QR, b = QS, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje. a (b c) d =

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "QR, b = QS, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje. a (b c) d ="

Transkript

1 . cvi ení -Opakování geometrie IR n, p íklady () Najd te velikost úhlu mezi hlavní diagonálou krychle a diagonálou jedné ze stran, která s ní má spole ný vrchol. (2) Dokaºte ºe x y = y x. (3) Dokaºte ºe x (y + z) = x y + x z (4) Dokaºte ºe x (y z) = (x z)y (x y)z (5) Zjist te zda p ímka procházející body (,, ) a (,, 6) je kolmá na p ímku procházející body ( 4, 2, ) a (, 6, 2). (6) Najd te rovnici pro rovinu procházející bodem (, 4, 5), která je kolmá na vektor (7,, 4). (7) Najd te rovnici pro rovinu obsahující body (,, ), (,, ), (, 2, 3). (8) Necht P je bod leºící mimo rovinu danou t emi rruznými body Q, R,. Ozna me a = QR, b = Q, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje d = a (b c). a b (9) Dokaºte ºe následující matice jsou invertibilní. Najd te inverzní matici pou- ºitím metody elementárních sloupcových operací, a metodou determinantu ,, () Najd te ortogonální matici, která redukuje následující matici na diagonální tvar. Pouºijte p itom fakt, známý jako v ta o hlavních osách, který íká ºe symetrickou matici lze p evést na diagonální matici pomocí orthogonální transformace sou adnic. ( ), ( ) () P evedte ortogonální transformaci na diagonální tvar následující kvadratické polynomy (pouºitím maticové reprezentace kvadratických polynomru, jakoºto bilineárních forem): 5x 2 6xy + 5y 2, 2x xy 2y 2.

2 2 2. cvi ení 2- Mnoºiny a spojitost () Diametr mnoºiny M je denován vzorcem diam(m) = sup{ x y, x, y M} tanovte diametr mnoºin: M = [, ] 2, M = [, ] 3 etc. (2) Ur ete vnit ek, hranici a uzáv r mnoºin: M = {(x, y) : x 2 + 2x + y 2 3, x 2 4x + y 2 } M = {(x, y, z) : x + y + z > } Q..racionální ísla (3) estrojte p íklady mnoºin v IR 2 s následujícími vlastnostmi: nemá vnit ní bod ani vn j²í bod nemá hrani ní bod nemá vn j²í bod a je uzav ená nemá ºádný hromadný bod, ale není kone ná je uzav ená a kaºdý její bod je izolovaný (4) Dokaºte ºe sjednocení libovolného systému otev ených mnoºin je otev ená mnoºina. Platí téº pro prrunik? (5) Najd te deni ní obory funkcí f(x, y) = ln(xy ), f(x, y) = xy x 2 + y, f(x, y, z) = ln( x 2 y 2 z 2 ) f(x, y) = ln(4 x2 y 2 ) x 2 +y 2 (6) Najd te ity (x,y) (,) (x,y) (,) sin(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2, sin(x+y) x+y, x 2 +xy+y 2 (x,y) (,) x 2 y 2, (x,y) (,) (x,y) (,) x y x 2 +y 2, 2xy x 2 +2y 2, xz 2 y 2 z (x,y,z) (,2,3) xyz (x,y,z) (,,) (x2 + y 2 ) x2 y 2 (x,y,z) (,,) xy+yz+xz x 2 +y 2 +z 2, x 2 y 2 z 2 (x,y,z) (,,) x 2 +y 2 +z 2, (7) Zjist te zda existuje c IR takové, aby následující funkce byla spojitá { x 2 y 3 f(x) = 2x 2 +y, (x, y) (, ) 2 c, (x, y) = (, ).

3 3 3. cvi ení 3-Parciální derivace () Najd te následující sm rové derivace f(x, y) = e x cos y, P (, π 6 ), u = i j f(x, y, z) = z 3 x 2 y, P (, 6, 2), u = (3, 4, 2). (2) Najd te te nou rovinu ke grafu funkce z = 2x 2 + y 2, v bod (,, 3) z = xy + sin(x + y), v bod (,, ) (3) Najd te linearizaci funkce f(x, y, z) = e xy2 + x 4 yz v bod (,, ). (4) Najd te rovnici te né roviny k elipsoidu x 2 + 2y 2 + z 2 = která je rovnob ºná s rovinou 4x + 2y + z =. (5) Najd te rovnici te né roviny k elipsoidu x y2 6 + z2 9 = která vytíná stejné úseky na v²ech sou adnicových osách. (6) Najd te parciální derivace následujících sloºených funkcí. dw dt kde w = x y + y z, x = t, y = cos(2t), z = e 3t z s, z u s, u t, kde z = xey + ye x, x = s 2 t, y = st 2 t pro s =, t =, kde u = xy + yz + zx, x = st, y = est, z = t 2. (7) Najd te gradient f v bod P a najd te rychlost rrustu f v P ve sm ru vektoru u. f(x, y) = e x sin y, P (, π 4 ), u = (, 2) f(x, y, z) = xy + yz 2 + xz 3, P (2,, 3), u = ( 2,, 2). (8) Najd te jednotkový sm r nejv t²ího rrustu dané funkce v bode P. f(x, y) = x 2 y + e xy sin y, P (, ) f(x, y, z) = xe y + z 2, P (, ln 2, 2 ).

4 4 4. cvi ení 4-5, Parciální derivace a extrémy () Najd te derivace následujících sloºených funkci. w = x 2 + y 2 + z 2, x = st, y = s cos(t), z = s sin t, u = xy + yz + zx, x = st, y = e st, z = t 2. z = y 2 tan x, x = t 2 uv, y = u + tv 2. (2) Najd te kritické body následujících funkcí: f(x, y) = x 2 + y 2 + 4x 6y f(x, y) = y x y 2 x + 6y f(x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4 (3) Najd te lokální extrémy následujících funkcí: f(x, y) = 2x 2 + 3xy + 4y 2 5x + 2y, f(x, y) = x 3 y 3 2xy + 6 (4) Najd te absolutní extrémy funkce f(x, y) = x 2 + y 2 na trojúhelníku ohrani eném p ímkami x =, y =, y + 2x = 2. (5) Najd te absolutní extrémy funkce f(x, y) = x 2 xy + y 2 na mnoºin x + y. (6) Najd te absolutní extrémy funkce f(x, y, z) = x+y+z na mnoºin x 2 +y 2 z. (7) Necht f(x, y) = e xy2. Najd te f x, f y (, ). Ov te ºe platí f xy = f yx. Najd te f xxy. Necht f(x, y, z) = x 5 + yz 2 + sin(xy) + cos(zx). Najd te f x, f yx, f zz. (8) Najd te Taylorruv polynom druhého stupn pro funkci v okolí bodu f(x, y) = x 2 y 3 2x 4 + y 2, (x, y) = (, ) f(x, y, z) = xy 2 z 3, (x, y, z) = (, 2, ) f(x, y, z) = xe y cos z, (x, y, z) = (,, ) (9) Kruhový talí s rovnicí x 2 + y 2 je zah átý na teplotu T (x, y) = x 2 + 2y 2 x. Najd te nejteplej²í a nejstuden j²í bod na talí i. () Pouºitím Lagrangeových multiplikátorru najd te rozm ry obdélníku s maximálnim obsahem, který lze vepsat do elipsy x y2 9 =, a jehoº strany jsou rovnob ºné s osami sou adnic. () Najd te bod v rovin dané rovnicí 2x y + z =, který je nejblíºe bodu ( 4,, 3) (2) Najd te bod na plo²e zadané rovnicí z 2 = xy +, který je nejblíºe po átku sou adnic. (3) Najd te t i pozitivní ísla jejichº sou in je maximální, a jejichº sou et je roven. (4) Najd te extrémy funkce s vazebnou podmínkou: f(x, y) = x 2 y 2, x 2 + y 2 = f(x, y, z) = x y + 3z, x 2 + y 2 + 4z 2 = 4 f(x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4, x 2 + y 2 + z 2 = f(x, y) = x 2 + y 2, x 2 2x + y 2 4y =. (5) Najd te úhel sev ený dv ma plochami v bod x 2 + y 2 + z 2 = 8, (x ) 2 + (y 2) 2 + (z 3) 2 = 6, (2,, 2) (6) Ove te p edpoklady v ty o implicitní funkci pro rovnici xe y + sin(x, y) + y ln 2 =, kde y je diferencovatelná funkce prom nné x kolem (, ln 2). po ítejte dy dx v tomto bod.

5 5 5. Cvi ení 6-Dvojný integrál () Integrujte f(x, y) = y cos(xy) p es obdélník x π, y. (2) Integrujte f(x, y) = xe xy p es obdélník x, y. (3) Integrujte f(x, y) = x+y p es obdélník x 2, y. (4) Zm te po adí integrace následujících integrálru x y π sin x f dy dx + 2a 2ax f dx dy f dy dx 2 2 x f dy dx f dy dx 2ax x 2 y 2 (5) Nakreslete oblast integrace a spo ítejte integrál 3y 3 e xy dx dy. (6) Nakreslete oblast integrace, ur ete vhodné po adí integrace a spo ítejte integrál 2 4 x 2 xe 2y 4 y dy dx 8 2 dy dx 3 x y 4 + (7) Vypo ítejte integrál pouºitím polárních sou adnic x2 + y D 2 d kde D je ohrani eno k ivkou r = + cos θ. (8) Vypo ítejte plochu kv tu D, kde D je ohrani eno k ivkou r = cos 6θ. (9) Vypo ítejte integrál p echodem do polárních sou adnic 2 4 y 2 x 2 (x 2 + y 2 ) dx dy e (x2 +y 2) dy dx () Pouºijte substituci u = x + 2y, v = x y pro výpo et integrálu 2/3 2 2y y (x + 2y)e (y x) dx dy () Najd te hmotnost a polohu teºi²t trojúhelníka s vrcholy (, ), (, ), (4, ), hustota je rovna ρ(x, y) = x. (2) Najd te hmotnost a polohu teºi²t ásti roviny ohrani ené parabolou y = 9 x 2 a osou x, hustota je rovna ρ(x, y) = y. (3) Najd te objem rota ního t lesa ohrani eného paraboloidem z = x 2 + y 2 nad kruhem x 2 + y 2 9. (4) Najd te objem rota ního t lesa ohrani eného paraboloidy z = 3x y 2 a z = 4 x 2 y 2.

6 6 () Na rtn te oblast integrace 6. Cvi ení 7-Trojný integrál z y 2x x+y x π 2 4 z x 2 x (2) Vypo t te (3) fdxdydz fdzdydx fdxdzdy fdydzdx e x dv kde = {(x, y, z), y, x y, z x + y}. ydv kde je ohrani eno shora rovinou z = x + 2y, a leºí nad oblastí v rovin xy, ohrani ené k ivkami y = x 2, y =, x =. xydv kde je ty st n s vrcholy (,, ), (,, ), (,, ), (,, ). xdv kde je ohrani eno paraboloidem x = 4y 2 + 4z 2 a rovinou x = x 3 3x y π ln(sin y) z dz dy dx e x dx dz dy. (4) Najd te objem t lesa ohrani eného eliptickým válcem 4x 2 + z 2 = 4 a rovinami y =, y = z + 2. (5) estavte v²echna po adí integrace pro integrál fdv kde je ohrani eno plochami: x 2 +z 2 = 4, y =, y = 6, (resp. z =, z = y, x 2 = y 9x 2 +4y 2 +z 2 = )

7 7 7. Cvi ení 8-ubstituce v trojném integrálu () Na rtn te oblast integrace a spo t te π 2 2π 2 4 r 2 π 2 (2) Vypo t te rdzdrdϑ ρ 2 sin φdρdϑdφ x 2 + y 2 dv kde = {(x, y, z), x 2 + y 2 4, z 2}. x 2 dv kde je vnit ek válce x 2 +y 2 =, ohrani ený shora kuºelem z 2 = 4x 2 +4y 2 a z. xe (x2 +y 2 +z 2 ) 2 dv kde je mezikoulí o vnit ním polom ru a vn j²ím polom ru 2. (3) P evedte do cylindrických sou adnic a spo t te x 2 x 2 2 x 2 y 2 (x 2 + y 2 3 ) 2 dzdydz x 2 +y 2 y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 xyzdzdxdy (4) P evedte do sférických sou adnic a spo t te 3 9 x x 2 9 x2 y 2 z x 2 + y 2 + z 2 dzdydz 3 9 y 2 8 x 2 y 2 x 2 +y 2 (x 2 + y 2 + z 2 )dzdxdy

8 8 () Integrujte f podél k ivky. f(x, y) = x+y2 +x 2, 8. Cvi ení 9-K ivkový integrál x2 C: y = 2 od (, /2) do (, ). f(x, y) = x + y, C: x 2 + y 2 = 4 v prvním kvadrantu od (2, ) do (, 2). f(x, y, z) = x y 3z 2, r(t) = cos(2t)i + sin(2t)j + 5tk, t 2π. (2) Najd te práci sily F vykonanou na ástici F = (3x 2 3x)i + 3zj + k, podél p ímky r(t) = ti + tj + tk, t. F = (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k, podél k ivky r(t) = ti + t 2 j + t 4 k, t. po ítejte C F dr kde F = yi xj, podél k ivky x2 + y 2 = od (, ) do (, ). (3) Pouºijte Greenovu v tu k výpo tu integrálu (3y, 2x)ds, kde C je hranicí C oblasti x π, y sin x, pozitivn orientované. (4) Pouºijte Greenovu v tu k nalezení práce síly F = 2xy 3 i + 4x 2 y 2 j podél hranice p i pohybu proti hodinovým ru i kám, oblasti v prvním kvadrantu ohrani eném osou x, p ímkou x =, a k ivkou y = x 3. (5) Zjist te zda vektorová pole jsou konzervativní, a najd te jejich potenciální funkci. F = (y sin z)i + (x sin z)j + (xy cos z)k F2 = ( y 2 2xz, 2yz 2xy, y 2 x 2 ) F3 = yi + (x + z)j yk (6) Dokaºte ze práce síly F = (x 2 +y)i+(y 2 +x)j+ze z k podél k ivky z (,, ) do (,, ) nezávisí na dráze.

9 9 9. Cvi ení -Plo²ný integrál () Najd te plochu ásti roviny x+2y+z = 4, která leºí uvnit válce x 2 +y 2 = 4. (2) Najd te plochu ásti roviny 2x + 3y z =, která leºí nad obdélníkem [, 4] [2, 4]. (3) Najd te plochu paraboloidu z = x 2 + y 2, která leºí pod rovinou z = 9. (4) po ítejte z d, kde je ástí válce x 2 + y 2 = mezi rovinami z = a z = x +. (5) po ítejte yz d, kde je povrch zadaný parametricky rovnicemi x = uv, y = u + v, z = u v, u 2 + v 2. (6) po ítejte (x 2 z + y 2 z) d, kde je povrch polokoule x 2 + y 2 + z 2 = 4, z. po ítejte F d kde: (7) F = e y i + ye x j + x 2 yk, a je ástí paraboloidu z = x 2 + y 2, nacházející se nad tvercem x, y s horní orientací. (8) F = xi + xyj + xzk, a je ástí roviny 3x + 2y + z = 6, která leºí nad prvním oktantem s orientací nahoru. (9) Pomocí tokesovy v ty spo ítejte rotf d, kde F =< xyz, x, e xy cos z >, je ástí sféry x 2 + y 2 + z 2 =, z, orientované nahoru. () Pomocí tokesovy v ty spo ítejte F dr, kde F =< xz, 2xy, 3xy >, C je C hranice ásti roviny 3x + y + z = 3, v prvním oktantu p i pohledu shora. () po ítejte práci síly F = (x x + z 2 )i + (y y + x 2 )j + (z z + y 2 )k pro ástici pohybující se po okraji sféry x 2 + y 2 + z 2 = 4, v prvním oktantu p i pohledu shora. Pouºitím Gaussovy v ty spo ítejte tok pole F p es ( F d), kde (2) F = 3y 2 z 3 i + 9x 2 yz 2 j 4xy 2 k, a je povrch krychle (±, ±, ±); (3) F = x 3 i + y 3 j + z 3 k, a je sféra x 2 + y 2 + z 2 =. (4) Ov te Gaussovu v tu pro pole F(x, y, z) =< 3x, xy, 2xz >, kde je krychle ohrani ená rovinami x =, x =, y =, y =, z =, a z =.

10 Cvi ení () Zjist te zda ada konverguje (resp. absolutn konverguje): 2 2 n +3 n (q 3) n n 2 +2n 5 n q n (+q) n n= n= n=2 3 n n! n n n(ln n) 3/2 ( ) n (n+7) n (4n 2) n n=2 n 2 ln n n=2 n n cos(nπ) n=2 2 ln n (4n 2) n (2) Najd te polom r a interval konvergence: ( ) n xn 4 n n 2 2 k +( 3) k+ k+ (x + ) k (n+5) 3 x n n! 2+sin n n sin n n 2 n=2 n(x+2) n 2 n + k= (3) Najd te Taylorovu adu a její interval konvergence: f(x) = sin(x 2 ), x = f(x) = 2 3 5x, x = f(x) = ln(2 + x 2 x ), x = f(x) = f(x) = 3 2x ( x) x 2 = f(x) = x+3 x 3 f(x) = x x = 3 f(x) = ln x 4 x x = x 2 x 2, x = x = 2 ln n n n 3 ( ) n n+ n 2 + f(x) = e x (2x + ) x = f(x) = (x + ) sin(2πx) x = (4) Najd te Fourierovu adu funkce f(t) = 3 sin 2 t + 2 cos 2 t, t (, 2π) f(t) = f(t) = f(t) = f(t) = cos 4 t, t (, 2π) { cos t pro t < π 2, π 2 < t < π,, t (, π) { cos t pro t < π 2, π 2 < t < π,, t (, π) { sin t pro t < π 2, π 2 < t < π,, t (, π)

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =

Více

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 29/5/218, 9: 11: ➊ (8 bod ) Pro parametry a > a b R vypo t te ur itý integrál e ax2 cos(bx2 ) 1 x Uºijte v tu o derivaci integrálu s parametrem. Spln ní p edpokladu

Více

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 25/5/216, 9: 11: ➊ (11 bod ) Vypo ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny M = (x, y) R 2

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn

Více

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny

Více

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx. VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými

Více

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) = I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Integrování jako opak derivování

Integrování jako opak derivování Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2 Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

Transformace Aplikace Trojný integrál. Objem, hmotnost, moment

Transformace Aplikace Trojný integrál. Objem, hmotnost, moment Trojný integrál Dvojný a trojný integrál Objem, hmotnost, moment obecne ji I Nez zavedeme transformaci dvojne ho integra lu obecne, potr ebujeme ne kolik pojmu. Definice Necht je da no zobrazenı F : R2

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)

Více

Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015:

Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: 1. Vyzna te na globusu cestu z jihu Grónska na jih Afriky, viz Obrázek 1. V po áte ní a cílové destinaci bude zapíchnutý ²pendlík sm ující do st edu

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.

Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4 Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost (8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).

PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). uzavřená hladká kraj LOCHY lochy v prostoru, které byly zatím

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými

Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32

5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

1. Přirozená topologie R n

1. Přirozená topologie R n Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat

Více

Pr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce

Pr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního

Více

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD10C0T01 e²ené p íklady

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD10C0T01 e²ené p íklady Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

Sbírka p íklad k p edná²ce Matematická analýza I a II. Lubo² Pick

Sbírka p íklad k p edná²ce Matematická analýza I a II. Lubo² Pick Sbírka p íklad k p edná²ce Matematická analýza I a II Lubo² Pick Obsah Kapitola. Opakování st edo²kolské látky, logika, aiomy reálných ísel. Opakování st edo²kolské látky, logika, matematická indukce

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů 4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů Příklad 1: Pracujte v pohledu Shora. Sestrojte kružnici se středem [0,0,0], poloměrem 10 a kružnici

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Derivování sloºené funkce

Derivování sloºené funkce Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více