3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie"

Transkript

1 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se dá zapsat ve tvaru: y p ( ) y p ( ) y p ( ) y q( ) (3) ( ) ( ) Fukce p,, p se azývají koeficiety lieárí difereciálí rovice Jestliže jsou fukce p,, p kostatí, hovoříme o lieárí difereciálí rovici s kostatími koeficiety Fukce q() se azývá pravá straa lieárí difereciálí rovice Jestliže q je ulová fukce, rovice (3) se azývá homogeí, ebo rovice bez pravé stray Pozámka 3 Vždy budeme předpokládat, že fukce p,, p a q jsou spojité a ějakém itervalu I = (a, b), a < b Příklad 3 (a) Rovice (3) je lieárí, y y y si( ) l( 3) (3) p( ), p ( ), si( ) q ( ) l( 3) (b) Řešeí rovice budeme uvažovat a itervalech, a kterých jsou všechy fukce p, p, q spojité, tj a itervalech (-3, -),(-, -), (-, ), (, + Pozámka 3 Rovice (3) se azývá lieárí, protože zobrazeí L, L[ y]: y p ( ) y p ( ) y p ( ) y, (33) ( ) ( ) je lieárí zobrazeí, tj L[ y y] L[ y] L[ y], (34) L[ y] L[ y] Podroběji, echť fukce p,, p jsou spojité a itervalu I = (a, b), a < b Ozačíme-li ( k symbolem C ) ( I ) k-krát spojitě diferecovatelé fukce a eprázdém itervalu I, pak ( k C ) ( I ) je lieárí prostor a L je lieárí zobrazeí:

2 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie ( k ) () L : C ( I ) C ( I ) Relace f f je lieárí zobrazeí Kompozice lieárích zobrazeí je lieárí zobrazeí, ( ) ( ) ( ) tj pro libovolé k je ( f g) k f k g k, lieárích zobrazeí je lieárí zobrazeí, tj ( k) ( k) ( g) ( g ) Lieálí kombiace je lieárí zobrazeí L[ y]: pk( ) y k ( k ) Lieárí difereciálí rovici (3) můžeme pomocí zobrazeí L zapsat stručě L[ y] q (35) Struktura možiy všech řešeí rovice (35) (tj obecého řešeí) je stejá jako struktura řešeí lieárí soustavy rovic, která je záma z úvodu do algebry Vlastosti řešeí soustavy rovic byly totiž odvozey pouze z liearity podobého zobrazeí a z toho, že defiičí obor i obor hodot tohoto zobrazeí jsou lieárí prostory, tj z podmíek (34) Pojmy a výsledky můžeme proto z lieárí algebry bezezbytku přejmout Partikulárí řešeí, je kterékoliv vybraé řešeí rovice (35) Budeme-li potřebovat jej odlišit od ostatích typů řešeí, apř od obecého (tj od formule, která popisuje možiu všech řešeí rovice), budeme jej ozačovat ŷ, platí tedy: L[ yˆ ] q Řešeí homogeí rovice, je řešeím přidružeé homogeí rovice Budeme-li potřebovat jej odlišit od řešeí partikulárího ebo obecého, budeme jej ozačovat y, platí tedy: Ly [ ] (36) Z algebry je zámo, že možia všech řešeí lieárí homogeí rovice tvoří lieárí podprostor zvaý jádro zobrazeí L, ozačme jej ker(l) Pro dimezi tohoto jádra později odvodíme velmi zajímavý vztah: dim ker(l) = řád dif rovice (35) Obecé řešeí rovice, tj možia všech řešeí rovice (35), je opět dáa zámým výsledkem z lieárí algebry Je-li ŷ libovolě vybraé partikulárí řešeí, pak platí: { y L[ y] q} { yˆ y L[ y ] }, ebo stručě L[ y] q y yˆ ker( L), (37) kde jsme ozačili yˆ ker( L) { yˆ y L[ y ] }

3 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Pozámka 33 (pricip superpozice) Sloví spojeí pricip superpozice eí ozačeím obecě platého, apř fyzikálího zákoa či pricipu Je to pouze jié ozačeí vlastostí ějakého lieárího zobrazeí, ebo vlastostí z ěj odvozeých Pricip superpozice je často chápá v ásledujícím smyslu, který sado vyplývá z liearity zobrazeí L: Je-li y řešeím li dif rovice s pravou straou q, tj L[ y] q, je-li y řešeím li dif rovice s pravou straou q, tj L[ y] q, pak y y je řešeím rovice s pravou straou q q, tj L[ y y] q q Věta 3 (o eisteci a jedozačosti) Mějme lieárí difereciálí rovici -tého řádu y p ( ) y p ( ) y p ( ) y q( ), (38) ( ) ( ) kde fukce p,, p a q jsou spojité a itervalu I = (a, b), a < b Pak platí: Pro každý bod I a libovolý vektor ( b, b,, b ) eistuje jedié řešeí y C ( ) I rovice (38), které splňuje dále uvedeé počátečí podmíky: y( ) b, y( ) b, ( ) y ( ) b Piccardovy aproimace aplikovaé a soustavu dif rov řádu ekvivaletí s (38) S pomocí Věty 3 můžeme řešit otázku dimeze ker(l) Pozámka 34 Fukce y,, y jsou a eprázdém itervalu I lieárě ezávislé (zkratka LN), právě když platí: cy a I c c c (39) Podmíka cy a I je ekvivaletí s podmíkou I( ( ) ( ) ) Podmíka cy cy a I tedy reprezetuje ekoečě moho algebraických rovic, tj soustavu ekoečě moha lieárích rovic 3

4 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Vybereme-li libovolě,,, k I, pak musí platit: ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), 3 3 c ( ) ( ) y k k Je zřejmé, že takto lze vygeerovat soustavu lieárích rovic o espočetě moha rovicích Pokud jsou fukce y,, y diferecovatelé, pak je možo sestavovat další soustavy rovic ( derivováím rovice (39), apř patří-li fukce do C ) ( I), pak a I platí: cy cy cy,,, ( ) ( ) Věta 3 (dim ker(l) = řád L) Nechť fukce p,, p jsou spojité a itervalu I = (a, b), a < b, I je libovolé Mějme homogeí rovici -tého řádu L[ y]: y p ( ) y p ( ) y p ( ) y (3) ( ) ( ) Pak fukce y,, y, které řeší homogeí rovici Ly [ k ], k =,,, a itervalu I a vyhovují počátečím podmíkám y( ) y( ) y ( ) y( ) y ( ) y ( ) y ( ) y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) =, (3) tvoří bázi prostoru ker(l) Podle Věty 3 (o eisteci a jedozačosti) takové fukce y,, y musí eistovat (a) y,, y, jsou lieárě ezávislé Utvořme ulovou lieárí kombiaci cy (3) 4

5 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Nulová fukce je diferecovatelá, všechy její derivace jsou ulové fukce Protože ( y C ) () I pro k =,,, z rovice (3) derivováím získáme soustavu rovic: k cy cy,, ( ) ( ), ( ) ( ) cy, která je splěa a itervalu I V maticové formě má soustava tvar: y y y y c y y y y c (33) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y c ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y c Vyjádříme-li soustavu (33) v bodě, podle (3) je matice soustavy (33) jedotková, tj platí y( ) y( ) y ( ) y( ) c y( ) y ( ) y ( ) y ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) c c c Fukce y,, y jsou tedy lieárě ezávislé c c c c c c (b) Každé řešeí homogeí rovice je lieárí kombiací fukcí y,, y Nechť y je libovolé řešeí rovice (3), tj L[ y] = Defiujme vektor ( b, b,, b ) : ( y( ), y( ),, y ( )) ( ) Pak ovšem fukce y je zároveň řešeím počátečí úlohy Defiujme dále fukci z: Ly [ ], ( k ) y ( ) bk, k,,, (34) 5

6 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie z b y b y b y : Fukce z je rověž řešeím počátečí úlohy (34): Lz [ ] L[ b y b y by] b L[ y ] b L[ y ] b L[ y ] b b b, ( ) ( ) ( ) ( ) z k ( ) b y k ( ) b k y ( ) b k y ( ) bk, k,,, Podle věty o eisteci a jedozačosti emohou eistovat dvě růzá řešeí téže počátečí úlohy, proto utě y = z, tedy platí y b y b y by Pozámka 35 Řešit lieárí homogeí difereciálí rovici L[ y] = zameá ajít ějakou bázi prostoru ker(l), tj je-li rovice řádu, pak je třeba ajít lieárě ezávislých řešeí této rovice Možiě fukcí, které tvoří bázi prostoru ker(l), se říká fudametálí systém Defiice 3 (Wroského matice, wroskiá) Jestliže fukce y,, y jsou diferecovatelé a itervalu I až do řádu včetě, pak a itervalu I je defiováa tzv Wroského matice Je to matice soustavy (33), tj je to fukce defiovaá a I, která k daému I přiřadí dále uvedeou matici: y( ) y( ) y ( ) y( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) [ y,, y]( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) Wroskiá je determiat Wroského matice, defiujme: W[ y,, y ]( ) : det( [ y,, y ]( )) Je-li možia fukcí y,, y záma z kotetu, píšeme stručě W( ) : det( [ y,, y ]( )) Wroskiá je užitečý ástroj aalýzy lieárí ezávislosti poslouposti fukcí, jak ukazuje ásledující věta Věta 33 (test LN, LZ) Nechť fukce y,, y, jsou diferecovatelé a itervalu I až do řádu včetě Pat platí: (a) Jestliže I(W[ y,, y]( ) ) pak y,, y jsou lieárě ezávislé a I 6

7 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie (b) Jestliže I(W[ y,, y]( ) ) a fukce y,, y jsou a itervalu I řešeím ějaké homogeí lieárí dif rovice -tého řádu (se spojitými koeficiety a I ), pak y,, y jsou LZ a itervalu I (a) Nechť I( ( ) ( ) ) (35) Stejě jako v důkazu Věty 3, z rovice (35) odvodíme soustavu rovic pro ezámé koeficiety c,,c Dostaeme pro každé I : c [ y,, y]( ) (36) c Podle předpokladu eistuje I, pro které je wroskiá eulový, tj W[ y,, y]( ), matice [ y,, y]( ) je pak regulárí a jediým řešeím rovice (36) je řešeí triviálí, tj fukce y,, y jsou lieárě ezávislé a I (b) Podle předpokladu eistuje bod I pro který je wroskiá ulový, tj W[ y,, y]( ), tj matice [ y,, y]( ) je pak sigulárí a tudíž eistuje etriviálí řešeí c,, c soustavy, * c [ y,, y]( ), (37) * c tj ( c,, c) Nyí ukážu, že cy cy a I, tj c,, c jsou koeficiety hledaé etriviálí ulové lieárí kombiace fukcí y,, y Ozačme z (38) : Podle předpokladu jsou fukce y,, y řešeím ějaké lieárí homogeí difereciálí rovice -tého řádu se spojitými koeficiety a I, echť tedy platí L[y k ] =, k =,, a tudíž i z je řešeím takové rovice, tj L[z] = Každé řešeí rovice L[z] = je i řešeím počátečí úlohy L[ z], z ( ) z ( ), k,, ( k) ( k) ( k ) Hodoty derivací z ( ) vyplývají z rovic (37), (38) Platí: 7

8 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie ( k ) z ( ) ( ) ( ) * ( k) * ( k) c * ( k) ( k) y ( ) y ( ) * c pro k =,,, tj z( ) y( ) y( ) c c [ y,, y]( ) (39) ( ) ( ) ( ) z ( ) y ( ) y ( ) c c Vektor počátečích hodot je tedy podle (39) ulový Stejé počátečí podmíky splňuje ovšem také ulová fukce Podle věty o jedozačosti to zameá, že z je ulová fukce a I, tj a I, což se mělo dokázat Příklad 3 Fukce e a e jsou LN a libovolém eprázdém itervalu právě když (a) Nechť Pak pro libovolé je e e e e W[ e, e ]( ) e e e e ( ) V každém eprázdém itervalu I tedy eistuje bod, ve kterém W[ e, e ]( ), tj podle Věty 33 jsou fukce LN a každém eprázdém itervalu I (b) Nechť Položme c = c = Potom ce ce e e Našli jsme ulovou etriviálí lieárí kombiaci, tj fukce jsou LZ a libovolém eprázdém itervalu V tomto případě LZ elze vyvodit z faktu, že W[ e, e ], eboť zatím evíme, zda eistuje difereciálí rovice řádu, jejímž řešeím je fukce e Příklad 33 Ukažte, že fukce e a e jsou LN a libovolém eprázdém itervalu I pro libovolé e e W[ e, e ]( ) e e e e e e Příklad 34 Jsou dáy fukce y ( ), y ( ) Pak platí: (a) Fukce y, y jsou LN a každém itervalu, který obsahuje jak kladá tak záporá čísla (b) Na itervalu, který eobsahuje čísla obou zaméek, jsou fukce y, y LZ (c) W[ y, y] a každém eprázdém itervalu 8

9 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie (a) Nechť I je iterval,, I,, echť c c I Pak platí c c, (3) c c Koeficiety c, c řeší soustavu (3) Matice soustavy (3) je regulárí, det ( ) eistuje tedy pouze triviálí řešeí, fukce y, y, jsou tedy LN (b) V případě, že iterval I eobsahuje čísla obou zaméek, pak eistuje kostata taková, že y = y, tj fukce jsou LZ, (c) Protože ( ), je W[ y, y]( ) Důsledek 3 Fukce y, y z Příkladu 34 emohou být řešeím ějaké lieárí difereciálí rovice řádu (se spojitými koeficiety) a itervalu I, který obsahuje čísla obou zaméek Příklad 35 Jsou dáy fukce y ( ), y( ) Staovte li dif rovici Řádu, jejíž fudametálí systém je tvoře fukcemi y, y Úloha má smysl, fukce y, y jsou LN a libovolém eprázdém itervalu Jestliže fukce y, y tvoří fudametálí systém ějaké lieárí homogeí difereciálí rovice, pak obecé řešeí y této rovice bude lieárí kombiace y = c y + c y Trojice fukcí y, y, y je tedy LZ, jejich wroskiá tedy musí být ulový, y W[ y,, ]( ) y y 3 Hledaou difereciálí rovici dostaeme rozvojem determiatu podle sloupce, tj, y y 3 y po úpravě y y y 9

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

7 Obyčejné diferenciální rovnice

7 Obyčejné diferenciální rovnice - 9 - Občejé difereciálí rovice 7 Občejé difereciálí rovice 7 Základí ojm Difereciálí rovice Defiice Občejou difereciálí rovicí -tého řádu rozumíme rovici F(,,,, ( ) ) ebo, je-li takzvaě rozřešea vzhledem

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

NUMERICKÉ METODY PRO ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC

NUMERICKÉ METODY PRO ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC NUMERICKÉ METODY PRO ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC Marek Brader Jiří Egermaier Haa Kopicová Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č.

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení Iteretová matematická olympiáda - 24. listopadu 2009 2. ročík -autorská řešeí. Na ekoečě velkém čtverečkovaém papíře si zvolte mřížový bod A, který bude počátkem. Nadále se od bodu A můžete pohybovat pouze

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

10. Rekurentní vztahy

10. Rekurentní vztahy Diskrétí matematika 0 Rekuretí vztahy phabala 202 Kapitolu uvedeme populárím příkladem 0 Rekuretí vztahy Příklad 0a: Teto problém je zám po ázvem Haojské věže Představte si tři tyčky, a jedé je avlečeo

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku Cvičeí z ieárí agebry 4 Vít Vodrák Cvičeí č Determiat a vastosti determiatů Výpočet determiat djgovaá a iverzí matice Cramerovo pravido Determiat Defiice: Nechť je reáá čtvercová matice řád Čtvercovo matici,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

A J E J I C H S O U S T A V Y

A J E J I C H S O U S T A V Y O S T R A V S K Á U N I V E R Z I T A P Ř Í R O D O V Ě D E C K Á F A K U L T A O B YČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE A J E J I C H S O U S T A V Y D A N I E L H R I V Ň Á K OSTRAVA 00 O B S A H M O D U L

Více

Geometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí:

Geometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí: Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Byla vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým ejsou potřeba zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

K čemu slouží regrese?

K čemu slouží regrese? REGRESE K čemu slouží regrese? C = Ca + c. Y C = 00 + 0,6. Y + e Budeme zjišťovat jak jeda proměá (ezávislá) Ovlivňuje jiou proměou (závislou) C Y 950 1000 910 150 1130 1500 1150 1750 1475 000 1550 50

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Náhodné jevy a pravděpodobnost

Náhodné jevy a pravděpodobnost Lekce Náhodé jevy a pravděpodobost Výklad pravděpodobosti musí začít evyhutelě od základích pojmů Pravděpodobost, velmi zjedodušeě řečeo, pojedává o áhodých jevech (slově vyjádřeých výsledcích áhodých

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více