3. Cvi ení. Matematická analýza pro fyziky I ZS 2016/17, MFF UK. 1. Ukaºte, ºe pro kladná ísla x 1,..., x n platí. x 1 = 1

Transkript

1 Matematická analýza pro fyziky I ZS 06/7, MFF UK. Cvi ení. Ukaºte, ºe pro kladná ísla x,..., x n platí x... x n x x n n Návod: Abyste dokázali výrok pro x,..., x n+, p edpokládejte, ºe x n < a x n+ > pro to lze?) a pouºijte induk ní p edpoklad na x,..., x n, x n x n+. x... x n x n x n+ ) x x n + x n x n+ n noch zz: x n x n+ n n + x n+ x n+ ) x n ) > 0 }{{} +x n+x n+ x nx n+ >0. Artitmetický pr m r nezáporných ísel x,..., x n je a x +...+x n n, geometrický pr m r je g n n x... x n a harmonický pr m r h x xn Dokaºte, ºe a g h Návod: Pouºijte, ºe y... y n y y n n pro kladná y i. x n x... xn... x n n x... xn x +...x n n x... xn n a g n x... xn x n x... x... n x n n ) x... x n x x n n g h. Dokaºte pro komplexní) ísla a,..., a n a b,..., b n Cauchy-Schwarzovu nerovnost: a k b k ak bk k Návod: Ov te pro A k a k a B k bk nerovnost A k B k. a i b i i i Pouºijte p itom skute nost, ºe geometrický pr m r lze shora odhadnou aritmetickým pr m rem. a k b A k k B k a i b i i A k B k A k B k k A k +B k i A k + B k + a k ai b k bi

2 a k b k ai bi k 4. Dokaºte pro ísla a,..., a n a b,..., b n Minkowského nerovnost ak + b k ak + bk Návod: Rozloºte sou et pod levou odmocninou na dva sou ty a pouºijte Cauchy-Schwarzovu nerovnost. 5. Bu θ kπ. Dokaºte identitu a Návod: Rozepi²te noch zz: ak + b k a k + b k a k + a k + b k b k CS ak + b k ak + ak + b k bk [ ak + b k ak + ] bk n k e kθ. sin θ + sin θ +... sin nθ n+ sin θ sin θ sin nθ ) ) sin n + θ + cos θ + cos θ cos nθ sin θ e ikθ cos θ + cos θ cos nθ) + isin θ + sin θ sin nθ) k n iθ e k e ikθ eiθ einθ e iθ 6. Najd te v²echna reálná ísla x s e i θ e inθ e i θ e i θ ei n+ )θ e i θ i sin θ sinn+ )θ) sin θ ) + i cos θ cosn+ )θ) sin θ cos θ cos n + ) ) θ sin n+ θ) sin n θ) cos n+ θ n θ) cos n+ θ + n θ) sin x sin x cos x ) sin x cos x ) x sin cos x sin x )

3 oder sin x sin x cos x sin x sin x sin x 4 sin x sin x sin x 0 sin x x kπ sin x x π 4 + k π ) 7. Spo t te následující komplexní ísla: a) z 5 + i 5) + i) + 4i) b) z 5 i ) 4 i c) z + i d) z 5 + i) + + i)8 7i e) i ) + i ) Berechnen Sie die folgenden komplexen Zahlen : a) z 5 + i 5) + i) 5) + i) + i) 5 5) [ + i) + i)] + i) }{{} 4 0 5) + i) i b) z c) z + 4i) 5 i 5 + 8i)5 + i) 9 ) 4 i + i + 4i) 5 + i) 5 i)5 + i) 59 70i) 9 ) 4 i) i) + i) i) d) z 5 + i) + + i)8 7i + 4i) 5 + i) i ) 4 i) i) + i) i) ) 7 6i 5 84i i 5 i) + i) i) + + i)8 7i i) + + i) 8 7i 4i) i) + + i) + i) + i) + i) 7i 8i) + i) 4 8i) i) e) i ) + i ) i ) + i )) i ) Na rtn te v Gauÿovské rovin následující mnoºiny komplexních ísel: a) {z C ; z z + i} b) {z C ; z + i z 5i } { ) } { c) z C ; Re d) z C ; z, z z } e) {z C ; z i z + + i } f) {z C ; z > Rez)}.

4 zu a) z z + i mit z a + bi z a bi) + i z a b)i Diese Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn gilt: z a 0 und b 0 b a + ) a + 4 a z + i zu b ) Sei z a + bi z + i z 5i a ) + b + ) a ) + b 5) 4a Das bedeutet, dass genau die komplexen Zahlen z C die obige Gleichung erfüllen, die auf der Geraden M mit der Geradengleichung b a+ 8 liegen. M ist die Mittelsenkrecht zwischen den Punkten i und + 5i. zu c ) Sei z a + bi Re 0 a a + b 6 a 4) + b. ) ) ) a bi Re Re z a + bi a + b a a + b zu d )

5 zu e ) Sei z a + bi z i z + + i a ) + b ) 4 a + ) + b + ) ) a + b + 0 a + 0 b + 0 a b + ) 5 ) 9. zu f ) Sei z a + bi z > Rez) a + b > a b > a. 9. Dokaºte, ºe pro v²echna komplexní ísla z, w C platí tak zvaná rovnob ºníková identita z + w + z w z + w ). Jaká geometrická v ta se za ní skrývá? Mit z a + bi und w c + di folgt: z + w + z w a + c) + b + d) + a c) + b d) a + ac + c + b + bd + d + a ac + c + b bd + d a + b ) + c + d ) z + w ) Die geometrische Aussage des Satzes lautet: Die Quadrate der Längen der Diagonalen eines Parallelogramms entsprechen dem Doppelten der Quadrate der beiden Seitenlängen. 0. P eve te následující výrazy na trigonometrický tvar z r cos ϕ + i sin ϕ) : a) + i) + i)cos a + i sin a), a R b) 5 c) i + sinα) i cosα), 0 α < π zu a) + i) + i) cos a + i sin a) argz) }{{}}{{} π z z cos π + i sin π) z w argw) 4 π w w cos 4 π + i sin 4 π) + i) + i)cos a + i sin a) cos π + i sin π) cos 4 π + i sin 4π)cos a + i sin a)

6 zu b) 5 5cos π + i sin π) cos 7 7 π + a) + i sin π + a)) zu c) i+sinα) i cosα) sinα)+i cosα)) sin α cos α+i sin α) sin αcos α+i sin α). e²te rovnice pro z C, z x + iy : a) z i b) z 6 7 c) z 4 + i d) z + 0 e) z + z + 8i) 0 f) z 4 z + 0 g) z + 4i h) z 5 i Bemerkung: Es gibt mehrere Arten die komplexe Gleichung z a + bi zu lösen. Zunächst kann dies unter Zuhilfenahme der Formel von Moivre geschehen. Sei z a + bi. Man bestimme ϕ argz) und r z, dann gilt: z r cos ϕ) + i sin ϕ )) und z r cos ϕ + π) + i sin ϕ + π)) Man kann aber auch so vorgehen: Sei z a + bi und z x + yi. Falls b 0 ist, so gilt oenbar: z / { ± a falls a 0 ±i a falls a < 0 Falls jedoch b 0 ist, so gilt z x + yi) x y + xyi a + bi, was auf die zwei reellen Gleichungen I) a x y und II) b xy führt. Da b 0 vorausgesetzt ist, folgt aus II) direkt: x 0 und y 0. Weiter gewinnt man aus I) durch Einsetzen von II) zunächst: die reellen Gleichungen x b 4x a und umgeformt x4 ax b 4 0 woraus nach der p q Formel: x ) / a ± a 4 + b 4 folgt, was durch das das plus unter der Wurzel immer einen sinnvollen Ausdruck. Man überlegt sich ferner, dass stets gilt: woraus sich a a b 4 > 0, a x) / ± + a + b und durch II) auch y / bestimmen lässt.

7 Abschlieÿend sei darauf hingewiesen, dass auch die p q Formel in C gilt. zu a) z i z argz ) π z cos π + i sin Moivre π) z cos 6 π + i sin 6 π) + i z cos 5 6 π + i sin 5 6 π) + i z cos π + i sin π) i zu b) z 6 7 z 6 7 argz 6 ) π z cos π + i sin π) Moivre z cos 6 π + i sin 6 π) + i z cos π + i sin π) i z cos 5 6 π + i sin 5 6 π) + i z 4 cos 7 6 π + i sin 7 6 π) i z 5 cos π + i sin π) i z 6 cos π + i sin 6 6 π) i zu c) z 4 + i z 4 argz 4 ) π z cos π + i sin Moivre π) z 4 cos π + i sin π) z 4 cos 7 π + i sin 7 π) z 4 cos π + i sin zu d) z + 0 z / ±i π) z 4 4 cos 9 π + i sin 9 π) zu e) z + z + 8i) 0 z + ) 8i z + ) / ± ± + i) z + i und z i zu f) z 4 z + 0 z ) + 0 z ± i. Fall: z + i. Fall: z i Moivre z / ± 4 cos π 8 + i sin π 8 ) Moivre z /4 ± 4 cos π 8 i sin π 8 ) + i zu g) z + 4i ergibt gemäss der Bemerkung mit a und b 4 z + i und z i zu h) z 5 i ergibt gemäss der Bemerkung mit a 5 und b z i und z + i ). Spo t te p esnou hodnotu cos π 5 und sin π 5. Návod: Poloºte z cos π 5 + i sin π 5 a pouºijte z5 + 0 stejn jako z + z cos π 5. Sei also z cos π 5 + i sin π 5 ). z z + ) z 4 z + z z + ) 0 }{{} 0 z 4 z + z z + 0 z z + z + z 0 )

8 n : z + z n z + ) z + + z z ) n n 0 n / ± 4 + ± 5) n z + z + 5) cos π 5 cos π ) sin π 5 cos π 5 5 5). Na trn te v C následující mnoºiny Zu a) a) {z C : z i }, b) {z C : z + i z }, c) {z C : z + z }, d) {z C : z + z }, e) {z C : Rez + ) Imz}. Der Abstand zwischen z und i soll sein. Es handelt sich also um Kreis mit Mittelpunkt i und Radius. Zu b) Der Abstand von z zu i muss gleich dem Abstand von z zu sein. Es handelt sich also um die Achse der Ve rbindungsgerade zw. i und, also die Achse des zweiten und vierten Quadrants. Zu c) Erstmal nden wir wie in b) die Menge M {w C : w + w }. Dies ist die imaginäre Achse. Dann suchen wir die Menge M {z C : z M}. Aus der geometrischen Intepretation der Multiplikation komplexer Zahlen folgt, dass M { + i)t : t R} { i)t : t R}. Zu d) Der Abstand zw. z und ist doppel so groÿ als der Abstand zw. z und. In der Menge liegen also die Punkte und 5. Aus der Elementargeometrie folgt, dass die Menge so-gennanter Apollonischer Kreis ist, d.h. Kreis mit Mittelpunkt und Radius. Zu e) Die Ungleichung erfüllen alle Punkte z a + ib mit a + b, d.h. eine Halbebene. Ihrer Rand ist eine Gerade, die durch die Punkte und i geht. 4. Udejte trigonometrickou reprezentaci ísel a) + i, b) ) + i, c) + i ) 0, d) + i) 5 + i) 4. Najd te reálnou a imaginární ást a absolutní hodnotu Zu a) e) + i i, f) i, g) i + +i i +. i + i + i, ϕ arctg π 4.

9 Also ist + i cos π 4 + i sin π 4 ). Zu b) und c) Aus der Formel r cos ϕ + i sin ϕ )r cos ϕ + i sin ϕ ) r r cosϕ + ϕ ) + i sinϕ + ϕ )) folgt und ) + i cos π 4 + i sin π 4 ) cos π + i sin π ) i. ) + i 0 ) 0 cos 0 π π + i sin ) 5 cos π + i sin π ) i 768. Zu d) + i) 5 + i 5 cos 5 π π + i sin 5 ) 5 cos 5π + i sin 5π) 5 cos π + i sin π). + i) 4 + i 4 cos 4 π 6 + i sin 4π 6 ) 4 cos 4π + i sin 4π) 4. Also + i) i) Zu e) Also Zu f) also z + i + i) + i) i i) + i) i i Rez) 0, Imz), z. z i i i i i i, Rez) 0, Imz), z. Zu g) also z i + +i i + i i + i i + +i 5. Budiº z, z, z komplexní ísla s vlastnostmi i + i i + + i + i + i) i) + i + i) i) 4 i i 0 5, Rez) 5, Imz) 5, z 5 5. a z z z z + z + z 0

10 Ukaºte, ºe z, z, z jsou vrcholy rovnostranného trojúhelníka. Návod: Pouºijte z + w + z w z + w ). zz: z z z z z + z ) z + z z 4