Úlohy krajského kola kategorie C

Transkript

1 65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie. Najděte nejmenší možnou hodnotu výrazu x xy + y, ve kterém x a y jsou libovolná celá nezáporná čísla.. Určete, kolika způsoby lze všechny hrany krychle obarvit čtyřmi danými barvami (celou hranu bez krajních bodů vždy jednou barvou), aby přitom každá stěna krychle měla hrany všech čtyř barev.. V pravoúhlém lichoběžníku s pravým úhlem u vrcholu základny je bod K průsečíkem výšky P lichoběžníku s jeho úhlopříčkou. Obsah čtyřúhelníku P je polovinou obsahu lichoběžníku. Určete, jakou část obsahu trojúhelníku zaujímá trojúhelník K.. dam s árou hrají se zlomkem 0a + b 0c + d takovou hru na čtyři tahy: ráči střídavě nahrazují libovolné z dosud neurčených písmen a, b, c, d nějakou číslicí od do 9. ára vyhraje, když výsledný zlomek bude roven buď celému číslu, nebo číslu s konečným počtem desetinných míst; jinak vyhraje dam (například když vznikne zlomek 9 ). Začíná-li dam, jak má hrát ára, aby zaručeně vyhrála? Začíná-li ára, je možné poradit damovi tak, aby vždy vyhrál? Krajské kolo kategorie se koná v úterý. dubna 06 tak, aby začalo dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh hodiny čistého času. Povolené pomůcky jsou psací a rýsovací potřeby a školní M tabulky. Kalkulátory, notebooky ani žádné jiné elektronické pomůcky dovoleny nejsou. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodů; hodnotí se přitom nejen správnost výsledku, ale i logická bezchybnost a úplnost sepsaného postupu. odová hranice k určení úspěšných řešitelů bude stanovena centrálně po vyhodnocení statistik bodových výsledků ze všech krajů. Tyto údaje se žákům sdělí před zahájením soutěže.

2 65. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie. Označme daný výraz V a upravme ho dvojím užitím obratu zvaného doplnění na čtverec: V = x xy + y = (x y) y + y = (x y) + (y 6) 6. Zřejmě platí (x y) 0, takže nejmenší hodnotu výrazu V při pevném y dostaneme, když položíme x = y. Zbývá proto najít nejmenší možnou hodnotu mocniny (y 6) s nezápornou celočíselnou proměnnou y. Protože y {0,,, 9, 6, 5,...} a číslo 6 padne mezi čísla a 9 této množiny, platí pro každé celé číslo y nerovnost (y 6) min ( ( 6), (9 6) ) = min{, 9} =. Pro libovolná celá čísla x a y tak dostáváme odhad V =, přitom rovnost V = nastane pro y = a x = y =. Odpověď. ledaná nejmenší možná hodnota daného výrazu je. Za úplné řešení udělte 6 bodů, z toho body za potřebnou úpravu výrazu, bod za určení minima mocniny (y 6) (stačí konstatovat, že je druhá mocnina nejbližší k číslu 6), bod za určení hledané hodnoty a bod za uvedení dvojice (x, y), pro niž se tato hodnota dosahuje.. Různé barvy musí mít nejen čtyři hrany každé stěny krychle, ale také každé tři hrany, které vycházejí ze stejného vrcholu krychle (protože každé dvě z nich patří jedné stěně). Tento úvodní postřeh budeme v celém řešení mlčky opakovaně využívat. Začneme obarvením hran stěny, barvy jejích hran,,, označíme po řadě čísly,,,. Pro výběr barvy máme možnosti, pro výběr barvy už jen možnosti atd., takže počet všech obarvení hran stěny je roven =. Vybereme jedno z nich a dále budeme uvažovat o možnostech obarvení zbylých osmi hran krychle. Podle barvy hrany a barvy hrany vidíme, že hrana může mít barvu nebo. Rozeberme podrobně první případ, kdy má barvu. Známe tedy obarvení pěti hran, jak je vyznačeno na první krychli ze seriálu na obr., který ukazu- Obr.

3 je, jak postupně určit (už jednoznačně daná) obarvení zbylých sedmi hran. V každém kroku nad šipkou uvádíme hranu, jejíž barvu právě určujeme. Popíšeme první krok: hrana nemůže mít ani barvy a (kvůli hranám a ), ani barvu (kvůli stěně ), má tedy barvu. Takto argumentujeme i v dalších krocích; na poslední krychli dostáváme obarvení všech jejích hran, které skutečně vyhovuje podmínce úlohy. Obdobným postupem lze získat (jediné) vyhovující obarvení všech hran krychle i ve druhém případě, kdy hrana má barvu (obr. ). Podrobný seriál jsme vynechali, zejména proto, že počáteční krychli z obr. (včetně určených barev) lze převést na počáteční krychli z obrázku, když ji nejprve zobrazíme v souměrnosti podle roviny a poté navzájem vyměníme barvy, (a značení vrcholů, ). Obr. Ověřili jsme, že každé z možných obarvení hran stěny lze rozšířit právě dvěma způsoby na vyhovující obarvení všech hran krychle. Proto je jejich celkový počet roven = 8. Jiné řešení. Opět budeme opakovaně využívat postřeh z úvodu prvního řešení, tentokrát však v odlišném postupu založeném na poznatku, že žádné dvě rovnoběžné hrany krychle nemohou mít stejnou barvu. Stačí to dokázat jen pro dvě rovnoběžné hrany, které neleží v téže stěně krychle, bez újmy na obecnosti například pro hrany a. Kdyby naopak měly stejnou barvu, nemohla by ji mít už žádná z hran,,,, neboli by ji neměla žádná z hran stěny, a to je spor. Označíme-li barvy hran,,, opět po řadě čísly,,,, pak podle dokázaného poznatku mají v horní stěně barvu a hrany a nevíme ovšem v jakém pořadí; obě možnosti jsou vykresleny na obr.. V jakém pořadí Obr. jsou barvy a zbylých hran a horní stěny? Na levé krychli podle barev, a vidíme, že má barvu, takže v horní podstavě má barvu a barvu. Podobně na pravé krychli má barvu, takže má barvu a barvu. Jednoznačné obarvení zbylých svislých hran obou krychlí je už nasnadě; pro levou krychli obdržíme výsledné obarvení z obr., pro pravou krychli obarvení z obr..

4 Tímto postupem znovu docházíme k závěru, že hledaný počet vyhovujících obarvení dané krychle je roven dvojnásobku počtu výběrů barev pro hrany stěny. Za úplné řešení udělte 6 bodů. Za určení počtu všech obarvení jedné stěny udělte bod, stejně tak ohodnoťte postřeh o různých barvách libovolných tří hran se společným krajním bodem. Při neúplném postupu z prvního řešení udělte bod za rozlišení dvou možností pro barvu (páté) hrany, určování barev zbylých sedmi hran může být v úplném řešení popsáno pouze pro první z těchto hran a pro další bez postupných obrázků. Při neúplném postupu z druhého řešení udělte body za zdůvodnění poznatku o barvách libovolných dvou rovnoběžných hran.. V pravoúhelníku P označme c = = P a v = = P (obr., kde jsme již také vyznačili další délky, které odvodíme v průběhu řešení). v c K v v c P Obr. c Z předpokladu S(P ) = S() plyne pro druhou polovinu obsahu vyjádření S() = S(P ), tudíž S(P ) = S(P ) neboli cv = = P v, odkud vzhledem k tomu, že v 0, vychází P = c, v důsledku čehož = c. Trojúhelníky K a P K mají pravé úhly u vrcholů, P a shodné (vrcholové) úhly u společného vrcholu K, takže jsou podle věty uu podobné, a to s koeficientem P : = c : c =. Proto také platí P K : K = :, odkud KP = v a K = v. Posuzované obsahy trojúhelníků a K tak mají vyjádření S() = P = cv a S(K) = K P = v c = cv, proto jejich poměr má hodnotu S(K) S() = cv cv = 9. Odpověď. Trojúhelník K zaujímá /9 obsahu trojúhelníku. Za úplné řešení úlohy udělte 6 bodů, z toho bod za odvození P =, body za objev podobnosti trojúhelníků K a P K s koeficientem, bod za určení K = a zbylé body za sestavení a výpočet hledaného poměru. bsenci argumentu z poznámky pod čarou v žákovských protokolech tolerujte. Protože podle zadání úhlopříčka protíná výšku P, musí její pata P ležet mezi body a, takže se jedná o obvyklý lichoběžník s delší základnou a kratší základnou.

5 . Má-li první tah dam, může ára hrát tak, aby byl výsledný zlomek roven jedné, což podle zadání přinese áře vítězství. Takový zlomek vyjde, budou-li současně platit obě rovnosti a = c a b = d, kterých ára dosáhne tahy souměrně sdruženými podle zlomkové čáry s damovými tahy. Začíná-li ára, může dam hrát tak, aby vyšel zlomek se jmenovatelem 0c + d dělitelným třemi, jehož čitatel 0a+b však dělitelný třemi nebude. K tomu damovi stačí po každém z obou ářiných tahů vhodně dourčit čitatel či jmenovatel, kupříkladu podle kritéria dělitelnosti třemi mu stačí zajistit, aby se ciferný součet a + b čitatele rovnal 0 a aby se ciferný součet c + d jmenovatele rovnal 9 nebo. dam tak vyhraje, protože výsledný zlomek nebude možné krátit třemi, takže se nebude rovnat žádnému zlomku s mocninou čísla 0 ve jmenovateli, jakým lze zapsat každé číslo s konečným počtem desetinných míst. Za úplné řešení udělte 6 bodů, z toho body za popis vítězné ářiny strategie v případě, kdy začíná dam, a body za popis vítězné damovy strategie v případě, kdy začíná ára. Obě popsané vítězné strategie nejsou samozřejmě jediné možné, například dam může založit svou strategii na dělitelnosti jedenácti namísto třemi, když svými tahy dosáhne rovnosti c = d a nerovnosti a b.