MATN2. Trigonometrie. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATN2. Trigonometrie. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT""

Transkript

1 Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Trigonometrie MATN2 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1

2 Trigonometrie Trigonometrie je oblastí matematiky, která se zabývá řešením úloh v obecném trojúhelníku (v doslovném překladu z řečtiny znamená toto slovo měření trojúhelníku). Již na základní škole a v 1. ročníku jste řešili úlohy týkající se trojúhelníku pravoúhlého nebo rovnoramenného. My se v této kapitole naučíme řešit trojúhelník obecný. Nejdříve si však zopakujeme to, co bychom již měli z dřívějška znát. 1.Opakování V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C platí: Pythagorova věta: Součet obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami je roven obsahu čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku. +. Sinus ostrého úhlu je poměr délky odvěsny protilehlé tomuto úhlu a délky přepony. sinα sin Kosinus ostrého úhlu je poměr délky odvěsny přilehlé tomuto úhlu a délky přepony. cosα cosβ Tangens ostrého úhlu je poměr délek odvěsny protilehlé tomuto úhlu a odvěsny přilehlé. tgα tg Kotangens ostrého úhlu je poměr délek odvěsny přilehlé tomuto úhlu a odvěsny protilehlé. cotgα cotg. 2

3 Trigonometrie Trigonometrie je ein Bereich der Mathematik, der sich mit Lösungen von Aufgaben im Gemeindreieck beschäftigt (in der wortgetreuen Übersetzung vom Griechischen bedeutet dieses Wort ein Dreieckmessen). Schon in der Grundschule und im ersten Studiengang haben sie Aufgaben beschäftigt, die Rechtwinkel- oder Gleichschenkdreieck betreffen. Wir lernen in diesem Kapitel Gemeindreieck zu lösen. Zuerst wiederholen wir das, was wir schon aus der Vergangenheit kennen sollten. 1.Wiederholen Im Rechtwinkeldreieck ABC mit dem Rechtwinkel beim Eckpunkt C gilt: Pythagoreischer Lehrsatz: Die Gesamtzahl der Inhalte von Vierecken, die über den Katheten konstruiert sind, kommt dem Inhalt des Viereckes, das über der Kathete des Rechtwinkeldreiecks konstruiert ist, gleich. +. Sinus des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Länge der Kathete, die diesem Winkel gegenüberliegend ist, und der Länge der Hypotenuse. sinα sin Kosinus des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Länge der Kathete, die diesem Winkel anliegen ist, und der Länge des Hypotenuse. cosα cosβ Tangens des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Längen der diesem Winkel gegenüberliegenden Kathete und der anliegenden Kathete. tgα tg Kotangens des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Längen der diesem Winkel anliegenden Kathete und der gegenüberliegenden Kathete. cotgα cotg. 3

4 Obr.1.1. Cvičení 1. Na břehu řeky je změřena vzdálenost 20 kolmá na směr. Z bodu je vidět bod na protějším břehu pod úhlem 65. Jak široká je řeka v místech,? 2. Dvě přímé ulice se křižují v úhlu o velikosti β51. Místo na jedné z těchto ulic, vzdálené od křižovatky 1625m, má být spojeno nejkratší cestou s druhou ulicí. Jak dlouhá bude tato spojka? 2. Sinová věta V předchozím článku jsme ukázali, jak lze užít znalosti o goniometrických funkcích při řešení úloh, jejichž matematizací dospějeme k úkolu nalézt velikosti některých stran či úhlů v pravoúhlém trojúhelníku. Nyní se postupně seznámíme s několika větami, které mají základní důležitost při hledání velikostí stran a úhlů v libovolném trojúhelníku (tede ne pouze v pravoúhlém). V tomto článku uvedeme sinovou větu: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α,β,γ a strany délky a, b, c, platí: (*) Poměr délky strany a hodnoty sinu velikosti protilehlého úhlu je v trojúhelníku konstantní. ( α BAC, β ABC, γ ACB, a BC, b AC, c AB ) 4

5 Bild.1.1. Übungen 1. Am Flussufer ist die Entfernung 20 senkrecht zur Richtung abgemessen. Vom Punkt ist der Punkt m gegenüberliegendem Ufer unter dem Winkel 65 zu sehen. Wie breit ist der Fluss in den Punkten,? 2. Zwei geraden Straßen kreuzen sich in der Winkelgröße β51. Die Stelle an einer dieser Straßen, die von der Kreuzung 1625m entfernt ist, soll mit dem kürzesten Weg mit der anderen Straße verbunden werden. Wie lang wird dieser Verbindungsweg sein? 2. Sinussatz Im vorgegangenem Artikel haben wir gezeigt, wie man die Kenntnisse über goniometrischen Funktionen beim Aufgabenlösen nutzen kann, durch deren Mathematisierung wir die Aufgabe erreichen, die Größen von einigen Seiten und Winkeln im Rechtwinkeldreieck zu finden. Jetzt lernen wir schrittweise ein paar Sätze kennen, die die Grundwichtigkeit beim Suchen von Seiten- und Winkelgrößen im beliebigen Dreieck (also nicht nur im Rechtwinkeldreieck) haben. In diesem Artikel führen wir den Sinussatz an: Für jedes Dreieck ABC, dessen innere Winkel die Größen α,β,γ und die Seiten den Längen a, b, c haben, gilt: (*) Das Verhältnis der Seitenlänge und des Sinuswertes der Größe des gegenüberliegenden Winkels ist im Dreieck konstant. ( α BAC, β ABC, γ ACB, a BC, b AC, c AB ) 5

6 Sinovou větu užíváme k výpočtu neznámých délek stran a velikostí úhlů trojúhelníku v těchto dvou případech: a) je-li dána délka jedné strany a velikosti dvou vnitřních úhlů; b) jsou-li dány délky dvou stran a velikost vnitřního úhlu proti jedné z nich. Příklad 1 Obr.2.1. V trojúhelníku ABC je dáno: α0,845, β0,682, c5,24cm. Vypočítejte délky zbývajících stran a velikost vnitřního úhlu γ. Řešení. Z věty usu o shodnosti trojúhelníků plyne, že bude existovat právě jedno řešení, tj. γ, a, b budou určeny jednoznačně. a) V každém trojúhelníku je součet velikostí všech vnitřních úhlů roven π, a proto 0,8450,682 1,615 b) S užitím sinové věty určíme délku strany BC, tj. a: Odtud: sin sin sin sin 5,24 0,748 cm 3,92cm 0,999 6

7 Den Sinussatz nutzt man zur Berechnung von unbekannten Seitenlängen und Winkelgrößen des Dreiecks in diesen zwei Fällen: a) wenn die Länge einer Seite und die Größe von zwei Innenwinkels gegeben ist; b) wenn die Längen von zwei Seiten und die Größe eines Innenwinkels, das gegenüber einer von ihnen ist, gegeben ist. Bild.2.1. Beispiel 1 Im Dreieck ABC ist gegeben: α0,845, β0,682, c5,24cm. Berechnen Sie die Größen von den zwei Seiten und die Größe des Innenwinkels γ. Lösung: Vom Satz Winkel-Seite-Winkel über die Gemeinsamkeit von Dreiecken geht hervor, dass es gerade eine Lösung ist, d.h. γ, a, b werden eindeutig bestimmt. a) In jedem Dreieck ist die Gesamtzahl von Größen aller Innenwinkel gleich π, und deswegen: 0,8450,682 1,615 b) Mit Nutzung des Sinussatzes bestimmen wir die Seitenlänge BC, d.h. a: Hiervon: sin sin sin sin 5,24 0,748 cm 3,92cm 0,999 7

8 c) Pomocí sinové věty vypočítáme nakonec délku strany AC, čili b: Z toho: Závěr: γ 1,615, a 3,92 cm, b 3,30 cm sin sin sin sin 3,92 0,630 0,748 cm 3,30cm Přiklad 2 V trojúhelníku ABC je dáno: 72 10, 8,54, 10,82. Určete velikost zbývajících vnitřních úhlů a délku strany a. Řešení. Z věty Sus o shodnosti trojúhelníků vyplývá, že α, β, a budou určeny jednoznačně. a) Nejprve s užitím sinové věty vypočítáme velikosti úhlu ABC, tj. β: sin sin sin sin 8,54 10,82 sin ,789 0,9520 0,751 K určení β je třeba vyřešit rovnici sin0,751 o neznámé 0,180. Tato rovnice má dva kořeny: však nemůže být velikostí vnitřního úhlu ABC v uvažovaném trojúhelníku, protože a přitom víme, že součet velikostí všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180. Je tedy

9 c) Mit Hilfe des Sinussatzes berechnen wir am Ende die Seitenlänge AC, also b: Daraus: sin sin sin sin 3,92 0,630 0,748 cm 3,30cm Schlussfolgerung: γ 1,615, a 3,92 cm, b 3,30 cm Beispiel 2 Im Dreieck ABC ist gegeben: 72 10, 8,54, 10,82. Bestimmen Sie die Größen von übrigen Innenwinkeln und die Seitenlänge a. Lösung. Vom Satz Seite-Winkel-Seite über die Gemeinsamkeit von Dreiecken geht hervor, dass α, β, a werden eindeutig bestimmt. a) Zuerst berechnen wir mit Hilfe des Sinussatzes die Winkelgrößen ABC, d.h. β: sin sin sin sin 8,54 10,82 sin ,789 0,9520 0,751 Zur Bestimmung β ist es nötig, die Gleichung sin0,751 über die Unbekannte 0,180 zu lösen. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: kann aber nicht die Größe des Innenwinkels ABC im geplanten Dreieck sein, weil und dabei wissen wir, dass die Gesamtzahl von Größen aller Innenwinkeln im Dreieck 180 ist. Es ist also

10 b) Určíme velikost úhlu CAB, tj. α: c) Zbývá vypočítat délku strany BC, tj. a. Využijeme opět sinovou větu: sin sin 10 82, cm 9,79cm, Závěr: 59 10, 48 40, 9,76cm Sinovou větu lze v některých případech s výhodou užít při výpočtu obsahů trojúhelníků. Nejprve uvedeme jednu větu: Pro obsah S trojúhelníku, jehož strany mají délky a, b, c a vnitřní úhly velikosti α, β, γ, platí 1 2 sin1 2 sin1 2 sin Důkaz. Obr.2.2. Víme, že obsah trojúhelníku lze vypočítat podle vzorce, (1) kde je výška ke straně BC. Dále platí, že sin (2) 10

11 b) Wir bestimmen die Winkelgröße CAB, d.h. α: c) Es bleibt die Seitenlänge BC zu berechnen, d.h. a. wir nutzen wieder den Sinussatz: 10 82, cm 9,79cm, sin sin Schlussfolgerung: 59 10, 48 40, 9,76cm Den Sinussatz kann man in einigen Fällen mit Vorteil bei der Berechnung von Dreieckinhalten nutzen. Zuerst führen wir einen Satz an: Für den Inhalt S des Dreieckes, dessen Seiten die Längen a, b, c und die Innenwinkelgrößen α, β, γ haben, gilt Beweis. 1 2 sin1 2 sin1 2 sin Bild.2.2. Wir wissen, dass den Dreieckinhalt man nach der Formel, (1) wo die Höhe zur Seite BC ist, berechnen kann. Es gilt weiter, dass sin (2) 11

12 a také sin. (3) Dosadíme-li do (1) vztah (2), dostaneme sin; po dosazení (3) do (1) obdržíme sin. Poslední ze tří vztahů uvedených ve větě můžeme získat např. s využitím vzorce. Příklad 3 Určete obsah trojúhelníku, je-li dáno: 25,10 dm, 63, 38. Řešení. Nejdříve pomocí sinové věty vypočítáme b, pak určíme γ a nakonec dosadíme dané a vypočtené údaje do vzorce sin. sin sin 25,1 25,1 sin sin38 sin sin63 0,8910 0, , sin ,1 17,4 sin79 217,62 0, ,6 Závěr: Obsah trojúhelníku je přibližně 213,6. 12

13 und auch sin. (3) Wenn wir in (1) die Beziehung (2) einsetzen, bekommen wir sin; Nach der Einsetzung (3) in (1) bekommen wir sin. Das letzte von den im Satz angeführten Verhältnissen kann man z.b. mit Hilfe von der Formel bekommen. Beispiel 3 Bestimmen Sie den Dreieckinhalt, wenn es angegeben ist: 25,10 dm, 63, 38. Lösung. Zuerst berechnen wir mit Hilfe vom Sinussatz b, dann bestimmen wir γ und zum Schluss setzen wir die gegebenen und berechneten Angaben in die Formel sin ein. sin sin 25,1 25,1 sin sin38 sin sin63 0,8910 0, , sin ,1 17,4 sin79 217,62 0, ,6 Schlussfolgerung: Der Dreieckinhalt ist ungefähr 213,6. 13

14 Cvičení: 1. Větu sinovou lze formulovat také takto: poměr délek dvou stran v trojúhelníku se rovná poměru hodnot sinů velikostí protilehlých úhlů. Uměl byste upravit vztah ( ) tak, aby toto znění vyjadřoval? 2. Dokažte sinovou větu pro případ pravoúhlého trojúhelníku. 3. Určete délky zbývajících stran a velikosti zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jeli dáno: a) 20 cm, 45, 30 b) 11,3 cm, 1,135, 0,611 c) 8,6 mm, 11,4 mm, d) 0,72 dm, 0,37 dm, 1, Určete velikost všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je-li 35, 2 5. Určete obsah trojúhelníku ABC, je-li dáno: a) 6,4 dm, 4,7 dm, 68 d) 12,8 m, 9,6 m, 0, Kosinová věta Sinovou větu můžeme užít k určení neznámých délek stran a velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku tehdy, jestliže dva ze tří daných prvků jsou délka strany a velikost úhlu ležícího proti ní. Tato věta nám však neumožní řešit trojúhelník, ve kterém jsou dány délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného. V uvedeném případě můžeme použít kosinovou větu. 14

15 Übungen: 1. Den Sinussatz kann man auch so formulieren: das Verhältnis von Längen zwei Dreieckseiten ist dem Verhältnis der Sinuswerte von Größen von gegenüberliegenden Winkeln gleich. Könnte Sie das Verhältnis ( ) so bearbeiten, damit das diese Fassung ausdrückt? 2. Beweisen Sie den Sinussatz für den Fall des Rechtwinkeldreieckes. 3. Bestimmen Sie die Längen von den übrigen Seiten und die Größen von den übrigen Innenwinkeln des Dreiecks ABC, wenn es gegeben ist: a) 20 cm, 45, 30 b) 11,3 cm, 1,135, 0,611 c) 8,6 mm, 11,4 mm, d) 0,72 dm, 0,37 dm, 1, Bestimmen Sie die Größen aller Innenwinkeln des Dreiecks ABC, wenn es gegeben ist: 35, 2 5. Bestimmen den Inhalt des Dreiecks ABC, wenn es gegeben ist: a) 6,4 dm, 4,7 dm, 68 d) 12,8 m, 9,6 m, 0, Kosinussatz Den Sinussatz kann man zur Bestimmung von unbekannten Dreieckseitenlängen und - Innenwinkelgrößen zu der Zeit nutzen, wenn zwei von drei gegebenen Elementen die Seitenlänge und die gegenüber der Seite liegende Winkelgröße sind. Dieser Satz ermöglicht uns aber nicht das Dreieck zu lösen, in dem die Längen von zwei Seiten und die Größe des von ihnen eingeschlossenen Winkels gegeben sind. In diesem Fall können wir den Kosinussatz nutzen. 15

16 Kosinová věta Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α,β,γ a strany délky a, b, c platí: a) 2bc cos b) 2ca cos c) 2ab cos Příklad 1 Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jehož délky stran jsou 6,9 mm, 4,3 mm, 3,1 mm. Řešení. Využijeme např. nejprve část a) kosinové věty k výpočtu α: 2bc cos Z toho cos,,,,, 0,7318. Odtud 137 Velikost úhlu β, můžeme opět vypočítat z kosinové věty, část b). (Mohli bychom také použít sinovou větu, neboť známe dvě strany a velikost úhlů proti jedné z nich.) 2ab cos Z toho Odtud plyne cos,,,,, 0,

17 Kosinussatz Für jedes Dreieck ABC, dessen Innenwinkelgrößen α,β,γ und Seitenlängen a, b, c sind, gilt: a) 2bc cos b) 2ca cos c) 2ab cos Beispiel 1 Berechnen Sie die Innenwinkelgrößen des Dreiecks ABC, dessen Seitenlängen 6,9 mm, 4,3 mm, 3,1 mm sind. Lösung: Wir nutzen z.b. zuerst den Teil a) des Kosinussatzes zur Berechnung von α: 2bc cos Daraus Von hier 137 cos,,,,, 0,7318. Die Winkelgröße β, kann man wieder aus dem Kosinussatz berechnen, der Teil b). (Wir könnten auch den Sinussatz nutzen, denn wir zwei Seiten und die Größe des gegenüber einer von ihnen liegenden Winkels kennen.) Daraus 2ab cos Von hier folgt cos,,,,, 0,

18 Pro γ platí: Závěr: 137, 25 10, 17 50, Příklad 2 V trojúhelníku ABC je 51,34 cm, 34,75 cm, Vypočítejte c, α, β. Řešení. Nejprve užitím kosinové věty určíme c: 2cos51,34 34, ,34 34,75 cos ,24 48,03 cm Pomocí sinové věty určíme nyní např. bychom ovšem mohly vypočítat také z části a kosinové věty : sin sin sin sin 34,75 48,03 sin ,6530 Odtud ; ; číslo však nemůže být velikostí vnitřního úhlu ABC ( a tedy, protože proti kratší straně leží menší úhel). Platí tedy, že Zbývá určit α: Závěr: 48,03, 40 46,

19 Für γ gilt: Schlussfolgerung: 137, 25 10, 17 50, Beispiel 2 Im Dreieck ABC ist 51,34 cm, 34,75 cm, Berechnen Sie c, α, β. Lösung: Zuerst mit dem Kosinussatz bestimmen wir c: 2cos51,34 34, ,34 34,75 cos ,24 48,03 cm Mit Hilfe des Sinussatzes bestimmen wir jetzt z.b. könnten wir aber auch aus dem Teil a des Kosinussatzes berechnen: sin sin sin sin 34,75 48,03 sin ,6530 Von hier ; ; Zahl kenn aber nicht die Größe des Innenwinkels ABC sein ( also, weil gegenüber der kürzeren Seite das kürzere Winkel liegt). Es gilt also, dass Es bleibt übrig α zu bestimmen: Schlussfolgerung: 48,03, 40 46,

20 Cvičení: 1. Určete délky zbývajících stran a velikostí zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je li dáno: a) 16,9 mm, 21,82 mm, 19,4 mm b) 2,6 dm, 2,4 dm, 1,8 dm c) 64,1cm, 29,3cm, d) 0,15cm, 0,27m, Vypočítejte velikost největšího nitřního úhlu trojúhelníku ABC, v němž je 74, 53m, 45m. 3. Určete velikost úhlu ACB v trojúhelníku ABC, pro který platí: a) b) z praxe. 4 Užití trigonometrie v praxi Uvedeme několik příkladů možností využití trigonometrických vzorců při řešení úloh Příklad 1 Nosník KLM a rameny KM a LM je upevněn na svislé stěně (viz. obr.), 35, 72. V bodě M je nosník zatížen břemenem o tíze 15000N. Vypočítejte velikost tahu na rameno KM nosníku a velikost tlaku na rameno LM, tj. velikosti sil a. 20

21 Übungen: 1. Bestimmen Sie die Längen von den übrigen Seiten und die Größen von den übrigen Innenwinkeln des Dreiecks ABC, wenn es folgendes gegeben ist: a) 16,9 mm, 21,82 mm, 19,4 mm b) 2,6 dm, 2,4 dm, 1,8 dm c) 64,1cm, 29,3cm, d) 0,15cm, 0,27m, Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Dreiecks ABC, in dem 74, 53m, 45m sind. 3. Bestimmen Sie die Winkelgröße ACB im Dreieck ABC, für das folgendes gilt: a) b) 4 Verwendung der Trigonometrie in der Praxis Wir führen ein paar Möglichkeiten der Verwendung von trigonometrischen Formeln beim Lösen von praktischen Aufgaben an. Beispiel 1 Der Träger KLM mit den Armen KM und LM ist am senkrechten Wand befestigt (sieh das Bild), 35, 72. Im Punkt M ist der Träger mit der Last mit dem Gewicht 15000N belastet. Berechnen Sie die Ziehungsgröße auf den Arm KM des Trägers und die Druckgröße auf den Arm LM, d.h. die Größen der Kräfte und. 21

22 Obr.4.1. Řešení. MNOP je rovnoběžník (jde o tzv. rovnoběžník sil). Je tedy (viz obr.),, 180 Obr.4.2. Určíme nyní velikosti obou hledaných sil; užijeme sinovou větu: a)

23 Bild 4.1. Lösung: MNOP ist ein Parallelogramm (es handelt sich um sgn. Parallelogramm der Kräfte). Es ist also,, 180 (Sie das Bild) Bild 4.2. Wir bestimmen jetzt die Größen von beiden gesuchten Kräften; wir nutzen den Sinussatz: a)

24 b) Závěr: Velikost síly je přibližně 14300N, velikost síly se rovná přibližně 23700N. Příklad 2 Je třeba určit vzdálenost míst U a V, která jsou oddělená rybníkem. K tomuto účelu byla od místa U vytyčená přímá trasa se stanovišti K a L (viz obr. 2.55). Bylo naměřeno: , ; vzdálenost míst U, K je 110 metrů, vzdálenost K, L je 65 metrů. obr.4.3. Řešení. Pomocí sinové věty nejprve určíme délku strany VL v trojúhelníku LKV a potom užitím kosinové věty vypočteme délku strany UV v trojúhelníku LUV. V trojúhelníku LKV je 180 a Podle sinové věty je: sin sin sin sin 65 sin sin

25 b) Schlussfolgerung: Die Kraftgröße ist ungefähr 14300N, die Kraftgröße ist ungefähr 23700N gleich. Beispiel 2 Es ist nötig, die Entfernung von zwei Stellen U und V zu bestimmen, die von einem Teich getrennt. Zu diesem Zweck wurde von der Stelle U eine gerade Trasse mit den Standorten K und L abgesteckt (sieh das Bild 2.55). Es wurde abgemessen: , ; die Entfernung der Stellen U, K ist 110 Meter, die Entfernung K, L ist 65 Meter. Bild 4.3. Lösung: Mit Hilfe des Sinussatzes bestimmen wir zuerst die Seitenlänge VL im Dreieck LKV und dann mit der Verwendung des Kosinnussatzes berechnen wir die Seitenlänge UV im Dreieck LUV. Im Dreieck LKV ist 180 und Nach dem Sinussatz ist: sin sin sin sin 65 sin sin

26 V trojúhelníku VLU platí podle kosinové věty: 2 sin cos Závěr: Vzdálenost míst U a V je přibližně 347 metrů. Cvičení: 1. Kosmická loď byla spatřena v určitém okamžiku pod výškovým úhlem o velikosti a její vzdálenost od pozorovacího místa na Zemi byla 592km (viz obr.). V jaké výšce nad Zemí byla loď v okamžiku pozorování? (Poloměr Země 6378km.) Obr Je třeba zjistit výšku věže (viz obr.). Bylo naměřeno: ), 41, vzdálenost míst A, B je 14metrů. Obr

27 Im Dreieck VLU gilt nach dem Kosinussatz: VL VL VL -2 VL LU sinα cos115 30'm m 347 Schlussfolgerung: Die Entfernung der Stellen U und V ist ungefähr 347 Meter. Übungen: 1. Das Raumschiff wurde im bestimmten Augenblick unter dem Höhewinkel mit der Größe entdeckt und ihr Entfernung vom Aussichtspunkt auf der Erde 592km war (sieh das Bild). In welcher Höhe über der Erde war das Schiff im Aussichtsaugenblick? (der Radius der Erde: 6378km) Bild Es ist nötig die Turmhöhe (sieh das Bild) festzustellen. Es wurde abgemessen: ), 41, die Entfernung der Stellen A, B ist 14 Meter. Bild

28 3. Síly,, jejichž velikosti jsou po řadě 14N a 7,8N, působí v bodě A a svírájí úhel o velikosti Určete velikost síly, která působí též v bodě A a ruší účinek sil,. Obr Ze dvou oken, která jsou 8,8m nad sebou v budově stojí přímo u řeky, je vidět ve směru kolmém na tok řeky místo A na protějším břehu řeky pod hloubkovými úhly 12 50, 6 10 (viz obr.). Určete šířku řeky. Obr Z místa A ležícího 158 metrů nad vodorovnou rovinou procházející patou věže (viz obr. 2.60) je vidět vrchol B věže pod hloubkovým úhlem o velikosti a patu P věže pod hloubkovým úhlem o velikosti Určete výšku věže. Obr

29 3. Die Kräfte,, deren Größen in der Reihe 14N a 7,8N sind, wirken im Punkt A und schließen den Winkel von der Größe ein. Bestimmen Sie die Kraftgröße, die auch im Punkt A wirkt und schließt die Wirkung der Kräfte,. Bild Von zwei Fenstern, die 8,8m übereinander im Gebäude sind und sind direkt am Fluss, ist in der senkrechten Richtung auf den Flussstrom die Stelle A an dem gegenüberliegenden Flussufer unter Tiefen Winkeln 12 50, 6 10 zu sehen (sieh das Bild). Bestimmen sie die Flussbreite. Bild Von der A, die 158 m über der waagrechten Ebene liegt und durch die Turmferse geht (sie das Bild 2.60) sind der Turmgipfel B unter dem tiefen Winkel mit der Größe und die Turmferse P unter dem tiefen Winkel zu sehen. Bestimmen Sie die Turmhöhe. Bild

30 Literatura:doc. RNDr. Oldřich Odvárko a kolektiv:matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 3. část 30

31 Literatur: doc. RNDr. Oldřich Odvárko a kolektiv: Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 3. část 31

ROEDL & PARTNER ERSTES BÜRO IN PRAG MATERIÁLY PRO UČITELE

ROEDL & PARTNER ERSTES BÜRO IN PRAG MATERIÁLY PRO UČITELE ROEDL & PARTNER ERSTES BÜRO IN PRAG MATERIÁLY PRO UČITELE Roedl & Partner: Erstes Büro in Prag A: So und Sie haben sich vorgestellt, dass Sie hier in Prag ein Büro haben werden, ist das richtig? B: Wir

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

ROEDL & PARTNER SIE WOLLEN EXPANDIEREN MATERIÁLY PRO UČITELE

ROEDL & PARTNER SIE WOLLEN EXPANDIEREN MATERIÁLY PRO UČITELE ROEDL & PARTNER SIE WOLLEN EXPANDIEREN MATERIÁLY PRO UČITELE Roedl & Partner: Sie wollen expandieren... A: Also, haben Sie schon mal ein bisschen den Markt sondiert, oder? B: Ich habe den Markt ein wenig

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Dohoda o ukončení účinnosti Smlouvy o vázaném účtu. Příloha č. 02 usnesení 72. Rady města Stříbra ze dne 13.08.2014

Dohoda o ukončení účinnosti Smlouvy o vázaném účtu. Příloha č. 02 usnesení 72. Rady města Stříbra ze dne 13.08.2014 Dohoda o ukončení účinnosti Smlouvy o vázaném účtu Strany dohody: 1. Raiffeisenbank a.s. se sídlem Hvězdova 1716/2b, 140 78 Praha 4 IČ: 49240901 zapsaná v obchodním rejstříku vedeném Městským soudem v

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Katrin: Das gefällt mir. Nun, die erste Frage: Was bedeutet der Begriff Umwelt?

Katrin: Das gefällt mir. Nun, die erste Frage: Was bedeutet der Begriff Umwelt? P O S L E H Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-pos-08 Z á k l a d o v ý t e x t : Katrin: Robert, wie stellst du dir also unsere Hausaufgabe vor? Robert:

Více

Voda její vlastnosti Wasser und seine Eigenschaften

Voda její vlastnosti Wasser und seine Eigenschaften VĚKOVÁ SKUPINA B ALTERSKLASSE B PŘÍRODOVĚDNÝ PROJEKTOVÝ DEN NATURWISSENSCHAFTLICHER PROJEKTTAG Pracovní list organoleptika Arbeitsblatt Organoleptik Úkol Aufgabe Organoleptika znamená posuzování vlastností

Více

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU Projekt ŠLONY N GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: Z.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SINOVÁ KOSINOVÁ

Více

POSLECH. M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u :

POSLECH. M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u : POSLEH Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Jitka Svobodová nj9-kap-svo-pos-06 Z á k l a d o v ý t e x t : Kathi: Hallo Julian, kann ich mir bitte von dir ein paar Sachen ausleihen?

Více

Themenkreis Jugend, Bildung, Kultur. Tematický okruh Mládež, vzdělání, kultura

Themenkreis Jugend, Bildung, Kultur. Tematický okruh Mládež, vzdělání, kultura Themenkreis Jugend, Bildung, Kultur Tematický okruh Mládež, vzdělání, kultura Dipl.-Geograph (Univ.) Harald Ehm Oberregierungsrat Geschäftsführer EUREGIO Arbeitsgemeinschaft Bayern e.v. Warum beteiligt

Více

Projekt Centra životního prostředí Drážďany a 4. ZO ČSOP TILIA Krásná Lípa.

Projekt Centra životního prostředí Drážďany a 4. ZO ČSOP TILIA Krásná Lípa. Spolupráce ekologických sdružení v česko-saském povodí Labe druhé sympozium 02. listopadu 2010 v Ústí nad Labem Zusammenarbeit von Umweltverbänden im sächsisch-böhmischen Elbraum Zweites Symposium am 02.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162.

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162. Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 1) Dělnická 6.roč.

Více

Čas potřebný k prostudování učiva lekce: 8 vyučujících hodin Čas potřebný k ověření učiva lekce: 45 minut

Čas potřebný k prostudování učiva lekce: 8 vyučujících hodin Čas potřebný k ověření učiva lekce: 45 minut Thema: 6 Peníze a jejich funkce Gramatika: trpný rod ve spojení s modálními slovesy, vyjádření původce děje; infinitiv po slovesech, podstatných a přídavných jménech Čas potřebný k prostudování učiva lekce:

Více

Pobyt v Sušici Besuch in Sušice 20. 5. 2015 21. 5. 2015

Pobyt v Sušici Besuch in Sušice 20. 5. 2015 21. 5. 2015 Projekt 325: Spolupráce škol SOŠ a SOU Sušice a VHS im Landkreis Cham e. V. Motto projektu: Společně žít, učit se a pracovat v oblastech Sušice a Chamu. Zusammenarbeit der Schulen SOŠ a SOU Sušice und

Více

Německý jazyk. Mgr. Hana Staňová. Z á k l a d o v ý t e x t :

Německý jazyk. Mgr. Hana Staňová. Z á k l a d o v ý t e x t : Č T E N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-cte-06 Z á k l a d o v ý t e x t : Herr und Frau Schiller aus Magdeburg machen Urlaub in Salzburg. eim Frühstück

Více

HAAS + SOHN MEINE ERFAHRUNGEN MIT DEM MARKETING MATERIÁLY PRO UČITELE

HAAS + SOHN MEINE ERFAHRUNGEN MIT DEM MARKETING MATERIÁLY PRO UČITELE HAAS + SOHN MEINE ERFAHRUNGEN MIT DEM MARKETING MATERIÁLY PRO UČITELE Also, ich arbeite bei der Firma seit sechs Jahren und bevor ich bei der Firma tätig war, hab ich gar nichts über Kaminöfen gewusst.

Více

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na

Více

M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u :

M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u : P S N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-psa-01 Z á k l a d o v ý t e x t : Was macht ihr in der Freizeit? So lautete das Thema in der Zeitschrift IH.

Více

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na

Více

Škola. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1

Škola. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Číslo projektu Škola Autor Číslo Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace Očekávaný výstup Datum vypracování Druh učebního materiálu C.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,

Více

Řízení návštěvnosti (nejen) v NP České Švýcarsko. Besucherlenkung (nicht nur) im NLP Böhmische Schweiz

Řízení návštěvnosti (nejen) v NP České Švýcarsko. Besucherlenkung (nicht nur) im NLP Böhmische Schweiz Národní park České Švýcarsko NP České Švýcarsko im NLP Böhmische návštěvnosti (nejen) v NP České Švýcarsko (nicht nur) im NLP Böhmische NP České Švýcarsko im NLP Böhmische NP České Švýcarsko NLP Böhmische

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,

Více

lství Diffuse Belastungen aus der Landwirtschaft

lství Diffuse Belastungen aus der Landwirtschaft Plošné znečištění ze zemědělstv lství Diffuse Belastungen aus der Landwirtschaft zatížen ení vod živinami a pesticidy v české části mezinárodn rodní oblasti povodí Labe / Belastung mit Nährstoffen N und

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

CITACE: POUŽITÉ ZDROJE:

CITACE: POUŽITÉ ZDROJE: Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09, Karlovy Vary Autor: Markéta Volková Název materiálu: VY_32_INOVACE_14_ZÁJMENPŘÍSLOV30LEKCE_P2 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162. Dělnická.

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162. Dělnická. Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 1) Dělnická 7.roč.

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u :

M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u : Č T E N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Jaroslav Černý nj9-kat-cer-cte-04 Ich heiße Sven Holmström und komme aus Schweden. Ich bin 30 Jahre alt und wohne seit einem Jahr in Österreich.

Více

Německý jazyk, kvarta 1.pol. Učebnice: Planet 2 L17,18,19,20,21,22

Německý jazyk, kvarta 1.pol. Učebnice: Planet 2 L17,18,19,20,21,22 Německý jazyk, kvarta 1.pol. Učebnice: Planet 2 L17,18,19,20,21,22 Slovní zásoba: druhy sportu, popis místností v domě, části lidského těla, nemoci, dialog u lékaře, jídlo, v restauraci, denní režim, popis

Více

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mgr. Eva Podubníčková - AK Viktor Pavlík Vážený pane inženýre, ráda bych Vám touto cestou poděkovala za zajištění tlumočnice. Oceňujeme Vaši flexibilitu a ochotu. S tlumočnicí Petrou Peškovou jsme byli

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u :

M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u : Č T E N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-cte-01 Z á k l a d o v ý t e x t : den 18. ugust 2013, in erlin Liebe laudia, wir haben uns lange nicht gesehen,

Více

Nebensätze. 7. Nj Vedlejší věty

Nebensätze. 7. Nj Vedlejší věty Nebensätze 7. Nj Vedlejší věty Název projektu: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.1836 ZŠ Břežany zpracovala v rámci projektu DUMY: Německý jazyk,

Více

Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Škola: Projekt MŠMT ČR: Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

V A Ř E N Í 06/ A P E Č E N Í

V A Ř E N Í 06/ A P E Č E N Í VAŘENÍ A P EČE N Í 06/2014 273 Kramerwirt Trouba Kramerwirt popis obj. č. cena Dvířka k troubě Kramerwirt 10700 42.000,00 Připojení kouřovodu ø 180 mm 10703 7.112,00 Vymetací dvířka 1½ - kachle s litinovým

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

1) Číslovky procvičení. Wir üben die Zahlwörter.

1) Číslovky procvičení. Wir üben die Zahlwörter. Vzdělávací materiál: Název programu: Název projektu: Registrační číslo projektu: Předmět: Ročník: Téma učivo: Autor: VY_01_NJE_9_07 Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Nové trendy ve výuce

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

CENÍK PREISLISTE 2015 1. 04. 2015 31. 03. 2016

CENÍK PREISLISTE 2015 1. 04. 2015 31. 03. 2016 CENÍK PREISLISTE 2015 1. 04. 2015 31. 03. 2016 Milí hosté, věnujte prosím pozornost následujícím informacím. V den vašeho příjezdu je váš pokoj k dispozici od 14:00. Při ukončení pobytu opusťte prosím

Více

KG 51R F K. 1 Údaje o žádající osobě. 2 Údaje o manželovi, resp. životním partnerovi žádající osoby

KG 51R F K. 1 Údaje o žádající osobě. 2 Údaje o manželovi, resp. životním partnerovi žádající osoby Příjmení a jméno žadatele Name und der antragstellenden Person Přídavky na děti č. F K Kindergeld-Nr. KG 51R Příloha Zahraničí k žásti o německé přídavky na děti ze d.. pro osoby, které pobírají důch bo

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2014

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

NĚMČINA PRO ZAČÁTEČNÍKY A2. Milena Hrušková. Copyright Jazyková škola Amelie 2015 Všechna práva vyhrazena Stránka 1

NĚMČINA PRO ZAČÁTEČNÍKY A2. Milena Hrušková. Copyright Jazyková škola Amelie 2015 Všechna práva vyhrazena Stránka 1 NĚMČINA PRO ZAČÁTEČNÍKY A2 Milena Hrušková Copyright Jazyková škola Amelie 2015 Všechna práva vyhrazena Stránka 1 LEKCE 1 Ich heiße Sara Hallo, ich heiße Sara und ich komme aus München. Ich studiere Medizin.

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

Internetauftritt zu invasiven Arten, Frühwarnsystem. Web AOPK ČR o invazních druzích a systém včasného varování

Internetauftritt zu invasiven Arten, Frühwarnsystem. Web AOPK ČR o invazních druzích a systém včasného varování Internetauftritt zu invasiven Arten, Frühwarnsystem Web AOPK ČR o invazních druzích a systém včasného varování Tomáš Görner Agentura ochrany přírody a krajiny ČR Agentur für Natur und Landschaftsschutz

Více

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Číslo projektu: Číslo šablony: Název materiálu: Ročník: Identifikace materiálu: Jméno autora: Předmět: Tématický celek: Anotace: Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 CZ.1.07/1.5.00/34.0410

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162.

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162. Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 1) Dělnická 7. třída

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Projekt Síť vzdělavatelů učitelů cizích jazyků NEFLT registrační číslo CZ.1.07/2.4.00/31.0074 TYPOLOGIE ÚLOH III NÁCVIK ČTENÍ S POROZUMĚNÍM

Projekt Síť vzdělavatelů učitelů cizích jazyků NEFLT registrační číslo CZ.1.07/2.4.00/31.0074 TYPOLOGIE ÚLOH III NÁCVIK ČTENÍ S POROZUMĚNÍM Projekt Síť vzdělavatelů učitelů cizích jazyků NEFLT registrační číslo CZ.1.07/2.4.00/31.0074 TYPOLOGIE ÚLOH III NÁCVIK ČTENÍ S POROZUMĚNÍM Ze spolupráce a z diskuzí v didaktickém semináři němčiny jako

Více

Inovace: Posílení mezipředmětových vztahů, využití multimediální techniky, využití ICT.

Inovace: Posílení mezipředmětových vztahů, využití multimediální techniky, využití ICT. Datum: 10. 3. 2013 Projekt: Využití ICT techniky především v uměleckém vzdělávání Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.1013 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_136 Škola: Akademie VOŠ, Gymn. a SOŠUP Světlá nad Sázavou

Více

JUNIOR RANGER PROJECT

JUNIOR RANGER PROJECT JUNIOR RANGER PROJECT pro chráněné krajinné oblasti nízkonákladová verze projektu Mladých strážců Květa Černohlávková, Praha 2007 Vydalo Ministerstvo životního prostředí JUNIOR RANGER PROJECT pro chráněné

Více

Informace k prohlášení o odmítnutí dědictví (včetně návrhu formulace)

Informace k prohlášení o odmítnutí dědictví (včetně návrhu formulace) Stav: duben 2015 Informace k prohlášení o odmítnutí dědictví (včetně návrhu formulace) Veškeré údaje v tomto poučení jsou založeny na poznatcích a zkušenostech velvyslanectví v době sestavení tohoto informačního

Více

Předložky se 4. pádem Präpositionen mit dem Akkusativ

Předložky se 4. pádem Präpositionen mit dem Akkusativ 66 Předložky se 4. pádem Präpositionen mit dem Akkusativ bis Der Assistent ist in unserem Institut bis Ende September angestellt. Der Zug fährt bis Hamburg. Die Arbeit muss bis zehnten Mai fertig sein.

Více

KL+BRG 2KL. Ocelové podnože křesel jsou povrchově upraveny na chrom lesk nebo chrom mat.

KL+BRG 2KL. Ocelové podnože křesel jsou povrchově upraveny na chrom lesk nebo chrom mat. INTERIÉRY NA KLÍČ h INTERIA MOST spol. s r. o. h Báňská 287, 434 01 Most h tel./zázn. +420/476 206 843, tel./fax h +420/476 208 091h hbankovní spojení KB a. s. Most č. ú. : 338 428 0227/0100 h Zapsána

Více

Marion: Echt? Na, wenn das stimmt, dann ist das der Traum aller Schüler! Wie sieht eigentlich dein Stundenplan aus?

Marion: Echt? Na, wenn das stimmt, dann ist das der Traum aller Schüler! Wie sieht eigentlich dein Stundenplan aus? Č T E N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-cte-09 Z á k l a d o v ý t e x t : Marion: Hallo Lisa, wie gefällt es dir in deiner neuen Schule? Lisa: Grüß

Více

Náhradník Náhradník 9.A

Náhradník Náhradník 9.A 9. (Testovací klíč: VXEYTNM) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 28 Poslech / Gramatika / Konverzace / Čtení s porozuměním / 0/4 0/9 0/11 0/4 Obecná škola Otázka č.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Příp. rodné jmého a jméno z dřívějšího manželství Jméno Vorname Ggf. Geburtsname und Name aus früherer Ehe

Příp. rodné jmého a jméno z dřívějšího manželství Jméno Vorname Ggf. Geburtsname und Name aus früherer Ehe Přídavky na děti č. Daňové identifikační číslo žadatele v Německu Steuer-ID der antragstellenden Person in Deutschland Kindergeld-Nr. Familienkasse Žádost o přídavky na děti Připojte prosím Přílohu Dítě

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

ONLINE PODPORA VÝUKY NĚMČINY

ONLINE PODPORA VÝUKY NĚMČINY WARUM DEUTSCH LERNEN? Deutsch ist eine lebendige Sprache. Deutsch wird von mehr als 100 Millionen Europäern nicht nur in Deutschland, sondern auch in Österreich, in der Schweiz, in Liechtenstein, in Luxemburg,

Více

SLOŽENÝ MINULÝ ČAS - PERFEKTUM

SLOŽENÝ MINULÝ ČAS - PERFEKTUM SLOŽENÝ MINULÝ ČAS - PERFEKTUM MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život Číslo DUMu: VY_32_INOVACE_37_19 Tématický celek:

Více

Problematika malých průtoků Niedrigwasserproblematik

Problematika malých průtoků Niedrigwasserproblematik Problematika malých průtoků Niedrigwasserproblematik Oldřich Novický Pavel Treml Ladislav Kašpárek Základní charakteristiky povodí Labe Daten zum Einzugsgebiet der Elbe Rozloha Fläche 51 394 km 2 Střední

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 TS Němčina 4 pr škláky Terasft Pdprvané učebnice (nutn navlit v Nastavení): Nvá němčina II 2. část a III 1. část (SPN - Maruškvá) celkem 414 slvíček Lektin 16 20 slvíček Lektin 17 16 slvíček Lektin 18

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

METODICKÝ LIST. PŘEDMĚT: B_NJ_1 (úroveň A) OBOR:

METODICKÝ LIST. PŘEDMĚT: B_NJ_1 (úroveň A) OBOR: METODICKÝ LIST PŘEDMĚT: B_NJ_1 (úroveň A) OBOR: Řízení podniku, Bankovnictví, Pojišťovnictví STUDIUM: Bakalářské FORMA STUDIA: Kombinovaná POVINNÁ LITERATURA: Wirtschaftsdeutsch aktuell, Věra Höppnerová,

Více

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Auf dem Weg zur Destination Erzgebirge Na cestě k Destinaci Krušné hory

Auf dem Weg zur Destination Erzgebirge Na cestě k Destinaci Krušné hory Auf dem Weg zur Destination Erzgebirge Na cestě k Destinaci Krušné hory Vorteile & Stand grenzüberschreitender Tourismuskooperationen Výhody & stav přeshraniční spolupráce v cestovním ruchu 15.11.2011

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Energie geht uns alle an! Energie se týká nás všech! Dipl.-Ing. Raphael Bointner TU-Wien, Energy Economics Group

Energie geht uns alle an! Energie se týká nás všech! Dipl.-Ing. Raphael Bointner TU-Wien, Energy Economics Group Energie geht uns alle an! Energie se týká nás všech! Dipl.-Ing. Raphael Bointner TU-Wien, Energy Economics Group Ca. 100 W Ca. 300 W Energienutzung früher Využití energie dříve Energieverbrauch und Bevölkerung

Více

M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u :

M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u : P S N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-psa-06 Z á k l a d o v ý t e x t : Erdbeben Wer denkt, wir...1... auf festem oden, der...2... sich. In Wirklichkeit

Více

Základní škola Karviná Nové Město tř. Družby 1383

Základní škola Karviná Nové Město tř. Družby 1383 Základní škola Karviná Nové Město tř. Družby 1383 Projekt OP VK oblast podpory 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3526 Název projektu:

Více

V. HINNER und seine Mitarbeiter verwandeln in der Renovationswerksstatt ECORRA rostige Vracks in neuwertige Fahrzeuge vor allen Tatra

V. HINNER und seine Mitarbeiter verwandeln in der Renovationswerksstatt ECORRA rostige Vracks in neuwertige Fahrzeuge vor allen Tatra V. HINNER und seine Mitarbeiter verwandeln in der Renovationswerksstatt ECORRA rostige Vracks in neuwertige Fahrzeuge vor allen Tatra Vraky tatrovek se mu pod rukama mění v nablýskané skvosty Poválečný

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

FOOD2U DIE ERSTEN KUNDEN MATERIÁLY PRO UČITELE

FOOD2U DIE ERSTEN KUNDEN MATERIÁLY PRO UČITELE FOOD2U DIE ERSTEN KUNDEN MATERIÁLY PRO UČITELE Also ich habe eigentlich meine Karriere vor fast zwanzig Jahre angefangen in eine Firma, die in Tschechei verschiedene kosmetische Luxusfirmen gebracht hat.

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

ČASOVÁNÍ POMOCNÝCH A NEPRAVIDELNÝCH SLOVES KONJUGATION VON HILFSVERBEN UND UNREGELMÄSSIGEN VERBEN

ČASOVÁNÍ POMOCNÝCH A NEPRAVIDELNÝCH SLOVES KONJUGATION VON HILFSVERBEN UND UNREGELMÄSSIGEN VERBEN ČASOVÁNÍ POMOCNÝCH A NEPRAVIDELNÝCH SLOVES KONJUGATION VON HILFSVERBEN UND UNREGELMÄSSIGEN VERBEN Autor: Katka Česalová Datum: 3. 7. 2014 Cílový ročník: 6. 9. ročník Život jako leporelo, registrační číslo

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162. Sekce.

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162. Sekce. Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 1) ZŠ Družby pokročilí

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více