Elektromagnetické pole

České Vysoké Učení Technické v Praze Fakulta Elektrotechnická Katedra Elektromagnetického Pole Elektromagnetické pole mikrotubulárního systému buňky Diplomová práce Daniel Havelka Praha, květen 2010 Ing. program: Telekomunikace a radiotechnika Studijní plán: Vysokofrekvenční a mikrovlnná technika Vedoucí diplomové práce: Prof. Ing. Jan Vrba, CSc. Konzultant specialista: Ing. Michal Cifra, PhD.

II

Prohlášení Prohlašuji, že jsem zadanou diplomovou práci zpracoval sám s přispěním vedoucího práce a používal jsem pouze literaturu v práci uvedenou. Prohlášení o souhlasu: Prohlašuji, že souhlasím s použitím tohoto školního díla fakultou ve smyslu 60 Zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů - autorský zákon. III

Abstract This diploma thesis is concerned with the electromagnetic field of cellular biological systems. The first chapter includes a brief depiction of a eukaryotic cell, its structures and some cellular actions that might probably have something to do with a generation of the electromagnetic field. Some types of cellular structures such as cytoskeleton and mainly microtubules are treated in detail as they seem to be generators of the electromagnetic field. In the following chapter I write about Fröhlich theory and experiments which are trying to confirm or oppose its validity. Following this, a major part of this work is introduced; a script for the calculation of the intensity of the electric and magnetic field generated by simple models of both symmetrical and asymmetrical microtubular net was made. Then the Poynting vector and consecutively radiation power was calculated. Lastly, I present obtained results and compare them with those gained by experiments. Keywords: cellular electromagnetic field, cytoskeleton, microtubules, Matlab IV

Anotace Tato práce se zabývá problematikou buněčného elektromagnetického pole. V úvodní kapitole se zabýváme popisem eukaryotické buňky a jejími základními strukturami, které by mohli generovat elektromagnetické pole. Mikrotubuly, jako část cytoskeltu eukaryotní buňky, splňují všechny podmínky pro generaci elektromagnetického pole. V následující kapitole se zabýváme Fröhlichovou teorií a experimenty, které se snaží tuto teorii potvrdit. Po této kapitole následuje stěžejní část celé práce, a to vytvoření skriptu pro výpočet intenzity elektrického a magnetického pole generované jednoduchým modelem symetrické a nesymetrické mikrotubulární sítě. Z těchto veličin pak počítáme Poyntingův vektor a následně i vyzářený výkon. Následující kapitola se zabývá získanými výsledky a diskutuje je s problematikou měření. Klíčová slova buněčné elektromagnetické pole, cytoskeleton, mikrotubuly, Matlab V

Symboly a zkratky Konstanty a zkratky použité v textu jsou shrnuty v následující tabulce. Některé symboly mohou označovat více proměnných. V tomto případě je význam v textu upřesněn. Symboly p (C m) dipólový moment (1 D (debye) = 3,33564.10 7 C m) Z (Ω) impedance k (m 1 ) konstanta šíření I (A) proud H (A m 1 ) intenzita magnetického pole E (V m 1 ) intenzita elektrického pole S (W m 2 ) Poyntingův vektor π ( ) pí (3.141592653589793) r (m) vzdálenost x (m) složka souřadného systému, vzdálenost ve směru y (m) složka souřadného systému, vzdálenost ve směru z (m) složka souřadného systému, vzdálenost ve směru ε 0 (F m 1 ) permitivita vakua (8.854.10 12 F m 1 ) ε r (-) relativní permitivita µ 0 (H m 1 ) permeabilita vakua (4π.10 7 H m 1 ) µ r (-) relativní permeabilita σ (S/m) vodivost ω (rad s 1 ) úhlová frekvence λ (m) vlnové délka c (m s 1 ) rychlost světla (3.10 8 m s 1 ) f (Hz) frekvence VI

ϑ (rad) úhel ϑ p (rad) úhel φ (rad) úhel η (rad) úhel η r (rad) úhel ds (rad) úhel ξ (rad) úhel α (rad) úhel Zkratky EED - Elementární elektrický dipól DM - Dipólový moment LSS - Lokální soustava souřadná GSS - Globální soustava souřadná EMP - Elektromagnetické pole IEP - Intenzita elektrického pole IMP - Intenzita magnetického pole DEP - Dielektroforéza 3.1 PRR - Funkce posun rotace - rotace H ϕ - Složka ve smyslu úhlu ϕ IMP EED (rovnice A.1) E r - Radiální složka IEP EED (rovnice A.2) E ϑ - Thetova složka IEP EED (rovnice A.3) VII

To the Truth VIII

Poděkování V první řadě bych chtěl poděkovat vedoucímu diplomové práce Prof. Ing. Janu Vrbovi, CSc. a Ing. Michalu Cifrovi, PhD. za vytvoření ideálních pracovních podmínek, dále za hodnotné a věcné rady a připomínky k tématu a také za dobré nasměrování mé životní cesty. Dále patří můj vděk celé skupině doktorandů profesora Jana Vrby, kteří mi umožnili využít jejich výpočetní aparát. Taktéž děkuji Ing. Ondřeji Kučerovi za jeho podnětné připomínky a syntaxi sazebního programu Tex. V neposlední řadě bych chtěl poděkovat svým rodičům, své přítelkyni Daně Sládkové a její rodině, kteří mi vytvořili podmínky pro napsání této práce a umožnili mi studium na Českém vysokém učení technickém v Praze. IX

Seznam obrázků 2.1 Bakterie [1]................................ 2 2.2 Rostlinná buňka [1]............................ 3 2.3 Živočišná buňka [1]............................ 4 2.4 Struktura mitochondrie [2]........................ 5 2.5 Morfologický vztah mezi a) mitochondriemi a b) mikrotubuly. Imunofluorescenční snímky [1]......................... 6 2.6 Trojrozměrný průřez plazmatickou membránou............ 7 2.7 Buněčná membrána se zjednodušeným ekvivalentním náhradním obvodem................................... 8 2.8 Cytoskeleton [2].............................. 9 2.9 Mikrofilamentum [2]........................... 10 2.10 Mikrotubulus a jeho součásti....................... 10 2.11 Tubulin heterodimer........................... 11 2.12 Dipólový moment p = q. d, kde d je vzdálenost mezi náboji s opačnými znaménky a q je velikost náboje.................... 12 2.13 Tubulin heterodimer dipole moment................... 13 2.14 a) Mikrotubulus složený z 13 protofilament s mřížkou A b) Plášt rozvinutého mikrotubulu......................... 13 2.15 Centrozom................................ 14 2.16 Růst mikrotubulu............................ 15 2.17 Princip rozpadu mikrotubulu. a) Změna konformace protofilamenta hydrolýzou GTP, b) Ztráta GTP - capu vede k rozpadu mikrotubulu 16 2.18 a) Typy motorových proteinů a jejich směr pohybu b) Struktura motorového proteinu............................ 18 2.19 Buněčný cyklus. Vnitřní kruh je rozdělen do G1, G0, S, G a mitózy a prostřední kruh je rozdělen na I (interfáze) a M (M-fáze)...... 19 2.20 Buněčné dělení.............................. 20 2.21 Mitotické vřeténko............................ 22 X

3.1 a) Dielektroforetický efekt řasy Monoraphidium griffithii, b) demonstruje dielektroforetický efekt řasy Netrium digitus.......... 27 3.2 Struktura vázané a volné vody..................... 29 4.1 Módy a) 0, b) 8 a c) 26 na prvním protofilamentu s 50 heterodiméry. Každý heterodimér je reprezentován kolečkem............. 32 4.2 Módy a) 40, b) 50 na prvním protofilamentu s 50 heterodiméry. Každý heterodimér je reprezentován kolečkem................. 32 4.3 Intenzita elektrického pole v logaritmickém měřítku 1 nm nad stěnou mikrotubulu. a) mód 25 a b) mód 40.................. 33 4.4 Rozložení a) E, b) H a zobrazení c) S, při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 0. Barva udává velikost veličiny a šipky její směr.. 34 4.5 Rozložení a) E, b) H a zobrazení c) S, při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 8. Barva udává velikost veličiny a šipky její směr.. 35 4.6 Rozložení a) E, b) H a zobrazení c) S, při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 26. Barva udává velikost veličiny a šipky její směr.. 36 4.7 Rozložení a) E, b) H a zobrazení c) S, při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 40. Barva udává velikost veličiny a šipky její směr.. 37 4.8 Rozložení a) E, b) H a zobrazení c) S, při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 50. Barva udává velikost veličiny a šipky její směr.. 38 4.9 Zobrazení řezů, ve kterých jsou porovnávány módy 0, 8, 26, 40 a 50. Modré čáry značí vzdálenosti podél osy mikrotubulu a černé (čárkovaná) značí radiální vzdálenosti od středu a od konce mikrotubulu..... 39 4.10 Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 90 nm 40 4.11 Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 50 nm 41 4.12 Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 23 nm 42 4.13 Veličiny a) E, b) H a c) S v závislosti na vzdálenosti radiálně od konce mikrotubulu................................ 43 4.14 Veličiny a) E, b) H a c) S v závislosti na vzdálenosti radiálně od středu mikrotubulu............................ 44 4.15 a) Zobrazení mikrotubulu v soustavě souřadné b) Umístění elementárního elektrického dipólu v soustavě souřadné................ 46 4.16 Mikrotubul s posunutými protofilamenty a zobrazení dipólového momentu heterodimerů........................... 47 4.17 Struktura funkce posun rotace-rotace.................. 48 4.18 Plášt mikrotubulu s posunem protofilament v mřížce A........ 50 XI

4.19 Natočení mikrotubulu ve smyslu úhlů ζ, ds a χ............. 51 4.20 Výpočet natočení dipólového momentu - úhly η a ξ.......... 51 4.21 Vyjádření úhlu alfa mezi směrem S str a S r............... 55 5.1 Rovnoměrné rozložení mikrotubulů na sférické ploše o průměru 200 nm. Mikrotubuly znázorněny červeně.................. 56 5.2 Nerovnoměrné rozložení mikrotubulů na sférické ploše o průměru 200 nm. Mikrotubuly znázorněny červeně.................. 57 5.3 Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány pro frekvenci oscilací 1 khz pro módy 0, 10, 50, 100 a 150. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (symetrický model)........ 58 5.4 Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány pro frekvenci oscilací 42 GHz pro módy 0, 10, 50, 100 a 150. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (symetrický model)........ 58 5.5 Výkony v jednotlivých frekvencích pro mod 0. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (symetrický model).............. 59 5.6 Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány pro frekvenci oscilací 1 khz a mod 0. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (nesymetrický model)................ 59 5.7 Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány pro frekvenci oscilací 42 GHz a mod 0. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (nesymetrický model)................ 60 5.8 Výkony v jednotlivých frekvencích pro mod 0. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (nesymetrický model)............ 60 5.9 Vzájemné porovnání obou modelů ve ztrátovém prostředí pro všechny frekvence při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 0. N - nesymetrické rozložení mikrotubulů, S - symetrické rozložení mikrotubulů.................................... 61 5.10 Vzájemné porovnání obou modelů v bezeztrátovém prostředí pro všechny frekvence při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 0. N - nesymetrické rozložení mikrotubulů, S - symetrické rozložení mikrotubulů.................................... 61 5.11 Intenzita elektrického pole počítaná v závislosti na vzdálenosti od pólu nebo rovníku buňky. N - nesymetrické rozložení mikrotubulů, S - symetrické rozložení mikrotubulů............... 62 A.1 Umístění elementárního elektrického zářiče v soustavě souřadné... 67 XII

B.1 Lokální soustava souřadná a tubulinový heterodimer......... 73 B.2 Posun z globální soustavy souřadné do soustavy s jednou čárkou.. 75 B.3 Natočení ve směru úhlu η r, přechod soustavy s jednou čárkou do soustavy se dvěma čárkami....................... 75 B.4 Natočení ve smyslu úhlu ξ r, přechod soustavy se dvěma čárkami do soustavy se třemi čárkami........................ 76 B.5 Dipól v lokální soustavě souřadné.................... 77 C.1 Lineární dvouhmotnostní řetěz hmotných bodů............ 79 C.2 Kladná (modrá) - optická větev a záporná (zelená) - akustická větev 81 D.1 Radiální (S r ) a tečná (S t ) část střední hodnoty Poyntingova vektoru. 83 XIII

Seznam tabulek 2.1 Komponenty dipólových momentů p αβ v karteziánské soustavě souřadné. Osa MT se shoduje s osou X. Osa Y je orientována radiálně k ose MT a osa Z je tečná povrchu MT.................... 12 3.1 Frekvence detekované Hölzelem..................... 26 3.2 Částečky použité v µ-dep experimentech............... 27 4.1 Parametry ztrátového prostředí pro jednotlivé frekvence....... 45 4.2 Parametry bezeztrátového prostředí pro jednotlivé frekvence..... 45 4.3 Podélné posunutí protofilament v mřížce A.............. 49 4.4 Rozložení členů složky E ϑ do jednotlivých podlaží 3D matice. Čísla v indexu znamenají mocninu členu jkr................. 52 4.5 Rozložení členů složky E r do jednotlivých podlaží 3D matice. Čísla v indexu znamenají mocninu členu jkr.................. 52 4.6 Rozložení členů složky H ϕ do jednotlivých podlaží 3D matice. Čísla v indexu znamenají mocninu členu jkr................. 53 4.7 Kombinace členů složek E ϑ, E r a H ϕ pro výpočet Poyntingova vektoru. Čísla v indexu znamenají mocninu členu jkr........... 53 D.1 Kombinace členů složek E ϑ, E r a H ϕ pro výpočet Poyntingova vektoru 85 XIV

Obsah Prohlášení Abstract Symboly a zkratky Poděkování III IV VI IX 1 Úvod 1 2 Buňka 2 2.1 Krátce o eukaryotické buňce....................... 3 2.2 Mitochondrie............................... 4 2.2.1 Elektrické pole okolo mitochondrií................ 5 2.3 Plazmatická membrána.......................... 6 2.3.1 Plazmatická membrána jako kapacitor............. 7 2.4 Cytoskelet................................. 8 2.4.1 Intermediální filamenta...................... 9 2.4.2 Mikrofilamenta.......................... 9 2.5 Mikrotubuly................................ 10 2.5.1 Tubulin.............................. 11 2.5.2 Typy mikrotubulárních mřížek.................. 13 2.5.3 Růst mikrotubulů......................... 14 2.5.4 Dynamická nestabilita mikrotubulů............... 15 2.5.5 Mikrotubuly organizují vnitřek buňky pomocí motorových proteinů................................ 17 2.6 Fáze buněčného života.......................... 18 2.6.1 Popis jednotlivých etap M-fáze................. 19 2.6.2 Změny cytoskeletu při M-fázi.................. 21 XV

3 Fröhlichova teorie, experimenty a buněčné elektromagnetické pole 24 3.1 Fröhlichova teorie............................. 24 3.1.1 Měření vibrací........................... 25 3.1.2 Přímá měření........................... 26 3.1.3 Nepřímá měření.......................... 26 3.2 Generace buněčného elektromagnetického pole............. 28 3.2.1 Zdroj energie pro mechanické vibrace mikrotubulů....... 28 3.2.2 Transformace energie....................... 29 4 Jednoduchá mikrotubulární sít - star model 30 4.1 Buzení mikrotubulu............................ 30 4.1.1 Podélná vlna........................... 31 4.2 Parametry prostředí, frekvence, dipólový moment a ϑ......... 39 4.3 Popis skriptu pro výpočet celkového vyzářeného výkonu z buněčné sítě mikrotubulů............................. 46 4.4 Hlavní zdrojový kód........................... 47 4.5 Funkce PRR................................ 48 4.5.1 Funkce rotacemtadm...................... 49 4.5.2 Funkce rotace........................... 49 4.6 Výpočet Poyntingova vektoru a výkonu................. 54 5 Výsledky z programu Matlab a diskuse 56 5.1 Výsledky z programu Matlab...................... 56 5.2 Diskuse výsledků k měřící metodice................... 63 6 Závěr 65 A Složky elektrického a magnetického pole elementárního elektrického dipólového zářiče 67 A.1 Úprava složek elementárního elektrického dipólu pro program Matlab 69 B Odvození funkce PRR (posun-rotace-rotace) 73 C Aproximace longitudinálních vibrací tubulinových heterodimérů 79 D Analýza příspěvků do radiální části Poyntingova vektoru v blízké zóně Hertzova dipólu 82 D.1 Příspěvky složek IEP a IMP v bezeztrátovém prostředí........ 85 XVI

E Nepřesnosti v Matlabu 86 List of Publications 88 References 88 XVII

Kapitola 1 Úvod Tato práce se především zabývá výpočtem elektromagnetického pole z jednoduchého modelu mikrotubulární sítě eukaryotické buňky. V úvodu práce je popsána základní buněčná biologie, která souvisí z daným tématem. Stěžejní částí této kapitoly je popis mikrotubulů a jeho podjednotek tubulinových heterodimérů, jako pravděpodobných zdrojů buněčného elektromagnetického pole. Tyto podjednotky jsou vysoce polární struktury, které svojí mechanickou oscilací mohou generovat elektromagnetické pole ve svém okolí. Toto buněčné elektromagnetické pole může mít dalekosáhlý dosah a může způsobovat interakce mezi vzájemně oddělenými systémy. Nejen o principu vzájemných dalekosáhlých interakcí vypovídá následující kapitola, ve které jsou nastíněny základy Fröhlichovy teorie a uvádíme jen několik přímých i nepřímých důkazů o platnosti této teorie. Následující část, která je jádrem celé práce, se zabývá aproximací mechanických vibrací mikrotubulu, které generují elektromagnetického pole. Jako aproximaci elektrických vlastností základní stavební jednotky mikrotubulů - tubulinových heterodimérů jsme zvolili elementární elektrický dipól. S touto aproximací dále pracujeme a výsledkem této části je soubor skriptů, které popisují jednoduchý model symetrické a nesymetrické mikrotubulární sítě. Pomocí tohoto modelu jsme schopni počítat jak vektor intenzity elektrického a vektor magnetického pole tak i výkon vyzářený jednoduchou mikrotubulární sítí. V závěru práce porovnáváme a vypočítané výsledky s experimentálně získanými daty a hodnotíme relevantnost modelu. 1

Kapitola 2 Buňka Všechno živé na Zemi je složeno z buněk. Tyto malé membránou ohraničené útvary jsou vyplněny koncentrovaným chemickým roztokem a mají jedinečnou schopnost se dělit. Buňky jsou složité neustále se měnící systémy. Obsahují velké množství makromolekulárních struktur a mají schopnost reprodukce a výměnu hmoty a energie s okolím. S příchodem mikroskopu v 17. století bylo možné poprvé buňky spatřit. Termín buňka zavedl Robert Hooke, který v roce 1665 informoval královskou společnost v Londýně o objevu malých komůrek uvnitř korkové struktury, které nazval buňky. O buňkách bylo již napsáno mnoho publikací, a proto se v této práci nebudeme zabývat podrobnostmi, které nemají ještě doposud zřejmý vztah k řešené problematice. Pro důkladnější pochopení odkazujeme čtenáře na práci Albertse [1] a další publikace. Buňky dělíme podle toho, jestli mají nebo nemají jádro, 1 m buněčná stěna DNA plazmatická membrána cytosolové ribosomy bičík Obrázek 2.1: Bakterie [1] do dvou skupin: prokaryota a eukaryota. Prokaryota jsou vývojově starším typem jednobuněčných organismů, je o řád menší než eukaryotická buňka, vyznačuje se jednodušší stavbou, nikdy netvoří složitější struktury (funkčně a morfologicky diferencované tkáně), nemá diferencované jádro a rozmnožuje se přímým dělením (amitózou). Typickým zástupcem jsou bakterie (obrázek 2.1). Eukaryotické buňky 2

2.1. KRÁTCE O EUKARYOTICKÉ BUŇCE 3 jsou ve srovnání s prokaryotickými složitější, větší, mají diferencované jádro, velké množství organel s membránou, převážně tvoří mnohobuněčné organismy ale také jednobuněčné (kvasinky a jednobuněčné řasy). Všechny rostliny, houby a živočichové jsou složeny z tohoto typu buněk. 2.1 Krátce o eukaryotické buňce aktinová vlákna cytosolové ribosomy chloroplast peroxisom kapalinou naplněná vakuola mikrotubulus buněčná stěna jaderný pór chromatin (DNA) plazmatická membrána Golgiho aparát membrána vakuoly (tonoplast) jádro jadérko endoplazmatické retikulum lyzosom mitochondrie 5 m Obrázek 2.2: Rostlinná buňka [1] Eukaryotické buňky mají svůj vnitřní obsah (protoplast) ohraničeny dvouvrstevnou plazmatickou polopropustnou membránou. U rostlinných buněk (obrázek 2.2) je ještě nad touto membránou buněčná stěna. Hlavními funkcemi těchto povrchů je především ochrana buňky, transport látek do a z buňky a výměna informací. Již zmíněný buněčný obsah, protoplast obsahuje cytoplazmu a v ní plovoucí organely, jádro a buněčné inkluze. Jádro (nucleus) je většinou považováno za nejdůležitější organelu, má jako jediné sférický tvar, je uzavřeno do dvou soustředných membrán, řídí činnost buňky, obsahuje dlouhé polymery RNA a přenáší dědičnou informaci. Ostatní buněčné organely jsou zpravidla děleny do dvou skupin. Do první sku-

2.2. MITOCHONDRIE 4 piny patří nadmolekulární komplexy (ribozomy) a do druhé patří organely s jednou buněčnou membránou (endoplazmatické retikulum, Goldgiho aparát, vakuoly aj.) nebo se dvěma membránami (plastidy, mitochondrie). Mitochondrie jsou malé továrny mikrotubulus centrozóm s dvojicí centriol chromatin (DNA) jaderný pór extracelulární matrix jaderný obal váčky lyzosom aktinová vlákna jadérko peroxisom cytosolové ribosomy Golgiho aparát intermediální filamenta plazmatická membrána jádro endoplazmatické retikulum mitochondrie 5 m Obrázek 2.3: Živočišná buňka [1] na energii v podobě ATP (adenosintrifosfát), umožňují buněčné dýchání a podle posledních vědeckých výzkumů jsou mitochondrie jedny z možných dodavatelů energie pro mechanické vibrace mikrotubulů. Celá buňka je prostoupena cytoskeletem, který vytváří opěrný systém buňky, drží její tvar, chrání ji a umožňuje její pohyb. Je to dynamický systém složený ze tří typů vláken: mikrotubulů, intermediálních filament a mikrofilament. Plazmatická membrána je polopropustná vrstva, která se skládá z lipidové dvouvrstvy a bílkovin vní ukotvených. Cytoskelet umožňuje propojení mezi vnitřním prostředím a plazmatickou membránou. Obě zmíněné struktury, cytoskelet a plazmatická membrána, jsou pravděpodobnými původci buněčného elektromagnetického pole, a proto jim budeme dále věnovat více pozornosti. 2.2 Mitochondrie Mitochondrie transformují energii z molekul jídla (tuky, karbohydráty, bílkoviny) na ATP (adenosin-tri-fosfát), prakticky se vyskytují skoro ve všech eukaryotních

2.2. MITOCHONDRIE 5 buňkách a patří mezi nejnápadnější organely v cytoplazmě. Tyto dynamické a plastické organely mají na svém povrchu membránu a obsahují vlastní DNA. Mitochondrie strana cytosolu krista matrix vnitřní membrána vnější membrána mezimembránový prostor Obrázek 2.4: Struktura mitochondrie [2] mají většinou tvar podlouhlých válců s průměrem 0, 5 1µm. Mitochondrie mají vnější a vnitřní membránu, přičemž každá má svoji specifickou funkci. Tyto dvě membrány vymezují v mitochondrii prostory známé jako matrix a mezimembránový prostor. Vnější membrána obsahuje mnoho porinových molekul, což jsou typy transportních molekul, které tvoří velké vodní kanály skrz lipidovou dvojvrstvou. Tato membrána připomíná síto prostupné pro molekuly menší než 5000 Daltonů 1. Tak malé molekuly mohou vstupovat do mezimembránového prostoru, čímž vytvoří chemický obsah podobný chemickému obsahu cytosolu. Hlavní pracující část mitochondrie je matrix ohraničená vnitřní membránou, která vytváří kristy (jednotné číslo krista), pro zvýšení povrchu. Vnitřní membrána je odlišná od té vnější. Tato membrána nepropouští ionty a obsahuje různorodé proteiny určené k transportu složek, které jsou metabolizovány nebo vyžadovány mnoha mitochondriálními enzymy koncentrovanými v matrix. Mají sklon se formovat do vláken podél mikrotubulů, které určují orientaci a rozložení mitochondrií v buňce. 2.2.1 Elektrické pole okolo mitochondrií Je známo, že v okolí mitochondrií je nižší ph, což je doprovázeno vysokou koncentrací protonů v okolí mitochondrií. S rostoucí vzdáleností od mitochondrií klesá koncentrace protonů. Vzhledem k tomu, že každý proton má náboj, je zde i gradient potenciálu, který vytváří elektrické pole. Tyner a kol. [3] zjistili použitím nano - 1 1 Dalton je váha jednoho atomu vodíku.

2.3. PLAZMATICKÁ MEMBRÁNA 6 micelek 2, které obsahovaly na elektrickém poli závislé fluorescenci barvivo, že elektrické pole z mitochondrii proniká až do hloubky několika µm do cytosolu, což je překvapivě hluboko. Toto statické elektrické pole pochází pravděpodobně z difúze protonů z mitochondrií. Intenzita elektrického pole v cytosolu dosahuje hodnoty až 10 6 V/m. Je dobře známo, že sít mitochondrií kopíruje mikrotubulární sít (viz. [1] a obrázek 2.5). Prostorová rozložení mitochondrií s mikrotubuly spolu s velkým statickým elektrickým polem okolo mitochondrií může způsobovat nelineární transformaci náhodné vibrační energie do kvazi-koherentní formy (podrobněji v 3.1). Obrázek 2.5: Morfologický vztah mezi a) mitochondriemi a b) mikrotubuly. Imunofluorescenční snímky [1] Mitochondrie jsou zdrojem fotonové emise v rozsahu od vzdáleného IR, blízkého IR [4, 5] přes viditelné spektrum k UV [6]. Blízké IR záření je napojeno na produkci tepla v mitochondriích. Ačkoliv blízké IR, viditelné a UV záření vyžaduje elektronovou excitaci. Tento efekt je zajištěn pomocí dýchacího řetězce, kde elektrony mohou proniknout předčasně do kyslíku, aby vytvořily reactive oxygen species (ROS - reaktivní formy kyslíku). Reakce ROS mohou zvednou fotonovou emisi. 2.3 Plazmatická membrána Plazmatická membrána, také někdy nazývána buněčná membrána nebo plazmalema, je 7 nm široká semipermeabilní dvouvrstva fosfolipidů obsahující různé bílkoviny, které jsou vedeny napříč touto dvojvrstvou nebo paralelně s ní jako vlákna (obrázek 2.6). Lipidová dvouvrstva se obecně chová jako dvoudimenzionální roztok, ve směru 2 Micely jsou shluky povrchově aktivních molekul rozptýlených v tekutém koloidu. Typické micely ve vodném roztoku vytváří agregáty s hydrofilní částí molekuly orientovanou do vodného prostředí a hydrofóbní částí skrytou uvnitř. Tvar mají micely nejčastěji kulovitý, ale mohou vytvářet i válce, elipsoidy a dvojvrstvy.

2.3. PLAZMATICKÁ MEMBRÁNA 7 Obrázek 2.6: Trojrozměrný průřez plazmatickou membránou kolmém na dvouvrstvu má vlastnosti jako měkká pevná látka. Membránové proteiny kvasinek se dělí do několika tříd: cytoskeletární kotvy, enzymy pro syntézu buněčné stěny, proteiny pro transmembránovou signálovou transdukci (přeměna jednoho stimulu na druhý), proteiny pro přenos rozpuštěných látek (permease, kanály, ATP). Membránové proteiny mají následující funkce: určují propustnost přes membránu, regulují výživu kvasinek a vylučují nežádoucí molekuly ven. Fröhlich se domníval, že membránové proteiny hrají důležitou roli v generaci buněčného elektromagnetického pole (viz. 3.1). Lipidové dvouvrstvy bez proteinu jsou vysoce nepropustné pro ionty. Plazmatická membrána kvasinek se může vchlípit do cytosolu. 2.3.1 Plazmatická membrána jako kapacitor Nevodivá buněčná membrána obklopená mimobuněčným a vnitrobuněčným, lehce vodivým, prostředím se chová efektivně jako kapacitor (kapacitance C m ) s paralelním odporem (R m ), viz. obrázek 2.7. Impedance ekvivalentního náhradního obvodu z obrázku 2.7 je dána rovnicí 2.1 a 2.2. Z m = R m + jx m R m.jx m (2.1) X m = 1 ωc m (2.2)

2.4. CYTOSKELET 8 + + + + + + + C ~ m - - - - - - - R m Obrázek 2.7: Buněčná membrána se zjednodušeným ekvivalentním náhradním obvodem Y m = 1 = G m + jb m Z m (2.3) G m = 1 R m (2.4) B m = ωc m (2.5) X je reaktance (imaginární část impedance) membrány, ω je 2πf, f frekvence aplikovaného pole. Vyjádřeme elektrické chování membrány pomocí její admitance: G m je konduktance (reálná část admitance) membrány a B m je susceptance (imaginární část admitance). Odpor membrány R m je poměrně velký 3 a z toho plyne, že membránová vodivost G m = 1 R m je poměrně malá. Susceptance B m je velmi malá pro nízké frekvence. Toto je důvod, proč buněčná membrána působí jako jakási zed pro statické a nízkofrekvenční pole, které se nemůže dostat do buňky. Nicméně, statické a nízkofrekvenční pole může mít vliv na funkci membrány a membránové receptory pomocí redistribuce iontů na membráně. Pro vysoké frekvence je membránový odpor zkratován přes paralelní kapacitor. To znamená, že vysokofrekvenční elektrické pole se může dostat z prostoru vně buňky do vnitrobuněčného prostoru a vysokofrekvenční pole vygenerované uvnitř buňky může proniknout do prostředí mimo buňku. 2.4 Cytoskelet Cytoskelet je složitý systém proteinových vláken a tubulů (mikrotubulů, intermediálních filament a mikrofilament), které jsou vzájemně provázány a tvoří dohromady vnitřní kostru eukaryotické buňky (obrázek 2.8) Tento systém vláken je velmi pevná, ale zároveň tvárná a přizpůsobivá dynamická struktura umožňující buňce měnit tvar, 3 Odpor objemového vodiče může být vyjádřen vztahem R l σs, kde S je průřez objemového vodiče cesty, l délka objemového vodiče a σ měrná vodivost vodiče

2.4. CYTOSKELET 9 mikrofilamenta mikrotubuly střední filamenta Obrázek 2.8: Cytoskeleton [2] pohybovat se a reagovat na okolní změny prostředí. Vlákna, jejichž délka je srovnatelná s velikostí buňky, umožňují transport látek a buněčných organel a také se podílejí na oddělování chromozómů při mitóze. Následuje popis jednotlivých typů vláken cytoskeletu. 2.4.1 Intermediální filamenta Intermediální filamenta (InFi), též střední filamenta, jsou vlákna o průměru 10nm, která jsou tvořena z různých druhů proteinů (např. laminem a keratinem) jsou považována za nejpevnější a nejodolnější typ cytoskeletárních vláken. InFi se skládají z protáhlých dimerů fibrilárních proteinů s globulárními hlavicemi na obou koncích. InFi vznikají stočením několika vláken (tetrameru), vytvořených napojením již zmíněných fibrilárních proteinů s globulárními hlavicemi. Vytvářejí dvourozměrné dynamické sítě kolem jádra (jaderná intermediální filamenta) a odtud v podobě lineárních, méně dynamických, struktur zasahují až k periferiím buňky (cytoplazmatická intermediální filamenta), kde jsou často zakotvena v místech mezibuněčných spojů. Jejich hlavní úlohou je zpevňovat buňku a hrají také roli v buněčné signalizaci [7]. 2.4.2 Mikrofilamenta Mikrofilamenta, neboli aktinová vlákna, jsou polární vlákna, která se skládají z molekul aktinu a jsou formována do dvou spirálovitě stočených vláken o průměru 5-9 nm. Tyto vlákna jsou nejvíce koncentrována pod plazmatickou membránou. Molekuly aktinu jsou globulárních proteiny (G-aktin - zhruba 42-kDa proteinů), které polymerizují do formy vláken (F-actins), které jsou vzájemně stočeny o 166 (obrázek 2.9). U aktinových vláken je možné určit kladný a záporný konec vlákna.

2.5. MIKROTUBULY 10 G-actin F-actin Obrázek 2.9: Mikrofilamentum [2] S mikrofilamentem jsou spojeny molekulové motory myosiny. Nejběžnější jsou tyto dva typy: myosin I a II. Myosin I je složen z globulární hlavičky a krátké fibrilární části a specificky interaguje s určitými typy buněčných struktur (membránové váčky, cytoplazmatická membrána). Myosin II se nejvíce vyskytuje ve svalových buňkách. Molekuly myosinu II, tvořené globulární hlavičkou a delší fibrilární částí, se pomocí fibrilárních částí antiparalelně navazují a takto vytvořené dimery se spojují s opačnou orientací a vzniká kontraktilní svazek. Mezi jejich hlavní funkce patří stabilizace tvaru membrán, pohyb buňky, transport organel a membránových váčků. 2.5 Mikrotubuly mikrotubulus 25nm - konec + konec 17nm Mikrotubuly (MTs) jsou vysoce polární (chemicky i elektricky) tvarovatelné a dynamické struktury. Připomínají duté trubky s vnitřním a vnějším průměrem 17nm a 25nm [8] (obrázek 2.10). MTs jsou většinou složeny z 13 protofilament, jejichž statubulinový heterodimer tubulin tubulin protofilamentum Obrázek 2.10: Mikrotubulus a jeho součásti vební jednotkou je protein tubulin. Jednotlivá protofilamenta vznikají vzájemným spojením tubulinových heterodimerů, jak je vidět na obrázku 2.10. V protofilamentu se vzájemně střídají α-tubulin a β-tubulin, a proto je každé protofilamentum strukturně polární, s α-tubulinem na jednom konci a s β-tubulinem na konci druhém. Konec mikrotubulu s vyčnívajícím β-tubulinem se nazývá plus konec a druhý zakončený α-tubulinem se nazývá minus konec.

2.5. MIKROTUBULY 11 2.5.1 Tubulin Protein tubulin je základní jednotka mikrotubulů, která se shromažd uje do protofilament. Tubulin je heterodimér 4 skládající se z α-tubulinu a β-tubulinu (obrázek 2.10). Každý tubulinový heterodimer má objem okolo 55 kda a skládá se z 440 amino ky- Obrázek 2.11: Stužkou reprezentovaný tubulinový heterodimer získaný pomocí elektronové krystalografie. Viditelné molekuly GTP (v α-tubulinu, napravo) a GDP (v β-tubulinu, nalevo). β-tubulin obsahuje vázaný taxol. Zobrazení neobsahuje C- termini domény selin, cca. 7000 atomů [9]. Monomer je složen ze dvou β-skládaných listů, které jsou obklopeny α-spirálami. Struktura monomeru může být rozdělena do tří domén: amino-terminalová doména je vazební místo pro nukleotidy (GTP or GDP) prostřední doména je vazební místo pro taxol 5 a carboxyl terminal doména (C-terminus) Stužkou reprezentovaný tubulinový heterodimer (obrázek 2.11) byl získán z Protein Data Bank (struktura ID: 1TUB), originální zdroj je [10]. Tubulinový heterodimér má velikost 8 nm 6.5 nm 4.5 nm [10] bez C-termini domén. My se zvláště zajímáme o elektrické vlastnosti tubulinu. Izoelektrický bod 6 tubulinu se podle literatury pohybuje mezi 4.9 [9] to 5.6 [11]. Rozložení náboje na tubulinu může být získáno bud z molekulárních výpočtů nebo z měření. Rozložení 4 Dimér je molekula, která se skládá z dvou podjednotek. Když jsou tyto podjednotky rozdílné používá se termínu heterodimer. 5 Taxol je látka, která zvětšuje stabilitu mikrotubulů vazbou k β-tubulinu. 6 Je taková hodnota ph roztoku, němž se amfion (elektroneutrální částice nesoucí kladný i záporný elektrický náboj) nepohybuje v elektrickém poli.

2.5. MIKROTUBULY 12 náboje na proteinu má obecně multipolární charakter [12 14]. Na druhou stranu nejvíce vypovídající a užitečná hodnota o rozložení náboje je velikost a směr elektrického dipólového momentu p (viz. obrázek 2.12). d + q - q Obrázek 2.12: Dipólový moment p = q. d, kde d je vzdálenost mezi náboji s opačnými znaménky a q je velikost náboje První výpočty dipólových momentů komplexních molekul 7 pomocí elektronové krystalografie prováděl Nogales [10]. Mershin a kol. [15] spočítali dipólový moment zvlášt α- a β-monomeru jako p α = 552 D a p β = 1193 D. Vzhledem k tomu, že dipólové momenty jednotlivých monomerů nejsou zcela rovnoběžné, tak jejich superpozicí celkový dipólový moment dává p αβ = 1740. Podobnou hodnotu dipólového momentu při svých výpočtech získal Tuszynski a kol. [9] (1714 D). Poskytl výsledky komponent p α β shrnuté v tabulce 2.1 a obrázek 2.13. Vidíme, že skutečná hodnota dipólového momentu je primárně orientována p x p y p z 337 D -1669 D 198 D Tabulka 2.1: Komponenty dipólových momentů p αβ v karteziánské soustavě souřadné. Osa MT se shoduje s osou X. Osa Y je orientována radiálně k ose MT a osa Z je tečná povrchu MT radiálně k ose MT (obrázek 2.13). Nicméně, malý příspěvek je orientován ve směru osy X. Tuto hodnotu jsme použili pro naše výpočty. 7 Molekulární dipólový moment je obvykle vyjádřen v jednotkách D (Debye). 1 D = 3.33564.10 30 C.m.

2.5. MIKROTUBULY 13 x tubulin x p x y p -y tubulin p z y z. x y y Obrázek 2.13: Orientace skutečného dipólového momentu tubulinu počítaná z krystalografických dat, nejsou započítány C-terminus. 2.5.2 Typy mikrotubulárních mřížek Vazba tubulínu v protofilamentu je tvořena výhradně ze dvou různých druhů (mezi α - a β - podjednotkami rozdílných tubulinových dimérů). Narozdíl od vazeb mezi sousedními protofilamenty, může být vazba bud mezi stejnými podjednotkami (α α, β β, tento typ je označován jako B - mřížka) nebo mezi rozdílnými podjednotkami (α - a β, tento typ je označován jako A-mřížka). Mnoho mikrotubulů pozorovaných in vitro a in vivo ukazovalo, že jsou složeny z kombinace obou typů mřížek [16 19]. U obou typů mřížek je podélný posun mezi sousedními protofila- 4,92nm 4,92nm 4,92nm. 7 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 8nm a) b) Obrázek 2.14: a) Mikrotubulus složený z 13 protofilament s mřížkou A b) Plášt rozvinutého mikrotubulu menty. V případě A - mřižky je tento posun 4,92 nm (2.14) a v případě B - mřížky je posun 0,92 nm. Posun v A - mřížce způsobuje spirálovitou symetrii, naopak v druhém typu mřížky se objevuje diskontinuita, často nazývaná jako seam. Mik-

2.5. MIKROTUBULY 14 rotubulus složený z 13 protofilament s mřížkou A je zobrazen na obrázku 2.14 a) a jeho rozvinutý plášt můžete vidět na obrázku 2.14 b). 2.5.3 Růst mikrotubulů centrozom + centrioly + + -tubulin Mikrotubuly vznikají ve specializovaném centru, které kontroluje jejich počet, umístění a orientaci. V živočišných buňkách je jím centrozom (obrázek 2.15). Tato organela se většinou nachází v blízkosti buněčného jádra, (v případě) když se buňka nedělí. Během buněčného dělení zajišt uje navázání chromozomů na mikrotubuly, čímž je nezbytná pro buněčnou reprodukci. Centrozom je tvořen dvěma válcovitými centrimikrotubuly + Obrázek 2.15: Centrozom olami, které jsou složeny převážně z tubulinu a jsou vzájemně orientovány v pravém úhlu. Okolo obou centriol se nachází sít jemných vláken nazývaná matrice centrozomu, která je složena ze speciálních centrozomálních proteinů a γ tubulinu. γ tubulin vytváří na povrchu centrozomu prstenčité útvary, které vytvářejí místo pro růst mikrotubulů. Jak již bylo po psáno výše, mikrotubuly jsou polární útvary a nahlížíme-li na ně, samostatně, pozorujeme u nich kladný a záporný konec. Záporný konec je vázán na nukleační centrum a roste pomaleji nežli konec kladný. Nově vyrůstající mikrotubuly spolu s centrozomem jsou označovány jako aster. Při vzniku nových mikrotubulů procházejí tyto dynamické struktury třemi stádii vývoje nukleací, elongací a stabilním stavem, kterého dosáhnou po vyrovnání obou předešlých procesů (obrázek 2.16). Nukleace je charakteristická pomalou polymerizací samostatných podjednotek heterodimerů do složitějších a nestabilních oli-

2.5. MIKROTUBULY 15 gomerů. Po vytvoření základní struktury mikrotubulu dojde k urychlení růstu a mikrotubulus přechází do fáze elongace. Proces elongace je urychlován velkou koncentrací volných tubulinových molekul, které způsobují, že proces polymerizace několikanásobně převyšuje proces depolymerizace, mikrotubulus roste. Při vstupu do třetí fáze se oba procesy vyrovnají a nastane stabilní stav. Tento stav je důsledkem snižující se koncentrace volných molekul tubulinu (rychlost polymerizace s časem klesá). nukleace elongace stabilní stav % tubulinových podjednotek v mikrotubulu 100 0 samostatné podjednotky oligomery rostoucí mikrotubul k MT se připojují a odpojují heterodimery čas t, při 37 C Obrázek 2.16: Růst mikrotubulu Mikrotubulární sít se neustále obměňuje. Mikrotubulus po nějakou dobu roste zhruba konstantní rychlostí a ve chvíli, kdy ztratí tzv. cap (viz. další část), dochází k rychlému rozpadu směrem k centrozomu. Mikrotubulus se může rozpadnout celý, pak může být nahrazen novým, nebo se rozpad zastaví znovu vytvořením capu a mikrotubulus dále roste. Doba růstu a rozpadu mikrotubulu se pohybuje kolem 20 minut, přičemž tubulinové molekuly mohou existovat až 20 hodin. Je tedy patrné, že jedna molekula tubulinu se tak za svůj život účastní mnoha růstů a rozpadů mikrotubulů. 2.5.4 Dynamická nestabilita mikrotubulů V každém tubulinovém heterodiméru se nalézá pevně navázaná molekula GTP. GTP (guanosin-tri-fosfát) obsažené v β-tubulinu hydrolyzuje 8 na GDP (guanosin-difosfát, pevně vázaný) krátce poté co je tubulinový heterodimér přidán na konec mikrotubulu. Tato hydrolýza způsobí změnu konformace podjednotek a zeslabí vazby 8 α-tubulin obsahuje také GTP, ale to hydrolýzou neprochází a neúčastní se tedy ani energetické výměny.

2.5. MIKROTUBULY 16 v polymeru, dojde tedy k zakřivení protofilamenta. V důsledku tohoto zeslabení postranních vazeb mezi molekulami tubulinu je zajištěna možnost depolymerizace mikrotubulu. Je-li rychlost polymerizace větší nežli hydrolýza GTP, tak na konci mikrotubulu vzniká cap, někdy nazýván GTP-čepička, která zabraňuje mikrotubulu v depolymerizaci. Mikrotubulus roste až do doby, kdy GTP v heterodiméru zhydrolyzuje dříve něž se připojí další podjednotka tubulinu, což souvisí s koncentrací tubulínu v oblasti růstu mikrotubulu. Dojde ke vzniku konce mikrotubulu složeného z podjednotek GTP-tubulinu, což vede k depolymerizaci a rozptýlení GTP-tubulinu v cytosolu. V tomto rozptýleném GTP-tubulinu dojde k výměně za GTP za GDP a heterodiméry se mohou zúčastnit nového růstu. Růst mikrotubulu nemusí hned končit svým rozpadem. Může se, za pomocí speciálních proteinů, stabilizovat, ukotvením k nějaké jiné molekule nebo struktuře a vytvořit tak relativně stabilní spojení. tubulinový heterodimer GTP hydrolizovatelný GTP GTP GTP GTP rovné protofilamentum GDP GDP GDP zakřivené protofilamentum GTP zeslabení vazeb a změna konformace podjednotek v polymeru hydrolýzou GTP GDP CAP, tubulin obsahuje GTP GDP GDP depolymerizace GDP GDP méně stabilní část mikrotubulu, tubulin GDP změna GDP na GTP GTP a) b) rostoucí mikrotubulus rozpadající se mikrotubulus Obrázek 2.17: Princip rozpadu mikrotubulu. a) Změna konformace protofilamenta hydrolýzou GTP, b) Ztráta GTP - capu vede k rozpadu mikrotubulu

2.5. MIKROTUBULY 17 2.5.5 Mikrotubuly organizují vnitřek buňky pomocí motorových proteinů Buňky jsou schopné si přizpůsobovat dynamickou nestabilitu svých mikrotubulů podle potřeby. Na jednu stranu je mikrotubulární sít při vstupu do mitózy (viz. kapitola 2.6) velmi dynamická v porovnání s buňkami, které se nedělí. To umožňuje rychlé přeskupení a vytvoření mitotického vřeténka během dělení buňky (obrázek 2.21). Na druhou stranu, jsou-li buňky již diferencované a stabilní v určitém stavu, je buněčná dynamická nestabilita mikrotubulů buňkou potlačena pomocí speciálních proteinů. Takto potlačené stabilizované mikrotubuly pak fixují vnitrobuněčné uspořádání. Mikrotubuly nepracují na tomto uspořádání osamoceně, ale s pomocí proteinů, které mají nejrůznější funkce. Některé proteiny stabilizují mikrotubuly proti jejich rozpadu jiné pomáhají v napojení k dalším buněčným strukturám. V důsledku toho to jevu všechny části cytoskeletu spolu interagují a jejich funkce mohou být koordinovány. Mikrotubuly jsou také zodpovědné za rozmístění membrán, a to za pomoci motorových proteinů. Motorové proteiny zajišt ují transport organel a vážou se jak na mikrotubuly tak i na aktinová vlákna. Tyto proteiny se pohybují dodávkou energie z ATP. Byly objeveny desítky takovýchto motorových proteinů. Liší se podle toho k jakému typu vlákna se mohou vázat, směrem, kterým se šíří a podle typu nákladu, který mohou přenášet. Prvním objeveným motorovým proteinem byl myosin. Jak je uvedeno výše, myosin se váže na aktinová vlákna. Tento protein se vyskytuje ve svalových buňkách, kde tvoří hlavní část kontrakčního systému. Pohyb buněčných organel a struktur podél mikrotubulů zajišt ují dva typy proteinů: kinesiny a cytoplazmatické dyneiny. Kinesiny se pohybují od centrozomu směrem k periferii buňky, tedy ke kladnému konci mikrotubulu a dyneiny v opačném směru. Oba motorové proteiny mají podobnou strukturu. Skládají se ze dvou silnějších a několika slabších řetězců molekul. Tyto dva silnější řetězce (heavy chain) jsou tvořeny globulární strukturou: tzv. hlavicí (globural head) a strunovitými provazci (stem), které z nich vychází (obrázek 2.18 b)). Motorové proteiny jsou vázané na mikrotubuly pomocí stopky (stalk) a tvoří jakýsi motor. Slabší řetězce spojené se strunovitými provazci na sebe váží buněčné komponenty tzv. náklad (cargo) a určují tak co se bude převážet. Představa pohybu motorový proteinů je taková, jako by kráčeli podél mikrotubulu. Tento mechanický pohyb je jedním z možných způsobů dodávky mechanické energie mikrotubulům a jejich následné generace elektromagnetického pole [20].

2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA 18 kinesiny směr pohybu náklad - konec + konec lehké řetězce strunovité provazce směr pohybu motor adaptér dyneiny náklad a) b) stopka silnější řetězce Obrázek 2.18: a) Typy motorových proteinů a jejich směr pohybu b) Struktura motorového proteinu 2.6 Fáze buněčného života Tam, kde vzniká buňka, tam před tím musela nějaká buňka existovat, stejně jako živočichové mohou vznikat jen z živočichů a rostliny pouze z rostlin. Tuto buněčnou doktrínu vyslovil patolog Rudolf Virchow v roce 1858 a ukazuje na hlubokou myšlenku kontinuity života. Buňky vznikají z buněk, a to jediným možným způsobem buněčným dělením. Eukaryotická buňka prochází za dobu své existence různými fázemi, které mají připravit buňku na buněčné dělení. Dělení buněk je základní podmínkou růstu živé hmoty, patří tak mezi stěžejní projevy života. Dělení je proces, při kterém vznikají z jedné mateřské buňky dvě buňky dceřiné. Tento proces probíhá ve dvou fázích, dělení jádra (karyokineze) a dělení cytoplazmy a organel (cytokineze). Rozeznáváme tři druhy dělení, dělení přímé (amitózu), nepřímé (mitózu) a redukční (meiózu). Délka reprodukčního cyklu, doba která uplyne od jednoho rozdělení buňky k dalšímu, se pohybuje od několika minut (bakterie) až po několik hodin, výjimečně i desítek hodin (mnohobuněčné organismy). Délka života jednotlivé buňky, od rozdělení po zánik nebo další dělení, se liší podle typu buňky a vnějších podmínek. Buňka tak může žít několik desítek minut až několik let. Během buněčného cyklu můžeme sledovat čtyři fáze života buňky: G1-fáze, S-fáze, G2-fáze a M-fáze, které jsou schématicky znázorněny na obrázku 2.19 a popsány v následujícím textu. G1-fáze (první generační fáze) nastává po rozdělení mateřské buňky na dvě dceřiné. Buňka roste, doplňuje objem cytoplazmy, tvoří a uspořádává organely. Tato fáze je nejdelší. Po ní následuje S-fáze (syntetická), která je charakteristická zdvojením obsahu DNA v jádře, přepisem informací do RNA a hromaděním zásobních látek potřebných k dalšímu dělení. Následuje G2-fáze (druhá generační fáze), při níž se buňka připravuje na dělení. Buněčný cyklus je zakončen M-fází, která sestává ze dvou částí: dělení

2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA 19 cytokinese telofáze start anafáze G1 G0 M S I interfáze metafáze M G2 prometafáze profáze Obrázek 2.19: Buněčný cyklus. Vnitřní kruh je rozdělen do G1, G0, S, G a mitózy a prostřední kruh je rozdělen na I (interfáze) a M (M-fáze) jádra (karyokineze) a vlastní dělení buňky (cytokineze). Po dokončení této fáze vzniknou dvě dceřiné buňky se stejným počtem chromozomů a organel. Za určitých okolností buňka projde ještě fází G0, jež je fází naprostého klidu. Z pohledu syntézy DNA se tento proces jeví následovně. Fáze G1 (presyntetická fáze) je z pohledu syntézy DNA klidovým obdobím. Fáze S (syntetická) je charakteristická syntézou DNA a její replikací. Pak následuje G2-fáze (postsyntetická fáze), která je pro DNA opět klidová a ve které se syntetizuje RNA a proteiny potřebné pro nastávající mitózu (např. tubulin). V M-fázi je syntéza DNA zastavena nejen v jádře, ale i v mitochondriích, kde jinak probíhá syntéza nezávisle na syntéze DNA v jádře. Pro nás je fáze dělení buňky důležitá z toho důvodu, že se při ní v buňce odehrávají bouřlivé změny v cytoskeletární síti (mikrotubulech), které jsou doprovázeny zvýšením elektromagnetického pole v okolí buňky. 2.6.1 Popis jednotlivých etap M-fáze M-fáze začíná, jak již bylo řečeno v úvodu kapitoly, karyokinezí, která se dělí na profázi, prometafázi, metafázi, anafázi a telofázi a končí cytokinezí. Během S-fáze dochází ke zdvojení chromatinu a na počátku karyokineze kondenzuje a spiralizuje chromatin a dělá tak chromozom mnohem kratší a tlustší. Chromozom je tyčinkovitý útvar, který bývá zaškrcením rozdělen na dvě ramena. Toto zaškrcení se nazývá

2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA 20 formování mitotického vřeténka jadérko profáze 2 dceřiné buňky chromatin jaderná membrána prometafáze chromozóm telofáze + cytokineze anafáze metafáze kontrakční prstenec ekvatitoriální rovina Obrázek 2.20: Buněčné dělení centromera, která hraje důležitou roli při dělení jádra. Profáze je doprovázena zánikem jadérka a dochází při ní ke kondenzaci a spiralizaci chromatinu v chromozómy. Centriol se rozdělí na dvě části, které putují k opačným pólům buňky a spolu s mikrotubuly dávají základ mitotického aparátu (mitotické vřeténko, obrázek 2.21) Prometafáze začíná rozpadem se jaderné membrány. V oblasti centromery se objevuje speciální proteinová struktura zvaná kinetochor, která je na každém chromatidu jedna. Mikrotubuly začínají prorůstat do oblasti jádra, kde se pomocí kinetochorních mikrotubulů na tyto kinetochory napojují, a začínají se přemist ovat do ekvatoriální roviny. Dalšími mikrotubuly vyrůstajícími z pólů mitotického vřeténka jsou polární a astrální mikrotubuly. Polární mikrotubuly vyrůstající z obou centrozomů se v metafázové rovině překříží a vlivem jejich prodlužování dojde k oddalování pólů mitotického vřeténka. Astrální mikrotubuly, které v cytoplazmě směřují do všech směrů, přispívají k ukotvení, orientaci a oddalování pólů mitotického vřeténka.

2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA 21 V metafázi se za pomoci kinetochorních mikrotubulů seřadí chromozomy v jedné rovině (ekvatoriální rovině) uprostřed mitotického vřeténka (obrázek 2.21). Kinetochorní chromozomy spojující chromozom s jedním z pólů mitotického aparátu vytvářejí v chromozomu určité napětí, které se je snaží od sebe odtrhnout. Po překročení určité meze jsou napětím rozdělena na dvě identické části. Dokud nejsou všechny chromozomy navázané na kinetochorní mikrotubuly, nenavázané kinetochory vysílají jistý druh signálu, který zaručí, že nemůže začít další fáze. Anafáze je nejkratší částí mitózy a začíná rozdělením párových kinetochorů na jednotlivých chromosomech. Vlivem zkracování kinetochorních mikrotubulů se chromozómy rozcházejí k pólům dělícího vřeténka rychlostí 1µm/min (anafáze A) a zároveň se celá buňka protahuje v důsledku růstu polárních mikrotubulů (anafáze B). Na konci této fáze jsou na opačných pólech dvě ekvivalentní skupiny chromozómů. Během telofáze jsou chromozomy soustředěny na pólech buňky a jsou centromérami orientovány směrem k centriolům. Dále dochází k jejich dekondenzaci a despiralizaci. Polární mikrotubuly se protahují ještě více a na opačných pólech buňky vznikají dceřiná jádra a jadérka. Takto vzniklá jádra mají stejný počet chromozómů, ale obsah DNA je poloviční než u mateřského jádra. Během telofáze začíná cytokineze. Cytokineze začíná přibližně v polovině anafáze a rozdělí buňku na dvě buňky dceřiné. Při dostatečném rozestupu chromozomů dochází k proudění cytoplazmy a organel do ještě nerozdělených dceřiných buněk. Vytváří se rýha (cleavage) na obvodu a od ní ke středu buňky se tvoří přepážka (kontrakční prstenec) zaškrcující buňku. U živočichů se buňka zaškrcuje díky aktinovým vláknům mikrofilament, které jsou uspořádány do kruhu. Setkáním kontrakčního prstence se zbytky mitotického vřeténka vzniká tenký kanál (midbody). Po jeho uzavření vznikají dvě dceřiné buňky a z centrozomů vyrůstá nová sít mikrotubulů. 2.6.2 Změny cytoskeletu při M-fázi Během M-fáze vznikají v cytoskeletu specifické struktury, které mají zajistit seřazení chromosomů, jejich odtažení a následné rozdělení buňky (obrázek 2.20). Tyto složité struktury se objevují jen během M-fáze. Jako první se zformuje mitotické vřeténko, které je tvořené z mikrotubulů, centrozomů a dalších proteinů. Další strukturou vzniklou z cytoskeletu v M-fázi je kontrakční prstenec (jakési kruhové nůžky ),

2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA 22 astrální mikrotubuly kinetochorní mikrotubuly ekvatoriální rovina centrioly centrozom kinetochor chromosom chromosom křížový spoj polární mikrotubuly Obrázek 2.21: Mitotické vřeténko který se vyskytuje jen v živočišných buňkách a je tvořen z aktinových vláken a myosinu II. Během stahování prstence dochází k vychlipování plazmatické membrány dovnitř buňky v rovině kolmé na mitotické vřeténko a dochází k zaškrcování buňky. Výsledkem činnosti kontrakčního prstence je rozdělení buňky na dvě buňky dceřiné. Mikrotubuly v M-fázi Mikrotubuly mají při dělení buňky nezastupitelnou úlohu. Jsou základním stavebním kamenem mitotického vřeténka, které slouží k seřazení duplikovaných chromosomů do ekvatoriální roviny, jejich rozdělení na přesnou polovinu, odtažení k pólům a k oddalování pólu od sebe navzájem. Při vzniku mitotického vřeténka vyrůstají z obou centrozomů (pólů mitotického vřeténka) tři typy mikrotubulů: astrální, kinetochorní a polární mikrotubuly (obrázek 2.21). Polární mikrotubuly rostou směrem k ekvatoriální rovině, kde se spojí do tzv. přepojení (cross-links). Tyto spoje nejenže, že brání rozpadu mikrotubulů, ale také umožňují prodlužování polárních mikrotubulů. V místech překrytí se nacházejí motorové proteiny, které umožňují posun mikrotubulů v podélném, směru a tak se mikrotubuly prodlužují a póly se od sebe vzdalují. Oblast překrytí zůstává přibližně stejná. Dalším typem mikrotubulů, které se podílí na oddalování pólů, jsou astrální mikrotubuly, které tvoří jakousi paprsčitou sít navázanou na plazmatickou membránu. Tato sít ukotvuje póly mitotického vřeténka v prostoru buňky a pomocí motorových proteinů, které jsou zachyceny v plazmatické membráně, odtahuje póly mitotického vřeténka od ekvatoriální roviny. Posledním typem mikrotubulů mitotického vřeténka jsou kine-

2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA 23 tochorní mikrotubuly. Jejich růst směřuje do oblasti, kde se po rozpadu jaderné membrány nachází chromozomy, aby se tu navázaly na kinetochory chromozomů. Když se mikrotubuly připojí ke kinetochoru, začnou si celý chromozom přitahovat ke svému pólu. Tento pohyb je ovšem vyrovnán mikrotubuly z opačného centrozomu, které činí totéž. Následuje přetahování o chromosom pohybující se sem a tam, dokud se neusadí v ekvatoriální rovině. Metafáze končí s usazením posledního chromozomu v této rovině. Princip přetahování je vysvětlován tím, že na chromozomy působí síly závislé na vzdálenosti od pólů. Předpokládá se, že čím je chromozom více vzdálen od pólu, tím je síla, která ho přitahuje k pólu větší. V případě, že by nedošlo k navázání chromozomu na mitotické vřeténko, nebo se chromozom napojí oběma kinetochory na jeden pól vřeténka a nebo se v anafázi nepodaří chromatidy správně od separovat, výsledkem celého dělení budou dvě defektní buňky s rozdílným počtem chromozomů. V průběhu mitózy jsou mikrotubuly pod vlivem polymerizace a depolymerizace, kde tyto děje jsou během pozdní profáze několikanásobně zrychleny (z 5 minut na 15 s). Z toho vyplývá, že M-fáze je charakteristická rozsáhlou změnu v mikrotubulární síti, která je doprovázena zvýšením spotřeby energie [1].

Kapitola 3 Fröhlichova teorie, experimenty a buněčné elektromagnetické pole Tato část se mimo jiné zabývá Fröhlichovou teorií, experimenty a buněčným elektromagnetickým polem. Experimenty se na jednu stranu zaměřují na měření oscilací buněčné membrány a na stranu druhou na měření elektromagnetického pole v okolí buněk a to přímým i nepřímým způsobem. 3.1 Fröhlichova teorie Jedním z nejvýznamnějších vědců, zkoumajících tématiku mechanismů kooperativních jevů, organizaci a samoorganizaci biologických systémů, byl teoretický fyzik Herbert Fröhlich (1905-1991). Fröhlich se narodil v Německu, ale život strávil ve Velké Británii, kde patřil ke královské společnosti. Tento velký muž postuloval ucelenou fyzikální teorii, která se snaží vysvětlit mechanismy vzniku a působení elektromagnetického pole v biologických systémech. Během svého života přišel na to, že koherentní vibrační systémy v buňkách jsou lokalizovány v buněčných membránách. V řadě svých prací píše, že koherentní vibrační systémy jsou v molekulách bílkovin, nebo s těmito molekulami úzce provázány. Tyto molekuly jsou vysoce polární a svou mechanickou vibrací mohou tedy generovat elektromagnetické pole, které by mohlo na velkou vzdálenost umožňovat vzájemnou interakci s prostorově a možná i funkčně oddělenými systémy. Fröhlich postuloval v biologických systémech elektricky polární longitudinální vibrace, dále transformaci energie v nelineárních systémech do určitých, kvazi-nejnižších, vibračních módů, které mohou být koherentní v případě, že jsou dostatečně vybuzeny. Jinak řečeno, tepelná energie se nerozprostře rovnoměrně do všech frekvencí, 24

3.1. FRÖHLICHOVA TEORIE 25 ale vlivem nelinearity může zkondenzovat v některém, systému vlastním, módu. Jako poslední předeslal existenci koherentních vibračních stavů. Fröhlichova teorie popisuje pouze základní principy kondenzace energie. Skutečné mechanismy budou mnohem složitější. Podrobnější vysvětlení této teorie naleznete v pracích Fröhlicha [21 24]. Tuto teorii se v minulosti pokoušela ověřit nebo vyvrátit celá řada vědců. Zde uvedeme jen některé z nich. 3.1.1 Měření vibrací K měření společných mechanických vibrací buněčných struktur byly použity různorodé metody měření. Od speciální bezkontaktní mikroskopie založené na optické metodě, přes metodu měření pomocí mikroskopu na bázi atomových sil (AFM) pro detekci mechanických vibrací nízkých frekvencí, po speciální typ Brillouinovy spectroskopie 1 nebo Ramanovy spektroskopie pro měření buněčných a molekulárních vibrací v řádu GHz až THz. Prostorové rozložení vibrací od minima po maximum může být v řádu stovek nm. Proto musí použitá měřící metoda mít rozlišení menší nežli mikron, aby mohla detekovat vibrace, které mají také komplexní rozložení pole. He a kol. [25] informovali o periodickém pohybu lidských rakovinotvorných buněk měřených pomocí rozptylu laseru na 1550 nm. Naměřená frekvence byla pod 0.1 Hz a ztratila se v šumu, poté co buňka umřela. Piga a kol. [26] použili rozptyl blízkého pole optického mikroskopu, který je schopný detekovat maličký vertikální moment na buněčné membráně v rozsahu 1 nm a je o tři řády lepší nežli běžný optický mikroskop. Objevili oscilace buněčné membrány krysího nádoru dřeně nadledvin nad 30 Hz, získané Fourierovou analýzou měřeného signálu. Lokální nanomechanický pohyb buněčné stěny kvasinkových buněk ( Saccharomyces cerevisiae) byl měřen Pellingem a kol. [27, 28] pomocí mikroskopu na bázi atomových sil (AFM). Autoři použili Fourierovu transformaci na měření výškového profilu signálu z fixovaných vzorků - konzola horizontální pozice. Našli vibrace s amplitudou v řádu nm ve frekvenčním rozsahu okolo 2 khz. Vibrace měly rozdílné frekvence a byly závislé na teplotě. Šumové pozadí AFM systému bylo v řádu 10 2 nm. 1 Fenomén neelastického rozptylu světla na akustických fononech byl prvně popsán Leonem Brillouinem (1889-1969) v roce 1922 a o 4 roky později nezávisle Leonidem Mandelstamem. Tento jev tedy bývá označován jako Brillouin-Mandelstam rozptyl (BMS)

3.1. FRÖHLICHOVA TEORIE 26 3.1.2 Přímá měření Byly prováděny přímé experimenty ve frekvenčním rozsahu od KHz po MHz. Tabulka 3.1.2 ukazuje frekvence, na kterých pánové Hölzel a Lamprecht detekovali elektrické RF oscilace [29]. Druh detekovaná frekvence (MHz) Saccharomyces cervisiae RXII 1.5, 2.6, 5.7, 17.8, 52 Schizosaccharomyces pombe 3.1, 3.7, 4.8 Monoraphidium griffithii 2.8, 8.5, 15.8, 16.5, 34.8 Tabulka 3.1: Frekvence detekované Hölzelem Pokorný a kol. [30] měřili elektromagnetickou aktivitu v blízkosti kvasinkových buněk, které právě procházely mitózou (viz. část 2.6). Zjistili, že během mitózy, která je doprovázena intenzivnější aktivitou v cytoskeletární síti (převážně mikrotubulární části), je v okolí kvasinkových buněk zvýšená hodnota elektromagnetického pole. Na frekvenci 8,055 MHz naměřili hodnotu výkonu nad šumem. Jelínek a kol. [31] měřili mechanické a elektrické vibrace buněčné membrány kvasinkových buněk (Saccharomyces cervisiae). Bylo zjištěno, že synchronizované buňky vykazují vyšší elektrickou aktivitu nežli buňky nesynchronizované měřené ve frekvenčním pásu 0,4 1,6 khz. Dále bylo zjištěno, že ve zmíněném frekvenčním pásmu frekvence mechanických oscilací odpovídá oscilacím elektrickým. 3.1.3 Nepřímá měření Dielektroforéza Mnoho nepřímých měření buněčného EMP na principu dielektroforézy (DEP) prováděl Pohl, Hölzel s Lamprechtem, Rivera a další. Dielektroforéza je jev, při kterém neuniformní elektrické pole působí na neutrální částečku polarizačním efektem. Elektrické pole vyvolává v částečce dipólový moment a síla působící na částečku je odvozena od síly působící na dipólový moment v elektrickém poli. Síla působící na částečku je dána vztahem: F V (ε p ε s ) E 2 (3.1) F je síla působící na dielektrickou částečku V je objem částečky ε p je permitivita částečky (particle)

3.1. FRÖHLICHOVA TEORIE 27 ε s je permitivita okolního prostředí (surroundings) označuje gradient E je elektrické pole Pohl k měření buněčného pole používal částečky s velikostí řádově několik µm (µ - DEP) a s rozdílnou permitivitou. Částečka Částečky byly odpuzovány nebo přitahovány k Relativní permitivita na 1 khz BaTiO 3 2000 SrTiO 3 5000 NaNbO 3 50 BaSO 4 11.5 SiO 2 2.8 Al 2 O 3 7.5 Tabulka 3.2: Částečky použité v µ-dep experimentech povrchu buňky, když měli nižší nebo vyšší relativní permitivitu, v tomto pořadí, v porovnání s relativní dielektrickou konstantou okolního prostředí. Pohl přišel na to, že všechny testované buňky vykazují tento efekt (bakterie (B. Cereus), fungi (S. cervisiae), řasy, ptačí (kuřecí erytrocyty), savčí (myší fibroblasty)). Dále ověřil, že tento efekt je přítomen jenom u metabolicky aktivních buněk a je nejvýraznější při mitóze (viz. část 2.6), podle počtu přitažených částic. Také odhadl frekvence buněčných elektrických oscilací v pásmu od khz po MHz [32, 33]. částečky buňka a) b) Obrázek 3.1: a) Dielektroforetický efekt řasy Monoraphidium griffithii, b) demonstruje dielektroforetický efekt řasy Netrium digitus Na obrázku 3.1 je vidět, jak metabolicky aktivní buňky přitahují, nebo odpuzují µm dielektrické částečky. Obrázek 3.1a) ukazuje dielektroforetický efekt řasy

3.2. GENERACE BUNĚČNÉHO ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE 28 Monoraphidium griffithii [34], kde ε p > ε s. Částečky jsou přitahovány do maxima intenzity elektrického pole (k buňce). Druhý obrázek 3.1b) demonstruje dielektroforetický efekt řasy Netrium digitus [35], kde ε p < ε s. Částečky jsou vtaženy do minima elektrického pole (od buňky). Grundler a kol. [36] zkoumali vliv vysokofrekvenčního záření na růst kvasinkových buněk. Používali frekvenční rozsah od 41,83-41,96 GHz. Zjistili, že v blízkém okolí tohoto rozsahu nejsou žádné významné reakce. Oproti tomu uvnitř tohoto rozsahu byly měřeny změny v rychlosti růstu. Reprodukovatelná výchylka měření rychlosti růstu byla ±3%. Změřili, že na určitých frekvencích ve zmíněném rozsahu, byla změna rychlosti růstu o 15% při zrychlení růstu a o 29% při utlumení růstu, což je daleko nad limitem reprodukovatelnosti. 3.2 Generace buněčného elektromagnetického pole Cytoskeleton (zejména mikrotubuly) je pravděpodobným zdrojem generace elektromagnetického pole v buňce. Jsou to právě jeho podjednotky, tubulinové heterodiméry, které oscilací svého dipólového momentu generují ve svém okolí elektromagnetické pole. V této části se budeme zabývat podmínkami pro vznik elektromagnetického pole, stejně jako mechanickými vibracemi mikrotubulu a také se zabýváme tlumením těchto vibrací. 3.2.1 Zdroj energie pro mechanické vibrace mikrotubulů Mechanické vibrace v mikrotubulech, které jsou polárními strukturami, mohou generovat elektrické pole v jejich okolí. Zdroje energie pro mechanické vibrace mikrotubulů byly analyzovány v pracích [2, 37]. Zde bylo odhadnuto, že energie může být dodávána při transformaci GTP na GDP, když mikrotubul roste a rozpadá se, za druhé z energie, kterou mitochondrie (viz. část 2.2) nevyužijí na výrobu ATP, ale je vyzářena jako infračervené záření do okolí, a za třetí z pohybu motorových (viz. část 2.5.5) proteinů dyneinů a kinesinů, kteří se pohybují podél mikrotubulu. Tlumení vibrací Mitochondrie ve svém okolí vytváří silné statické pole (viz. část 2.2.1). Mikrotubulární a mitochondriální sítě jsou v těsné blízkosti (obrázek 2.5), a proto jsou mikrotubuly vystaveny tomuto poli. Voda v okolí mikrotubulů se při splnění určitých podmínek

3.2. GENERACE BUNĚČNÉHO ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE 29 volná voda H 0,942 A o 106 H molekula vody stěna mikrotubulu vázaná voda Obrázek 3.2: Struktura vázané a volné vody seskupuje do struktury, která se často označuje jako voda vázaná, nebo také organizovaná. Tato struktura vody (obrázek 3.2) má nižší emisivitu a braunovský pohyb, ale díky své struktuře větší hustotu nežli voda volná. Organizovaná voda, což je pro nás nejdůležitější, snižuje tlumení longitudinálních vibrací v porovnání s vodou volnou, jako by struktura vody podél mikrotubulu vytvářela kluznou plochu. IR z mitochondrií se v této vodě nemění na teplo, nezvyšuje entropii, ale zvyšuje její uspořádání. Tloušt ka vrstvy organizované vody může být až několik µm. Struktura vázané vody uvedená na obrázku je jen triviální ukázkou jednoduchého geometrického uspořádaní. Ve složité mikrotubulární síti uvnitř buňky je geometrická situace mnohem komplikovanější, a proto struktura vázané vody nebude pravděpodobně ve větší vzdálenosti od mikrotubulu tak pravidelná a její tloušt ka bude mnohem menší. 3.2.2 Transformace energie Intenzita elektrického pole kolem mitochondrií závisí na koncentraci vodíkových iontů (protonů) v mezimembránovém prostoru a na jejich difúzi skrz vnější membránu. Statické elektrické pole mitochondrií může hrát důležitou roli v posílení nelineárních podmínek v mikrotubulech a dalších cytoskeletárních strukturách. Mikrotubuly mají orthotropické mechanické vlastnosti. Z obecného pohledu silné statické pole a mechanická anisotropie vytváří nelinearitu pro elasto-mechanické a polarizační vlny v mikrotubulech. Je dobře známo, že transmembránový potenciál tvoří silné statické pole (v řádu 10 6 10 7 V/m) v membránách tvořených z proteinů a lipidové dvouvrstvy. Membrána má také anisotropické elasto-mechanické vlastnosti a je vázána na cytoskelet a také přímo na mikrotubuly, které mohou přenášet vibrace k membráně.

Kapitola 4 Jednoduchá mikrotubulární sít - star model V této části se budeme zabývat nejen aproximací elektrických vlastností tubulinového heterodiméru, ale také podélnými vibracemi heterodiméru v mikrotubulu a jejich aproximací. Nastíníme myšlenku výpočtu elektromagnetického pole v okolí mikrotubulární sítě a uvedeme jak jsme počítali celkový vyzářený výkon z buněčné sítě mikrotubulů. Aproximace elektrických vlastností tubulinového heterodiméru Jak je uvedeno v části 2.5.1 tubulinový heterodimér je polární struktura, která má dipólový moment podle tabulky 2.1. Jako aproximaci elektrických vlastností tubulinu jsme zvolili elementární elektrický dipól, který je popsán rovnicemi 4.9-4.11 a obrázkem 4.15. Podrobnější odvození rovnic naleznete v příloze A. Jako hodnotu dipólového momentu budeme uvažovat p x = 337 D z tabulky 2.1. Hodnota 337 D je hodnota dipólového momentu tubulinového heterodiméru ve směru osy X (směr osy mikrotubulu). Aktivní část dipólového momentu, která se podílí na generaci elektromagnetického pole, bude několikrát menší a budeme ji nazývat p A aktivní část (viz. část 4.2 ) 4.1 Buzení mikrotubulu Buzení mikrotubulu znamená jak mohou mechanicky oscilovat tubulinové heterodiméry v mikrotubulu. My jsme předpokládali, že mikrotubul by mohl být buzen ve fázi, náhodně, nebo podélnou vlnou. 30

4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU 31 Buzení ve fázi znamená, že všechny heterodiméry oscilují se stejnou amlitudou a fází, tedy že p A všech EEDs mají stejnou velikost. Rozložení elektromagnetického pole okolo mikrotubulu buzeného ve fázi (mód 0) se chová jako pole jednoho dipólu (obrázek 4.4). Náhodné buzení představuje tepelné kmity mikrotubulární mřížky. Tyto nekoheretní vibrace byly modelovány pomocí náhodně orientované aktivní části dipólového momentu. Náhodná orientace byla řešena pomocí funkce: p n = p A sin(mat) (4.1) kde p n je náhodně orientovaný dipólový moment, p A je aktivní část dipólového momentu a mat je matice náhodných čísel od 0 do 1 (s normálním rozložením) vynásobená hodnotou 2π. Tento typ buzení spolu s buzením ve fázi byl důkladněji řešen v práci [38]. Proto se těmito typy buzení nebudeme již více zabývat. Posledním ze zmíněných typů buzení je buzení podélnou vlnou. 4.1.1 Podélná vlna Longitudinální vibrace tubulinových heterodimérů v jednotlivých protofilamentech jsme aproximovali jako oscilace lineárního dvouhmotnostního řetězce tvrdých částic. K odvození jsme využili teorie fyziky pevných látek. Odvození podle [39] naleznete v příloze C. Zvolili jsme optickou větev kmitání (sousední částice kmitají proti sobě). Pohyb částeček a jim odpovídající oscilace dipólových momentů popisuje prostorová modulační funkce daná rovnicí. p m = p A sin(mw) (4.2) kde p m označuje modulovaný dipólový moment, p A je aktivní část dipólového momentu a mw je vzdálenost podél mikrotubulu definovaná jako start:krok:konec. mw = cs + sw 2 : sw : 4 mod π cs sw 2 (4.3) cs = sw s(npt) lh (4.4) sw = 4 mod π (4.5) ah kde sw je krok na vlně, mod je mód buzení, ah je počet heterodimérů v protofilamentu, cs je korekční posun, lh je délka heterodiméru a s(npt) je posun protofilament

4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU 32 (mřížka A, Tab. 2.14). Funkce reprezentuje módy od módu 0 (všechny dipóly oscilují ve fázi, obrázek 4.1 a)) až po max mód (sousední dipóly oscilují v protifázi, obrázek 4.2 b)). Mód 1 představuje polovinu vlnové délky na mikrotubulu. Maximální mód koresponduje s počtem heterodimérů v protofilamentu. Matematicky by sice mohl být ještě vyšší mód nežli maximální mód, ale fyzikálně se módy jen opakují v rozsahu 0 až max. Vyšší módy 1 vypadají jako longitudinální vlny, které mají v řezu kolmém k ose mikrotubulu stejnou fázi. Byly řešeny celočíselné módy, které odpovídají okrajovým podmínkám nulového rozkmitu na koncích protofilamenta. a) vzdálenost b) vzdálenost c) vzdálenost Obrázek 4.1: Módy a) 0, b) 8 a c) 26 na prvním protofilamentu s 50 heterodiméry. Každý heterodimér je reprezentován kolečkem a) vzdálenost b) vzdálenost Obrázek 4.2: Módy a) 40, b) 50 na prvním protofilamentu s 50 heterodiméry. Každý heterodimér je reprezentován kolečkem 1 Považujeme za módy s větší hodnotou, nežli je polovina maximálního módu

4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU 33 Obrázky 4.1 a 4.2 zobrazují módy 0, 8, 26, 40 a 50, které jsou na prvním protofilamentu (protofilamento, které se neposouvá). Každý EEDs je označen kolečkem. Velikost funkce odpovídá podélnému rozkmitu sousedních EEDs. Protofilamenta mají mezi sebou vzájemný posun 4,92 nm (tabulka 4.3), a proto bylo nutné také posunout modulační funkci speciálně pro každé protofilamento, abychom zajistili stejnou fázi modulační funkce v řezu kolmé na osu mikrotubulu (zajišt uje člen cs z rovnice 4.4). U vyšších módů (větších nežli mód max/2) se projevuje efekt, který připomíná známý fenomén z teorie amplitudové modulace. Když se smísí dvě blízké frekvence, tak se ve spektru objeví nejen spektrální čáry obou frekvencí, ale také se tam objeví spektrální čáry na frekvenci dané rozdílem obou frekvencí. Nicméně, toto není náš případ. V našem případě se jedná pouze o efekt vzorkování modulační vlny mikrotubulární mřížkou a jako produkt vzniká obálka (na obrázcích 4.1c a 4.2b zobrazena modře). Při posunutí modulační funkce se také posouvá obálka a na povrchu mikrotubulu vytváří spirálovitou symetrii jak je vidět na obrázku 4.3. a) b) Obrázek 4.3: Intenzita elektrického pole v logaritmickém měřítku 1 nm nad stěnou mikrotubulu. a) mód 25 a b) mód 40 Obrázky 4.4-4.8 zobrazují rozložení veličin E, H a S v okolí jednoho mikrotubulu, který byl buzen podélnou vlnou s módy 0, 8, 26, 40 a 50. Každé protofilamento je složeno z 50 heterodimérů, frekvence oscilací heterodimérů byla nastavena na 42 GHz a prostředí bylo ztrátové podle tabulky 4.1. Barva zobrazuje velikost dané veličiny a šipka její směr. Barva hrotu šipky je pro E červená, pro H modrá a pro S zelená. Zobrazení módu 0 ukazuje, že charakter tohoto rozložení pole je stejné jako rozložení pole elementárního elektrického dipólu. U dalších módů je patrná vysoká nehomogenita rozložení pole, která je zvláště u vysokých módu doprovázena lokálními minimy. Tyto minima jsou také dobře zřejmá z obrázků 4.10-4.12, které následují na několika dalších stránkách.

4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU 34 (a) Intenzita elektrického pole E [log(v/m)] (b) Intenzita magnetického pole H [log(a/m)] (c) Poyntingův vektor S [log(w/m 2 )] Obrázek 4.4: Rozložení a) E, b) H a zobrazení c) S, při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 0. Barva udává velikost veličiny a šipky její směr

4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU 35 (a) Intenzita elektrického pole E [log(v/m)] (b) Intenzita magnetického pole H [log(a/m)] (c) Poyntingův vektor S [log(w/m 2 )] Obrázek 4.5: Rozložení a) E, b) H a zobrazení c) S, při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 8. Barva udává velikost veličiny a šipky její směr

4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU 36 (a) Intenzita elektrického pole E [log(v/m)] (b) Intenzita magnetického pole H [log(a/m)] (c) Poyntingův vektor S [log(w/m 2 )] Obrázek 4.6: Rozložení a) E, b) H a zobrazení c) S, při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 26. Barva udává velikost veličiny a šipky její směr

4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU 37 (a) Intenzita elektrického pole E [log(v/m)] (b) Intenzita magnetického pole H [log(a/m)] (c) Poyntingův vektor S [log(w/m 2 )] Obrázek 4.7: Rozložení a) E, b) H a zobrazení c) S, při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 40. Barva udává velikost veličiny a šipky její směr

4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU 38 (a) Intenzita elektrického pole E [log(v/m)] (b) Intenzita magnetického pole H [log(a/m)] (c) Poyntingův vektor S [log(w/m 2 )] Obrázek 4.8: Rozložení a) E, b) H a zobrazení c) S, při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 50. Barva udává velikost veličiny a šipky její směr

4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ39 konec mikrotubulu osa MT střed mikrotubulu 23 nm 50 nm 90 nm Obrázek 4.9: Zobrazení řezů, ve kterých jsou porovnávány módy 0, 8, 26, 40 a 50. Modré čáry značí vzdálenosti podél osy mikrotubulu a černé (čárkovaná) značí radiální vzdálenosti od středu a od konce mikrotubulu Obrázky 4.10-4.12 popisují závislost intenzity elektrického a magnetického pole a Poyntingova vektoru na vzdálenosti podél osy mikrotubulu ve vzdálenostech 90nm, 50nm a 23nm od stěny mikrotubulu. Závislost E, H a S na radiální vzdálenosti od konce a středu mikrotubulu zobrazují obrázky 4.13 a 4.14, v tomto pořadí. Obrázek 4.9 zobrazuje v jakých místech jsou veličiny E, H a S vyhodnocovány. Při porovnání jednotlivých módů docházíme k závěru, že hodnoty intenzity magnetického klesají rychleji u vyšších módů nežli u nižších módů. V případě intenzity elektrického pole je tento trend obdobný, ale jen pro radiální vzdálenost od konce mikrotubulu. V případě radiální vzdálenosti od středu mikrotubulu se mód 0 vyznačuje tím, že v malých vzdálenostech od středu mikrotoubulu dosahuje nižší hodnoty, nežli módy vyšší (obrázek 4.14). Je to způsobeno tím, že mód 0 má rozložení pole jako pole elementárního elektrického dipólu. Mezi póly dipólu s módem 0 je velmi malá hodnota intenzity elektrického pole. Naproti tomu, vyšší módy se vyznačují tím, že v okolí středu mikrotubulu dosahují vyšších hodnot intenzit elektrického pole, která je způsobena tím, že tyto módy mají multipolární charakter. Multipóly jsou charakteristické svým nižším vyzařováním v porovnání s dipóly. 4.2 Parametry prostředí, frekvence, dipólový moment a ϑ Prostředí, ve kterém počítáme E, H a S, jsme rozdělili na ztrátové a bezeztrátové. Ztrátové prostředí odpovídá fyziologickému roztoku [40] a bezeztrátové [41, 42]

4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ40 E [log(v/m)] 3 2.5 2 1.5 1 0.5 Intenzita elektrického pole podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 90 nm od MT mod 0 mod 8 mod 26 mod 40 mod 50 H [log(a/m)] S [log(w/m 2 )] 0 1 0 1 2 3 4 5 vzdálenost [m] x 10 7 2 3 4 5 (a) Intenzita elektrického pole E [log(v/m)] Intenzita magnetického pole podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 90 nm od MT mod 0 6 mod 8 mod 26 7 mod 40 mod 50 8 1 0 1 2 vzdálenost [m] 3 4 5 x 10 7 0 2 4 6 (b) Intenzita magnetického pole H [log(a/m)] Velikost Poyntingova vektoru podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 90 nm od MT mod 0 mod 4 mod 8 mod 26 mod 40 mod 50 8 1 0 1 2 3 4 5 vzdálenost [m] x 10 7 (c) Poyntingův vektor S [log(w/m 2 )] Obrázek 4.10: Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 90 nm

4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ41 3.5 Intenzita elektrického pole podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 50 nm od MT E [log(v/m)] 3 2.5 2 1.5 1 mod 0 mod 8 mod 26 mod 40 mod 50 H [log(a/m)] 0.5 0 1 0 1 2 3 4 5 vzdálenost [m] x 10 7 1 2 3 4 (a) Intenzita elektrického pole E [log(v/m)] Intenzita magnetického pole podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 50 nm od MT 5 mod 0 6 mod 8 mod 26 7 mod 40 mod 50 8 1 0 1 2 vzdálenost [m] 3 4 5 x 10 7 2 0 (b) Intenzita magnetického pole H [log(a/m)] Velikost Poyntingova vektoru podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 50 nm od MT S [log(w/m 2 )] 2 4 mod 0 6 mod 8 mod 26 8 mod 40 mod 50 10 1 0 1 2 vzdálenost [m] 3 4 5 x 10 7 (c) Poyntingův vektor S [log(w/m 2 )] Obrázek 4.11: Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 50 nm

4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ42 4.5 Intenzita elektrického pole podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 23 nm od MT E [log(v/m)] 4 3.5 3 2.5 mod 0 mod 8 mod 26 mod 40 mod 50 H [log(a/m)] S [log(w/m 2 )] 2 1.5 1 0 1 2 3 4 5 vzdálenost [m] x 10 7 1 2 3 4 (a) Intenzita elektrického pole E [log(v/m)] Intenzita magnetického pole podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 23 nm od MT mod 0 5 mod 8 mod 26 6 mod 40 mod 50 7 1 0 1 2 vzdálenost [m] 3 4 5 x 10 7 2 1 0 1 2 3 (b) Intenzita magnetického pole H [log(a/m)] Velikost Poyntingova vektoru podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 23 nm od MT 4 1 0 1 2 3 4 5 vzdálenost [m] x 10 7 (c) Poyntingův vektor S [log(w/m 2 )] mod 0 mod 4 mod 8 mod 26 mod 40 mod 50 Obrázek 4.12: Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 23 nm

4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ43 E [log(v/m)] 6 5 4 3 Intenzita elektrického pole v závislosti na vzdálenosti radiálnì od konce MT mod 0 mod 8 mod 26 mod 40 mod 50 2 H [log(a/m)] 1.5 2.5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 vzdálenost [m] x 10 8 1 2 (a) Intenzita elektrického pole E [log(v/m)] Intenzita magnetického pole v závislosti na vzdálenosti radiálnì od konce MT 3 mod 0 3.5 mod 8 mod 26 4 mod 40 mod 50 4.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 vzdálenost [m] x 10 8 S [log(w/m 2 )] 4 2 0 2 (b) Intenzita magnetického pole H [log(a/m)] Velikost Poyntingova vektoru v závislosti na vzdálenosti radiálnì od konce MT mod 0 mod 8 mod 26 mod 40 mod 50 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 vzdálenost [m] x 10 8 (c) Poyntingův vektor S [log(w/m 2 )] Obrázek 4.13: Veličiny a) E, b) H a c) S v závislosti na vzdálenosti radiálně od konce mikrotubulu

4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ44 (a) Intenzita elektrického pole E [log(v/m)] (b) Intenzita magnetického pole H [log(a/m)] (c) Poyntingův vektor S [log(w/m 2 )] Obrázek 4.14: Veličiny a) E, b) H a c) S v závislosti na vzdálenosti radiálně od středu mikrotubulu

4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ45 prostředí jsme uvažovali jako destilovaná voda 2. Výpočet výkonu z jednoduché mikrotubulární sítě jsme počítali pro frekvence, které většinou korespondují s experimenty. Zvolené frekvence a parametry ztrátového a bezeztrátového prostředí jsou v tabulkách 4.1 a 4.2, v tomto pořadí. f 1 khz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz 10 GHz 42 GHz 100 GHz ε r [ ] 81 81 81 81 81 71 20 10 σ[s/m] 1 1 1 1 1,33 17,22 39,67 68,50 Tabulka 4.1: Parametry ztrátového prostředí pro jednotlivé frekvence f 1 khz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz 10 GHz 42 GHz 100 GHz ε r [ ] 81 81 81 81 81 71 20 10 σ[s/m] 0 0 0 0 0 0 0 0 Tabulka 4.2: Parametry bezeztrátového prostředí pro jednotlivé frekvence Dipólový moment heterodiméru a osa mikrotubulu svírají úhel ϑ (obrázek 4.16). Nastavení ϑ = 0 reprezentuje longitudinální axiální kmity. Jak je psáno výše, dipólový moment do směru osy X je p x = 337D (viz. tabulka 2.1). Celkový dipólový moment můžeme vyjádřit rovnicí. p celkove = p A + p x (4.6) kde p A je aktivní část dipólového momentu (část, která se aktivně podílí na generaci elektromagnetického pole) a p x je statická část dipólového momentu (vytváří statické elektrické pole, které je ale odstíněno ionty na velice krátké vzdálenosti). Pro khz frekvence jsme ve smyslu článku [27, 28] popsané v části 3.1.1 odhadli velikost oscilací na 1 nm. Z toho vyplývá velikost aktivní části dipólového momentu. 1 nm p A = p x délka heterodiméru = p 1 nm x 8 nm = p 1 x 8 12, 5% z p x (4.7) Pro vyšší frekvence předpokládáme menší velikost vibrací jen 1 Å a tedy velikost aktivní části dipólového momentu vychází. Å p A = p x délka heterodiméru = p 0, 1 nm x 8 nm = p 1 x 80 1, 25% z p x (4.8) 2 Destilovaná voda je reálně ztrátová na vyšších frekvencích (dielektrické ztráty), ale jako model kde se ukáže celkový vyzářený výkon jsme použili médium se stejnou permitivitou jako destilovaná voda, ale úplně bezeztrát.

4.3. POPIS SKRIPTU PRO VÝPOČET CELKOVÉHO VYZÁŘENÉHO VÝKONU Z BUNĚČNÉ SÍTĚ MIKROTUBULŮ 46 4.3 Popis skriptu pro výpočet celkového vyzářeného výkonu z buněčné sítě mikrotubulů Skript pro výpočet elektromagnetického pole buněčné sítě je napsán v programu Matlab. Je složen z hlavního zdrojového kódu a z několika funkcí, které jsou z hlavního kódu volány. Základní myšlenka výpočtu je spočítat pro zadané body vyhodnocení pole, jednotlivé příspěvky IEP a IEP od všech heterodimérů aproximovaných EEDs (obrázek 4.15 a rovnice 4.9-4.11). Skripty pro výpočet IEP od jednoho MT s DM pevně natočeným do kladné části osy Z, již byly řešeny v práci [43]. V práci [44] vznikl skript, který navíc umožňoval natáčet směr DM heterodimérů ve smyslu úhlu ϑ (obrázek 4.16). osa mikrotubulu z z p x y a) b) x p r y Obrázek 4.15: a) Zobrazení mikrotubulu v soustavě souřadné b) Umístění elementárního elektrického dipólu v soustavě souřadné H ϕ = Idl ( 1 4π k2 sin(ϑ p ) jkr + 1 ) e jkr ϕ (jkr) 2 0 (4.9) E r = Idl ( 1 2π Zk2 cos(ϑ p ) (jkr) + 1 ) e jkr r 2 (jkr) 3 0 (4.10) E ϑ = Idl ( 1 4π Zk2 sin(ϑ p ) jkr + 1 (jkr) + 1 ) e jkr 2 (jkr) ϑ 3 0 (4.11) H je intenzita magnetického pole E je intenzita elektrického pole, I je harmonický proud, p je dipólový moment,

4.4. HLAVNÍ ZDROJOVÝ KÓD 47 k je konstanta šíření, Z je vlnová impedance, j je imaginární jednotka (j 2 = 1) a další symboly jsou patrné z obrázku 4.15. V této práci se budeme zabývat natočením celého MT a DM jednotlivých heterodimérů, dopočítáním magnetické složky pole a vytvořením skriptu pro výpočet elektromagnetického pole od jednoduché sítě MT. Dále budeme počítat velikost Poyntingova vektoru a celkový vyzářený výkon z jednoduché buněčné sítě mikrotubulů. A na závěr budeme porovnávat výsledky z modelu s experimentálně získanými daty. osa mikrotubulu dipólový z moment heterodimeru úhel theta pa pa pa pa pa x y úhel fí Obrázek 4.16: Mikrotubul s posunutými protofilamenty a zobrazení dipólového momentu heterodimerů 4.4 Hlavní zdrojový kód Hlavní zdrojový kód se skládá z několika částí. První je deklarace proměnných a parametrů pro nastavení prostředí, frekvence a geometrie. Druhá obsahuje samotný výpočet veličin a v poslední části se nachází vykreslení. Ještě před samotnou inicializací proměnných, se nastavuje rozložení MTs v prostoru. Rozmístění MTs je možné provést dvěma způsoby: Pro případ rovnoměrného rozložení můžeme použít funkci fcerrmin e,

4.5. FUNKCE PRR 48 která je napsána v Matlabu, nebo načíst souřadnice z předem spočteného souboru. Soubor nám spočte program napsaný v C++, který se jmenuje rovnoměrné rozložení na sférické ploše s minimální potenciální energií [45]. V případě, že si chceme rozmístit MTs do libovolných směrů, můžeme zadat přímo jednotlivé úhly ds a ζ. Dále pokračuje nastavení bodů vyhodnocení pole. Vyhodnocovat pole je možné bud v rovině YZ procházející kolmo na osu X, nebo na sférické ploše. Pro zobrazení rozložení velikosti a směru jednotlivých veličin je použito nerovnoměrného rozložení zajištěného funkcí sphere. Pro výpočet celkového vyzářeného výkonu je použito rovnoměrné rozložení. Po inicializaci proměnných následuje vlastní výpočet. Ten je zahájen třemi forcykly. První dva slouží k průchodu přes všechny body vyhodnocení pole a třetí, je pro úhel φ, který určuje umístění PTs v rovině XY. Uvnitř for-cyklů se nachází funkce PRR (posun rotace-rotace), která (viz. příloha B) je jádrem celého skriptu a skládá se z několika funkcí (obrázek 4.17), ve kterých se řeší jednotlivé části výpočtu. vstup z hlavního zdrojového kódu (souřadnice budu vyhodnocení pole, číslo PT a konstanty) 3. funkce: rotace zdrojový kód: rotacemtadm zdrojový kód: PRR výstup do hlavního zdrojového kódu (příspěvky IEP a IMP do směrů os X, Y a Z z jednoho protofilamenta ) Obrázek 4.17: Struktura funkce posun rotace-rotace 4.5 Funkce PRR Funkce PRR počítá příspěvky elektrické a magnetické složky pole od jednotlivých heterodimérů v PT. Začátek funkce PRR obsahuje další funkci rotacemtadm a její zdrojový kód. Vstupní data pro zdrojový kód funkce PRR předpřipravuje funkce rotacemtadm.

4.5. FUNKCE PRR 49 4.5.1 Funkce rotacemtadm Tato funkce nejprve nastaví velikost DM jednotlivých heterodimérů, podle toho, jestli počítáme s podélnou vlnou (viz. část 4.1.1), bez podélné vlny, nebo máme náhodné buzení. Dále se nastaví hodnota posunu PT a to bud na příslušný posun podle tabulky 4.3 (obrázek 4.18), nebo na nulu (bez posunu). Poté se vypočítají číslo PT 2 3 4 5 6 7 posun vůči 1. PT [nm] -4.92-1.84-6.76-3.68-0.6 2.48 číslo PT 8 9 10 11 12 13 posun vůči 1. PT [nm] -2.44 0.64-4.28-1.2-6.12-3.04 Tabulka 4.3: Podélné posunutí protofilament v mřížce A souřadnice aproximovaných heterodimérů pomocí rovnic 4.12-4.14. xhet = (D/2) cos(ϕ) (4.12) yhet = (D/2) sin(ϕ) (4.13) zhet = (0 : 8 10 9 : Lp) posun (4.14) Kde D je střední průměr MT (21 nm), Lp je délka a posun je posun PTs podle tabulky 4.3. Z úhlu ϑ se spočtou koncové body DMs pomocí rovnic 4.15-4.17, které po natočení slouží k určení směru DM natočeného dipólu. xdm = xhet + (5nm) sin(ϑ) cos(ϕ) (4.15) ydm = yhet + (5nm) sin(ϑ) sin(ϕ) (4.16) zdm = zhet + (5nm) cos(ϑ) (4.17) Význam úhlů ϑ a ϕ je patrný z obrázku 4.16. 4.5.2 Funkce rotace Na body vypočtené v rovnicích 4.12-4.17 se uplatní funkce rotace, která realizuje natáčení MTs. Myšlenka natočení MTs, DMs a zjištění směru DMs jednotlivých heterodimérů je řešena následujícím způsobem. Souřadnice vložené do funkce rotace se nejprve vyzvednou nad nulu konstantou zdvih (rovnice 4.18). Poté se pomocí

4.5. FUNKCE PRR 50 4,92nm 4,92nm 4,92nm.. 1 7 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 8nm Obrázek 4.18: Plášt mikrotubulu s posunem protofilament v mřížce A rovnic 4.19-4.21 natočí ve smyslu úhlů χ a ζ (obrázek 4.19). z 00 = z 00 + zdvih (4.18) x 3 = x 00 sin(χ) y 00 cos(χ) (4.19) y 3 = x 00 cos(ζ) cos(χ) y 00 cos(ζ) sin(χ) + z 00 sin(ζ) (4.20) zz 0 = x 00 sin(ζ) cos(χ) + y 00 sin(ζ) sin(χ) + z 00 cos(ζ) (4.21) Úhel χ natáčí PTs kolem aktuální osy MT. Poté se zjišt uje vzdálenost bodů od osy Z, čímž získáme poloměr kružnice R, po které budeme body natáčet o úhel ds (obrázek 4.19). Pomocí rovnic 4.21, 4.23 a 4.24 získáme souřadnice natočených EEDs - xx0, yy0 a zz0. uhelp om = arctan 2(x 3, y 3 ) (4.22) xx 0 = R sin( ds + uhelp om + π 2 ) (4.23) yy 0 = R cos( ds + uhelp om + π 2 ) (4.24) Stejný způsob natočení se uplatní na koncové body DM a získáme souřadnice x k, y k a z k. Z vrácených souřadnic je pomocí směrových vektorů vypočten úhel ξ a pomocí souřadnic x 0 a y 0 je vypočten úhel η (obrázek 4.20). Úhly eta a ksi a souřadnice heterodimerů jsou vstupními daty pro zdrojový kód ve funkci PRR (odvození zdrojového kódu pro funkci PRR je v příloze B). Funkce PRR počítá jak elektrickou, tak i magnetickou složku pole. Uvažuje ztrátové, nebo bezeztrátové prostředí a fázi. Výsledkem funkce PRR je spočtený příspěvek elektrické a magnetické složky od jednoho PT rozdělen do směrů os X, Y a Z. Tyto příspěvky jsou dále

4.5. FUNKCE PRR 51 protofilamentum z úhel chi úhel zeta zdvih D/2 D/2 ds úhel ds x úhel chi Obrázek 4.19: Natočení mikrotubulu ve smyslu úhlů ζ, ds a χ Obrázek 4.20: Výpočet natočení dipólového momentu - úhly η a ξ ukládány do 3D matic 3 intenzit elektrického a magnetického pole, 4, které když obsa- 3 3D matici chápeme jako 3D tenzor. 4 Řádek matice udává číslo protofilamenta, sloupec vyjadřuje číslo heterodiméru a podlažích je 10 (3. rozměr matice).

4.5. FUNKCE PRR 52 hují příspěvky od všech EED z 1 MT (tedy jsou spočtena všechna protofilamenta), se bud všechny sečtou na jednu hodnotu a uloží do jiné 3Dp matice 5 na příslušné místo v případě veličin E a H, nebo se z nich spočte Poyntingův vektor a uloží se také do jiné 3Dp (SxxPT,...) matice na příslušné místo dané souřadnicemi bodů vyhodnocení pole. 3Dp matic je tolik, kolik je mikrotubulů v počítané struktuře a všechny 3Dp matice se postupně sčítají do finální matice. Finální matice pro E jsou EEEx3D, EEEy3D a EEEz3D, pro H to jsou HHHx3D, HHHy3D a HHHz3D a pro S to jsou SxxMT, SyyMT a SzzMT. U těchto matic číslo řádku a sloupce odpovídá číslu řádku a sloupce v maticích pro souřadnice os X, Y a Z. Ve třetím rozměru 3D matice jsou v podlažích pouze příspěvky od jednotlivých členů složek EED 6. Nakonec jsou matice bud sečteny po podlažích (dostáváme 2D matici s výslednou hodnotou E, H nebo S v závislosti na souřadnicích os X, Y a Z) a vykresleny nebo jsou vykreslena přímo jednotlivá podlaží neboli jednotlivé příspěvky členů složek EED. Členy složek EED jsou do podlaží rozděleny podle tabulek 4.4, 4.5 a 4.6 ), kde číslo indexu znamená mocninu členu jkr. Dále jsou tyto matice využity v části počítání Poyntingova vektoru, vykreslování modulu a směru EEP, EMP a S. číslo podlaží v 3D mat. 1 2 3 4 5 6 člen složky E ϑ E ϑ1 E ϑ2 E ϑ3 E ϑ1 E ϑ2 E ϑ3 číslo podlaží 7 8 9 10 člen složky E ϑ 0 0 0 0 Tabulka 4.4: Rozložení členů složky E ϑ do jednotlivých podlaží 3D matice. Čísla v indexu znamenají mocninu členu jkr číslo podlaží 3D mat. 1 2 3 4 5 6 člen složky E r 0 0 0 0 0 0 číslo podlaží 7 8 9 10 člen složky E r E r2 E r3 E r2 E r3 Tabulka 4.5: Rozložení členů složky E r do jednotlivých podlaží 3D matice. Čísla v indexu znamenají mocninu členu jkr Při vzniku tohoto skriptu jsme nerozdělovali výpočet do výpočtu jednotlivých složek, ale počítali jsme přímo, tak jak jsou rovnice 4.9-4.11 pro EED napsány 5 Jsou to matice v Matlabu EEx,..., HHx,....Řádek - souřadnice na ose X, sloupec - číslo souřadnice na ose Y, podlaží určuje číslo protofilamenta, p znamená pomocná. 6 Například složka E ϑ má tři členy, dané jednotlivými mocninami výrazu 1 jkr.

4.5. FUNKCE PRR 53 číslo podlaží 3D mat. 1 2 3 4 5 6 člen složky H ϕ H ϕ1 H ϕ1 H ϕ1 H ϕ2 H ϕ2 H ϕ2 číslo podlaží 7 8 9 10 člen složky H ϕ H ϕ1 H ϕ1 H ϕ2 H ϕ2 Tabulka 4.6: Rozložení členů složky H ϕ do jednotlivých podlaží 3D matice. Čísla v indexu znamenají mocninu členu jkr (v komplexním oboru). Při výpočtech v bezeztrátovém prostředí jsme však narazili na problém, se sčítáním jednotlivých členů rovnic (EED), které jsou reprezentovány příslušnou mocninou členu jkr ve výrazu 1. Problém byl odhalen v případě výpočtu jkr v bezeztrátovém prostředí, kde výsledkem spočteného výkonu v blízké zóně (viz. A) nebyla pouze hodnota z pole vzdáleného, ale ještě nějaká další. Jak ukazuje příloha D.1 v bezeztrátovém prostředí se na přenosu energie podílí pouze členy popisující vzdálenou zónu. Při hlubším zkoumání dílčích výpočtů jsme zjistili, že problém je ve (známém) jevu sčítání a odečítání malých a velkých čísel a také ve způsobu jak Matlab počítá s radiány. Podrobnější popis vzniklých problémů můžete nalézt v části E. Tento vzniklý problém nás vedl k rozdělení výpočtu na jednotlivé členy s příslušnou mocninou jkr. Ve výpočtu za výstupem funkce PRR vzniká šest 3D matic (2x3, 2 - IMP a IEP a 3 - osy X, Y a Z), ve kterých se v průběhu výpočtu nashromáždí data o příspěvcích elektrického a magnetického pole do směrů os X, Y a Z od všech EED z jednoho mikrotubulu. Struktura matic je následující (řádek x sloupec x podlaží). 3D MAT ICE = pp T s phet 10 (4.25) kde ppts je počet protofilament (13), phet je počet heterodimérů v protofilamentu (záleží na nastavení, ve výpočtech použito 150) a 10 je počet kombinací členů rovnic EED při výpočtu Poyntingova vektoru (tabulka 4.7) Číslo kombinace 1 2 3 4 5 6 Kombinace E ϑ1 H 1ϕ E ϑ2 H 1ϕ E ϑ3 H 1ϕ E ϑ1 H 2ϕ E ϑ2 H 2ϕ E ϑ3 H 2ϕ Číslo kombinace 7 8 9 10 Kombinace E r2 H 1ϕ E r3 H 1ϕ E r2 H 2ϕ E r3 H 2ϕ Tabulka 4.7: Kombinace členů složek E ϑ, E r a H ϕ pro výpočet Poyntingova vektoru. Čísla v indexu znamenají mocninu členu jkr Předtím nežli se vytvoří těchto šest 3D matic, tedy ještě předtím nežli se uplatní část funkce PRR (posun-rotace-rotace a přepočet do kartézské soustavy souřadné)

4.6. VÝPOČET POYNTINGOVA VEKTORU A VÝKONU 54 se spočítají tři jiné 3D f-matice (jeden řádek x sloupců podle počtu heterodiméru v protofilamentu x 10). Tyto tři f-matice jsou naplněny podle tabulek 4.4, 4.5 a 4.6 tak, aby při výpočtu Poyntingova vektoru vznikly kombinace na jednotlivých podlažích podle tabulky 4.7. Tento způsob výpočtu na jednu stranu dává přesnější výsledky a umožňuje sledovat, jak se která kombinace chová, ale na druhou stranu několikanásobně zvýšil výpočetní náročnost. Nabízela se zde ještě jedna varianta řešení těchto problémů, a to počítat v Matlabu s větší přesností nežli jen na 16 míst + exponent. Tato varianta by určitě zvýšila výpočetní náročnost, a to i v částech kódu, kde není potřeba. Dále by se muselo zkoumat, jak velká má být přesnost, aby nedocházelo k výše popsaným problémům. Dalším možným vylepšením by mohlo být výpočet zefektivnit tím, že bychom vytvořit velkou 3D matici souřadnic všech dipólu najednou a sní pracovat. Jestli by tato metoda ušetřila významný čas by se muselo prozkoumat (možná bude tématem další práce). 4.6 Výpočet Poyntingova vektoru a výkonu Poyntingův vektor je počítán, jak je psáno výše, po jednotlivých členech složek EED. Kombinace členů složek jsou v jednotlivých podlažích 3D matic uspořádány podle tabulky 4.7. K výpočtu jsme využili následující rovnice pro výpočet Poyntingova vektoru ze složek rozdělených do směrů kartézské soustavy souřadné. Složky intenzity elektrického a magnetického pole rozepsané do směrů os kartézské soustavy souřadné. E = E x e jϕ x x 0 + E y e jϕ y y 0 + E z e jϕ z z 0 (4.26) H = H x e jϕ x x0 + H y e jϕ y y0 + H z e jϕ z z0 (4.27) H = H x e jϕ x x0 + H y e jϕ y y0 + H z e jϕ z z0 (4.28) Složky Poyntingova vektoru rozepsané do směrů os kartézské soustavy souřadné jsou vyjádřeny rovnicemi 4.29-4.31. Tyto složky se počítají ve skriptu s 3D maticemi s 10ti podlažími. S x = (E y H z e j(ϕy ϕ z) E z H y e j(ϕz ϕ y) ) x 0 (4.29) S y = (E z H x e j(ϕ z ϕ x) E x H z e j(ϕ x ϕ z) ) y 0 (4.30) S z = (E x H y e j(ϕ x ϕ y ) E y H x e j(ϕ y ϕ x ) ) z 0 (4.31) Výslednou hodnotu Poyntingova vektoru získáme podle vztahu 4.32. S str = 1 { } 2 Re E H = S x + S y + S z (4.32)

4.6. VÝPOČET POYNTINGOVA VEKTORU A VÝKONU 55 Výpočet výkonu Výslednou hodnotu ze vztahu 4.32 vynásobíme cos(α), kde α je úhel (obrázek 4.21), který svírá výsledná hodnota S str a S r. Takto získáme radiální část S r. Pro výpočet Obrázek 4.21: Vyjádření úhlu alfa mezi směrem S str a S r výkonu potřebujeme ještě vědět, přes jakou plošku S m 2 teče S r. To zjistíme velmi jednoduše, protože body na sférické ploše jsou rozděleny rovnoměrně, spočte se ploška S m 2 z následujícího výrazu. S m 2 = 4πr2 pb (4.33) Kde r je poloměr sférické plochy a pb je počet bodů na sférické ploše. Pak je výsledný výkon dán vztahem. P = S m 2 S r (4.34)

Kapitola 5 Výsledky z programu Matlab a diskuse 5.1 Výsledky z programu Matlab Obrázek 5.1: Rovnoměrné rozložení mikrotubulů na sférické ploše o průměru 200 nm. Mikrotubuly znázorněny červeně Vytvořili jsme dva jednoduché modely mikrotubulární sítě. První model reprezentuje mikrotubulární sít nedělící se buňky (obrázek 2.20). U tohoto modelu jsou mikrotubuly rozloženy symetricky 1 na sférické ploše o poloměru 200 nm 2 (obrázek 5.1). Druhý model je model nesymetrického rozložení mikrotubulů na sférické ploše, který reprezentuje mikrotubulární sít v jiné fázy buněčného cyklu, například při buněčném dělení (obrázek 5.2). U obou modelů je použitý stejný počet mikrotubulů (100 MT) a stejné typy okolního prostředí (ztrátové - tabulka 4.1 a bezeztrátové - 1 S minimální potenciální energií. 2 Kulová plocha s poloměrem 200 nm představuje jednoduchou aproximaci povrchu centrozomu. 56

5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB 57 Obrázek 5.2: Nerovnoměrné rozložení mikrotubulů na sférické ploše o průměru 200 nm. Mikrotubuly znázorněny červeně tabulka 4.2). Pro oba modely jsme počítali vyzářený výkon v několika vzdálenostech od hranice mikrotubulární sítě, která je ve skutečnosti navázána na buněčnou stěnu 3. Vzhledem k velké výpočetní náročnosti jsme počítali výkon jen v šesti bodech od buněčné stěny a pro nesymetrické rozložení jsme uvažovali jen mód 0. V části o podélné vlně 4.1.1 jsme analyzovali mikrotubulus s 50 heterodiméry v jednom protofilamentu, který byl buzen podélnou vlnou s módy 0, 8, 26, 40 a 50. Při výpočtech výkonu od jednoduché mikrotubulární sítě jsme použili mikrotubulus se 150 heterodiméry v jednom protofilamentu a budili jsme ho podélnou vlnou s módy 0, 10, 50, 100 a 150. V této práci přímo neuvádíme rozložení módů 0, 10, 50, 100 a 150, ale můžete je nalézt na přiloženém CD. Následující obrázky 4 5.3-5.8 zobrazují závislost výkonu vyzářeného symetrickým a nesymetrickým uspořádáním mikrotubulů v závislosti na vzdálenosti od buněčné stěny pro frekvence 1 khz a 42 GHz. Obrázky 5.9 a 5.10 zobrazují porovnání obou modelů ve všech frekvencích (tabulka 4.1) pro nultý mód podélné vlny. Další výsledky naleznete na přiloženém CD. Obrázky 5.3 a 5.5 popisují vyzářený výkon za použití symetrického modelu. Z hodnot výkonů pro bezeztrátové i ztrátové prostředí se dá usoudit, že model se chová tak, že největší hodnoty výkonu jsou při buzení podélnou vlnou s módem 0. U ostatních módů jsou průběhy téměř totožné. Z porovnání závislostí frekvencí na velikosti výkonu (obrázek 5.5) vyplývá, že čím je frekvence vyšší, tím je větší hodnota výkonu. Výsledky z nesymetrického modelu znázorňují obrázky 5.6-5.8. Na těchto obrázcích 3 V modelu neuvažujeme vliv buněčné stěny. 4 Poznámka autora: Výpočetní čas jednoho obrázku obsahujícího závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti pro 5 módů na jedné frekvenci v 7 bodech od buněčné membrány se na počítači s 2,5 GHz procesorem počítal okolo 20 hodin (obrázek 5.4 a)).

5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB 58 Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, symetricke rozlozeni MT f = 1.0e+003 Hz; prostredi ztratove 30 Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, symetricke rozlozeni MT f = 1.0e+003 Hz; prostredi bezeztratove 52.15 35 mod 0 mod 10 52.2 52.25 mod 0 mod 10 vykon [log(w)] 40 mod 50 mod 100 mod 150 vykon [log(w)] 52.3 52.35 52.4 mod 50 mod 100 mod 150 45 52.45 52.5 50 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] 52.55 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] (a) (b) Obrázek 5.3: Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány pro frekvenci oscilací 1 khz pro módy 0, 10, 50, 100 a 150. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (symetrický model) Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, symetricke rozlozeni MT f = 4.2e+010 Hz; prostredi ztratove 10 Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, symetricke rozlozeni MT f = 4.2e+010 Hz; prostredi bezeztratove 21.95 20 30 mod 0 mod 10 22 22.05 mod 0 mod 10 vykon [log(w)] 40 50 60 mod 50 mod 100 mod 150 vykon [log(w)] 22.1 22.15 22.2 mod 50 mod 100 mod 150 70 22.25 80 22.3 90 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] 22.35 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] (a) (b) Obrázek 5.4: Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány pro frekvenci oscilací 42 GHz pro módy 0, 10, 50, 100 a 150. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (symetrický model) můžete vidět jedenáct průběhů výkonů v závislosti na vzdálenosti. Prvních deset průběhů představuje výkony jednotlivých členů složek elementárního elektrického dipólu a poslední (čárkovaný) průběh je celkový součet prvních deseti průběhů. V případě bezeztrátového prostředí je zobrazeno méně průběhů, protože nezobrazené průběhy jsou nulové (viz. příloha D.1). Na posledních dvou obrázcích 5.9 a 5.10 je znázorněno porovnání hodnot výkonů z obou modelů. Při porovnání módu 0 z obou modelů vychází, že symetrický model ve ztrátovém prostředí září méně nežli nesymetrický model (obrázek 5.9). U

5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB 59 0 Porovnani frekvenci, symetricke rozlozeni MT, mod 0 prostredi ztratove 20 Porovnani frekvenci, symetricke rozlozeni MT, mod 0 prostredi bezeztratove vykon [log(w)] 20 40 60 80 1 khz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz 10 GHz 42 GHz 100 GHz vykon [log(w)] 25 30 35 40 45 50 1 khz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz 10 GHz 42 GHz 100 GHz 100 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] (a) 55 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] (b) Obrázek 5.5: Výkony v jednotlivých frekvencích pro mod 0. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (symetrický model) Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, nesymetricke rozlozeni MT f = 1.0e+003 Hz; prostredi ztratove 25 H1Ed1 30 H1Ed2 H1Ed3 35 H2Ed1 H2Ed2 40 H2Ed3 45 H1Er2 H1Er3 50 H2Er2 H2Er3 55 soucet vykon [log(w)] 60 65 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] (a) Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, nesymetricke rozlozeni MT f = 1.0e+003 Hz; prostredi bezeztratove 30 H1Ed1 H1Ed2 0 35 H1Ed3 H2Ed1 0 40 H2Ed2 H2Ed3 0 H1Er2 0 45 H1Er3 H2Er2 50 H2Er3 0 soucet 55 vykon [log(w)] 60 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] (b) Obrázek 5.6: Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány pro frekvenci oscilací 1 khz a mod 0. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (nesymetrický model) ostatních módů vychází hodnota stejná. Tato stále vysoká symetrie může být způsobena typem rozložení mikrotubulů na pólech nesymetrického modelu. Na obrázku 5.11 5 vidíte intenzitu elektrického pole v závislosti na vzdálenosti od pólu, nebo rovníku buňky. Pro oba dva modely platí, že intenzita elektrického pole s rostoucí vzdáleností klesá a u symetrického modelu klesá rychleji nežli u nesymetrického modelu. Několikařádový rozdíl mezi průběhy symetrického a nesymetrického modelu je způsoben blízkopólovými složkami, které se nepodílí na přenosu 5 Bylo použito ztrátové prostředí a frekvence 42 GHz.

5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB 60 Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, nesymetricke rozlozeni MT f = 4.2e+010 Hz; prostredi ztratove 0 H1Ed1 H1Ed2 20 H1Ed3 H2Ed1 40 H2Ed2 H2Ed3 H1Er2 60 H1Er3 H2Er2 80 H2Er3 soucet 100 vykon [log(w)] 120 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] (a) Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, nesymetricke rozlozeni MT f = 4.2e+010 Hz; prostredi bezeztratove 15 H1Ed1 H1Ed2 0 20 H1Ed3 H2Ed1 0 25 H2Ed2 H2Ed3 0 H1Er2 0 30 H1Er3 H2Er2 35 H2Er3 0 soucet 40 vykon [log(w)] 45 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] (b) Obrázek 5.7: Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány pro frekvenci oscilací 42 GHz a mod 0. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (nesymetrický model) 0 Porovnani frekvenci, nesymetricke rozlozeni MT, mod 0 prostredi ztratove 20 Porovnani frekvenci, nesymetricke rozlozeni MT, mod 0 prostredi bezeztratove vykon [log(w)] 50 100 1 khz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz 10 GHz 42 GHz 100 GHz vykon [log(w)] 25 30 35 40 45 1 khz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz 10 GHz 42 GHz 100 GHz 50 150 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] (a) 55 6 5 4 3 2 1 0 1 vzdalenost od membrany r [log(m)] (b) Obrázek 5.8: Výkony v jednotlivých frekvencích pro mod 0. a) ztrátové prostředí b) bezeztrátové prostředí (nesymetrický model) energie od zdroje, tedy se ani neprojeví na spočítaném výkonu. Výkon v blízkosti mikrotubulární sítě vychází pro oba modely téměř stejný, ale intenzita elektrického pole je vyšší pro nesymetrický model. Tato zvýšená intenzita elektrického pole v blízkém poli by se dala využít na měření pomocí hrotové měřící techniky. Ze spočtených hodnot v bezeztrátovém prostředí vychází, že vyzářený výkon je malý a závislý na frekvenci se 4. mocninou a na velikosti dipólového momentu s 2. mocninou 6. Pole nelze měřit makroskopickými metodami z následujících důvodů. 6 P = ω4 10πε 0 c 3 p 2, kde w je úhlová frekvence, ε 0 permitivita vakua, c je rychlost světla a p je

5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB 61 k k m Obrázek 5.9: Vzájemné porovnání obou modelů ve ztrátovém prostředí pro všechny frekvence při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 0. N - nesymetrické rozložení mikrotubulů, S - symetrické rozložení mikrotubulů k k m Obrázek 5.10: Vzájemné porovnání obou modelů v bezeztrátovém prostředí pro všechny frekvence při buzení mikrotubulu podélnou vlnou s módem 0. N - nesymetrické rozložení mikrotubulů, S - symetrické rozložení mikrotubulů Zaprvé hodnoty spočteného výkonu jsou velmi malé, zadruhé bylo by nutné měřit ve velmi malých vzdálenostech (řádově µm) a zatřetí na povrchu buněčné membrány má intenzita elektrického pole prostorové rozložení, které by v případě nevhodně tlusté měřicí sondy mohlo způsobit vyprůměrování měřené veličiny. Vyšší módy na mikrotubulu září méně nežli módy nižší. Ve vyšších módech dipólový moment.

5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB 62 od pólu od rovníku Obrázek 5.11: Intenzita elektrického pole počítaná v závislosti na vzdálenosti od pólu nebo rovníku buňky. N - nesymetrické rozložení mikrotubulů, S - symetrické rozložení mikrotubulů vibračních se kompenzují sousední elementární elektrické dipóly. Symetrické rozložení je jednoduchý model, který modeluje symetrii v buňce. V buňce je rozložení mikrotubulární sítě mnohem složitější, není tam geometrická symetrie, ale může tam být symetrie obecnější (fázová). Skutečná hodnota dipólového momentu může být jiná v rozsahu jednotek řádů. Pro frekvence v okolí khz jsme vycházeli z experimentálně zjištěné hodnoty oscilací buněčné membrány Pellingem [27, 28] 1-10 nm a okolo GHz jsme odhadli rozkmit podle amplitudy tepelných kmitů. Na rozdíl od amplitudy tepelných kmitů, které jsou náhodné, námi uvažované oscilace jsou koherentní, což je také důvod, proč naše modely v kombinaci s geometrickou symetrií tak málo září. Hodnota 0,1 nm je spodní hranice mechanických kmitů, které jsme mohli nastavit. Kdybychom chtěli simulovat větší amplitudu kmitů, způsobenou třeba kondenzací energií v uvažovaném módu (jak například popisuje Fröhlichova teorie), tak bychom mohli dát větší amplitudu kmitů například na 1 GHz místo 0,1 nm, nastavit rozkmit na 1 nm a výkon by se měl 100x zvětšit, protože výkon je závislý s druhou mocninou na dipólovém momentu. Model, který jsme uvažovali při mechanické oscilaci heterodimérů v protofilamentu, není úplně přesný, protože se na heterodiméry díváme jako na tvrdé částice v jednom řetězci. Ve skutečnosti nejsou vibrace v mikrotubulu přenášeny pouze v tomto řetezci, tedy v protofilamentu, ale také vzájemně mezi jednotlivými protofilamenty. Vlivem interakcí mezi protofilamenty vznikají další vibrační módy (radiální, točivý, dýchavý,... ), které do našich výpočtů nezahrnujeme. Pro aproximaci longitudinálních vibrací jsme zvolili optickou větev disperzní charakteristiky (obrázek C.2). Tato aproximace se vyznačuje tím, že všechny módy mají skoro tu samou frek-