Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru.

Transkript

1 Těžiště a momet setrvačosti Naleeí práce polohy těžiště a mometu setrvačosti vůči adaé ose u homogeích těles v tříroměrém prostoru. Př. 1 Najděte těžiště a momet setrvačosti kulové vrstvy vůči rotačí ose symetrie viklé po odstraěí dolí čtvrtiy výšky homogeí koule. Polohu těžiště vyjádřete v ásobcích poloměru původí koule, momet setrvačosti vyjádřete jako ásobek součiu hmotosti kulové vrstvy a čtverce poloměru původí koule M. Řešeí: Nejprve si avedeme souřadý systém. Osu umístíme do rotačí osy tělesa. Střed kartéských souřadic umístíme do středu původí koule. Jak pro těžiště, tak pro výpočet mometu setrvačosti si představíme, že si kulovou vrstvu akrájíme a velice teké plátky tloušťky d kolmo k ose. U těchto r y d r y b / x Obr. 1 Kulová vrstva v roviě y a elemet objemu dv, pomocí kterého těleso popisujeme ekoečě tekých válců sado popíšeme jejich vlastosti. Budeme tyto válce považovat a elemet objemu dv, přes který můžeme itegrovat, abychom ašli vlastosti tělesa. Určíme si ejprve samotý elemet objemu v ávislosti a výšce. Objem je daý součiem obsahu áklady a výšky. Průběžý poloměr r elemetu objemu dv ajdeme pomocí Pythagorovy věty. dv = πr d = π( )d Nyí můžeme ajít objem kulové vrstvy. Původí koule se v ámi voleém souřadém systému acháí mei = a =. Výška původí koule je. Odstraěí dolí čtvrtiy výšky koule ameá, že se vrstva acháí mei = a =. Celý objem kulové vrstvy ískáme, pokud sečtěme objemy všech elemetů objemu, kterých se kulová vrstva skládá. Jelikož elemety objemu jsou difereciály, toto sčítáí odpovídá itegrálu. Oačme si vdáleost od středu původí koule ke spodímu okraji tělesa b. Objem pak je V = dv = π( )d = [π ( b )] b = π ( ( b + b ))

2 V = π ( + b b ) Najděme ejprve objem koule, v tomto případě b = V koule = π ( + ) = 4π ásledě určíme objem kulové vrstvy v případě odsekutí čtvrtiy výšky V 1 = π ( + ( ) ) = π ( ) = π., Při hledáí těžiště se ejprve amyslíme ad těžištěm válce. ovia procháející osou rodělí válec a dvě stejě velké a stejě hmoté části. ověž rovia kolmá a osu v poloviě výšky rodělí válec a dvě stejě velké a vhledem k homogeitě tudíž stejě hmoté části. Těžiště válce je a ose v poloviě výšky. Studovaou kulovou vrstvu jsme si rodělili a ekoečě teké elemety objemu dv, které všechy mají tvar válce a mají společou osu totožou s osou v rotačí osou kulové vrstvy a tedy i osou. Těžiště bude ležet a této ose. (K témuž ávěru dospějeme úvahou, že libovolá rovia procháející osou rodělí kulovou vrstvu a dvě stejě velké a tudíž stejě hmoté části.) Protože se však měí poloměr jedotlivých elemetárích válců, musíme ajít polohu těžiště a ose. Polohu -ové souřadice těžiště ajdeme podle vtahu pro polohu těžiště homogeího tělesa = 1 dv = 1 V V 1 π( )d = 8 9π π( )d = 8 9 ( )d = 8 9 [ 4 4 ] = 8 9 ( 4 4 ( ) + ( ) 4 4 ) = 8 9 ( ) = ( ) = = 8 Při výpočtu mometu setrvačosti budeme vycháet e ámého vtahu pro momet setrvačosti válce vůči ose válce J válec = 1 m, kde m je hmotost válce, je poloměr válce. Pro ekoečě teký válec hmotosti dm s poloměrem r, který odpovídá elemetu objemu kulové vrstvy je momet setrvačosti ekoečě malá veličia dj = 1 r dm. Difereciál hmotosti můžeme vyjádřit e vtahu pro hustotu ρ = dm dv dm = ρ dv.

3 Pro momet setrvačosti elemetu objemu vůči ose dostáváme (opět s použitím Pythagorovy věty pro vyjádřeí vtahu průběžého poloměru r a souřadice ) dj = 1 r ρdv = 1 r ρπr d = 1 ( )ρπ( )d. Celkový momet setrvačosti ajdeme jako součet všech mometů setrvačosti elemetárích objemů, což odpovídá itegrálu J = 1 ρπ( ) 1 d = ρπ ( )d = ρπ [ ] a hustotu ρ le vyjádřit přes hmotost M a objem V 1 = 9 8 π kulové vrstvy ρ = M 8M 9 = π 9π 8 J = 1 8M 9π π ( ( ( ) + ) ( 5 ) ) 5 J = 4M5 9 ( ) = 17 4 M

4 Př. Najděte těžiště a momet setrvačosti homogeího tělesa ohraičeého plochami = ; = (x + y ). Předpokládejte, že je kladá, předem vybraá kostata. Polohu těžiště vyjádřete v ásobcích výšky tělesa, momet setrvačosti vyjádřete jako ásobek součiu hmotosti tělesa a čtverce výšky tělesa M. Řešeí: Postup je aalogický předchoímu příkladu, soustřeďme se je a klíčové kroky: r = r () = x + y = V = dv = S() d = πr () d = π d = 1 dv V J = 1 r ρπr d 1 = = π = π = 1 V πr d = π d = π = π M V r4 d = π M π d = M = M Př. Najděte těžiště a momet setrvačosti homogeího tělesa ohraičeého plochami = ; = (x + y ) ; x + y =. Předpokládejte, že je kladá, předem vybraá kostata. Polohu těžiště vyjádřete v ásobcích výšky tělesa, momet setrvačosti vyjádřete jako ásobek součiu hmotosti tělesa a čtverce výšky tělesa M. Řešeí: Postup u objemu a těžiště je aalogický předchoím příkladům, soustřeďme se je a klíčové kroky: S() = π π V = dv = S() d = π( ) d = 1 dv V = 1 S()d = V π π( )d = = π π = π ( ) = 1 Pro výpočet mometu setrvačosti si těleso rodělíme a ekoečě teké prstece tloušťky dr, výšky, poloměrem r, obvodem πr a objemem Momet setrvačosti vůči ose objektu je dv = πr dr = πr x + y dr = πr r dr J = a dm = a ρ dv = r M V (m) π r dr = π M π r5 dr = 4M = M

5 Ke stejým výsledkům le dojít i prostou úvahou výsledků předchoího příkladu: Těleso Př. (dále jej budeme oačovat dolím idexem ) a těleso Př. (dále jej budeme oačovat idexem ) dohromady tvoří homogeí válec s poloměrem a výškou. Objem tohoto válce je ovici V V = π = π = V 1 +V V = V V V = π π = π + ( π ) = π le chápat i tak, že těleso s objemem V se skládá dvou těles, plého válce s objem V V a dutiy, kterou matematicky popisujeme jako áporý objem V. Jelikož tato tělesa považujeme a homogeí a dutia V tvoří poloviu objemu válce V V, můžeme těleso s objemem V a hmotostí m = M rověž chápat jako složeé dvou těles, plého válce s hmotostí m V = M a dutiy se áporou hmotostí m = M. Jelikož áme polohu těžiště a momet setrvačosti u tělesa tvořícího dutiu = ; J = M a u válce áme polohu těžiště V =,5 i momet setrvačosti J V =,5 (M) = M. Polohu těžiště dvou objektů se ámými těžišti i hmotosti počítáme jako polohu těžiště soustavy hmotých bodů a momet setrvačosti jako součet mometů setrvačosti obou těles = i=1 i=1 m i m i i = 1 m m 1 i i = M M (1 M + ( M)) = 1. i=1 J = a dm = a dm + a dm (m V +m ) (m V ) (m ) = J V + J = M + ( M ) = M.