Vnit ní síly ve 2D - p íklad 2

Transkript

1 Vnit ní síly ve D - p íkld Orázek 1: Zt ºoví shém. Úkol: Ur ete nlytiké pr hy vnit níh sil n konstruki vykreslete je. e²ení: Pro výpo et rekí je vhodné si spojité ztíºení nhrdit odpovídjíím náhrdním emenem. Jelikoº spojité ztíºení je liho ºníkové, ylo y pro n j otíºné ur it polohu p soení náhrdního emene. Liho ºníkové ztíºení proto rozloºíme n odélníkové trojúhelníkové náhrdní emen ur íme pro kºdé z nih zvlá², viz Orázek. Pk spo ítáme vn j²í reke konstruke: : = 0 kn (1) : 11, 5 4, 5, = 0 = 73, 75 kn () : 11, 5, 5 + = 0 = 61, 5 kn (3) Ztíºení ²ikmého prutu uvedené v zdání není vztºeno n délku konstruke, le n její p dorysný pr m t. Tto situe np. odpovídá ztíºení sn hem, které je vºdy dáno n p dorysné rozm ry. Pro výpo et vnit níh sil je toto ztíºení t e p epo ítt n ztíºení vztºené n délku konstruke, tj. délku ²ikmé ásti, viz. Orázek. Vnit ní síly n ²ikmém prutu jsou stejn jko vºdy denovány vzhledem k lokálnímu sou dnému systému. To znmená, ºe normálová síl zhrnuje námáhání podél st ednie prutu, ztímo posouvjíí síl zhrnuje nmáhání kolmé ke st ednii. Proto je t e v²ehno ztíºení rozloºit do sm ru shodného se st ednií prutu kolmo n ni, viz Orázek 3: 1

2 Ve²keré p ipomínky posílejte n dresu nik@ml.fsv.vut.z! 1,5 9 = 11,5 kn 7,5 6 =,5 kn 1,5 3 5 = 7,5 kn/m m 5 m 4,5 m () () Orázek : () Náhrdní emen. ()Ztíºení n délku konstruke. f N f V α 5 m N x z V N V α f N f V α f Orázek 3: Rozkld ztíºení do sm r os lokálního sou dného systému. N = sin(α) = 61, 5 0, 8 = 49 kn (4) V = os(α) = 61, 5 0, 6 = 36, 75 kn (5) f N = f sin(α) = 7, 5 0, 8 = 6 kn/m (6) f V = f os(α) = 7, 5 0, 6 = 4, 5 kn/m (7) Pokud známe nlytiké vyjád ení pr hu ztíºení po konstruki, m ºeme ur it nlytiké vyjád ení vnit níh sil pomoí Shwedlerovy v ty integrí ztíºení: N(x) = f x (x) dx (8) V (x) = f z (x) dx (9) M(x) = V (x) dx (10) N intervlu ( ; ) tedy postupnou integrí výpo tem integr níh konstnt z okrjovýh podmínek dostneme následujíí vnit ní síly: f x (x) = f N = 6 kn/m (11)

3 Ve²keré p ipomínky posílejte n dresu nik@ml.fsv.vut.z! N(x) = f x (x) dx = 6 dx = C 1 + 6x kn (1) okr. podm. : N(x = 0) = N = 49 kn = C 1 (13) N(x) = x kn (14) f z (x) = f V = 4, 5 kn/m (15) V (x) = f z (x) dx = 4, 5 dx = C 4, 5x kn (16) okr. podm. : V (x = 0) = V = 36, 75 kn = C (17) V (x) = 36, 75 4, 5x kn (18) M(x) = V (x) dx = 36, 75 4, 5x dx = (19) = C , 75x 4, 5 x knm (0) okr. podm. : M(x = 0) = 0 knm = C 3 (1) M(x) = 36, 75x, 5x knm () Doszením do rovni (14),(18) () sndno spo ítáme vnit ní síly v ezu zlev: N (x = 5) = = 19 kn (3) V (x = 5) = 36, 75 4, 5 5 = 14, 5 kn (4) M (x = 5) = 36, 75 5, 5 5 = 17, 5 knm (5) N intervlu ( ; ) musíme nejprve nlytiky vyjád it ztíºení. Osové ztíºení f x je v tomto p ípd nulové, le vertikální ztíºení f z (x) má v tomto p ípd lineárníh pr h, hledáme tedy funk ní p edpis pro funki zorzenou n Orázku 4. Jelikoº pr h je lineární, má funk ní zápis tvr y [m] 0 1,5 7,5 0 6 x [m] Orázek 4: nlytiký pr h lineárního ztíºení. y = + x, kde p edstvuje svislý posun p ímky od po átku neo hodnotu funke v od x = 0, tj. v tomto p ípd = 1, 5, ztímo p edstvuje sklon p ímky, tj. = 7,5 6 = 1, 5. Funk ní p edpis ztíºení vnit níh sil je tedy následujíí: f x (x) = 0 kn/m (6) N(x) = f x (x) dx = 0 dx = C 1 kn (7) okr. podm. : N(x = 6) = = 0 kn = C 1 (8) N(x) = 0 kn (9) f z (x) = 1, 5 + 1, 5x kn/m (30) 3

4 Ve²keré p ipomínky posílejte n dresu nik@ml.fsv.vut.z! V (x) = f z (x) dx = 1, 5 + 1, 5x dx = (31) = C 1, 5x 1, 5 x = C 1, 5x 0, 65x kn (3) okr. podm. : V (x = 6) = = 73, 75 kn = C 1, 5 6 0, 65 6 (33) C = 3, 75 kn (34) V (x) = 3, 75 1, 5x 0, 65x kn (35) M(x) = V (x) dx = 3, 75 1, 5x 0, 65x dx = (36) = C 3 + 3, 75x 1, 5 x 0, 65x3 knm = 3 (37) = C 3 + 3, 75x 6, 5x 0, 08x 3 knm (38) okr. podm. : M(x = 6) = 0 knm = C 3 + 3, , 5 6 0, (39) C 3 = 17, 5 knm (40) M(x) = 17, 5 + 3, 75x 6, 5x 0, 08x 3 knm (41) nlytikýh pr h vyuºijeme pro výpo et pr ezu, kde se nhází mximální moment, tj. kde posouvjíí síl je nulová: V (x) = 3, 75 1, 5x 0, 65x = 0 (4) x 1 = 1, 7 (43) x = 1, 75 m M MX = M(x = 1, 75) = (45) (44) = 17, 5 + 3, 75 1, 75 6, 5 1, 75 0, 08 1, 75 3 = 148, 807 knm (46) Doszením do rovni (9), (35) (41) spo ítáme vnit ní síly v ezu zprv: N + (x = 0) = 0 kn (47) V + (x = 0) = 3, 75 1, 5 0 0, 65 0 = 3, 75 kn (48) M + (x = 0) = 17, 5 + 3, , 5 0 0, = 17, 5 knm (49) Výsledné pr hy vnit níh sil vykreslíme, viz Orázek 5. V²imn te si následujííh detil : Zlom ve st ednii prutu vyvolává skok v pr hu normálové i posouvjíí síly, neo ty jsou závislé n orienti lokálního sou dného systému. Zlom ve st ednii prutu nemá vliv n pr h momentu, tºená vlákn z stvjí n stejné strn! (Pozor, moment nevykreslíte z kºdé strny sty níku n op nou strnu, to y yl hruá hy, sty ník y yl v nerovnováze.) Dále se vykreslení ídí zákonitostmi vyházejíími ze Shwedlerovy v ty, shrnutými v Tule 1. spojité ztíºení kldné záporné posouvjíí síl klesjíí rostouí ohyový moment konvexní konkávní Tulk 1: Zákonitosti vyházejíí ze Shwedlerovy v ty. Tyto zákonitosti m ºete pouºívt, pokud jim udete rozum t, proto je doré si p ipomenout znlosti z mtemtiky: Funke je rostouí, pokud její derive je kldná. Toto pltí, le pokud jde o vzth mezi posouvjíí silou ztíºením, nezpome te n mínus v rovnii (9). 4

5 Ve²keré p ipomínky posílejte n dresu nik@ml.fsv.vut.z! Funke je konvexní, pokud její derive je rostouí. Toto tké pltí, v rovnii (10) ºádné mínus není, le shém momentu vykreslujete vzh ru nohm - kldné hodnoty dol!!! N 19 0 V 1,75 m 3,75 14,5 1 36,75 73, () 1,75 m () M 17, 5 148, () Orázek 5: Pr hy vnit níh sil: () normálová síl, () posouvjíí síl () ohyový moment. N záv r provedeme kontrolu rovnováhy ve sty níku, viz Orázek 6. M + N + M V α V + N Orázek 6: Kontrol rovnováhy sil ve sty níku. : N os α V sin α + N + = ( 19) 0, 6 14, 5 0, = 0 (50) : N sin α + V os α V + = ( 19) 0, , 5 0, 6 3, 75 = 0 (51) : M + M + = 17, , 5 = 0 (5) 5