2. ZÁKLADY KINEMATIKY

Transkript

1 . ZÁKLDY KINEMTIKY Kinemaika se zabýá popisem pohbu čásice nebo ělesa, aniž sleduje příčinné souislosi. Jedním ze základních lasnosí pohbu je, že jeho popis záleží na olbě zažného ělesa ( souřadnicoého ssému ). Nelze louči případ, kd se zažná sousaa souřadnic pohbuje..1. Kinemaika hmoného bodu Poloha hmoného bodu dána polohoým ekoem. Popis pohbu hmoného bodu - jsou-li znám hodno polohoého ekou e šech časoých okamžicích.

2 e3 z k z e d d B Kaézská souřadnicoá sousaa i z k ( ) ( ) ( ) j ( ) () () e1 ( ) e z() e3 kde i, e j, k 1, e, e3 jednokoé eko bázoé eko e 1 i j Rozepsáno po jednolié souřadnice z z [ m ( ) ( ) ( ) ] Po eliminaci času z ěcho onic dosááme dáhu ( ajekoie ) - křiku, po keé se bod pohbuje. F1 (,, z) 0 Jiné jádření ajeko ie } dáha je dána jako F (,, z) 0 půsečnice oin.

3 Def Rchlos je časoá změna (deiace dle času) polohoého ekou lim 0 d & & i & j z& k d d dz -1 nebo e složkách,, z [ m s ] elikos ekou chlosi & & z& Sejný ýsledek dosaneme, deiujeme-li dáhu dle času. z Důkaz o elikosi ekou chlosi: ds d d d dz d d dz & & z&

4 Věa.1.1. Rchlos je eko a má smě dáh a elikos onou pní deiaci podle času. Důkaz o směu d cosα ds d s s () 0, d ds cos β ds ds 0 ds d ds d ds, d d cosγ cosα s se nazýá délkou oblouku od bodu Oblouk s je přípusným paameem křik a její onici lze zapsa ( s) a e složkách s, s, z z s dz ds 0 do bodu ( ) ( ) ( )

5 ds d Obdobně d d dz cos β, cosγ z Def..1.. Zchlení je časoá změna ekou chlosi d a & && && i && j & z k Složk ekou zchlení jsou a & &&, a & &&, a & Velikos zchlení a a a a z z z & z&, [ m s - ] Důležié složk ekou zchlení Složka do směu nomál k dáze je a n,složka do směu ečn k dáze a.

6 () e n 0 z B e b e Z difeenciální geomeie plne: V každém bodě posooé křik lze uči ojhan, keý je popsán ekoem ečn, ekoem nomál a ekoem binomál. ( B e n, e b ) ( B, e, eb ) ( B, e, e ), - nomáloou oinu - ekifikační oinu - oskulační oinu Všechn eko mají jednokoou elikos a plaí, že s polu s uažoaným bodem učují n

7 a) eko chlosi na dáze bodu po časoém okamžiku, příůsku b) složk n chlosi do směu nomál ečn a s R n Tečné zchlení ( ) a lim 0 cos a poože plaí limiě

8 cos 1 poom Věa.1.. a lim 0 d & Tečné zchlení má elikos onou deiaci elikos chlosi podle času. Nomáloé zchlení sin n an lim 0 V limiě plaí sin a ze zahu s s R R kde R je polomě křiosi dáh a n lim 0 R s R

9 Věa.1.3. Nomáloé zchlení má elikos onou čeci chlosi dělenému křiosí dáh a smě do sředu křiosi. Nomáloá složka zchlení se poo nazýá zchlení dosředié nebo cenipeální.

10 .1.1. Přímočaý pohb V omo případě je dáha hmoného bodu přímka. Smě chlosi je sálý. Zchlení je pouze ečné a má smě shodný se směem chlosi Časé jsou případ, kd e směu někeé os je konsanní zchlení nebo nuloé. Budeme předpokláda, že je o smě os. 1. Případ a 0 nazeme pohb přímočaý onoměný e směu os. d inegací získáme 0 kde 0 je inegační konsana - počáeční dáha.. Případ a kons. pohb onoměně zchlený pohb onoměně zpomalený

11 kde 0 ( počáeční dáha ) a 0 (počáeční chlos ) jsou inegační konsan. d a a inegací a 0 d 1 a a dojí inegací a 0 0 Obdobné zah plaí po os,z Ve zlášním případě, kdž pohb začne současně s počákem a s a kons. a 1 s a měření času z nuloé poloh nuloou chlosí 0 plaí 0 0

12 1 s a a Chaakeisickým příkladem pohbu onoměně zchleného je olný pád, kde ag, j. gaiační zchlení (nebo íhoé zchlení g9.81 ms -, mění se se zeměpisnou šířkou ). Ve směu odooném je nuloé zchlení.

13 .1.. Kuhoý pohb osa ( ) φ i j 0k Pohb oině osa.cosφ.sinφ Po popis olíme polání souřadnice, φ Je-li pohb kuhoý onoměný, poom plaí φ ω. Okamžiý polohoý eko ed je.cos ω. i.sin ω. j ( ) ( )

14 Délka ajekoie po oočení o úhel ω π je ona délce obodu kužnice a plaí po ni π s d d π 0 ( sin ω cos ω) s. 0 π s. π 0 Po délku dáh plaí s φ. Obodoá chlos je definoána: d a udíž po ni plaí: ( sin ω. i ( ω cos ω. j ω ) )

15 bsoluní hodnoa (elikos) ekou chlosi, což po dosazení dá ω sin ω cos neboli. ω. d φ Oud je idě, že ω & φ ( ω), Obodoá chlos je eko, keý má smě ečn k ajekoii. Leží oině ajeko ie a je kolmý na oinu učenou osou oace a polohoým ekoem. Poo po něj můžeme psá ω eko obodoé chlosi

16 Zchlení kuhoého pohbu a což po dosazení dá a ω os ω. i. ω sin ω. k (. c ) ( ) d [ ] Ze sonání s definičními onicemi kuhoého pohbu. cosω,.sinω, plne a ω. dosředié zchlení Too zchlení má sejný smě jako polohoý eko, ašak opačnou oienaci. Míří poo ale do počákou souřadnic do sředu oace a poo se nazýá dosředié zchlení. Jeho elikos je ona elikosi nomáloého zchlení a.ω n Spojením se zahem po ω dosaneme elikos nomáloého zchlení a n,

17 Tečné zchlení je omo případě ono nule, d a 0, neboť absoluní hodnoa (elikos) chlosi zůsá á konsanní. Peioda T dob a 1 oběhu. Po T je φ π π akže (poože plaí φ ω) T ω. Přeácená hodnoa peiod T je fekence f 1 f. T Spojením ěcho onic: ω π f, Takže obodoá chlos ob má elikos π f. ob

18 .1.3. Šikmý h e akuu Počáeční podmínk ( 0) ( 0) 0 po 0 0 o o - počáeční chlos 0 - eleační úhel α - íhoé zchlení a - g - zchlení a 0 o d

19 Pohboé onice onoměný přímočaý pohb () o 1 g ( 0 ) ( ) α cos a onoměně zchlený pohb () α sin g g Vloučíme-li čas z obou onic dosaneme

20 () () 1 ( ) 1 () 0 sinα g 0 cos 0 cos α 0 cos Poom onice dáh souřadnicích, ( (), () ) 1 g gα cos α α Učení času dopadu d čásice d 0 1 d g d 0 d sinα sinα g d 0 d 0 0 sinα d neiiální řešení g ( ) iiální řešení α

21 Dosřel (dole) polohoý eko 1 0 g d d 0 cos sinα cos 0 d d 0 g Maimální dosřel je po eleační úhel ( ) α 0 0 α 45 d sin α g

22 .. Kinemaika uhého ělesa z Na ělese zolíme bod,b. Pohb ělesa popíšeme ak, že popíšeme polohu bodu čase a úhel spojnice B čase B (), ( ) skaláně e složkách z z - jadřuje posunuí "anslaci" ělesa () ( ) ( ) () ( ) ( ) - úhl jadřují pooočení podél souřadných os, j. oaci ělesa z z

23 a) Tanslační pohb - dáh alespoň 3 bodů jsou shodné. Pohb šech bodů ělesa je sejný,poo je chlos a zchlení a od anslačního pohbu d d d konsanní a oné chlosi a a zchlení bodu. Poblém řešíme jako pohb bodu o hmoě oné hmoě celého ělesa. Jeho o poloha je učena ekoem ω O ρ b) Roační pohb - da bod ělesa zůsáají sále na sých mísech, poom se nepohbují šechn bod ležící na spojnici ěcho dou bodů. Těleso se oáčí kolem éo spojnice, nasáá oace ělesa kolem os. Každý bod ělesa konáá kuhoou dáhu o sředu na ose oáčení. ω - eko úhloé chlosi oáčení ázaný na osu oace o, smě je sálý ( )

24 Poom chlos bodu C při oac i je ω d d zchl ní ( ) dω d a e a ω ω dω V eko úhloého zchlení ε má smě os oáčení Veko ε má smě chlosi a znamená složku zchlení do směu ečn ke dáze Vjádříme-li ω absoluních hodnoách, dosaneme Veko ω ρ esp. d ω ω zchlení dosřediého ω ρ má smě do sředu a předsauje složku a n ω ρ ω ρ ω

25 a ečné zchlení a dω 1 ρ d ρ a d

26 .3. Kinemaika desk 0 počákem bodě. Souřadnice obecného bodu B při pohbu desk B je zlášním případem kinemaik ělesa, keé konáá pohb oině,, zn. že z,, se nemění ( ) ( ) () z, - nepohbliý souřadný ssém oině pohbu, - pohbliý souř. ssém oině desk s

27 cos sin sin cos cos sin sin cos deiací dah získáme složk chlosi ( ) ( ) & & & sin cos cos sin d d & dosadíme ω & d a poom ( ( ) ω ω, ),

28 Def. 1 Okamžiý sřed oáčení (pól oáčení) je bod, keý má čase T nuloou chlos. Souřadnice okamžiého sředu oáčení p, p učíme z podmínk 0 :,, ω ( p ) 0 p ω, obdobně p ω Def. Spojnici sředů oáčení keslenou peném souřadném ssému, nazeme pená poloida. Spojnici sředů oáčení keslenou pohbliém souřadném ssému, oině desk nazeme pohbliá poloida Poloid se použíají po učoání hodného au soukolí.

29 (Použií pincipu iuálních pací) Nekonečně malý pohb desk za časoý okamžik jako oočení desk dle okamžiého sředu oáčení. Dosaneme p p lze ealizoa

30 Příklad.3.1. Kolo o poloměu se oáčí úhloou chlosí ω a sřed kola má posunou chlos < ω,.zn., že kolo pokluzuje. Učee penou a pohbliou poloidu. Posuná chlos bodu 0,, Okamžiý sřed oáčení p, 0 p 0 0 ω ω, p 0 ω ω ω Okamžiý sřed oáčení je sále pod sředem kola (pohbliá ω poloida) < ω dle zadání.