro rostoucí srážkový parametr b při pevné energii nalétávající částice se bude rozptylový úhel ϑ zmenšovat. Obrázek 1.2: Prostorová část úhlu dω vztahující se k částicím nalétávajícím v prostoru ohraničeném intervalem srážkového parametru db Rutherfordův pokus Rutherfordův model atomu (planetární) předpokládá, že všechen kladný náboj je soustředěn v jádře, což je oblast zaujímající velmi malý objem ve srovnání s celým objemem atomu. Absolutní hodnota celkového záporného náboje je rovna kladnému náboji jádra. Počet protonů (kladných částic v jádře, z nichž každá nese náboj +e jak uvidíme později) v jádře je roven počtu elektronů v záporně nabitém obalu a odpovídá pořadovému číslu v Mendělejevově periodické soustavě prvků viz kapitoly 4.3. a 6.1. Hmotnost atomu je soustředěna v jádře, hmotnost elektronů v obalu je výrazně menší. Problémy Při rozptylu α částice s energií T α = 8,8 MeV na jádře uranu 238 92U bylo shledáno, že se α částice rozptylují v souladu s Rutherfordovým vztahem. Odhadněte horní mez poloměru jádra uranu. Náboje jader jsou Z α = 2, Z U = 92. Permitivita vakua je ε 0 = 8,854 10 12 F m 1. [R min 30 10 15 m] Které experimentální výsledky vyvrátily Thomsonův model? 9

KAPITOLA 1. VÝVOJ POZNATKŮ O ATOMU, MODELY ATOMU 1.3 Obtíže klasického výkladu planetárního modelu Podle klasického planetárního modelu je elektron na orbitu (uzavřená trajektorie elektronu) ve stavu dynamické stability, odstředivá síla kruhového pohybu elektronu okolo jádra je kompenzována Coulombickým přitahování jádra. Na orbitu poloměru r 10 10 m má elektron rychlost v 10 6 m s 1. Přitom dostředivé zrychlení elektronu a = v 2 /r má velikost a 10 22 m s 2. Zrychlený pohyb náboje v atomu musí být provázen vyzařováním elektromagnetických vln s frekvencí, která je rovna frekvenci otáčení elektronu kolem jádra. Vodíkový atom by musel mít spojité spektrum frekvencí emitovaného záření, což je v rozporu s experimentem, naopak pozorujeme čárové (diskrétní) spektrum. Energie elektronu by se při spojitém vyzařování zmenšovala, elektron by se neudržel na orbitu a tím pádem by atom nebyl stabilní. Atomy ale jsou stabilní objekty v přírodě, jinak by neexistovala stabilní homta. Všechny výše uvedené poznatky jsou odvozeny z klasické mechaniky a elektrodynamiky, ale jsou v příkrém rozporu s experimentálními fakty. Na model atomu nelze aplikovat klasickou fyziku. Vysvětlení nalezla až kvantová mechanika. Čárové spektrum atomu vodíku Spektrum vodíkového atomu je čárové. Pro frekvence (kmitočty) ν nm čar tohoto spektra platí Balmerův Rydbergův vzorec, který byl odvozen z experimentu. ( 1 ν nm = R n 1 ) 2 m 2 R = 3,293 10 15 s 1 je Rydbergova konstanta. Čísla n a m mohou nabývat hodnot n, m = 1, 2, 3... ; m > n a nazývají se hlavní kvantová čísla. Soubor všech spektrálních čar se stejným číslem n nazýváme sérií spektrálních čar. Nejvyšší frekvence v každé sérii s daným hlavním kvantovým číslem n odpovídá hodnotě m a nazývá se hrana série nebo spektrální term T n = R/n 2. Frekvenci můžeme psát jako rozdíl spektrálních termů T nm = T n T m. Balmer ukázal, že každý pozorovaný kmitočet lze získat rozdílem dvou různých termů, ze skupiny termů T n, T m. Jednotlivé série a jejich vznik je popsán na obr. 1.3. Na pravé straně je stupnice kmitočtů a na levé je stupnice energie. Jak vidíme na obr. 1.3 přechody v elektronovém obalu vodíku se většinou nacházejí v infračervené části spektra (tj. elektromagnetické vlnění dlouhých vlnových délek, pro lidské oko neviditelné). Lymanova série je v ultrafialové oblasti (tj. elektromagnetické vlnění krátkých vlnových délek, pro lidské oko neviditelné) a první čtyři čáry Balmerovy série jsou ve viditelné oblasti (rozsah vlnových délek elektromagnetického záření ve viditelné oblasti spektra cca 430 760 nm. 10

1.3. Obtíže klasického výkladu planetárního modelu Bohrovy postuláty: Kvantová teorie, předložená Bohrem, měla za cíl vysvětlit experimentální fakta: čárové spektrum atomu vodíku popsané Balmer Rydbergovým vztahem, vysvětlit stabilitu atomů a elektronů na elektronových orbitech a kvantový charakter emise a absorpce světla. Orbitem elektronu v atomu nazýváme množinu bodů, ve kterých je možno elektron s velkou pravděpodobností pozorovat a kde je největší elektronová hustota pro elektron s danými kvantovými čísly. Bohr stanovil následující postuláty: Postulát stacionárních stavů v atomu existují stacionární stavy (stav elektronu, který má periodickou sinusovou závislost na čase) a každému stacionárnímu stavu přísluší určitá energie E n a stacionární elektronový orbit, po kterém se elektron pohybuje. Při pohybu po orbitech, přestože se pohybují elektrony zrychleně, nevyzařují elektromagnetické záření. Atom vyzařuje kvantum energie při přechodu elektronu z vyšší na nižší orbitu. Energie tohoto kvanta je dána rozdílem energií atomu v obou jeho stacionárních stavech tj. E mn = hν m = E m E n, kde ν m je kmitočet odpovídající vyzářenému elektromagnetickému záření a hν mn je energie tohoto záření. Veličina h je Planckova konstanta viz kapitola 1.1 a je spojena s konstantou h vztahem 2π h = h; h = 1,054 10 34 J s. Kvantování orbitů ve stacionárním stavu musí elektron, pohybující se po kruhovém orbitu, nabývat diskrétních kvantovaných hodnot svého momentu hybnosti L. L = mv n r n, kde r n a v n jsou také kvantovány pomocí kvantového čísla n. Kvantovací podmínka pro moment hybnosti vyplývá z faktu, že na orbit elektronu délky 2πr se může vejít jen celistvý počet de Brogliových vlnových délek elektronu nλ, viz kapitola 2.1 (2πr = nλ, ovšem pro hybnost elektronu platí vztah p = h2π/λ, kde λ je vlnová délka odpovídající elektronu, z toho plyne pro moment hybnosti elektronu, že mvr = n h podmínka kvantování momentu hybnosti elektronu a současně platí dynamická rovnováha elektronu na stacionární orbitě ostředivá síla je vyrovnána elektrostatickým přitahováním mv 2 = e2 r 4πε 0 ). Atom vodíku se skládá z jádra nesoucího náboj +e a z jednoho elektronu r 2 s nábojem e. Vezmeme-li v úvahu, že elektron se pohybuje po stacionárním orbitu, kde je v rovnováze elektrostatické přitahování kladného jádra a odpuzování na základě odstředivého zrychlení a dále si uvědomíme, že moment hybnosti je kvantován, pak odvodíme následující vztah pro kvantování poloměru orbitu elektronu v atomu vodíku. r n = n 2 4π h2 ε 0 me 2 a následující vztah pro rychlosti elektronu na stacionárním orbitu: v n = n h mr = e2 4πε 0 n h 11

KAPITOLA 1. VÝVOJ POZNATKŮ O ATOMU, MODELY ATOMU Na druhé straně je experimentálně znám Rydbergův emirický vzorec pro vyzářený kmitočet ν nm = R ( ) 1 1 n 2 m, kde je kvantum energie rovno rozdílu spektrálních termů, což vysvětluje čárový charakter vodíkového spektra. Velkým úspěchem Bohrova modelu bylo srovnání 2 tohoto empirického vztahu a teoretického vztahu vyplývajícího z Bohrových postulátů a vypočtení, do té doby experimentálně stanovené, Rydbergovy konstanty. e náboj elektronu ε 0 permitivita vakua n hlavní kvantové číslo m hmotnost elektronu Poloměr prvního orbitu ve vodíkovém atomu, tj. pro n = 1, se nazývá (první) Bohrův poloměr. Jeho hodnota je r 1 = a 0 = 0,529 10 10 m. Je to dráha s nejnižší energií a elektron nemůže dále energii vyzářit, tím je zaručena stabilita atomu. Často se této hodnoty využívá jako jednotky délky v atomové fyzice. Celková energie elektronu E e ve vodíkovém atomu je součtem kinetické energie E k a potenciální energie E p. Potenciální energie je záporná a přísluší síle, která přitahuje elektron k jádru. e2 E p = 4πε 0 r, E K = 1 2 mv2 Energetické hladiny elektronu E n ve vodíkovém atomu závisí jen na hlavním kvantovém čísle n. Hlavním kvantovým číslem nazýváme celé číslo, které určuje energetickou hladinu elektronu ve vodíkovém atomu. Energetická hladina při n = 1 přísluší základnímu energetickému stavu a pro n > 1 přísluší vzbuzeným (excitovaným) energetickým stavům. E n = 1 2 mv2 n e2 = me4 1 4πε 0 r n 8h 2 ε 2 0 n 2 Celková energie vodíkového atomu je záporná, neboť elektron nemá dostatek energie, aby se od jádra odpoutal. Elektron může přejít na nižší energetickou dráhu (blíže k jádru) vyzářením energie E = E m E n ; m > n, vyzářená energie odpovídá Planckovu kvantu energie E = hω mn = hν mn. Rydbergovu konstantu R lze vypočítat pomocí Bohrových postulátů. Numerický výpočet výše uvedeného vzorce dává hodnotu, která s velkou přesností souhlasí s hodnotou této konstanty určenou experimentálně, což bylo považováno za velký úspěch Bohrova modelu. Bohrův model byl úspěšný také u spekter iontů vodíkového typu. Jedná se o atomy hmotnostně blízké vodíku, kterým odebereme elektrony tak, aby v elektronovém obalu zbyl jenom jeden elektron, proto mají kladný náboj podle počtu odebraných elektronů (Li ++ odebrány 2 elektrony, celkem jsou v atomu Li 3 elektrony, Be +++ odebrány 3 elektrony, celkem jsou v atomu Be 4 elektrony atd.). Pro atomy s více elektrony není Bohrova teorie schopna uspokojivě stanovit energetické hladiny atomů. 12

1.3. Obtíže klasického výkladu planetárního modelu Problémy Vyjádřete Rydbergovu konstantu pomocí základních konstant s ohledem na Bohrův ] vztah pro energii E n. [R = me4 8h 3 ε 2 0 Zamyslete se nad tím, jak mohli experimentátoři na počátku 20. století rozlišit kladné a záporné částice v experimentu. Mohli detekovat i částice neutrální? Proč byl Bohrův model nedostatečným popisem skutečného atomu? 13

KAPITOLA 1. VÝVOJ POZNATKŮ O ATOMU, MODELY ATOMU Obrázek 1.3: Schematický zápis přechodů v atomovém obalu vodíku. 14

Kapitola 2 Kvantově mechanický model atomu Kvantová mechanika je velmi zvláštní v tom, jaký je v ní vztah mezi teorií, matematickým popisem a reálnou skutečností. V teoretickém popisu, jak uvidíme za chvíli, používáme pojmy vlna, vlnová funkce, zatímco v experimentu počítáme a měříme částice. Někdy se mluví o vlnově částicovém dualismu. Musí však existovat nějaké pojítko, které by umožňovalo srovnávat experimentální fakta s předpovědí teoretického popisu. Tímto pojítkem je interpretace kvantové mechaniky. A zde leží rozdíl mezi klasickou a kvantovou mechanikou. V klasické fyzice je vztah mezi matematickým popisem a experimentálním výsledkem jasný. Pokud spočítám podle Newtonových zákonů mechaniky polohu nějaké planety, pak ji v daném místě a na daných souřadnicích mohu nalézt a změřit. Samozřejmě, že počítám s určitými nepřesnostmi, které vznikají při zaokrouhlování výpočtů nebo naopak při měření polohy, ale budu-li mít dostatek času a prostředků, mohu své výpočty a měření libovolně zpřesnit. Kvantová fyzika dává ovšem jen pravděpodobnostní výsledky a předpovědi i tehdy, popisujeli jen jednu částici. Výsledkem výpočtu může pak být např. vlnová funkce elektronu v atomu vodíku, která popisuje pohyb elektronu v prostoru a čase s ohledem na to, že je vázán jádrem ve spojeném systému atomu. Je to analogické tomu, jako když bychom uzavřeli elektromagnetické záření do krychle a snažili se určit všechny možné typy módů vlnění, kterých v této krychli může nabývat v závislosti na velikosti krychle. Kvantová teorie nám však neřekne, že elektron bude v tomto místě v tomto konkrétním čase, i kdybychom počítali sebepřesněji. Výsledky kvantové fyziky v sobě mají prvek náhody. Většinou ovšem kvantovou fyziku aplikujeme na velké soubory částic, takže nám statistické předpovědi nevadí. 15

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU 2.1 De Broglieho hypotéza Na počátku 20. století se fyzikové přeli o to, zda je podstatou elektromagnetického záření vlnění nebo částice. Již se zdálo, že je spor rozhodnut a jedná se o vlnění, avšak pak byly objeveny částice fotony, jako kvanta světla, které mají vlastnosti částic. Na začátku 20. let vyšel De Broglie z opačné představy o částicové podstatě záření světlo je tok fotonů, kde energie fotonu E a jeho hybnost p jsou vyjádřeny vztahy: E = hω, p = hk, k = ω c = 2π λ Frekvence je ω, λ je vlnová délka a k je vlnový vektor a jsou to veličiny definující vlnu ve volném elektromagnetickém poli s energií E. Příslušná vlna má tvar: A(r, t) = A 0 [cos(ωt kr) + sin(ωt kr)] Přitom A 0 je konstantní vektorová amplituda monochromatické vlny (realizuje se v ní jedna vlnová délka). Výše uvedené dvě rovnice reprezentují vzájemné přiřazení elektromagnetických (vlnových)a mechanických (částicových) vlastností fotonů. Známe-li mechanickou hybnost p, víme jak vypadá vlna a známe-li vlnovou délku λ, víme jaká je hybnost a energie fotonu. De Broglie vyslovil myšlenku, že pokud toto platí pro fotony, mělo by to také platit pro elektrony. Pro částici s nenulovou hmotností bude platit: ωλ = 2πv = 2π p 2m, kde je hybnost p vyjádřena pomocí klasické mechaniky. Částicově vlnový charakter by se tím nastolil i pro částice s nenulovou hmotností. Částicový charakter byl prokázán při Comptonově jevu pro elektromagnetické záření (částice fotony) viz kapitola 5.6. Problém Vypočtěte frekvenci f kruhového pohybu elektronu v klasickém modelu vodíkového atomu. Ve které oblasti spektra jsou elektromagnetické vlny s tímto kmitočtem? Využijte faktu, že experimentálně zjištěná hodnota vazbové energie elektronu v atomu vodíku je 13,6 ev. [E = 2π hν, ν = 3,3 10 15 s 1 ; λ = c/ν 90 nm oblast ultrafialového záření ] 2.2 Elektron v kubickém monokrystalu Chceme-li osvětlit, jak budeme aplikovat kvantově mechanický popis na elektron v atomu vodíku, zkusme nejdříve odvodit jednodušší problém, kdy se elektron bude nacházet v potenciálu tvaru krychle, jejíž stěny budou nekonečně vysoké, takže se nebude moci dostat ven. Bude nás zajímat, jaké vlnové funkce elektronu se v tomto případě budou realizovat. Uvažujme elektron, který se nachází v kubickém monokrystalu o délce hrany L. Prostředí, 16

2.2. Elektron v kubickém monokrystalu kde se elektron pohybuje považujeme za homogenní a charakterizujeme jej potenciální energií, která bude uvnitř krystalu konstantní a rovná nule a vně krystalu prudce vzroste na hodnotu V 0 =. Celková energie elektronu E pak bude E = k2 h 2 2m e + V (x, y, z) E je celková energie elektronu a p = hk je jeho klasická hybnost. Nerelativistická rovnice popisující pohyb elektronu v kubickém monokrystalu, která vychází ze vztahu pro celkovou energii elektronu, bude mít následující tvar a nazývá se Schrödingerova rovnice: k 2 h 2 2m e + V (x, y, z) = h2 k 2 2m e ( = h2 k 2 x + ky 2 + kz 2 = 2m e ( ) = h2 2 2m e x + 2 2 y + 2 = Eψ(x, y, z) 2 z 2 V kvantové mechanickém popisu jsme přešli od k x x a k y, k 2 z jsme nahradili y 2 a. Je to přechod od vztahu pro celkovou energii elektronu v potenciálu kubické z2 potenciálové jámy k rovnici, která popíše jeho pohyb uvnitř krystalu (přechod ke kvantově mechanickému popisu). Složky vlnového vektoru k jsou nahrazeny operátory viz [7], [4]. Jedná se o zjednodušenou Schrödingerovu rovnici, kde bereme v úvahu nulový potenciál V (x, y, z) = 0 pro x, y, z < L/2, tedy uvnitř krystalu. Řešení této rovnice, tedy možné vlnové funkce, které ji budou splňovat, popisují realizované stavy elektronu v kubickém monokrystalu a nazýváme je vlastními vlnovými funkcemi (vlnové proto, že mají většinou tvar sinových a kosinových funkcí). Řešíme rovnici separací proměnných, kdy rozepíšeme vlnovou funkci jako Současně bude platit pro celkovou energii ψ(x, y, z) = ψ(x)ψ(y)ψ(z) E = E x + E y + E z E x, E y a E z jsou složky celkové energie pro pohyb podél jednotlivých souřadnicových os. Po separaci proměnných vznikne trojice analogických rovnic pro všechny souřadnice x, y, z, které můžeme řešit zvlášť. Pro souřadnici x: h 2 2m e d 2 dx 2 ψ(x) = E xψ(x) (+) Vlnová funkce ψ(x), která bude řešením výše uvedené rovnice, musí být spojitá i na hranici monokrystalu, protože předpokládáme vně monokrystalu nekonečný potenciál, nemůže se ) 17

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU částice nacházet v poloze s x L/2. Musí tedy splňovat okrajovou podmínku, že bude nulová na hranici monokrystalu: ψ(x = ±L/2) = 0 Rovnici (+) pro vlnovou funkci ψ(x) vyhovují dvě nezávislá řešení ψ 1 (x) = A sin k x x ψ 2 (x) = B cos k x x kde konstanty A a B ve ψ 1 (x) a ψ 2 (x) určíme z podmínky, že integrál přes prostor potenciálové jámy musí být roven jedné po vypočtení integrálu dostáváme +L/2 L/2 ψ 1(x)ψ 1 (x)dx = +L/2 A 2 sin 2 (k x x)dx = 1 L/2 a pro druhé nezávislé řešení +L/2 A 2 sin 2 (k x x)dx = L 2 A2 = 1 L/2 +L/2 B 2 cos 2 (k x x)dx = 1 L/2 +L/2 B 2 cos 2 (k x x)dx = L 2 B2 = 1 L/2 Z výše uvedených rovnic dostáváme hodnoty konstant A a B: A = B = ( ) 1/2 2 L Částice se s určitostí bude nacházet uvnitř krystalu. Po výpočtu konstant A, B, viz výše, nebo [1], [7], dostaneme A = B = ( 2 1/2. L) Dále přepíšeme okrajovou podmínku pro vlnové funkce ve tvaru: pro ψ 1 A sin k x x(x = ±L/2) = 0 = k x = n x L, n x = 2, 4, 6,... 18

2.3. Interpretace vlnové funkce a pro ψ 2 B cos k x x(x = ±L/2) = 0 = k x = n x L, n x = 1, 3, 5,... a toto vyjádření dosadíme do řešení ψ 1 (x) a ψ 2 (x) spolu s vypočtenými konstantami A, B. Dostáváme tak normované stacionární stavy (vlastní vlnové funkce) elektronu v kubickém monokrystalu a rovněž vlastní energie příslušející těmto stavům. ψ 1 (x) = ψ 2 (x) = ( ) 1/2 2 sin n xπx L L ( ) 1/2 2 cos n xπx L L E x = k2 x h 2 2m e = h2 2m e π 2 L 2 n2 x n x = 1, 2, 3... Protože se jedná o periodické řešení, bude rovnice splněna pro každé n x, které bude nabývat celých čísel a tedy můžeme jej nazvat kvantovým číslem, neboť řešení se realizují pouze pro celá čísla n x a stejně tak energie je kvantována prostřednictvím tohoto kvantového čísla. Analogické vlnové funkce a energie dostaneme pro souřadnice y a z. Výsledná energie pak bude dána kvantovými čísly n x, n y a n z, která odpovídají třem možným směrům pohybu elektronu (stupňům volnosti) v kubickém krystalu. E x = h2 2m e π 2 L 2 (n2 x + n 2 y + n 2 z) n 2 = n 2 x + n 2 y + n 2 z Nakonec máme jediné číslo n, které charakterizuje celkovou energii elektronu vázaného v krystalu, ale tato energie se může realizovat několika způsoby. Např. n x = 2, n y = 1, n z = 1, n = 6 vede ke stejné hodnotě energie jako kombinace n x = 1, n y = 1, n z = 2, n = 6 nebo n x = 1, n y = 2, n z = 1, n = 6. Říkáme proto, že příslušná energie E = E n pro n = 6 je trojnásobně degenerovaná. 2.3 Interpretace vlnové funkce Dalším úkolem bylo vysvětlit význam vlnové funkce. Pohybový zákon pro mikročástice, kde vystupuje vlnová funkce částice, je Shrödingerova rovnice viz kapitola 2.1. Interpretace vlnové funkce mikročástice má analogii v elektrodynamice. Elektromagnetickou vlnu popisujeme pomocí vektorového potenciálu A(r, t). Hustota elektromagnetického pole u je 19

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU úměrná kvadrátu této veličiny u A(r, t) 2, kde je absolutní hodnota, neboť vektorový potenciál můžeme popisovat i komplexní funkcí. Pokud dopadá elektromagnetické vlnění na fotografickou desku, pozorujeme osvětlená zrna světlo citlivé látky. Můžeme říci, že podle intenzity osvětlení daného místa lze usoudit na pravděpodobnost výskytu fotonu. Tedy veličina hustota energie elektromagnetického pole definuje současně i hustotu pravděpodobnosti výskytu fotonu daném místě. Vzhledem k tomu, že s elementárními částicemi lze provádět stejné difrakční a interferenční experimenty jako s fotony (kvanty elektromagnetického záření), spočívá fyzikální význam vlnové funkce v tom, že kvadrát její absolutní hodnoty definuje hustotu pravděpodobnosti výskytu částice v daném místě. Tedy pravděpodobnost dw, že se polohový vektor částice r bude nacházet v intervalu polohových vektorů (r, r + dr) bude rovna dw = ψ(r, t) 2 dr = ψ (r, t)ψ(r, t)dr kde ψ je komplexně sdružená funkce k funkci ψ (Pokud je ψ reálná funkce bez imaginární jednotky i, pak ψ = ψ). Integrál přes celý prostor V w = dw = ψ (r, t)ψ(r, t)dr V V udává celkovou pravděpodobnost, že částice někde v prostoru bude a dw udává relativní pravděpodobnost. Vlnová funkce ψ(r, t) je určena Schrödingerovou rovnicí až na konstantu a tu můžeme odvodit z výše uvedené rovnice a předpokladu, že tento integrál je 1, tj. že částici s pravděpodobností jedna najdeme v objemu V. Vrátíme-li se k jednoduššímu příkladu elektronu v kubickém monokrystalu, chceme také vědět, jaká bude nejpravděpodobnější poloha elektronu v krychli, určená souřadnicemi x, y, z. Můžeme spočítat střední hodnotu polohy částice x na souřadnici x, tedy nejpravděpodobnější polohu na souřadnici x, na které se bude elektron v kubickém monokrystalu nacházet. x = ψ (x)xψ(x)dx/ = 2/L +L/2 L/2 x sin 2 (k x x) dx ψ (x)ψ(x)dx = Výše uvedený integrál je lichou funkcí na intervalu L/2; L/2. x = 0 Budeme-li tedy měřit polohu elektronu v krychli, zjistíme, že jsme naměřili hodnotu x nepřesně, že nejpravděpodobnější je střední hodnota x, která se v případě problému elektronu v krychli rovná 0. Znamená to, že elektron kmitá okolo nulové hodnoty ve směru osy x s určitou nepřesností. Tuto nepřesnost můžeme odhadnout nejlépe pomocí střední kvadratické odchylky. ( x) 2 = ψ (x)(x x) 2 ψ(x)dx/ ψ (x)ψ(x)dx = x 2 x 2 = 20

2.3. Interpretace vlnové funkce = 2/L +L/2 L/2 x 6 sin 2 (k x x) dx > L2 24 V souladu s výše uvedenými rovnicemi můžeme určit střední hodnotu a střední kvadratické odchylky libovolné veličiny např. střední hodnotu složky hybnosti p x a stední kvadratickou odchylku složky hybnosti ve směru x ( p x ) 2. ( p x ) 2 = h 2 k 2 x = h2 π 2 Pro elektron v kubickém monokrystalu vyplývá, že střední kvadratické odchylky polohy a složky hybnosti splňují nerovnost nazývanou relace neurčitosti : L 2 n 2 x ( p x ) 2 ( x) 2 h2 4 Z této nerovnosti vyplývá, že složka hybnosti a polohového vektoru nemůže současně nabývat ostrých středních hodnot, ale je charakterizována jistým rozmazáním hodnoty, které je dáno střední kvadratickou odchylkou. Budeme-li se snažit náš elektron co nejlépe lokalizovat a začneme zmenšovat krychli, ve které se nachází, abychom upřesnili jeho polohu, zjistíme že vzrůstá jeho hybnost. Složka hybnosti p x pak bude mít velkou neurčitost (střední kvadratickou odchylku) v souladu s relacemi neurčitosti. Pokud je vlnová funkce popisující částici např. blízká sinusoidě (ψ sin(kx) = sin( x)), pak se její hybnost nachází v úzkém p h intervalu p + p a v souladu s relacemi neurčitosti je nepřesnost polohy je velká. Experiment Vlnové vlastnosti bylo také třeba prokázat. Přistoupilo se tedy k typickému difrakčnímu experimentu. C. Davisson a L. Germer v roce 1927 odstřelovali kolimovaným svazkem elektronů o známé energii povrch monokrystalu niklu. Elektrony dopadaly kolmo na krystal a rozptylovaly se pod různými úhly ϕ měřenými od osy dopadu svazku. Počet rozptýlených elektronů na úhlu ϕ vykazoval závislost odpovídající Braggově podmínce pro difrakci elektromagnetického vlnění o téže vlnové délce na daném krystalu. Difrakční vlastnosti pozorované u elektronů nejsou typickým jevem jen pro ně, později byly vlnové vlastnosti dokázány i u jiných těžších elementárních částic i atomů. Běžně se využívá těchto vlastností u neutronů pro studium struktury krystalických látek. Problém Odhadněte řádově rozměry mřížky, na které bychom mohli pozorovat difrakci elektronů o energii E = 200 kev. [10 12 m]. 21

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU 2.4 Kvantově mechanický model vodíku Kvantově mechanická analýza atomu vodíku má pro fyziku základní význam, neboť se jedná o nejjednodušší atomární systém a teoretické předpovědi na něm lze dobře testovat. Při řešení této úlohy budeme postupovat jako v případě elektronu uzavřeného v kubickém monokrystalu s tím rozdílem, že Schrödingerova rovnice je komplikovanější. Řešíme problém s potenciálem, který je sféricky symetrický a proto dostáváme kvantová čísla, která odpovídají této symetrii (pracujeme nikoli v kartézských souřadnicích x, y, z, ale ve sférických r, ϑ, ϕ). Vlastní funkce (stacionární stavy) vázaného stavu elektronu v atomu vodíku jsou charakterizovány třemi kvantovými čísly, hlavním kvantovým číslem n = 1, 2, 3,..., vedlejším kvantovým číslem l = 1, 2, 3,..., a magnetickým kvantovým číslem m = 0, ±1, ±2,... ± l. Vlastní funkce jsou řešením Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku. Tato rovnice je základní rovnicí nerelativistické kvantové mechaniky a popisuje zákon zachování celkové nerelativistické energie ve vázaném systému jádra a elektronů. Vlnové funkce splňující tuto rovnici popisují obecně chování kvantově mechanického systému. Schrodingerovu rovnici pro stacionární stavy elektronu s energií E n vázaného v atomu vodíku, ve sféricky symetrické potenciálové jámě (elektrostatické přitahování jádra) lze napsat v následujícím tvaru, kde první člen na levé straně je operátor kinetické energie systému a druhý člen potenciální energie: ( h 2 ( 2 2m e x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 ) ) + V (r) ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) Vlnové funkce (stacionární stavy) vázaného elektronu musí vyhovovat okrajovým podmínkám tj. chování vlnové funkce na okraji potenciálové jámy je definováno tak, že předpokládáme-li nekonečně hlubokou potenciálovou jámu, je potenciál uvnitř r < a, nulový V (r) = 0 a vně r > a je potenciál nekonečně velký V (r) = + tj. pro prostor vně potenciálu bude vlnová funkce elektronu rovna nule ψ(x, y, z) = 0. Přejdeme ke sférickým souřadnicím, protože je potenciál sféricky symetrický, známou transformací x = r sin ϑ cos ϕ, r 0, y = r sin ϑ sin ϕ, ϑ 0, π z = r cos ϕ, ϕ 0, 2π Výslednou rovnici budeme řešit separací proměnných: ψ(x, y, z) = R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) Výsledné vlnové funkce popisující kvantově mechanický systém jednoho elektronu v coulombickém poli jádra mají tzv. radiální R(r) a úhlovou část Θ(ϑ)Φ(ϕ). Z názvu je patrné, 22

2.4. Kvantově mechanický model vodíku že radiální část popisuje pohyb elektronu v závislosti na radiálním vektoru r a úhlová část popisuje závislost pohybu elektronu na úhlech ϑ a ϕ. Vlnovým funkcím ψ(x, y, z) = R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) se také říká orbitaly. Parametr a 0, který vystupuje v radiálních funkcích je tzv. Bohrův poloměr atomu vodíku. Normované radiální a úhlové části vlnových funkcí vodíkového typu jsou tabelovány viz tabulky 2.1 a 2.2. V tabulkách se uvádějí většinou normované vlnové funkce, které splňují podmínku normalizace, tj. počítáme-li integrál součinu normované vlnové funkce a funkce k ní komplexně sdružené přes celý prostor, dostáváme jedničku, což je vlastně pravděpodobnost, že se částice někde v celém prostoru nachází. Tabulka 2.1: Tvary radiálních funkcí pro různá kvantová čísla n, l Kvantová mechanika podstatně zpřesnila Bohrův postulát o kvantování momentu hybnosti (impulsmomentu) L i elektronu v atomu. Orbitálním kvantovým číslem l elektronu v atomu nazýváme celé číslo, které určuje možné hodnoty L i elektronu vztahem: L i = l(l + 1) h Možné hodnoty se liší v kvantové mechanice od hodnot kvantovaných v Bohrově modelu tím, že kromě hlavního kvantového čísla n tam vystupuje odmocnina z výrazu l(l+1). Podle kvantového popisu může nabývat impulsmoment hodnoty 0, existují totiž takové stavy elektronu v atomu, při kterých má elektron nulový moment hybnosti. V Bohrově teorii by jim příslušel orbit procházející jádrem atomu. Jak ukazují experimenty, takové stavy 23

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU Tabulka 2.2: Tvary kulových funkcí pro různá kvantová čísla l, m existují. Hodnoty orbitálního kvantového čísla l elektronu jsou v atomové fyzice a současně chemii základním faktorem pro klasifikaci (systematiku) elektronových stavů v atomech a molekulách. Stavy s l = 0, 1, 2, 3,... mají přiřazena následující označení s, p, d, f,... a dále dle abecedy. V kvantové mechanice přísluší různým hodnotám l rozdílné rozložení hustoty pravděpodobnosti výskytu elektronu okolo jádra. Vektor L i momentu hybnosti elektronu nemůže být v prostoru orientován libovolně. Orientace vektoru L i ve vnějším magnetickém poli s indukcí B je charakterizována průmětem L ib vektoru L i do směru indukce B, pro tento průmět zřejmě platí: L ib = L i cos α, L ib = m h, m = 0, ±1, ±2,... ± l Prostorovým kvantováním nazýváme postup, který nedovoluje průmětům L ib nabývat 24

2.5. Ověření existence elektronových hladin libovolných hodnot. Celé číslo m určuje možné hodnoty L ib a nazýváme jej magnetickým kvantovým číslem, neboť charakterizuje chování impulsmomentu elektronu v magnetickém poli. Vektor L i má v prostoru 2l + 1 orientací, odpovídajících jeho možným průmětům do směru vnějšího magnetického pole. Problém Jaký je rozdíl mezi klasickým přístupem Bohrova modelu atomu vodíku a kvantově mechanickým modelem atomu vodíku? V čem vidíte největší rozdíl? 2.5 Ověření existence elektronových hladin Dnes již klasický pokus, ve kterém byla dokázána existence elektronových hladin v obalu atomu je pokus J. Francka a G. Hertze z roku 1913. Byla použita speciální trioda viz obrázek 2.1, která byla naplněna parami rtuti. Elektrony uvolněné ze žhavené katody K jsou urychleny potenciálem V m mezi katodou a mřížkou M. Elektrony po průchodu mřížkou postupují k anodě A. Mezi anodou a mřížkou je udržován brzdící potenciál řádově 0,5 V. Měří se voltampérová charakteristika triody tj.proud I v závislosti na V m. Charakteristika má ekvidistantní maxima, první při 4,9 V a další při jeho celistvých násobcích. Proud nejprve roste ve shodě se zákonitostmi vedení proudu v plynech. Elektrony ztrácejí energii jenom pružnými srážkami s atomy rtuti, protože se energie elektronů příliš nemění, většina projde brzícím potenciálem k anodě a přispívá k proudu I. Tento mechanismus je narušen, když energie dosáhne jisté energie E 1, to je energie, kterou atom rtuti může přijmout, aby přešel do excitovaného stavu. Obrázek 2.1: Frankův Hertzův pokus experimentální uspořádání a měření voltampérové charakteristiky anodového obvodu 25

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU V jedné srážce předá elektron velkou část své energie atomu a tím jej excituje, sám však nemá dostatečnou energii, aby prošel brzdícím potenciálem k anodě a dochází k prudkému poklesu proudu I. Atomy rtuti se vracejí po určité době do základního stavu a dojde k vyzáření fotonů o energii E 1 = 4,9 ev. Experimenty zkoumající mechanismus srážek elektronů s atomy měly významný vliv pro ověření kvantových energetických stavů atomů. Problémy Spočítejte, jakou vlnovou délku naměřili při Franck Hertzově pokusu, když došlo k deexcitaci o E 1 = 4,9 ev. [253,7 nm] Navrhněte experiment, kde bychom mohli jinak ověřit existenci elektronových hladin. 26

Kapitola 3 Magnetické vlastnosti atomu 3.1 Moment hybnosti elektronu Moment hybnosti elektronu l je důležitá charakteristická veličina. Pohyb nabité částice je spojen vždy s magnetickým momentem (vytvoření proudové smyčky), jak víme z elektrodynamiky. Magnetické momenty lze měřit v několika typech experimentů např. měření jemné struktury spektrálních čar atomů, měření vlivu vnějšího elektromagnetického pole na energetické stavy atomů a měřením magnetických momentů atomů metodou atomárních svazků v nehomogenním magnetickém poli. Pokud vlnová funkce částice má závislost ψ(x) cos(k x x) + sin(k x x), nalezneme při každém měření hybnosti částice hodnotu p x = hk x. S momentem hybnosti částice l, nábojem q a hmotností m je svázán magnetický moment µ následujícím vztahem µ = e h l. Ve většině 2m případů definujeme tzv. význačný směr, který odpovídá směru magnetického pole. Projekce magnetického momentu do význačného směru (často to bývá osa z) je µ z = e h 2m l z. Veličina e h se nazývá Bohrův magneton, označuje se µ B a tvoří vlastní kvantum magnetického 2m e momentu elektronu. Orbitální magnetický moment elektronu lze přepsat jako µ = γ l, kde veličina γ = e 2m e se nazývá gyromagnetický poměr. Experimentálně určíme velikost magnetického momentu částice podle síly, která na částici působí v nehomogenním magnetickém poli. Takové měření magnetického momentu provedl O. Stern a W. Gerlach v roce 1922, viz obrázek 3.1. Stern Gerlachův experiment Atomy nebo jiné částice procházejí nehomogenním magnetickým polem, které míří kolmo na směr jejich pohybu. Chovají se jako malé tyčové magnety, jsou přitahovány do směru, v němž magnetické pole roste. Síla, která přitom působí na atomy, je úměrná velikosti projekce jejich magnetického dipólového momentu µ z ve směru vektoru magnetického pole. 27

KAPITOLA 3. MAGNETICKÉ VLASTNOSTI ATOMU Obrázek 3.1: Schéma Stern Gerlachova pokusu Protože µ z je úměrné l z (projekci momentu hybnosti do význačného směru), je to také dělení částic podle momentu hybnosti. Tento pokus je třeba provést se svazky atomů, které mají jeden elektron v nezaplněné slupce, uzavřené elektronové slupky k magnetickému momentu atomu nepříspívají a studujeme tedy jen magnetický moment nespárovaného elektronu (viz kapitola 4.2). Oproti očekávanému výsledku, že se svazek v nehomogenním magnetickém poli bude rozptylovat, protože nehomogenní pole bude postupně natáčet magnetický dipolóvý moment elektronu, ukázalo se, že ve spektru jsou dvě výrazně stopy viz obrázek 3.1. Tento závěr odpovídá kvantově mechanické interpretaci, že projekce magnetického momentu nabývá pouze dvou diskrétních hodnot, dochází ke kvantování. 3.2 Magnetooptické jevy Další jevy, kdy dochází k rozštepení čar ve spektru atomů, se nazývají magnetooptické. Příkladem je Zeemanův jev. Elektron ve vnějším magnetickém poli orientovaném ve směru z získává energii 28

3.2. Magnetooptické jevy U m = e 2m e Bl z l z je projekce orbitálního momentu hybnosti (impulsmomentu). První experiment provedl P. Zeeman v roce 1896 se sodíkovými parami v přítomnosti magnetického pole B = 2 3 T. Vybraná sodíková čára se přitom rozštěpila na 3 komponenty. Tento systém čar nazýváme multiplet. Schéma pokusu vidíme na obr 3.2. Obrázek 3.2: Schéma normálního Zeemanova jevu Elektron přechází z excitovaného stavu p do základního stavu s. Pokud je magnetické pole B vypnuto, vyzáří se jeden foton s kmitočtem ν 0, takže ve spektru pozorujeme čáru odpovídající této frekvenci. V přítomnosti magnetického pole se stav p rozštěpí na triplet a ve spektru pozorujeme tři čáry, kterým přísluší frekvence: ν 1 = ν 0 ν, ν 2 = ν 0, ν 3 = ν 0 + ν, a pro ν platí ν = E 2π h = µ BB 2π h Pro většinu elektromagnetických přechodů je však výsledek experimentu odlišný, pozoruje se rozštěpení na jiné multiplety a liší se rovněž jejich vzdálenost a nazývá se normální 29

KAPITOLA 3. MAGNETICKÉ VLASTNOSTI ATOMU Zeemanův jev. Výše popsaný tzv. anomální Zeemanův jev přispěl významně ke studiu magnetických vlastností atomu. Zeemanův jev se také úspěšně používá při studiu štěpení čar ve spektrech hvězd např. našeho Slunce, pomocí nichž byla prokázána přítomnost magnetického pole v okolí slunečních skvrn. Problémy Uveďte některé měřící metody využívající magnetického momentu elektronu nebo atomového jádra. (podrobně viz např. kapitola 6.3 nebo v publikaci [3] metoda ESR elektronová spinová rezonance metoda NMR jaderná magnetická rezonance) Bude chování elektronu v atomu ovlivněno vnějším magnetickým polem a jak? 3.3 Zavedení spinu Atom se tedy chová jako magnetický dipól. Umístíme-li ho do vnějšího magnetického pole, bude jeho energie závislá na tom, jak je jeho dipólový moment orientován. Experimenty nasvědčovaly tomu, že kromě magnetického pole vytvářeného oběhem elektronů, existuje v atomu ještě jiné magnetické pole. V roce 1927 vyslovili S. G. Goudsmit a G. E. Uhlenbeck hypotézu, že elektron má moment hybnosti (impulsmoment) spojený s pohybem okolo své vlastní osy a byl nazván spin (anglicky vrtět se, otáčet se). Spinový impulsmoment elektronu má pouze dvě možné projekce, hodnotu s z = ±1/2 h; s z = m S h m S = ±1/2, kde m S je magnetické spinové číslo, nabývá dvou možných hodnot pro elektron ±1/2 a kvantuje spinový moment hybnosti. Se spinem je spojena projekce magnetického spinového momentu do význačného směru µ z = e h = γs z. I zde můžeme zavést gyromagnetický 2m e poměr γ = e/m e a vidíme, že je dvojnásobný ve srovnání s gyromagnetickým poměrem pro orbitální magnetický moment γ = e/2m e. Magnetický moment volného elektronu je dán magnetickým spinovým momentem a jeho velikost je dána Bohrovým magnetickým momentem µ B = e h, avšak magnetický moment atomu je dán vektorovým součtem všech 2m e magnetických spinových a orbitálních momentů elektronů v atomovém obalu. Hypotéza o spinu byla potvrzena pokusem Stern Gerlachova typu s použitím elektronového svazku. Svazek elektronů se v nehomogenním magnetickém poli rozštěpil na dva dílčí svazky jeden se spinovým momentem hybnosti 1/2 h a druhý 1/2 h. Spin není impulsmomentem v pravém slova smyslu, neboť nabývá neceločíselných hodnot. Jeho podstata není zcela objasněna. Velikost vektoru spinu je s = h s(s + 1) = h 3/4. Spin je dalším kvantovým číslem, které charakterizuje částici spolu s ostatními kvantovými čísly, které definují polohu a orbitální impulsmoment. Stejně jako elektron má spin 1/2 a foton 1, mají svůj spin i ostatní elementární částice. Některé mají spin nula, ty jsou skalárem ve spinorovém prostoru, některé mají spin 1/2 30

3.4. Spin orbitální interakce např. proton, neutron a nazývají se fermiony. Částice s celočíselným nenulovým spinem se nazývají bosony. 3.4 Spin orbitální interakce Víme, že relativně intenzívním zdrojem magnetického pole v atomu je orbitální pohyb elektronu a navíc elektronu přísluší vlastní magnetický moment, který je spojen se spinem. Můžeme tedy očekávat, že po coulombické interakci další významná interakce mezi elektrony v atomovém obalu bude spin orbitální interakce. Zdrojem této interakce je sám elektron, jeho náboj a magnetický moment. Vnitřní magnetické pole vytvářené orbitálním momentem dodá do Schrödingerovy rovnice nový člen, potenciální energii spin oribitální vazby U ls E 0, kde E 0 je energie původního stacionárního stavu elektronu. Pro spin orbitální vazbu platí U ls = e h 2m e f(r)(s l) f(r) je obecná funkce velikosti polohového vektoru r. Porucha U ls se někdy nazývá vazba ls nebo spin oritální vazba, protože je způsobena vzájemnou interakcí magnetických momentů, spojených s momentem hybnosti l a s spinovým momentem elektronu a štěpí původní neporušený energetický stav E 0 na tolik stavů, kolik je přípustných hodnot skalárního součinu vektorů l a s. Orbitální a spinový moment se skládají jako dvě vektorové veličiny na výsledný celkový impulsmoment j = l + s elektronu. Jak bylo uvedeno dříve, spin nabývá dvou hodnot, dvou možných projekcí, které se skládají paralelně nebo antiparalelně s projekcí orbitálního impulsmomentu do význačného směru j z = l z ± 1/2 h. Výpočet pohybu elektronu v poli jádra byl plně popsán až Diracovou rovnicí, což je obdoba Schrödingerovy rovnice, ovšem popisuje systém se započtením teorie relativity. Z Diracovy rovnice, jak se ukázalo, spin orbitální vazba vyplyne bez toho, aniž bychom ji dodatečně zaváděli pomocí členu spin orbitální interakce. Diracova rovnice však dává pro energetický term porušený spin orbitální interakcí následující výraz: ( T nj = RZ2 + α2 RZ 4 1 n 2 n 3 j + 1/2 3 ) = T n + T nj 4n kde T n = E n 2π hc. První člen je neporušená hladina a druhý je tzv. vzorec jemné struktury, díky němu pozorujeme porušení hladin jako jemnou vnitřní strukturu čar ve spektru. Rozpor mezi Schrödingerovou a Diracovou rovnici je způsoben tím, že Schrödingerova rovnice je nerelativistická. Velikost rozštěpení hladin je dána konstantou jemné struktury α, (α 2 = 5,32 10 5 ). Konstanta jemné struktury obsahuje univerzální konstanty. 31

KAPITOLA 3. MAGNETICKÉ VLASTNOSTI ATOMU α e2 4πε 0 hc Jemná struktura se vyskytuje nejenom u vodíku a jemu podobných atomů, ale i u ostatních atomů, kde je výpočet složitější. Problémy Použijte Diracův vztah pro jemnou strukturu termů a vypište spektrální označení termů v atomu vodíku pro n = 3. Kolik komponent jemné struktury má hladina atomu vodíku s hlavním kvantovým číslem n = 3? [n = 3 l = 0, 1, 2(S, P, D), j = l ± 1/2 l = 0, j = 1/2 nebo l = 1, j = 1/2, 3/2; l = 2, j = 3/2, 5/2. Počet komponent je dán počtem j, pro dané kvantové číslo n = 3, tj. 5 komponent: 3S 1/2, 3P 1/2,3/2, 3D 3/2,5/2 ]. Navrhněte způsob, jak bychom změřili spin elektronu nebo jiné elementární částice. 32