6. Kvantové řešení atomů vodíku a vodíkového typu

Transkript

1 6. Kvatové řší atoů vodíku a vodíkového tyu V této kaitol ovi klasický latáí odl atou avdí ohových ostulátů, kté uožňují vysvětlit gtickou stuktuu lktoových hladi a ooovaá čáová skta atoů. ohův odl atou však slhává ař. ři vysvětlí skt ohalktoových atoů a agtických vlastostí atoů. Tv kvatová chaika, ktou využij ři ástiu řší Schödigovy ovic o atoy odobé vodíku, uoží b avdí uělých ostulátů vysvětlit tato xitálí akta. 6. ohův odl atou vodíku Podl klasické řdstavy j ato vodíku tvoř kladě abitý jád, v ěž j soustřděá řvážá část hotosti atou a jhož oě j řádově 4 kát ší ž tyický oě clého atou. Kol jáda obíhají o kužicích obitch lktoy. Přito dostřdivou silou j coulobická síla (latáí odl atou). Podl klasické toi lktoagtisu by obíhající lkto usl stál itovat lktoagtické áří. Tí by tácl svou gii a oloě jho tajktoi by s stál šoval. Podl latáího odlu by byl ato stabilí systé, a to j v oou s skutčostí. Další xitálí akt, ktý í vysvětlitlý oocí latáího odlu, j ooováí isích atoáích skt. Jstliž j atoů dodáa gi, aříklad lktický výboj, uvolňují atoy tuto gii v oě lktoagtického áří. Toto áří však í sojité, ýbž o sktálí okladu obsahuj ou diskétí čáy učitých vlových délk, oskytuj tv. čáové sktu (ob. 6.), kté j chaaktistické o atoy učitého vku. Vodíkový ato oskytuj séi ča, jjichž vlové délky byly osáy iicky. Vlové délky ča λ tv. alovy séi, achájící s v viditlé obou skta, slňují tv. Rydbgův vtah λ ν RH c 4 (6.) kd ν j kvc sktálí čáy, j clé číslo, 3,4,5, 7 R H,97 j Rydbgova kostata. kotiuu ialová odá čvá 364,56 4,7 434,5 486,3 656,8 λ () Ob. 6. Sktu vodíkového atou v viditlé a blíké ultaialové obou alova séi.

2 xistci čáových atoáích skt j ožé vysvětlit v áci siklasického ohova odlu, ktý ošiřuj latáí odl o ěkolik ostulátů, jjichž vysvětlí však odává. Přsto ohův odl atou vodíku á výa, otož a ákladě jdoduchých kvatových řdstav oskytuj gtické sktu atou vodíku, kté j v shodě s xitálíi daty. 6.. ohovy ostuláty ohův odl vycháí latáího odlu atou. Navíc jsou slěy ásldující ostuláty.. ostulát lkto s ůž ohybovat ou o takových kužicových tajktoiích (obitch), v ktých vlikost jho otu hybosti vhld k střdu tajktoi abývá clistvých ásobků h L,, 3, (6.) π Kladé clé číslo av hlaví kvatový čísl. Obity slňující vtah (6.) aývá dovolé obity. Z hldiska d ogliovy hyotéy (odd. 4..4) ůž ohův. ostulát kotovat ásldově: Vyjádří vlikost otu hybosti lktou vhld k střdu kužicové tajktoii a lktou ajícíu hybost řiřadí odl d ogliova vtahu (4.9) vlovou délku λ. π h L si λ Dosaí do (6.) dostává h h λ π λ π (6.3) Posldí vtah ůž ittovat tak, ž délka kužicové tajktoi j clistvý ásobk vlové délky vlěí, kté řiřauj lktou ři duálí oisu. Podl ob. 6.a j tdy ohův. ostulát kvivaltí tou, ž lkto s ůž ohybovat j o takových obitch, a ktých ůž vikout stojaté vlěí. Jstliž by s lkto ohyboval o tajktoii, ktá slňuj ohův. ostulát, ak by stojaté vlěí viklo a o oha oběích by vlěí suoicí aiklo (ob. 6.b). a) b) Ob. 6. Stojaté vlěí říslušjící lktou, ktý s acháí a dovolé obitu (a), vly říslušjící lktou vobitu, ktý slňuj ohův. ostulát (b). ostulát lktoy ohybující s o dovolých obitch, kté slňují ohův. ostulát, vyařují gii. Každý dovolý obit j chaaktiová oloě a gií lktou. ohův. ostulát j v oou s klasickou toií lktoagtického ol, otož ostuluj, ž áboj ohybující s s ychlí vyařuj gii. Můž ho však ituitivě řijout, uváží-li skutčost, ž stojaté vlěí řáší gii), a tudíž obity učé. ostulát jsou stacioáí. 3

3 3. ostulát lktoy ohou řchát ou jdoho dovolého obitu a jiý dovolý obit. Přito atoy vyařují bo ohlcují lktoagtické áří o kvci i ν (6.4) h kd a jsou gi lktou v obitch o hlavích kvatových číslch a. i ohův 3. ostulát byl avd oto, aby vysvětlil ooovaá čáová skta atoů. 6.. gtické hladiy v ohově odlu atou Vyočt gi lktoů v ohově odlu atou. Clkovou gii lktou o hotosti a áboji -, ktý s ychlostí v ohybuj o kužicové tajktoii o oloěu, vyjádří jako součt kitické a otciálí gi. Potož hotost jáda vodíkového atou j 835 kát větší ž hotost lktou soucího áboj, bud řdokládat, ž hybé jádo vytváří lktostatické ol, v kté s ohybuj lkto. Clková gi lktou j v k (6.5) 4π ε lktostatická síla (FI), ktou ůsobí jádo a lkto, j silou dostřdivou 4πε v Tto vtah ůž řsat v a dosadit do (6.5): (6.6) 4π ε (6.7) 8 π ε 4 πε 8 πε (6.8a) Využití vtahu (6.7) ůž vyjádřit clkovou gii obíhajícího lktou také v tvau v (6.8b) Do vtahu (6.7) dosadí a ychlost výa ohova. ostulátu oba výay (6.8) o gii: 4π v i a oová,,. (6.9) ε Obdžli js vtah o ožé hodoty oloěu tajktoi lktou oocí hlavího kvatového čísla vodíkového atou. Njší hodota oloěu odovídá hlavíu kvatovéu číslu a oačuj s jako ohův oloě a 4

4 a 4π ε (6.) ohův. ostulát, kvatováí vlikosti otu hybosti, s tdy ojvuj ověž v kvatováí oloěu tajktoi. Dosadí a oloě do vtahu o gii (6.8a). Dostává, ž gi lktou v vodíkové atou j ověž kvatovaá a j ukcí hlavího kvatového čísla.,,. (6.) 4 3π ε Njižší hodota gi odovídá hlavíu kvatovéu číslu a abývá jí lkto jbližší jádu achájící s a obitu o oloěu a. Tto stav s aývá ákladí stav lktou v vodíkové atou. J to stav s jvíc áoou gií a lkto j v ě jtěsěji váá k jádu. 4 3π ε (6.) Absolutí hodota o vyčíslí dává 8,7 J 3,6 V. gi dalších stavů ůž být vyjádřa oocí hodoty. Stuktua gtických hladi j áoěa a ob. 6.3.,,. (6.3) Ioiačí gi vodíkového atou v ákladí stavu j ova gii, ktá usí být dodáa, aby byl lkto ákladího stavu řvd do vdálosti. Podl ob. 6.3 j tato ioiačí gi ova. Sktu vodíkového atou (V) gi -,85 -,5-3,4-3, ioiačí gi otciálí gi Ob. 6.3 Potciálí gi lktou v vodíkové atou s kvatovaýi hodotai gi i, ktých lkto abývá odl ohova odlu Podl ohova. ostulátu lkto achájící s v dovolé stavu chaaktiovaé gií a oloě tajktoi si svou gii achovává a tácí ji vyařováí. Podl ohova 3. ostulátu (6.4) ři řchodu stavu s hlaví kvatový čísl i a gií i a stav s hlaví kvatový čísl a gií ( < i ) j ato itováo lktoagtické áří o kvci i ν (6.4) h Dosadí (6.3) a dostává ν (6.5) h i Po vlovou délku λ ak obdží vtah 4 5

5 λ ν c h c i R H i Přito js avdli Rydbgovu kostatu R H (sovjt s vtah (6.)). (6.5) Přchody stavů s kvatovýi čísly i do stavu s kvatový ( < i) vytvářjí tv. séi ča v sktu vodíkového atou. Jjich histoické ávy jsou uvdy a ob Naěřé olohy ča jsou v shodě s vtah (6.5), ktý vycháí ohova odlu atou Paschova ackttova Pudova gi alova Lyaova Ob. 6.4 Schéa gtických hladi a séi řchodů v vodíkové atou (gi hladi jsou áoěy v ěřítku) Další jdolktoové atoy ohův odl vodíkového atou ůž být ošíř a další jdolktoové atoy jako jsou iotoy vodíku H a 3 H, dál H, Li, 3 aod., v ichž jd lkto obíhá kol jáda ajícího áboj Z. Takové atoy s aývají atoy vodíkového tyu. Při odvoováí vtahů s hodota áboj jáda vodíkového atou ahadí hodotou skutčého áboj jáda Z. gtické sktu j ak dáo vtah Z,, (6.7) 3π 4 ε 6. Kvatově chaické řší atoů vodíkového tyu ohův odl atou vodíku dobř řdovídá gtické sktu vodíkového atou a dalších jdolktoových atoů. Slhává ovš, j-li aliková a ato hlia bo další víclktoové atoy. ohovy ostuláty jsou v svých důsldcích v oou s klasickou toií lktoagtisu. V ásldujících oddílch bud řšit stavy lktou v atoch vo- 6

6 díkového tyu v souladu s kvatově chaický ois, ktý byl avd v odd. 5. a aliková a jdoduché systéy v odd Schödigova ovic o částici v coulobické oli Při řší stacioáích stavů a gií vodíkového atou bud využívat stjého ostuu jako v odd Njdřív však řvd řší dvoučásticového obléu (jádo a lkto) a řší jdočásticového obléu (lkto v lktostatické oli jáda). K takovéu jdoduší js oávěi, uvědoí-li si, ž hotost jáda, otou, j 835 kát větší, ž hotost lktou. V říadě dalších atoů vodíkového tyu j oě jště větší *. Říká, ž řší vodíkový ato v jdočásticové řiblíží a v ctálí oli.. Sstaví SCHR o daý ůběh otciálí gi lkto o áboji a jádo o áboji bud ovažovat a bodové áboj. Potciálí gi lktou v oli jáda j ak vyjádřa vtah Z x x y y ϕ ( ) x, y, ( ),, ϕ Z 4 ) ( π ε (6.8) kd j vdálost lktou od bodového jáda, kté s áboj. Potož otciálí gi j d ukcí tří souřadic, j uté řšit obcou tojoěou SCHR. Zvolí souřadicovou soustavu s očátk v střdu jáda (ob. 6.5). SCHR o systé s otciálí gií (6.8) á tva Z Ob. 6.5 Poloha lktou v katéských a séických souřadicích π ε y x Z y x 4 (6.9). Řší SCHR Po ískáí aalytického řší j výhodější řjít k séický souřadicí. Potciálí gi á v séických souřadicích jdoduchý tva (6.8), avšak Lalacův oáto v séických souřadicích dává složitější výa: si si si ϕ Δ y x Dosaí do SCHR (6.9) dostává ϕ ) ( si si si (6.) * Při xaktější ostuu bycho ohli ahadit hotost lktou dukovaou hotostí systéu dvou částic (FI). Hotost lktou a dukovaá hotost soustavy jsou blíké a jjich odíl o áš ois odstatý. 7

7 Řší hldá v tvau součiu tří ukcí, ichž každá ávisí a jdé séické souřadici (,, ϕ) R ( ) Θ ( ) Φ ( ϕ) (6.) Část R(), ktá j ou ukcí vdálosti od střdu atou, s aývá adiálí část vlové ukc, část ař. si dostává- RΘΦ ( RΘΦ) si d R d Θ ( ) Φ( ϕ) j úhlová část vlové ukc. Divací saovaého řší (6.), dr ΘΦ, a vyásobí ovic (6.) výa d d R d Φ si d dθ si si d d d d Φ ϕ Θ ( ( ) ) Posldí ovici ůž řsat tak, ž lvá staa j ukcí ϕ a avá staa ukcí a. Φ d Φ si d d R d ϕ d R si d dθ si d d d Θ si ( ( ) ) Rovic j slěa, jstliž obě stay s ovají stjé, tv. saačí kostatě. Tadičě s tato kostata volí v tvau. Lvá staa dává d Φ Φ dϕ d Φ dϕ Φ Pavá staa ak dává si d R d Vydělí čl R d d d R si d dθ si d d d Θ si a uaví d R d si dθ ( ) d si si Θsi d d ( ( ) ) (6.) Tí js odsaovali oěé a a ůž oto obě stay osldí ovic oložit. Po úavě dostává ovy solčé kostatě, ktá á oět kovčí tva ( ) d dθ Θ si ( ) Θ si d d si d d d R d R ( ) R ( ) (6.3) (6.4) Rovic (6.), (6.3) a (6.4) jsou tři ávislé obyčjé diciálí ovic vždy jdé oěé, kté jsou aalyticky řšitlé, tj. jjich řší ůž být vyjádřo atatickou ukcí. Substitucí s ůž sado řsvědčit, ž řší ovic (6.) j ϕ A i Φ (6.5) 8

8 kd A j kostata. Řší ovic (6.3) a (6.4) j ataticky složitější. Po úlost j uvd, ěkté askty řší budou diskutováy v ásldujících oddílch a dodatcích (D a D). kd Θ ( ) si F (cos ) (6.6), Z Z (6.7) Z / a R() C G, a a a j ohův oloě (6.), Z učuj očt otoů v jádř, G jsou tv. řidužé Laguovy olyoy, ( cos), ( Z ), a F jsou tv. řidužé Lgdovy olyoy, jjichž tva ůž ajít v scialiovaých oogaiích. Přsý tva ěkolika vodíkových vlových ukcí j uvd v dodatku D. Přioň, ž clkové řší SCHR j v tvau součiu (6.) všch saovaých řší. 3. Alikuj ožadavky a vlovou ukci (odd ) Diskutuj jv atatické řší (6.5) části ávislé a ϕ. Z odíky jdoačosti dostává, ž řší (6.5) usí abývat stjých hodot o ϕ, π,..., otož ři ěě aiutálího úhlu ϕ o ásobky π s jdá o stjý bod ostou (ob. 6.5): A i ϕ ( ϕ π ) A i Kolxí číslo o úavě říš a goiotický tva cos ( π ) i si ( π ) To j slěo ou o, ±, ±,... Paat řší á výa kvatového čísla, otož ouj ožá řší ou a učité hodoty aatu. Obdobě atatické řší (6.5) ovic (6.3) usí slňovat ožadavky a dobř vychovaou ukci. Alikací odík odd ak dostává, ž ůž abývat ou hodot,,,..., tj.. Paat j tak další kvatové číslo. Hodota ukc Θ() ávisí a aatch a, kté s oto íší jako idxy ukc: Θ. ( ) Tva řší (6.7) ovic (6.4) ávisí a hodotách aatů a, kd j kladý cločíslý aat, >. Poto řší adiálí části vlové ukc s íš s idxy: R ().. Řší SCHR oskytuj hodoty gi, kté jsou v aš jdočásticové řiblíží ctálího ol ou aatickou ukcí tv. hlavího kvatového čísla : Z Z 4 3π ε,,,. (6.8) Vidí, ž kvatově chaické řší oskytlo o hodoty gi stjý vtah, jaký vylyul v ohově odlu atou vodíku ((6.) a (6.7)). Poto také Rydbgův vtah (6.) a (6.5) odvoý gtického skta souhlasí s kvatově chaický řístu. gtické sktu vodíkového atou j áoěo a ob. 6.3 a 6.4. Na ob. 6.6 jsou sováa gtická skta tří výaých systéů, kté js dosud řšili: kočě hluboké otciálí jáy, liáího haoického oscilátou a vodíko- 9

9 vého atou v jdočásticové řiblíží ctálího ol. V ví říadě s gtické sktu s vůstající kvatový čísl výaě řďuj. xcitac do vyšších hladi j s vůstající kvatový čísl stál víc gticky áočější. Přítoost částic v jáě j totiž oa otciálí gií, ktá skok ost ad všchy. V říadě liáího haoického oscilátou j oí tva otciálí gi ovolější a hladiy jsou kvidistatí. V říadě vodíkového atou jsou jižší stavy jvíc vááy tva otciálí gi, ostuě s otciálí gi ovíá ad všchy a gtické sktu s s vůstající hlaví kvatový čísl stál hušťuj, až řioíají kotiuu hν 3 - /9 - /4 3 4 hν hν a x x a) b) c) Ob. 6.6 Sováí gtických skt v říadě jdooěé kočě hluboké avoúhlé jáy (a), liáího haoického oscilátou (b) a vodíkového atou (c) Kvatová čísla vodíkového atou Aby atatická řší SCHR vodíku a vodíku odobých atoů ěla yikálí sysl, ohou tři kvatová čísla, a abývat ou učitých hodot. Sh vlastosti kvatových čísl a vtahy i ii. Kvatové číslo,,... s aývá hlaví kvatové číslo. Učuj gii vodíkového atou. Kvatové číslo <,,,...( ) s aývá obitálí kvatové číslo. V odd uvidí, ž souvisí s hodotou obitálího otu hybosti lktou. Po každou hodotu xistuj ožých hodot obitálího kvatového čísla. Kvatové číslo, l,,,...,,,,... s aývá agtické kvatové číslo. Učuj totiž oitaci vktou obitálího otu hybosti lktou v vější agtické oli (odd a 6..4). Po každou hodotu xistuj ( ) ožých hodot. Úlé řší stacioáích stavů jdolktoových atoů v ctálí coulobické oli ůž tdy asat,, (,, ϕ,, ϕ) R ( ) Θ ( ) Φ ( ) (6.9),,.,,,,,,,, -, Vlové ukc vodíkového atou aývá obitaly. Tva vlových ukcí o jižší gtické stavy bud ostuě diskutovat.

10 Dgac gtických hladi u atoů vodíkového tyu V odd js avdli oj dgac gtické hladiy, k kté docháí, á-li víc stavů tutéž gii. Dgac hladi j vli výaá u atoů vodíkového tyu. Kvatová čísla vystuující v vlových ukcích (6.9) jsou aaty vlové ukc. Pokud s vlové ukc liší alsoň v jdo kvatové čísl, jdá s o jiý stav. gi ávisí ou a kvatové čísl. Po každé ůž kvatové číslo abývat ůých hodot. Po každé kvatové číslo xistuj oět ( ) ůých čísl. Clkový očt ůých stavů o daé j tdy D ( ) 3... ( ) Tto vtah j aittická oslouost o člch. Jjí součt j dá vtah a a S, kd a a a jsou ví a -tý čl. Dostává tak, ž dgac -té hladiy j ( ) D (6.3) V stavu s jižší ožou gií j, jdié ožé hodoty a jsou. gi (v atou vodíku á hodotu 3,5 V) abývá ato ou o jd soubo kvatových čísl (,, ) (,,), ktéu odovídá vlová ukc oačovaá,,. Nuvažuj-li si, j jižší hladia dgovaá. Po, kvatové číslo ůž abývat hodot bo, ůž být ou v ví říadě a v duhé říadě abývá hodot, bo. xistují tdy 4 ůé souboy kvatových čísl a ji odovídají 4 ůé stavy oačé,,,,,,,, a,,. gtická hladia j čtyřásobě dgovaá (b-li v úvahu si). Njižší gtické hladiy vodíkového atou a říslušé stavy oačé v otaci jsou a ob. 6.7.,, -,5 V -3,4 V -3,5 V 3s d 3d 3d 3,, 3,, 3,, 3,, 3,, 3,, 3,, 3,, 3,, s,,,,,,,, s,, 3d 3d Ob. 6.7 Dgac jižších stavů v vodíkové atou Po avdí siu (odd ) dosta o dgaci vtah D.

11 Hodoty kvatového čísla s často oačují tv. sktoskoickou otací odl tabulky s d g h i Písa ochájí slov oačujících skuiu sktálích ča (sha, icial, dius, udatal). Podl této sktoskoické otac stavy s ásldujícíi souboy kvatových čísl s oačují (, ) (,) (,) (,) (3,) (3,) (3,) s s 3s 3 3d Někdy s avíc hodota kvatového čísla (s. sybol) ačí jako dolí idx. Tak ař. stavy s souboy kvatových čísl (3,,), (3,,) a (3,,-) jsou 3, 3 a 3 -. V chických alikacích, kdy stavy osaé vlovou ukcí oačuj jako obitaly, hovoří ař. o obitalch Ittac vlové ukc vodíkového atou Vlové ukc jdolktoového atou jsou dáy souči (6.9) ukcí (6.5), (6.6) a (6.7). Jjich kokétí tva o jižší stavy j dá v Tab. D. v Dodatku D. Kostaty řd jdotlivýi ukci byly ískáy oovací odíky (6.4) *,,,, dv clý osto (6.3) kd dv j objový lt. Z tabulky D. j ař. até, ž vlové ukc o ávisjí a ϕ a. Tato řší jsou tdy séicky sytická. Vlová ukc saa o sobě á ěřitlý výa. Tv hustota avděodobosti, íž ůž učit avděodobost alí částic v učité části ostou, j ěřitlá vličia. V říadě vodíkového atou j avděodobost alí částic v objové ltu dv dáa vtah * * * [ R ( ) R ( ) ][ Θ ( ) Θ ( ) ][ Φ ( ϕ) Φ ( )] dv d P,, (,, ϕ),,,, ϕ (6.3) Hustota avděodobosti (stojící v výau (6.3) řd skládá tří částí, adiálí a dvou úhlových. dv ) s odobě jako vlová ukc Radiálí hustota avděodobosti Pavděodobost d P (, d ) výskytu lktou v kulové sluc o oloěu a o tloušťc d (ob. 6.8) j daá vtah (Dodatk D) d y d P (, d ) R d (6.33) Vličiu stojící v vtahu (6.33) řd lt d av adiálí hustotu avděodobosti. J daá odíl avděodobosti výskytu lktou v osaé kulové sluc o oloěu a tloušťky d této sluky x objový lt Ob. 6.8 Záoěí kulové sluky oužité ři vyjádří adiálí hustoty avděodobosti

12 R d P (, d ) ( 6.34) d Půběhy adiálí hustoty avděodob- bycho ískali, a ob. 6.9 j osti o stavy s, a 3 jsou a ob Robo até, ž o axiálí ožou hodotu o daé á adiálí hustota avděodobosti jdo axiu (stavy s,, 3d) achájící s u říslušého ohova oloěu (6.9) o daé. V ostatích říadch xistuj víc lokálích axi, a j tdy výšá avděodobost alí lktou v dvou a víc vdálostch od střdu jáda. Njvětší avděodobost alí lktou blíko jáda všch stavů ajících tutéž gii j v s-stavch ( ). Obcě však v všch stavch adiálí hustota avděodobosti o vlké hodoty ychl klsá, takž s výaě šuj avděodobost alí lktou v odstatě větší vdálosti ž odovídá říslušéu ohovu oloěu. Příklad 6. Dokažt, ž javděodobější hodota souřadic lktou v vodíkové atou v stavu j 4a. Řší: Stav j chaaktiová kvatovýi čísly, l. V tab. D. al (Z ) výa o adiálí část vlové ukc R, ( ) 3 / 4 a a / a Radiálí hustota avděodobosti j odl (6.34) 4 / a R, ( ) 5 4 a R a,5 s,4,3,,,,,,,,, Δ 5 5Δ Δ Δ 5 Δ 5 Δ s,, 5 a 3 s 3, 3 3 d 5 3, 5 3, Njavděodobější hodotu souřadic učí jako hodotu, kdy adiálí hustota avděodobosti abývá axia. Položí divaci ovu : 4 3 / a a a a / Ob. 6.9 Radiálí hustota avděodobosti. Očkávaá hodota v říslušé stavu j oača Δ Jdié řší j 4a. Toto řší odovídá ůběhu adiálí hustoty avděodobosti, ktá j áoěá a ob

13 Úhlová ávislost hustoty avděodobosti Řší saovaé SCHR js ískali ávislost jdolktoové vlové ukc a úhlu ϕ, ktá j dáa vtah (6.5). Přísěvk této části vlové ukc k hustotě avděodobosti * * i ϕ i ϕ j o všchy stavy Φ ( ϕ ) Φ ( ϕ ) A A A. To aá, ž jdolktoová hustota avděodobosti ávisí a hodotě úhlu ϕ, j stjá o jakékoli hodoty ϕ od do π a j tdy otačě sytická vhld k os (ob. 6.). π π π, 3,, ± π, ± Ob. 6. Závislost hustoty avděodobosti a úhlu * Závislost hustoty avd Θ, Θ a j ěodobosti a úhlu j dáa vtah ( ) ( ), achyca o ěkolik stavů a ob. 6.. V s-stavch j řdchoí výa ávislý a, a oto ávislost a oláí úhlu j vyjádřa kužicí, o stav j ávislost a daá ukci cos bo si. Po 3d stav ají ovaé sěy, kd s lkto acháí s větší avděodobostí, složitější ůběh. Potož v všch říadch j odělí hustoty avděodobosti sytické kol osy, dosta clkové ostoové odělí hustoty avděodobosti yšlou otací útvaů a ob. 6. kol osy. Kužic o s stav s sta kulovou lochou, útva o stav abud tva dvou vjcových útvaů, stav ± á ostoový tva, ktý řioíá loštělou koblihu. V chických alikacích osaé tvay aývá tvay obitalu. Někdy s avděodobost výskytu lktou obauj tv. kotuovýi digay. Jsou to ostoové útvay, v ichž s lkto acháí s větší ž sluv- ou hodotou avděodobosti, ař. 95 %. Roloží hustoty áboj íská vyásobí hustoty avděodobosti výskytu lktou áboj lktou. Kvatově chaická řdstava lktou v atou á tdy blíko k jakéusi ostoovéu obláčku áboj, jhož lokaliac á avděodobostí ovahu. Tí j ahaa řdstava lktou otujícího kol jáda, ktou oskytuj ohův 4

14 odl atou, alističtější oba atou, kdy v ěktých částch ostou kol jáda j větší avděodobost výskytu lktou a tí i větší hustota áboj. Tato řdstava j ak oužita v toii chické vaby Postoové kvatováí Z ob. 6. j até, ž oloží hustoty avděodobosti v ůých sěch s liší a ž xistují učité sěy v ostou, kd j ulová hustota avděodobosti alí lktou. Tato ostoová vlastost s aývá ostoové kvatováí. Kvatová čísla, ktá učují ostoové oloží hustoty avděodobosti, jsou čísla a. V Dodatku D j ukááo, ž lkto v stavu s učitou hodotou gi ůž ít áovň učitou hodotu vlikosti otu hybosti a učitou hodotu jdé složky otu hybosti. Zavidla s volí tato složka jako -ová. Kvatové číslo učuj vlikost otu hybosti: L ( ),,, - (6.35) Po učitou hodotu vlikosti otu hybosti daou kvatový čísl xistuj ožých hodot -ové složky otu hybosti učých kvatový čísl. Možé hodoty -ové složky otu hybosti jsou dáy vtah: L -, -,,,, -, (6.36) Vtahy (6.35) a (6.35) kvatiikují ostoové kvatováí. Na ob. 6. j áoěo ostoové kvatováí o stav s (d-stav). Hodota vlikosti otu hybosti L ( ) 6. Z-ová složka L abývá hodot,,,,. Vkto L j vhld k voléu sěu oitová ůsob, ktý j uožě hodotou jho -ové složky. Přito x-ová a y-ová složka jsou cla libovolé. Poto v ostou j vkto L a ovchu kužl (ob. 6.b). L L 6 L L L L L L x Ly L x y a) b) Ob. 6. Postoové kvatováí otu hybosti o. (a) Možé hodoty -ových složk L (b) ostoová oitac vktou L v stavu s l, 5

15 Sě osy volý v řdchoí vý- sě yšlý, avdý ou o T k kladu j ois oocí souřadic. V dostatčě vl- ké soubou usořádaých volých atoů μ a ři xitálí studiu soubou volých atoů xistuj žádý výačý sě.,, ± μ Posaé ostoové kvatováí j ooovatlé, jstliž j o clý soubo olkul a- - liovaý ějaký výačý sě, ař. studuj-li olkuly v agtické oli učitého sěu. Odtud ly o kvatové číslo Ob. 6. Roštěí gtické hladiy o v vější agtické oli o idukci áv agtické kvatové číslo. xitálí otví ostoového kvatováí bylo odáo v Stově- Glachově xitu (Dodatku D) Vliv agtického ol a jdolktoový ato. Zaův jv Stacioáíu stavu lktou odovídá v siklasické oisu ohyb lktou o kuži- ot.vtah i obitálí ot hybosti L a obitálí agtický ot cové obitu. lkto tak vytváří oudovou syčku, kté řísluší agtický diólový j dá vtah L Koicit úěosti i obitálí ot hybosti L a obitálí agtic- ký ot s aývá obitálí gyoagtický oě. Mi oátoy otu hybosti a agtického otu, xistuj obdobý vtah jako i říslušýi vličiai (3.45). V Dodatku D a odd bylo ukááo, ž vlikost obitálího otu hybosti a jho -ová složka jsou kvatováy. J tdy kvatováa i vlikost obitálího agtického otu hybosti a jho -ová složka: ( ),,, - (6.37) μ -, -,,,, -, (6.38) kd js avdli kostatu ohův agto μ jako jší ulovou hodotu vlikos- ti : μ (6.39) Vloží yí jdolktoový ato do agtického ol, jhož agtická idukc á sě osy, k. Potciálí gi agtického diólu osaého obitálí agtický ot j odl (6.4) 6

16 Potož vličia j kvatováa, ůž ověž otciálí gi abývat ou učitých hodot odl toho, jakých hodot abývá kvatové číslo Po daé xistuj ůých hodot kvatového čísla. -ásobá dgac gtických hladi, ktá s ouvisí s kvatový čísl, v agtické oli vyií, otož s gi T k ěí Δ μ,,,,. Příklad oštěí gtické hladiy v vější agtické oli j áo ě a ob. 6. o stavy s kvatový čísl,,,. Fkvc áří itovaého atoy ávisí a odílu gií gtických - hladi. Po vloží atou do agtického ol dojd k oštěí sktálích ča a ( ) koot, jak j ukááo a -μ μ ob. 6.3 o stav s. Tto jv s oačuj jako oálí Zaův jv. Noálí Zaův jv s oouj ou u učité skuiy atoů, v ichž s vyuší s tv. siový agtický ot (odd. 6..5). V říadě řady jiých víclktoových atoů a v říadě vodíku s však oouj ν ν Δν ν νδν o vloží do vějšího agtické- ho ol oštěí a sudý očt hladi. Ob. 6.3 Zaův jv V toto říadě hovoří o aoálí Zaově jvu (odd. 6..5). Příklad 6. Vyočtět ěu vlové délky Δ λ sktálí čáy, ktá řísluší řchodu s v atou vodíku, o vloží do agtického ol o idukci T. Řší: gi řchodu a vlová délka λ otou, ktý s ři toto řchodu uvolí, jsou svááy vtah h c λ Abycho vyjádřili ěu vlové délky ři alé ěě gi, dicuj osldí vtah d h c λ dλ Diciál ahadí alou ěou vliči a uvažuj ou absolutí hodoty ě vliči. Δ h c λ Δλ Odtud Δλ λ h c Δ Nyí vyčíslí otřbé vličiy osldího vtahu o áš říad. Hodota gi řchodu s b řítoosti agtického ol 7

17 Příslušá vlová délka 3 4 h c 4 h c λ, λ 3 Po vloží do agtického ol s oštěí hladia odl ob Zěa gi Δ μ 8,5 4 5 J,6 V Dosadí řdchoí vyčíslé hodoty vliči do vtahu o Δλ a dosta Δλ, Si lktou ( ) Naísto ooovaého štěí gtických hladi a složk, tj. lichý očt, ao- koot. Po bylo ooová- álí Zaův jv dává štěí hladi a sudý očt o štěí a dvě hladiy. Tuto skutčost vysvětlí oocí siu lktou. V aš vý- uěl. Jho xistc vyly tv, oužij-li k řší kladu avd si oěkud atou lativistickou kvatovou chaiku, ktou s v áci kuu bud abývat. Siklasická řdstava vitřího otu hybosti lktou, čili siu, byla uvda. Vktoová vličia si, ktou oačí S, s ojí s tv. siový agtický ot si, odobě jako obitálí ot hybosti L souvisí s obitálí agtický ot. Siový gyoagtický oě (oě vlikosti siového agtického otu a vlikosti vitřího otu hybosti) j dvojásobý ž u obitálích otů si S si S Podobě jako j kvatová obitálí ot hybosti a jho -ová složka (vtahy (6.35), (6.36)), j kvatová i si a jho -ová složka: S s ( s ) (6.4) S s (6.4) kd s a s jsou kvatová čísla sojá s si. Ukauj s, ž v říadě lktou číslo s abývá ou hodoty s. Poto vlikost vitřího otu hybosti (siu) lktou j 3 S (6.43) 4 Aalogicky tou, ž kvatové číslo vtahu (6.4) hodot bývat hodot,,, abývá kvatové číslo vystuující v s s, s, s, s. Z-ová složka siu tak ůž a- s 8

18 S ± (6.44) Si vykauj odobě jako o- hybosti osto- bitálí ot ové kvatováí (ob. 6.4). K tř kvatov ý číslů, ktá vylyula řší Schödigovy ovic, řidá další tv. siové kvatové číslo s, kté abývá hodot ±. Stav lk- tou v jdolktoové atou j ak osá čtvřicí kvatových čísl (,,, s ). Si- Ob. 6.4 Záoěí ostoového kvatováí siu ové kvatové číslo, s odobě jako agtické kvatové číslo, ovlivňuj v aš řší gii lktou. Poto vtah (6.3) o dgaci gtické hladiy s aočtí ostoového kvatováí siu uaví D (6.45) Každá gtická hladia j v jdolktoové řiblíží v ctálí oli kát dgovaá, tj. tutéž hodotu gi abývá lkto v ůých stacioáích stavch. Na ákladě siu a jho ostoového kvatováí ůž vysvětlit aoálí Zaův jv, tj. ooovaé oštěí gtických hladi a sudý očt složk, k ktéu docháí v agtické oli: V vější agtické oli osaé k abývá agtický diól, ktý odovídá siovéu agtickéu otu si, otciálí gi si si, S (6.45) S si S S 3/ 4 Uváží-li kvatováí -ové složky siu S (6.4), dostává s (6.47) Potož s ±, abývá otciálí gi ásobků ohova agtou (6.39): T k μ ± ± μ (6.48) μ Δ Roštěí gtických hladi v důsldku iotu takc siového agtického si a agtického ol osaého ag- Ob. 6.5 Roštěí gtické hladiy ři itakci siového agtického otu tickou idukcí j áoěo a ob a agtického ol Vliv agtického ol s ojví jak v itakci s obitálí agtický ot tak v itakci s siový agtický ot a vd k oštěí hladi a sudý očt složk. S 9

19 Řší Schödigovy ovic o ohalktoové atoy j vli složité, otož s jd- á o oho částic a tyto částic solu itagují. Poto s avádí clá řada aoxiací, kté řší jdodušují a řsto uožňují vysvětlit řadu ákoitostí, ař. stuktuu iodické soustavy vků. V toto txtu s oí a tv. obitálí aoxiaci. V obitálí aoxi- aci řdokládá, ž každý lkto j v své vlastí jdolktoové stavu, obitalu. Výsldá vlová ukc systéu j dáa souči jdolktoových ukcí ( ) ( ) Ψ,,...) ( ) ( )... (6.49) Jé štěí Si lktou s ojvuj v oštěí gtických hladi i b řítoosti vějšího agtického ol. Jho důvod j itakc ag- obitálí agtic- tického ol, kté ůsobuj ký ot lktou (jho klasickou aalogií j agtické ol oudové syčky), a siového agtického otu. Hovoří o siobitálí itakci. Zěa gií ři oštěí v důsldku této itakc j alá, ař. v říadě vodíku řádově -5 až -5 V, a oto hovoří o jé štěí gtických hladi (ob. 6.6). 6.3 Mohalktoové atoy Ob. 6.6 Jé štěí hladi atou vodíku v stavch a d ( Idtické částic ůž v kvatové chaic olišit. Pici olišitlosti idtických částic j atý avděodobostího chaaktu jjich výskytu: Jstliž dvě id- dobosti výskytu s řkývají a částic tak ohou být olišy. tické částic jsou součástí téhož systéu a achájí s dostatčě blíko, jjich avděo- Ukauj s, ž odlišý ůsob slňují ici olišitlosti částic s cločíslý siový čísl, tv. bosoy * (otoy, α-částic), a částic s oločíslý siový čísl, tv. ioy (lktoy, otoy a utoy). Po ioy latí Pauliho vylučovací ici: kd i jsou souboy souřadic i-tého lktou. Jdotlivé obitaly jsou obdobé jdolktoový vlový ukcí vodíkového atou s tí odíl, ž áboj jáda j odiiková řítoostí ostatích lktoů v atou. V této aoxiaci í ahuta vájá itakc i lktoy xlicitě, řítoost víc lktoů j však ahuta v tv. ktiví áboji jáda. Stav atou ak oisuj tv. koiguací atou, což j souh obsaých obitalů v ákladí stavu. Koiguac ákladího stavu s řídí ěkolika iciy. Jsou to: Pauliho vylučovací ici, výstavbový ici a Hudovo avidlo. Tyto iciy ající yikálí odstatu uvd v ásldujících dvou oddílch. -,5-3,4 gi (V) -3,6 3 s s λ,567 s λ, d -5 4,5 x V -6 4,5 x V 6.3. Idtické částic v kvatové chaic. Pauliho vylučovací ici * Vlastosti těchto částic jsou odoběji obíáy v kaitol 7..

20 V jdo systéu ohou xistovat současě dva a víc ioů v totéž stavu. Potož lktoy jsou ioy, ohou s v jdo atou achát žádé dva lktoy v totéž stavu. Stav lktou j uč čtvřicí kvatových čísl. Aby s dva lktoy achály v jdo systéu v totéž stavu, usjí s každé dva lktoy lišit alsoň v jdo kvatové čísl. osoy jsou oy Pauliho ici. Naoak libovolý očt bosoů s ůž achát v totéž stavu a tato situac j gticky výhodější. Poto bosoy ají tdci achát s všchy v jižší gtické stavu systéu Výstavbový ici. Hudovo avidlo lktoy v ohalktoových atoch bud oačovat odl stavů, v ichž s achájí, oocí sktoskoické otac (odd. 6..). lktoy ající tutéž hodotu kvatového čísla álžjí do stjé sluky, lktoy s týiž hodotai a álžjí do též odsluky. Podsluky jsou oačováy s, s,, atd. Maxiálí ožý očt lktoů v jdé odsluc (, ) j odl Pauliho vylučovacího iciu dá očt ožých ů-, uváží-li všcha čtyři kvatová čísla. ých stavů s daou hodotou a, což j ( ) Jstliž j sluka lě alěa, hovoří o uavřé sluc. lkto v vícllktoové atou j ovlivě jdak lktostatickou řitažlivou silou jáda, jdak odudivou silou ostatích lktoů. Ostatí lktoy, kté s s vlkou avděodobostí achájí uvitř obitalu sldovaého lktou, ůsobují dálivé ší áboj jáda a hovoří o stíěí, kté s ojvuj v sížé hodotě ktivího c- obsaují hladiy s ižší gií (až a vý- tálího áboj. Hodota ktivího áboj s liší o lktoy v s- a -stavch. lkto v s-stavu oiká (tuj) hlouběji do vitřích sluk ž lkto v -stavu (ob. 6.9). lkto v s-stavu ociťuj ší stíěí ž lkto v -stavu. Důsldk kobiac stíěí a tac j to, ž lkto v s-stavu j věji váá k jádu a jho gi j ší, ž j gi lktou v -stavu v též sluc. Podobě lkto v d-stavu tuj éě ž lkto v -stavu v též sluc, cítí víc stíěí ostatích lktoů, j éě těsě váá k jádu a jho gi j větší. Důsldk osaého jvu j, ž gi lktoů v odslukách j sřaa v řadě s < < d. Dgac hladi u víclktoových atoů tdy vyií ( j sjuta ). Sováí hodot gií v stavch vodíku a sodíku j a ob Obsaováí jdotlivých stavů lktoy s řídí výstavbový ici. Podl ěj s ostué obsaováí hladi děj tak, ž s jdřív jiky, kté souvisí s odudivýi silai i lktoy v ěktých obitalch). Tto výstavbový ici j ochoitlý, otož yikálí systé j tí stabilější, čí j jho clková gi ší. Další avidlo, odl ktého s řídí obsaováí obitalů, j Hudovo avidlo, kté učuj koiguaci lktoů v áci jdé odsluky. Podl Hudova avidla ato v ákladí stavu j v koiguaci s axiálí ožý očt sáovaých lktoů. Jho vysvětlí odá a říadu obitalu a ákladě gtických úvah: lktoy, lišící s ou hodotou siového kvatového čísla, s aývají sáovaé lktoy. Dva lktoy, jakožto souhlasé áboj, ají ší lktostatickou otciálí gii, jstliž jsou víc od sb vdály. V obitalu s ůž achát 5 lktoů s kvatový čísl -,,. Při ostué alňováí této odsluky lktoy s jdotlivé lktoy usjí odl Pauliho iciu lišit v kvatové čísl, kté učuj ostoovou oitaci jjich obitálího otu hybosti (odd. 6..3), bo v siové čísl. s

21 (V) H Na - 5 s atd. 4 s atd. 3 s 3 3 d 5 s d 4 d 3 d s -3 3 s s 6.7 Sováí gtických hladi H a Na Z gtického hldiska j výhodější, aby s lktoy lišily v čísl, boť toto kvatové číslo chaaktiuj ostoové kvatováí. lktoy lišící s kvatový čísl jsou ostoově od sb vdálě jší, a tdy řísěvk jjich vájé coulobické itakc k clkové otciálí gii j ší ž v říadě, kdy ají stjé kvatové číslo a liší s v siové kvatové čísl s. Z tohoto důvodu s obsaují obitaly ásldově: Duhý lkto á stjý si jako ví, liší s od vího lktou kvatový čísl v ořadí třtí lkto á si stjý jako ví a duhý a kvatové číslo odlišé od vího a duhého, a tv čtvtý lkto j sáová s ěktý vích tří. Tto ůsob ostuého alňováí odsluky á a ásldk, ž očt sáovaých lktoů j axiálí.,