5. SEMINÁŘ Z MECHANIKY

- 5-5 SEMINÁŘ Z MECHANIKY 5 Osobní auoobi se pohbuje po odoroné dráze se zrhení s a při ronoěrné soupání se zrhení 6 s Určee úhe soupání za předpokadu že ahoá sía ooru a sía ření jsou sáé a F F kons F F kons s ; a 6 s ; ; ; F sin ; g? F g F F a F F g a Vodoroný pohb: a F + F a F F Pohb po nakoněné roině: a F + F + F a F F F a g sin ; sin a a g 3 5 Po nakoněné roině ( 3 ) dék se posouá ěeso (HB) účinke íhoé sí Jeho pohb započa nejšší bodě z nuoé počáeční rhosi Součinie řeí sí je 5 Určee kd bude ěeso doní bodě nakoněné roin a jakou rhos ně bude í a asi 6 s ; 47 s h f 3 ; ; f 5 ;? g + g os gsin fgos F g F N h h ( f ) sin os g a ( f ) sin os g h 6 s a a a ( f ) sin os ( sin f os ) g g

- 6 - ( sin f os ) g asi 47 s 53 Sáňk sjedou ze zasněženého sahu ýšk a zasaí se na odoroné zasněžené poi e zdáenosi od průěu nejššího bodu sahu do odoroné roin Vpočěe součinie řeí sí ezi saněi a sněhe A A d Na odoroné roině prauje pouze řeí sía F BC dráze d BC koná prái W F BC f g B C ; f? Na na oněné roině prauje sía F AB k o eikosi ( sin os ) F g f na dráze AB a koná prái W F AB g sin f os o eikosi F ( d ) f g a na V bodě C se sáňk zasaí eškerá kineiká energie sáněk nabá praí W je spořeboána při překonáání řeí sí W+ W souče obou praí je roen nue Dosááe ed W W + ( sin os ) ( g f f g d) sin f os f f d Použijee-i oo zahu jádření sin ; os d dosanee f 54 Sřea honosi g pohbujíí se rhosí s prorazia desku do houbk 4 Určee sřední síu oru desk a dobu pohbu sře dese za předpokadu že je o pohb ronoěrně zpoaený Co se za jinak sejnýh podínek sane á-i deska oušťku? d d b) F a d a) kg s d 4 d F pr? F d F 5 kn ; pr d 3 6 s d Fprd d d d F pr F pr d a a d

- 7 - d 7 s d 55 Od rhíku jedouího pnou rhosí se e zdáenosi od seaforu oji agón a zasai práě u seaforu V jaké zdáenosi za seafore b oo okažiku rhík? Honos eého aku je honos agónu je Předpokádá se že okooia áhne ak konsanní siou a že or proi pohbu každé čási aku je sáý a úěrný její íze kons F kg kons? F F F F F Jede-i ak před ojení agón u pnou rhosí znaená o že jeho pohb je ronoěrný ýsednie si F a F je nuoá F kg F kg kons Vagón o honosi po ojení koná ronoěrně zpoaený pohb Zpoaujíí siou je F F k g a a kg ; a kg kg kg a kg ( kg ) kg ; k g kg kg Vak o honosi ( ) bez agónu koná ronoěrně zrhený pohb Zrhujíí siou je ýsednie F F + F F F F kg k g k g a k g a k g + + kg + kg kg

- 8-56 Čoěk oďe pouá k přepuí řek z bodu A Bod B eží proi bodu A na druhé břehu řek Bude-i udržoa kurz koo k břehů pak za in od saru dopuje do bodu C ežíího e zdáenosi S od bodu B po proudu Bude-i naopak udržoa kurz proi proudu pod jisý úhe k příe AB pak běhe 5 in dopuje do bodu B Určee šířku AB řek rhos u oďk zhede k odě rhos proudění od zhede k břehů a hodnou úhu u u B A B A in ; 5 in ; S ; u? C Ve zažné sousaě spojené s břeh řek koná oďka sožený pohb V pré případě je rhos ohoo pohbu určena pooí sožek jako ( u) Výsedný pohb do bodu C rá sejnou dobu jako díčí pohb oďk e sěru sožek její ýsedné rhosi Paí ed u S S Ve druhé případě kd se oďka pohbuje ýsednou rhosí z obrázku pne usin u s o Z ěho dou roni dosanee jedinou podínku sin + os u + u Dosadíe-i do éo podínk za u a z prní dojie roni dosanee u ; S S + S + S S u S u S sin u S arsin 57 ěeso o honosi 4 kg eží na odoroné soe a ákne je přes penou kadku spojeno s isíí ěese honosi kg Proi pohbu ěesa na soe působí sáá sía o eikosi N Určee zrhení sousa a ažnou síu nii 4 kg kg F N g 98 s ; a? Na prní ěeso působí ýsedná sía ( R g R g) :

F g kons R ( ) g a F a g + F + + R a g + F g a F - 9 - Na druhé ěeso ( ) působí ýsedná sía F a g + a g Znaénka záisí na sěru jednoiýh g ekorů zhede ke zoené u (praděpodobnéu) sěru zrhení a sousa!! Náš úko se redukuje na řešení sousa roni a F a g o dou neznáýh a Sečení roni dosááe Odečení roni dosanee + a g F g F a + ( ) a F g g F + + g F + + F + F g g ( + ) + 58 Hoogenní dokonae ohebné ákno o honosi a dée isí ronoážné pooze přes odoroný dokonae hadký hřebík Je-i jeho ronoáha neparně porušena začne se ákno pohboa Najděe síu působíí na hřebík okažiku kd déka ákna isíího po jedné sraně hřebíku je F F F a ; ; g ; ; F? Honos jednokoé dék ákna je Ronoážný sa (kid) oba kone ákna ají shodnou déku F F F F g g F g g kons F Pohb ákna se zrhení a ( ) okažiku kd praá čás ákna á déku Pro síu F působíí oo okažiku na hřebík paí F kde je pooina reake hřebíku na ekoou íhu neronoěrně se pohbujíího ákna Pro řešení úoh je ed nuné urči síu napínajíí za éo siuae ákno + ; +

- 3 - Fg F g ( ) g g eá čás ákna Praá čás ákna a F + a F F Fg ; F Fg Fg ( ) a Fg g Fg a F + a F a Fg g Řešení éo sousa roni o neznáýh a a dosanee a g ; F g Sía F působíí na hřebík okažiku kd praá čás ákna á déku á ed eikos F F 4 Fg 4 g 4 g 59 ři ěesa jsou spou spojena penou nií zanedbaené honosi Dě z ěho ěes (každé z nih o honosi M ) eží na odoroné soní dese řeí ěeso o honosi je pooí pené kadk zaěšeno ede sou Součiniee řeí sí ezi ěes na soe a soní deskou jsou k a k Určee zrhení sousa ěho ěes a sí a napínajíí ni (iz obrázek) Řeše nejdříe obeně a pak pro hodno M kg 5 kg k k 5 M k g 98 s a 98 s M kg; 5 kg; k ; k 5; 98 s M k g ; a? Na ěesa pohbujíí se po soní dese působí ýsedná sía F k Mg k Mg k + k Mg M akže druhý pohboý zákon pro ao ěesa zapíšee e aru k + k M Ma g Na řeí ěeso při jeho pohbu sěre doů působí ýsedná sía F g akže druhý pohboý zákon pro oo ěeso zapíšee e aru Řešíe-i sousau roni obdržíe g a k + k Mg Ma; g a k+ k M a g a M + 98 s ;

- 3 - + k + k M + Mg 88 N Na prní ěeso pohbujíí se po soní dese působí ýsedná sía F k Mg k Mg Ma M Na druhé a řeí ěeso působí ýsedná sía F k M M g g k M ( M + ) Řešení éo sousa roni určíe ( ) + ( + ) g g a k k M k Mg M + 5 Dě doýkajíí se ěesa koužou po nakoněné roině ( 45 ) Honos prního ěesa je kg honos druhého ěesa je 3 kg Součiniee řeí sí ezi nakoněnou roinou a ěes jsou k a k Určee: a) zrhení pohbu ěes; k b) síu zájeného působení obou ěes Jak b pada pohb ěes pro k > k? Nejdříe je řeba zjisi zda druhé ěeso brzdí pohb prního ěesa K ou sačí porona zrhení a a a s niiž b se obě ěesa pohboaa při dané skonu nakoněné roin saosaně Paí ( sin os ) ( sin os ) a k g a k g ( sin os ) ( sin os ) a k g a k g Pro 45 je sin os; proo pro k < k je a > a druhé ěeso brzdí pohb prního ěesa a obě ěesa se pohbují se sejný zrhení a Označe jako a sí zájeného působení (ake a reake) ezi oběa ěes ( ; ) Druhý pohboý zákon pro prní ěeso pak ze zapsa e aru F gsin k gos a F gsin kgos+ a Řešení ěho roni dosááe ( sin os ) a ( ) + ( ) k k + ( ) k k + g sin a 58 s ; g sin 8 N 5 Jede-i kisa sěre k seeru rhosí 5 k h zdá se u že ír ane z ýhodu Jede-i sejně ekou rhosí sěre k ýhodu zdá se u že ír ane od

- 3 - jihoýhodu a sěr ěru sírá s ýhodozápadní sěre úhe β 5 Určee sěr a eikos rhosi ěru 5 k h ; β 5 ;? Probé budee řeši e řeh různýh ineriáníh sousaáh pooí GAIEOVY ransforae ( ) ( ) Sousaa S je kidná a ní je rhos ěru popsaná hedaný ekore ( ; ) Ckisa se éo sousaě ; pohbuje rhosi a ; Sousaa S spojená s kisou jedouí na seer je ůči sousaě S unášena rhosí u ( ; ) a rhos ěru anouího od ýhodu ůžee sousaě S popsa ekore ( ;) Zapíšee-i GAIEOVU ransforai pro rhos ěru při přehodu ze sousa S do sousa S dosanee + u + u Sousaa S spojená s kisou jedouí na ýhod je ůči sousaě S unášena rhosí u ( ; ) a rhos ěru anouího od jihoýhodu ůžee sousaě S ; Sěr ekoru je ( ) β ( ) g 8 popsa ekore ( ) ožno jádři podínkou g( 8 β) Zapíšee-i GAIEOVU ransforai pro rhos ěru při přehodu ze sousa S do sousa S dosanee + u + u + gβ β gβ gβ arg arg g β Určení sožek ekoru rhosi ěru sousaě S je úoha obeně řešena Dosadíe-i dané čísené hodno dosanee ( 5 ) 5 g ; 5 g 5 6 k h ; 446

- 33-5 Sčka robená z ěžkého pružného řeězu ( ) je nasunua na kuže jehož ýška je h a pooěr podsa r Sčka je ronoážné sau e odoroné roině osa kužee je sisá Určee síu kerou je napínána sčka h da d ; h ; r ;? Sía F kerou je napínána sčka je ronoážné pooze každé příčné průřezu sčk opačná k síe pružnosi Fpr ( F Fpr ) Veikos F sí F určíe násedujíí posupe Neháe sčku pokesnou z ronoážné pooh o R (nekonečně aou) zdáenos d Poeniání energie r sčk E p se í zenší o dep g d Pooěr sčk se přio zěší o da Z obrázku je parné že da d r h Práe sí F při oo posunuí a rozažení sčk je rona ao práe usí bý rona úbku dw F π R+ da π R Fπda de p poeniání energie E p sčk a ed g d dw dep Fπ da g d F π da gh F π r