6 SPOJITÁ ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI. as ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umt:

Transkript

1 6 SPOJITÁ ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI s sudiu pioly: minu Cíl: Po prosudování ohoo odsvc ud um: chrrizov dnolivé ypy spoiých rozdlní: rovnomrné, ponnciální, Erlngovo, Wiullovo, normální, normovné normální, logrimico-normální pops vzámnou souvislos mzi rozdlními v disréním procsu v odovém procsu v spoiém s

2 Výld: V pdcházící piol sm s vnovli rozdlním popisuícím disréní náhodnou vliinu, nyní pcházím popisu spoié náhodné vliiny. Zopum si, ž rozdlní spoié náhodné vliiny dáno disriuní funci, pop. husoou prvdpodonosi. A nyní pdm pímo nrým spciálním rozdlním. 6. Rovnomrné rozdlní Již dív, v nrém z pdchozích šných píld, sm s sli s rovnomrným rngulárním rozdlním. Jd o rozdlní, hož huso prvdpodonosi onsnní n ném inrvlu ; všud ind nulová. X náhodná vliin s rovnomrným rozdlním n inrvlu ; X R ; Huso prvdpodonosi: Disriuní func: f F - - ; ind - ; ; ; Sdní hodno: Rozpyl: EX DX Grficé znázornní husoy prvdpodonosi disriuní func rovnomrného rozdlní n inrvlu ;

3 Prvodc sudim: J sm pišli n o, ž huso prvdpodonosi rovnomrného rozdlní dfinován o: f ; ind? Odvozní: Uvdli sm si, ž rovnomrné rozdlní n inrvlu onsnní n dném inrvlu všud ind nulová. ; ové, hož huso Z oho vyplývá, ž vzh pro husou prvdpodonosi mžm zps v vru: Zývá nám nléz onsnu c: c ; f, d c R ind f d [ c] f d cd c c c A proo: f ; ind Odvozní disriuní func rovnomrného rozdlní ; F ; F d d d

4 Výld: ; d d d F Odvozní sdní hodnoy rozpylu: d EX d f EX d EX d f EX n DX EX EX DX 6. Eponnciální rozdlní Mm Poissonv procs,. v uriém sovém inrvlu s s onsnní rychlosí výsyu ovuí událosi, ré sou n so nzávislé np. doprvní nhody n Mrinovsé ižovc, píchody zázníu do suprmru, d.. P vhodným rozdlním pro popis doy do výsyu první událosi, pop. doy mzi událosmi ponnciální rozdlní. Too rozdlní úzc souvisí s Poissonovým rozdlním. Jsliž oiž Poissonovo rozdlní popisovlo po ných událosí v sovém inrvlu, ponnciální rozdlní s používá popisu doy do výsyu píslušné událosi. Np. po doprvních nhod n Mrinovsé ižovc z uriý sový inrvl s popisu Poissonovým rozdlním, zímco dou od dné nhody do druhé lz popisov ponnciálním rozdlním.

5 X do mzi událosmi s výsyu událosi X má ponnciální rozdlní O o rozdlní shráví dlžiou roli v orii spolhlivosi. sé plic sou éž v orii hromdné osluhy ori fron, d s pomocí ponnciálního rozdlní modlu do ání v fron. To, ž náhodná vliin X má ponnciální rozdlní s prmry A udm zpisov: X E A; Huso prvdpodonosi ohoo rozdlní má vr: - -A f ; > A; A R; > Prmr A s so inrpru o zv. prmr posunuí rozdlní n os. Vlmi so s pi plicích sávám s "nposunuým" ponnciálním rozdlním, pro ré A. My s ndál udm zýv pouz ímo nposunuým ponnciálním rozdlním. To, ž náhodná vliin X má ponnciální rozdlní s prmry A udm zpisov: X E P s vr husoy prvdpodonosi ponud zdnoduší: f ; > ; > Disriuní func náhodné vliiny s ponnciálním rozdlním E: - F - ; > ; > Innzi poruch náhodné vliiny s ponnciálním rozdlním E: ons.; > ; > Sdní hodno: EX Rozpyl: DX

6 Grficé znázornní husoy prvdpodonosi disriuní func ponnciálního rozdlní 6.. Eponnciální rozdlní rozdlní z pmi Eponnciální rozdlní ývá ndy nzýváno "rozdlní z pmi". Tno názv znmná, ž: P X > X > X > ; ; P Co si pdsvi pod ímo vzhm? Povžum ponnciální náhodnou vliinu X z dou do poruchy ného zízní. P prvdpodonos, ž zízní, ré prcovlo z poruchy po dou, ud prcov z poruchy š lspo po dou, rovn prvdpodonosi, ž zízní, ré dosud nylo v provozu, ud prcov lspo po dou. poruch poruch X do do poruchy Zdá s o y oo zízní "zpomnlo" n dív odprcovnou dou. Povžovli-li ychom dou do poruchy Všho monioru z ponnciální náhodnou vliinu, p prvdpodonos, ž s Váš monior porouchá z víc nž hodin od éo chvíl, y ni nzávisl n ho sáí do ho pdcházícího provozu

7 To vlsnos vysvlu použií ponnciálního rozdlní v orii spolhlivosi. Eponnciální rozdlní popisu do rozdlní doy živo zízní, u rých dochází poruš z zcl náhodných píin nioliv v dsldu oponí mchnicé oponí, únv mriálu pod.. Zárov o vlsnos ponnciálního rozdlní vysvlu pro ho innzi poruch onsnní nní závislá n délc pdcházícího provozu zízní. Má-li do do výsyu událosi ponnciální rozdlní, p informc o om, ž událos nnsl po dou, nmní prvdpodonos výsyu událosi v náslduícím odoí dély. Prvodc sudim: A op pichází psáž vnován zámcm o mmicé pozdí používných vzh: Odvozní disriuní func ponnciálního rozdlní Popisum náhodnou vliinu X. X... do do výsyu událosi do mzi událosmi v Poissonov procsu, X E Dfinum si náhodnou vliinu N o: N... po výsyu událosi v sovém inrvlu ;, N Po N záld logicé úvhy, ré npomž náslduící oráz, p mžm vrdi, ž náslduící vy sou vivlnní: N... v sovém inrvlu ; dod lspo dnomu výsyu událosi X <... do mzi událosmi do do první událosi mnší nž X... do mzi událosmi do výsyu událosi Což mžm zps náslduící formou: N X < - 6 -

8 - 6 - N záld výš uvdné vivlnc v p mžm zps i píslušné vzhy pro ich prvdpodonosi z nich odvodi disriuní funci náhodné vliiny X doy do výsyu událosi ; ;! > < < F F N P F N P F N P X P Odvozní husoy prvdpodonosi ponnciálního rozdlní Husou prvdpodonosi odvodím z pvodního vzhu mzi husoou disriuní funcí: ; > f d df f Odvozní innziy poruch ponnciálního rozdlní Innziu poruch odvodím z dfininího vzhu: EX F F f., ; > < Odvozní sdní hodnoy rozpylu [ ] lim lim lim lim d d d d v u v u d d f X E

9 - 6 - [ ] [ ] lim lim lim lim lim lim lim lim d v u v u d d d d d v u v u d d f X E EX EX DX Náslduící grf ilusru nré píldy husoy prvdpodonosi pro rzné hodnoy prmru. Soí z povšimnuí, ž vr husoy podoný o vr prvdpodonosní func gomricého rozdlní. Eponnciální rozdlní spoiým vivlnm disréního gomricého rozdlní prvdpodonosi.

10 šný píld: Výroc žárovy XX ví, ž prmrná živonos žárov XX. h. V rámci své propgní mpn chc grnov dou T, do níž s nspálí víc nž 3% žárov. Ur uo dou. šní: X... živonos žárovy do do poruchy má ponnciální rozdlní Urím prmr : X E EX EX. h 4 h N záld zdné prvdpodonosi ndm dou T: P F X < T T,97 ln T,97 T,3,3,3 T T 4 ln,97 T 34 h Výroc mž vrdi, ž víc nž 97% žárov má živonos dlší nž 34 hodin. Výld: 6.3 Erlngovo rozdlní Uriým zocnním ponnciální náhodné vliiny do do první poruchy náhodná vliin s Erlngovým rozdlním, rá popisu dou do výsyu -é událosi v Poissonov procsu. Erlngovo rozdlní spciálním ypm zv. Gmm rozdlní pro z množiny clých ísl. Tno vzh vhodné zná, chcm-li nlzní disriuní func, pop. husoy prvdpodonosi použí sisicý sofwr nré sisicé py mí

11 implmnováno pouz Gmm rozdlní hodnoy Erlngov rozdlní p zísám doszním píslušných prmr. Erlngovo rozdlní má dv prmry: po událosi prmr vru, shp, v Gmm rozdlní, nimž má doí rychlos výsyu cho událosi prmr mí, scl, v Gmm rozdlní. Má-li náhodná vliin X Erlngovo rozdlní, zním o o: X Erlng, X do do výsyu.událosi n or. 4 s výsyu X má Erlngovo rozdlní Náhodnou vliinu s Erlngovým rozdlním si mžm pdsvi o sou nzávislých ponnciálních náhodných vliin do do výsyu -é událosi soum do mzi -ou. událosi,.. událosi,..., -.. událosi. Pro Erlngovo rozdlní s prmry plí yo vzhy: Huso prvdpodonosi: Disriuní func: f F ;!! > Innzi poruch: Sdní hodno: EX!!

12 Rozpyl: DX Grf innziy poruch Erlngov rozdlní pro ; 3; 5; 7 E rlngovo ro z dln í,8,6,4, Innzi poruch v pípd Erlngov rozdlní rosoucí func proo oo rozdlní vhodné pro modlování procs sárnuí. Prvodc sudim: Náslduící psáž znovu urn pro zámc o mmicé pozdí používných vzh. Odvozní disriuní func Erlngov rozdlní Mm: X... do do výsyu -é událosi v Poissonov procsu, X Erlng ; N... po výsyu událosi v sovém inrvlu ;, N Po Plí, ž v sovém inrvlu ; nsn lspo událosi práv dyž do do výsyu -é událosi mnší nž. N X < Z éo vivlnc lz odvodi disriuní funci Erlngov rozdlní

13 < <!! N P N P X P F Odvozní husoy prvdpodonosi Husou prvdpodonosi zísám drivcí disriuní func:!!!!!!!!!!! d df f Odvozní innziy poruch!!!!!!!!!! F f Odvozní sdní hodnoy rozpylu Mm: X... do do výsyu -é událosi v Poissonov procsu, ; X Erlng

14 X... do do výsyu událosi v Poissonov procsu, X E J zmé, ž Erlngov náhodná vliin s prmry ; soum ponnciálních vliin s prmrm : X X i Z vlsnosí sdní hodnoy vím, ž sdní hodno souu náhodných vliin rovn souu ich sdních hodno: EX EX i i Jdnolivé ponnciální náhodné vliiny sou nzávislé proo éž rozpyl souu náhodných vliin rovn souu ich rozpyl: DX DX i i i N náslduícím orázu sou píldy husoy Gmm rozdlní pro rzné hodnoy. Poznmnm, ž s rosoucím ros rozpyl ohoo rozdlní oficin šimosi s piližu nul rozdlní víc symricé. Výld: 6.4 Wiullovo rozdlní Wiullovo rozdlní vlmi fliilní díy prmru proo s ím zmén v orii spolhlivosi popisuí spoié náhodné vliiny dfinovné o do do poruchy do zporuchovosi. Používá s zmén pi popisu omponn, ré sou v odoí rnných poruch no v odoí sárnuí. m d s provu mchnicé oponí no únv mriálu

15 Wiullovo rozdlní má dv prmry: prmr mí scl, >, závisí n mriálu, nmáhání podmínách užívání prmr vru shp, >, n ho hodno závisí vr innziy poruch ím i vhodnos použií pro urié odoí doy živo. Má-li náhodná vliin X Wiullovo rozdlní, zním o o: X W Θ, β Disriuní func: β Θ F ; > ; Θ > ; β > Huso prvdpodonosi: f β Θ Θ β β Θ ; > ; Θ > ; β > Innzi poruch: β. Θ Θ β ; > ; Θ > ; β > Z vzhu pro innziu poruch Wiullov rozdlní zmé, ž: ons. β proo vr innziy poruch závisí n vol prmru. Nré píldy innziy poruch Wiullov rozdlní : 8 6 4,5,,5 3 4,,5-68 -

16 Všimnm si, ž pro, pd Wiullovo rozdlní v rozdlní ponnciální onsnní innzi poruch s prmrm. Θ β W E Θ Θ; Z výš uvdného grfu rovnž zmé použií Wiullov rozdlní v závislosi n prmru : < β < odoí dsých nmocí... lsící func β odoí silního živo ons. p. rozdlní Θ < β < odoí sárnuí... onávní, rosoucí func β odoí sárnuí... linárn rosoucí func β > odoí sárnuí... onvní, rosoucí func 6.5 Souvislos mzi rozdlními Mzi mnohými dosud prornými rozdlními zložnými n Brnoulliho pousch n Poissonov procsu lz ní logicou souvislos zorznou n náslduícím orázu. DISKRÉTNÍ PROCES BODOVÝ PROCES VE SPOJ. ASE Brnoulliho pousy Poissonv procs Binomicá náhodná vliin po úspch v n pousch Poissonov náhodná vliin po událosi v sovém inrvlu dély Gomricá náh. vliin po pous do prvního úspchu Eponnciální náh. vliin do do první událosi do mzi událosmi Ng. in. náhodná vliin po pous do -ého úspchu Erlngov náhodná vliin do do -é událosi

17 šný píld: Pdpoládm, ž do do poruchy uriého sysému modlován Wiullovým rozdlním s linárn rosoucí innziou poruch. 5 Já innzi poruch sysému po dsi hodinách func? Já prvdpodonos, ž sysém ud prcov z poruchy hm poáních hodin? šní: X... do do poruchy, X W 5; β Hodnou prmru urím n záld poznámy, ž innzi poruch linárn rosoucí. Ocný vr innziy poruch Wiullov rozdlní : β. Θ Θ z hož vyplývá, ž. β ; X W 5; > ; Θ > ; β > d Hldnou innziu poruch urím doszním do ocného vzhu:. 5 5,8 Innzi poruch dného sysému po hodinách provozu,8. T. poud yl sysém po hodin zporuchový, p prvdpodonos, ž v náslduícím vlmi ráém sovém inrvlu dod poruš,,8.. d Prvdpodonos, ž sysém ud prvních hodin zporuchový urím ps v opný, hož prvdpodonos udává disriuní func. β Θ F ; > ; Θ > ; β > P X > F, 8 Prvdpodonos, ž dný sysém ud prvních hodin zporuchový,8%

18 Výld: 6.6 Normální rozdlní Normální rozdlní ndlžiším prvdpodonosním rozdlním, popisuícím chování vlého množsví náhodných v v chnic, pírodních vdách i onomii. Klsicým píldm ohoo rozdlní rozdlní náhodných chy vznilých pi mní né vliiny žnosi,5 plcových ru. Pi opovném mní éž vliiny z sných podmín zpsouí náhodné novlivnilné vlivy odchyly od suné hodnoy mné vliiny. Lz íci, ž normální rozdlní vhodným prvdpodonosním modlm hdy, psoí-li n olísání náhodné vliiny vlý po nprných vzámn nzávislých vliv. Znný význm normálního rozdlní spoívá rovnž v om, ž z uriých podmín lz pomocí n proimov du iných spoiých i nspoiých rozdlní. Normální rozdlní má dv prmry: sdní hodnou, chrrizuící polohu ohoo rozdlní rozpyl, chrrizuící rozpýlní hodno olm sdní hodnoy. POZOR! V nglosssé liru v nrých sisicých pch sou o prmry normálního rozdlní uvádny sdní hodno smrodná odchyl. Normální rozdlní huso prvdpodonosi dnomodální rozdlní, symricé olm sdní hodnoy. Sdní hodno rovn modu mdiánu. Náhodná vliin X, ž s rímo rozdlním ídí, mž nýv liovolné hodnoy z R. Kiv husoy prvdpodonosi Gussov iv má zvonoviý vr s mimm v sdní hodno šíou úmrnou smrodné odchylc. To, ž s náhodná vliin X ídí normálním rozdlním s sdní hodnoou rozpylm zpisum: Huso prvdpodonosi: X N µ; f π µ ; < < Disriuní func: F π µ d - 7 -

19 Sdní hodno: EX µ Rozpyl: DX Grficé znázornní husoy prvdpodonosi disriuní func: Vliv n ivu husoy prvdpodonosi Vliv n ivu husoy prvdpodonosi - 7 -

20 Výpo disriuní func nlyicy nmožný proo s využívá možnosi vyádi disriuní funci normální náhodné vliiny pomocí disriuní func normovné náhodné vliiny,. normální náhodné vliiny s prmry,. Disriuní func normovné náhodné vliiny piom lován. Viz Normovné sndrdizovné normální rozdlní J iž sm s zmínili, d o spciální yp normálního rozdlní s sdní hodnoou rovnou nul dnoovým rozpylm. To, ž má náhodná vliin Z ovylé znní pro uo náhodnou vliinu normovné normální rozdlní, zním: Z N ; Dlžios ohoo rozdlní uzu i nsndrdní znní pro disriuní funci husou prvdpodonosi. Huso prvdpodonosi: ϕ ; π < < Disriuní func: Φ π d Sdní hodno: EZ Rozpyl: DZ Grficé znázornní husoy prvdpodonosi disriuní func:

21 Urní disriuní func :,45,4,35,3,5 -,,5 -,, Huso prvdpodonosi normovného normálního rozdlní symricá olm plí pro ni dy: ϕ z ϕ z; < z < A op z symri dosávám pro disriuní funci viz. výš uvdný oráz: Φ z Φ z; < z < Zárov lz doáz, ž pro vnily normovného normálního rozdlní plí vzh: z p z p Dlžios ohoo rozdlní spoívá zmén v om, ž ho disriuní func lován viz. píloh Tuly. V ulách ndm disriuní funci normovného normálního rozdlní pro z, pro z < urím disriuní funci n záld pvodního vzhu mzi z -z. šný píld: Ur:,54 -,4 c z,75 d z,5-74 -

22 šní: d Píslušnou disriuní funci nlznm v Tulc : V prvním sloupci uvdn rgumn disriuní func s psnosí n dno dsinné míso,5, idnifiáor druhého sloupc udává druhé dsinné míso rgumnu 4. Φ,54,75 d Pro nlzní disriuní func záporného rgumnu musím použí pvodní vzh: Φ z Φ z; < z < V nšm pípd: Φ,4 Φ,4 Φ,4,99 Φ,4,8 dc Pro urní p%-ního vnilu s musím pousi ní p v ádru uly uri pro n píslušnou hodnou z p. V nšm pípd: Φ z p p Φ z z,75,75,75,67 dd V Tulc nlznm hodnoy 5 ž %-ních vnil. Pro nlzní ž 5%- ních vnil musím použí pvodní vzh mzi vnily, rý si ímo odvodím: Φ z Φ z Φ z p p p z p; p Φ z p z p p Φ z p p V nšm pípd: z,5 v Tulc nnlznm. z z,5,5 z, 75 Nlznm z,75 : Φ z z,75,75,75,67 Urím z,5: z z, 67,5,

23 Výld: 6.7. Sndrdizc normálního rozdlní J sm iž uvdli výš, disriuní funci normální náhodné vliiny ndoážm nlyicy nléz proo pro í urní používám disriuní func normovné sndrdní normální náhodné vliiny. Nch: X N µ; P dfinum náhodnou vliinu Z: µ Z X Náhodná vliin Z má normovné normální rozdlní, N ; Z. Mzi disriuní funci normální normovné normální náhodné vliiny plí no pvodní vzh: µ F Φ Dz: F P X < P µ µ Z µ < P Z < Φ šný píld: Nch náhodná vliin X má normální rozdlní s sdní hodnoou smrodnou odchylou 5. Ur: F7,75 c,3 šní: X N ;5 µ ;

24 d Disriuní funci normální náhodné vliiny urím pomocí sndrdizc: µ F Φ 7 F7 Φ Φ 5 F7 Φ F7,76 F7,74,6,6 viz. Tul d Posup pi urní horního vrilu náslduící op využim sndrdizc: F,75,75 Φ,75 5,75,67 5,75 5,67 3,35,75,75 viz. Tul dc Ponud odlišný posup musím použí pro nlzní 3%-ního vnilu: F Φ,3,3,3,3 5 V éo fázi vš š nmžm použí Tulu, proož v ádru uly s nchází pouz hodnoy,5 ž,. A proo rovnici uprvím do vhodnšího vru:,3 Φ,3 5,3 Φ,3 5,3 Φ,

25 A nyní iž uly mžm použí:,3 Φ,7 5,3,55 5,3 5,55 7,375,3 viz. Tul Výld: 6.7. Prvidlo 6 Prvidlo 6 dním z záldních princip n nichž soí onrol vliy osi SPC Sisiics Procss Conrol, ISO normy. Too prvidlo íá, ž mám-li d pocházící z normálního rozdlní o prmrch, hodnoy normální náhodné vliiny X, X N µ,, p ém všchn 99,8% z nich lží v inrvlu µ ± 3. Proož dél ohoo inrvlu 6, hovoí s o prvidl šsi sigm. Dz: X N µ, µ X Chcm doáz, ž: P 3 < < 3, 998 µ L : P : P µ 3 < X < µ 3 F µ 3 F µ 3 Φ,998,998 Φ 3 Φ 3 Φ 3 [ Φ 3 ] Φ 3 µ 3 µ µ 3 µ Φ,999 L P šný píld: Snovm prvdpodonos, ž náhodná vliin X mící rozdlní µ, hodnoy z inrvlu µ µ ; pro dné ldné. N nud

26 šní: Pro >: P µ < X < µ F µ F µ Φ Φ µ µ µ Φ Φ Φ [ Φ ] Φ µ Náslduící ul uvádí hodnoy éo prvdpodonosi pro nré hodnoy : P µ < X < µ,683,64,9,96,95,58,99 3,998 Výld: Násro ovní normliy Normli hlvním pdpoldm o dch v drivé všin nlýz s prmricé sy, Shwhrovy rgulní digrmy, indy zpsoilosi. Jd o pdpold, ž d pochází z normálního rozdlní. Ovní normliy nzyný ro pd ždou zodpovdnou nlýzou dnorozmrných d. Grficé znázornní vizuální posouzní uživl musí mí lspo minimální znlosi o onsruci používání dignosicých plororních grf. Nsi s používá Q-Q grf, ádrové odhdy husoy, pop. ruhový grf. Q-Q grf Jd o grf pro dignosiu normliy odlhlých pozorování. N os sou vynsny oricé vnily normálního rozdlní, n os y sou výrové vnily onsruovné pímo z d viz. Eplororní nlýz. Pro normální d z odlhlých pozorování má grf vr pímy; pro normální d s odlhlými pozorovními má vr pímy s oncovými ody lžícími mimo uo pímu; pro sysmicy sšimná d s ldnou šimosí np. rozdlní lognormální,

27 ponnciální má nlinární onvní vr. Pro sysmicy sšimná d s zápornou šimosí má nlinární onávní vr. Pro d s vyšší špiosí nž odpovídá normálnímu rozdlní, dy s vysoou oncnrcí d olm sdní hodnoy np. Lplcovo rozdlní má vr onávn-onvní. Pro d s nižší špiosí nž odpovídá normálnímu rozdlní, dy s mlou oncnrcí d olm sdní hodnoy np. rovnomrné rozdlní má vr onvn-onávní. Proi sisiám má QQ-grf výhodu v možnosi vizuáln posoudi, zd nlinri zpson n noli ody, no všmi dy. Odhd husoy Porovnání prhu husoy prvdpodonosi normálního rozdlní plná ár s ádrovým odhdm husoy vypoíným n záld d prušovná ár. V pípd normliy všího množsví d sou si o ivy lízé. Kruhový grf Slouží omplnímu vizuálnímu posouzní normliy n záld ominc šimosi špiosi. Zlný ruh lips opimální vr pro normální rozdlní, rný ruh pdsvu d. V pípd normálních d s o ivy ém ryí. Uáz výsupu sisicý sofwr QC. Epr.5: - 8 -

28 Sisicé sy o normli Pro ovní oho, zd d lz povžov z výr z normálního rozdlní s používá mnoho druh sisicých s udm s zýv pozdi. Pro píld uvm s doré shody Goodnss of Fi Ts sy zložné n hodno odhdu šimosi špiosi. 6.8 Logrimico-normální rozdlní Jsliž má náhodná vliin Y, Y ln X, normální rozdlní s prmry, p náhodná vliin X má logrimico-normální rozdlní s snými prmry, což zpisum: X LN µ; Z dfinic zmé, ž náhodná vliin s logrimico-normálním rozdlním mž nýv pouz ldných hodno dfininí oor ln. Proo nchází uplnní pi popisu náhodných vliin nývících pouz ldných hodno o zmén v pípdch, dy huso prvdpodonosi symricá šimos nní nulová s dním vrcholm. Znný význm ohoo rozdlní dy ncházím v orii spolhlivosi rzné prmry souás nýví pouz ldných hodno živonos, rozmry, žnos, v onomii pi popisu pím pímová rozdlní. Huso prvdpodonosi: f π ln µ ; pro > pro Disriuní func: Disriuní funci log.-normálního rozdlní nlznm prosdnicvím disriuní func normovného normálního rozdlní. F ln - µ Φ ; pro > pro µ Sdní hodno: EX µ Rozpyl: DX p%-ní vnil: p µ z p, d z p p%-ní vnil normovného normálního rozdlní - 8 -

29 Grficé znázornní husoy prvdpodonosi disriuní func: X pím zmsnnc isé firmy X LN.;4. Pi pricém používání ohoo rozdlní posupum, ž náhodnou vliinu X ndív pvdm n Y ln X poom iž posupum sn o u normálního rozdlní. Prvodc sudim: A op zd mám psáž pro zámc: Odvozní disriuní func logrimico-normálního rozdlní: Nch: X LN Y ln X µ ; Y N µ ; F X rsp. F Y y disriuní func náhodné vliiny X rsp. Y > : : F P X F X Y X < P < P Y < ln F ln Y ln µ Φ Odvozní husoy prvdpodonosi logrimico-normálního rozdlní: f X huso prvdpodonosi náhodné vliiny X - 8 -

30 > : f X ln µ dφ dfx ln µ ϕ d d π ln µ π ln µ X : f Odvozní vzhu pro výpo p%-ního vnilu: P X < F p p p p p ln p µ Φ p ln p µ z p ln p z p µ µ z p Φ z p p šný píld: Nch X náhodná vliin s logrimico-normálním rozdlním s prmry: ; 9. Ur: prvdpodonos, ž náhodná vliin X z inrvlu ;3 mdián dného rozdlní c sdní hodnou rozpyl náhodné vliiny X šní: X LN ;9 d Prvdpodonos, ž náhodná vliin X z inrvlu ;3 mžm urov rovnž o prvdpodonos, ž náhodná vliin X mnší nž 3, no log.-normální náhodná vliin mž nýv pouz ldných hodno. Pipomm si posup pi urování disriuní func log.-normální náhodné vliiny:

31 F ln - µ Φ ; pro > pro A nyní iž pdm urní hldné prvdpodonosi: P ln 3 < X < 3 F 3 F Φ Φ,47, 68 no P < X < 3 P X < 3 F 3 Φ Φ,47, 68 9 ln 3 d Pro urní mdiánu mžm použí vzh pro p%-ní vnil, rý yl odvozn v Prvodci sudim: 9 p µ z p viz. z,5 Tul 9 7, 4,5 dc Sdní hodnou rozpyl urím n záld výš uvdných vzh: EX µ EX , DX µ DX 3,6 Shrnuí: Jdním z záldních spoiých rozdlní prvdpodonosi rozdlní rovnomrné rngulární n inrvlu ;. Názv rozdlní Rovnomrné n ; Popis Huso prvdpodonosi EX DX f n ; onsnní, ind nulová ; f ind

32 Náslduící i rozdlní sou zložn n Poissonovsém procsu,. n pdpoldu, ž dnolivé událosi nsáví nzávisl n so, s onsnní rychlosí výsyu. To rozdlní s používí všinou pro popis náhodné vliiny dfinovné o do do -é událosi poruchy, pop. do mzi událosmi poruchmi. Názv rozdlní Eponnciální Popis do do první událosi, do mzi událosmi popisu pouz odoí silního živo Huso prvdpodonosi, Disriuní func, innzi poruch EX f ; > ; > - F - ; > ; > ons.; > ; > Erlngovo do do -é událosi f ;! F Wiullovo do do první událosi poruchy vhodná vol umož- u použií v liovolném odoí innziy poruch! β f Θ Θ!! β F β Θ β Θ β β. Θ Θ > ; Θ > ; β > > DX Ndlžiším prvdpodonosním rozdlním popisuícím chování vlého množsví náhodných v v chnic, onomii i v pírodních vdách rozdlní normální, hož prmry sou sdní hodno rozpyl, ho spciální yp rozdlní normovné normální s prmry. Názv rozdlní Normovné normální Vlsnosi disriuní func z lovná, huso prvdpodonosi sudá func Gussv loou Huso prvdpodonosi, Disriuní func ϕ ; π Φ π < < d EX DX Normální disriuní funci urum pomocí sndrdizc normální náhodné vliiny f π µ ; < < µ F Φ F π µ d

33 V SPC spolhlivos os, sisicá onrol osi s p vlmi so používá mod 6 sigm. Pi popisu náhodných vliin nývících pouz ldných hodno o zmén v pípdch, dy huso prvdpodonosi symricá používám logrimico-normální rozdlní. Názv rozdlní Logrimiconormální Vlsnosi Huso prvdpodonosi EX DX disriuní funci urum pvodm n disriuní funci normovného normálního rozdlní F ln - µ Φ ; pro > pro f π ln µ ; pro > pro µ µ

34 Oázy. Odvo disriuní funci rovnomrného rozdlní.. Popiš ponnciální rozdlní ho význné vlsnosi huso prvdpodonosi, disriuní func, innzi poruch, rozdlní z pmi 3. Dfinu Erlngovu náhodnou vliinu 4. Dfinu Wiullovu náhodnou vliinu rozr í použií v závislosi n prmru vru 5. Popiš souvislos mzi rozdlními disréní náhodné vliiny zložnými n Brnoulliho pousch náhodné vliiny zložnými n Poissonov procsu 6. Dfinu normální náhodnou vliinu popiš í použií vn nlzní disriuní func, sndrdizc, prvidl 6 sigm 7. Odvo mdián ponnciální náhodné vliiny. 8. Odvo dolní vril ponnciální náhodné vliiny. 9. Odvo innziu poruch Wiullov rozdlní.. Ur mdián %-ní vnil náhodné vliiny s ponnciálním rozdlním s sdní hodnoou s

35 Úlohy šní. Do vyprcování su má normální rozdlní s sdní hodnoou 6minu smrodnou odchylou minu. Koli % sudn dooní s do hodiny vr? Já do y ml ý snovn, y s doonilo prmrn 95% sudn?. Výroní zízní má poruchu v prmru dnou z hodin. Já prvdpodonos, ž písro ud prcov dél nž 55 hodin? 3. Živonos žárovy má ponnciální rozdlní s sdní hodnoou 4h. S ou prvdpodonosí ud žárov svíi dlších hodin, sliž iž svíil 6 hodin? 4. Odhdum, ž sdní živonos uriého písro dn. S ou prvdpodonosí ud živonos náhodn vyrného písro mzi 5 dny? 5. Pi onrol osi pírám souásu pouz hdy, sliž s í rozmr pohyu v mzích 6-7mm. Rozmry souás mí normální rozdlní s sdní hodnoou 6,4mm smrodnou odchylou,mm. Já prvdpodonos, ž rozmr souásy náhodn vyrné onrol ud v poždovných mzích? 6. Prmrná do mzi pízdy náldních uomoil s onovou smsí minu. Já prvdpodonos, ž do mzi pízdy dvou vozidl ud rší nž 7 minu? 7. Firm zísá z ždého prodného výrou,-k. Z výmnu hm záruní lhy zplí 3,-K. Živonos výrou v lch má normální rozdlní N3;. Jou záruní dou v msících má firm snovi, y sdní prmrný zis yl lspo 6,- K/výro? 8. Do do vyií ri s ídí ponnciálním rozdlním. Já sdní do do vyií, vím-li, ž 4 hodin pži % cho rií? J-li sdní do do vyií 3.5 hodin, oli procn cho rii pži 4 hodin? 9. Chyu pi mní urié vliiny modlum normálním rozdlním s nulovou sdní hodnoou s rozpylm,5. Ur inrvl soumrný podl poáu, v rém s ud ncház chy v 9% mní.. Osh niso v odpdních vodách popsán normálním rozdlním s sdní hodnoou,8 smrodnou odchylou,3. Vypo: procno zouš, pi rých osh niso proí hodnou,4. hodnou oshu niso, rá ud pron v % zouš

36 šní:.,933 93,3% hodin 7 minu 55.,76 76% 4 3.,779 77,9% 5 4.,47 4,7% 5.,976 97,6% 7 6.,53 5,3% 7. T,89 l T msíc hodin,8 8,% 9. P, < X <,, 9.,3,3%,5-89 -