MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce"

Transkript

1 MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost jak to dokázat je tato: Dokážeme platost V ) a potom dokážeme pro každé N platost implikace V ) V + ). Pokud jsme toto udělali, víme ovšem, že platí V ). Protože platí V ) V ), platí V ). Protože platí V ) V 3), platí V 3). Protože platí V 3) V 4), platí V 4) atd. Pak tedy vidíme, že platí V ) pro každé. Symbolicky bychom mohli vyslovit větu: Věta.. Buď M N taková, že platí: i) M; ii) pro každé N platí implikace M + M. Pak M N.. Jedoduché příklady Příklad.. Dokažte, že pro každé přirozeé platí ). Řešeí. Ozačme L) , P ) + ).. Pro je to evidetě pravda a platí L) P ).. Předpokládejme, že jsme to dokázali pro. Dokažme to pro +. idukčí předpoklad L + ) ) L) + + ) + ) + + ) + ) + + ) + ) + ) P + ). Tím je příklad vyřeše. Příklad.. Dokažte, že pro každé přirozeé platí ) + ). 6 Řešeí. Ozačme L) , P ) 6 + ) + ).. Pro je to evidetě pravda a platí L) P ).

2 ALEŠ NEKVINDA. Předpokládejme, že jsme to dokázali pro. Dokažme to pro +. L + ) ) idukčí předpoklad L) + + ) 6 + ) + ) + + ) + ) + ) ) ) ) ) 6 + ) ) 6 + ) + ) + 3) 6 + ) + ) + ) + ) + ) P + ). Tím je příklad vyřeše. Příklad.3. Dokažte, že pro každé přirozeé platí ). Řešeí. Ozačme L) , P ) ).. Pro je to evidetě pravda a platí L) P ).. Předpokládejme, že jsme to dokázali pro. Dokažme to pro +. L + ) ) 3 L) + + ) 3 idukčí předpoklad ) ) + + ) 3 dle příkladu. + ) + + ) ) ) 3) 4 + ) ) + ) + )) dle příkladu ) ) P + ). Tím je příklad vyřeše. Příklad.4. Dokažte, že pro každé přirozeé eí číslo dělitelé 73. Řešeí.. Pro je to evidetě pravda eboť skutečě eí dělitelé 73.. Předpokládejme, že jsme to dokázali pro. Jak je to pro +? Zřejmě 3+) ) ) Protoě ) eí dělitelé 73 podle idukčího předpokladu a je dělitelé 73, jejich součet ) eí dělitelý 73. Tím je příklad vyřeše. Pozameejme k předchozímu příkladu, že pokud bychom se spletli a dokázali, že pro je daé číslo dělitelé 73, pak jsme dokázali přesý opak. Je tedy vidět, že. idukčí krok elze vyechat. Příklad.5. Je dáo přímek v roviě. Tím se vytvoří ěkolik oblast i. Dokažte, že kaďou oblast lze obarvit buď červeě ebo modře tak, že žádé dvˇve oblasti se společou hraou ejsou obarvey stejou barvou. Řešeí.. Pro je to evidetě pravda eboť přímka rozdělí oblast a dvě poloroviy a každou z ich obarvím jedou ze dvou barev.. Nechť to umíme pro přímek a v roviě jich mám zadáo +. Pak si jedu odmyslíme, azvěme ji p, a dle idukčího předpokladu obarvím ty oblasti, které

3 MATEMATICKÁ INDUKCE 3 tam zbydou. Po přidáí p dosteme ějaké ové oblasti, které jsou icméě ějak obarvey již z předchozího kroku. Každá z těchto oblastí leží v jedé poloroviě od p. Nyí uděláme to, že v jedé poloroviě od p barvy echáme a ve druhé je vyměíme. Sado se yí uvidí, že takto obarveé oblasti již emají stejou barvu, pokud mají společou hrau. Tím jsme udělali idukčí krok. Tím je příklad vyřeše. 3. Variace a matematickou idukci Někdy se ám stae, že se podaří dokázat implikaci V )&V + ) V + ). Stačí pak ukázat platost V ) a V ). Formálě můžeme psát: Věta 3.. Buď M N taková, že platí: i) M, M; ii) pro každé N platí implikace M + M + M. Pak M N. Příklad 3.. Předpokládejme, že cos α s t, s, t Z. Dokažte, že potom t cos α Z pro každé N. Řešeí. Ověřme to ejprve pro,... Pak máme t cos α t s t s Z... Pak t cos α t cos α ) t s t ) s t Z. 3. Nechť tvrzeí platí pro a +. Tedy předpokládáme, že t cos α Z a t + cos + )α Z. Užitím vzorce cos + )α cos α cos + )α cos α máme t + cos + )α t + cos α cos + )α t + cos α t cos {{ α t + cos + )α t t {{ cos {{ α Z. Jiá variata je, že se podaří dokázat implikaci: echť platí V k) pro každé k, pak platí V + ). Stačí pak ukázat platost V ). Prakticky to zameá, že při důkazu V + ) můžeme využít již platá tvrzeí V ), V ),..., V ). Formálě můžeme psát: Věta 3.3. Buď M N taková, že platí: i) M; ii) pro každé N platí implikace {,,..., M + M. Pak M N. Příklad 3.4. Předpokládejme, že a R splňuje a + a a + a Z pro každé N. Z. Dokažte, že potom

4 4 ALEŠ NEKVINDA Řešeí.. Pro to předpokládáme.. Lze sado odvodit a + + a + a + ) a + {{ a {{ a ) a + a {{ ) Z. Příklad 3.5. Na bílém čtverečkovaém papíře je čtverečků začerěo. Každý čtvereček se přebarví podle ásledujícího pravidla: Každý čtvereček získá takovou barvu, jakou měla většia z těchto tří čtverečků: uvažovaý čtvereček, čtvereček bezprostředě od ěho vpravo a čtvereček bezprostředě ad ím. Dokažte, že po ejvýše přebarveích budou všechy čtverečky bílé. Řešeí. Za domácí cvičeí. Zajímavý příklad idukce je v ásledujícím příkladu. Příklad 3.6. Nechť m, N, m. Dokažte, že + ) m m < + + m. Řešeí. Idukci budeme dělat tetokrát podle m. Fixujme tedy ějaké.. Pro m je to jasé.. Nechť to umíme pro ějaké m <. Dokažme, že pak to platí pro m +. Skutečě, + ) m+ + ) m + ) idukčí předpoklad < + m ) + m + ) + m + m + + m + m 3 + m + m + m 3 + m + m + ) + + m + viz íže < + m + Stačí dokázat Ale to je sadé. + m + ). m 3 m + < 0. m < m < m m < m + m < m + m 3 < m + + m 3 m + m 3 m + < 0 Tím jsme ukázali, že pro pevé platí tvrzeí pro každé m a důkaz je hotov.

5 MATEMATICKÁ INDUKCE 5 4. Idukce vyžadující vtip Uvedeme si jede zajímavý příklad, ve kterém a prví pohled eí jasé, jak vlastě idukčí krok udělat. Příklad 4.. Dokažte, že pro každé N platí < 4. Řešeí. Neí těžké dokázat tuto erovost pro,, 3 ebo kolik hodot si zvolíme přímým výpočtem. Potíž je udělat idukčí krok. Jak máme usoudit z faktu < 3 4, že ) < 3 4 když levou strau zvětšujeme a pravá je pořád stejá? Je uto zařídit, aby se i pravá straa měila. To se udělá apř. takto: Budeme dokazovat silější tvrzeí L) ) 3 4 P ), ze kterého již požadovaá erovost sado plye.. Pro platí přímo rovost L) P ).. Nyí uděláme idukčí krok. protože L + ) ) 3 L) + + ) 3 idukčí předpoklad ) ), ) ) + + ) 3 + ) + ) + ) 3 + ) 3 + ) + ) 3 + ) + ) ) + ) což každý vidí a tím je důkaz hotov. 5. Nerovost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem a jeho aplikace Lemma 5. AG-erovost). Nechť a i 0. Pak ) ) a i a i. Proof. Užitím matematické idukce podle. Zajímavé a to velmi) je, že se edaří udělat idukčí krok +. Ale dá se to udělat velmi vtipě ásledujícím způsobem.. Důkaz je triviálí pro i pro ).

6 6 ALEŠ NEKVINDA. Dokážeme ejprve implikaci. Dáo čísel b i, c i, i,,..., položme a i bi+ci a použijme ) pro čísel a i. Užitím ) pro máme ) ) ) bi + c i b i + c i b i + c i b i c i b i + c i )). Tím je krok hotov. 3. Dokážeme yí implikaci. Užitím ) pro a a a, a a k máme ) { ) a k a k a k + ) a k a k a tedy ) a k a k. Tím je krok hotov a AG-erovost je dokázáa. Aplikace AG-erovosti. Věta 5.. Polož a + ), b + ) +. Pak a je eklesající a shora omezeá číslem 4, tj. pro každé N platí a a + a a 4 a b je erostoucí a zdola omezeá číslem, tj. pro každé N platí b b + a b Důkaz. Dokážeme, že a je eklesající a b erostoucí. Vyjdeme ze zámé erovosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem již dokázaého). Pro p, p,..., p k 0 platí k ) p p... p k p + p + + p k. k Užijeme erovost ) pro k +, p p p +, p +, dostaeme + + ) + ) Úpravou máme + ) + ) + + což je totéž jako a a +. Tedy a je vskutku eklesající. Užijme opět erovost ) pro k +, p p p, p + + a dostaeme + + ) , +

7 MATEMATICKÁ INDUKCE 7 což dává + )+ + + )+ + ) + + ) +, + tedy b b + a posloupost b je vskutku klesající. Nyí je zbytek sadý. Volme m, N. Pro m máme a m < a < b, a pro m dostaeme a m < b m < b. V každém případě je a m < b pro libovolé m, N. Tedy a < b a a m < b 4 a tím je dokázáa omezeost posloupostí a, b. Zajímavé je, že jsme vlastě dokázali erovost + ) 4. Je ovšem dobré si všimout, že z příkladu 3.6 dostaeme pro m lepší odhad + ) < Dodatek Příklad 6. Domácí kolo MO, 007). Dokažte, že pro každé N existuje a N, < a < 5 takové, že a 3 a + je dělitelé 5. Návod.. Pro, to lze ajít experimetálě. To také apoví, kdy je a 3 a + dělitelé 5.. Nechť pro máme a takové, že je a 3 a + 5 b pro ějaké b. Hledejme yí číslo k tak, aby pro a + : 5 k + a platilo, že a 3 + a + + je dělitelé 5 +. Tím se udělá idukčí krok. 3. A že a emusí být meší ež 5? Tak to už je skutečě detail. Refereces [] A. Vrba, Pricip matematické idukce. Škola mladých matematiků 40, vydal ÚV matematické olympiády v akladatelství Mladá frota, Praha 977. Departmet of Mathematics, Faculty of Civil Egieereg, Czech Techical Uiversity, Thákurova 7, 669 Prague 6, Czech Republic address:

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Udr itelnost WE CarE

Udr itelnost WE CarE Udritelost WE Care Získejte více za vaše peíze: s WE CARE společosti MetPro Ekologicky zabaleo při zachováí stejé kvality Důsledě ekologické baleí šetré k přírodím zdrojům. To je cílem produktové řady

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Pokrytí šachovnice I

Pokrytí šachovnice I Pokrytí šachovnice I VŠB-TU Ostrava, fakulta FEI Obor: Informatika výpočetní technika Předmět: Diskrétní matematika (DIM) Zpracoval: Přemysl Klas (KLA112) Datum odevzdání: 25.11.2005 1) Abstrakt: Máme

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

ř ú ú Š Í Á É ř ř ř é é ř ř š é ř ř š ř é ž é ž š é š é é ř ů ž ž ř é ř ů é é ž é ř é é ř é ú é é ž é é š ň é ř š é š é Ť é ř ů ž ž ď ř é é é ž ř é Š ů é ř é ř é Š ú ř Í ž ž ř ř Í é š ž é ř Ť š ř ř ř š

Více

ň ý ě ý ý ý ě ň ý ě ý Ú ú ň ň ý ě ý ó ž ý ň ě ě ě ú ú Ř ň ň ý ě ý ě ě ž ý ž ě ý ě ý ě ě ů ě Ů Č Í Ě Á Á Í ě ě ě ě Ž Ů ú ě ě ě Ú ě ů ě ý ě ě ú ň ý ě Ů ž ů ž ě ý ý ý ý ě Č Č ě Č ě ů ý ě ý ý ž ě ě ž ů ž ě

Více

ě ě ú ě ě ě ě ě ň ě ň ů ě ů Ý ě ě ů ň ě Í ě ň ě ě Ž ě ň ě ě ú ů ú ě ě ě ú ě ě ě ě ě ě ů ě ů ě ě ú ů ě ě ě Ž ů ě ě ú Ž Ž Ú ě ě ě ě Ž Ž ě ť Ž Í ě Ž ě Ž Ž ů ěž ů ěž ě Í Ú ů ě ů ě Ž Ž Ž ě ě ě ů ě ě ě ě ě ů

Více

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana Katedra softwarového ižeýrství MFF UK Malostraské áměstí 25, 8 00 Praha - Malá Straa, v. 3.5 co jsou "techiky přeosu dat"? Katedra softwarového ižeýrství, Matematicko-fyzikálí fakulta, Uiverzita Karlova,

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I Elektroická publikace Metodika implemetace Průřezového tématu Evirometálí výchova I Zpracovaly: Bc. Jaroslava Rozprýmová a Mgr. Milica Sedláčková Témata: 1. Zemědělství a životí prostředí 2. Ekologické

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

SPOŘENÍ. Spoření krátkodobé

SPOŘENÍ. Spoření krátkodobé SPOŘENÍ Krátkodobé- doba spořeí epřesáhe jedo úrokové období (obvykle 1 rok). Úroky jsou přpsováy a koc doby spořeí. Jedotlvé složky jsou úročey a základě jedoduchého úročeí. Dlouhodobé doba spořeí bude

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více