CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

2 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( ,5 ) ] : bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Mezi čísla 16 a 81 vložte tři kladná čísla tak, že spolu s nimi tvoří pět po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti. Jaký je součet vložených čísel? 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Je dán čtverec ABCD. Na straně BC je zvolen bod X tak, že dělí stranu BC v poměru 3 : 1. Bod Y je průsečíkem polopřímek AX a DC. max. body 3.1 V jakém poměru je obsah trojúhelníku ABX ku obsahu trojúhelníku YCX? 3. Jak velkou část obsahu čtverce ABCD tvoří obsah lichoběžníku AXCD? (Vyjádřete zlomkem v základním tvaru.) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Ve stejnou chvíli vyjeli proti sobě z místa A cyklista rychlostí 9 km h 1 a z místa B motocykl rychlostí 30 km h 1. Místa A a B jsou od sebe vzdálena 65 km. O hodinu a půl později vyjel z místa A osobní automobil směrem k místu B. Všechny tři dopravní prostředky se míjí v tomtéž okamžiku najednou v místě C. 4.1 Jakou rychlostí v km h 1 jel osobní automobil? 4. Kolik km zbývá ujet automobilu z bodu C do bodu B? max. body max. body 5 Pro kolik kladných celých čísel je výraz x 1 x + 1 kladný? V záznamovém listu uveďte celý postup x + 1 x 1 řešení. Maturita z matematiky 06

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Plastika z litého bronzu o hustotě ρ = 8,6 kg dm 3 má tvar tří kuželů se shodně velkými podstavami o průměru 3 cm, které se vždy po dvou vzájemně dotýkají v jednom bodě. Kužely mají společný vrchol, který se nachází ve výšce 40 cm nad rovinou podstav. 6 Kolik kg plastika váží? (Výsledek zaokrouhlete na celé kg.) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 max. body Je dán pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou délky m a ramenem délky n. Pro kladná čísla m a n platí, že n < m < n. max. body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 7.1 Výraz 4n m vyjadřuje velikost výšky na základnu trojúhelníku ABC. 7. Výraz n + m vyjadřuje velikost obvodu trojúhelníku ABC. 7.3 Výraz n vyjadřuje velikost obsahu trojúhelníku ABC. n 7.4 Výraz vyjadřuje velikost 4n m poloměru kružnice opsané trojúhelníku ABC. Maturita z matematiky 06 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Státní poznávací značky (dále SPZ) vozidel v České republice bývají v současnosti tvořeny jako sedmimístné kódy, v nichž se mohou vyskytovat číslice 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 a dvaadvacet písmen abecedy (např. G, Q, O, W se pro podobnost s jinými písmeny či čísly nepoužívají). Na prvním místě zleva se umísťuje jen číselný znak, na druhém místě zleva pouze jedno ze 14 písmen identifikujících SPZ z konkrétního kraje ČR, na třetí pozici zleva lze umístit znak písmena i číslice a na zbylých pozicích se umísťují jen číslice. Na obrázku je příklad SPZ v Královéhradeckém kraji. body 8 Která z možností A E určuje, jaký je celkový počet možných SPZ sestavených dle výše uvedených pravidel? A) B) 7, C) 4, D) 3, E) 10 7 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V přímkách p = {[x, y]; y = x + 4 = 0 x R}, q = {[x, y]; y = x x R}, 3 r = {[x, y]; y = x + 4 x R}, s = {[x, y]; y = x x R} leží strany konvexního čtyřúhelníku, jehož vrcholy tvoří průsečíky těchto přímek s osami 3 souřadnic. 9 Která z možností A E udává jeho obsah v jednotkách čtverečných? A) 1 B) 4 C) 16 D) E) 4 10 body 4 Maturita z matematiky 06

5 max. 4 body 10 Přiřaďte každé ze zadaných rovnic ( ) charakteristiku jejích řešení (A F) x + = 3 3 x x = 3 x x log 3 (x 3) = log 3 (x 3) log ( x) log 3 (x + 5) = 1 A) Právě dva různé vzájemně opačné reálné kořeny. B) Právě jeden záporný reálný kořen. C) Právě jeden kladný reálný kořen. D) Právě jeden kořen roven 0. E) Právě jeden kořen větší než 1. F) Žádný reálný kořen. KONEC TESTU Maturita z matematiky 06 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( ,5 ) ] : bod [ 9 ( 1 3 9)] = 6 [3 (1 16) ] 1 = 6 [ 9 (1 4) 3 ] 1 = 6 [3 ( 3) ] 1 = 6 4 = (3 9) 1 6 = ( 6) 1 6 = 1 Řešení: 1 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Mezi čísla 16 a 81 vložte tři kladná čísla tak, že spolu s nimi tvoří pět po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti. Jaký je součet vložených čísel? 1 bod Vytvoříme geometrickou posloupnost 16; 16 q; 16 q ; 16 q 3 ; 16 q 4, kde 16 q 4 = 81. Kvocient q je kladné reálné číslo. Určíme jej. 16 q 4 = 81 q 4 = q = 3 Vypočteme hledaný součet 16 q + 16 q + 16 q 3 = ( 3 ) + 16 ( 3 ) 3 = = = = 114. Řešení: Maturita z matematiky 06

7 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Je dán čtverec ABCD. Na straně BC je zvolen bod X tak, že dělí stranu BC v poměru 3 : 1. Bod Y je průsečíkem polopřímek AX a DC. max. body 3.1 V jakém poměru je obsah trojúhelníku ABX ku obsahu trojúhelníku YCX? Trojúhelníky ABX a YCX jsou podobné podle věty uu, neboť vnitřní úhly u vrcholu X jsou vrcholové, tudíž shodné, a oba trojúhelníky jsou pravoúhlé. Trojúhelníky jsou tedy podobné i podle věty sss a koeficient podobnosti k je určen poměrem délek stran BX a XC, tj. k = 3. Obsah obou trojúhelníků je určen součinem délek příslušných odvěsen, přičemž platí AB = 3 YC BX = 3 XC, tj. AB BX YC XC : 3 YC 3 XC YC = XC : = 9 : 1. Obsah trojúhelníku ABX ku obsahu trojúhelníku YCX je v poměru 9 : 1. Řešení: 9 : 1 3. Jak velkou část obsahu čtverce ABCD tvoří obsah lichoběžníku AXCD? (Vyjádřete zlomkem v základním tvaru.) Lichoběžník AXCD vznikne z čtverce ABCD odříznutím trojúhelníku ABX. Využijeme výše uvedených vztahů mezi délkami úseček podobných trojúhelníků a uvědomíme si, že BX = 3 BC. 4 Nyní určíme poměr obsahů takto: AB BX AB BC = AB BC 5 AB BC = = 5. 8 AB BC 8 AB 3 BC 4 AB BC AB BC 8 AB BC 3 AB BC = = 8 AB BC Ke stejnému závěru bychom též došli úvahou, že lichoběžník je tvořen obdélníkem, který tvoří čtvrtinu čtverce, a trojúhelníkem, který tvoří polovinu zbylé části čtverce, tedy polovinu ze tří čtvrtin čtverce. Lichoběžník tedy tvoří čtvrtinu a tři osminy čtverce, tj. pět osmin čtverce. Řešení: 5 8 Maturita z matematiky 06 7

8 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Ve stejnou chvíli vyjeli proti sobě z místa A cyklista rychlostí 9 km h 1 a z místa B motocykl rychlostí 30 km h 1. Místa A a B jsou od sebe vzdálena 65 km. O hodinu a půl později vyjel z místa A osobní automobil směrem k místu B. Všechny tři dopravní prostředky se míjí v tomtéž okamžiku najednou v místě C. 4.1 Jakou rychlostí v km h 1 jel osobní automobil? max. body 65 km je součet drah, které ujedou do místa setkání C za čas t motocykl a cyklista, tj. 65 = 9t + 30t. 65 = 39t t = 5 3 Doba jízdy obou dopravních prostředků byla 5 hodiny. 3 Protože automobil rychlostí v ujel do bodu C stejnou dráhu jako cyklista, jen s časem o hodinu a půl kratší, musí platit, že: 9t = v (t 5 3 ) Určíme rychlost v. 9t v = (t 3 ) v = ( 5 3 ) = = = 15 6 = Automobil se pohyboval rychlostí 90 km h 1. Řešení: 90 km h 1 4. Kolik km zbývá ujet automobilu z bodu C do bodu B? Vzdálenost bodu setkání C od místa B je délka ujeté dráhy motocyklu. CB = (30 km h 1 ) ( 5 3 h) = 50 km Automobilu z bodu C do bodu B zbývá ujet 50 km. Řešení: 50 km 8 Maturita z matematiky 06

9 max. body 5 Pro kolik kladných celých čísel je výraz x 1 x + 1 kladný? V záznamovém listu uveďte celý postup x + 1 x 1 řešení. Výraz je definován pro x R { 1; 1}. Zjednodušíme jej. x 1 x + 1 x 1 x + 1 = (x 1) (x + 1) = (x 1 x 1)(x 1 + x 1) = 4x x 1 x 1 x 1 x ( ; 1) x ( 1; 0) x 0; 1) x (1; + ) 4x + + x x x Výraz 4x je kladný pro x ( ; 1) 0, 1). V této množině neleží žádné přirozené číslo. Výraz není x 1 kladný pro žádné kladné celé číslo. Řešení: žádné VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Plastika z litého bronzu o hustotě ρ = 8,6 kg dm 3 má tvar tří kuželů se shodně velkými podstavami o průměru 3 cm, které se vždy po dvou vzájemně dotýkají v jednom bodě. Kužely mají společný vrchol, který se nachází ve výšce 40 cm nad rovinou podstav. 6 Kolik kg plastika váží? (Výsledek zaokrouhlete na celé kg.) max. body Podle Cavalieriho principu je objem kuželu roven třetině součinu obsahu podstavy a výšky, vypočteme tedy objem V plastiky a ze známé hustoty ρ určíme hmotnost m plastiky. Jedná se o tři shodné kužely, jejichž podstavy mají průměr d = 3 cm a výška kuželů je v = 40 cm. V = π( d ) v = 3 cm π[ ] (40 cm) = 3 169,9 cm 3 = 3,1699 dm 3 m = ρ V = (8,6 kg dm 3 ) (3,1699 dm 3 ) = 76,66114 kg = 77 kg Plastika váží přibližně 77 kg. Řešení: 77 kg Maturita z matematiky 06 9

10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou délky m a ramenem délky n. Pro kladná čísla m a n platí, že n < m < n. max. body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 7.1 Výraz 4n m vyjadřuje velikost výšky na základnu trojúhelníku ABC. 7. Výraz n + m vyjadřuje velikost obvodu trojúhelníku ABC. 7.3 Výraz n vyjadřuje velikost obsahu trojúhelníku ABC. n 7.4 Výraz vyjadřuje velikost 4n m poloměru kružnice opsané trojúhelníku ABC. 7.1 Výšku v na základnu rovnoramenném trojúhelníku ABC vypočteme z pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsny tvoří polovina strany a výška na základnu, přeponu tvoří rameno. v = n ( m ) = n m = 4 4n m = 4n m 4 Tvrzení je pravdivé. 7. Obvod o trojúhelníku ABC je součtem délek ramen a základny. o = n + n + m = n + m. Tvrzení je pravdivé. 7.3 Protože je trojúhelník ABC pravoúhlý rovnoramenný, tvoří jeho obsah S polovinu obsahu čtverce, jehož strana je ramenem n, tj. S = n. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Poloměr r kružnice opsané trojúhelníku ABC lze vypočítat jako podíl součinu délek všech tří stran a čtyřnásobku obsahu trojúhelníku. mn r = mn = n = m 4n m m 4n m 4n m 4 Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, ANO, ANO, ANO 10 Maturita z matematiky 06

11 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Státní poznávací značky (dále SPZ) vozidel v České republice bývají v současnosti tvořeny jako sedmimístné kódy, v nichž se mohou vyskytovat číslice 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 a dvaadvacet písmen abecedy (např. G, Q, O, W se pro podobnost s jinými písmeny či čísly nepoužívají). Na prvním místě zleva se umísťuje jen číselný znak, na druhém místě zleva pouze jedno ze 14 písmen identifikujících SPZ z konkrétního kraje ČR, na třetí pozici zleva lze umístit znak písmena i číslice a na zbylých pozicích se umísťují jen číslice. Na obrázku je příklad SPZ v Královéhradeckém kraji. body 8 Která z možností A E určuje, jaký je celkový počet možných SPZ sestavených dle výše uvedených pravidel? A) B) 7, C) 4, D) 3, E) 10 7 Čísla uvedená na jednotlivých pozicích určují počet znaků, které lze na danou pozici umístit. Dle kombinatorického pravidla součinu je počet možných SPZ sestavených dle výše uvedených pravidel roven součinu těchto čísel, tj = 4, Správná je možnost C. Řešení: C Maturita z matematiky 06 11

12 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V přímkách p = {[x, y]; y = x + 4 = 0 x R}, q = {[x, y]; y = x x R}, 3 r = {[x, y]; y = x + 4 x R}, s = {[x, y]; y = x x R} leží strany konvexního čtyřúhelníku, jehož vrcholy tvoří průsečíky těchto přímek s osami 3 souřadnic. 9 Která z možností A E udává jeho obsah v jednotkách čtverečných? A) 1 B) 4 C) 16 D) E) 4 10 body Protože průsečík přímek p a r se souřadnicovou osou y je P y [0, 4] (absolutní členy jsou rovny 4) a přímek s a q je P y [0, ] (absolutní členy jsou rovny ), stačí pouze určit průsečíky přímek p, q, r, s se souřadnicovou osou x. Budeme tedy řešit rovnice: p: 0 = x + 4 x = P x [, 0] q: 0 = x 3 x = 6 P x [6, 0] r: 0 = 3 x + 4 x = 6 P x [6, 0] 0 = x x = P x [, 0] Rovnoběžník s vrcholy [0, 4], [6, 0], [0, ], [, 0] má vzájemně kolmé úhlopříčky (leží v souřadnicových osách) o délkách 6 ( ) = 8 j a 4 ( ) = 6 j. Obsah vypočteme jako polovinu součinu délek úhlopříček. (8 j) (6 j) S = = 4 j Úlohu lze řešit i zakreslením přímek do soustavy souřadnic. Správně je tedy možnost B. Řešení: B max. 4 body 10 Přiřaďte každé ze zadaných rovnic ( ) charakteristiku jejích řešení (A F) x + = 3 3 x x = 3 x x log 3 (x 3) = log 3 (x 3) log ( x) log 3 (x + 5) = 1 A) Právě dva různé vzájemně opačné reálné kořeny. B) Právě jeden záporný reálný kořen. C) Právě jeden kladný reálný kořen. D) Právě jeden kořen roven 0. E) Právě jeden kořen větší než 1. F) Žádný reálný kořen. 1 Maturita z matematiky 06

13 x + = 3 3 x (3x ) + 3 x = 3 (3 x ) + 3 x 3 = 0 (3 x + 3)(3 x 1) = 0 3 x = 3 3 x = 1 x x = 0 Řešení: D x = 3 x x 1 3 x x 3 x + 1 = 5 3 x 1 ( ) = 5 3 x 1 ( 5) = 5 3 x 1 = 1 x 1 = 0 x = 1 Řešení: C 10.3 log 3 (x 3) = log 3 (x 3) x > 3 log 3 (x 3) = log 3 (x 3) x > 3 (x 3) = x 3 x > 3 x 6x + 9 = x 3 x > 3 6x = 1 x > 3 x = x > 3 x Řešení: F 10.4 log 3 ( x) = 1 x ( 5 ; log3 (x + 5) ) (, ) log 3 ( x) = log 3 (x + 5) x ( 5 ; ) (, ) x = x + 5 x ( 5 ; ) (, ) 3 = 3x x ( 5 ; ) (, ) x = 1 x ( 5 ; ) (, ) x = 1 Řešení: B KONEC TESTU Maturita z matematiky 06 13

14 14 Maturita z matematiky 06

15 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 0 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. ) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 0 17 výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod : 1 1 bod bod km h 1 1 bod km 1 bod 5 Výraz je definován pro x R { 1; 0; 1}. Zjednodušíme jej. x 1 x + 1 x 1 x + 1 = (x 1) (x + 1) = (x 1 x 1)(x 1 + x 1) x 1 x 1 = 4x x 1 max. body x ( ; 1) x ( 1; 0) x (0; 1) x (1; + ) 4x + + x x x Výraz 4x je kladný pro x ( ; 1) (0, 1). V této množině neleží žádné přirozené číslo. Výraz není kladný pro x 1 žádné přirozené číslo. Řešení: žádné 6 77 kg max. body Maturita z matematiky 06 15

16 7 max. body 4 podúlohy b. 7.1 ANO 3 podúlohy 1 b. podúlohy 0 b. 7. ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 ANO 8 C body 9 B body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b D 3 podúlohy 3 b. podúlohy b. 10. C 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b F 10.4 B 16 Maturita z matematiky 06

17 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 0 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. ) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 5 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 0 17 výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 1 bod bod 3. 1 bod bod 4. 1 bod 5 max. body 6 max. body Maturita z matematiky 06 17

18 7 max. body 4 podúlohy b podúlohy 1 b. podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b body 9 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. podúlohy b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 06