Časopis pro pěstování matematiky

Transkript

1 Časopis pro pěstováí ateatiky Libuše Grygarová O jedo důkazu pricipu duality v lieárí prograováí Časopis pro pěstováí ateatiky, Vol. 110 (1985), No. 4, Persistet URL: Ters of use: Istitute of Matheatics AS CR, 1985 Istitute of Matheatics of the Acadey of Scieces of the Czech Republic provides access to digitized docuets strictly for persoal use. Each copy of ay part of this docuet ust cotai these Ters of use. This paper has bee digitized, optiized for electroic delivery ad staped with digital sigature withi the project DML-CZ: The Czech Digital Matheatics Library

2 Časopis pro pěstováí ateatiky, roč. 110 (1985), Praha O JEDNOM DŮKAZU PRINCIPU DUALITY V LINEÁRNÍM PROGRAMOVÁNÍ LIBUŠE GRYGAROVÁ, Praha (Došlo de 16. úora 1984) Pricip duality v lieárí prograováí je v literatuře dokazová růzýi způsoby. Poje duálí úlohy k úloze lieárího prograováí byl zavede J. vo Neuae v r Pricip duality forulovali a dokázali D. Gale, H. W. Kuh a A. W. Tucker v r [3] poocí Farkasova leatu, a jehož základě byly s růzýi oběai podáváy další důkazy uvedeého pricipu (apř. [9], [6]). Další skupia důkazů se opírá o věty siplexové etody (apř. [2], [l], [8]). Řada autorů vychází z Kuh-Tuckerových podíek z teorie kovexího prograováí a vět o oddělitelosti kovexích oži (apř. [4], [7]). Geoetrické důkazy pricipu duality jsou uvedey apř. v [10], [5], [12]. V předložeé čláku je podá stručý důkaz pricipu duality v lieárí prograováí založeý a zcela eleetárích pozatcích z kovexí aalýzy (vlastosti kovexích kuželů, viz apř. [11]). Současě s důkaze pricipu duality se zde ukazuje, jak lze a základě zalosti optiálího řešeí jedé z duálích úloh popsat ožiu všech optiálích řešeí druhé úlohy. ' 1 Defiice 1. Je-li K c E kovexí kužel s vrchole x, poto kužel p K(x ) : {x e E (x - x, y - x ) ^ 0, y e K} azýváe polárí kužele ke kuželi K v jeho vrcholu x. Platí: 1) p ( p K(x 0 )) K (věta o bipolaritě); 2) Je-li R : {xe E \ (c, x - x ) 0, c 4 o} daá ňadro via v E a H + : : {x G E (c, x - x ) > 0}, H": { x e E (c, x - x ) < 0} jí příslušé poloprostory, poto platí KaHox 0 + ce p K(x% KcH + ox -ce p K(x ) (Farkasova věta). 378

3 Defiice 2. Je-li M a, M + 0, x e,, libovolý bod, poto kužel P Nf (x ) : {x G 1 x x + ř(y - x ), yem, f 0} azýváe projekčí kužele ožiy M z bodu x. Platí: Je-li M kovexí ožia, poto P M (x ) je rověž kovexí ožiou v E. 2 Defiice 3. Je-li M c, Wl + 0 kovexí ožia, x e M libovolý bod, poto ožiu K M (x ) : P M (x ) azýváe styčý kužele ožiy M v její bodě x. Platí: Je-li M kovexí polyedr v E, poto P M (x ) P M (x ) K M (x ) pro každý bod x G M. Lea 1. Nechť M je kovexí polyedr s popise (1) M {xe E \ (o r, x) b r (r 1,..., )}, x e M libovolý bod a (2) / {re{1,...,} (o r,x ) b r }, poto (3) K M (x ) {x G E \ (a r, x) <, b r (r e /)}, (4) "K M ( X ) {x e E \ x x + X o r u r, u r^0(re /)}. re/ Důkaz. Pro libovolý bod x* e K M (x ) existuje podle defiic 2 a 3 bod y* e M a t* 0 tak, že x* x + t*(y* - x ). Poto podle (1) a (2) je (o r, x*) (o r, x ) + ř*((o r, y*) - (o r, x 0 )) b r (re/), tedy x* e {x. G E (o r, x) b r (r e /)}. Uvažuje yí libovolý bod x* G {X G (o r, x) b r (re/)}. Je-li x* x, poto x* G K M (x ). Je-li x* + x, x* G M, poto x* x + (x* - x ) a tedy opět x* G K M (x ). Je-li x* < iv!, poto pro dostatečě alé t* > 0 platí y : x + + t*(x* - x ) G M, odkud plye x* x + ljt^y - x ) G K M (X ). Tí je vztah (3) dokázá. Ozače K* : {x G E x x + X o r u r, u r 0 (r G /)}. rel Sado se ověří, že K* je kovexí kužel s vrchole x s vlastostí K* K*. Podle defiice 1, relací (2) a (3) platí PK*(x ) {x G E B ^ u r (o r, x - x ) 0, u r 0 (r e /)} {x e (c ř, x - x ) ^ 0 (r e /)} K wl x ). 379

4 Podle věty o bipolaritě je p ( p K*(x 0 )) p K M (x ) K* a vztah (4) je dokázá. Pozáka 1. Je-li M kovexí polyedr s popise (5) M {x e E \ (a r, x) ^ b r (r 1,..., ), x x 0 (a 1,..., )}, x e AI libovolý bod a (6) l 1 {re{l,...,}\(a r,x ) b r }, l 2 {ae {1,..., } x 0}, poto z leatu 1 plye, že (7) K M (x ) {x e (a r, x) ^b r (rs /,), *«0 (a e / 2 )}, (8) "K M (x ) {x e x, x + a, a t/, -»«(a e / 2 ), rell ** *? +. «ra "r (a e {1,.,"} \ '2), "rž0(re / x ), rel, i> a 0(ae/ 2 )}. Lea 2. Nechť M c ;j je libovolý kovexí polyedr a c e E, c f o libovolý bod. Bod x e M je optiálí řešeí úlohy lieárího prograováí (9) ax{(c,x) xem}! právě tehdy, je-li optiálí řešeí úlohy (10) ax((c,x) xev/)}!. Důkaz. Podle defiic 2 a 3 je M c K M (x ), odkud plye, že je-li x e M optiálí řešeí úlohy (10), je též optiálí řešeí úlohy (9). Naopak, je-li x optiálí řešeí úlohy (9), platí (c, x x ) ^ 0 pro všecha x e M. Podle defiic 2 a 3 je x e K M (x ) a zvolíe-li x* e K M (x ), x* # x libovolě, poto existuje y* e M, t* > 0 tak, že x* x + ř*(y* - x ). Odtud plye y* x + + l/í*(x* - x ), a protože y* e M, platí (c, y* - x ) (c, l/ř*(x* - x 0 )) l/í*(c, x* - x ) ^ 0 > (c, x* - x ) ^ 0. Vzhlede k libovolosti bodu x* e K M (x ) dostáváe odtud, že bod x je optiálí řešeí úlohy (10). 3 Uvažuje úlohu lieárího prograováí (11) ax{(c,x) xe/vl}!, (c + o), kde M á výza z (5). Věta 1. Nechť x je optiálí řešeí úlohy (11). Poto existují čísla w ^ 0 (r 1,..., ) tak, že platí 380

5 (12) c a ^a ra u r (ae/ 2 ), c a a ra u r (ae{l }\l 2 ), r i r 1 kde l 2 á výza z (6). Důkaz. Je-li x optiálí řešeí úlohy (11), pak je podle leatu 2 též optiálí řešeí úlohy (10) a tedy platí Ozačíe-li (c,x-x ) 0, xek Af (x ). R- :{xee (c,x-x ) 0}, poto ůžee psát K M (x ) < R~. Podle Farkasovy věty ( 1) platí pak x + ce e p K M (x ). Vzhlede k pozáce 1, vztahu (8), existují proto čísla u r 0 (r e / 2 ) l \ v 0 (a e l 2 ) tak, že C«Z ^a^ ~»a (^' 2 ) 5 C a O ra u r (a e{ 1,...,«} \/ 2 ). re/i re/i Defiujee-li ještě u 0(re{l,..., }\ Z^, pak odtud plye již (12). Pozáka 2. Bod u e E z věty 1 je zřejě bode ožiy (13) N : {ue E \ (a a, u) c a (a 1,..., ), u r 0 (r 1,..., )}, takže za předpokladu věty 1 je N 4 0. Pro každý bod xem z (5) a uen z(13) platí pak zřejě (14) (e,x)í.e Ew r ž(m). rlal Věta 2. Jc-/i úloha (11) řešitelá, pak je řešitelá též úloha lieárího prograováí (15) i{(b, u) uen}!, kde N á výza z (13), přičež pro každé optiálí řešeí x úlohy (11) a každé optiálí řešeí u úlohy (15) platí \c, x. ) (b, u ). Důkaz. Nechť x je optiálí řešeí úlohy (11), poto podle věty 1 a jejího důkazu existují čísla u r 0 (re^), u r 0 (re{l,...,}\í 1 ), která vyhovují vztahů (12), přičež l t a / 2 ají výza z (6). Podle (12) je dále (16) (c, x ) c a x c a x a rot t«a 1 a$h <x$h rí a r yx M, M? (fa,«) a 1 re/i re/i r 1 Podle pozáky 2 odtud plye, že (b, u) (b, u ) pro u e N a tedy u je optiálí řešeí úlohy (15). *) /JL á výza z (6). 381

6 Pro libovolé optiálí řešeí x* úlohy (11) a libovolé optiálí řešeí u* úlohy (15) platí pak (vzhlede k (16)) číž je věta dokázáa. (c, X*) (c, x ) (b, u ) (b, «,*), Defiice 4. Úlohu lieárího prograováí (15) azýváe duálí úlohou k priárí úloze (11). Důsledek 1. Je-li x optiálí řešeí úlohy (11) a \ l9 I 2 ají výza z (6), poto každý bod u* e N, pro který platí (17) u r *0 (re{l,...,}\/ 1 ), Z a ra u* c a (a e {1,..., } \\ 2 ) reh je optiálí řešeí úlohy (15). Věta 3. Je-li x optiálí řešeí úlohy (11) a \ l9 \ 2 ají výza z (6), poto pro ožiu N opt všech optiálích řešeí úlohy (15) platí N opt {u* e N\ u* 0 (r G {1,..., }\\ 1 ) 9 a ra u r * c a (ae{l,..., }\/ 2 )}. reh Důkaz. Je-li u* e N libovolý optiálí řešeí úlohy (15), poto podle věty 2 a pozáky 2 platí (18) (cx ) >: Z «*X* (*,"*) alrl Kdyby alespoň pro jedo r E {1,..., } \/ x bylo u* > 0, poto by vzhlede k (6) platilo Z Z x a a u: Z ",* Z a x + Z u* a ra x < (b, u*), alrl re/i al r^t al což je spor s (18). Kdyby alespoň pro jedo a e {1,..., } \ \ 2 platilo a ra u* > c a, poto vzhlede reh k (6) bycho dostali Z Z - *.V Z (Z -v,*) *? Z Z -v,**. 0 > (c, x ), alrl a$l2 rí a$l2 re/i což je opět spor s ^18). Bod u* splňuje tedy vztahy (17). Odtud a z důsledku 1 věty 2 plye již tvrzeí. Pozáka 3. Zcela aalogický způsobe se dá dokázat, že je-li u optiálí řešeí úlohy (15), přičež J x {ae {1,..., } (a a, u ) c a }, J 2 {re {1,..., } u r 0}, poto pro ožiu M opi všech optiálích řešeí úlohy (11) platí M opl {x* e M x* 0 (a e {1... } \/.), Z - *í fc r ( " e {1,... } \./ 2 )}. 382

7 Věta 4. (pricip duality). Úlohy (11) a (15) jsou řešitelé právě tehdy, jestliže současě řa 4 0, N 4 0. Pro libovolé optiálí řešeí x úlohy (11) a libovolě optiálí řešeí u úlohy (15) platí (c, x ) (b, u ). Důkaz. Nechť M 4 0, N 4 0. Podle pozáky 2 je lieárí fukce (c, x) a ožiě M shora oezeá a tedy úloha (11) je řešitelá. Aalogicky je cílová fukce (b, u) a ožiě N zdola oezeá a tedy úloha (15) je řešitelá. Jsou-li úlohy (11) a (15) řešitelé, poto utě N\ 4 0, N 4 0. Zbývající část tvrzeí plye z věty 2. Li/erafura [1] L. Collatz, W. Wetterlig: Optiierugsaufgabe. Sprigeг-Verlаg Berli [2] G. B. Datzig: Lieаre Progrаiеrug ud Erweiteruge. Spriger-Verlаg Вerli [3] D. Gale, H. W. Kuh, A. W. Tucker: Lieаr progrаig аd tһe theory of gаes. IT. C Koopаs (Ed.): Activity ааlysis of productio аd аllocаtio. New York [4] J. Havrda: Mаteаtické progrаovaí. SNTL Prаhа [5] D. B. Judi, E. G. Golstei: Lieаre Optiierug 1. Berli [6] A. Lašciak a kol.: Optiále progrаovаie. Alfа Brаtislаvа [7] D. G. Lueberger: Itroductio to lieаr аd olieаr progrаig. Addiso-Wesley. Publishig Copаy [8] M. Mahas: Optiаlizаčí etody. SNTL Prаhа [9] F. Noïička, J. Guddat, H. Hollatz: Theorie der lieаre Optiierug. Akаdeie-Verlаg Berli [10] F. Nožička: Ei geoetrischer Beweis des Duаlit tsprizips i der lieаre Optiierug. Mаth. Operаtiosforsch. u. Stаtist. 2 (1971) 1. [11] F. Nozička, L. Grygarová, K. Loatzsch: Geoetrie kovexeг Mege ud kovexe Aаlysis. Akаdeie-Verlаg Berli 1985 (kihа je v tisku). [12] G. Š. Rubištej: dodаtek v kize: Линeйныe нepавенcтва и cмeжные вoпpocы. Izdаtelstvo iostrаoj literаtury. Moskvа Authoґs address: Prаhа 1, Mаlostrаske. 25 (Mаteаticko-fyzikalí fаkultа UK). 383