MATN2. Trigonometrie. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATN2. Trigonometrie. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT""

Transkript

1 Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Trigonometrie MATN2 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1

2 Trigonometrie Trigonometrie je oblastí matematiky, která se zabývá řešením úloh v obecném trojúhelníku (v doslovném překladu z řečtiny znamená toto slovo měření trojúhelníku). Již na základní škole a v 1. ročníku jste řešili úlohy týkající se trojúhelníku pravoúhlého nebo rovnoramenného. My se v této kapitole naučíme řešit trojúhelník obecný. Nejdříve si však zopakujeme to, co bychom již měli z dřívějška znát. 1.Opakování V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C platí: Pythagorova věta: Součet obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami je roven obsahu čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku. +. Sinus ostrého úhlu je poměr délky odvěsny protilehlé tomuto úhlu a délky přepony. sinα sin Kosinus ostrého úhlu je poměr délky odvěsny přilehlé tomuto úhlu a délky přepony. cosα cosβ Tangens ostrého úhlu je poměr délek odvěsny protilehlé tomuto úhlu a odvěsny přilehlé. tgα tg Kotangens ostrého úhlu je poměr délek odvěsny přilehlé tomuto úhlu a odvěsny protilehlé. cotgα cotg. 2

3 Trigonometrie Trigonometrie je ein Bereich der Mathematik, der sich mit Lösungen von Aufgaben im Gemeindreieck beschäftigt (in der wortgetreuen Übersetzung vom Griechischen bedeutet dieses Wort ein Dreieckmessen). Schon in der Grundschule und im ersten Studiengang haben sie Aufgaben beschäftigt, die Rechtwinkel- oder Gleichschenkdreieck betreffen. Wir lernen in diesem Kapitel Gemeindreieck zu lösen. Zuerst wiederholen wir das, was wir schon aus der Vergangenheit kennen sollten. 1.Wiederholen Im Rechtwinkeldreieck ABC mit dem Rechtwinkel beim Eckpunkt C gilt: Pythagoreischer Lehrsatz: Die Gesamtzahl der Inhalte von Vierecken, die über den Katheten konstruiert sind, kommt dem Inhalt des Viereckes, das über der Kathete des Rechtwinkeldreiecks konstruiert ist, gleich. +. Sinus des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Länge der Kathete, die diesem Winkel gegenüberliegend ist, und der Länge der Hypotenuse. sinα sin Kosinus des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Länge der Kathete, die diesem Winkel anliegen ist, und der Länge des Hypotenuse. cosα cosβ Tangens des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Längen der diesem Winkel gegenüberliegenden Kathete und der anliegenden Kathete. tgα tg Kotangens des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Längen der diesem Winkel anliegenden Kathete und der gegenüberliegenden Kathete. cotgα cotg. 3

4 Obr.1.1. Cvičení 1. Na břehu řeky je změřena vzdálenost 20 kolmá na směr. Z bodu je vidět bod na protějším břehu pod úhlem 65. Jak široká je řeka v místech,? 2. Dvě přímé ulice se křižují v úhlu o velikosti β51. Místo na jedné z těchto ulic, vzdálené od křižovatky 1625m, má být spojeno nejkratší cestou s druhou ulicí. Jak dlouhá bude tato spojka? 2. Sinová věta V předchozím článku jsme ukázali, jak lze užít znalosti o goniometrických funkcích při řešení úloh, jejichž matematizací dospějeme k úkolu nalézt velikosti některých stran či úhlů v pravoúhlém trojúhelníku. Nyní se postupně seznámíme s několika větami, které mají základní důležitost při hledání velikostí stran a úhlů v libovolném trojúhelníku (tede ne pouze v pravoúhlém). V tomto článku uvedeme sinovou větu: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α,β,γ a strany délky a, b, c, platí: (*) Poměr délky strany a hodnoty sinu velikosti protilehlého úhlu je v trojúhelníku konstantní. ( α BAC, β ABC, γ ACB, a BC, b AC, c AB ) 4

5 Bild.1.1. Übungen 1. Am Flussufer ist die Entfernung 20 senkrecht zur Richtung abgemessen. Vom Punkt ist der Punkt m gegenüberliegendem Ufer unter dem Winkel 65 zu sehen. Wie breit ist der Fluss in den Punkten,? 2. Zwei geraden Straßen kreuzen sich in der Winkelgröße β51. Die Stelle an einer dieser Straßen, die von der Kreuzung 1625m entfernt ist, soll mit dem kürzesten Weg mit der anderen Straße verbunden werden. Wie lang wird dieser Verbindungsweg sein? 2. Sinussatz Im vorgegangenem Artikel haben wir gezeigt, wie man die Kenntnisse über goniometrischen Funktionen beim Aufgabenlösen nutzen kann, durch deren Mathematisierung wir die Aufgabe erreichen, die Größen von einigen Seiten und Winkeln im Rechtwinkeldreieck zu finden. Jetzt lernen wir schrittweise ein paar Sätze kennen, die die Grundwichtigkeit beim Suchen von Seiten- und Winkelgrößen im beliebigen Dreieck (also nicht nur im Rechtwinkeldreieck) haben. In diesem Artikel führen wir den Sinussatz an: Für jedes Dreieck ABC, dessen innere Winkel die Größen α,β,γ und die Seiten den Längen a, b, c haben, gilt: (*) Das Verhältnis der Seitenlänge und des Sinuswertes der Größe des gegenüberliegenden Winkels ist im Dreieck konstant. ( α BAC, β ABC, γ ACB, a BC, b AC, c AB ) 5

6 Sinovou větu užíváme k výpočtu neznámých délek stran a velikostí úhlů trojúhelníku v těchto dvou případech: a) je-li dána délka jedné strany a velikosti dvou vnitřních úhlů; b) jsou-li dány délky dvou stran a velikost vnitřního úhlu proti jedné z nich. Příklad 1 Obr.2.1. V trojúhelníku ABC je dáno: α0,845, β0,682, c5,24cm. Vypočítejte délky zbývajících stran a velikost vnitřního úhlu γ. Řešení. Z věty usu o shodnosti trojúhelníků plyne, že bude existovat právě jedno řešení, tj. γ, a, b budou určeny jednoznačně. a) V každém trojúhelníku je součet velikostí všech vnitřních úhlů roven π, a proto 0,8450,682 1,615 b) S užitím sinové věty určíme délku strany BC, tj. a: Odtud: sin sin sin sin 5,24 0,748 cm 3,92cm 0,999 6

7 Den Sinussatz nutzt man zur Berechnung von unbekannten Seitenlängen und Winkelgrößen des Dreiecks in diesen zwei Fällen: a) wenn die Länge einer Seite und die Größe von zwei Innenwinkels gegeben ist; b) wenn die Längen von zwei Seiten und die Größe eines Innenwinkels, das gegenüber einer von ihnen ist, gegeben ist. Bild.2.1. Beispiel 1 Im Dreieck ABC ist gegeben: α0,845, β0,682, c5,24cm. Berechnen Sie die Größen von den zwei Seiten und die Größe des Innenwinkels γ. Lösung: Vom Satz Winkel-Seite-Winkel über die Gemeinsamkeit von Dreiecken geht hervor, dass es gerade eine Lösung ist, d.h. γ, a, b werden eindeutig bestimmt. a) In jedem Dreieck ist die Gesamtzahl von Größen aller Innenwinkel gleich π, und deswegen: 0,8450,682 1,615 b) Mit Nutzung des Sinussatzes bestimmen wir die Seitenlänge BC, d.h. a: Hiervon: sin sin sin sin 5,24 0,748 cm 3,92cm 0,999 7

8 c) Pomocí sinové věty vypočítáme nakonec délku strany AC, čili b: Z toho: Závěr: γ 1,615, a 3,92 cm, b 3,30 cm sin sin sin sin 3,92 0,630 0,748 cm 3,30cm Přiklad 2 V trojúhelníku ABC je dáno: 72 10, 8,54, 10,82. Určete velikost zbývajících vnitřních úhlů a délku strany a. Řešení. Z věty Sus o shodnosti trojúhelníků vyplývá, že α, β, a budou určeny jednoznačně. a) Nejprve s užitím sinové věty vypočítáme velikosti úhlu ABC, tj. β: sin sin sin sin 8,54 10,82 sin ,789 0,9520 0,751 K určení β je třeba vyřešit rovnici sin0,751 o neznámé 0,180. Tato rovnice má dva kořeny: však nemůže být velikostí vnitřního úhlu ABC v uvažovaném trojúhelníku, protože a přitom víme, že součet velikostí všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180. Je tedy

9 c) Mit Hilfe des Sinussatzes berechnen wir am Ende die Seitenlänge AC, also b: Daraus: sin sin sin sin 3,92 0,630 0,748 cm 3,30cm Schlussfolgerung: γ 1,615, a 3,92 cm, b 3,30 cm Beispiel 2 Im Dreieck ABC ist gegeben: 72 10, 8,54, 10,82. Bestimmen Sie die Größen von übrigen Innenwinkeln und die Seitenlänge a. Lösung. Vom Satz Seite-Winkel-Seite über die Gemeinsamkeit von Dreiecken geht hervor, dass α, β, a werden eindeutig bestimmt. a) Zuerst berechnen wir mit Hilfe des Sinussatzes die Winkelgrößen ABC, d.h. β: sin sin sin sin 8,54 10,82 sin ,789 0,9520 0,751 Zur Bestimmung β ist es nötig, die Gleichung sin0,751 über die Unbekannte 0,180 zu lösen. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: kann aber nicht die Größe des Innenwinkels ABC im geplanten Dreieck sein, weil und dabei wissen wir, dass die Gesamtzahl von Größen aller Innenwinkeln im Dreieck 180 ist. Es ist also

10 b) Určíme velikost úhlu CAB, tj. α: c) Zbývá vypočítat délku strany BC, tj. a. Využijeme opět sinovou větu: sin sin 10 82, cm 9,79cm, Závěr: 59 10, 48 40, 9,76cm Sinovou větu lze v některých případech s výhodou užít při výpočtu obsahů trojúhelníků. Nejprve uvedeme jednu větu: Pro obsah S trojúhelníku, jehož strany mají délky a, b, c a vnitřní úhly velikosti α, β, γ, platí 1 2 sin1 2 sin1 2 sin Důkaz. Obr.2.2. Víme, že obsah trojúhelníku lze vypočítat podle vzorce, (1) kde je výška ke straně BC. Dále platí, že sin (2) 10

11 b) Wir bestimmen die Winkelgröße CAB, d.h. α: c) Es bleibt die Seitenlänge BC zu berechnen, d.h. a. wir nutzen wieder den Sinussatz: 10 82, cm 9,79cm, sin sin Schlussfolgerung: 59 10, 48 40, 9,76cm Den Sinussatz kann man in einigen Fällen mit Vorteil bei der Berechnung von Dreieckinhalten nutzen. Zuerst führen wir einen Satz an: Für den Inhalt S des Dreieckes, dessen Seiten die Längen a, b, c und die Innenwinkelgrößen α, β, γ haben, gilt Beweis. 1 2 sin1 2 sin1 2 sin Bild.2.2. Wir wissen, dass den Dreieckinhalt man nach der Formel, (1) wo die Höhe zur Seite BC ist, berechnen kann. Es gilt weiter, dass sin (2) 11

12 a také sin. (3) Dosadíme-li do (1) vztah (2), dostaneme sin; po dosazení (3) do (1) obdržíme sin. Poslední ze tří vztahů uvedených ve větě můžeme získat např. s využitím vzorce. Příklad 3 Určete obsah trojúhelníku, je-li dáno: 25,10 dm, 63, 38. Řešení. Nejdříve pomocí sinové věty vypočítáme b, pak určíme γ a nakonec dosadíme dané a vypočtené údaje do vzorce sin. sin sin 25,1 25,1 sin sin38 sin sin63 0,8910 0, , sin ,1 17,4 sin79 217,62 0, ,6 Závěr: Obsah trojúhelníku je přibližně 213,6. 12

13 und auch sin. (3) Wenn wir in (1) die Beziehung (2) einsetzen, bekommen wir sin; Nach der Einsetzung (3) in (1) bekommen wir sin. Das letzte von den im Satz angeführten Verhältnissen kann man z.b. mit Hilfe von der Formel bekommen. Beispiel 3 Bestimmen Sie den Dreieckinhalt, wenn es angegeben ist: 25,10 dm, 63, 38. Lösung. Zuerst berechnen wir mit Hilfe vom Sinussatz b, dann bestimmen wir γ und zum Schluss setzen wir die gegebenen und berechneten Angaben in die Formel sin ein. sin sin 25,1 25,1 sin sin38 sin sin63 0,8910 0, , sin ,1 17,4 sin79 217,62 0, ,6 Schlussfolgerung: Der Dreieckinhalt ist ungefähr 213,6. 13

14 Cvičení: 1. Větu sinovou lze formulovat také takto: poměr délek dvou stran v trojúhelníku se rovná poměru hodnot sinů velikostí protilehlých úhlů. Uměl byste upravit vztah ( ) tak, aby toto znění vyjadřoval? 2. Dokažte sinovou větu pro případ pravoúhlého trojúhelníku. 3. Určete délky zbývajících stran a velikosti zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jeli dáno: a) 20 cm, 45, 30 b) 11,3 cm, 1,135, 0,611 c) 8,6 mm, 11,4 mm, d) 0,72 dm, 0,37 dm, 1, Určete velikost všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je-li 35, 2 5. Určete obsah trojúhelníku ABC, je-li dáno: a) 6,4 dm, 4,7 dm, 68 d) 12,8 m, 9,6 m, 0, Kosinová věta Sinovou větu můžeme užít k určení neznámých délek stran a velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku tehdy, jestliže dva ze tří daných prvků jsou délka strany a velikost úhlu ležícího proti ní. Tato věta nám však neumožní řešit trojúhelník, ve kterém jsou dány délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného. V uvedeném případě můžeme použít kosinovou větu. 14

15 Übungen: 1. Den Sinussatz kann man auch so formulieren: das Verhältnis von Längen zwei Dreieckseiten ist dem Verhältnis der Sinuswerte von Größen von gegenüberliegenden Winkeln gleich. Könnte Sie das Verhältnis ( ) so bearbeiten, damit das diese Fassung ausdrückt? 2. Beweisen Sie den Sinussatz für den Fall des Rechtwinkeldreieckes. 3. Bestimmen Sie die Längen von den übrigen Seiten und die Größen von den übrigen Innenwinkeln des Dreiecks ABC, wenn es gegeben ist: a) 20 cm, 45, 30 b) 11,3 cm, 1,135, 0,611 c) 8,6 mm, 11,4 mm, d) 0,72 dm, 0,37 dm, 1, Bestimmen Sie die Größen aller Innenwinkeln des Dreiecks ABC, wenn es gegeben ist: 35, 2 5. Bestimmen den Inhalt des Dreiecks ABC, wenn es gegeben ist: a) 6,4 dm, 4,7 dm, 68 d) 12,8 m, 9,6 m, 0, Kosinussatz Den Sinussatz kann man zur Bestimmung von unbekannten Dreieckseitenlängen und - Innenwinkelgrößen zu der Zeit nutzen, wenn zwei von drei gegebenen Elementen die Seitenlänge und die gegenüber der Seite liegende Winkelgröße sind. Dieser Satz ermöglicht uns aber nicht das Dreieck zu lösen, in dem die Längen von zwei Seiten und die Größe des von ihnen eingeschlossenen Winkels gegeben sind. In diesem Fall können wir den Kosinussatz nutzen. 15

16 Kosinová věta Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α,β,γ a strany délky a, b, c platí: a) 2bc cos b) 2ca cos c) 2ab cos Příklad 1 Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jehož délky stran jsou 6,9 mm, 4,3 mm, 3,1 mm. Řešení. Využijeme např. nejprve část a) kosinové věty k výpočtu α: 2bc cos Z toho cos,,,,, 0,7318. Odtud 137 Velikost úhlu β, můžeme opět vypočítat z kosinové věty, část b). (Mohli bychom také použít sinovou větu, neboť známe dvě strany a velikost úhlů proti jedné z nich.) 2ab cos Z toho Odtud plyne cos,,,,, 0,

17 Kosinussatz Für jedes Dreieck ABC, dessen Innenwinkelgrößen α,β,γ und Seitenlängen a, b, c sind, gilt: a) 2bc cos b) 2ca cos c) 2ab cos Beispiel 1 Berechnen Sie die Innenwinkelgrößen des Dreiecks ABC, dessen Seitenlängen 6,9 mm, 4,3 mm, 3,1 mm sind. Lösung: Wir nutzen z.b. zuerst den Teil a) des Kosinussatzes zur Berechnung von α: 2bc cos Daraus Von hier 137 cos,,,,, 0,7318. Die Winkelgröße β, kann man wieder aus dem Kosinussatz berechnen, der Teil b). (Wir könnten auch den Sinussatz nutzen, denn wir zwei Seiten und die Größe des gegenüber einer von ihnen liegenden Winkels kennen.) Daraus 2ab cos Von hier folgt cos,,,,, 0,

18 Pro γ platí: Závěr: 137, 25 10, 17 50, Příklad 2 V trojúhelníku ABC je 51,34 cm, 34,75 cm, Vypočítejte c, α, β. Řešení. Nejprve užitím kosinové věty určíme c: 2cos51,34 34, ,34 34,75 cos ,24 48,03 cm Pomocí sinové věty určíme nyní např. bychom ovšem mohly vypočítat také z části a kosinové věty : sin sin sin sin 34,75 48,03 sin ,6530 Odtud ; ; číslo však nemůže být velikostí vnitřního úhlu ABC ( a tedy, protože proti kratší straně leží menší úhel). Platí tedy, že Zbývá určit α: Závěr: 48,03, 40 46,

19 Für γ gilt: Schlussfolgerung: 137, 25 10, 17 50, Beispiel 2 Im Dreieck ABC ist 51,34 cm, 34,75 cm, Berechnen Sie c, α, β. Lösung: Zuerst mit dem Kosinussatz bestimmen wir c: 2cos51,34 34, ,34 34,75 cos ,24 48,03 cm Mit Hilfe des Sinussatzes bestimmen wir jetzt z.b. könnten wir aber auch aus dem Teil a des Kosinussatzes berechnen: sin sin sin sin 34,75 48,03 sin ,6530 Von hier ; ; Zahl kenn aber nicht die Größe des Innenwinkels ABC sein ( also, weil gegenüber der kürzeren Seite das kürzere Winkel liegt). Es gilt also, dass Es bleibt übrig α zu bestimmen: Schlussfolgerung: 48,03, 40 46,

20 Cvičení: 1. Určete délky zbývajících stran a velikostí zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je li dáno: a) 16,9 mm, 21,82 mm, 19,4 mm b) 2,6 dm, 2,4 dm, 1,8 dm c) 64,1cm, 29,3cm, d) 0,15cm, 0,27m, Vypočítejte velikost největšího nitřního úhlu trojúhelníku ABC, v němž je 74, 53m, 45m. 3. Určete velikost úhlu ACB v trojúhelníku ABC, pro který platí: a) b) z praxe. 4 Užití trigonometrie v praxi Uvedeme několik příkladů možností využití trigonometrických vzorců při řešení úloh Příklad 1 Nosník KLM a rameny KM a LM je upevněn na svislé stěně (viz. obr.), 35, 72. V bodě M je nosník zatížen břemenem o tíze 15000N. Vypočítejte velikost tahu na rameno KM nosníku a velikost tlaku na rameno LM, tj. velikosti sil a. 20

21 Übungen: 1. Bestimmen Sie die Längen von den übrigen Seiten und die Größen von den übrigen Innenwinkeln des Dreiecks ABC, wenn es folgendes gegeben ist: a) 16,9 mm, 21,82 mm, 19,4 mm b) 2,6 dm, 2,4 dm, 1,8 dm c) 64,1cm, 29,3cm, d) 0,15cm, 0,27m, Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Dreiecks ABC, in dem 74, 53m, 45m sind. 3. Bestimmen Sie die Winkelgröße ACB im Dreieck ABC, für das folgendes gilt: a) b) 4 Verwendung der Trigonometrie in der Praxis Wir führen ein paar Möglichkeiten der Verwendung von trigonometrischen Formeln beim Lösen von praktischen Aufgaben an. Beispiel 1 Der Träger KLM mit den Armen KM und LM ist am senkrechten Wand befestigt (sieh das Bild), 35, 72. Im Punkt M ist der Träger mit der Last mit dem Gewicht 15000N belastet. Berechnen Sie die Ziehungsgröße auf den Arm KM des Trägers und die Druckgröße auf den Arm LM, d.h. die Größen der Kräfte und. 21

22 Obr.4.1. Řešení. MNOP je rovnoběžník (jde o tzv. rovnoběžník sil). Je tedy (viz obr.),, 180 Obr.4.2. Určíme nyní velikosti obou hledaných sil; užijeme sinovou větu: a)

23 Bild 4.1. Lösung: MNOP ist ein Parallelogramm (es handelt sich um sgn. Parallelogramm der Kräfte). Es ist also,, 180 (Sie das Bild) Bild 4.2. Wir bestimmen jetzt die Größen von beiden gesuchten Kräften; wir nutzen den Sinussatz: a)

24 b) Závěr: Velikost síly je přibližně 14300N, velikost síly se rovná přibližně 23700N. Příklad 2 Je třeba určit vzdálenost míst U a V, která jsou oddělená rybníkem. K tomuto účelu byla od místa U vytyčená přímá trasa se stanovišti K a L (viz obr. 2.55). Bylo naměřeno: , ; vzdálenost míst U, K je 110 metrů, vzdálenost K, L je 65 metrů. obr.4.3. Řešení. Pomocí sinové věty nejprve určíme délku strany VL v trojúhelníku LKV a potom užitím kosinové věty vypočteme délku strany UV v trojúhelníku LUV. V trojúhelníku LKV je 180 a Podle sinové věty je: sin sin sin sin 65 sin sin

25 b) Schlussfolgerung: Die Kraftgröße ist ungefähr 14300N, die Kraftgröße ist ungefähr 23700N gleich. Beispiel 2 Es ist nötig, die Entfernung von zwei Stellen U und V zu bestimmen, die von einem Teich getrennt. Zu diesem Zweck wurde von der Stelle U eine gerade Trasse mit den Standorten K und L abgesteckt (sieh das Bild 2.55). Es wurde abgemessen: , ; die Entfernung der Stellen U, K ist 110 Meter, die Entfernung K, L ist 65 Meter. Bild 4.3. Lösung: Mit Hilfe des Sinussatzes bestimmen wir zuerst die Seitenlänge VL im Dreieck LKV und dann mit der Verwendung des Kosinnussatzes berechnen wir die Seitenlänge UV im Dreieck LUV. Im Dreieck LKV ist 180 und Nach dem Sinussatz ist: sin sin sin sin 65 sin sin

26 V trojúhelníku VLU platí podle kosinové věty: 2 sin cos Závěr: Vzdálenost míst U a V je přibližně 347 metrů. Cvičení: 1. Kosmická loď byla spatřena v určitém okamžiku pod výškovým úhlem o velikosti a její vzdálenost od pozorovacího místa na Zemi byla 592km (viz obr.). V jaké výšce nad Zemí byla loď v okamžiku pozorování? (Poloměr Země 6378km.) Obr Je třeba zjistit výšku věže (viz obr.). Bylo naměřeno: ), 41, vzdálenost míst A, B je 14metrů. Obr

27 Im Dreieck VLU gilt nach dem Kosinussatz: VL VL VL -2 VL LU sinα cos115 30'm m 347 Schlussfolgerung: Die Entfernung der Stellen U und V ist ungefähr 347 Meter. Übungen: 1. Das Raumschiff wurde im bestimmten Augenblick unter dem Höhewinkel mit der Größe entdeckt und ihr Entfernung vom Aussichtspunkt auf der Erde 592km war (sieh das Bild). In welcher Höhe über der Erde war das Schiff im Aussichtsaugenblick? (der Radius der Erde: 6378km) Bild Es ist nötig die Turmhöhe (sieh das Bild) festzustellen. Es wurde abgemessen: ), 41, die Entfernung der Stellen A, B ist 14 Meter. Bild

28 3. Síly,, jejichž velikosti jsou po řadě 14N a 7,8N, působí v bodě A a svírájí úhel o velikosti Určete velikost síly, která působí též v bodě A a ruší účinek sil,. Obr Ze dvou oken, která jsou 8,8m nad sebou v budově stojí přímo u řeky, je vidět ve směru kolmém na tok řeky místo A na protějším břehu řeky pod hloubkovými úhly 12 50, 6 10 (viz obr.). Určete šířku řeky. Obr Z místa A ležícího 158 metrů nad vodorovnou rovinou procházející patou věže (viz obr. 2.60) je vidět vrchol B věže pod hloubkovým úhlem o velikosti a patu P věže pod hloubkovým úhlem o velikosti Určete výšku věže. Obr

29 3. Die Kräfte,, deren Größen in der Reihe 14N a 7,8N sind, wirken im Punkt A und schließen den Winkel von der Größe ein. Bestimmen Sie die Kraftgröße, die auch im Punkt A wirkt und schließt die Wirkung der Kräfte,. Bild Von zwei Fenstern, die 8,8m übereinander im Gebäude sind und sind direkt am Fluss, ist in der senkrechten Richtung auf den Flussstrom die Stelle A an dem gegenüberliegenden Flussufer unter Tiefen Winkeln 12 50, 6 10 zu sehen (sieh das Bild). Bestimmen sie die Flussbreite. Bild Von der A, die 158 m über der waagrechten Ebene liegt und durch die Turmferse geht (sie das Bild 2.60) sind der Turmgipfel B unter dem tiefen Winkel mit der Größe und die Turmferse P unter dem tiefen Winkel zu sehen. Bestimmen Sie die Turmhöhe. Bild

30 Literatura:doc. RNDr. Oldřich Odvárko a kolektiv:matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 3. část 30

31 Literatur: doc. RNDr. Oldřich Odvárko a kolektiv: Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 3. část 31

ROEDL & PARTNER ERSTES BÜRO IN PRAG MATERIÁLY PRO UČITELE

ROEDL & PARTNER ERSTES BÜRO IN PRAG MATERIÁLY PRO UČITELE ROEDL & PARTNER ERSTES BÜRO IN PRAG MATERIÁLY PRO UČITELE Roedl & Partner: Erstes Büro in Prag A: So und Sie haben sich vorgestellt, dass Sie hier in Prag ein Büro haben werden, ist das richtig? B: Wir

Více

Mgr. Jakub Lukeš. Praha (pracovní list) Ročník: 1. 4. Datum vytvoření: listopad 2013 VY_32_INOVACE_09.2.16.NEJ

Mgr. Jakub Lukeš. Praha (pracovní list) Ročník: 1. 4. Datum vytvoření: listopad 2013 VY_32_INOVACE_09.2.16.NEJ Autor: Mgr. Jakub Lukeš Předmět/vzdělávací oblast: Německý jazyk Tematická oblast: Téma: Poznatky o zemích Praha (pracovní list) Ročník: 1. 4. Datum vytvoření: listopad 2013 Název: VY_32_INOVACE_09.2.16.NEJ

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATN1. Výrazy a jejich úpravy. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

MATN1. Výrazy a jejich úpravy. Projekt Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Výrazy a jejich úpravy MATN1 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1 Výrazy a jejich úpravy 1. Výrazy Již

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Projekt EU peníze středním školám. Wir leben und sprechen Deutsch II. die Adventszeit. Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent

Projekt EU peníze středním školám. Wir leben und sprechen Deutsch II. die Adventszeit. Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent Wir leben und sprechen Deutsch II die Adventszeit Předmět Německý jazyk Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent Kód sady NJ/ZA/03+04/02 Kód DUM NJ/ZA/03+04/02/16-20 Autor Mgr. Eva Gapková Datum

Více

ROEDL & PARTNER SIE WOLLEN EXPANDIEREN MATERIÁLY PRO UČITELE

ROEDL & PARTNER SIE WOLLEN EXPANDIEREN MATERIÁLY PRO UČITELE ROEDL & PARTNER SIE WOLLEN EXPANDIEREN MATERIÁLY PRO UČITELE Roedl & Partner: Sie wollen expandieren... A: Also, haben Sie schon mal ein bisschen den Markt sondiert, oder? B: Ich habe den Markt ein wenig

Více

Geocaching. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o geocachingu.

Geocaching. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o geocachingu. NĚMČINA Geocaching V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o geocachingu. Gymnázium Frýdlant, Mládeže 884, příspěvková organizace autor:

Více

STTN2. Obrábění paprskem elektronů. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

STTN2. Obrábění paprskem elektronů. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Obrábění paprskem elektronů STTN2 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR OBRÁBĚNÍ PAPRSKEM ELEKTRONŮ Obrábění

Více

Čtvrtek 27.9. 2012 Donnerstag 27.9. 2012

Čtvrtek 27.9. 2012 Donnerstag 27.9. 2012 Čtvrtek 27.9. 2012 Donnerstag 27.9. 2012 Co jsme dělali ve čtvrtek? Was wir am Donnerstag gemacht haben? Poznávací hry Prezentace Nástěnku na chodbě Výuku češtiny Viděli jsme převoz lebky do kostela a

Více

MATA2. Trigonometrie. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

MATA2. Trigonometrie. Projekt Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Trigonometrie MATA2 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1 Trigonometrie Trigonometrie je oblastí matematiky,

Více

Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Škola: Projekt MŠMT ČR: Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

Saurer Regen. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dozvědí se základní informace o kyselém dešti.

Saurer Regen. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dozvědí se základní informace o kyselém dešti. NĚMČINA Saurer Regen V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dozvědí se základní informace o kyselém dešti. Gymnázium Frýdlant, Mládeže 884, příspěvková organizace

Více

Škola. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1

Škola. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Číslo projektu Škola Autor Číslo Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace Očekávaný výstup Datum vypracování Druh učebního materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,

Více

DIESES LERNTAGEBUCH GEHÖRT

DIESES LERNTAGEBUCH GEHÖRT Learning Diaries at the Österreich Institut Learning diaries help to reflect and record the individual growth in language proficiency, special learning strategies and interests. Thus, autonomous learning

Více

Německý jazyk. Jaroslav Černý

Německý jazyk. Jaroslav Černý P S N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Jaroslav Černý nj9-kat-cer-psa-02 rbeitsagentur Unsere gentur sucht für einen ausländisch 1 Klienten neu 1 rbeitskräfte auf dem tschechisch

Více

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU Projekt ŠLONY N GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: Z.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SINOVÁ KOSINOVÁ

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Implementace finanční gramotnosti. ve školní praxi. Sparen, sparen, sparen. Irena Erlebachová

Implementace finanční gramotnosti. ve školní praxi. Sparen, sparen, sparen. Irena Erlebachová Implementace finanční gramotnosti Výuková část ve školní praxi Digitální podoba e-learningové aplikace (vyuka.iss-cheb.cz) Sparen, sparen, sparen Irena Erlebachová 3 Výuková část Obsah Výuková část...

Více

Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky

Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky Lekce 4 Výukový materiál vzdělávacích kurzů v rámci projektu Zvýšení adaptability zaměstnanců organizací působících v sekci kultura Tento materiál je spolufinancován

Více

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na

Více

EINBAUANWEISUNG FÜR SCHALLDÄMM-SET BWS/DWS MONTÁŽNÍ NÁVOD PRO ZVUKOVĚ IZOLAČNÍ SOUPRAVY BWS/DWS

EINBAUANWEISUNG FÜR SCHALLDÄMM-SET BWS/DWS MONTÁŽNÍ NÁVOD PRO ZVUKOVĚ IZOLAČNÍ SOUPRAVY BWS/DWS EINUNWEISUNG FÜR SCHLLÄMM-SET WS/WS MONTÁŽNÍ NÁVO PRO ZVUKOVĚ IZOLČNÍ SOUPRVY WS/WS Wichtige Hinweise - unbedingt beachten! ůležitá upozornění bezpodmínečně dodržujte! Schalldämm-Set muss vollständig und

Více

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Spinnen. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o pavoucích.

Spinnen. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o pavoucích. NĚMČINA V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o pavoucích. Gymnázium Frýdlant, Mládeže 884, příspěvková organizace autor: Lenka Měkotová

Více

Německý jazyk. Mgr. Hana Staňová. Z á k l a d o v ý t e x t :

Německý jazyk. Mgr. Hana Staňová. Z á k l a d o v ý t e x t : Č T E N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-cte-04 Z á k l a d o v ý t e x t : den 5. ezember 2013, in München Hallo Sabine! anke für deinen netten rief,

Více

Střední odborná škola a Střední odborné učiliště Horky nad Jizerou 35. Obor: 65-42-M/02 Cestovní ruch

Střední odborná škola a Střední odborné učiliště Horky nad Jizerou 35. Obor: 65-42-M/02 Cestovní ruch Střední odborná škola a Střední odborné učiliště Horky nad Jizerou 35 Obor: 65-42-M/02 Cestovní ruch Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0985 Předmět: Německý jazyk Ročník: 4. Téma: Berlin Vypracoval:

Více

SPSN1. Hřídele a hřídelové čepy. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

SPSN1. Hřídele a hřídelové čepy. Projekt Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Hřídele a hřídelové čepy SPSN1 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR Wellen und Wellenbolzen Charakteristik

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Digitální učební materiály www.skolalipa.cz. III/ 2- Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. VY_32_INOVACE_860_Zemepisna_jmena_PL

Digitální učební materiály www.skolalipa.cz. III/ 2- Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. VY_32_INOVACE_860_Zemepisna_jmena_PL Název školy Číslo projektu Název projektu STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace CZ.1.07/1.5.00/34.0880 Digitální učební materiály www.skolalipa.cz

Více

EFFECTIVITY HILFE BEI DER ZEITORGANISATION MATERIÁLY PRO UČITELE

EFFECTIVITY HILFE BEI DER ZEITORGANISATION MATERIÁLY PRO UČITELE EFFECTIVITY HILFE BEI DER ZEITORGANISATION MATERIÁLY PRO UČITELE Die Procrastination ist sehr oft ein Problem. Ich habe ein Ziel, aber ich weiß nicht, wie ich dieses Ziel erfüllen kann. Man hat Probleme

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

DEMATECH PREISANGEBOT / CENOVÁ NABÍDKA

DEMATECH PREISANGEBOT / CENOVÁ NABÍDKA PREISANGEBOT / CENOVÁ NABÍDKA Maschinenart / Druh stroje: Anlage zum Pelletieren / Pellet line / Peletovací linka Marke und Typ / Značka a typ: MGL 400 Baujahr / Rok výroby: 2011 Hersteller / Výrobce:

Více

Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Soňa Novotná

Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Soňa Novotná Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Soňa Novotná Název materiálu: VY_32_INOVACE_08_NĚMECKÝ JAZYK_P1 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077

Více

SPORTOVNÍ CENTRUM MLÁDEŽE JINÍN. Autoklub der Tschechische Republik

SPORTOVNÍ CENTRUM MLÁDEŽE JINÍN. Autoklub der Tschechische Republik SPORTOVNÍ CENTRUM MLÁDEŽE JINÍN Autoklub der Tschechische Republik - Länge: 1880m - minimal Breite: 6m - Höhendifferenz: 22m - Tunnels für Fussgänger: 5 - Elektrizitätsverteilung: 220V - FIM Homologation:

Více

Pracovní list slouží k procvičování a upevnění slovní zásoby na téma V restauraci.

Pracovní list slouží k procvičování a upevnění slovní zásoby na téma V restauraci. Označení materiálu: Název materiálu: Tematická oblast: Anotace: Očekávaný výstup: Klíčová slova: Metodika: Obor: VY_ 32_INOVACE_NEMCINA3_06 V restauraci Německý jazyk 3.ročník Pracovní list slouží k procvičování

Více

Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky

Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky Lekce 21 Výukový materiál vzdělávacích kurzů v rámci projektu Zvýšení adaptability zaměstnanců organizací působících v sekci kultura Tento materiál je spolufinancován

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

DEMATECH PREISANGEBOT / CENOVÁ NABÍDKA

DEMATECH PREISANGEBOT / CENOVÁ NABÍDKA PREISANGEBOT / CENOVÁ NABÍDKA Maschinenart / Druh stroje: Kantenanleimmaschine /poloautomatická olepovačka hran Marke und Typ / Značka a typ: Miniprof 100 Baujahr / Rok výroby: 2006 Hersteller / Výrobce:

Více

TEST 1. pololetí ŠR 2013/2014

TEST 1. pololetí ŠR 2013/2014 Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních školách Označení materiálu VY_22_INOVACE_Bat009

Více

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na

Více

MODELOVÁ ŘADA A CENÍK KOČÁRKŮ KOLOFOGO OD 1. 7. 2015

MODELOVÁ ŘADA A CENÍK KOČÁRKŮ KOLOFOGO OD 1. 7. 2015 Tschechische & Deutsche Version / FAQs auf Deutsch MODELOVÁ ŘADA A CENÍK KOČÁRKŮ KOLOFOGO OD 1. 7. 2015 MODEL / KOMPONENTY JENDA SOUČÁST VÝBAVY STANDA SOUČÁST VÝBAVY TONDA SOUČÁST VÝBAVY Tlumič Brzda Sklápěcí

Více

Im 11. und 12. Jahrhundert, wohnten nur wenige Menschen in Böhmen (Čechy) und Mähren (Morava).

Im 11. und 12. Jahrhundert, wohnten nur wenige Menschen in Böhmen (Čechy) und Mähren (Morava). Im 11. und 12. Jahrhundert, wohnten nur wenige Menschen in Böhmen (Čechy) und Mähren (Morava). Es gab viele Sümpfe (der Sumpf - močál) und wilde Tiere und keine festen Straßen. Die Premysliden schickten

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Mezinárodní závody Zpívající fontány

Mezinárodní závody Zpívající fontány Plavecký klub Mariánské Lázně Vás srdečně zve na Mezinárodní závody Zpívající fontány Internationales Jugendwettschwimmen VI. ročník / V. Jahrgang Memoriál Jiřího Urbance Datum konání / Datum: 01.10. 2011

Více

Dohoda o ukončení účinnosti Smlouvy o vázaném účtu. Příloha č. 02 usnesení 72. Rady města Stříbra ze dne 13.08.2014

Dohoda o ukončení účinnosti Smlouvy o vázaném účtu. Příloha č. 02 usnesení 72. Rady města Stříbra ze dne 13.08.2014 Dohoda o ukončení účinnosti Smlouvy o vázaném účtu Strany dohody: 1. Raiffeisenbank a.s. se sídlem Hvězdova 1716/2b, 140 78 Praha 4 IČ: 49240901 zapsaná v obchodním rejstříku vedeném Městským soudem v

Více

TKGN4. Ložiska a těsnění. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

TKGN4. Ložiska a těsnění. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Ložiska a těsnění TKGN4 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR Ložiska a těsnění Ložiska jsou součásti, které

Více

PRŮVODCE PO LIBERCI DER STADTFÜHRER DURCH LIBEREC

PRŮVODCE PO LIBERCI DER STADTFÜHRER DURCH LIBEREC PRŮVODCE PO LIBERCI DER STADTFÜHRER DURCH LIBEREC 1. JEŠTĚD Dominantou města Liberce je Ještěd, vysoký 1012 m. Na vrcholku hory stojí hotel s restaurací, jenž byl navržen architektem Karlem Hubáčkem a

Více

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC příspěvková organizace MOZARTOVA 48, 779 00 OLOMOUC tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 e-mail: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA

Více

KTS - SCHORNSTEINZUGSYSTEM KTS - KOMÍNOVÝ TAHOVÝ SYSTÉM

KTS - SCHORNSTEINZUGSYSTEM KTS - KOMÍNOVÝ TAHOVÝ SYSTÉM KTS - KOMÍNOVÝ TAHOVÝ SYSTÉM První český tahový systém Ve spolupráci s kamnářskou firmou Janča krby byl vyvinut nový tahový systém. Všechny tvarovky tohoto systému jsou vyrobeny z certifikovaného materiálu

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.057 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval tř. Družby německý jazyk

Více

Voda její vlastnosti Wasser und seine Eigenschaften

Voda její vlastnosti Wasser und seine Eigenschaften VĚKOVÁ SKUPINA B ALTERSKLASSE B PŘÍRODOVĚDNÝ PROJEKTOVÝ DEN NATURWISSENSCHAFTLICHER PROJEKTTAG Pracovní list organoleptika Arbeitsblatt Organoleptik Úkol Aufgabe Organoleptika znamená posuzování vlastností

Více

Projekt Projekt Gefahrenabwehrsystem und Systém odvracení ohrožení a die Hilfeleistung poskytování pomoci in der Euroregion Neiße v Euroregionu Nisa

Projekt Projekt Gefahrenabwehrsystem und Systém odvracení ohrožení a die Hilfeleistung poskytování pomoci in der Euroregion Neiße v Euroregionu Nisa Projekt Gefahrenabwehrsystem und die Hilfeleistung in der Euroregion Neiße Projekt Systém odvracení ohrožení a poskytování pomoci v Euroregionu Nisa Anlage zum Zuwendungsvertrag Nr. 100012302 Příloha ke

Více

POSLECH. M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u :

POSLECH. M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u : POSLEH Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Jitka Svobodová nj9-kap-svo-pos-06 Z á k l a d o v ý t e x t : Kathi: Hallo Julian, kann ich mir bitte von dir ein paar Sachen ausleihen?

Více

UNTERKUNFT IN EINEM HOTEL

UNTERKUNFT IN EINEM HOTEL UNTERKUNFT IN EINEM HOTEL MATERIÁLY PRO UČITELE A: Hallo B: Guten Tag. A: Haben Sie ein freies Zimmer, bitte? B: Ja, hätten Sie gerne ein Ein-, Zwei- oder Mehrbettzimmer? A: Ein Einbettzimmer, bitte. B:

Více

CITACE: POUŽITÉ ZDROJE:

CITACE: POUŽITÉ ZDROJE: Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09, Karlovy Vary Autor: Markéta Volková Název materiálu: VY_32_INOVACE_ 04_TEST 7 LEKCE_E2 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077

Více

18. Shodnost a podobnost trojúhelníků Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013

18. Shodnost a podobnost trojúhelníků Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013 18. Shodnost a podobnost trojúhelníků Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost,

Více

5. DEUTSCHE ARBEITSÜBERSETZUNG DER FORMULARE OZNÁMENÍ FYZICKÉ OSOBY UND OZNÁMENÍ DER PRÁVNICKÉ OSOBY

5. DEUTSCHE ARBEITSÜBERSETZUNG DER FORMULARE OZNÁMENÍ FYZICKÉ OSOBY UND OZNÁMENÍ DER PRÁVNICKÉ OSOBY 12 5. DEUTSCHE ARBEITSÜBERSETZUNG DER FORMULARE OZNÁMENÍ FYZICKÉ OSOBY UND OZNÁMENÍ DER PRÁVNICKÉ OSOBY 5.1 OZNÁMENÍ FYZICKÉ OSOBY - MITTEILUNG EINER PHYSISCHEN PERSON o dočasném nebo příležitostném výkonu

Více

TKGN6. Pružiny a výkres součásti. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

TKGN6. Pružiny a výkres součásti. Projekt Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Pružiny a výkres součásti TKGN6 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1 Pružiny Pružiny jsou strojní součásti

Více

Škola. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1

Škola. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Číslo projektu Škola Autor Číslo Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace Očekávaný výstup Datum vypracování Druh učebního materiálu C.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,

Více

Projekt EU peníze středním školám. Wir leben und sprechen Deutsch II. Dienstleistungen. Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent

Projekt EU peníze středním školám. Wir leben und sprechen Deutsch II. Dienstleistungen. Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent Wir leben und sprechen Deutsch II Dienstleistungen Předmět Německý jazyk Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent Kód sady NJ/ZA/03+04/02 Kód DUM NJ/ZA/03+04/01/20-20 Autor Mgr. Eva Gapková

Více

Studentská výměna mezi žáky Sigmundovy střední školy strojírenské, Lutín a žáky Werner von Siemens Schule Wetzlar

Studentská výměna mezi žáky Sigmundovy střední školy strojírenské, Lutín a žáky Werner von Siemens Schule Wetzlar SIGMUNDOVA STŘEDNÍ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ, LUTÍN Jana Sigmunda 242, 783 49 LUTÍN Studentská výměna mezi žáky Sigmundovy střední školy strojírenské, Lutín a žáky Werner von Siemens Schule Wetzlar Schüleraustausch

Více

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na

Více

Týdenní školení bavorských učitelů v Sušici Einwöchige Schulung von bayerischen Lehrern in Sušice 9. 6. 2014 13. 6. 2014

Týdenní školení bavorských učitelů v Sušici Einwöchige Schulung von bayerischen Lehrern in Sušice 9. 6. 2014 13. 6. 2014 Projekt č. 325: Spolupráce škol SOŠ a SOU Sušice a VHS im Landkreis Cham e. V. Motto projektu: Společně žít, učit se a pracovat v oblastech Sušice a Chamu. Týdenní školení bavorských učitelů v Sušici Einwöchige

Více

Projekt Odyssea, www.odyssea.cz

Projekt Odyssea, www.odyssea.cz Projekt Odyssea, www.odyssea.cz Příprava na vyučování s cíli osobnostní a sociální výchovy Název lekce (téma) Mein Klassenzimmer, meine Schulsachen Časový rozsah lekce 2 navazující vyučovací hodiny (v

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC příspěvková organizace MOZARTOVA 48, 779 00 OLOMOUC tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 e-mail: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA

Více

1) Číslovky a základní početní úkony zápis. Die Zahlwörter.

1) Číslovky a základní početní úkony zápis. Die Zahlwörter. Vzdělávací materiál: Název programu: Název projektu: Registrační číslo projektu: Předmět: Ročník: Téma učivo: Autor: VY_01_NJE_9_06 Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Nové trendy ve výuce

Více

IV. Systém jmenování soudců správních soudů či senátů v České republice

IV. Systém jmenování soudců správních soudů či senátů v České republice International and Comparative Law Review No. 13/2005 IV. Systém jmenování soudců správních soudů či senátů v České republice Mgr. Alena Hálková, JUDr. Václav Novotný V České republice existuje soustava

Více

Neplatí pro přístroje série Pro EVO!

Neplatí pro přístroje série Pro EVO! Neplatí pro přístroje série Pro EVO! Montážní návod vkládací řídící jednotka pro WGB C/D, WGB-K C, WBS/WBC C/D pro BGB, BBS C, BBK C/D pro SGB C/D Neplatí pro přístroje série Pro EVO! Obsah Často kladené

Více

Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Škola: Projekt MŠMT ČR: Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

Easy-6 Pivottür mit Seitenwand / Otočné dveře s boční stěnou

Easy-6 Pivottür mit Seitenwand / Otočné dveře s boční stěnou Easy-6 Pivottür mit Seitenwand / Otočné dveře s boční stěnou Lesen Sie die Bedienungsanleitung sorgfältig durch und bewahren Sie diese für den späteren Gebrauch auf. Wir empfehlen die Montage unseres Produktes

Více

Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky

Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky Lekce 14 Výukový materiál vzdělávacích kurzů v rámci projektu Zvýšení adaptability zaměstnanců organizací působících v sekci kultura Tento materiál je spolufinancován

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162. Dělnická.

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162. Dělnická. Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 1) Dělnická 6.roč.

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen

Více

MONTÁŽNÍ A UŽIVATELSKÝ NÁVOD KŘÍDLO OBLOUKOVÉ DVOUDÍLNÉ VZKO 2/110

MONTÁŽNÍ A UŽIVATELSKÝ NÁVOD KŘÍDLO OBLOUKOVÉ DVOUDÍLNÉ VZKO 2/110 763 64 Spytihněv č.p. 576, okres Zlín tel.:+420 577 110 311, fax:+420 577 110 315 teiko@teiko.cz; www.teiko.cz zelená linka 800 100 050 MONTÁŽNÍ A UŽIVATELSKÝ NÁVOD VANOVÁ ZÁSTĚNA KŘÍDLO OBLOUKOVÉ DVOUDÍLNÉ

Více

Liste der mœglichn bešvérdn bajm pacientn nach medicínišɐ fachkentnis

Liste der mœglichn bešvérdn bajm pacientn nach medicínišɐ fachkentnis Seznam možných obtíží u pacienta podle lékařské odbornosti Liste der möglichen Beschwerden beim Patienten nach medizinischer Fachkenntnis Liste der mœglichn bešvérdn bajm pacientn nach medicínišɐ fachkentnis

Více

Themenkreis Jugend, Bildung, Kultur. Tematický okruh Mládež, vzdělání, kultura

Themenkreis Jugend, Bildung, Kultur. Tematický okruh Mládež, vzdělání, kultura Themenkreis Jugend, Bildung, Kultur Tematický okruh Mládež, vzdělání, kultura Dipl.-Geograph (Univ.) Harald Ehm Oberregierungsrat Geschäftsführer EUREGIO Arbeitsgemeinschaft Bayern e.v. Warum beteiligt

Více

Katrin: Das gefällt mir. Nun, die erste Frage: Was bedeutet der Begriff Umwelt?

Katrin: Das gefällt mir. Nun, die erste Frage: Was bedeutet der Begriff Umwelt? P O S L E H Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-pos-08 Z á k l a d o v ý t e x t : Katrin: Robert, wie stellst du dir also unsere Hausaufgabe vor? Robert:

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162.

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162. Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 1) Dělnická 6.roč.

Více

POMOC PRO TEBE CZ.1.07/1.5.00/34.0339

POMOC PRO TEBE CZ.1.07/1.5.00/34.0339 POMOC PRO TEBE CZ.1.07/1.5.00/34.0339 Soukromá SOŠ manažerská a zdravotnická s. r. o., Břeclav Označení Název Anotace Autor VY_32_INOVACE_NJ-16 Pracovní list Perfektum silná slovesa Pracovní list pomáhá

Více

Časté chyby při návrhu a provádění pasivních domů masivní konstrukce v ČR 1. Úvod:

Časté chyby při návrhu a provádění pasivních domů masivní konstrukce v ČR 1. Úvod: Časté chyby při návrhu a provádění pasivních domů masivní konstrukce v ČR Ing. Martin Konečný, Kalksandstein CZ s.r.o. Borovno E 23, 335 61 Spálené Poříčí Tel.: +420774164103, e-mail: konecny@kalksandstein.cz

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,

Více

Spojky souřadné - procvičování

Spojky souřadné - procvičování N Ě M E C K Ý J A Z Y K Spojky souřadné - procvičování Zpracovala: Mgr. Miroslava Vokálová Zdroje: vlastní Ergänzen Sie die angegebenen Konjunktionen in die Sätze! aber, au3erdem, denn, deshalb, oder,

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Einbauanleitung zu Elektro-Einbausatz 736652 Elektro-Einbausatz für Anhängerkupplung, 7-polig, 12 Volt, nach ISO 1724

Einbauanleitung zu Elektro-Einbausatz 736652 Elektro-Einbausatz für Anhängerkupplung, 7-polig, 12 Volt, nach ISO 1724 Einbauanleitung zu Elektro-Einbausatz 736652 Elektro-Einbausatz für Anhängerkupplung, 7-polig, 12 Volt, nach ISO 1724 PEUGEOT 307 Kombi ab ab 04/02 PEUGEOT 307 Station Wagon ab 04/02 Inhalt: 1 Steckdosen-Gehäuse

Více

Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA KVALITY Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3688 EU PENÍZE ŠKOLÁM

Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA KVALITY Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3688 EU PENÍZE ŠKOLÁM ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC příspěvková organizace MOZARTOVA 48, 779 00 OLOMOUC tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 email: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA

Více

A Sloupkové stojánky. B Broušené desky a lišty. Transportní a upínací přípravky. D Vodící prvky. Přesné díly. Pružiny. G Elastomery H FIBROCHEMIE

A Sloupkové stojánky. B Broušené desky a lišty. Transportní a upínací přípravky. D Vodící prvky. Přesné díly. Pružiny. G Elastomery H FIBROCHEMIE A Sloupkové stojánky B Broušené desky a lišty C Transportní a upínací přípravky D Vodící prvky E Přesné díly F Pružiny G Elastomery H FIBROCHEMIE J Periferní zařízení K Klínové jednotky L Normálie pro

Více

HAKA. Diese Produktlinie vereinigt handwerkliche Qualität mit einer höchst effizienten und sauberen Technik. Warmluftheizung

HAKA. Diese Produktlinie vereinigt handwerkliche Qualität mit einer höchst effizienten und sauberen Technik. Warmluftheizung HAKA HAKA Diese Produktlinie vereinigt handwerkliche Qualität mit einer höchst effizienten und sauberen Technik. Entwickelt wurde HAKA auf der Grundlage unseres über Generationen zurückreichenden Know-how,

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

TKGN2. Čepy, kolíky, závlačky, pojistné a stavěcí kroužky. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

TKGN2. Čepy, kolíky, závlačky, pojistné a stavěcí kroužky. Projekt Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Čepy, kolíky, závlačky, pojistné a stavěcí kroužky TKGN2 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR Čepy, kolíky,

Více

OBSAH 1. LEKCE 2. LEKCE

OBSAH 1. LEKCE 2. LEKCE OBSAH 1. LEKCE Was ist das? Wer ist das? Wo ist Familie Veselý? 13 Pořádek větných členů v německé větě Věta oznamovací.. 24 Wo sind sie? 26 Věta tázací Otázka doplňovací 28 Bratislava 30 Kladná a záporná

Více

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Materiál obsahuje časování slovesa waren a hatten. Materiál obsahuje cvičení k procvičování na dané téma a řešení jednotlivých cvičení.

Materiál obsahuje časování slovesa waren a hatten. Materiál obsahuje cvičení k procvičování na dané téma a řešení jednotlivých cvičení. Označení materiálu: Název materiálu: Tematická oblast: Anotace: Očekávaný výstup: Klíčová slova: Metodika: VY_ 32_INOVACE_NEMCINA3_11 Préteritum pomocných sloves Německý jazyk 3.ročník Materiál obsahuje

Více