3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

Transkript

1 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet - soustava se silami a jejich působišti je v klidu, popřípadě v rovnoměrném přímočarém pohybu - vnější síly s reakcemi tvoří rovnovážnou soustavu sil, která vyvolává v průřezech hledaná přetvoření a napětí; vnitřní síly určíme tedy z podmínek rovnováhy Rozdíly - soustavu uvažujeme v obecném pohybu takže je zatížena setrvačnými silami - reakce, přetvoření a napětí v průřezech určujeme v závislosti na čase a hledáme jejich největší hodnoty; vnitřní síly musí uvést v rovnováhu s dynamickým zatížením nejen vnější síly, ale i setrvačné síly

2 Dynamický výpočet se provádí, když - konstrukce nebo její část se pohybuje - působící síly mění svou velikost v čase (např. periodicky) - působící síly se pohybují po konstrukci - zatížení začne působit náhle nebo během velmi krátké doby významně změní svou velikost 3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 1. Zákon - Zákon setrvačnosti Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není donuceno působením vnější síly tento stav změnit. v konst. je - li 0 ( síla )

3 Newton charakterizoval velikost pohybu hybností. Vektor hybnosti má směr totožný s vektorem rychlosti. H m v kde m je skalár hmoty Jinak 1. zákon Bez vnějšího působení zachovává těleso svoji hybnost. Příklad: Rovnoměrný přímočarý pohyb je charakterizován hybností konstantní velikosti a směru.. Zákon - Zákon síly (základní zákon dynamiky) Změna hybnosti může nastat pouze působením síly d H d ( m v) [ kgms - N ] dt dt

4 dv Nemění-li se při pohybu hmotnost m m a dt Def.: Zrychlení je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné velikosti zrychlované hmoty. Hmota m je měřítkem odporu, který hmotný bod klade proti svému zrychlení či zpoždění a proto se veličině m říká setrvačná hmota. 1N odpovídá přibližně tíze tělesa o hmotnosti 0,1 kg. 3. Zákon - Zákon akce a reakce Dvě tělesa na sebe působí silami, které jsou stejně veliké, leží na stejném paprsku a jsou opačně orientované 1 1 akce reakce

5 - V klidu a v rovnoměrném přímočarém pohybu se tyto síly ruší a vzniká tlak mezi tělesy - Pokud těleso mění svou rychlost, působí proti zrychlující síle odpor setrvačnosti, který je stejně veliký jako zrychlující síla m a m a je síla setrvačná Na tomto je založen princip D'Alembertův Př. Zdviž se pohybuje s člověkem a) se zrychlením (+a) vzhůru při pohybu vzhůru tělo člověka tlačí na podlahu svojí vahou a navíc setrvačnou reakcí G + m a celková síla na podlahu b) se zrychlením (-a) dolů G m a m g m a m g a ( )

6 Etrémní případ - volný pád - a g m( g g) 0 a tlak člověka na podlahu by byl nulový. Inerciální soustavy souřadnic jsou vůči stálicím v klidu nebo se vůči nim pohybují rovnoměrně přímočaře. Nejvhodnější SS pro naše výpočty: Za inerciální budeme považovat soustavu souřadnic, která je v absolutním klidu.

7 3.. Dynamika hmotného bodu Základní pojmy Pro každý hmotný bod napsat základní Newtonovu pohybovou rovnici, čímž lze určit pohyb hmotného bodu m a r Pohybová rovnice vyjadřuje vztah mezi veličinami pohybu (dané zrychlením a ) a silovými veličinami reprezentované výslednou silou n r i a i1 r m a představuje matematický model pro vyšetřování dynamických poměrů uvažovaného bodu.

8 Pohybová rovnice je rovnice vektorová, kterou musíme zpravidla při konkrétním řešení rozepsat do skalárních rovnic r a () t v& () t && () t m ry a y () t v& y () t && y() t m rz a z () t v& z () t && z() t m Věty o hybnosti H m v d H Dle. zákona platí ( m v) d ( m v) dt. dt d vynásobíme dt a z toho dt

9 Předpoklad Síla může být v čase proměnná, tj. působí od okamžiku t o do času t, přičemž hmotnost je konstantní. Impuls síly t t o dτ m v () t m v( t ) H () t H ( t ) I () t o o 1. Věta o hybnosti Časová změna hybnosti (přírůstek hybnosti), se rovná impulsu vnější síly. Důsledkem 1. věty o hybnosti je zákon o zachování hybnosti Nepůsobí-li na hmotný bod vnější síla, zůstává jeho hybnost konstantní.

10 Př Určete rychlost, kterou bude mít volně padající hmotný bod na konci 5. sekundy. Počáteční rychlost je nulová. mv v je tíha hmotného bodu t 0 mv t mg ( t ) () dτ mv( t 5) 0 5 g 5 9,81 0 & 49 ms 1 mg dτ - v g t ( srovnejse vzorcem z fyziky 5 0 mg 5 ) V technické prai se setkáváme s rovnoměrným otáčením těles, pro které platí zákon setrvačnosti (neuvažujeme tření). Jinak je tomu při urychlování otáčivého pohybu. Podobně jako je definován moment síly k bodu je zaveden moment hybnosti hmotného bodu k libovolnému bodu v prostoru.

11 -1 b r H r mv [ kg m s ] derivace momentu hybnosti db d dr dv ( r mv) mv + r m dt dt dt dt dr dv a protože v a a pak dt dt db v mv + r m( v v) + r r M dt ( v rovnici ( v v) 0, protože se jedná o vektorový součin kolineárních vektorů ).

12 Připomeňme si ( viz obrázek ) M M r s r ϕ d b M dt moment síly k bodu je roven časové derivaci momentu hybnosti k témuž bodu, je to momentová analogie zákona síly. Vynásobíme vztah dt, tj. db M dt, a integrací dostaneme t Mdτ r t mv t r t 0 mv t 0 b t b t 0 t o () () ( ) ( ) () ( ) I M () t neboli impuls momentu.

13 . Věta o hybnosti Časová změna momentu hybnosti hmotného bodu k libovolnému bodu v prostoru se rovná impulsu momentu vnější síly k témuž bodu. nebo Derivace dle času momentu hybnosti se rovná momentu vnějších sil. Podobně jako zákon o zachování hybnosti máme zákon o zachování momentu hybnosti: Nevyvozují-li vnější síly vůči libovolně zvolenému bodu moment, zůstává moment hybnosti konstantní.

14 3..3. Práce, výkon, energie y r 0 z r d r r + d r Pro ortogonální souřadnicový systém W o d + y yo y dy k + z zo z dz Def..3.1 Skalární součin síly a přírůstku dráhy nazveme přírůstek práce. dw d r [NmJ 1 Joule ] Práce 1N na 1 m. Celková práce je křivkový integrál W r dr ro

15 Jestliže dráha a síla svírají úhel, pak α ds dw W ds cosα cosα ds Def..3. Přírůstek práce za jednotku času se nazývá výkon p dw dt dr dt v [J s -1 -W 1 Watt ] Výkon je skalární součin síly a rychlosti.

16 Pro stroje se zavádí účinnost η, jako podíl výkonu stroje k příkonu (dodávané energii). Je vždy menší než 1.. zákon - zákon síly r r m a d m a a r r r d rovnici & d d d dv d m v m v d vynásobíme 1 d dt dv d dv m v dv d d v d lze provést úpravu dosadíme za

17 Obdobně ry dy d 1 m v y dostaneme sečtením r čili d r d + d ry 1 dy + m v rz dz rz dz 1 d m d 1 m v z ( ) v + v + v y z Def Kinetická energie hmotného bodu je definována vztahem E k 1 m v Integrujeme výraz d r d 1 m v, potom

18 r ro dr E E, 0 k k Věta Kinetická energie je schopnost konat práci. Vykonaná práce je rovna přírůstku kinetické energie. Potenciální energie Těleso ji má v důsledku své polohy. Pro energii potenciální neeistuje žádný univerzální vzorec, musíme ji spočítat pomocí práce, kterou je nutno vynaložit na to, abychom těleso do jeho polohy dopravili

19 Homogenní gravitační pole - pro přitažlivou sílu - tíhu platí W G h m g h E p pro případ pružiny platí, neboť síla během stlačování není konstantní k kde k je konstanta pružiny 1 W d k d k 0 0 Platí Zákon o zachování mechanické energie E E E E p0 p k k0 nebo v jiné úpravě E E p 0 + Ek 0 E p + Ek konst. p

20 Pohybuje-li se hmotný bod v potenciálním silovém poli, pak v libovolném okamžiku ve všech místech prostoru platí, že součet kinetické a potenciální energie je konstantní. Působí-li na hmotný bod ještě nějaké síly, např. síla motoru, tření ap., je energie dodávána nebo se mění v jinou, dochází ke ztrátám - disipaci energie, soustava se nazývá disipativní. Věta Součet kinetické a potenciální energie se zvětší o vykonanou práci, zmenší se o spotřebovanou práci. Přestože energie je odlišný pojem od práce má stejné jednotky.