6 SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět:

Transkript

1 6 SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Čs sudiu ioly: minu Cíl: Po rosudování ohoo odsvc ud umě: chrrizov dnolivé yy soiých rozdělní: rovnoměrné, onnciální, Erlngovo, Wiullovo, normální, normovné normální, logrimico-normální os vzámnou souvislos mzi rozdělními v disréním rocsu v odovém rocsu v soiém čs

2 Výld: V řdcházící iol sm s věnovli rozdělním oisuícím disréní náhodnou vličinu, nyní řcházím oisu soié náhodné vličiny. Zoum si, ž rozdělní soié náhodné vličiny dáno disriuční funci, oř. husoou rvděodonosi. A nyní řděm římo něrým sciálním rozdělním. 6. Rovnoměrné rozdělní Již dřív, v něrém z řdchozích řšných říldů, sm s sli s rovnoměrným rngulárním rozdělním. Jd o rozdělní, hož huso rvděodonosi onsnní n něém inrvlu ; všud ind nulová. X náhodná vličin s rovnoměrným rozdělním n inrvlu ; X R ; Huso rvděodonosi: Disriuční func: f F - - ind ; ; - ; ; Sřdní hodno: Rozyl: EX DX Grficé znázornění husoy rvděodonosi disriuční func rovnoměrného rozdělní n inrvlu ; - 6 -

3 Průvodc sudim: J sm řišli n o, ž huso rvděodonosi rovnoměrného rozdělní dfinován o: f ind ;? Odvozní: Uvdli sm si, ž rovnoměrné rozdělní n inrvlu onsnní n dném inrvlu všud ind nulová. ; ové, hož huso Z oho vylývá, ž vzh ro husou rvděodonosi můžm zs v vru: Zývá nám nléz onsnu c: c ; f, d c R ind f d f d cd c c c c A roo: f ind ; Odvozní disriuční func rovnoměrného rozdělní ; F ; F d d d - 6 -

4 - 6 - Výld: ; d d d F Odvozní sřdní hodnoy rozylu: d EX d f EX d EX d f EX n DX EX EX DX 6. Eonnciální rozdělní Měm Poissonův rocs,. v určiém čsovém inrvlu s s onsnní rychlosí výsyu λ ovuí událosi, ré sou n soě nzávislé nř. dorvní nhody n Mrinovsé řižovc, říchody zázníu do surmru, d.. P vhodným rozdělním ro ois doy do výsyu rvní událosi, oř. doy mzi událosmi onnciální rozdělní. Too rozdělní úzc souvisí s Poissonovým rozdělním. Jsliž oiž Poissonovo rozdělní oisovlo oč něých událosí v čsovém inrvlu, onnciální rozdělní s oužívá oisu doy do výsyu říslušné událosi. Nř. oč dorvních nhod n Mrinovsé

5 řižovc z určiý čsový inrvl s oisu Poissonovým rozdělním, zímco dou od dné nhody do druhé lz oisov onnciálním rozdělním. X= do mzi událosmi Čs výsyu událosi X má onnciální rozdělní Oě o rozdělní shráví důlžiou roli v orii solhlivosi. Čsé lic sou éž v orii hromdné osluhy ori fron, d s omocí onnciálního rozdělní modlu do čání v froně. To, ž náhodná vličin X má onnciální rozdělní s rmry A λ udm zisov: X E A; Huso rvděodonosi ohoo rozdělní má vr: f - -A ; A; AR; Prmr A s čso inrru o zv. rmr osunuí rozdělní n os. Vlmi čso s ři licích sávám s "nosunuým" onnciálním rozdělním, ro ré A=. My s ndál udm zýv ouz ímo nosunuým onnciálním rozdělním. To, ž náhodná vličin X má onnciální rozdělní s rmry A= λ udm zisov: X E P s vr husoy rvděodonosi oněud zdnoduší: f ; ; Disriuční func náhodné vličiny s onnciálním rozdělním Eλ: F - - ; ; Innzi oruch náhodné vličiny s onnciálním rozdělním Eλ: ons.; ; Sřdní hodno: EX

6 Rozyl: DX Grficé znázornění husoy rvděodonosi disriuční func onnciálního rozdělní 6.. Eonnciální rozdělní = rozdělní z měi Eonnciální rozdělní ývá nědy nzýváno "rozdělní z měi". Tno názv znmná, ž: P X X X ; ; P Co si řdsvi od ímo vzhm? Povžum onnciální náhodnou vličinu X z dou do oruchy něého zřízní. P rvděodonos, ž zřízní, ré rcovlo z oruchy o dou, ud rcov z oruchy šě lsoň o dou, rovn rvděodonosi, ž zřízní, ré dosud nylo v rovozu, ud rcov lsoň o dou. oruch + oruch X do do oruchy

7 Zdá s o y oo zřízní "zomnělo" n dřív odrcovnou dou. Povžovli-li ychom dou do oruchy Všho monioru z onnciální náhodnou vličinu, rvděodonos, ž s Váš monior orouchá z víc nž hodin od éo chvíl, y ni nzávisl n ho sáří doě ho řdcházícího rovozu. To vlsnos vysvělu oužií onnciálního rozdělní v orii solhlivosi. Eonnciální rozdělní oisu doř rozdělní doy živo zřízní, u rých dochází oruš z zcl náhodných říčin nioliv v důsldu oořní mchnicé oořní, únv mriálu od.. Zárovň o vlsnos onnciálního rozdělní vysvělu roč ho innzi oruch onsnní nní závislá n délc řdcházícího rovozu zřízní. Má-li do do výsyu událosi onnciální rozdělní, informc o om, ž událos nnsl o dou, nmění rvděodonos výsyu událosi v náslduícím odoí dély. Průvodc sudim: A oě řichází sáž věnován zámcům o mmicé ozdí oužívných vzhů: Odvozní disriuční func onnciálního rozdělní Poisum náhodnou vličinu X. X... do do výsyu událosi do mzi událosmi v Poissonově rocsu, X E Dfinum si náhodnou vličinu N o: N... oč výsyu událosi v čsovém inrvlu ;, N Po N záldě logicé úvhy, ré nomůž náslduící oráz, můžm vrdi, ž náslduící vy sou vivlnní: N... v čsovém inrvlu ; dod lsoň dnomu výsyu událosi X... do mzi událosmi do do rvní událosi mnší nž

8 Což můžm zs náslduící formou: X N N záldě výš uvdné vivlnc vů můžm zs i říslušné vzhy ro ich rvděodonosi z nich odvodi disriuční funci náhodné vličiny X doy do výsyu událosi ; ;! F F N P F N P F N P X P Odvozní husoy rvděodonosi onnciálního rozdělní Husou rvděodonosi odvodím z řvodního vzhu mzi husoou disriuční funcí: ; f d df f Odvozní innziy oruch onnciálního rozdělní Innziu oruch odvodím z dfiničního vzhu: X... do mzi událosmi do výsyu událosi

9 EX F F f., ; Odvozní sřdní hodnoy rozylu lim lim lim lim d d d d v u v u d d f X E lim lim lim lim lim lim lim lim d v u v u d d d d d v u v u d d f X E EX EX DX

10 Náslduící grf ilusru něré říldy husoy rvděodonosi ro různé hodnoy rmru λ. Soí z ovšimnuí, ž vr husoy odoný o vr rvděodonosní func gomricého rozdělní. Eonnciální rozdělní soiým vivlnm disréního gomricého rozdělní rvděodonosi. λ Řšný říld: Výroc žárovy XX ví, ž růměrná živonos žárov XX. h. V rámci své rogční mně chc grnov dou T, do níž s nsálí víc nž 3% žárov. Urč uo dou. Řšní: X... živonos žárovy do do oruchy má onnciální rozdělní Určím rmr λ: X E EX EX. h 4 h N záldě zdné rvděodonosi ndm dou T:

11 P F X T,97 T T ln,97 T,3,3,3 T T 4 ln,97 T 34 h Výroc můž vrdi, ž víc nž 97% žárov má živonos dlší nž 34 hodin. Výld: 6.3 Erlngovo rozdělní Určiým zocněním onnciální náhodné vličiny do do rvní oruchy náhodná vličin s Erlngovým rozdělním, rá oisu dou do výsyu -é událosi v Poissonově rocsu. Erlngovo rozdělní sciálním ym zv. Gmm rozdělní ro z množiny clých čísl. Tno vzh vhodné zná, chcm-li nlzní disriuční func, oř. husoy rvděodonosi ouží sisicý sofwr něré sisicé y mí imlmnováno ouz Gmm rozdělní hodnoy Erlngov rozdělní zísám doszním říslušných rmrů. Erlngovo rozdělní má dv rmry: oč událosi rmr vru, sh, α v Gmm rozdělní, nimž má doí rychlos výsyu ěcho událosi λ rmr měří, scl, β v Gmm rozdělní. Má-li náhodná vličin X Erlngovo rozdělní, znčím o o: X Erlng,

12 X = do do výsyu.událosi n or. = 4 Čs výsyu X má Erlngovo rozdělní Náhodnou vličinu s Erlngovým rozdělním si můžm řdsvi o souč nzávislých onnciálních náhodných vličin do do výsyu -é událosi součm do mzi -ou. událosi,.. událosi,..., -.. událosi. Pro Erlngovo rozdělní s rmry λ lí yo vzhy: Huso rvděodonosi: Disriuční func: f F ;!! Innzi oruch: Sřdní hodno: EX!! Rozyl: DX - 7 -

13 Grf innziy oruch Erlngov rozdělní ro λ = ; = 3; 5; 7 Erlngovo rozdělní λ,8,6,4, =3 =5 =7 5 5 Innzi oruch λ v řídě Erlngov rozdělní rosoucí func roo oo rozdělní vhodné ro modlování rocsů sárnuí. Průvodc sudim: Náslduící sáž znovu určn ro zámc o mmicé ozdí oužívných vzhů. Odvozní disriuční func Erlngov rozdělní Měm: X... do do výsyu -é událosi v Poissonově rocsu, X Erlng ; N... oč výsyu událosi v čsovém inrvlu ;, N Po Plí, ž v čsovém inrvlu ; nsn lsoň událosi rávě dyž do do výsyu -é událosi mnší nž. N X Z éo vivlnc lz odvodi disriuční funci Erlngov rozdělní. F P X P N PN!! Odvozní husoy rvděodonosi Husou rvděodonosi zísám drivcí disriuční func: - 7 -

14 - 7 -!!!!!!!!!!! d df f Odvozní innziy oruch!!!!!!!!!! F f Odvozní sřdní hodnoy rozylu Měm: X... do do výsyu -é událosi v Poissonově rocsu, ; X Erlng X... do do výsyu událosi v Poissonově rocsu, E X J zřmé, ž Erlngov náhodná vličin s rmry ; λ součm onnciálních vličin s rmrm λ: i X X i

15 Z vlsnosí sřdní hodnoy vím, ž sřdní hodno souču náhodných vličin rovn souču ich sřdních hodno: EX EX i i Jdnolivé onnciální náhodné vličiny sou nzávislé roo éž rozyl souču náhodných vličin rovn souču ich rozylů: DX DX i i N náslduícím orázu sou říldy husoy Gmm rozdělní ro = různé hodnoy. Poznmnm, ž s rosoucím ros rozyl ohoo rozdělní oficin šimosi s řiližu nul rozdělní víc symricé. Výld: 6.4 Wiullovo rozdělní Wiullovo rozdělní vlmi fliilní díy rmru β roo s ím zmén v orii solhlivosi oisuí soié náhodné vličiny dfinovné o do do oruchy do zoruchovosi. Používá s zmén ři oisu omonn, ré sou v odoí rnných oruch no v odoí sárnuí. m d s rovu mchnicé oořní no únv mriálu. Wiullovo rozdělní má dv rmry: Θ rmr měří scl, Θ >, závisí n mriálu, nmáhání odmínách užívání β rmr vru sh, β >, n ho hodnoě závisí vr innziy oruch ím i vhodnos oužií ro určié odoí doy živo. Má-li náhodná vličin X Wiullovo rozdělní, znčím o o: X W,

16 Disriuční func: F ; ; ; Huso rvděodonosi: f ; ; ; Innzi oruch:. ; ; ; Z vzhu ro innziu oruch Wiullov rozdělní zřmé, ž: ons. roo vr innziy oruch závisí n volě rmru β. Něré říldy innziy oruch Wiullov rozdělní Θ=: λ β=,5 β=, β=,5 β=, 3 4 β=,5 Všimněm si, ž ro β=, řd Wiullovo rozdělní v rozdělní onnciální onsnní innzi oruch s rmrm. W ; E

17 Z výš uvdného grfu rovněž zřmé oužií Wiullov rozdělní v závislosi n rmru β: odoí děsých nmocí λ... lsící func odoí silního živo ons.. rozdělní odoí sárnuí λ... onávní, rosoucí func odoí sárnuí λ... linárně rosoucí func odoí sárnuí λ... onvní, rosoucí func 6.5 Souvislos mzi rozdělními Mzi mnohými dosud rornými rozdělními zložnými n Brnoulliho ousch n Poissonově rocsu lz ní logicou souvislos zorznou n náslduícím orázu. DISKRÉTNÍ PROCES BODOVÝ PROCES VE SPOJ. ČASE Brnoulliho ousy Poissonův rocs Binomicá náhodná vličin oč úsěchů v n ousch Poissonov náhodná vličin oč událosi v čsovém inrvlu dély Gomricá náh. vličin oč ousů do rvního úsěchu Eonnciální náh. vličin do do rvní událosi do mzi událosmi Ng. in. náhodná vličin oč ousů do -ého úsěchu Erlngov náhodná vličin do do -é událosi

18 Řšný říld: Přdoládm, ž do do oruchy určiého sysému modlován Wiullovým rozdělním s linárně rosoucí innziou oruch. Θ =5 Já innzi oruch sysému o dsi hodinách func? Já rvděodonos, ž sysém ud rcov z oruchy ěhm očáčních hodin? Řšní: X... do do oruchy, X W5; Hodnou rmru β určím n záldě oznámy, ž innzi oruch linárně rosoucí. Ocný vr innziy oruch Wiullov rozdělní :. z čhož vylývá, ž β =. ; X W 5; ; ; d Hldnou innziu oruch určím doszním do ocného vzhu:. 5 5,8 Innzi oruch dného sysému o hodinách rovozu,8. T. oud yl sysém o hodin zoruchový, rvděodonos, ž v náslduícím vlmi ráém čsovém inrvlu Δ dod oruš,,8.δ. d Prvděodonos, ž sysém ud rvních hodin zoruchový určím řs v očný, hož rvděodonos udává disriuční func. F ; ; ; P X F, 8 Prvděodonos, ž dný sysém ud rvních hodin zoruchový,8%

19 Výld: 6.6 Normální rozdělní Normální rozdělní ndůlžiěším rvděodonosním rozdělním, oisuícím chování vlého množsví náhodných vů v chnic, řírodních vědách i onomii. Klsicým říldm ohoo rozdělní rozdělní náhodných chy vznilých ři měřní něé vličiny žnosi,5 lcových ru. Při oovném měřní éž vličiny z sných odmín zůsouí náhodné novlivnilné vlivy odchyly od sučné hodnoy měřné vličiny. Lz říci, ž normální rozdělní vhodným rvděodonosním modlm hdy, ůsoí-li n olísání náhodné vličiny vlý oč nrných vzámně nzávislých vlivů. Znčný význm normálního rozdělní sočívá rovněž v om, ž z určiých odmín lz omocí ně roimov řdu iných soiých i nsoiých rozdělní. Normální rozdělní má dv rmry: μ sřdní hodnou, chrrizuící olohu ohoo rozdělní σ rozyl, chrrizuící rozýlní hodno olm sřdní hodnoy. POZOR! V nglosssé liruř v něrých sisicých ch sou o rmry normálního rozdělní uváděny sřdní hodno μ směrodná odchyl σ. Normální rozdělní huso rvděodonosi dnomodální rozdělní, symricé olm sřdní hodnoy μ. Sřdní hodno rovn modu mdiánu. Náhodná vličin X, ž s rímo rozdělním řídí, můž nýv liovolné hodnoy z R. Křiv husoy rvděodonosi Gussov řiv má zvonoviý vr s mimm v sřdní hodnoě šířou úměrnou směrodné odchylc. To, ž s náhodná vličin X řídí normálním rozdělním s sřdní hodnoou μ rozylm σ zisum: X N ; Huso rvděodonosi: f ; Disriuční func: F d

20 Sřdní hodno: Rozyl: EX DX Grficé znázornění husoy rvděodonosi disriuční func: μ μ Vliv μ n řivu husoy rvděodonosi Vliv σ n řivu husoy rvděodonosi

21 Výoč disriuční func nlyicy nmožný roo s využívá možnosi vyádři disriuční funci normální náhodné vličiny omocí disriuční func normovné náhodné vličiny,. normální náhodné vličiny s rmry μ =, σ =. Disriuční func normovné náhodné vličiny řiom lován. Viz Normovné sndrdizovné normální rozdělní J iž sm s zmínili, d o sciální y normálního rozdělní s sřdní hodnoou rovnou nul dnoovým rozylm. To, ž má náhodná vličin Z ovylé znční ro uo náhodnou vličinu normovné normální rozdělní, znčím: Z N Důlžios ohoo rozdělní uzu i nsndrdní znční ro disriuční funci Φ husou rvděodonosi φ. ; Huso rvděodonosi: ; Disriuční func: d Sřdní hodno: EZ Rozyl: DZ Grficé znázornění husoy rvděodonosi disriuční func:

22 Urční disriuční func Φ:,45,4,35,3,5 Φ-,,5 -Φ,, Huso rvděodonosi normovného normálního rozdělní symricá olm lí ro ni dy: z z; z A oě z symri dosávám ro disriuční funci viz. výš uvdný oráz: z z; z Zárovň lz doáz, ž ro vnily normovného normálního rozdělní lí vzh: z z Důlžios ohoo rozdělní sočívá zmén v om, ž ho disriuční func lován viz. říloh Tuly. V ulách ndm disriuční funci normovného normálního rozdělní ro z, ro z < určím disriuční funci n záldě řvodního vzhu mzi Фz Ф-z. Řšný říld: Urč: Ф,54 Ф-,4 c z,75 d z,5-8 -

23 Řšní: d Příslušnou disriuční funci nlznm v Tulc : V rvním slouci uvdn rgumn disriuční func s řsnosí n dno dsinné míso,5, idnifiáor druhého slouc udává druhé dsinné míso rgumnu 4.,54,75 d Pro nlzní disriuční func záorného rgumnu musím ouží řvodní vzh: z z; z V nšm řídě:,4,4,4,99,4,8 dc Pro urční %-ního vnilu s musím ousi ní v ádru uly urči ro ně říslušnou hodnou z. V nšm řídě: z z z,75,75,75,67 dd V Tulc nlznm hodnoy 5 ž %-ních vnilů. Pro nlzní ž 5%- ních vnilů musím ouží řvodní vzh mzi vnily, rý si ímo odvodím: z z z z ; z z z V nšm řídě: z,5 v Tulc nnlznm. z z,5,5 z, 75 Nlznm z,75 : z z,75,75,75,67 Určím z,5: z z, 67,5,75-8 -

24 Výld: 6.7. Sndrdizc normálního rozdělní J sm iž uvdli výš, disriuční funci normální náhodné vličiny ndoážm nlyicy nléz roo ro í urční oužívám disriuční func normovné sndrdní normální náhodné vličiny. Nchť: P dfinum náhodnou vličinu Z: X N ; Z X Náhodná vličin Z má normovné normální rozdělní, N; Z. Mzi disriuční funci normální normovné normální náhodné vličiny lí no řvodní vzh: F Důz: F P X P Z P Z Řšný říld: Nchť náhodná vličin X má normální rozdělní s sřdní hodnoou směrodnou odchylou 5. Urč: F7,75 c,3 Řšní: X N ;5 ; 5-8 -

25 d Disriuční funci normální náhodné vličiny určím omocí sndrdizc: F 7 F7,6 5 F7,6 F7,76 F7,74 viz. Tul d Posu ři urční horního vrilu náslduící oě využim sndrdizc: F,75,75,75 5,75 5,67 viz. Tul,75 5,67 3,35,75,75 dc Poněud odlišný osu musím ouží ro nlzní 3%-ního vnilu: F,3,3,3,3 5 V éo fázi vš šě nmůžm ouží Tulu, roož v ádru uly s nchází ouz hodnoy,5 ž,. A roo rovnici urvím do vhodněšího vru:,3,3 5,3,3 5,3,

26 A nyní iž uly můžm ouží:,3,7 5,3 5,55 viz. Tul,3 5,55 7,375,3 Výld: 6.7. Prvidlo 6σ Prvidlo 6σ dním z záldních rinciů n nichž soí onrol vliy osi SPC Sisiics Procss Conrol, ISO normy. Too rvidlo říá, ž mám-li d ocházící z normálního rozdělní o rmrch μ, σ hodnoy normální náhodné vličiny X, X N,, éměř všchn 99,8% z nich lží v inrvlu 3. Proož dél ohoo inrvlu 6σ, hovoří s o rvidl šsi sigm. Důz: X N, Chcm doáz, ž: P 3 X 3, 998 L : P : P 3 X 3 F 3 F 3, , ,999 L P

27 Řšný říld: Snovm rvděodonos, ž náhodná vličin X mící rozdělní, hodnoy z inrvlu ; ro dné ldné. Řšní: Pro >: P X F F N nud Náslduící ul uvádí hodnoy éo rvděodonosi ro něré hodnoy : P X,683,64,9,96,95,58,99 3,998 Výld: Násro ověřní normliy Normli hlvním řdoldm o dch v drivé věšině nlýz sů rmricé sy, Shwhrovy rgulční digrmy, indy zůsoilosi. Jd o řdold, ž d ochází z normálního rozdělní. Ověřní normliy nzyný ro řd ždou zodovědnou nlýzou dnorozměrných d. Grficé znázornění vizuální osouzní uživl musí mí lsoň minimální znlosi o onsruci oužívání dignosicých lororních grfů. Nčsěi s oužívá Q-Q grf, ádrové odhdy husoy, oř. ruhový grf. Q-Q grf Jd o grf ro dignosiu normliy odlhlých ozorování. N os sou vynsny oricé vnily normálního rozdělní, n os y sou výěrové vnily onsruovné římo

28 z d viz. Elororní nlýz. Pro normální d z odlhlých ozorování má grf vr římy; ro normální d s odlhlými ozorovními má vr římy s oncovými ody lžícími mimo uo římu; ro sysmicy sšimná d s ldnou šimosí nř. rozdělní lognormální, onnciální má nlinární onvní vr. Pro sysmicy sšimná d s záornou šimosí má nlinární onávní vr. Pro d s vyšší šičosí nž odovídá normálnímu rozdělní, dy s vysoou oncnrcí d olm sřdní hodnoy nř. Llcovo rozdělní má vr onávně-onvní. Pro d s nižší šičosí nž odovídá normálnímu rozdělní, dy s mlou oncnrcí d olm sřdní hodnoy nř. rovnoměrné rozdělní má vr onvně-onávní. Proi sisiám má QQ-grf výhodu v možnosi vizuálně osoudi, zd nlinri zůson n něoli ody, no všmi dy. Odhd husoy Porovnání růěhu husoy rvděodonosi normálního rozdělní lná čár s ádrovým odhdm husoy vyočíným n záldě d řrušovná čár. V řídě normliy věšího množsví d sou si oě řivy lízé. Kruhový grf Slouží omlnímu vizuálnímu osouzní normliy n záldě ominc šimosi šičosi. Zlný ruh lis oimální vr ro normální rozdělní, črný ruh řdsvu d. V řídě normálních d s oě řivy éměř ryí. Uáz výsuu sisicý sofwr QC. Er.5:

29 Sisicé sy o normliě Pro ověřní oho, zd d lz ovžov z výěr z normálního rozdělní s oužívá mnoho druhů sisicých sů udm s zýv ozděi. Pro říld uvďm s doré shody Goodnss of Fi Ts sy zložné n hodnoě odhdu šimosi šičosi. 6.8 Logrimico-normální rozdělní Jsliž má náhodná vličin Y, Y = ln X, normální rozdělní s rmry μ σ, náhodná vličin X má logrimico-normální rozdělní s snými rmry, což zisum: X LN ; Z dfinic zřmé, ž náhodná vličin s logrimico-normálním rozdělním můž nýv ouz ldných hodno dfiniční oor ln. Proo nchází ulnění ři oisu náhodných vličin nývících ouz ldných hodno o zmén v řídch, dy huso rvděodonosi symricá šimos nní nulová s dním vrcholm. Znčný význm ohoo rozdělní dy ncházím v orii solhlivosi různé rmry součás nýví ouz ldných hodno živonos, rozměry, žnos, v onomii ři oisu římů římová rozdělní. Huso rvděodonosi: f ln ; ro ro Disriuční func: Disriuční funci log.-normálního rozdělní nlznm rosřdnicvím disriuční func normovného normálního rozdělní. F ln - ; ro ro Sřdní hodno: EX Rozyl: DX %-ní vnil: z, d z %-ní vnil normovného normálního rozdělní

30 Grficé znázornění husoy rvděodonosi disriuční func: X řím změsnnců isé firmy X LN.;4. Při ricém oužívání ohoo rozdělní osuum, ž náhodnou vličinu X ndřív řvdm n Y = ln X oom iž osuum sně o u normálního rozdělní. Průvodc sudim: A oě zd mám sáž ro zámc: Odvozní disriuční func logrimico-normálního rozdělní: Nchť: X LN Y ln X ; Y N; F X rs. F Y y disriuční func náhodné vličiny X rs. Y : : F P X F X Y X P PY ln F ln Y ln Odvozní husoy rvděodonosi logrimico-normálního rozdělní: f X huso rvděodonosi náhodné vličiny X

31 Řšný říld: ln ln ln ln : X X d d d df f : f X Odvozní vzhu ro výoč %-ního vnilu: z z z z F X P ln ln ln Nchť X náhodná vličin s logrimico-normálním rozdělním s rmry: μ=; σ =9. Urč: rvděodonos, ž náhodná vličin X z inrvlu ;3 mdián dného rozdělní c sřdní hodnou rozyl náhodné vličiny X Řšní: ;9 LN X d Prvděodonos, ž náhodná vličin X z inrvlu ;3 můžm určov rovněž o rvděodonos, ž náhodná vličin X mnší nž 3, noť log.-normální náhodná vličin můž nýv ouz ldných hodno. Přiomňm si osu ři určování disriuční func log.-normální náhodné vličiny:

32 F ln - ; ro ro A nyní iž řděm urční hldné rvděodonosi: P ln 3 X 3 F3 F,47, 68 no P X 3 PX 3 F3,47, 68 9 ln 3 d Pro urční mdiánu můžm ouží vzh ro %-ní vnil, rý yl odvozn v Průvodci sudim: 9 z z,5 viz. Tul 9,5 7, 4 dc Sřdní hodnou rozyl určím n záldě výš uvdných vzhů: EX EX , DX DX 3,6-9 -

33 Shrnuí: Jdním z záldních soiých rozdělní rvděodonosi rozdělní rovnoměrné rngulární n inrvlu ;. Názv rozdělní Rovnoměrné n ; Pois Huso rvděodonosi EX DX f n ; onsnní, ind nulová ; f ind Náslduící ři rozdělní sou zložn n Poissonovsém rocsu,. n řdoldu, ž dnolivé událosi nsáví nzávisl n soě, s onsnní rychlosí výsyu. To rozdělní s oužíví věšinou ro ois náhodné vličiny dfinovné o do do -é událosi oruchy, oř. do mzi událosmi oruchmi. Názv rozdělní Eonnciální Pois do do rvní událosi, do mzi událosmi oisu ouz odoí silního živo Huso rvděodonosi, Disriuční func, innzi oruch EX f ; ; - F - ; ; ons.; ; Erlngovo do do -é událosi f ;! F Wiullovo do do rvní událosi oruchy vhodná vol β umožňu oužií v liovolném odoí innziy oruch! f!! F. ; ; DX Ndůlžiěším rvděodonosním rozdělním oisuícím chování vlého množsví náhodných vů v chnic, onomii i v řírodních vědách rozdělní normální, hož rmry sou sřdní hodno μ rozyl σ, ho sciální y rozdělní normovné normální s rmry μ= σ =

34 Názv rozdělní Normovné normální Vlsnosi disriuční func Φz lovná, huso rvděodonosi sudá func Gussův loou Huso rvděodonosi, Disriuční func ; d EX DX Normální disriuční funci určum omocí sndrdizc normální náhodné vličiny f ; μ σ F F d V SPC solhlivos os, sisicá onrol osi s vlmi čso oužívá mod 6 sigm. Při oisu náhodných vličin nývících ouz ldných hodno o zmén v řídch, dy huso rvděodonosi symricá oužívám logrimico-normální rozdělní. Názv rozdělní Logrimiconormální Vlsnosi Huso rvděodonosi EX DX disriuční funci určum řvodm n disriuční funci normovného normálního rozdělní F ln - ; ro ln ; ro f ro ro - 9 -

35 Oázy. Odvoď disriuční funci rovnoměrného rozdělní.. Poiš onnciální rozdělní ho význčné vlsnosi huso rvděodonosi, disriuční func, innzi oruch, rozdělní z měi 3. Dfinu Erlngovu náhodnou vličinu 4. Dfinu Wiullovu náhodnou vličinu rozr í oužií v závislosi n rmru vru β 5. Poiš souvislos mzi rozdělními disréní náhodné vličiny zložnými n Brnoulliho ousch náhodné vličiny zložnými n Poissonově rocsu 6. Dfinu normální náhodnou vličinu oiš í oužií včně nlzní disriuční func, sndrdizc, rvidl 6 sigm 7. Odvoď mdián onnciální náhodné vličiny. 8. Odvoď dolní vril onnciální náhodné vličiny. 9. Odvoď innziu oruch Wiullov rozdělní.. Urč mdián %-ní vnil náhodné vličiny s onnciálním rozdělním s sřdní hodnoou s

36 Úlohy řšní. Do vyrcování su má normální rozdělní s sřdní hodnoou 6minu směrodnou odchylou minu. Koli % sudnů doončí s do hodiny čvr? Já do y měl ý snovn, y s doončilo růměrně 95% sudnů?. Výroní zřízní má oruchu v růměru dnou z hodin. Já rvděodonos, ž řísro ud rcov dél nž 55 hodin? 3. Živonos žárovy má onnciální rozdělní s sřdní hodnoou 4h. S ou rvděodonosí ud žárov svíi dlších hodin, sliž iž svíil 6 hodin? 4. Odhdum, ž sřdní živonos určiého řísro dnů. S ou rvděodonosí ud živonos náhodně vyrného řísro mzi 5 dny? 5. Při onrol osi řírám součásu ouz hdy, sliž s í rozměr ohyu v mzích 6-7mm. Rozměry součás mí normální rozdělní s sřdní hodnoou 6,4mm směrodnou odchylou,mm. Já rvděodonos, ž rozměr součásy náhodně vyrné onrol ud v oždovných mzích? 6. Průměrná do mzi řízdy náldních uomoilů s onovou směsí minu. Já rvděodonos, ž do mzi řízdy dvou vozidl ud rší nž 7 minu? 7. Firm zísá z ždého rodného výrou,-kč. Z výměnu ěhm záruční lhůy zlí 3,-Kč. Živonos výrou v lch má normální rozdělní N3;. Jou záruční dou v měsících má firm snovi, y sřdní růměrný zis yl lsoň 6,- Kč/výro? 8. Do do vyií ri s řídí onnciálním rozdělním. Já sřdní do do vyií, vím-li, ž 4 hodin řži % ěcho rií? J-li sřdní do do vyií 3.5 hodin, oli rocn ěcho rii řži 4 hodin? 9. Chyu ři měřní určié vličiny modlum normálním rozdělním s nulovou sřdní hodnoou s rozylm,5. Urč inrvl souměrný odl očáu, v rém s ud ncház chy v 9% měřní.. Osh nčiso v oddních vodách osán normálním rozdělním s sřdní hodnoou,8 směrodnou odchylou,3. Vyočě: rocno zouš, ři rých osh nčiso řročí hodnou,4. hodnou oshu nčiso, rá ud řročn v % zouš

37 Řšní:.,933 93,3% hodin 7 minu 55.,76 76% 4 3.,779 77,9% 5 4.,47 4,7% 5.,976 = 97,6% 7 6.,53 5,3% 7. T,89 l T měsíc hodin,8 = 8,% 9. P, X,, 9.,3,3%,5-95 -