Kritická místa matematiky na základní škole očima učitelů

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Kritická místa matematiky na základní škole očima učitelů Miroslav Rendl, Naďa Vondrová Lenka Hříbková, Darina Jirotková, Jaroslava Kloboučková, Ladislav Kvasz, Anna Páchová, Isabella Pavelková, Irena Smetáčková, Eliška Tauchmanová, Jana Žalská Praha 2013

2 Recenzenti: prof. PhDr. Ivo Čermák, CSc. doc. PhDr. Alena Hošpesová, Ph.D. Autorsky se na publikaci podíleli: Lenka Hříbková kap. 6 Darina Jirotková kap. 2 Jaroslava Kloboučková kap. 2 Ladislav Kvasz kap. 8 Anna Páchová kap. 4, 6 Isabella Pavelková kap. 5 MiroslavRendl kap.1,4 Irena Smetáčková kap. 7 Eliška Tauchmanová kap. 5 Naďa Vondrová kap. 1, 3 Jana Žalská kap. 3 Kniha vyšla s podporou grantového projektu GA ČR P407/11/1740 Kritická místa matematiky na základní škole analýza didaktických praktik učitelů Vydává Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta na základě doporučení vědecké rady vydavatelství. 1. vydání c Miroslav Rendl, Naďa Vondrová a kol., 2013 c Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, 2013 ISBN

3 Obsah 1 Kritická místa matematiky zkoumání diskurzu učitelů 7 (Miroslav Rendl, Naďa Vondrová) 1.1 Cíl a metody výzkumu Sběr dat Analýza dat Zpracování knihy Struktura knihy Navazující výzkum a shrnutí Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů 19 (Darina Jirotková, Jaroslava Kloboučková) 2.1 Úvod Oblast konvencí Zaokrouhlování Související výzkum zaokrouhlování jako součást odhadování Oblast aritmetických operací Počítání s přechodem přes desítku Dělení se zbytkem Algoritmus písemného dělení dvojciferným dělitelem Početní algoritmy výzkumně podložená didaktická doporučení Oblast 2D geometrie Rýsování Míra v geometrii Slovní úlohy Vybrané výzkumy zahrnující slovní úlohy Shrnutí Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů 63 (Naďa Vondrová, Jana Žalská) 3.1 Úvod Aritmetika Desetinná čísla Zlomky Celá čísla Související výzkum Algebra algebraické výrazy Související výzkum

4 Obsah 3.4 Slovní úlohy Související výzkum Geometrie konstrukční úlohy Související výzkum Výpočty v geometrii (obsah, obvod, objem, povrch) Související výzkum Závěr Procesy učení v diskurzu učitelů matematiky na 2. stupni základní školy 127 (Miroslav Rendl, Anna Páchová) 4.1 Úvod Názornost jako východisko pochopení Názornost v různých oblastech Účinnost názornosti Objevování, vyvozování vs. učení zpaměti Představivost Základní orientovanost (nespecifická představivost) Prostorová představivost Vhled do struktury kvantit a čísel Porozumění Pozornost Kontrola a kritéria porozumění Logika vs. mechanika algoritmu Porozumění vs. dril Typové úlohy vs. variabilita Více věcí dohromady Logické myšlení Žáci zapomínají Opakování, procvičování, dril Dril jeho nutnost, důsledky absence Učebnice Domácí příprava Opakování rozložené v čase Shrnutí a diskuze Co učitelé očekávají od drilu Porozumění různé cesty ustavování konceptu Diferenciace pojmů a algoritmů Nabytí znalosti a její uchování v paměti Použití nabývání dovednosti a expertství Proč to nefunguje spolehlivě

5 Obsah 5 Motivace v diskurzu učitelů matematiky na 2. stupni základní školy 183 (Isabella Pavelková, Eliška Tauchmanová) 5.1 Úvod a způsob analýzy dat Postoje k matematice obliba, obtížnost, význam matematiky Obliba matematiky Obtížnost matematiky Význam matematiky (propojení matematiky s životem) Postoje k matematice výzkum Shrnutí analýz rozhovorů s učiteli postoje k matematice Cílová orientace žáků jako motivační zdroj Shrnutí cílová orientace Zájem a zaujetí žáků v úkolové situaci Vynaložené úsilí při práci a chuť pracovat (myslet) Shrnutí zájem a zaujetí žáků v úkolové situaci Strach v matematice Shrnutí strach v matematice Závěr Typy žáků v diskurzu učitelů základní školy 209 (Lenka Hříbková, Anna Páchová) 6.1 Úvod Typy žáků na 1. stupni základní školy Kontexty, souvislosti a charakteristiky žáků Kritéria pro kategorizaci charakteristik, popis rozsahu dimenzí atypyžáků Typy žáků na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů Charakteristiky žáků v různých kontextech Kategorizace, dimenze, typy žáků Diskuse a závěr Učitelské pojetí úspěšnosti v matematice: role školy a rodiny 259 (Irena Smetáčková) 7.1 Úvod Vliv rodiny na školní výkony: teoretická perspektiva Učitelské pojetí matematiky: jaký je účel školní výuky matematiky? Co má být výsledkem výuky školní matematiky? Výhody a úskalí obliby matematiky Strukturace a povinnost ve výuce matematiky úloha školy arodiny Zdroje školní ne/úspěšnosti v matematice Nadání Znalost a porozumění algoritmu Procvičování

6 7.4.4 Postoj k matematice Vzájemný vztah zdrojů úspěšnosti Dnešní děti jsou horší Nedostatek zkušeností Nedostatek zručnosti Nedostatek vůle Koalice mezi rodiči a učiteli Úloha rodičů v rámci školní přípravy Postoj rodičů a dětí k matematice Domácí úkoly a domácí příprava Domácí úkoly jako procvičování Další účely domácích úkolů Frekvence a kontrola domácích úkolů Hodnocení domácích úkolů Doučování a učení Škola a rodina partnerství, nebo hierarchie? Podpora školy ze strany rodičů specifická a nespecifická Diskuse: škola, rodina a domácí příprava Historické aspekty vyučování algebry 301 (Ladislav Kvasz) 8.1 Úvod Vznik, rozvoj a stabilizace symbolu pro neznámou Vznik, rozvoj a stabilizace zápisu mocnin neznámé Vznik, rozvoj a stabilizace symbolu pro odmocňování Vznik, rozvoj a stabilizace symbolů pro označování termů Vznik, rozvoj a stabilizace zápisu rovnic Vznik, rozvoj a stabilizace symbolů pro parametr Závěr didaktické důsledky vzniku, rozvoje a stabilizace algebraické symboliky Summary 325 Literatura 327 Jmenný rejstřík 345 Rejstřík 349 Příloha: Seznam dotazovaných učitelů a jejich základní charakteristiky 355 6

7 Kapitola 1 Kritická místa matematiky zkoumání diskurzu učitelů Miroslav Rendl, Naďa Vondrová V současné době vystupuje otázka matematických znalostí českých žáků jako velmi důležitá. Problémy v této oblasti jsou pociťovány již dlouhou dobu. Zřetelné podoby nabyly zejména ve výsledcích mezinárodních srovnávacích výzkumů TIMSS a PISA. Jakkoli jsou ve vztahu k celému rozsahu problematiky kurikula a didaktiky matematiky na základní škole omezené, lze je využít jako určité východisko analýzy. Ukazuje se, že obtíže mají žáci zejména v určitých oblastech. Např. ve studii PISA 2003 si čeští žáci vedli relativně hůře na škále změna a vztahy, kde statisticky významně lepších výsledků dosáhli žáci osmi zemí, a nejhůře na škále neurčitost, kde dosáhli pouze průměrného výsledku, přičemž statisticky významně lepší výsledky měli žáci šestnácti zemí (Palečková, Tomášek, 2005, s. 30). Podle národní zprávy TIMSS 2007 byli čeští žáci 8. ročníku nadprůměrní v aritmetice a v oblasti data a pravděpodobnost, průměrní při řešení geometrických úloh a podprůměrní v algebře (Tomášek a kol., 2008, s. 11). Podle studie (Rendl, Vondrová, v tisku), v níž jsou výsledky českých žáků studovány přímo ve vztahu k jednotlivým úlohám, se obtížná místa u našich žáků soustřeďují ve dvou širších okruzích: různé aspekty algebry, jak ji koncipují úlohy TIMSS, a úlohy vyžadující využití znalostí o vlastnostech geometrických útvarů ve složitějších výpočtech. Přirozeně se naskýtá otázka, jak slabiny českých žáků vnímají sami učitelé z praxe jako významní aktéři vzdělávacího procesu. 1.1 Cíl a metody výzkumu Cílem výzkumu, kterému jsme se věnovali v rámci projektu GAČR v letech a jehož výsledky přináší tato kniha, bylo shromáždit a analyzovat zkušenosti učitelů týkající se tzv. kritických míst v matematice základní školy. Jde o oblasti, v nichž žáci často a opakovaně selhávají, jinak řečeno, která nezvládnou na takové úrovni, aby se jejich matematická gramotnost 7

8 1 Kritická místa matematiky zkoumání diskurzu učitelů produktivně rozvíjela a také aby mohla být tvořivě užívána v každodenním životě. Přitom jsme vycházeli z předpokladu, že zkušení učitelé si za léta své praxe vypracovali prostředky, jak v těchto místech dětem pomoci, jak jim danou látku přiblížit, aby jí spíše porozuměly. Naším druhým cílem bylo shromáždit tyto výukové postupy a konfrontovat je s výsledky výzkumu. Při zvažování výběru vhodné metody výzkumu jsme brali v úvahu, že chceme klást důraz na to, jak vidí problematiku přímo učitelé, aniž bychom jim předem podsouvali své náhledy. Nemohli jsme tedy použít dotazník, který by nutně obsahoval předem připravené hypotézyotom,coučiteléasizakritická místa považují, a omezil tak šíři jejich pohledu. Kromě toho jsme potřebovali získat dostatek informací o problematice, abychom je mohli následně interpretovat. Rozhodli jsme se tedy ve prospěch hloubkového rozhovoru 1 s učiteli, který umožní tazateli, aby položil otevřené otázky a v případě potřeby se doptal na další vysvětlení. Na druhou stranu jsme tím museli rezignovat na velké vzorky respondentů. Hloubkové rozhovory s učiteli nejsou v českém pedagogickém výzkumu neobvyklé. Např. T. Janík (2007) pomocí rozhovorů zjišťoval pojetí výuky u vzorku 11 učitelů. O přístupu učitelů gymnázia k tvorbě kurikula bylo pojednáno na základě jedné rozsáhlé případové studie pro každý sledovaný vyučovací předmět založené na rozhovorech a náslechu jedné hodiny (Píšová a kol., 2011). K. Černý (2012) zkoumal pojetí výuky nejnovějších dějin u 41 učitelů (v rámci tzv. ohniskových skupin). R. Švaříček a K. Šeďová (2007) na základě hloubkových rozhovorů s 10 učiteli a náslechů na jejich hodinách popisují, jak ovlivňuje ICT mocenské postavení učitele. Z. Šalamounová a R. Švaříček (2011) na základě rozhovorů s 16 učiteli humanitních předmětů charakterizují učitelské pojetí komunikace v hodinách. M. Holubová (2011) zkoumá pomocí polostrukturovaných rozhovorů s 8 učiteli, jak učitelé vnímají přechod mezi 1. a 2. stupněm základní školy. Výše řečené ukazuje, že je metoda rozhovoru vhodná pro zjišťování učitelské perspektivy vůči vlastní výuce a současně že u nás dosud nebyl publikován větší výzkum založený na rozhovorech s učiteli matematiky. 1.2 Sběr dat Výzkum byl založen na rozhovorech s vyučujícími 1. a 2. stupně základních škol a nižšího stupně gymnázií. Naším záměrem bylo získat pro rozhovory především zkušené učitele a učitelky s delší dobou praxe, případně vyučující, 1 Ve shodě s (Švaříček a kol. (eds.), 2007) budeme používat termín rozhovor, i když se často používá anglický termín interview (Hendl, 2008). 8

9 1.2 Sběr dat kteří jsou považováni za úspěšné. Jedná se tedy do jisté míry o předem danou strukturu výběru (Hendl, 2008), co se týče zkušeností a délky praxe. Co se týče místa, jednalo se o příležitostný výběr učitelů, kteří byli ze škol pro nás dostupných a současně byli ochotni se zúčastnit časově náročného rozhovoru a dát nám možnost podívat se do jejich hodiny matematiky. Přirozeně se jednalo o kvalifikované učitele dostatečně sebevědomé v oblasti výuky matematiky, neboť do jisté míry poskytli ke zkoumání svou odbornou erudici. Můžeme tedy s určitou dávkou jistoty předpokládat, že se jedná o učitele experty. Vzorek učitelů nelze v žádném případě považovat za reprezentativní, to však není v případě kvalitativního výzkumu tohoto typu požadavkem ani zásadním, ani splnitelným. Z našeho hlediska je důležité, že učitelé pocházejí z různých škol v různých krajích České republiky, jsou různého věku a s různou délkou praxe, jsou absolventy různých vysokých škol a fakult a nezastávají jednotné pojetí výuky matematiky. Ze samotných rozhovorů pak vyplývá, že i složení jejich žáků je ze socio-ekonomicko-kulturního hlediska dostatečně různorodé. Není tedy důvod se obávat, že by z hlediska předmětu výzkumu byl soubor zatížen nějakou systematickou chybou. Výzkumu se zúčastnilo celkem 60 učitelů. Přesnější údaje o jejich demografických charakteristikách poskytuje tabulka v příloze. Souhrnné údaje jsou v tab Mezi učitele 2. stupně jsou v tabulce zahrnuti i učitelé osmiletého gymnázia (celkem 5) a gymnázia (celkem 2), a to proto, že se v rozhovorech vyjadřovali o kritických místech matematiky 2. stupně základní školy. Tab. 1.1: Přehled dotazovaných učitelů Učitelé Počet Mužů Žen Délka praxe Průměrná délka praxe Medián délky praxe Praha Mimo Prahu Náslechů Následných rozhovorů 1. stupně let 18 let 17 let stupně let 22 let 21 let Způsob vedení rozhovorů se nejvíce blíží tomu, co J. Hendl (2008) označuje jako rozhovor pomocí návodu. Cílem rozhovoru bylo zjistit, jaké oblasti matematiky považují vyučující za kritické ve smyslu uvedeném výše, jak se s nimi vypořádávají a v čem spatřují příčiny žákovských obtíží. Předem byla stanovena témata, kterých by se každý rozhovor měl dotknout: profesní dráha učitele, učivo dříve a nyní, současné učivo podle používané učebnice 9

10 1 Kritická místa matematiky zkoumání diskurzu učitelů nebo školního vzdělávacího plánu z hlediska jeho obtížnosti pro žáky a učitele (tedy která část učiva je kritickým místem), přechod mezi stupni škol a matematické znalosti, vyučovací metody, diferenciace žáků, učitelské pojetí matematiky, spolupráce s učiteli a rodiči. 2 Učebnice byly v rámci rozhovoru použity jako podpůrný materiál, který sloužil k tomu, aby si učitel oživil, které učivo se na příslušném stupni školy probírá, a současně abychom získali pokud možno popis praktik a situací (nejen informace o postojích). Nebylo ovšem dáno ani přesné znění otázek, ani pořadí témat. Tazatel se přizpůsoboval tomu, která témata vyučující rozvíjel, nijak ho v tomto ohledu neomezoval. V případě potřeby formuloval otázky ad hoc. Rozhovory se tak vzájemně liší z hlediska rozsahu, který byl věnován jednotlivým tématům, a do jisté míry se liší i z hlediska zastoupení témat. Na druhé straně v žádném případě neplatí, že každý rozhovor je o něčem jiném. Tazateli byli členové řešitelského týmu projektu GAČR a ve třech případech studenti navazujícího magisterského studia matematiky (celkem šlo o 14 tazatelů). Všichni byli proškoleni, jak rozhovor vést a zaznamenat, mimo jiné při společné hrubé analýze prvního pilotního rozhovoru. V první polovině roku 2011 byly provedeny 4 pilotní rozhovory, od podzimu téhož roku pak byly rozhovory sbírány postupně až do podzimu Ukázalo se, že již pilotní rozhovory přinášely ty informace, které jsme od nich očekávali. Změny pro rozhovory hlavní studie byly jen kosmetické, proto jsou i pilotní rozhovory zahrnuty do analyzovaných dat. Rozhovory trvaly mezi 50 a 70 minutami, výjimečně byly kratší (kolem 30 minut) či delší (až do dvou hodin). Ze všech rozhovorů byly se souhlasem vyučujících pořízeny audio-záznamy. Pokud to bylo možné, po rozhovorech následovaly (ve 20 případech) náslechy tazatelů na jedné či více vyučovacích hodinách matematiky, které vedli dotazovaní učitelé. Z těchto náslechů byl pořízen písemný záznam (až na několik výjimek, kdy byl získán videozáznam). Cílem náslechů bylo do jisté míry verifikovat to, co učitel v rozhovoru sdělil o svém pojetí výuky matematiky, získat o něm více informací a v neposlední řadě získat podklad pro následné rozhovory. Tyto následné rozhovory byly provedeny s 18 učiteli, u nichž byl při prvním rozhovoru shledán potenciál pro další hodnotné poznatky vzhledem k cílům našeho výzkumu. Získaná data považujeme za validní z hlediska jejich výpovědní hodnoty o tématu, jímž se zabýváme. Během rozhovorů se podařilo navodit přátelskou 2 Několik málo rozhovorů s učiteli se této obecné charakteristice vymyká (viz tabulka v příloze a její popis). 10

11 1.3 Analýza dat atmosféru, učitelé se necítili ohroženi, ochotně s námi sdíleli své náhledy na vyučování matematice a popisovali své didaktické praktiky. Nepozorovali jsme snahu odpovídat účelově tak, aby se jevili v lepším světle. Atmosféra byla vesměs uvolněná, což stejně jako autentičnost projevu lze vypozorovat i z citací z rozhovorů uvedených v jednotlivých kapitolách. Jsme si pochopitelně vědomi, že výpovědi učitelů neodrážejí realitu jako takovou, ale realitu viděnou a sdělenou učitelem. Učitel je ovšem důležitým aktérem dění ve třídě a z hlediska etnografického přístupu tak může být považován za experta, a to i kdybychom nechali stranou jeho pedagogickou kvalifikaci. Nevyhnutelná subjektivita jednotlivých vyučujících je také do značné míry objektivizována (triangulována) výpověďmi ostatních. Přesto tam, kde se pokoušíme prostřednictvím výpovědí interpretovat realitu samu a formulovat hypotetické závěry, bereme možná omezení v úvahu. 1.3 Analýza dat První i následné rozhovory s učiteli byly přepsány do protokolů. Přepisy nebyly zcela doslovné, ovšem význam sdělení byl zachován. Vynechána byla např. vycpávková slova, přeřeknutí, zbytečné opakování slov apod. K přepisu byl použit software NovaVoice. Ke zpracování textové podoby rozhovorů i zápisů z náslechů hodin byl použit software Atlas.ti. V první fázi, kterou by bylo možno chápat jako otevřené kódování ve smyslu technik zakotvené teorie (Strauss, Corbinová, 1999), byl vytvořen a aplikován systém předběžného kódování. Jeho kategorie sdružovaly obsahově podobná a opakující se vyjádření bez vzájemných vazeb. Další fází, kterou by bylo možné označit za axiální kódování, bylo seskupení velkého počtu předběžných kategorií do základních tematických oblastí, k nimž se rozhovory vyjadřovaly. Při způsobu, jakým byly rozhovory vedeny, nebylo nijak překvapivé, že ve výsledku pokrývaly mnohem širší tematické pole než jen samotnou obtížnost různých učebních celků a způsoby jejich didaktického zvládání. Kódování v rámci prvních dvou fází prováděl dílčí tým řešitelů projektu s tím, že na společných schůzkách byla hledána shoda nad vznikajícím kategoriálním systémem. Následně se analýzy identifikovaných tematických oblastí ujali jednotliví členové týmu, resp. jejich dvojice. Pro každou tematickou oblast bylo provedeno tzv. jemné kódování, které vlastně spočívalo v novém kódování výpovědí učitelů vztahujících se k danému tématu. To od autorů vyžadovalo přinejmenším restrukturaci původního systému kategorií, 11

12 1 Kritická místa matematiky zkoumání diskurzu učitelů většinou však vytvoření systému nového. 3 Jemné kódování bylo prováděno ve vzájemné spolupráci, která zajistila vysokou shodu mezi kódováním výzkumníků. U sporných případů byla hledána shoda. Výsledný kategoriální systém vlastně tvoří strukturu daného tématu, ze kterého pak vychází členění příslušné kapitoly v knize. Jinak řečeno, už samo členění každé kapitoly představuje jeden z výsledků provedené analýzy a prezentuje v určité míře výsledný kategoriální systém, proto se jím zde nebudeme blíže zabývat. Je přirozené, že se při analýzách rozhovorů s učiteli musíme dopouštět jistých interpretací toho, co nám sdělili. Vždy jsme však byli vedeni snahou do jisté míry triangulovat získanou informaci, tedy interpretovat ji nejen na základě přímého sdělení, ale z celého kontextu rozhovoru a případně i ze záznamu náslechu na hodinách vedených učitelem. 1.4 Zpracování knihy Při psaní knihy jsme museli řešit několik problémů. První z nich se týkal generického maskulina vs. genderově neutrálních tvarů při označení vyučujících a dětí. Termín učitelé (pokud není z kontextu míněn jinak) zahrnuje jak učitele, tak učitelky. Totéž platí pro termín žáci. I když se kniha skládá z jednotlivých kapitol, které mají své autory, jedná se o společné dílo. Proto jsme se i u kapitol, kde jsou autorky ženy, přiklonili k autorskému plurálu. Další problém se týkal formy uvádění citací z rozhovorů s učiteli, které používáme v knize jako podporu našich tvrzení. Protože se jednalo o záznamy ústních výpovědí, zcela přirozeně obsahují nešikovně formulované pasáže, v nichž učitel vynechal některá slova, nedopověděl větu apod., a mohou být bez širšího kontextu špatně pochopitelné. Proto jsme použité citáty, pokud to bylo nutné, mírně upravili tak, aby byly pro čtenáře srozumitelné a jejich význam přitom zůstal beze změny. Přitom jsme vzali v úvahu kontext celé pasáže rozhovoru, případně se i vrátili ke zvukovým záznamům. Jinak ale byla vyjádření učitelů ponechána v jejich hovorové podobě. Citáty z rozhovorů s učiteli jsou v knize používány v hojné míře, tvoří podstatnou část jednotlivých kapitol. Je to přirozené, vezmeme-li v úvahu, že 3 To by bylo možno označit za teoretické kódování za snahu strukturovat v rámci tématu výpovědi učitelů prostřednictvím emergujících, ale zároveň vzájemně provázaných kategorií, které vytvářejí určitý konceptuální rámec. Na této konceptualizaci se ovšem nevyhnutelně podílí i zkušenost a teoretické zázemí badatele. 12

13 1.5 Struktura knihy celý výzkum je postaven právě na nich. Každá významnější teze, kterou uvádíme a která vychází z analýz rozhovorů, je dokumentována jedním či více citáty. Považujeme to za nezbytné, mají-li být naše závěry přesvědčivé a zakotvené v datech. Některé citáty jsou uvedeny ve více kapitolách, protože ilustrují různé jevy. Pro snazší porozumění textu jsme se rozhodli takové citáty spíše zopakovat, než aby musel čtenář přecházet mezi kapitolami. Citáty z rozhovorů s učiteli jsou vysázeny kurzívou a vynechané pasáže jsou vyznačeny hranatými závorkami: [...] Na každého učitele je odkázáno kódem za citátem, ve formě např. U01. Základní charakteristika daného učitele (místo, kde pracuje, na jakém stupni školy pracuje, jakou má délku praxe a podle jaké učebnice vyučuje) je uvedena v tabulce v příloze. Počet učitelů, kteří se zúčastnili našeho výzkumu, dovoluje již určitou kvantifikaci. Nicméně namístě je určitá opatrnost. Pokud se učitel o daném problematickém místě či jevu nezmínil, neznamená to, že ho za problematický nepovažoval. Je možné, že na něj prostě nepřišla řeč. Na druhou stranu jsme museli udělat určité rozhodnutí, kdy již budeme dané místo považovat za kritické, a budeme se jím tedy podrobněji zabývat. Proto jsme zejména vkapitolách2a3uvedliipočtyučitelů,kteříourčitéoblastimatematiky mluvili jako o problematické. U jiných jevů naopak nebylo důležité, kolik učitelů se o daném jevu zmínilo. Např. v případě popisu didaktických technik, které učitelé používají ke zvládání žákovských obtíží, či u zmínek o způsobu motivace žáků. O zahrnutí jevu do naší analýzy v tomto případě rozhodovala spíše síla myšlenky či její originalita. Co tím přesně myslíme, bude zřejmé z obsahu jednotlivých kapitol. 1.5 Struktura knihy Domníváme se, že předložená monografie je cenná v tom, že všechny kapitoly se vztahují k jednomu korpusu dat, který zkoumají z různých hledisek. Odlišné přístupy a akcenty autorů kapitol jsou dány jednak tematickým zaměřením té které kapitoly, jednak odborným zázemím a osobním výzkumným zaměřením autorů. Za významný faktor považujeme spolupráci didaktiků matematiky a psychologů v řešitelském týmu projektu, jež umožnila prozkoumat problematiku z více úhlů pohledu. Kniha začíná dvěma kapitolami, které řeší ústřední téma našeho výzkumu: Kritická místa matematiky na 1., resp. 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů. U každého identifikovaného kritického místa je zmíněna povaha žákovských obtíží a jejich příčiny tak, jak je vidí učitelé, a současně jsou popsány didaktické přístupy, které učitelé podle svých slov k překonávání 13

14 1 Kritická místa matematiky zkoumání diskurzu učitelů obtíží využívají. Ke každé z kritických oblastí existuje nepřeberné množství výzkumů (alespoň v zahraniční literatuře). Z nich byly vybrány vesměs výzkumy typu experimentální versus kontrolní skupina, které umožňují zasadit používané didaktické přístupy do výzkumného kontextu. Podstatně jsme využili také výsledků rozsáhlé meta-analýzy (Geary et al., 2008; Gersten et al., 2008), která se soustředila mimo jiné na procesy učení v matematice a procesy výuky matematiky a byly v ní zpracovány pouze výsledky vysoce kvalitních výzkumů. V rozhovorech s učiteli 1. stupně byla jako kritická identifikována oblast zaokrouhlování, aritmetické operace (jmenovitě přechod přes desítku, dělení se zbytkem a písemný algoritmus dělení), rýsování, míra v geometrii a slovní úlohy. Posledně tři jmenovaná místa se významně projevila i v diskurzu učitelů 2. stupně, proto je většina výzkumů, které jsou pro nás v těchto oblastech relevantní, shrnuta až ve třetí kapitole. Učitelé 2. stupně navíc mluvili o problémech v oblasti aritmetiky s celými a desetinnými čísly a zlomky a v oblasti úprav algebraických výrazů. V závěru třetí kapitoly jsme se pokusili o určité obecnější úvahy shrnující některé charakteristiky učitelských sdělení k povaze kritických míst v matematice. Již při hrubé analýze přepisů rozhovorů se ukázalo, že se v nich objevuje celá řada dílčích témat, s nimiž jsme zpočátku nepočítali. Když učitelé hovořili o problematických místech, o obtížích svých žáků a jejich příčinách i o svých výukových přístupech, přirozeně se dotýkali problematiky učení a úspěšnosti učení, motivace, typologie žáků, úlohy rodiny apod. Velmi často v rozhovorech zaznívalo téma širších společenských souvislostí. Do hry se tedy dostal širší kontext, ve kterém učitelé o obtížných místech hovoří. Tento širší kontext je tématem dalších kapitol knihy. Kapitola čtvrtá (Procesy učení v diskurzu učitelů matematiky na 2. stupni základní školy) mapuje, jak učitelé matematiky 2. stupně hovoří o psychických procesech souvisejících s učením a o tom, zda některé z nich spojují s problémy v matematice. Nepřekvapuje, že za klíčové považují učitelé porozumění a dlouhodobé uchování učiva v paměti. Překvapivější je zjištění, jaký důraz přitom kladou na intenzivní procvičování, které také běžně nazývají drilem. Zajímavé ovšem je, že v psychologických výzkumech a koncepcích jsme pro jejich přístup nalezli do značné míry podporu. Na druhé straně však zvažujeme také možná omezení některých přístupů k výuce, na která je možné z rozhovorů vysuzovat. Pátá kapitola je nazvána Motivace v diskurzu učitelů matematiky na 2. stupni základní školy. Přesto, že rozhovory nebyly primárně zaměřené na motivaci, 14

15 1.5 Struktura knihy potvrzují výroky učitelů, že problémy s motivací v matematice jim velmi ztěžují práci při výuce. Analýza učitelského diskurzu přináší podněty pro pochopení, jak učitelé s motivací pracují, a velmi zajímavě doplňuje výzkumná zjištění realizovaná jednou z autorek kapitoly na žákovské populaci. Učitelé u některých motivačních témat naznačovali i určitou bezradnost při jejich řešení. Jde například o žákovské odmítání náročné práce (neochotu některých žáků přemýšlet), problémy s pozorností žáků (roztěkanost), učitelé mimo jiné hovoří i o neschopnosti některých žáků najít subjektivní smysl v zaobírání se matematickými úlohami. Cílem následující, šesté kapitoly Typy žáků v diskurzu učitelů základní školy bylo zjistit, zda a jakým způsobem učitelé 1. stupně a učitelé matematiky 2. stupně základní školy kategorizují žáky. Učitelé se ve svých výpovědích o kritických místech matematiky kategorizaci žáků nevyhnuli. Obecně můžeme konstatovat, že pro učitele bylo klíčové rozlišování žáků jednak na základě jejich silných a slabých stránek, jednak na základě jejich přístupu ke školní práci. Nejvíce se vyjadřovali k celému spektru kognitivních schopností a vlastností. Druhou podstatnou dimenzí jsou motivační charakteristiky, přičemž se ukázalo, že obliba matematiky u dětí je důležitá hlavně pro učitele 1. stupně. Učitelé zejména 1. stupně zmiňují i žáky tvořící specifické skupiny v rámci žákovské populace, např. žáky s různými handicapy a problémy. Na 2. stupni se tato specifická dimenze stává pro učitele málo významnou, ale objevuje se tu velmi výrazně kategorizování žáků podle pohlaví. Téma oblasti analyzované v kapitole není zatím v literatuře příliš hojně zastoupeno. Některé studie však existují konfrontace s nimi je uvedena v závěrečném oddílu. Sedmá kapitola (Učitelské pojetí úspěšnosti v matematice: role školy a rodiny) se věnuje učitelským představám o rodičích a spolupráci mezi školou a rodinou. Vyučující operují s poměrně jasnou a homogenní představou toho, jaký je podíl rodičů na školní úspěšnosti dětí. Mluví o čtyřech faktorech, které podmiňují školní úspěšnost nadání, procvičování, znalost algoritmu a postoj k matematice, přičemž do každého z nich se zapojují rodiče. Formy zapojení rodičů však chtějí určovat sami vyučující tak, aby korespondovaly s podobou školního vyučování, za něž primární zodpovědnost leží na škole. Vyučující od rodičů požadují dva typy spolupráce specifickou a nespecifickou. Na jedné straně tedy očekávají, že rodiče budou podporovat respekt dětí ke škole a budou je celkově rozvíjet. Na druhé straně ale také apelují na konkrétní praktiky, jako např. domácí úkoly nebo doučování. Většina vyučujících pokládá domácí úkoly za nezbytné a kriticky hodnotí rozšiřující se trend odmítání domácích úkolů. 15

16 1 Kritická místa matematiky zkoumání diskurzu učitelů Poslední kapitola nazvaná Historické aspekty vyučování algebry se svým charakterem vymyká zbytku knihy. Jako jediná nepracuje přímo s výroky učitelů, ale reaguje na výsledky analýzy kritických míst z druhé a třetí kapitoly a dává je do souvislosti s vývojem matematiky. Ukazuje se totiž, že přinejmenším některá z pozorovaných obtížných míst mohou mít svou paralelu v historii matematiky, což shrnuje oddíl věnovaný didaktickým důsledkům vzniku, rozvoje a stabilizace algebraické symboliky. Kapitola by alternativně mohla být zařazena hned za třetí kapitolu, ovšem tím by narušila logiku řazení kapitol, které spojuje společná linka analýz rozhovorů s učiteli. Proto byla zařazena až na konec knihy. Kniha je zakončena společným seznamem použité literatury a pro snazší orientaci doplněna věcným a jmenným rejstříkem. Přílohu tvoří seznam dotazovaných učitelů s jejich základními charakteristikami. 1.6 Navazující výzkum a shrnutí Na závěr úvodní kapitoly je nutné poznamenat, že učitelé ve svých výpovědích nepopisovali problémy svých žáků a své didaktické praktiky tak konkrétně, jak jsme původně očekávali. Zejména jako ilustrace typických jevů nepopisovali konkrétní příklady (případy), ale pohybovali se většinou v obecnější rovině. Na přímý dotaz na konkrétní případy často uváděli případy spíše raritní či extrémní. U popisu didaktických praktik často neuváděli podrobnosti a mluvili spíše obecně. Proto budeme danou problematiku v rámci projektu GAČR zkoumat i nadále jinými metodami. Pro získání hlubšího vhledu do problematiky žákovských obtíží výzkum pokračuje hloubkovými rozhovory se žáky nad řešením úloh z oblastí, které byly dotazovanými učiteli označeny jako kritické. Výsledky této části výzkumu budou publikovány v samostatné monografii. Pro ověření náhledu učitelů na kritické oblasti matematiky připravujeme dotazník pro učitele, který obsahuje některé teze, které jsme v rozhovorech s učiteli identifikovali. Dotazník bude zadán širšímu vzorku respondentů v roce Závěrem konstatujeme, že i když není výběr dotazovaných učitelů reprezentativní, považujeme závěry, k nimž jsme ve výzkumu dosud dospěli a které jsou uvedeny přímo u jednotlivých kapitol, za významné přinejmenším v kontextu České republiky. Pohledu učitelů na problematiku kritických míst v matematice se dosud nevěnovala žádná pozornost, a kniha tedy přináší určitý prvotní popis situace, který lze dále prokreslovat a zpřesňovat. Výsledky 16

17 1.6 Navazující výzkum a shrnutí jsou využitelné nejen v dalším výzkumu (rozhovory lze dále analyzovat z jiných hledisek; náhledy učitelů matematiky např. na příčiny problémů žáků lze komparovat s náhledy učitelů jiných předmětů; lze sledovat korespondenci popisovaných didaktických praktik s pedagogickou praxí), ale také v přípravě učitelů a jejich dalším vzdělávání (o výsledcích analýz, obtížích žáků a didaktických praktikách učitelů lze diskutovat s budoucími učiteli, studenti je mohou konfrontovat se svými představami; důležité jsou i uvedené výsledky souvisejících výzkumů v kritických oblastech matematiky, které se týkají jejich výuky) a ve školské praxi. Kniha je určena didaktikům matematiky a vzdělavatelům učitelů matematiky a učitelů 1. stupně základní školy, dále doktorandům a konečně i samotným učitelům a studentům učitelství. 17

18

19 Kapitola 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Darina Jirotková, Jaroslava Kloboučková 2.1 Úvod V této kapitole se věnujeme analýze rozhovorů s učiteli 1. stupně základní školy z pohledu kritických míst v učivu matematiky. V rozhovorech identifikujeme oblasti, pojmy či jevy, o kterých učitelé mluvili jako o problematických jak z pohledu žáků, tak z pohledu jich samotných. Při svých analýzách vycházíme z 26 rozhovorů s učiteli 1. stupně základní školy (viz tabulka v příloze, učitelé U01 U26). V jejich přepisech jsme identifikovali sedm kritických oblastí prvostupňové matematiky, které učitelé označili jako problémové. Uvádíme zde pouze ty, o nichž se zmínil větší počet učitelů z našeho vzorku. Kritické oblasti můžeme rozdělit do čtyř skupin: 1. Oblast konvencí Zaokrouhlování 12 učitelů, z nichž 5 se zmiňovalo o této oblasti opakovaně, 2 učitelé uvedli, že toto není kritické místo. 2. Oblast aritmetických operací (počítání s přechodem přes desítku, dělení se zbytkem, písemné dělení dvojciferným dělitelem) Počítání s přechodem přes desítku 12 učitelů, z nichž 2 se zmiňovali o této oblasti opakovaně, 2 učitelé uvedli, že toto není kritické místo. Dělení se zbytkem 11 učitelů, z nichž 4 se zmiňovali o této oblasti opakovaně, žádný z učitelů neuvedl, že to není kritické místo. Písemné dělení dvojciferným dělitelem 17 učitelů, z nichž 5 se zmiňovalo o této oblasti opakovaně, žádný z učitelů neuvedl, že to není kritické místo. 3. Oblast 2D geometrie Konstrukce, rýsování 20 učitelů, z nichž 7 se zmiňovalo o této oblasti opakovaně, žádný z učitelů neuvedl,žetotoneníkritickémísto. 19

20 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Obvody, obsahy 14 učitelů, z nichž 5 se zmiňovalo o této oblasti opakovaně, žádný z učitelů neuvedl, že toto není kritické místo. 4. Oblast průřezová Slovní úlohy 21 učitelů, z nichž 16 se zmiňovalo o této oblasti opakovaně. Samozřejmě, že při pohledu na četnost výskytu jednotlivých oblastí musíme vzít v úvahu, že když se nějaký učitel o problémové oblasti nezmínil, neznamená to nutně, že pro něj problémová není. Mohlo se stát, že na dané téma nepřišla řeč. U každé oblasti nejdříve stručně uvedeme, jak je učivo představeno v učebnicích, 1 které jsou nejčastěji používány našimi učiteli a také pokrývají největší část našeho trhu učebnice matematiky pro 1. stupeň základní školy z nakladatelství Alter. 2 To nám umožní rozumět některým výpovědím učitelů 3 a uvědomit si, jakou mají učitelé zřejmě v učebnicích oporu, do jaké míry je využívají a do jaké míry jsou ve svých didaktických praktikách tvořiví. Na druhou stranu si uvědomujeme, že při výuce záleží zejména na učiteli a jeho konkrétním způsobu, jak učebnice používá. Dále uvedeme s komentáři několik typových výpovědí učitelů, které reprezentují skupinu obdobných výpovědí dalších učitelů, a popíšeme, jaké didaktické praktiky učitelé používají, aby zmiňované obtíže svých žáků překonali. O každé z kritických oblastí existuje celá řada výzkumných studií zabývajících se žákovským porozuměním, výukovými přístupy, znalostmi učitelů. Vzhledem k omezenému rozsahu textu jsme se rozhodli (stejně jako autorky kapitoly 3) uvést jen ty výzkumy, které se zabývají nějakými konkrétními výukovými přístupy k danému tématu, tedy až na výjimky výzkumy typu experimentální vs. kontrolní skupina. Popisované didaktické praktiky dáme do souvislosti s výsledky vybraných výzkumů, k čemuž využijeme zejména rozsáhlé metaanalýzy výzkumů (The Final Report of the National Mathematics Advisory Panel, 2008), kterou zadal U.S. Department of Education 1 I když analýza dat probíhala opačně nejdříve jsme identifikovali ve výpovědích učitelů kritická místa a jak s nimi učitelé didakticky pracují, a teprve pak jsme konfrontovali jejich popis s učebnicemi. 2 Učebnice nakladatelství Alter vydané v roce Matematika pro 3. ročník (autorky R. Blažková, M. Vaňurová, K. Matoušková, H. Staudková), Matematika pro 4. ročník 1. díl (autorka J. Justová), Matematika pro 4. ročník 2., 3. díl (autorky R. Blažková, K. Matoušková, M. Vaňurová), Matematika pro 5. ročník 1., 2., 3. díl (autorka J. Justová). 3 Ukázalo se, že učebnice jsou pro použitý metodický postup učitele často určující. 20

21 2.2 Oblast konvencí Zaokrouhlování předním americkým badatelům z didaktiky matematiky a která se soustředila mimo jiné na procesy učení se ( learning processes, Geary et al., 2008) a výuky ( instructional practices, Gersten et al., 2008). V metaanalýze byly zpracovány pouze výsledky vysoce kvalitních výzkumů, didaktická doporučení, která z nich vzešla, jsou tedy pro nás relevantní. Výzkumy u kritické oblasti 2D geometrie zde uvádět nebudeme, neboť se jedná o oblast, kterou jako kritickou uvedli také učitelé 2. stupně základní školy, a výzkumy budou u ní uvedeny až v kapitole 3. Konečně dodejme, že didaktické zpracování učiva matematiky 1. stupně se ve všech učebnicích dostupných v současné době na českém trhu, s výjimkou učebnic M. Hejného a kol. z nakladatelství Fraus, 4 podstatně neliší, a tak budeme učebnice z nakladatelství Alter brát jako reprezentanta nejvíce používaných učebnic. Zpracování učiva v učebnicích M. Hejného je zcela odlišné, 5 a protože několik učitelů, kteří poskytli rozhovor, je se svými žáky používá (viz tabulka v příloze), uvedeme místy pro srovnání i jejich pohled na diskutovaná problémová místa a pokusíme se charakterizovat didaktické zpracování daného učiva v těchto učebnicích. 2.2 Oblast konvencí Zaokrouhlování 6 První oblastí, které se budeme věnovat, je zaokrouhlování. Nezanedbatelný počet učitelů našeho vzorku poukazuje na to, že zaokrouhlování je problém, a z rozhovorů vyplývá, že mu věnují značnou pozornost. Tato látka je sice záležitostí konvence, avšak nevyžaduje od žáků pouze dobré zapamatování. Vyžaduje dovednost dále pracovat s podmínkami a vyslovená pravidla aplikovat, tzn. vybrat to správné pravidlo a podle něj operaci realizovat. 4 Učebnice nakladatelství Fraus vydané mezi lety 2008 a 2013: Matematika 1 (autoři M. Hejný, D. Jirotková, J. Slezáková-Kratochvílová), Matematika 2 (autoři M. Hejný, D. Jirotková, J. Slezáková-Kratochvílová), Matematika 3 (autoři M. Hejný, D. Jirotková, J. Slezáková-Kratochvílová, J. Michnová), Matematika 4 (autoři M. Hejný, D. Jirotková, E. Bomerová), Matematika 5 (autoři M. Hejný, D. Jirotková, E. Bomerová, J. Michnová). 5 M. Hejný didakticky zpracoval učivo tak, že umožňuje žákům budování mentálních schémat matematických pojmů, vztahů, procesů a situací. Učivo matematiky je vloženo do mnoha prostředí a jeho úspěšná implementace vyžaduje takový výukový přístup, ve kterém učitel rozvíjí autonomii žáků, nevysvětluje, organizuje diskuse třídy a nabízí žákům takové úlohy, jejichž řešením mohou žáci objevit a vyvodit téměř všechny matematické poznatky. 6 Unární operace zaokrouhlování je založena na několika pravidlech, jak se zaokrouhlují čísla na desítky, na stovky apod. Od žáků se zpravidla očekává, že pravidla přijmou, zapamatují si je a budou je aplikovat v úlohách. 21

22 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů a) Zaokrouhlování v učebnicích V učebnicích nakladatelství Alter (z roku 2010) je toto učivo rozděleno do čtyř kroků. První krok se dělá již ve 3. ročníku (1. díl, s. 54). Po krátké motivační úloze, jak si maminka počítala, kolik přibližně bude stát nákup, je v rámečku uvedeno pravidlo na zaokrouhlování dvojciferných čísel na desítky spolu s několika ilustracemi: Jak zaokrouhlujeme na desítky? 1. Jestliže na místě jednotek je některé z čísel 0, 1, 2, 3, 4, pak desítky ponecháme a na místo jednotek napíšeme nulu. (Zaokrouhlování dolů.) Pozoruj na číselné ose nebo na pravítku. Příklad: 12 = = =60.. Symbol = čteme rovná se po zaokrouhlení. 2. Jestliže na místě jednotek je některé z čísel 5, 6, 7, 8, 9, pak počet desítek zvětšíme o jednu a na místo jednotek napíšeme nulu. (Zaokrouhlování nahoru.) Pozoruj na číselné ose nebo na pravítku. Příklad: 17 = = =. 100 Pravidlo je formulováno operacionalisticky ve tvaru dvou implikací, pro které se zavedou názvy zaokrouhlování dolů a zaokrouhlování nahoru. Jako součást prezentace následných úloh na procvičování je situace vizualizována pomocí číselné osy a dvou barev na odlišení zaokrouhlování dolů a nahoru. Druhý krok následuje asi o dva měsíce později, kdy je zavedeno zaokrouhlování trojciferných čísel na stovky i na desítky (2. díl, s. 32). Pravidlo se již nevysvětluje, jen se sdělí, že na stovky budeme zaokrouhlovat podle stejných pravidel. Jako pomůcka je uvedeno toto sdělení: Zaokrouhlujeme-li číslo na stovky, je rozhodující číslice na místě desítek. Výrazně pomocná je vizualizace, která zdůrazňuje řády stovek a desítek v zápise čísla desítky jsou vyznačeny modře, stovky červeně. Třetí krok je uskutečněn v následujícím 4. ročníku (1. díl, s. 40), kdy je zavedeno zaokrouhlování na tisíce opět vyslovením pravidla ve formě implikace, ale tentokráte již bez vizualizace. Poukáže se pouze na to, že rozhodující číslice je na místě stovek. Poslední, čtvrtý krok je udělán opět asi o dva měsíce později, kdy je v učebnici (2. díl, s. 10) napsáno pravidlo, že na desetitisíce a statisíce se zaokrouhluje obdobně a že rozhodující číslice je na místě tisíců, resp. desetitisíců. 22

23 2.2 Oblast konvencí Zaokrouhlování V učebnicích nakladatelství Prodos, které jsou v současné době druhé v pořadí nejpoužívanějších učebnic, je toto učivo uvedeno sice obdobným způsobem,alecelénajednouažve4.ročníku. b) Zaokrouhlování ve výpovědích učitelů Zaokrouhlování je téma, které nebývá považováno ani žáky, ani učiteli za nějak zábavné. Učitelé i žáci obtížně hledají motivaci, proč mu věnovat pozornost. Nedokážete těm dětem úplně vysvětlit, k čemu je to dobrý, že to je těžký jim to vysvětlit. Oni v tom nevidí žádnej smysl a je to pro ně těžko pochopitelný. I když ten mechanismus pochopí celkem dobře, to není problém, když jim řeknete ty pravidla, jak se to používá, to oni pochopěj, ale do praxe to ještě nejsou schopný použít, nebo nevědí, proč se to mají učit. (U05) Společným rysem výpovědí učitelů, kteří se o zaokrouhlování zmiňují, jsou stížnosti, že si žáci pravidla nepamatují a že je musí stále znovu vysvětlovat, kdykoliv je potřeba v nějaké úloze zaokrouhlovat. Ale v tu chvíli, kdy si to vysvětlí, to problém není. Takže vlastně hned na začátku narazíme na zaokrouhlování, kdy se děti zabývají numerací sčítáním a odčítáním a najednou zase mají jedno cvičení na zaokrouhlování. Tak je veliký problém a začínáme vysvětlovat od začátku celé to zaokrouhlování. [...] Když to probíráme už několikátou hodinu, tak už to dovedou, ale když se zase probere nějaké jiné učivo a pak se narazí v nějakém cvičení na zaokrouhlování, tak někteří si zase neví rady a zase začínáme od začátku. (U03) Pak se tam opakuje ta násobilka, přechází se na velkou násobilku a je tam zaokrouhlování čísel. Takže pro děti do pětky se nezaokrouhluje 7 a od pětky se zaokrouhluje nahoru taky neřešitelný problém, prostě nedokážou si vždycky uvědomit, když to chceš na stovky, jak to má udělat. Když jim to vysvětlíš, dobrý, všichni umí. Za 14 dní dáš test, nikdo neví. [...] Jako tu látku znají není to problém, je to problém jenom cvičení. (U13) U zaokrouhlování velkých čísel se jako problém jeví nedostatečná představa žáků o struktuře čísel. Absence představ některých žáků o velkých číslech pro ně činí operaci zaokrouhlování na desetitisíce nebo statisíce problematickou....učivo zaokrouhlování... a už se tam jede na desetitisíce a statisíce, což je další kámen úrazu, protože, jak jsou ta čísla ještě větší a oni mají odhadnout, 7 Učitelka omylem uvedla, že do čísla 5 se nezaokrouhluje místo zaokrouhluje se dolů. 23

24 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů jestli je to šest set tisíc nebo sedm set tisíc, tak někteří tu představivost vůbec nemají a píšou tam úplné nesmysly. Neví, které číslo je před tím. (U03) Zaokrouhlování jim třeba jde, akorát si musí uvědomit, na co chtěj zaokrouhlit. My jsme tady ze začátku měli jen desítky a to jim šlo, to tady pálili, ale jakmile jsem začala rozlišovat na stovky a desítky, tak museli na to dávat pozor. Někdo třeba chtěl zaokrouhlovat na stovky, ale koukal na jednotky, tak to jsem ho vyvedla z míry. Ale když je na to upozorňuji, tak si to pak již uvědomují. Ale musí na to dávat pozor. [...] Musí se dbát na to, aby se to nahlas hlídalo. (U15) Dodejme, že vztah platí také opačně, tedy že prostřednictvím zaokrouhlování se rozvíjí i porozumění velkým číslům. Ve volbě didaktických praktik učitelé ve shodě s učebnicí dávají žákům jako pomůcku barevnou vizualizaci se šipkami, které naznačují, kam se zaokrouhluje zda nahoru, nebo dolů. Pro velká čísla je ale takováto vizualizace nemožná a tím se operace stává zejména pro ty žáky, kterým chybí představy o velkých číslech 8 a kterým by vizuální vnímání pomohlo, náročnější. To ale není překvapivé. Velikost čísla je vždy jeden parametr, ve kterém lze úlohy gradovat. Takže já jim musím vysvětlit a barevně si kreslíme: šipka nahoru zaokrouhlování nahoru, šipka dolů... a úplně polopatě jim znovu musím to cvičení vysvětlit. [...] Když si uděláme na desítky, tak všechny ty číslice, desítky, budou jednou barvičkou a stovky budou druhou barvičkou. [...] Ano, když je to od 5 do 9, tak si nakreslíme šipku nahoru a od 0 do 4 šipku dolů. A tím se ty děti orientují, vždycky to číslo před tím, kouknou se na šipku [...] a pak se jim to v hlavičce oživí a pokračujou dál. (U03) Někteří učitelé vycházejí z předpokladu, že co vyhovuje jim, bude zřejmě vyhovovat i jejich žákům....mechanicky,prostě od5výšaobrázkově, jáhodně jim k tomu kreslím a hodně máme různé cedule po třídě, [...] já jsem ten typ, kterému to pomáhá, takže tak se snažím i těm dětem to tak dělat, aby prostě hnedka věděly, aby když se kouknou na tu ceduli, tak tam najdou 5 a s ní jako šipku nahoru a pak šipku dolů, aby je to hned trklo. (U18) 8 Absenci představ o vícemístných číslech ilustruje jeden případ z našich dřívějších experimentů (Jirotková, 2010, s. 45). Žákyně 4. ročníku v písemné prověrce na konci třetího čtvrtletí, tedy po nácviku psaní velkých čísel, zapsala číslo písemně popsané slovně sto třicet dva tisíc dvě stě padesát jedna takto: Zápis posledního trojčíslí opravila tak, že škrtla nulu a napsala místo ní jedničku (tedy přepsala 501 na 51). Tedy je zřejmé, že porozumění malým číslům, dvojciferným, asi žákyně měla opřena o jisté (předmětné) představy a i když zpočátku chybovala, dokázala se sama opravit. 24

25 2.2 Oblast konvencí Zaokrouhlování Někteří učitelé si uvědomují, že zaokrouhlování je otázkou nácviku a že je nutné si dovednost zaokrouhlovat čísla udržovat. Zaokrouhlování čísel. No pokud se to doma ještě neprotrénuje, tak to dělá problémy, a já to zařazuji častěji, než to říká učebnice. Protože pak děláme zaokrouhlování čísel na stovky a někdy to dělá problém. A pak až zaokrouhlování na stovky, to je ten druhý díl. Já si to tedy častěji zařazuji do těch pětiminutovek, protože zjišťuji, že děti zapomínají [...]. (U01) To znamená, že oni u toho písemného dělení dvojciferným činitelem musí být schopni zaokrouhlit, být schopni odhadnout, což jim dělá někdy problém, musí ovládat násobilku, musí ovládat sčítání a odčítání, musí zvládat hodně věcí najednou. (U06) Obtížnost látky často učitelé vysvětlují i tím, že ani učebnice, ani oni sami nedokáží dát nácviku zaokrouhlování smysl. Pro některé učitele je to problém tak velký, že se rozhodnou látku vynechat, popřípadě ji odložit do vyšších ročníků (U05). Tam již najdou potřebu umět zaokrouhlovat například při realizaci operace písemné dělení dvojciferným číslem. [...] my jsme si to do ešvépéčka vůbec nedali, do našeho programu, nedali to zaokrouhlování na desítky, dali jsme to úplně pryč, protože dítě vůbec nepochopí smysl toho zaokrouhlování, je to pro něho úplně abstraktní. Ono se to pak učilo ve třetí třídě, to na desítky, pak je na stovky, ale to zaokrouhlování je úplně [váhá]. (U05) Někteří učitelé potvrzují, že učivo není obtížné. Na otázku, jak učíte zaokrouhlování, učitelka U12 odpověděla, že to většinou všem jde. Zde se samozřejmě nabízí otázka, proč zaokrouhlování některým žákům jde a učitelé v něm problém nevidí, a někteří mu věnují tolik energie a času a stejně zůstává problémem. Jedna z možných příčin se nabízí: Někteří učitelé kladou důraz na trvalé zapamatování si pravidel a pak volí časté opakování operace. Jiní učitelé zdůrazňují důkladné osvětlení pravidel za pomoci žáků, přičemž vycházejí z předpokladu, že později, když je budou potřebovat, bude snazší žákům pravidla připomenout. Toto rozdělení učitelů však neznamená, že tak učitel postupuje vždy bez ohledu na třídu, kterou právě učí. Podle výše uvedených výpovědí učitelů i podle našich zkušeností se pravidla o zaokrouhlování implementují ve výuce stejně, jak to nabízí učebnice: autorita (učebnice, učitel) pravidlo vyslovuje a žák je přijímá. Žák zpravidla nedostává žádné výzvy, aby se nějak tvořivě na formulaci pravidel podílel. Přitom je to však možné. Je třeba využít takových úloh, v nichž se objevuje 25

26 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů potřeba nějaká pravidla zaokrouhlování formulovat. 9 Při společné diskusi pravidla formulují nejdříve žáci; 10 pak pravidla upřesňují pro potřeby řešení úloh, ve kterých mohou něco objevit, ve kterých je zaokrouhlování prostředkem k jejich vyřešení, ne cílem. Učivo tak může být pro žáky i pro učitele i zábavné a smysluplné Související výzkum zaokrouhlování jako součást odhadování Tematický celek zaokrouhlování dává učiteli ojedinělou příležitost seznámit žáky s jevem konvence v matematice. To však není jeho jediná úloha v matematice. Zaokrouhlování je součástí širšího pojmu, a sice odhadu. Podle doporučení z výše uvedené metaanalýzy (Geary et al., 2008) by učitelé neměli zužovat problematiku odhadu na zaokrouhlování (jak se v amerických školách často děje). Jak ukazují J. Sowder a M. Wheeler (1989), žáci mají s odhadem problémy. Ve svém výzkumu zjistili, že dokonce (američtí) žáci 2. stupně základní školy a střední školy nechápou účel odhadování, kterým je vytvořit odhad blízký ke správné hodnotě, spíše než použít nějakou předem danou proceduru. Žáci nebyli často ochotni připustit, že dva různé odhady mohou být přijatelné, a někteří z nich při odhadu nejdříve vypočítali přesnou hodnotu a tu zaokrouhlili. Někteří žáci odmítali číslo 250 jako možný výsledek zaokrouhlení čísla 267 a dávali přednost číslu 300, protože podle nich je sedm větší než pět, takže se musí jít nahoru, ne dolů. Geary et al. (2008) se soustřeďují na numerické odhadování, 11 tedy proces translace mezi alternativními kvantitativními reprezentacemi, z nichž je alespoň jedna nepřesná a alespoň jedna numerická. Toto odhadování zahrnuje např. odhad výsledku nějakého výpočtu (přičemž zaokrouhlování je jen jeden z prostředků, jak k odhadu dospět), odhad umístění čísla na číselné ose nebo odhad, jaké číslo zabírá značka na číselné ose, odhad počtu (např. kolik je v nádobě asi bonbonů) apod. Protože však se učitelé, jichž jsme se dotazovali v našem výzkumu, o odhadech příliš nezmiňovali, pouze jako o součásti zaokrouhlování 9 Například úloha pro žáky 3. ročníku, kteří se již seznámili se zaokrouhlováním čísel, která nekončí číslicí 5, na desítky: Najdi takové číslo, pro které platí: Když to číslo zaokrouhlím na desítky, dostanu 100, když od toho čísla odečtu 1 a pak jej zaokrouhlím na desítky, dostanu 90. Zaokrouhlování čísel, která nemají na místě jednotek číslici 5, je snadno zaveditelné díky vizualizaci na číselné ose. Při řešení dané úlohy vyplyne potřeba formulace pravidla o zaokrouhlování čísla, které končí číslicí 5. Dohodnuté pravidlo pak ovlivní řešení. 10 Žákům, kterým vyhovuje spíše pamětné učení (Mareš, 2013, s. 474), tento způsob práce s pojmy zpravidla také vyhovuje, protože pravidlo či návod tak jako tak dostanou, ikdyžodspolužáka. 11 O odhadu se hovoří také v souvislosti s jednotkami např. odhad vzdálenosti mezi dvěma místy, odhad ceny nákupu apod. To se dále neuvažuje. 26

27 2.2 Oblast konvencí Zaokrouhlování a dělení dvojciferným číslem, nebudeme se zabývat konkrétními výzkumy, které jednotlivé stránky odhadu zkoumaly. 12 Uvedeme jen výzkumně podložená didaktická doporučení: žáci by měli být vedeni k pochopení účelu odhadování aproximovat přesnou hodnotu zaokrouhlování má být představeno jen jako jeden z možných prostředků odhadu učitelé by měli se žáky diskutovat o alternativních přístupech k odhadu a o tom, kdy jsou smysluplné a kdy ne znalosti žáků o číslech podporuje hraní určitých typů deskových her c) Odhadování ve výpovědích učitelů Odlišnosti mezi zaokrouhlováním a širším pojmem odhad si zřejmě uvědomuje jen málo učitelů, resp. zmínky o odhadu mimo kontext zaokrouhlování jsme našli v šesti citacích. Pochopitelně, že stejně jako u zaokrouhlování, se projevuje skutečnost, že žáci s nedostatečnou představou o velkých číslech zde mají problém. [...]odhadnout, že když mám v košíku pět věcí, že mě to třeba nebude stát pět set korun, ale třeba sto padesát, tak si myslím, že tohle je takový základ. Ty odhady, jak jsem se teď zmínila, v nákupním košíku, tak to taky dělá dětem problém, když by měly dvě čísla odečíst, tak si říct: no to bude přibližně dvě stě, tak to jim dělá také problém, to logické uvažování vůbec. (U03) Asi největší aktuální problém je ten, [...] že u některých dětí, že když třeba písemně násobí, odčítají, tak neodhadují ty výsledky. Že jim kolikrát vyjde naprostá blbost a nepřijde jim to divný. Násobí třeba a vyjde jim, když to přeženu, třeba 30 a už nad tím nepřemýšlí a možná proto, že to berou jako rutinu, že teď to musím spočítat, tak jakoby nepřemýšlí nad tím vztahem mezi tím výsledkem a tím, co jim vyšlo, protože to nevnímají. Protože to dělají automaticky, aniž by nad tím přemýšleli. Což si myslím, že je teď největší problém. (U12) Jako příčinu problémů vidí učitelé často nezáživnost látky. Já si myslím, že je to nebaví, to je hlavní důvod. Počítat tento typ úloh [na odhady výsledku výpočtu] a že nad tím nepřemýšlí. (U12) Pro nácvik odhadování učitelé nepoužívají nějaké speciální didaktické praktiky. Jen své žáky vedou k tomu, aby odhady dělali před samotným výpočtem. Někteří tuto aktivitu zpestřují soutěžemi. 12 Jsou v (Geary et al. 2008, s ). 27

28 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Snažím se, nevím, jestli je to úplně nejlepší způsob, ale teď jsem s nimi zkoušela dělat, když máme tu úlohu, tak ať si dělají odhady. Nejdříve odhadnou, kdo se nejvíce přiblíží, děláme to jako vsaďte si, kolik to tak asi vyjde přibližně a podle toho, kdo se přiblížil nejdál. Snažím se, že prvně se odhaduje, pak to vyřešíme a pak oni jsou spokojeni, jak moc se přiblížili, a určujeme, kdo vyhrál tuhle soutěž. [...] Nevím jak jinak je přimět, aby nad tím přemýšleli. I když nevím, jestli to k tomu povede, jestli nad tím budou opravdu tak přemýšlet až to budou řešit. Ale schopnost odhadovat se jim určitě neztratí. (U12) Další výroky učitelů, které se týkají odhadů, jsou v oddíle Oblast aritmetických operací V oblasti aritmetických operací se učitelé zmiňovali o problémech v oblasti počítání s přechodem přes desítku (které však je problémem hlavně v prvních ročnících a postupně zmizí), dělení se zbytkem a v oblasti algoritmu písemného dělení dvojciferným dělitelem (které může přetrvat až na 2. stupeň) Počítání s přechodem přes desítku a) Počítání s přechodem přes desítku v učebnicích V pracovní učebnici pro 1. ročník nakladatelství Alter se ve 3. díle (ze čtyř) rozšiřuje obor přirozených čísel do 20. Učebnice se v celém tomto díle věnuje numeraci do 20 a nabízí množství úloh na sčítání a odčítání nebo rozklady čísel, ale pouze bez přechodu přes desítku. Tedy operace se provádějí buď v rámci první, nebo druhé desítky. Dokonce i relace porovnávání čísel se odehrává buď v první, nebo ve druhé desítce, i když se poměrně hodně pracuje s číselnou osou. Při práci s vizuálním modelem čísla z druhé desítky je vždy zdůrazňováno oddělení první desítky. Operaci sčítání ve druhé desítce navrhuje učebnice probírat takto: Nejdříve se důkladně trénuje přičítání jednotek k desítce. Pak následuje ukázka vizualizací, jak se počítá; např (3. díl., s. 13): 11+4 = 10+(1+4). Učebnice (a podle našich zkušeností i níže uvedených výpovědí to činí i mnoho učitelů) předkládá žákům poměrně náročný způsob, který je tvořen pěti mentálními operacemi: Zaměřím pozornost na dvojciferné číslo (11). Rozložím je na desítky a jednotky (11 = (10 + 1)). Využiji asociativnosti operace sčítání ((10 + 1) + 4 = 10 + (1 + 4)). Sečtu jednotky s jednotkami (1 + 4 = 5). Jejich součet přičtu zase zpět k desítce ( = 15). 28

29 2.3 Oblast aritmetických operací V díle 4A (s. 6) se začíná sčítání s přechodem přes desítku. Učebnice k tomu nabízí číselnou osu a pohyb po ní. Zpočátku je u každé úlohy na procvičení sčítání s přechodem přes desítku číselná osa uvedena. Dlužno dodat, že např. v učebnicích nakladatelství Prodos se počítá s přechodem přes desítku až ve 2. ročníku. Naopak v učebnicích nakladatelství Fraus (autor M. Hejný a kol.) se počítá s přechodem přes desítku ihned při zavádění čísla 11 a učebnice nenabízí žádnou speciální techniku. Tak jak se počítalo do 10, obdobně se počítá nad 10. b) Počítání s přechodem přes desítku ve výpovědích učitelů Většina učitelů se shodne na tom, že je to spíše učivo náročné. Někteří tvrdí, že učivo je náročné pouze v době probírání a později to už žákům problém nedělá (U01, U10). Podle jiných však problém přetrvává (U04). Někteří učitelé však s tímto učivem problém nemají (U12). Ano, ano to je náročnější partie, no ale že by se to táhlo ještě do třetí třídy. Je to náročné a musí se to probírat důkladně a často se k tomu vracet. Ovšem v tom třetím ročníku se v učivu setkáváme a já už ty problémy nevidím. (U01) Každý to má nějak jinak rychle, ale zvládne to, časem určitě. Každý pochopí, že 9 plus 6 je 15, ať to pochopí jakýmkoliv způsobem, že jo. (U10) Přechody jednotek, to znamená sčítání s přechodem přes desítku a to je provází i potom v písemném sčítání a odčítání v pozdějších letech. (U04) Obtížnost problému může i ovlivnit negativní očekávání náročnosti látky. Já bych spíš řekla, že to taky dělají ty rodiče, protože to slyšíte a paní učitelko, kdy půjdete přes tu desítku, to bylo vždycky hrozný. Sami rodiče už předjímaj, že to bude problém. (U19) Řada učitelek vidí problém spíše u operace odčítání s přechodem přes desítku. Učitelka U02 poukazuje na neporozumění žáků operaci odčítání jako takové. Problém je větší, pokud žáci nemají zautomatizované spoje do 10 (U04). Horší je to u odečítání [...] budete mít příklad osmdesát jedna mínus patnáct, takže on si odečte osmdesát jedna mínus deset, řekne, že to je sedmdesát jedna, ale tu pětku přičte. Tohle jim dělá potíže. [...] To je typický, v tomhle chybujou hodně. (U02) Řekla bych, že trošičku jednodušší pro ně je to sčítání s přechodem, ale obtížnější je to odčítání. (U08) A to stejně někteří mají problém třeba s počítáním přes desítku. Jako kdyby úplně zaspali dobu ve druhé třídě a nemají to tam na tu první dobu. Že když 29

30 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů někdo řekne devět plus sedm, že se mu to okamžitě nevybaví, že to nemají zautomatizovaný. Takže díky tomu, my když třeba máme nějaký složitější příklad, tak se ani nezasekáváme na tom, že by oni nechápali, jak to mají počítat, ale na tom, že nemají zautomatizovaný tohle mechanický počítání. (U04) Didaktické techniky navrhované učitelkami zpravidla nepřekračují to, co nabízí učebnice. Z výpovědí dotazovaných učitelek lze usoudit, že závažnost problému s přechodem přes desítku může být závislá na tom, jaký způsob jeho zavádění a procvičování je žákům předkládán a jaké didaktické techniky jsou používány (např. U02). Mnozí učitelé nabízejí žákům postup, který si oni sami kdysi osvojili (např. podle doporučení ve starších vydáních učebnic), například postup o mnoha krocích: 8+7 = 8+(2+5) = (8+2)+5 = 10+5 = 15. Rozklady čísel bývají vizualizovány vidličkami pod rozkládaným číslem. Obdobně je tomu u odčítání. K tomuto postupu mají učitelé obvykle připraveno na procvičování množství technik manipulativních, vizuálních i mnemotechnických. [...] Musí si říct mínus deset a pak ještě mínus pět a tu pětku si musí rozdělit, na jedničku a na čtyřku. Tohle to je na ně už hodně složitý. (U02) Malujeme si pořád nožičky 13 nebo stojím a dělám ze sebe stromeček, jedna ruka, druhá ruka [učitelka rozpažuje]. Takže on si třeba řekne osmdesát jedna mínus patnáct, odečteš si desítku, tak to bude osmdesát jedna mínus deset, řekne sedmdesát jedna a ještě ti zbývá pět, jedna ruka, druhá ruka a tu pětku musí rozdělit, takže jedna a čtyři [učitelka zvedá na jedné ruce jeden prst a na druhé čtyři prsty] a tohle odečti a tohle odečti, pořád odečítáš. [...]Takže jakmile já si tady stoupnu a začnu těma rukama, tak ví, že dělí číslo. (U02) No tak já jsem to léta učila vlastně vždycky, že se rozdělovalo jakoby číslo, když bylo 7+6,tak to bylo prostě 7+ a rozdělit šestku na 3 a 3,takže dopočítat do 10 a potom ten zbytek. (U10) Zmíněná učitelka U10 chce změnit přístup k výuce přechodu přes desítku v tom, že žákům nebude ukazovat zmíněný postup, ale nechá je, aby si pomocí řešení úloh postup vytvořili sami. Ovšem zatím k tomu neměla dost odvahy, obává se, zda to bude fungovat. Ale to právě jsem zvědavá, protože hodlám učit jen podle té knížky a ta říká, že tady se to vůbec neřeší, že to jde opravdu přirozeně z těch dětí a jak si na to v podstatě kdo přijde, tak je to jeho věc, [...]loni jsem s tím tak nějak bojovala, třeba tady tohle to bylo místo, kde jsem byla zatím jako nekompromisní. Vůbec jsem se necítila na to, to vzít takhle po těch průzkumných akcích těch dětí. Loni jsme opravdu ještě řešili tady to rozdělování do těch vidliček. [...] Ale letos jsem 13 Jiné učitelky mluví o malování vidliček. 30

31 2.3 Oblast aritmetických operací se opravdu jako zapřela, že pojedu přímo v tom a nechám to prostě tak, jak to má být. Tak uvidíme. (U10) Manipulace s názornými pomůckami a vizuální odlišení obou složek rozkládaného čísla je velmi důležitá. Učitelky se opakovaně vyjadřovaly, že výhoda názorného přístupu spočívá v tom, že žáci pochopí princip. Pomůcky používají opakovaně, aby si žáci postup upevnili. Oni vlastně se to učí dopočítáváním. To znamená, když tady mají příklad devět plus dvě, tak oni si dopočítávají. Mají devět teček, vezmou jinou barvu... takže si to udělají do desítky a potom přes tu desítku. Tím pádem, že to odliší barevně, tak tím pádem vědí, že [...][autoři učebnice] tady udělali dobrou věc, že jim vytvořili tu jednu desítku tímhle obdélníkem, tímhle rámečkem, takže děti to opravdu dobře vidí. [...] Takže na tomhle to je dobrý to hezky dětem ukázat, hezky to vysvětlit, ale dávat jim svoje příklady, svoje věci. To znamená, na to je výhoda udělat si při pracovkách tyhlebarevný kolečka. [...]Takže játřeba zkouším todávat takhle rozebraně, to znamená rozloženě, že řeknu devět plus jedna plus jedna. Věděl by někdo, jaký jeto příklad? A obráceně. [...] takže složte devět modrých koleček, dejte dvě červená kolečka a oni vlastně se na to podívají a já říkám: vyznačte si jednu desítku. Takže oni si to oddělí normálně rukama a vidí, že to jedno kolečko je jiné v té desítce. Takže potom už je samozřejmě jasné, že je to příklad devět plus dva. [...] Když řeknu, tak mito řekni rozloženě, tak řekne: devět plus jedna je deset plus jedna je jedenáct. [...] my to neděláme potom už po sobě, ale prostě měníme to. Pak by to byl stereotyp a oni by to mechanicky uměli a nemá to pak vůbec žádný význam. [...] a to samé je v podstatě i s odčítáním. [...] nejdříve vysvětlit na názoru, to znamená v podstatě, tady máte hrnečky, škrtání,... [...]ubíráme věci z klobouku, zpytlíku, ze začátku tedy průhlednýho, aby to tam viděly, jak to tam ubývá. (U08) [Přechod přes desítku jsme znázorňovali hodně.] My jsme měli za prvé počítadlo, pak jsme [...] škrtali, pak jsme měli proužky deset koleček jsem nahrazovala proužkem to byla desítka. To jsem vyráběla sama. My jsme čísla znázorňovali. Deset se nahrazovalo proužkem. To jsem ty puntíky překryla proužkem. Dva proužky byly dvě desítky. Hodně u slovních úloh. Ve druhé třídě jsme měli desítky jako čtverečky. Číselný osy jsme měli v knížce a ukazovali jsme si na nich. (U15) [V učebnici] je to na úplně podobném principu. [...] my tomu říkáme náklaďák. Deset a dávají sedm, já se vždycky ptám a kolik máš ještě místa v náklaďáku?, takže má 3 volná místa. Na ten rozklad j e to úžasný, tady třeba sedm plus osm, takže osm rozložíme na tři, ty se vejdou do náklaďáku, a kolik ti čouhá ven, řeknou, že pět čouhá ven. [...]Takže začínali, že plnilido vláčků, pak dovozíčků a všude bylo těch 10, takže my jsme to zkoušeli takhle na obrázcích a ještě jsme to ukazovali na tom, to samý lodě a tady pak si ještě čárkovali. (U18) Tak nejdřív oni rozkládají, nebo rozloží si barevný kolečka, vidí, jak to rozložily a pak najednou to půjde i bez toho papírku, bez té mřížky a rozkládají, protože pochopí ten princip. (U14) 31

32 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Některé učitelky zdůraznily, že je třeba výuku přechodu přes desítku diferencovat. Ne vždy je nutné žáky vést k postupu, který je v učebnici. Učitelky též uváděly, že žáci si mohou, dokud to potřebují, ukazovat (na pomůckách či na prstech), jak se čísla rozloží. Procvičováním si to žáci sami upevní. Jako účinnou techniku vidí některé učitelky práci s číselnou osou a krokování jako dramatizovanou verzi pohybu na číselné ose. 32 No určitě musí zvládnout ten přechod přes tu desítku, jsem o tom přesvědčená, protože, myslím si, že tam jako je vždycky zakopanej pes, když potom děti mají potíže později, tak se vlastně zjistí, že vůbec nemají upevněný to počítání přes desítku. To je prostě základ, bez toho se nepohnou vůbec, ani pak přes, do tisíců ani do stovek ani nikde, když jakoby neumí si to číslo rozložit, oni jsou na to různý mechanismy, za léta, co to učím, tak zase je spousta dětí, který to prostě ví a neví, jak to počítají, jako že ten rozklad umí nějak udělat a vy jim to zkomplikujete tím, že jim to nějak ukážete, musíte je nechat. A pak jsou zase děti, který potřebujou ten rozklad ukázat, že se to musí rozložit tak a tak, do desítky dopočítat a dopočítat dál, a když jim to takhle ukážete, tak oni se [...] naučej ten mechanismus. (U05) A buď je to na těch knoflíkách, nebo na čtverečkách, nebo prostě... on se vždycky musí najít způsob, který tomu dítěti vyhovuje. Pomocí názoru, někdo škrtá, různé metody, jak na to přijít. [...] A zase tam je potřeba najít systém, buď s rozložením, nebo kdo rozložení nechce, počítá si to odzadu... Když máš 25+23, tak si řekne 5 + 3, že si to nerozkládá, nedělají si ty takzvané domečky, stříšky,... individuálně na každém dítěti záleží, co a jak. (U13) My jsme si určitě řekli nějaký způsob, který byl v té [učebnici] [...], tam se to číslo nějak rozkládalo a ten zbytek se dopočítal. Tam jsme si malovali takové ty chlívečky, jak je to do desítky, ale jakmile někdo měl na to svůj [postup], tak prostě si to řešili po svém. [Učitelka zmiňuje zkušenost se svým synem.] My jsme vzali už před těma dvěma lety krejčovský metr a tam prostě jel, aby viděl stále tu číselnou osu a na tom se to naučil. [...] U devítky to bylo jinak ten rozklad, u osmičky to bylo jinak, to už měl v tom zmatek. U sedmičky to bylo zas jinak ten rozklad, protože se musela dodávat trojka, takže on v tom měl úplný zmatek. [...] Vloni, když jsem právě sáhla po těchto matematikách, tak jsem říkala, jak se to řeší ten přechod. Nijak. Tady se to neřeší, prostě se to samovolně. [Tazatel: A jak to dopadlo?] V pohodě, neřešíme to a prostě jde to. Nikdo neřeší nějaké složité příklady rozklad čísla a dopočítávání do desítky, ne. Děcka fakt si poradí na prstech, jakkoli. [...] My jsme rozdali i dětem domů krokovací pásy, aby si mohli ťapkat těma prstíkama a zatím nikdo mě nijak neoslovil. (U26) Já jsem je neměla v první třídě, tam teda přechod přes desítku nedělali. A já když jsem je pak dostala a začali jsme krokovat, tak ani nevím, že nějaký přechod přes desítku jako nastal. Prostě viděli to na té ose, krokovali si to a naprosto přirozený přechod to pro ně byl. (U12)

33 2.3 Oblast aritmetických operací Učitelka U13 vidí jako příčinu problémů v dané oblasti v nezvládnutí číselné řady, proto se snaží pracovat s číselnou osou (viz také U26 výše). Uvádí, že vertikální je účinnější než horizontální. Problém je, že tyhle děti neznají číselnou řadu, nemají tu představu 1 20, a pak mi někdo doporučil, abych tu číselnou řadu psala odspodu nahoru a je to lepší. Tam to vidí. (U20) Dělení se zbytkem Jako problém byla tato operace označena v 11 rozhovorech. a) Dělení se zbytkem v učebnicích 14 Dělení se zbytkem se zavádí ve 3. ročníku. Předchází mu upevnění násobení a dělení v oboru malé násobilky. Učebnice Alter (3. díl, s. 7) nejdříve důkladně procvičuje binární relace číslo x je násobkem čísla y nebotaké číslo y je dělitelné číslem x. Pak se věnuje pozornost číslům, která nejsou násobkem jistého daného čísla, a ukazuje se, jak je budeme tím číslem dělit. Například číslo 13 není násobek čísla 4. Pak 13 : 3 = 4 zbytek 1, protože = 13. Formalizuje se zápis: 13 : 3 = 4 (zb. 1) a zavádí terminologie: neúplný podíl, dělenec, dělitel, zbytek. Vysloví se poznatek, že zbytek je vždy menší než dělitel. Ve stejném duchu se vše zopakuje zvlášť pro případy, že dělitel je 2, 3, 4,...,9. b) Dělení se zbytkem ve výpovědích učitelů Tato látka je objektivně obtížná, neboť realizace dělení se zbytkem vyžaduje řetězení několika mentálních operací. Podle tvrzení učitelů je to ale látka důležitá pro navazující matematické učivo. Proto obtíže žáků překonávají zdůrazněným procvičováním, popřípadě hledáním různých mnemotechnických pomůcek (např. u U13). A co se ukazuje jako opakovaným problémem i u nás v té aritmetice, tak je dělení se zbytkem. Takže vůbec zapamatovat si násobilkové spoje... Já teda nejsem přívrženec biflování, ale myslím si, že i v matematice jsou věci, které se musí naučit, jako my jsme se učívali jako básničku, protože když je nemají zafixované, tak vlastně potom dál matematika je na nich postavená a nemohou se učit dál, když nemají tyhle základy. (U04) 14 V učebnicích se běžně používá pro výpočet dělení se zbytkem rovnítko, tedy např. 21 : 5 = 4 (zb. 1). Není to matematicky zcela korektní. Rovnost je symetrická, tedy můžeme stejně tak napsat 4 (zb. 1) = 41 : 10 a když rovnosti zřetězíme, dostaneme evidentně chybné tvrzení: 4,2 = 21 : 5 = 4 (zb. 1) = 41 : 10 = 4,1. Správně by zde měl být znak, který značí je prvkem. Tedy bychom měli psát 21 : 5 4 (zb. 1) a číst číslo 21 : 5 patří do třídy 4 (zb. 1). Složitost zápisu, slovního vyjádření a tradice to však nedovolují (Hejný, 2013). 33

34 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů A kámen úrazu, a s tím teda se potýkám doteď, a potom nám dělá paseku i v písemným dělení a ve všem, je dělení se zbytkem, jak už jsem se zmínila. Protože tím, že nemají zafixované ty násobilkové spoje, tak dělení se zbytkem je pro některé čtvrťáky i v tuhletu dobu nepřekonatelnej problém. (U07) Já čekám, že bude problém dělení se zbytkem. Ty děti, co mají potíže s násobilkou, [...] dá se to nadrilovat, ale ty problémy tam budou. Ano, to je, třeba 32 : 5. Musí se najít nejbližší menší násobek. A to je ono, aby oni věděli násobky. (U15) Učitelé opět poukazují na nutnost nacvičování učitelem předvedených algoritmů a rovněž na to, že zavedení nové a později málo používané terminologie hned na začátku poznávacího procesu dané operace její porozumění nikterak nezajistí. To dělení se zbytkem bych přesunula do čtyřky. Ta látka je prostě nahuštěná. Jak vidím činitel, součin, sčítanec, součet, ty názvy je pro ně problém. Nevím proč. Také se to učí od 2. třídy, ale... Nejsou schopni si to zapamatovat, ale pak to nějak odhadnou. Činitel činka, zvedám činku, činka je na konci kulatá (tečka), takže člověk jim musí hrozně napovídat. (U13) Problémy se stále kumulují a s většími čísly se prohlubují. Totéž jako si pamatuju, že třeba v páté třídě dělá problém dělení dvojciferným číslem, činitelem teda, ne číslem, že vlastně najednou, když mají dělit třiceti sedmi,[...] tady si jako dokážou představit, [...] když tam mají číslo 50, tak jako si to dokážou představit, zatímco potom, když už je to číslo velký, tak prostě než si to vypočítaj nebo v hlavě, prostě než to odhadnou ten výpočet, tak vlastně to jim dělá trošku problém. (U07) Poslední výpověď ukazuje, že učitelka U07 zřejmě považuje přesnost používané terminologie za důležitou. Ve výpovědi učitelka potvrzuje již výše uvedenou myšlenku: S malými čísly problém není, to si žáci dokáží představit, ale s velkými je. V oboru do 20 jsou představy dítěte o přirozeném čísle obvykle budovány pomocí mnoha modelů typu kuličky (včetně prstů) jako množství. Porozumění vyšším číslům se už většinou nebuduje přes manipulativní modely, ale analogií mezi strukturou čísel do 20 a nad 20. Úloh, které by byly zaměřeny na vazby mezi čísly, tedy na strukturu, je v analyzovaných učebnicích Alter velice málo. 15 Obdobně jako u každého pamětného počítání, téměř všichni učitelé kladou důraz na žákovu rychlost počítání, na zautomatizování spojů. 15 Vhodným prostředím pro rozvíjení strukturálního pohledu na přirozená čísla jsou například algebrogramy, kde číslice jsou ukryty za písmeny. Uvedeme pro ilustraci dvě úlohy: AB + BA = 66, ABC + AB + A =

35 2.3 Oblast aritmetických operací Teď to budou potřebovat, tak jsem zvědavá, jak nám to půjde. Pro někoho to asi bude oříšek jak najít ten násobek a co je ten zbytek. Že ten násobek je nižší, aby ho nehledali vyšší atd. A hlavně, aby věděli, když člověk vypálí příklad, aby hned věděli, co je ten nejbližší menší. (U15) Každopádně násobilku, tu musí umět, jako když bičem mrská. To i to dělení se zbytkem, představivost čísel, to musí to dítě mít zpaměti, sčítat, odečítat. To si myslím, že je nutné. (U01) O účinném způsobu, jak vedla žáky cestou, kde byli žáci aktivními tvůrci a která mnoha z nich pomohla k porozumění, se zmiňuje učitelka U15. Děti vyznačovaly na číselné ose násobky tří modrým kroužkem, pak čísla, která bylao1většínežnásobektří.jevnásobekčísla3bylvizualizován,což zejména žáci vizuálně orientovaní k porozumění potřebují. Ne všem však tato vizualizace pomohla. Tazatel vypovídá o průběhu hodiny: Dále děti řešily úlohu, jaký bude zbytek, když se budou dělit čísla s modrým puntíkem třemi. Někdo odpověděl 1. Anetka řeší 4:3, ale neví, jak má postupovat. Dostane od učitelky návod, aby nejprve vydělila 3:3. Anetka odpovídá, že výsledek je 0. Mě to teda vlastně potom napadlo, že jsem tam Anetce mohla dělat kolečka, aby jí to něco dalo... jak jste vlastně viděla, tak ona se v tom neorientovala, jí to nic nedávalo. Kdybych jí tam dělala oválky, tak by hned ten výsledek spočítala... Ale jinak si myslím, že ta osa zbylým dětem pomohla, že se v tom dokázaly zorientovat a vlastně tam hned viděly ten zbytek. To mi přišlo na tý ose fajn. Názorně to viděly. (U15) Dodejme, že tam, kde dosavadní představy o číslech a početních spojích nejsou vybudovány s porozuměním, návrat k předchozímu stádiu poznávacího procesu, tedy k izolovaným modelům (tj. k práci s předměty), je účinným reedukačním krokem. Pro Anetku by pravděpodobně bylo vhodné, kdyby tento způsob znázornění, kde číslo je v roli adresy místa na číselné ose, byl doplněn ještě manipulacemi například s kaštany tak, aby číslo bylo v roli stavu jako počet. Učitelka U15 poukazuje na další problém: Žáci sice poznají, že jistá čísla tvoří tzv. řadu násobků, ale nevědí, proč jsou to násobky (odříkávají nějakou řadu čísel, pravděpodobně to dělají přičítáním tří, ovšem souvislost s dělením třemi jim jasná není). O paní učitelce vypovídá tazatel. [Tazatel:] Dále paní učitelka rozdává kartičky a ukazuje postupně na jednotlivé děti. Ty čtou čísla na kartičkách 3, 12, 21 atd. Učitelka se ptá, co to na těch kartičkách je. Děti, včetně pomalého Gusty, vědí, že na kartičkách jsou násobky čísla 3. Děti samostatně postupně přicházejí k tabuli a umisťují svojí kartičku 35

36 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů do řady násobků. Učitelka se ptá, proč tomu říkáme násobky čísla 3. Děti opět nevědí. Učitelka jim říká, že proto, že jimi dělíme číslo 3 beze zbytku. Učitelka zřejmě chtěla říci, že ty násobky můžeme vydělit třemi beze zbytku. Podle našich zkušeností děti vnímají velice často řadu násobků spíše jako řadu aritmetickou stále přičítají například číslo 3. Pak je těmto dětem sdělení učitelky nesrozumitelné. Domníváme se, že zde je problém způsoben náhlým přechodem od procesu ke konceptu. Například násobit třemi to je proces, ale násobek tří to je koncept. Aritmetika 1. stupně v učebnicích Alter je téměř výhradně procesuální a budování konceptuálního porozumění jevům nevěnuje příliš péče. Na základě analýzy E. Graye a D. Talla (1994) ukázal M. Hejný (1999, s. 52) na důležitost proceptuálního transferu, ke kterému dochází ve vědomí žáka, když procesuálně vnímanou situaci (např. násobení) uchopí konceptuálně (triáda čísel ve vzájemných vztazích), nebo konceptuálně vnímanou situaci uchopí procesuálně. Rozvíjení konceptuálního vnímání aritmetických jevů v našich učebnicích zpravidla schází. Z výše zmíněného zatím vyplývá, že učitelé, zejména ve 3. ročníku a výše, málo pracují s manipulativy. Důvodem by mohl být předpoklad, že žáci v tomto věku mají mít již představy vybudovány a malou násobilku osvojenu a že používání manipulativ by mohlo brzdit rozvoj abstraktního myšlení. Pokud pak žáci používají jen naučený algoritmus mechanicky (viz kap. 4) a řeší úlohy bez porozumění, nedokáží tuto znalost použít ani v budoucnu v jiných oblastech (jejich poznatky jsou formální (Hejný, 2004a)). Z výroků dotazovaných učitelů vyplývá, že učí žáky algoritmům, které se jim samotným zdají být nejefektivnější, obvykle tak, jak to sami byli učeni, jak tomu oni sami rozumí a jak úlohy sami řeší. Dělení, takže zase, teď si musí říct, dělím 5, tak si to rozložím na 50 a 15 [ukazuje příklad na tabuli]. To je taky hrozný, když si to musí rozložit. Takže se mně osvědčilo, když teda dělím 7, na co si to rozložím?, na 70, že jo, 7 krát 10 plus ten zbytek. Aby si to zas uměli představit, že když teda dělím 8 třeba, tak si budu říkat na 80 a ten zbytek. (U20) Někteří učitelé akceptují postupy žáků, ale přiznávají, že si musí úlohy sami vyřešit po svém. Učitelka U15 konfrontuje své postupy osvojené z doby, kdy sama byla žákyně, a které nyní dětem nabízí, s jejich vlastními, které měly možnost si vytvořit. Volnost, kterou dětem dala, má za následek, že děti počítají rychleji než ona. Takový ty mechanismy, když je člověk zajetej, já se teď třeba dostávám k tomu, že si hned kontroluju dělení se zbytkem, že si třeba řeknu: 5:4...4:4 je 1,1 krát 36

37 2.3 Oblast aritmetických operací 4 a kolik je 5? A jedna. Takže takhle si docházím k tomu zbytku. Protože mně se to pak lepší vybaví, od jakýho čísla jsem šla, a hledám lepší ten rozdíl. Kdežto třeba některý nás nutěj, že 5 : 4 je jedna, zbytek jedna. Tady [v učebnici] po nás vlastně chtějí tu kontrolu až potom. Až když to máte spočítaný. Já si říkám ten nejbližší menší násobek tím, že si to vynásobím zpětně, a pak si to k tomu dočtu a jsem si vlastně jistější, že jsem si to dočetla od toho nejbližšího menšího násobku. Tak, to je technika, kterou nás naučila učitelka. A děti mi tady řeknou rovnou zbytek a já se k tomu dostávám, tím že to zase násobím a pak si k tomu dočítám a voni už to třeba maj. Já třeba taky, ono je to rychlý, ale prostě já tu techniku nemám, že bych třeba řekla 10 : 3 je 3 a zbytek 1. Já si řeknu 3 krát 3 je 9 a 1 je 10. A oni si třeba řeknou 3 a pak si v hlavě řeknou a zbytek 1. A já to říkám takhle blbě nahlas. Ale zas je to takový transparentní, asi nás to takhle ve škole učili. (U15) Většina učitelů si uvědomuje, že bez porozumění jednomu tématu v matematice nemůžeme přistoupit k další návazné látce, i kdyby to mělo stát zdržení zdatnějších žáků. Neustále procvičuju, neustále, ale zdržuju tím ty ostatní, proto zařazuju takovéhle cvičení na tabuli a doplňuju to všelijakýma svýma vymyšlenýma příkladama. No abysedětinenudily.[...]mámjenomdvažáčky,kteří nezvládlinásobilku.takže s těma musím pořád pomalu, zdržuje mě to. (U01) Pro učitele je důležité, aby si žáci probírané operace zautomatizovali a rychle úlohu vyřešili. K diagnostikování porozumění, resp. příčin neporozumění, jim však zpravidla chybí nástroje. Chyby a nedostatky žáků napravují opakovaným nácvikem, eventuálně vysvětlováním, tedy stejnou cestou, na níž se ty chyby staly. To samozřejmě není výtka, ale konstatování situace. Vypracování dosud neexistujících map učebního pokroku s diagnostickými klíči v rukou zaškoleného učitele budou nadějí na zlepšení situace. Závěrem uvedeme výpověď učitelky U12, která je do jisté míry v kontrastu s výše zmíněnými výpověďmi a o níž jsme se zmínili již výše. Učitelka si nevybavuje žádný problém s touto látkou a zmiňuje, že příprava na dělení se zbytkem vlastně proběhla již dříve při probírání malé násobilky, takže nakonec žákům nemusela sama nic vysvětlovat To, co uvedla učitelka U12, je charakteristické pro učebnice M. Hejného (nakladatelství Fraus). Každý pojem, relace, proces, situace je dlouhou dobu připravován v různých prostředích, žáci s daným jevem pracují, řeší o něm úlohy. Dlouhou dobu probíhá propedeutická etapa. Formalizace zápisu, nebo precizace jazyka do geometrické terminologie přichází pozvolna a vrcholí na konci poznávacího procesu. Čím je pojem obtížnější, tím delší je období propedeutiky. Například pojem zlomek se začíná budovat již na začátku 1. ročníku, ale jeho číselný zápis přijde až ve 4. ročníku. Tento postup zavádění nových pojmů je v souladu s mechanizmem poznávacího procesu, který je popsán Teorií generických modelů (Hejný, 2013). 37

38 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Já si to nevybavuji a myslím, že si to nevybavuji, protože tam nenastal žádný problém. Tam to, myslím, začíná na menších číslech. Takže oni, když znali násobilku, tak brali to, co jim tam prostě nevychází k tomu číslu. Třeba když dělají 3 krát 5 je 15, tak to do 16 prostě zbyde ta jednička. Brali to naprosto přirozeně, kolik tam zbývá z toho násobku daného čísla. Tím, že se s tím začalo v malé násobilce, tak na to ty děti přišly samy Algoritmus písemného dělení dvojciferným dělitelem a) Algoritmus písemného dělení v učebnicích Algoritmus písemného dělení dvojciferným dělitelem se probírá v 5. ročníku a je objektivně obtížný. Jaký je smysl této látky v době snadno dostupných kalkulaček? Domníváme se, že nácviku operace dává smysl řetězení mnoha mentálních operací: číselné operace (zaokrouhlování, dělení, násobení, odčítání), krátkodobá paměť (při zapamatovávání si jednotek, které se mají přičíst k jednotkám vyššího řádu při násobení a odčítání), dlouhodobá paměť (při vybavování si aditivních i multiplikativních triád), funkce nižší úrovně (např. rozklad čísla na jednotky a desítky; jednotky zapíšeme, desítky přičteme k jednotkám vyššího řádu), volba strategie (na co nejdříve mám zaměřit pozornost, co s tím mám udělat a kam to mám napsat). Algoritmus písemného dělení se objevuje v učebnici Alter pro 5. ročník (2. díl, s. 6). O větší přehlednost zápisu je usilováno mnohými šipkami, které navádějí, kam které číslo zapsat. Následuje pak série nácviků a vzápětí je předveden algoritmus zkráceného písemného dělení, kde se odčítání provádí zpaměti a jen se zapisují zbytky. b) Algoritmus písemného dělení ve výpovědích učitelů Kromě obvyklých problémů, které se vyskytují u všech písemných operací, jako je správné psaní čísel pod sebe, nezažitá malá násobilka, nezažité zaokrouhlování a odhady, nedostatečná představa o velkých číslech a nezapamatování si předvedeného algoritmu, učitelé pojmenovali další problém, který je podle našeho názoru velice závažný, a to je řetězení více operací. Jde o nutnost použít několik operací za sebou, přičemž dochází k zatěžování pracovní paměti. Jestliže žáci mají jednotlivé operace, resp. algoritmus na jejich realizaci, uchopeny pouze mechanicky, bez porozumění, jejich řetězení jim způsobuje problém na ještě vyšší úrovni. Selhání jakékoliv jedné mentální operace z tohoto řetězce způsobí problém. 38 No, co teda vidím jako docela velký problém, co jim moc nejde v té pětce, tak je písemné dělení dvojciferným činitelem. To jsem si napsala, že alespoň konkrétně

39 2.3 Oblast aritmetických operací v této třídě to teda problém je a dost velkej. A myslím si, že na to narážím více méně neustále, že tam už oni musí spojit hrozně věcí dohromady, a to si myslím, že jim dělá problém, že už to není jedna konkrétní věc, ale že oni musí jako víc věcí. To znamená, že oni u toho písemného dělení dvojciferným činitelem musí být schopni zaokrouhlit, být schopni odhadnout, což jim dělá někdy problém, musí ovládat násobilku, musí ovládat sčítání a odčítání, musí zvládat hodně věcí najednou. (U06) Další problém, který se vždy vyskytuje u písemných algoritmů, je správné psaní čísel pod sebou, čímž se dostáváme k porozumění zápisu čísla v poziční soustavě. Jedna ukázka neporozumění zápisu čísla v desítkové soustavě je uvedena výše. A potom v páté třídě, když dělí dvojciferným činitelem, tak tam jim vlastně trošku popletou hlavu tím, že oni si to nejdřív vypočtou a odčítají. Čili oni tu mají odečíst, podtrhnout a vypočítat. A tam už je veliký problém a říkala jsem si, že po zkušenostech v loňské páté třídě už tuto látku přeskočím a budu je to učit jako dělení jednociferným činitelem, to zvládají s tím ocáskem výborně. Problém některým žákům dělá správné zapsání čísel pod sebe, takové to zatrhávání a připisování číslic u toho ocásku, ale procvičováním se do toho dostanou a není v tom problém. (U03) Z analýzy rozhovorů s dotazovanými učiteli plyne, že problémy, jejich příčiny a používané praktiky učitelů se opakují. Učitelé si uvědomují, že obtíže žáků zřejmě vycházejí z množství operací, které se řetězí, a zpravidla všechny problémy, ať se jedná o selhávání krátkodobé paměti nebo o volbu nesprávné strategie, léčí opakovaným nácvikem této operace. O tom, že by se žáci mohli podílet na konstrukci algoritmu, nemluvil z učitelů nikdo Početní algoritmy výzkumně podložená didaktická doporučení Podle (Geary et al., 2008) je výzkumně prokázáno, že k vývoji deklarativních znalostí (např. násobilkových spojů), procedurálních znalostí (např. početních algoritmů) a konceptuálních znalostí (např. porozumění desítkové soustavě) dochází společně a jednotlivé typy znalostí jsou na sobě vzájemně závislé. 17 Je tedy žádoucí předkládat žákům takové úlohy, které budou tyto tři aspekty rozvíjet. Podle doporučení (Geary et al., 2008) procvičování snižuje nároky úlohy na pracovní paměť, protože vede k tvorbě procedurální 17 Podobně i Kilpatrick, Swafford a Findell (eds., 2001) uvádějí, že konceptuální znalosti, které vznikají porozuměním algoritmům, jsou důležité pro rozvoj procedurální zběhlosti a na druhou stranu procedurální zběhlost podporuje další porozumění a učení se algoritmům. Když žáci nechápou pojmy, které jsou v pozadí procedur, nebo nedokáží spojit pojmy a procedury, pak si často vytvářejí nesprávné procedury, díky nimž dělají systematicky chyby. 39

40 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů paměti, díky níž se nemusí v pracovní paměti držet jednotlivé kroky algoritmu. Podobně pomůcky snižují nároky na pracovní paměť, např. papír na pomocné výpočty, protože se kroky algoritmu mohou zaznamenat jinde a nemusí být uchovány v pracovní paměti. Je zmiňován též fakt, že pokud se žák dostane do fáze automatizace, dochází k utlumení negativního efektu obavy z vyřešení úlohy. Na druhé straně autoři (s odkazem na výzkumné studie) též zdůrazňují, že procvičování bez opory v konceptuálních znalostech může vést ke snížené flexibilitě v používání alternativních algoritmů. Pro početní algoritmy se konkrétně doporučuje (Geary et al., 2008, s. 39): rozložit procvičování početních algoritmů v čase častěji používat náročnější úlohy než úlohy jednodušší zdůrazňovat vztahy mezi početními úlohami (např. úlohy ukazující inverzní vztah mezi operacemi) uspořádat úlohy takovým způsobem, který upevňuje a rozvíjí znalosti o klíčových pojmech 18 používat klíčové problémy, které pomohou odhalit miskoncepce a strategické chyby žáků 19 Jednu z mála výzkumných studií týkajících se přímo algoritmu písemného dělení a přinášejících konkrétní didaktická doporučení provedl J. E. Lee (2007). Popisuje akční výzkum, v jehož rámci skupina sedmi žáků 3. ročníku dospěla k algoritmu písemného dělení. Jejich výuka spočívala v aktivní participaci žáků v procesu internacionalizace konceptuálního významu, na němž stojí tradiční algoritmus písemného dělení. Celý proces trval 8 hodinových lekcí a zahrnoval rozsáhlé diskuse o řádu ( place value ), o tom, jak efektivně zapsat řešení početní úlohy na dělení, 20 přechod od fyzického modelu 21 kpísemnému algoritmu a dosažení určité početní zběhlosti. Autor uvádí, že nutným předpokladem úspěšnosti žákovské participace na tvorbě algoritmu bylo jejich dobré porozumění řádu, díky němuž se při výpočtech úloh na dělení nedopouštěli vážnějších chyb. 18 Mezi ně autoři řadí asociativitu a komutativitu sčítání a násobení, distributivitu násobení, neutrální prvek pro sčítání (a +0=a) a násobení (b 1=b) ainverznívztah mezi sčítáním a odčítáním a mezi násobením a dělením. 19 Např. dvojice úloh 4 7a Úlohy byly gradované začínalo se dělením jednociferným dělitelem. Učitel nechal žáky navrhovat jejich způsoby řešení úloh na dělení a postupně je přivedl ke konvenčnímu zápisu (který se ovšem liší od zápisu používanému v českých školách). 21 Ten spočíval v kostičkách a dřívkách různé velikosti reprezentujících jednotky, desítky a stovky. 40

41 2.4 Oblast 2D geometrie 2.4 Oblast 2D geometrie Další významnou oblastí z hlediska problémů žáků je druhý pilíř školské matematiky, a sice oblast geometrie. Zmínku o nějakém problému v geometrii, rýsování, porozumění pojmům jsme našli u 20 učitelů. Učivo geometrie je vedeno ve dvou směrech. Prvním, a pro uvažovaný věk důležitějším, je poznávání 2D i 3D geometrických útvarů. Poznávání vazeb 22 mezi atributy jednotlivých objektů i mezi objekty samotnými, což odpovídá druhé a třetí úrovni porozumění geometrickým objektům podle van Hieleho (1986), 23 učebnice vesměs ignorují. Ani v praxi to nebývá jinak a důraz se klade především na znalost terminologie a postupů, jak nějaký objekt narýsovat. Geometrie bývá nazírána odděleně od dalších matematických disciplín. K propojování geometrie s aritmetikou a algebrou dochází pouze v několika málo oblastech (např. v oblasti míry, viz oddíl 2.4.2). 24 Bariéru mezi geometrií a ostatními matematickými disciplínami podporují i kurikula základní školy a následně i mnohé učebnice (zde analyzovanou řadu učebnic Alter nevyjímaje) tím, že geometrické učivo zřetelně oddělují od aritmetiky či algebry (např. oddělením učebnic na geometrii, aritmetiku a algebru). Podle našeho názoru se v učebnicích objevuje malý důraz na porozumění geometrickým pojmům a naopak hojně je zastoupeno používání vzorců a konstrukce pomocí pravítka a kružítka. Podle našeho názoru a zkušeností je didaktický potenciál geometrie v současné škole a v současných učebnicích značně podhodnocen. Výuka geometrie nevyužívá existujících zkušeností žáků přicházejících do prvních ročníků (Jirotková, 2010). 22 Např. vazbu mezi úhlopříčkami čtverce a kosočtverce mohou poznávat žáci pomocí překládání papíru tvaru čtverce a stříháním růžků již v 1. ročníku. Rovněž tak vazbu mezi střední příčkou a protější stranou trojúhelníka žáci poznávají při práci s dřívky. Vazby mezi geometrickými útvary lze dobře odhalovat pomocí hry Sova (Jirotková, 2010). 23 Van Hiele (1986) rozpracoval 5 úrovní procesu poznávání geometrického objektu. 1. Visualization žák rozpoznává geometrický objekt, vnímá objekt globálně; 2. Analysis žák poznává průvodní jevy objektu, vnímá objekt analyticky; 3. Abstraction žák poznává vztahy a) mezi průvodními jevy jednoho objektu, poznává jeho kombinatorickou strukturu; b) mezi objekty prostřednictvím společných průvodních jevů, poznává strukturu objektů; 4. Deduction žák provádí jednoduché dedukce, argumentuje, provádí jednoduché důkazy, k čemuž využívá definic a platných tvrzení; 5. Rigor žák uvažuje v axiomatických systémech. První tři etapy se viditelně realizují například při hře Sova. 24 Naopak další příležitost, kterou jsou výrazy, zůstává, co se týče propojení, zpravidla nevyužita. Nejvíce se algebra a geometrie sbližuje až na gymnáziu v tématu analytická geometrie. 41

42 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Rýsování Podle našich dřívějších výzkumů (Jirotková, 2010) mnoho učitelů vnímá geometrii jednak jako rýsování, jednak jako soubor vzorců na výpočet obsahů nebo obvodů rovinných obrazců, případně objemu nebo povrchu těles. Přesnost rýsování je podle nich důležitým ukazatelem geometrické úrovně žáka. Pravítko, měřítko, kružítko a dobře ořezaná tužka jsou pak považovány za (často hlavní) nástroje, jimiž se svět geometrie žákům otevírá a jimiž se porozumění geometrickým pojmům buduje. a) Rýsování, konstrukce, 2D geometrie v učebnicích Ve shodě s F. Kuřinou (2001) považujeme za poněkud nešťastné, když je žákům 3. ročníku otevírán svět geometrie pojmy jako bod, přímka, úsečka a polopřímka. 25 Podle učebnice se jedná o nejjednodušší geometrické pojmy. Učebnice Alter pokus o jejich vymezení nabízí prostřednictvím textů v rámečku a ve 3. ročníku si žáci prohlubují jejich poznávání prostřednictvím rýsování. Nejdříve rýsují přímku. Červeným písmem je uvedeno opakování z 2. ročníku (1. díl, s. 9): Připomeňme si Rýsujeme-li přímku, rýsujeme vlastně vždy jen její část. Celou přímku nemůžeme narýsovat, protože přímka není omezená, její velikost nemůžeme změřit. Dále se v učebnici zdůrazňuje, jak se přímky značí, jak se značí body, a vyslovují se některé axiomy incidence. 26 Následují úkoly na rýsování přímek a úseček. Úsečka se od přímky liší pouze tím, že na ní jsou vyznačeny krajní body na koncích čáry a na přímce jsou dva body vyznačeny kousek před koncem čáry. Konstatuje se opět červeným písmem, že délku úsečky určit lze, a to měřením. Červeným písmem je popsána konstrukce úsečky dané délky. O několik stránek dále se obdobně zavádí učivo o polopřímce. Veškeré toto učivo je zprostředkováno pomocí instrukcí, ani v jedné úloze není výzva k zamyšlení se nad nějakým problémem, ani jeden pojem nepřichází do 25 F. Kuřina (2001) navrhuje koncipovat geometrii na 1. stupni na základě principů, které vycházejí z životních zkušeností žáků: Dělení prostoru na části, vyplňování prostoru, pohyb v prostoru, dimenze prostoru. 26 Např. Každými dvěma navzájem různými body prochází právě jedna přímka. Na každé přímce leží alespoň dva navzájem různé body. 42

43 2.4 Oblast 2D geometrie hry prostřednictvím zkušeností žáků. 27 Dříve, než se přijde k obrazcům jako trojúhelník, obdélník a čtverec, je červeným písmem uvedeno: Bod, úsečka, přímka i polopřímka se nazývají geometrické útvary. Vynořuje se otázka, zda a jak tomu rozumí nejen žák, ale i učitel. Zmíněné pojmy jsou sice nejjednodušší pojmy geometrie, ale pouze z hlediska jejího axiomatického budování, z hlediska teorie. Jsou to základní pojmy axiomatického systému, které jsou zavedeny implicitně prostřednictvím axiomů. Z hlediska didaktiky matematiky však patří tyto pojmy k těm nejobtížnějším. Nelze je nijak vymezit, neboť jsou to základní pojmy. Například přímku nelze modelovat a neznáme žádné smysluplné manipulativní úlohy, jejichž prostřednictvím by žáci pojmy přímka či polopřímka mohli skutečně poznávat. Je tedy již zde patrné, že žáci budou od samého začátku pracovat s pojmy, kterým ani nemohou porozumět, budou vstupovat do světa geometrie cestou rýsování, pravděpodobně zatíženi mnoha formalismy. I další geometrie se v učebnicích Alter odehrává v mnoha rámečcích k zapamatování, v mnoha instrukcích, jak něco narýsovat nebo jak něco zjistit. b) Rýsování, konstrukce, 2D geometrie ve výpovědích učitelů Ve shodě s tím, jak sami byli učeni, mnoho dotazovaných učitelů buď přímo ztotožňuje geometrii s rýsováním, nebo se aspoň domnívá, že bez rýsování nelze geometrii dělat. A nejen to, rýsování musí být pečlivé, přesné a úhledné (srov. také oddíl 3.5), zejména u chytrých dětí (viz také kap. 6 a7). Teď už rýsujeme, teda manipulace s pravítkem, to jsem nacvičovala, než jsem přistoupila ke geometrii. [...] Ale to rýsování, manipulace, to je opravdu problém.aleuchytrých dětí[...]jsemnespokojenáprávěsúpravou geometrie,stou pečlivostí, to tam není. Ta pečlivost narýsovaného příkladu nebo i u těch kružnic manipulace s kružítkem prostě není. [...] Já jsem se s tím setkala vždycky, ale v menším měřítku. Tady z této třídy se mi zdá velké procento dětí, které to neprovede upraveně a přesně. (U01) Cestu k nápravě učitelé hledají v častém opakování rýsování. Tam vidím problém, problém, že ty děti nejsou zručný, je pochopitelný, protože to je novum. Rýsování, manipulace s kružítkem, ale je tam toho málo v učebnici. 27 Zdá se nám jako didakticky vhodnější začít od zkušeností žáků. Jak uvádí (Clements et al., 1999), většina čtyř a pětiletých dětí dokáže správně identifikovat kružnice a čtverce a mnozí i trojúhelník. Ve věku pěti let dokáže většina dětí rozlišit mezi čtvercem a obdélníkem a popsat nějaké geometrické vlastnosti těchto útvarů. 43

44 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Častěji se to musí zařazovat, to si myslím, že by mělo být probíraný víckrát a víc hodin tomu musíme věnovat. (U01) Tak já se jim snažím pomoci tím, že jim to rýsuji na tabuli kružítkem a potom, když některé dítě neví, tak běhám mezi nimi a zkoušíme si to, protože když oni rýsují na tu tabuli, tak je to docela legrace. (U03) Jednou z příčin neúhlednosti rýsování, jak uvádějí učitelé, je technický stav rýsovacích nástrojů a nedostatečná doba nácviku na získání zručnosti. No a taky ty kružítka, nástroje jsou uvolněné, nejsou v pořádku. Teď jsme měli písemnou práci a i pečlivé děti, kterým záleží na výsledku, najednou ráno zjistily, že uvolněný kružítko nedrží vzdálenost, kterou jim snad dobře naměří. Manipulace s modelínou a špejlemi zvládají. Horší už je, když dostanou do ruky tu trojku tužku a pravítko. Tak zaprvé, ty ruce jsou těžký, nemají tu jemnou motoriku ještě tak vypracovanou, takže když mají něco narýsovat, tak je to katastrofický, to je vždycky patlanina, kterou sedmnáctkrát vygumujou. (U02) I v oblasti geometrie jsme se ve výpovědích učitelů setkali s konvencí. Někteří učitelé dávají velký důraz na správné značení bodu. Učitelka v následující výpovědi popisuje, jaká je konvence pro značení bodu, přičemž však není jasné, zda si uvědomuje, že se jedná jen o konvenci. Přílišný důraz na značení vede spíše k formalismům, než aby docházelo k rozvoji porozumění žáků pojmům bod a úsečka. Tam jim třeba dělá potíže, že úsečka má krajní body. Největší problém je vyznač bod nebo vyznač dva body. A to musí udělat křížkem a velký písmena k tomu. Jenže když dělá úlohu: vyznač dva body a pak je spoj a budeš mít úsečku podle pravítka, to zvládnou. Namalujou si dva křížky, k tomu napíšou dvě velký písmena a spojí a jakmile jim uděláte obráceně, narýsuj čáru, jak chceš dlouhou, tam, kde ta čára začíná, udělej první krajní bod, tam kde ta čára končí, udělej druhej krajní bod, tak vám tam naflákají ty křížky, ale to už je špatně. Musí si tam dát už jenom ty čáry. Pak vlastně bod, když ho dáváte na nějakou čáru, přímku, tak už to není křížkem. [...] Takže když je klasicky bod, udělají křížek, ale jakmile už udělaj tu čáru, tak pořád budou cpát takhle ten křížek přes tu čáru, což je samozřejmě špatně. (U02) Kromě dovednosti rýsovat si učitelé stěžují na představivost....protože ta představivost, co se týče geometrie, je mizerná. (U02) Na rozdíl od učitelů 2. stupně (viz oddíl 3.5) se učitelé 1. stupně nezmiňovali o tom, že by žákům dělalo problémy zapamatovat si kroky řešení, resp. stanovit si postup konstrukce. To je dáno jednodušší látkou, ale je možné, že i tím, že učitelé žákům jednotlivé kroky spíše sami diktují a dovednost stanovit si postup konstrukce od žáků neočekávají. 44

45 2.4 Oblast 2D geometrie Problematikou konstrukčních úloh v geometrii se blíže zabývá oddíl 3.5. Zdá se, že v zahraničí nepřikládají rýsování v geometrii takový význam jako česká škola, protože se nám nepodařilo dohledat žádný relevantní výzkum týkající se rozvoje rýsovacích dovedností žáků a toho, jak případně přispívají k porozumění geometrickým pojmům Míra v geometrii Poznávání tvarů, jejich vlastností a vztahů, to je jeden proud školské geometrie. Druhým proudem školské geometrie je oblast míry. a) Pojmy obsah a obvod v učebnicích Obsah a obvod rovinného útvaru patří k základním konceptům geometrie primární školy. Na úvod připojíme několik poznámek o možných příčinách problémů s pojmy míry (které výroky dotazovaných učitelů potvrzují, viz níže). Většina tradičně koncipovaných učebnic neodděluje budování konceptu obsah a obvod od uvedení vzorce jako návodu na výpočet obsahu či obvodu. Tyto pojmy jsou jak v učebnicích, tak velmi často i ve školské praxi zaváděny rovnou ve vazbě na vzorce (viz například obvod trojúhelníku v učebnici Alter, 4. ročník, 2. díl, s. 46). Tento přístup nutně vede k uchopení pojmů a vztahů pamětí, což v důsledku zase znamená nezbytné časté opakování. Například v učebnicích Alter je mnoho rámečků s nápisem Zapamatujte si, Připomeňte si, vzorce jsou vizuálně zdůrazňovány rámečky a tučným písmem. Znalost vzorce má zřejmě vést k porozumění pojmu. Vzhledem k tomu, že se v učebnici zásadně pracuje s obrazci, u kterých jsou zadány délky všech stran, vlastně ani žádný vzorec k výpočtu obvodu není potřeba. Stačí porozumění pojmu obvod. U úloh na výpočet obsahu či obvodu lze najít pokyny: Při výpočtu obvodu obrazce si napiš nejprve vzorec a do něj dosaď daná čísla. (Alter, 5. roč., 1. díl, s. 34) Další možnou příčinou problémů je to, že je žákům předložen vzorec, tj. algebraicky vyjádřená rovnost na základě jedné či dvou motivačních úloh, 28 ale vyvolání potřeby algebraického jazyka, tj. potřeby popsat obecnou situaci provšechnyobdélníkyplatí...,apostupnýpřechodkpoužívánípísmen v roli proměnné žádná z nejčastěji používaných učebnic neřeší. Jak je 28 Podle teorie generických modelů (Hejný, 2004a) to znamená, že žáci se seznámí s jedním nebo dvěma izolovanými modely, etapu tvorbu komunity izolovaných modelů a etapu generických modelů přeskočí a rovnou dostanou abstraktní poznatek. 45

46 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů uvedeno výše, vlastně ani taková potřeba na této úrovni není. Není zdůrazňováno to, že vzorec vyjadřuje vazbu mezi několika parametry. Žáci, a pravděpodobně i učitelé, vnímají vzorec procesuálně, jako návod na výpočet číselné hodnoty např. obsahu, ale ne jako popis vazby mezi jistými parametry nebo průvodními jevy obrazce, tedy konceptuálně. Například vzorec pro obsah obdélníka vyjadřuje vazbu mezi délkou dvou sousedních stran a obsahem obdélníka ten samozřejmě existuje nezávisle na vzorci. Neporozumění písmenkům ve vzorci se výrazně projevuje zejména u složitějších vazeb později na 2. stupni, například u Pythagorovy věty či obsahu a objemu složitějších útvarů a těles. Další překážkou pro porozumění pojmu obsah a obvod je verbální jazyk. Tento jev popisuje například i A. Hansen (ed., 2006). Zmiňuje například anglický termín face. Je to slovo, které existuje jednak jako slovo hovorového jazyka, ale i jako geometrický termín. Přitom význam tohoto slova v hovorovém jazyce se značně liší od významu geometrického termínu. V českém jazyce se slovo obsah používá v hovorovém jazyce např. v těchto spojeních: obsah lahve, obsah knihy, obsah motoru, obsah kapsy... Ani jeden z nich nepřipomíná geometrický význam slova obsah. Naopak obsah zahrady se nikdy v hovorovém jazyce nepoužije, spíše se použije termín plocha, výměra. Obdobně slovo obvod se v hovorovém jazyce také používá v posunutých významech: elektrický obvod, volební obvod jako část území. Dalšími takovými slovy, která mají v hovorovém jazyce odlišný význam než jako geometrické termíny, jsou například vrchol, stěna, podstava. Poslední jev, který zde zmíníme a který se jeví jako problém, je představa, že pokud mají obrazce stejný obsah (obvod), musí mít i stejný obvod (obsah). 29 Úlohy, které by tuto představu nabouraly (např. prostřednictvím nepravidelných mnohoúhelníků), se v učebnicích vyskytují zřídka. Na pojmy míry je vázáno i učivo o jednotkách míry a o převodech jednotek. Žákům často chybí porozumění předpon mili-, kilo-, centi- apod., což pravděpodobně způsobuje problémy. Učivo o převodech jednotek je obvykle uchopováno návody na převody jednotek (např. Alter, 5. ročník, 2. díl. s. 25). Žáci se často učí zpaměti, kdy se násobí či dělí a jakou mocninou deseti. V této oblasti se pochopitelně často chybuje a učivo bývá jak žáky, tak učiteli považováno za obtížné a zároveň nezábavné. Podle našeho názoru jsou uvedené skutečnosti hlavními příčinami častých miskoncepcí pojmů týkajících se míry u žáků 1. stupně, které se promítají 29 Tzv. same-perimeter/same-area misconception (Dembo, Levin, Siegler, 1997; cited in Geary et al., 2008) 46

47 2.4 Oblast 2D geometrie dále do vyšších ročníků (jak vyplývá i z výpovědí učitelů 2. stupně v oddíle 3.6). b) Pojmy obsah a obvod ve výpovědích učitelů Asi všichni učitelé mají snahu přiblížit učivo žákům prostřednictvím svých zkušeností. Jenže, jak je patrné z níže uvedených výpovědí, smysluplnou úlohu, která by dala žákům rychlé a účinné zkušenosti, není jednoduché nalézt. Učitelka U01 hledá příklady obrazců v dětem známých objektech (dopravní značka, hřiště), které si děti mají zřejmě představit (pokud by s žáky např. nešla na hřiště a pokud by si je žáci neobešli). Obvod trojúhelníka nás teď také čeká po jarních prázdninách. Narýsovat trojúhelník už vlastně umí, to jsme se učili před měsícem. Vyvodíme si to třeba z dopravní značky, když by chtěly vědět, jak je velká, tak každou stranu musí změřit zvlášť a pak dostanou ten trojúhelník: a + b + c. Zase na něčem, co je jim prakticky blízké. [...] A teď nás čeká ještě obvod obdélníku a čtverce ke konci března. Já bych začala třeba na fotbalovém hřišti, jak je veliké, aby zjistili, když tam někdy chodíme běhat. Nebo teď jsme byli pozvaní, zdarma dělala jaderná elektrárna Temelín exkurze pro školy, zaplatili nám i autobus a děti strašně zaujalo, že ty chladící věže mají dole velikost fotbalového hřiště. Tak když bych je nalákala na to, jak zjistit, jak je to hřiště veliké, že vlastně musí změřit všechny ty strany, aby zjistily obvod obdélníku. (U01) Další učitelka podle svých slov zkouší různé přístupy k pochopení pojmů, ovšem s malým úspěchem. Klíčem k úspěchu podle ní je neustálé procvičování (zda přitom pracuje se vzorci, se z výpovědí nedá vyčíst). Je otázkou, zda by se situace nezlepšila, kdyby místo práce s představou daného objektu nepracovali žáci přímo s ním (tedy nemanipulovali např. s objekty různých tvarů, neobcházeli např. školní dvůr a nezjišťovali obsah apod.). Ale tyhle převody, když jim to ukazuju, nebo ty obvody, obsahy na nějakých praktických..., tak stejnak nejsou sto pochopit obvod je plot a obsah je plocha. [...]neřešitelný, už člověk neví, načem jimto máukázat. Musísi toříkat. Když trénují doma, tak pochopí, když píší testy, pochopí, ale mám pocit, teď jsme to měsíc nedělali, když dám test, tak budou vedle, jak ta jedle. Snaží se to chápat, a to máš obvod zahrady obcházím. Obvod sčítám všechny strany, obsah, že sečtu ty dvě strany a vyplní se mi to. To už nechápou, že když krát dvě strany, že je to celá ta plocha. A člověk se to snaží, že většinou mají domy, pozemky, že by mohly chápat, ale je jim to jedno. [...]A trénujeme to v 5. třídě intenzivně, tam denně, každou matiku píšeme desetiminutovku, za pololetí mají snad 80 známek, jenom prostě cvičit, cvičit, cvičit, pořád dokola. (U13) 47

48 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Na vlastní manipulaci a prožitek žáků při zavádění pojmu obvod dává důraz učitelka U Takže tady trochu porušujeme to pravidlo, že se nedržím úplně striktně těch učebnic, ale když jde nějaké učivo spojit, tak se ho snažím spojit. To samý je s obvodem obdélníku a čtverce, takže většinou přinesu provázek a chci, aby mi zjistili, jak dlouhý provázek budu potřebovat, když budu chtít ho navlíknout kolem učebny, a jak jsem k tomu dospěla. [...] Nebo u tabule, mám lepicí pásku a oblepím tabuli a ptám se, kolik budu té pásky potřebovat a ptám se, jestli na to přijdu nějakým jiným způsobem, než že budu muset tu tabuli oblepit. Pak se bavíme o dárkách. Já teda tady to učivo trochu přehazuju, takže většinou obvody se snažím dělat, aby to bylo v období vánoc, protože tam zase používáme na balení dárků stuhy a ptáme se, kolik budu potřebovat té stuhy. [...] snažím se to vždycky propojit s tou praxí, aby to nějakým způsobem líp pochopily. (U04) Učitelky mluvily též o problému se záměnou termínů obsah a obvod (viz také oddíl 3.6). Učitelka U12 podle našeho názoru dobře odděluje problém se záměnou termínů (který nevidí jako fatální) a s pochopením pojmů, které termíny pojmenovávají. Ve své výuce se zřejmě snaží o důkladné porozumění pojmům, aniž by zavedla vzorce. Dělali jsme, ale nepoužíváme jednotky jako takové, tzn. že bychom říkali třeba, co se týče objemu jako krychlové jednotky, ale počítáme obsah, počítáme ve čtverečcích, počtu čtverečků a objem v krychlích, v počtu krychlí. Takže vysloveně do jednotek to převedené nemáme. Problém někdy je, že si děti nevzpomenou, který pojem znamená, že obvod je to okolo a obsah je to vevnitř. Jakoby spojení pojem a to, co mám dělat. Není to, že by nevěděly, co s tím, ale nevzpomenou si, co co znamená a jak se co značí, ale to si myslím, že není nevidím to jako problém. Umí si s tím poradit a umí spočítat. A někteří jsou schopni spočítat i obsahy pomocí čtverečkované sítě. Poskládat si to, říct si co kam patří, a pár dětí, což si myslím, že je obrovský pokrok, je schopno počítat obsah už odebíráním. Třeba když máme trojúhelník, tak ten se dá zasadit do obdélníku a vypočítat obsah třeba velice složitého trojúhelníku tím, že odebírá, odčítá obsahy jakoby těch, my tomu říkáme, odstřižků z toho obdélníku. Což si myslím, že je velký pokrok, protože z počátku toho nebyl nikdo schopen. (U12) Většina učitelů se snaží o to, aby žáci vzorce odvodili. Bohužel postupy, kterými je vedou k jejich odhalování, neuvádějí. Někteří učitelé naproti tomu pojímají práci se vzorci odlišně: Nejdříve se nauč vzorec a pak zkoumej, co ten vzorec vlastně znamená. Chci, aby [vzorec] vyvodili, a když ho vyvodí, tak si je píšeme na desky. To znamená, [že tam mají] všechny základní vzorečky od čtvrté třídy, ale musí je 30 U dárku nejde, přesně řečeno, o obvod obrazce. 48

49 2.4 Oblast 2D geometrie vyvodit, aby to pro ně nebylo abstraktní pojem. [...] U obdélníku a u čtverce musí sami přijít na to, že čtverec má všechny strany stejně velký, takže si je pojmenováváme teda stejným písmenem, protože když jsou stejně velký, tak číslo 4 bude třeba a, a u toho obdélníku zase, že jsou dvě a dvě strany stejně velké, takže až když tohleto vědí, tak se ptám, jestli by teda šlo vypočítat nějakým způsobem jednoduše ten obvod, a většinou na to přijdou, na to přišli teda i letos. A jestli počítají obvod u obdélníku 2 krát a plus b nebo 2a plus 2b, tam jim nechávám vyloženě, aby si to počítali podle toho, co jim líp vyhovuje. (U04) A pak se setkávají s novou látkou, a to jsou obsah obdélníku a obsah čtverce. Oni už vlastně musí vyvodit jakoby podle vzorečku, kdy si musí pamatovat nějaký vzoreček, a podle toho odvodit, co to vlastně obsah je. (U05) Obtíže s porozuměním pojmům obsah a obvod někteří učitelé překonávají tím, že žákům dodávají více konkrétních ukázek a metafor. Nácvik vzorců a pouček na převody jednotek se někteří učitelé snaží žákům zpříjemnit i formou hry, například pexesem. Tak na to už jsem si našla taky takovej fígl, [...] jednou jsme si to tady udělali i ve třídě, že si představíme pro nás obvod ztělesňuje plot kolem zahrady. Já už pak vždycky říkám: Tak a co? Postavíš si plot, a nebo je to to uvnitř, co si tam pěstuješ, ty řádky zeleniny a podobně? A to si už představí a to už jim dokáže trochu víc připodobnit tu situaci. Kdežto když řeknu jenom obsah a obvod, to je pojem. [...]To znamená vždycky jako konkrétní situace. Nebo si třeba vezmeme provázek a jakoby si to zkoušíme. Já řeknu, teď se mi naskládejte dovnitř, vy děti, to jste ten obsah. Pak řeknu, teď si kolem dokola uděláme plot, živej plot z dětí. Prostě vždycky konkrétní příklady. Takže to jim trošku pomáhá. Když je nějaká úloha, vypočítejte obsah, tak říkám, co je obsah, plot nebo? Takže takhle. Tímhle způsobem. (U06) Takže letos ne, ale jinak vždycky jsme to dělávali tak, že jsme si i práce měnili, já třeba tak jako máme zatavený kartičky na ty jednotky obsahu, tak máme ještě vyrobené pexeso na obsah, [...] V pětce jedeme třeba jenom na dvanácti kartičkách a v té šestce, sedmičce tam se jich dá všech 32 použít potom na ty převody. (U10) Úskalí příliš rychlé algebraizace jsou si někteří učitelé vědomi a algebraické vyjádření vzorců odsouvají na konec 5. ročníku. A možná dokonce se mi zdá, že z geometrie je tam toho hodně, že se po nich chce hodně brzy dost. Že geometrie je tak abstraktní, že oni na to abstraktní myšlení dozrajou až na tom druhém stupni. Já vím, že mají velký trable ve čtvrtý třídě s obsahem a obvodem obdélníka, čtverce, a tak jsem i po konzultaci s nějakými staršími kolegyněmi dospěla k tomu, že to nemá cenu to lámat přes koleno, že je lepší si počkat do pátý třídy a tam už se to naučí opravdu všichni. Ale možná 49

50 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů zase tím, že se s tím ve čtvrté třídě začne, takže oni už o tom něco vědí a pak už jim to jde v pětce snáz. (U14) Z geometrie jsou to obsahy. Ale obsahy oni počítají přes čtvercovou síť. To znamená, my teda se do toho pouštíme tak trošku, že to zkoušíme i bez čtvercové sítě, seznamujeme se s jednotkami obsahu, ale to je pro ně tedy opravdu španělská vesnice, takže tam do toho opravdu jenom ťukneme a jdeme od toho pryč. (U08) Oblast míry v geometrii byla shledána jako problematická i učiteli 2. stupně. Proto se zde nebudeme zmiňovat o souvisejících výzkumech týkajících se výuky pojmů, ty jsou rozebrány v oddíle Slovní úlohy Slovní úlohy jsou již po mnoho let evergreenem mezi obtížnými oblastmi matematiky. Zmiňuje se o nich 25 našich učitelů. Učitelé je obvykle zmiňují hned na prvních místech. Výjimkou nejsou ani učitelé 2. stupně (viz oddíl 3.4). a) Učivo o slovních úlohách v učebnicích V učebnicích Alter můžeme najít dva zásadní jevy týkající se slovních úloh, které mohou potenciálně vést k problémům. I když slovních úloh na procvičování je v učebnicích relativně dost, jejich variabilita je z hlediska sémantického kotvení čísla velmi malá. Z jednoduchých úloh se zde vyskytují pouze úlohy typu stav ± stav = stav, 31 stav ± operátor = stav. 32 Tato skutečnost často vede k tomu, že žáci nemají potřebu text úlohy pozorně číst a s čísly, která se v úloze vyskytují, provádějí operaci, jež byla přítomná v minulých úlohách, nebo operaci volí strategií vyhledávání signálních slov, jako například dohromady, přiletěli, více, níže apod. U většiny slovních úloh tak žáci dostanou správné řešení, aniž by textu úlohy věnovali pozornost. Úlohy s antisignálem 33 a čistě operá- 31 Např. Ve třídě je 17 chlapců a 14 dívek. Kolik žáků je ve třídě? (S + S = S) Nebo: Ve třídě je 31 žáků a z toho 17 chlapců. Kolik je ve třídě dívek? (S S = S) 32 Např. Ve třídě je 14 dívek. Chlapců je o 3 více. Kolik chlapců je ve třídě? (S + O = S) Nebo: Ve třídě je 17 chlapců a dívek o 3 méně. Kolik dívek je ve třídě? (S O = S) 33 Úloha s antisignálem je úloha, ne nutně slovní, kde se vyskytuje signální slovo, nebo znak naznačující jistou operaci, ale k výpočtu je nutno provést operaci inverzní. Např. Ve třídě je 17 chlapců, což je o 3 více než dívek. Kolik dívek je ve třídě? Signálním slovem zde je slovo více, ale úlohy se řeší pomocí odčítání. 50

51 2.5 Slovní úlohy torové úlohy 34 se v učebnicích Alter téměř nevyskytují. Takové úlohy dobře fungují jako diagnostické. Jejich řešením žák ukazuje své porozumění textu slovní úlohy. Učebnice poskytují návody na uchopení úlohy, předkládají vzor, jak si zadání úlohy správně zapsat. Například v učebnici Alter (3. ročník, 1. díl, s. 4) je uveden takový vzor i k úloze, kterou většina žáků ve 3. ročníku umí řešit zpaměti: Třetí třídu navštěvuje 18 chlapců a 9 děvčat. Kolik dětí je ve třetí třídě? Domníváme se, že zápis, který je vyžadován, zde neplní svůj účel, a sice přispět k porozumění úloze. Kromě tradičního zápisu učebnice vyžaduje kontrolu výpočtu, což v tomto případě působí obzvláště podivně. Výpočet je totiž = a zkouška je =. Pokud by učitel nekriticky využil tento didaktický přístup k řešení i velmi jednoduchých úloh a pro všechny žáky bez rozdílu (z nichž většina ho prakticky nepotřebuje), je tu nebezpečí, že žáci budou svou pozornost soustřeďovat spíše na formální aspekty řešení slovních úloh než na jejich porozumění. Předepsané zápisy se obvykle od žáků vyžadují před samotným výpočtem. b) Učivo o slovních úlohách ve výpovědích učitelů Podle většiny dotazovaných učitelů jsou slovní úlohy neoblíbené a problematické učivo, a to od 1. až po 5. ročník. Problémy žáků, které učitelé v souvislosti se slovními úlohami zmínili, jsou především chybějící logické myšlení, nedostatečná čtenářská gramotnost porozumění textu i porozumění některým slovům, nesprávné provedení zápisu úlohy nebo jejího znázornění a chybějící nebo špatná formulace odpovědi. V první třídě jsou problematické slovní úlohy a ve druhé taky. (U02) Nejvíc narážíme na slovní úlohy, takže pro ni [dceru] je to vlastně něco, co si přečte a první, co ji napadne, je, že mi řekne: Mami, já tomu nerozumím. A podobný je to i ve škole. (U04) Většinou pak v těch vyšších třídách, tak se hodně stává, že je nebaví slovní úlohy. [...] ale je to hodně tím, že to nechápou, ty slovní úlohy. (U09) Někteří učitelé si uvědomují důležitost motivace žáků k řešení slovních úloh. Tato látka je obtížná, zejména pro mladší žáky, i samotným čtením textu s porozuměním (učitelé se zmiňují o neochotě žáků vůbec se textem zabývat), takže je podle učitelů důležité této činnosti dát smysl a zatraktivnit ji 34 Operátorové úlohy mají strukturu O ± O = O. Například: Maminka mně přidala do prasátka tři koruny a tatínek korunu. Kolik korun mi přibylo do prasátka? Na zastávce čtyři cestující z tramvaje vystoupili a tři nastoupili. Kolik lidí v tramvaji přibylo, nebo ubylo? 51

52 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů třeba hrou nebo skupinovou formou práce. Někdo se snaží motivovat žáky bodováním jejich práce, někdy stačí malá odměna v podobě figurky zvířátka (srov. oddíl 3.4). Takže tam je asi důležitý, už od té první třídy v dětech vyvolávat zájem, aby se snažily pochopit ten obsah, takže to vidím, jakože pro děti tím, že mají matematiku spojenou s tím, že se to rovná něčemu abstraktnímu, tak vlastně je třeba je zbavit tady toho ostychu [a ukázat], že i matematika jim může být dobrým kamarádem, a vlastně vést je k tomu hned od začátku. Protože nemají vůbec rádi slovní úlohy, jakmile tam je víc textu a mají si z toho najít to podstatné. A v podstatě oni, když jim tu úlohu rozeberu, nebo pomůžu jim jí rozebrat, tak to vyřeší, ale než aby sami přemýšleli a sami si podtrhali to, co je důležité, tak ono se jim prostě nechce, oni to považují za něco jako pro mě, za nadstavbu, kterou nevědí, proč mají dělat. (U04) Opravdu, když to uděláte zajímavý, když uděláte hrou ty věci, nebo když opravdu děti můžou pracovat ve dvojici nebo můžou pracovat ve skupince, kde samozřejmě se stane, že tam je někdo šikovnější, někdo míň šikovnej. Vlastně tím, že pracují ve skupince, tak si pomáhají, tak si raděj. (U08) A ty slovní úlohy trochu vypovídají o tom, jak to dítě přemýšlí, jestli ho ta matika taky baví. Protože když ho nebaví, tak vidíte, já jim tady čtu a oni koukají z okna a tak. Ty, který to nebaví, tak prostě u těch slovních úloh vypnou a čekají, až to za ně spočítá okolí. Takže, když já to boduju, tak nutím i tyhle ty děti, aby aspoň trochu se snažily. (U15) Říkám, dřív to [figurku zvířátka] nedostanete, než to dopočítáte. Takže tahle skupina to konkrétně dopočítala. (U16) Obtíže žáků při řešení slovních úloh někteří dotazovaní učitelé přikládají jejich nedostatečnému logickému myšlení (což se projevuje u slabších žáků). Opět se objevuje motiv neochoty přemýšlet (ať už nad řešením či nad získaným výsledkem). Děti, kterým to logicky myslí, v této oblasti podle nich naopak excelují. 52 Co je trochu problém, jsou slovní úlohy, protože ty děti nejsou logický, jo. Oni si něco přečtou a hned říkají, že tomu nerozuměj a ať je to naučím. (U19) V logickém myšlení, to tam musí být. [...]První díl, tam už jsou ty slovní úlohy náročnější, tam, kde je počítání se závorkami, tak tuhle tu partii, tu mají ty děti, kterým to matematicky myslí, tak ty jí mají rády, protože na tom excelují, jsou hodně chváleny a neumí to každý hned. Těm ostatním to dělá větší problém. (U01) Oni vůbec neuvažují, oni to tam rovnou všechno vynásobí a vůbec neuvažují, že jim třeba vyjde číslo pět set něco a že to v realitě není vůbec možné. Vůbec se

53 2.5 Slovní úlohy nad slovními úlohami nezamyslí. To je velký problém ve slovních úlohách. [...] Velký zádrhel je v logice těch dětí oni si třeba tu slovní úlohu přečtou a půlka třídy se mě zeptá a co s tím mám dělat?. (U03) Ne vždycky si s tím víme rady, jak to logické myšlení rozvíjet. Jsou tam slovní úlohy a tak dále a pro některé děti je to velký problém, ano. A tam se to vlastně vždycky hodně rozděluje, že jo. Tady už jsou ty děti, u kterých je vidět, že to jsou budoucí studijní typy, že jo, chystají se na víceletá gymnázia, že jim to jde daleko lépe, a někomu už to dělá velký problém v té páté třídě. Čili tam rozdíl mezi dětmi je docela velký. (U24) Soustředí se ještě na čtení a zároveň je to pro ně opravdu těžké, takže ty slovní úlohy, když je řešíme, tak ve třídě je třeba pět dětí, které si s tím poradí, a to jsou právě ty šikovné děti. (U05) Ona neochota přemýšlet může být způsobena i tím, že úlohy, které mají žáci řešit, jsou stejného typu, takže nemají pocit, že je nutné se textem vůbec zabývat. Jo, když mají takovou sérii stejných úloh, tak pak už nečtou tu úlohu a jenom se mrknou na čísla. (U22) Povrchní čtení textu má podle dotazovaných učitelů za následek to, že žáci např. neberou v úvahu jednotky u čísel, či počítají s jinými, implicitně přítomnými čísly v úloze. Potom dost často si nepoznamenají jednotky, ve kterých to má vycházet, tak potom jsou mi schopni, když to nenapíšou ani do toho zápisu, potom třeba sčítat decimetry s centimetrama. V tom mají dost problém. Hlavně oni na to zapomínají, takže mi potom třeba napíšou, že prodali dvě stě hrušek a ono to mělo být dvě stě kilogramů hrušek. (U06) Často se mi stává, že třeba udělají úplně otočený příklad, že počítají s číslem, to je úplně nejčastější chyba, které tam není uvedené, které je výsledkem, takže třeba když mají maminka má pět jablíček žlutých a tři jablíčka červený, tak oni počítají 8 mínus třeba 3, už jako si to sečtou a počítají s číslem 8, který tam vůbec nebylo zadaný. To je docela hodně častý, takže pro ně je těžký si to rozklíčovat po kousíčkách a vypsat si, co tam opravdu bylo, jaké údaje tam byly, takže my se pořád vlastně v té druhé třídě učíme jenom vyhledávat to, co opravdu je důležité. (U05) [...] jako byla tadyta úloha s banánama, 3 kila banánů po 15 korunách, a oni se ptaj:...a to jedno kilo stojí 18? (U19) Mnozí učitelé pomáhají dětem překonávat problémy s jejich logikou (či spíše s porozuměním textu) názorem, dramatizací, manipulací a někdy také zdůrazňováním signálních slov. Zde je nutné si uvědomit, že důsledným pro- 53

54 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů pojováním signálních slov s příslušnou operací se mohou děti dostat do pasti při řešení úloh s antisignálem. Určitě, máme třebas, co se mně osvědčilo, klobouk a dětem vysvětlím, že teda mám prostě klobouk. Ukážu všem dětem, mám tam pět kuliček, z toho klobouku vyndej si jednu kuličku. Jiný dítě řekne, kolik v tom klobouku vidí kuliček. Nebo modelína, vymodelujeme si pět kuliček... (U08) Takže já je navádím tak, že si zkusíme vždycky přečíst větu po větě, třeba o kolik více a o kolik méně a už se snažím o kolik více (s důrazem na více ). Pro ně by bylo nejjednodušší, kdybych jim řekla: tak to sečtěte a přineste odpověď, ale to samozřejmě nechci. Takže to logické uvažování u těch dětí v poslední době trošičku postrádám. (U03) Úlohy, kde je signální slovo přímo napovídající správnou operaci, již je nutno k řešení provést, například krát, jsou považovány žáky za snadné. Ty slovní úlohy na násobení kupodivu jim jdou skoro líp než na to sčítání, tam je to [...] krát, maminka měla pětkrát víc, jakoby jim to napoví, takže oni se v tom dobře orientujou. Kdežto když tam třeba měla o pět víc, nebo o pět méně, tak to už tam si musejí říct víc, míň, který znamínko tam patří a to krát jim tam většinou napoví, takže oni s tím násobením nemají zas až takový problémy, většinou to vyřeší. (U05) Jak již bylo řečeno, klíčovým problémem je podle učitelů neporozumění textu. Významy některých slov žáci ještě nemají osvojeny. Když je úloha zadána pomocí obrázku (v 1. ročníku) a nechce se po dětech zápis, žádný problém není. [Tazatel: Vlastně tady je vlastně ten problém odstraněný tím, že už je tady nějaký obrázek.] Ano, to je pravda. A tady je hned otázka a [žáci] ví, na co se mají soustředit. (U10) No tam jsem narazila na problém, kde se počítalo, byl tam termín pár holubů. [...]To bylo náročný, že mi to spočítala špatně i maminka, která tady chtěla být zaměstnaná v družině. Pár holubů, tak tam je právě to slovo pár, vysvětlovat, že jsou to dva. 35 (U01) Někdy se zdá, že děti textu rozumějí, že úlohu nějak vyřešit umějí, ale problém je, pokud ji mají znázornit či zapsat určitým způsobem, nebo řešit tak, jak se řešit podle mínění učitele má. Nebo když se něco protínalo, [...] tolik dětí má něco, tolik dětí má něco, kolik z nich má společného něco, a to už musel být ten průnik. Tak to teda děti vůbec 35 Žáci mohli být zmateni hovorovým významem slova pár, tedy několik. 54

55 2.5 Slovní úlohy nebraly. [Tazatel: A co jim na tom dělalo takový problém?] Asi vůbec to znázornění, protože oni to dokázali logicky vypočítat, ale když to měli namalovat, tak to jim dělalo největší problém. (U02) Pak bych se chtěla ještě zastavit u slovních úloh, třeba slovní úloha, že tři kilogramy banánů stojí 48 korun, kolik stojí šest kilogramů?, tak dětem dělá strašný problém uvědomit si, že musí vypočítat, kolik stojí jeden kilogram. 36 (U03) Problémy při znázorňování slovní úlohy a v jejím zápise jsou podle dotazovaných učitelů způsobeny neschopností žáků vybrat z textu to podstatné. [Tazatel: Takže když to zrekapituluju u těch slovních úloh, tak je problematický, že si neumí vytáhnout z toho zápisu to podstatný.] To beru jako úplně alfa omega, že oni prostě neumí najít, co tam znají, co neznají a aby to byli schopni napsat. Tak to bývá často problém. (U06) Řekla bych v té první třídě, když se dělají slovní úlohy, oni mají potíže vybrat to, co je nejdůležitější ve slovní úloze. [...] A tohle to jim dělá velký potíže ve slovních úlohách, to co je nejdůležitější. [...] Čtvrtina třídy mi to nezvládá ještě teď, vybrat to důležitý slovo ve slovní úloze. [...] Například: Jirka má ve své knihovničce 18 knih a nejdůležitější je 18 a má, 3 knihy půjčil, 3 a půjčil, je to jedno komu. Důležitý je to jedno číslo a to jedno slovo k číslu. Protože půjčil a je jasný, že to odečítá. 37 A tohle je pro ty děti strašně těžký. [...]Oni to spočítají, nejde o výpočet, jde o logický uvažování toho nejdůležitějšího slova, který patří ktomučíslu.(u02) Na zápis, popřípadě znázornění kladou někteří učitelé důraz, i když úlohu umí žáci vyřešit po svém. Nejhorší, najít v té slovní úloze to podstatné a udělat zápis nějakej. A tu úlohu rozebrat, to je pro ně těžké, tak ani dneska to neumí, i když si myslím, že je poměrně hodně děláme. [...] takže když potom bych chtěla, aby to dělal jako každý sám, tak bych to rovnou odsoudila k nezdaru, protože ty děti si to třeba přečtou, umí to vyřešit, řeknou vám i výsledek, oni okamžitě vědí ten výsledek, ale oni vůbec nedokážou v tom najít ty základní údaje. Ten zápis neumí, ale tu úlohu, ten příklad sestaví. Ale problém je ten zápis, ten prostě oni neudělaj, ten neumí, nebo vám tam tu úlohu celou přepíšou, prostě jí tam celou zase přepíšou. [...] Opíšou úlohu a to je pro ně ten zápis. Neumí říct, vybrat slovo, heslo, k tomu přiřadit to číslo, to je pro ně opravdu těžký, to ale bylo vždycky, co to učím, tak vždycky to takhle bylo. (U05) 36 Což ovšem není nutné, řešení bez výpočtu ceny jednoho kilogramu je v tomto případě efektivnější. Výrok učitelky pokračuje: Oni vůbec neuvažují, oni to tam rovnou všechno vynásobí a vůbec neuvažují, že jim třeba vyjde číslo pět set něco, a že to v realitě není vůbec možné. Není jasné, zda se vůbec ono efektivnější řešení objevilo, nebo zda v tomto případě žáci neuvažovali vůbec a jen násobili čísla. 37 Opět se objevuje tendence učitelky ke zdůrazňování signálních slov. 55

56 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Podobně se vyjadřuje i učitelka U21, která si ovšem současně uvědomuje, že z hlediska žáků může být zápis pouze formální záležitost. Asi je na tom štve ta formální stránka. Pro ně by bylo přirozené něco vypočítat a tím to je vyřešeno. Ale neuvědomují si, že za měsíc už tomu ani ten žák nebude rozumět. Není to jen pro mne, ale taky pro něj. Ale oni to tak nevnímají, spíše jako formalitu. (U21) Problémy se zápisem a výběrem nejdůležitějších informací dotazovaní učitelé překonávají obvykle častým opakováním, přičemž k tomu využívají různé techniky. Učitelka U02 vede žáky k tomu, že k zápisu dospějí postupným zkracováním textu úlohy. Tréninkem, trénujem a trénujem a trénujem. Takže mi řeknou osm jiných slov dokola, já říkám ne, zkrátit a oni mi třeba řeknou tři slovíčka, ne moc, co můžeš vypustit. Takže se snažím, vypouštěj, vypouštěj, vypouštěj, až ti zůstane to jedno nejdůležitější, ale to je v podstatě jenom trénink pořád dokola. (U02) Další učitelka vede žáky k řešení zpaměti akespolečnétvorbězápisu.vytváří tím současně u žáků dojem, že neexistuje jediný správný způsob zápisu. Procvičujeme to právě tím, že vždycky část slovních úloh děláme zpaměti, že si společně, aniž bychom psali ten zápis, tak si to vždycky říkáme a jednotlivě, každý ze třídy se snaží vymyslet, jak by nejlíp vyjádřil třeba ten zápis a pak se třeba shodneme, kdo to vymyslel nejlíp. A hlavně pořád, že to děláme dokola. Já myslím, že nejlíp je pořád to procvičovat. Protože oni dost často, jakmile se probírá nějaká jiná látka, zase řeknu třeba zlomky, tak strašně rychle zapomenou na to, co se dělalo předtím. (U06) Učitelka U22 dělá se žáky rozbor textu, přičemž důležitá slova podtrhává. My jsme si tam podtrhávali ty údaje a říkali jsme si, co nám to říká, jestli tam to násobení máme použít, dělení, sčítání, odčítání. Vlastně z toho textu, že jsme se k tomu vraceli, oč tam jde, že tam nejde jen o ta čísla. (U22) Učitelka U14 se domnívá, že zápis lze dětem ve 2. ročníku zjednodušit tím, že se zavede písmeno x pro to, co se má spočítat. Otázkou je, zda si takto malé děti mohou skutečně zažít význam písmene x jako neznámé. 56 Nebo já vím, že třeba je trochu předčasný, ale oni už i v tý druhé třídě, místo toho aby si tam napsali do toho zápisu otázku a otazník, tak my jsme napsali celkem a vysvětlila jsem jim x, onivěděli,žex je neznámá, jo ví to, že to musí vypočítat a oni už prostě mají to zažitý a jedou. A myslím si, že to v tuhletu chvíli i ten zápis byl pro ně jednodušší, než kdyby tam měli vypisovat celou otázku. [...] A myslím si, že opravdu je to nějak nezatížilo, ale nemusí se to. (U14)

57 2.5 Slovní úlohy Někteří dotazovaní učitelé si uvědomují, že problém žáků s výběrem důležitých informací z textu úlohy a jejím zápisem je otázkou čtenářské gramotnosti, proto k rozvíjení této dovednosti využívají i českého jazyka. A také naopak, dobrá schopnost některých dětí přečíst slovní úlohu (v 1. ročníku) motivuje ostatní, aby se také naučily rychle číst. Tak to se právě snažím v češtině nebo v jiném předmětu to dělat. Třeba jim řeknu: Dobře, teď jsme si tady přečetli větu a vy mi z toho vypíchněte jedno slovo, kterým řeknete všechno. A takhle to trénujeme v rámci jiného předmětu, že v té matice na to už není takový prostor. (U06) Případně, pokud učitel ví, že tam má čtenáře už v té třídě první, tak pak může dát slovo čtenářům a čtenáři čtou. Děti to slyší od dítěte. Tím je to motivuje k tomu, že děti taky chtějí začít rychle číst, aby si to mohly číst samy. A říkám od toho spolužáka je to trochu něco jiného. (U07) Součástí řešení úlohy je odpověď, která uzavírá řešitelský proces tím, že zjištěný výsledek je interpretován zpětně v kontextu úlohy či v realitě. Formulaci odpovědi učitelé také považují za častý problém. Formulace slovních odpovědí dělá stále od první od druhé třídy bych řekla [problém], [...] To je ale stěžejní, to je největší problém. (U01) Oni vlastně to vědí, ale nevědí, co to vlastně vypočítali. A potom vymyslet odpověď na tu úlohu. (U05) A potom ještě u slovních úloh, aby dokázali napsat tu odpověď. Dost často se mi stává, jak jsou navyklí na ten jednoslovný krátký zápis, takže často napíšou tu odpověď jenom tak ledabyle, že to nepíšou prostě celý, jak by to mělo být. (U06) Učitelé využívají slovních úloh i pro diferencovaný přístup k žákům. Své učebnice občas doplňují jinými materiály. Opět se objevuje motiv slovní úlohy jsou pro chytré žáky. To jsou úlohy navíc, ke kterým se vracím, nebo je prokládám a dávám k dispozici v hodině, aby mohli prokázat, že jsou chytří žáci. [...] Pro chytré hlavy já teď používám další. Já mám těch učebnic hodně, co jsem si pro vlastní potřebu nakoupila. Tahle se mi taky velmi líbí od Fragmentu [Pětiminutovky pro ZŠ, 3. třída]. Já si z toho vyberu i slovní úlohy a to taky dávám pro bystré hlavy na řešení a doplňuju s tím učivo. [...] ale jde to, ty složitější [dám] jenom těm matematicky zdatným a já myslím, že je to dobře dělaný, že těm, co jsou slabší ty děti, těm se to dovykládá a znázorňuje. (U01) Učitelka U10 do svého přístupu k řešení slovních úloh promítá své vlastní zkušenosti z doby, kdy sama chodila do školy, a problémům, na které si vzpomíná, se snaží předcházet. 57

58 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Ale co jsme nedělávali, tak takové to větší o, menší o, takové ty šipky šílené, které se na té základce, co já jsem si vzpomněla, že já na ně mám asi nějaké vzpomínky neblahé. Nevím moc, o co šlo, možná jsem tomu tenkrát moc nerozuměla, ale vím, že z toho jsem byla asi zmatená [...] To bylo na mě asi dost složité. Takže vím, že to větší menší jsem řešívala těma obrázkama, že si to [děti] nakreslily a v tom je to jasně vidět, kdo má víc. A nebo si to skládaly. [...] Protože někdo tu vizuální stránku nemá tak rozvinutou, aby viděl, že tam je víc a o jednu. (U10) Závěrem tohoto oddílu dodejme, že na rozdíl od učitelů 2. stupně, učitelé 1. stupně se nezmiňovali o potřebě používat reálné problémy, resp. úlohy ze života Vybrané výzkumy zahrnující slovní úlohy Výzkumy související s výukou slovních úloh jsou uvedeny také v oddíle Zde se podíváme na ty, které se týkají žáků 1. stupně a které se zabývají didaktickými praktikami, jež jsou zmiňovány dotazovanými učiteli (i když někdy jen okrajově). Výjimkou je studie (Walker, Poteet, ; cit. v Gersten et al., 2008), která se sice zabývá žáky 2. stupně, ale objevuje se v ní výuka pomocí signálů (kterou v našich rozhovorech explicitně uvedli jen učitelé 1. stupně). Gersten et al. (2008) citují tři výzkumné studie, kterých se účastnili žáci 1. stupně s potížemi v učení. Podstatou výuky, která jim byla poskytnuta, je systematické používání grafické reprezentace, jež jim měla pomoci analyzovat obsah slovní úlohy. Jedna studie se týkala jednoduchých aritmetických slovních úloh na sčítání a odčítání, druhá multiplikativních úloh na porovnávání a třetí se týkala slovních úloh, které se vyučují v době, kdy žáci přecházejí od aritmetiky k algebře. Přičemž bylo cílem, aby se žáci naučili řešit slovní úlohy, které zahrnují příslušnou operaci, ale také operaci k ní inverzní. Žáci nebyli vedeni k tomu, aby hledali v úlohách klíčová slova (v naší terminologii signály), ale učili se používat vizuální reprezentaci úlohy. Jednalo se, jak již bylo řečeno, o žáky s potížemi v učení, proto autoři zvolili explicitní výuku. Ta byla založena na: a) představení jednotlivých typů úloh, b) důkladném 38 Domácí výzkumy v oblasti slovních úloh se týkají spíše žákovských obtíží než výukových přístupů. Například M. Kaslová (2006) uvádí následující obtíže žáků: zapamatování si zadání úlohy, třídění podstatného od nepodstatného, formulace odpovědi. Druhou a třetí obtíž uvedli též dotazovaní učitelé, první u nich explicitně nezazněla. R. Blažková a M. Vaňurová (2011) se věnují tvořivosti žáků při řešení nestandardních úloh, která, jak uvádějí, závisí na přístupu učitele. Dále popisují problémy žáků při řešení slovních úloh způsobené jejich komunikačními problémy (Blažková, Vaňurová, 2013). S. Kováčik (2011) zkoumá slovní úlohy jako nástroj rozvíjení logického myšlení jak žáků, tak i budoucích učitelů. 58

59 2.5 Slovní úlohy procvičování, c) uvažování nahlas, k němuž byli žáci vedeni, když vytvářeli své vizuální reprezentace. Agregované výsledky zmíněných tří studií ukázaly signifikantní podíl zmíněného výukového přístupu na schopnosti žáků řešit slovní úlohy. Vliv používání nákresů a diagramů na úspěšnost žáků 3. ročníku v řešení slovních úloh dále zkoumali C. Csikos, J. Szitanyi a R. Kelemen (2012). Výzkum zahrnoval 5 experimentálních a 6 kontrolních tříd (n = 106, resp. n = 138). Výuka trvala celkem 20 vyučovacích hodin v průběhu šesti týdnů a zahrnovala celkem 73 realistických slovních úloh. Učitelé experimentálních tříd dostali ke každé úloze její vizuální reprezentaci. Žáci byli vedeni k tomu, aby při řešení úloh sami kreslili náčrtky, a v rámci skupinové práce i v diskusích s učitelem byli vedeni k důležitosti vizuální reprezentace úlohy pro její řešení. V porovnání s kontrolní skupinou žáci udělali větší posun ve znalostech mezi pre-testem a post-testem v aritmetických dovednostech (zde byl rozdíl malý) a ve schopnosti řešit slovní úlohy (zde byl rozdíl významný). D. W. Walker a J. A. Poteet ( , cit. v Gersten et al., 2008) zkoumali přímo metodu vyhledávání klíčových slov (signálů) (skupina S) ve srovnání s metodou tvorby diagramů pro slovní úlohy (skupina D). Výzkumu se zúčastnili žáci 6. a 8. ročníku (n = 70) s potížemi v učení, kteří měli problémy s řešením slovních úloh. V obou skupinách žáků byla použita explicitní výuka (jak je charakterizovaná výše) v délce 17 třicetiminutových lekcí. Ve skupině D byli žáci vedeni k řešení jedno- či dvoukrokových aditivních slovních úloh takto: vytvořit si vizuální reprezentaci, která pomůže organizovat informace z úlohy, přeložit obrázek do číselného výrazu, vypočítat odpověď. Žáci ze skupiny S byli vedeni k identifikaci klíčových slov ve slovní úloze, které se dají přímo převést na určité matematické operace. I když rozdíly nebyly statisticky významné, autoři uzavírají, že přístup pomocí vizuálních reprezentací je pro žáky s potížemi v matematice slibný. Gersten et al. (2008) dále popisují jiný slibný výukový přístup na základě výzkumných studií (Fuchs et al. 2004, 2006). Tento přístup autoři nazývají schema based transfer instruction (dále SBTI). Je založen na předpokladu, že je nutné, aby si žáci vytvořili schémata pro seskupování úloh do typů, díky čemuž, pokud se setkají s novým problémem, budou v něm lépe schopni najít spojení se známými úlohami a efektivně je řešit, tedy provést transfer dovedností na novou situaci. V přístupu SBTI se tento transfer explicitně vyučoval. Např. žáci byli vedeni k tomu, aby si uvědomili, že změnou povrchových vlastností úlohy (jiný formát, jiná klíčová slova, další nebo jiná otázka, jiná šíře úlohy) nedochází ke změně typu problému či požadovaného způsobu řešení. Pojem transfer způsobů řešení mezi známou úlohou a novou úlohou jim byl explicitně vysvětlován. 59

60 2 Kritická místa matematiky na 1. stupni základní školy v diskurzu učitelů Prvního z výzkumů (Fuchs et al. 2004), který trval 16 týdnů, resp. 34 vyučovacích hodin, se účastnily tři skupiny žáků 3. ročníku (n = 351) a 24 učitelů ze sedmi škol: kontrolní skupina (tradiční výuka úloh podle typů, bez explicitního důrazu na schéma, s důrazem na procvičování a výpočty), SBTI skupina (výuka podle popisu z předchozího odstavce), expanded SBTI skupina (ta zahrnovala navíc oproti druhé skupině důraz na další povrchové rysy slovní úlohy: zbytečné údaje v zadání, kombinace typů úloh a změna několika povrchových rysů zároveň). Na konci výukového programu žáci řešili úlohy, které se od vzorových slovních úloh lišily nějakým povrchovým rysem (a testovaly tedy schopnost žáků přenést (transfer) způsob řešení ze známé úlohy na novou úlohu): a) nový příběh, b) nový formát/jazyk nebo otázka, c) všechny tři nově zahrnuté rysy v expanded SBTI, d) formulace jako úloha z reálného života, která zahrnovala v podstatě změny všech povrchových rysů úloh a žádná podobná úloha se v žádné ze zkoumaných skupin nikdy neřešila. V porovnání s kontrolní skupinou dosáhly další dvě skupiny signifikantně lepších výsledků ve všech typech transferu, přičemž u třetího typu podle očekávání skupina expanded SBTI dosáhla ještě lepšího výsledku než skupina SBTI. Stejně dopadly výsledky u čtvrtého typu transferu, tedy žáci experimentálních skupin dosáhli výrazně lepšího výsledku i v řešení reálných úloh, s nimiž se při výuce vůbec nesetkali. Závěry z výzkumu jsou platné jak pro celou zkoumanou populaci žáků, ta pro podskupinu matematicky slabších žáků. Druhé studie (Fuchs et al., 2006) se zúčastnilo 445 žáků 3. ročníku ze 30 tříd sedmi škol. Výuka trvala opět 16 týdnů. V kontrolní skupině žáků probíhala běžná výuka slovních úloh (viz také první studie), zatímco v experimentální skupině byl opět použit výukový přístup schema based instruction, navíc doplněný o explicitní výuku strategií, jak řešit komplexní reálné úlohy. Výsledky v řešení reálných úloh byly opět signifikantně lepší pro experimentální skupinu. 2.6 Shrnutí Kapitola přinesla komentovaný přehled kritických míst matematiky 1. stupně tak, jak je vidí dotazovaní učitelé 1. stupně základní školy. Zatímco první dvě jsou specifické pro 1. stupeň, rýsování, míra v geometrii a slovní úlohy přesahují do 2. stupně a učitelé 2. stupně je jako kritické také uváděli (viz kap. 3). Z výpovědí učitelů je patrné, že mají upřímnou snahu žákům pomoci učivo zvládnout. Vymýšlejí různé techniky od jednoduchého opakovaného nácviku, 60

61 2.6 Shrnutí přes různé soutěže, různé formy odměňování, aby si učivo žáci osvojili. Úspěchy jsou však různé a sami učitelé jsou, podle svých slov, někdy bezradní. Příčiny neúspěchu žáků přičítají někdy složitosti látky, ale často také neochotě žáků přemýšlet, případně napočítat dost úloh. Učitelé často vyjadřují snahu o zjednodušení, a tím asi i zpřístupnění učiva žákům. Vzhledem k věku žáků jsme očekávali větší důraz na použití manipulativních aktivit. Např. u pojmů obsah, objem, obvod, povrch bychom na 1. stupni očekávali spíše jejich propedeutiku, zatímco učitelé v souvislosti s mírou běžně hovoří o vzorcích a neschopnosti žáků vzorce používat. Učitelé se vyjadřovali spíše k jednotlivým odděleným celkům matematiky (což je do jisté míry dáno i formou dotazování, kdy jako podklad sloužila učebnice). Identifikovali jsme poměrně málo výroků o problémech žáků v kognitivně náročnějších oblastech, jako jsou např. odhadování, stanovení strategie řešení, argumentace a usuzování. Omezení výzkumu byla zmíněna již v kap. 1, proto je zde nebudeme zvlášť popisovat. Jen dodáme, že data, která máme od učitelů 1. stupně k dispozici, nebyla zcela využita. Vzhledem k zaměření kapitoly jsme se nevěnovali těm celkům matematiky, které učitelé nezmínili jako kritické. Je možné, že bychom v jejich komentářích našli další didaktické techniky, které by stály za zmínku. Rozhodně by minimálně dokreslily celkový obrázek výuky matematiky, jak je vidí učitelé 1. stupně (zde nutně okleštěný jen kritickými místy). Podobně jsme nezpracovali obecnější výukové praktiky, které učitelé podle svých slov zřejmě používají bez ohledu na téma výuky a které jistě ovlivňují i výuku kritických témat. 61

62

63 Kapitola 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů Naďa Vondrová, Jana Žalská 3.1 Úvod Cílem kapitoly je identifikovat ve výpovědích učitelů matematiky 2. stupně základní školy, jaké oblasti matematiky považují pro žáky za problematické, v čem spatřují příčiny obtíží a jak s těmito oblastmi didakticky pracují. Nejčastěji zmiňovaná problematická témata byladesetinnáčísla, zlomky, celá čísla, algebraické výrazy, slovní úlohy, konstrukční úlohy a výpočty v geometrii. U každého z nich budou přesněji popsány druhy obtíží žáků a jejich příčiny očima učitelů a konečně didaktické postupy a techniky, které učitelé používají. Je třeba zdůraznit, že sledujeme spíše tendence, tedy nelze přesně kvantifikovat četnost jednotlivých jevů. Obecně platí, že jsme se kritickou oblastí začali zabývat v okamžiku, kdy ji jako problematickou zmínila alespoň třetina dotázaných učitelů 2. stupně. Co se týče didaktických praktik, kritériem pro jejich uvedení v této kapitole je buď větší počet učitelů, kteří danou praktiku používají, nebo naopak její originalita. Někdy zmíníme i absenci některých praktik, tj. takových praktik, které učitelé vůbec neuvádějí, zatímco výzkum je považuje za účinné. Analýza dat byla dělána technikami zakotvené teorie (Strauss, Corbinová, 1999). Jejich výsledkem byly jednak kategorie odpovídající jednotlivým matematickým celkům, jednak kategorie týkající se povahy toho, čeho chtějí učitelé svou činností dosáhnout (např. početní zběhlosti, kladného vztahu k matematice apod.). Pro potřeby prezentace výsledků našich analýz v této kapitole jsme pro popis těchto kategorií použili pět pilířů (v angl. strands 1 ) zdatnosti v matematice ( mathematical proficiency ) (Kilpatrick, Swafford, Findell (eds.), 2001, s. 5): 1 Conceptual understanding, procedural fluency, strategic competence, adaptive reasoning, productive disposition. 63

64 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů 1. Konceptuální porozumění: chápání matematických pojmů a objektů, matematických operací a vztahů. 2. Procedurální zběhlost: 2 dovednost provedení procedury přesně, vzhledem ke kontextu vhodně a účinně. 3. Strategická kompetence: schopnost formulovat, znázorňovat a řešit matematické úlohy. 4. Adaptivní úsudek: schopnost logického myšlení, reflexe, vysvětlování a odůvodňování. 5. Sklon k produktivní činnosti: běžně projevovaný sklon chápat matematiku jako smysluplnou, užitečnou a hodnotnou činnost spojenou s vírou v píli a s vnímanou schopností výkonu. Jak bude uvedeno níže, ne vždy se podařilo výroky učitelů z hlediska těchto pilířů popsat. Současně jsme si vědomi toho, že mezi nimi neexistuje (a ani nemůže existovat) jasná hranice. Nicméně jako vodítko pro základní strukturaci výpovědí je tento popis matematické zdatnosti žáka postačující. Dalším typem kategorií, které vzešly z kódování, byly takové, které se týkaly příčin zmiňovaných obtíží žáků. Pokud učitelé uvedli nějaké kritické místo, zpravidla se snažili popsat i příčiny jeho obtížnosti. Mezi příčiny, které se často opakovaly pro všechna kritická místa, patří nedostatečné pracovní nasazení žáků, nepřemýšlení, přehlédnutí, nepečlivost apod. Další skupinu tvoří nepochopení dřívější matematické látky. Objevily se však i příčiny, které bychom mohli popsat pojmem překážka (Brousseau, 1997). Překážkou je znalost, neboť existuje oblast, v níž je tato znalost užitečná, pravdivá a lze ji úspěšně použít. Tato oblast je obvykle velice dobře jedinci známa a znalost je ověřena mnoha zkušenostmi. V novém kontextu však tato znalost selhává a dává špatné výsledky; odolává sporům, se kterými je konfrontována, a tak zabraňuje vytvoření lepší znalosti. Znalost překážka se objevuje stejným způsobem, kdykoli se jedinec dostává do obdobné situace. Zde můžeme postihnout rozdíl mezi překážkou a obtíží. Obtíž není způsobena jinou znalostí, ale neznalostí nebo chybějící dovedností apod. Je-li jednou překonána, už se neopakuje. (Novotná a kol., 2006, s. 23) Za prvé se jednalo o překážky ontogenetického původu. Ty jsou spojeny s vlastní kognitivní kapacitou žáka, která odpovídá danému vývojovému ob- 2 Pod pojmem procedurální zběhlost nemáme na mysli úzce pojatý, formální mechanismus, naučený, ale nepochopený algoritmus. Vycházíme z pojetí procedurálních znalostí ve smyslu (Star, 2005): jde o znalost procedur, která je spojená s pochopením, flexibilitou a kritickým úsudkem a která je sice odlišná od znalosti pojmů, ovšem je s touto znalostí spojena. 64

65 3.1 Úvod dobí. Za druhé se objevují překážky didaktického původu, které jsou dány výběrem didaktických stylů a strategií. Třetí typ překážky má epistemologický původ. Podle G. Brousseaua (1997) se poslední typ překážky vztahuje k samotnému procesu nabývání znalostí a nemůžeme (a ani nechceme) se jich vyvarovat, neboť mají fundamentální formativní funkci pro danou znalost. Tento typ překážek můžeme nalézt v historii samotného matematického pojmu (srov. s kap. 8). Kvalitativní analýzou dat postupně vznikal obraz o tom, co vybraní učitelé považují za obtížné pro své žáky. Ten jsme následně konfrontovali s obtížemi našich žáků tak, jak se projevily v mezinárodním výzkumu TIMSS V tomto ohledu vycházíme ze studie (Rendl, Vondrová, v tisku), která analyzuje obtížná místa prostřednictvím konkrétních úloh a výkonů našich žáků v nich. Ukazuje se, že v některých oblastech rozhovory s učiteli potvrzují obtíže našich žáků z TIMSS 2007, ovšem o jiných se učitelé vůbec nezmiňují. Při zpracování výsledků analýz jsme si uvědomovali silnou souvislost s výsledky výzkumu. O každé identifikované kritické oblasti bylo publikováno mnoho studií a knih, které blíže charakterizují povahu její obtížnosti. Uvedení těchto studií by však neúměrně rozšířilo text a zastřelo hlavní cíl, jímž je podat zprávu o názorech a zkušenostech našich učitelů. Proto jsme se omezili jen na výzkumy účinnosti didaktických praktik, které učitelé uvedli k překonání obtíží žáků. Zpravidla (ale ne vždy) se jedná o klasické studie kontrolní versus experimentální skupina. Vycházeli jsme z rešerše výzkumů z oblasti didaktiky matematiky prostřednictvím odborných databází (Scopus, Web of Science, SpringerLink, ProQuest, Science Direct, EbscoHost, Taylor and Francis). Důležitým zdrojem pro nás byla také rozsáhlá metaanalýza (The Final Report of the National Mathematics Advisory Panel, 2008), kterou zadal U.S. Department of Education předním americkým badatelům z didaktiky matematiky a která se soustředila mimo jiné na procesy učení se ( learning processes, Geary et al., 2008) a výuky ( instructional practices, Gersten et al., 2008). V metaanalýze byly zpracovány pouze výsledky vysoce kvalitních výzkumů, její závěrečná zpráva je tedy spolehlivým zdrojem dat. Při psaní textu jsme se snažili o víceméně objektivní popis situace, nicméně jistě jsme se nevyhnuli jistým hodnocením vyplývajícím z našich zkušeností a pedagogických přesvědčení. Kromě toho jsme vzhledem k vágnosti mnoha výpovědí museli do jisté míry interpretovat, jak to asi učitel myslel. Při tom jsme vycházeli z kontextu celého rozhovoru, v němž jsme se snažili najít argumenty pro potvrzení našich interpretací. 65

66 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů V kapitole vycházíme z rozhovorů s 34 učiteli (9 mužů, 25 žen), z nichž 2 učí na vyšším gymnáziu, 4 na nižším a zbytek na druhém stupni základní školy (viz příloha 1, učitelé U30 až U63). Délka jejich praxe je od 9 do 40 let, medián 23 let; 13 učitelů je z Prahy, 21 učitelů učí v menších městech. Níže uvedené kvantifikace se budou vždy vztahovat k tomuto počtu učitelů. 3.2 Aritmetika Mezi nejčastěji zmiňovanými problémy byly aritmetické dovednosti. Učitelé zdůrazňovali jejich důležitost, protože jejich nezvládnutí bývá základem potíží v matematické látce ve vyšších ročnících. Ve všech oblastech aritmetiky učitelé kladli důraz na procvičovací aktivity. Např. zmiňovali, že do všech ročníků zařazují různé hry typu domino a pravidelné početní rozcvičky na problematická místa Desetinná čísla Patnáct učitelů považuje za kritickou oblast desetinných čísel. Všichni pracují se školními vzdělávacími programy, v nichž jsou desetinná čísla a operace s nimi probírány jako samostatná témata v 6. ročníku (v 1. ročníku u osmiletých gymnázií). a) Problémy a jejich příčiny Za problematická místa učitelé téměř ve všech případech označili operace s desetinnými čísly. U operací sčítání a násobení jde zejména o chybný zápis jednotlivých řádů pod sebe nebo umístění desetinné čárky ve výsledku. Je zajímavé, že učitelé nejčastěji popisovali chybu jako mechanickou (procedurální), např. umístění desetinné čárky. Např ,4 + 0,75. Oni si to napíší pod sebe: 0,4 0, Když tam čárku mají, tak to seřadí pod sebe správně, ale jak se jim tam čárka nedá, tak to seřadí odzadu. Tak tam problém je, ale když tam čárky jsou, tak to píší pod sebe správně, to ano. [Tazatel: Chápou rozdíl mezi 0,3 a 0,03?] To bych řekla, že i celkem ano. To není problém. (U36) Jiní učitelé připisují tuto chybu nedostatku konceptuálního porozumění, tedy např. určení řádu výsledku. 66

67 3.2 Aritmetika [Žáci] neberou desetinnou čárku jako nějakou hranici, která by ta čísla od sebe nějak oddělovala. Vezmou číslo 1,7, vezmou 10 a srovnají ta čísla normálně pod sebe. (U43) Tam dělají problém čárky. Neví, co s těma čárkama mají dělat, jak se to odrazí v tom výsledku, co to s ním udělá. Když není představa, tak není ani kontrola toho výsledku. (U40) Výše uvedenou obtíž bychom mohli nahlížet jako překážku epistemologického původu. Řazení odzadu je správné v oboru přirozených čísel, ovšem u desetinných čísel selhává. Ve výuce se přitom nelze vyhnout tomu, aby se nejprve pracovalo s přirozenými čísly, pak teprve s desetinnými. Operace dělení byla komentována zvlášť, učitelé zmiňovali jak problémy u dělení dvou přirozených čísel s desetinným podílem, tak dělení dvou desetinných čísel. Za základní důvod shodně poukazovali na nedostatečně zvládnutou schopnost provést algoritmus písemného dělení dvouciferným číslem, tedy učivo 1. stupně. Několik učitelů ovšem také označilo za časté chyby, které souvisejí s neporozuměním desetinné části desetinného čísla, jako například s tendencí psát celočíselný zbytek za desetinnou čárku ve výsledku (viz poznámka o matematické nekorektnosti zápisu čísla se zbytkem v závorce v oddíle 2.3.2). Konceptuální porozumění desetinným číslům bylo explicitně zmíněno pěti učiteli, v kontextech provádění operací (viz výše U40, U43, sčítání jednomístných desetinných čísel zpaměti nebo násobení číslem menším než 1), znázorňování na číselné ose a ve vztahu se zlomky (viz oddíl 3.2.2). Jedna učitelka poukázala i na problém s pochopením principu zoomování, pokud si žáci zafixují číselnou osu jako úsečku, kde jsou jednotlivé body od sebe vzdáleny 1 cm (což můžeme nahlížet jako překážku didaktického původu). Tady je opravdu důležité si to představit na číselné ose, ta desetinná čísla. A to jim také dělá problémy, jak je dlouhá ta jednotka, a když mám třeba jedna celá pět desetin, tak stačí, že si tady zobrazím od nuly do trojky na číselné ose, že mám jeden centimetr jako jednotku, ale když chci třeba jedna celá dvacet pět, že si tu jednotku můžu udělat větší, abych to lépe zobrazila, to jim dělá problémy, to jsme více procvičovali. (U49) Někteří učitelé také zmínili problém přečtení a zápisu desetinného čísla včetně příslušných řádů. Jen jedna učitelka viděla jako problematické zaokrouhlování na určitý počet desetinných míst. Zdá se, že zaokrouhlování už na 2. stupni učitelé jako problematické nevidí, na rozdíl od učitelů 1. stupně (viz oddíl 2.2). 67

68 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů Desetinná čísla na 2. stupni základní školy lze obecně považovat za oblast, kde může být konceptuální porozumění zanedbáno na úkor procedurální dovednosti, aniž akademický výkon dobře připraveného žáka utrpí. Výroky učitelů také dokazují, že pokud je provedení operace (např. násobení) cílem (a výstupem), žáci použijí naučený algoritmus raději (ačkoli ne vždy úspěšněji) než úvahu založenou na konceptuálním porozumění: Některý se to učí mechanicky, některý si to představí. Tady jde o to, že když oni to umí jenom mechanicky, tak nejsou schopni spočítat z hlavy vůbec nic, že si to musí všechno psát pod sebe a hlídat si tam řády. Je to tak půl na půl. Dám třeba dítěti 1,2 plus 0,3 a řekne mi 1,5. A dám to jinýmu, napíše to špatně a udělá mi z toho třeba 4,2 a podobně, že to tam třeba posouvá v řádech úplně někam jinam. To už je potom individuální, jak to kdo zvládá a nezvládá. (U41) Předchozí výrok U41 také částečně reprezentuje příčiny, jež učitelé obecně přikládají neúspěšnému výkonu žáků: nedbalost, nepozornost, nepečlivost, ale také vliv rodičů a jejich zásah do učebního procesu dítěte (když rodiče učí doma dítě jinému algoritmu), nezvládání předchozí látky (zvláště násobilky a dělení dvouciferným číslem), nedostatek porozumění konceptu celek-část a nejasná představa o velikosti desetinného čísla. S chápáním řádu a představou desetinných čísel souvisí převody jednotek, které mají zase úzkou souvislost s výpočty v geometrii (viz oddíl 3.6), kde je také 15 učitelů jako problematické zmínilo. Základní příčinou je chybějící konceptuální porozumění, tj. představa jednotek, jejímž důvodem mohou být i neexistující životní zkušenosti. Jednotky, ty děti nemaj absolutně představu, klidně vám řeknou centimetr a kilometr, nedokážou si to vůbec představit. V jednotkách maj hroznej maglajz. To samý jakýkoliv jednotky, váha, délky. Takže v jednotkách, to je problém a to se táhne i celej druhej stupeň. (U32) Na poli nebyli nikdy, aby jim člověk ukázal, že je to nějakej... (U25) Já jsem se třeba v jednotkách hmotnosti dřív odkazovala, to už dneska nemůžu, protože už nejsou ty váhy klasický. Ta váha, kde ta stupnice byla, když se zboží dalo na tu podložku, tak tam krásně bylo to kilo rozdělený na deka, na gramy. To už dneska děti neznají. (U40) Někde učitelé uvedli, že převody jednotek délky problém nedělají, potíže se objevují teprve s příchodem jednotek obsahu a objemu a se zvyšujícím se počtem vazeb mezi jednotkami. Problém je také krátkodobost zvládnutí převodů. 68

69 3.2 Aritmetika Nastává problém v převodech jednotek, kde jednotky délky, jednotky plochy a ve chvíli, kdy ještě přibereme u těles jednotky objemu, tak tam teda je to už dost katastrofální. [...] Je pro ně strašný problém, aby si zapamatovali, že metr má 100 cm, a teď jak je to u jednotek čtverečních. Někdo se to učí naprosto mechanicky, ale tam to potom není uložený moc dlouhodobě, protože ve chvíli, kdy se to přestane používat, tak za půl roku, když zrovna zase potřebujeme nějaký převod, tak to tam není. (U33) [Co převody jednotek?] To je nekonečný příběh, nekonečný příběh. [...] ALE je neuvěřitelné, jak ten výsledek je neúměrný tomu, jak dlouho oni to slyší už od národní školy. [...] Kolikrát jsem to s nimi dělal. Vždycky když se k tomu vrátíme, tak jsme u některých jakoby na začátku. (U35) Někteří učitelé si všimli zvyšující se náročnosti problematiky, pokud se do hry dostanou převody jednotek s desetinnými čísly. Představu mají, jak vypadají závažíčka, to jsem jim i ukazovala, to v té fyzice také je. Ale tady u obsahu zapomínají, že to je po dvou, jak tam jsou desetinné čárky. Dokud tam desetinné čárky nebyly, tak to šlo. Jak se tam přidají desetinný čárky a mají jít s těmi nulami dopředu, tak už zapomínají, že mají být po dvou. (U36) Zajímavý je také chybějící transfer znalostí 3 mezi matematikou a fyzikou. Několik učitelů uvádí, že žáci problematiku v rámci matematiky pochopí, ovšem ve fyzice je to pro ně najednou naprosto nesouvisející věc. Ale my tohle uděláme v matematice a oni maj za dvě hodiny fyziku a oni si to už nespojej, že je to to samý. Takže tam to myšlení najednou fyzika a už je to úplně něco jinýho. (U32) Třeba v matice to jakž takž zvládnou, přejdou do fyziky a velkej problém s převody jednotek, což nechápu. Protože tady ty dva předměty, v jednom to zvládají a u jinýho učitele, v jiným předmětu, to nezvládají. Což fakt nechápu. (U31) Domníváme se, že převody jednotek jsou obtížné nejen tím, že žáci musí chápat řády a desetinná čísla, ale také tím, že si u každé jednotky musí uvědomit, do jaké třídy patří, tedy zda je mezi po sobě následujícími jednotkami vztah desetinásobku (např. u jednotek délky), stonásobku (jednotky obsahu), tisícinásobku (jednotky objemu), či ještě jiný (šedesátinásobky u jednotek času). Dále si musí uvědomit, zda se zjišťuje násobná jednotka (pak se bude násobit) či dílčí jednotka (pak se bude dělit). Pokud žák souvislosti mezi jednotkami nechápe a snaží se převody jednotek uchopit jen pamětí, pak, když se objeví další nové jednotky, dojde nutně k jejímu zahlcení. 3 Viz podrobněji oddíl 4.4.6e. 69

70 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů b) Didaktické postupy a techniky Procedurální zběhlost U dělení desetinných čísel většina učitelů preferuje algoritmus, kdy v prvním kroku dojde k vynásobení dělence i dělitele příslušnou mocninou deseti tak, aby obě čísla v operaci byla celá (přirozená). [Děti si] to musí uvědomit, že když mám dělenec děleno dělitelem, tak mohu dělence i dělitele vynásobit čímkoliv a podíl se nezmění. Což vlastně souvisí v sedmičce s rozšiřováním zlomků. Když uděláte 9 děleno třemi, tak je to stejné jako devět krát 635 děleno tři krát 635. [...]Já vždycky říkám: Matematici jsou lidé, kteří vždy všechno převedou na to, co už umí. Takže když mám dělit 0,3, převedu na dělení trojkou, čili posunu čárku, násobím 10, tak tu devítku musím také. (U42) Jak vyplývá z výše uvedeného, učitelé se vyjadřovali k technikám písemného dělení obecně, tedy zvláště k dělení přirozeného čísla dvouciferným číslem. V podstatě se všichni dotyční shodli na tom, že pomocné výpočty při odhadu násobku většinou vedou k chybě v celkovém výpočtu, a jasně dávali najevo, že je nutno u žáků podporovat a rozvíjet schopnost odhadu, abypomocný výpočet nebyl nutný. To znamená, že se zase vracíme k malé násobilce. Tam jsou nejdůležitější odhady čísel a zase když udělá chybu, a ten odhad je buď větší, nebo menší, tak ho vůbec netrestám, protože to dítě musí přijít na to, že když mu hodně třeba zbývá, že ještě musí ten odhad zvětšit, když mu chybí, tak snížit, a podobně. (U54) Řada didaktických doporučení se objevuje u převodu jednotek, kde ale současně učitelé dodávají, že dobré výsledky stejně nezajistí. Někteří zdůrazňují, že základem je konceptuální porozumění. 70 Jsou různý pomůcky, my jim kreslíme takový žabičky, jak se to převádí, jestli je to desetkrát a stokrát atd., ale prostě asi hodně informací o tý jedný věci. [...] Musím zrovna v tu chvíli, když se to ve škole bere a procvičuje, dávat pozor nebo musím se to doma doučit, ale my máme i na počítači počítačový programy [...] A já vidím, že když po hodině odcházíme, tak oni Ježiš, já sem měl takový krásný výsledky. Pak vidíte, že jim dáte nějakou samostatnou práci, maj to tam vyplnit a stejně to maj špatně. (U52) Dělá jim problémy, kdy mají číslo zvětšovat, zmenšovat. Máme na to sice poučku, říkáme si, čím je jednotka větší, tím číslo bude menší. Měly by tuhle poučku mít zafixovanou a alespoň určit, jestli budu číslo zmenšovat nebo zvětšovat. Je to opravdu o tom posunování té desetinné čárky. [...] Já se snažím učit převody jednotek délky a na základě nich potom si říkáme, když jsou jednotky čtverečný, je tam dvojka, tzn. počet nul se zdvojnásobí, aby měli nějaký logický postup,

71 3.2 Aritmetika kde i když zapomenou, tak jednotky délky většinou člověk umí celý život, tak ty ostatní si z toho dokáže odvodit. Stejně je to velký problém. (U33) Ono by bylo pěkné jim říci, že 1 hl = 0,1 m 3, aby si to pamatovali, jenomže oni to zase zapomenou. Je tedy potřeba, aby si uměli vzít základní převodový vztah, aby si to uvědomili a logicky se k tomu dostali. (U36) Několik učitelů vede žáky k používání vytvořených tabulek pro základní převodní vztahy mezi jednotkami a někdy je povolují i u písemných prací. Když třeba jim to vykládám, tak [...]jevícemožností, žesenaučí1m=100cm, 1 dm = 10 cm, tak použijí toto nebo použijí tabulky, které jsme si dělali, nebo použijí, což mě osobně by se líbilo nejvíce, ale moc dětí to nepoužívá, [...] že 1 ha = m 2, že to je čtverec 100 krát 100 metrů, tedy m 2, tak že se posunou o 4 místa. [...] Většinou to používají na řadě, kterou jsme si dělali do tabulky. (U38) Nejlepší převody jednotek jsou třeba na metry čtvereční nebo takový, když si vzpomenou na tabulku, co jsem jim udělala. A to převáděj rychle, jak si můžou tu tabulku napsat, nebo ti, co si ji už dokážou v hlavě představit. Převáděj úplně výborně, no ale bez tý tabulky nemaj ještě taky takovou orientaci nebo představivost, aby si to představili. (U25) Pro děti, které mají horší problémy a jen se naučí, tak kreslím takové schody metr, centimetr, decimetr, milimetr, a ze schodů na schod krát 10. Takže jdu z metru na decimetr krát 10, z metru na cm schod schod krát 100. Když je to délka. (U42) Konceptuální porozumění Čtyři učitelé uvedli postupy a strategie, kterými rozvíjejí konceptuální porozumění desetinnému číslu. Jako abstraktní (generický) model 4 byla zmíněna zejména tradičně uváděná číselná osa. Jako konkrétní reálný (izolovaný) model slouží model metru, tj. měřidla délky (potenciální problémy s tímto modelem viz výše citát U39), a model peněz (haléřů). Já jim říkám, to je tím, že náš zápis těch čísel je tak geniální, že máme desítkovou soustavu [...] Takže když vy napíšete 1,5 desetin, tak já vím, že to je 5 desetin, a teď musím pochopit, že 1 desetina je 10 setin. To není úplně jednoduché. Je 10 setin, takže 5 desetin je 50 setin. A teď vezmu metr. Mám metr a půl, takže 4 Pojem generický model, resp. izolovaný model používáme ve významu teorie poznávacího procesu M. Hejného (Hejný, Kuřina, 2009) pro interpretaci toho, co učitelé řekli. Neznamená to, že se učitelé v těchto termínech přímo vyjadřovali. Stručně řečeno, izolovaný resp. separovaný model je konkrétní případ budoucího poznání. Generický resp. univerzální model je prototypem všech nebo jisté skupiny izolovaných modelů a může je zastupovat. 71

72 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů mám metr a 5 desetin, protože mám 5 decimetrů. [...] A jdu dál a teď musím ukazovat, že přidáváním nul jenom dělím ty dílky deseti. No ale to je hodina práce. (U42) K tomu, jak pomoci porozumění operacím s desetinnými čísly, se vyjádřila pouze jedna učitelka. U násobení používá konkrétní příklady několikanásobného sčítání, z nichž vyvodí pravidlo pro posun desetinné čárky. U dělení desetinných čísel pro zajímavost uvádíme pouze část, ve které učitelka popisuje vlastní metaforu. Takže když mám dělit [devět číslem] nula celá tři [desetiny], převedu na dělení trojkou, čili posunu čárku, násobím deseti, tak tu devítku musím také. No a pak jeotázka toho zbytku. A nato jájsem vymyslelatakovou představu pro děti,[...] Říkám jim, že když dělí třeba 9 děleno 0,3, tak vynásobím já říkám: Mám míč a v tom míči mám malé míčky. Tak a těch míčků je tam nějaký počet. A já sem [dám prst], začnu foukat a nafukuji stejněkrát ten celý míč jako ty míčky. Počet míčků se nezmění, ale díry mezi nimi jo. To je ten zbytek. Čili já si převedu to dělení na pomocné, že to vynásobím takhle toho dělence, dělitele, vypočítám, kolik to je, a zapíšu počet míčků, napíšu si ten zbytek, a pak to do toho původního musím smrsknout. (U42) Pro procvičení správného zápisu řádu jedna učitelka uvedla využití pomůcky kartiček s číslicemi. Nejdříve zapisujeme do tabulek. Děláme to tak, že děti mají [vystřižená] čísla [číslice], a zapisujeme, sestavujeme čísla. Na lavici k tomu mají desetinnou čárku, různě si ji posunují a potom na střídačku vyslovují číslo, sestaví ho nebo naopak mají sestavené číslo a snaží se vytvořit jeho název. [...] Tam jsme vlastně využili a stále se k tomu vracíme to bylo tzv. činnostní učení. 5 Kde děti si to ošahají tím, že mají kartičky s těma číslicema. (U36) Aplikace v reálném světě Dva učitelé uvedli práci s modely peněz a jejich setin (haléřů, centů atd.). Tuto praktickou aplikaci rozvinula jedna učitelka v popisu žákovského projektu. Až dobereme desetinná čísla, tak nás čeká takový projekt. My jsme ho nazvali [...] Koruna versus jiná platidla. [...] Upeču nějakej medovník nebo makovec, ten přinesu do školy, dáme si ho ke svačině, no a pak budeme řešit, jednak kolik čeho jsem do toho dala, takže převody jednotek, no a potom budu chtít: pojedu na dovolenou, pojedu do Maďarska, pojedu do Polska, pojedu do Německa a budu tam chtít těm známým to konkrétní jídlo uvařit, nebo upéct. A za jaký peníze, 5 Zřejmě se jedná o tzv. tvořivou školu (viz 72

73 3.2 Aritmetika za kolik to tam pořídím, za kolik jsem to pořídila tady, takže vlastně počítání burzovního lístku a [...] takovýhle věci. Takže to si myslím, že děti chytne a že by se jim to mohlo i v životě hodit. Protože do ciziny jezdí, ne všichni platěj kartou, takže musej nějakej převod si tam udělat, umět, a je to prostě pro praxi důležitý. (U53) Využití reálných zkušeností patří jednoznačně k nejvíce doporučovaným přístupům u převodu jednotek. Dlužno dodat, že téměř všichni učitelé uvedli, že ani tak se žáci převody jednotek nenaučí. Převody z většího na menší číslo, zvětšuju nebo zmenšuju. Například metr. Musí ukázat. [Ukazuje délky rozpětím rukou.] Kilometr. To je k lípě. Vidíme na ni z okna. Prostě aby měli představu, protože, když se to jenom řekne, tak to je málo. Milimetr. [Ukazuje mezi prsty.] Nevidím. Říkám, hlavně všechno ukazovat názorně. To se mně osvědčilo: říct a uvést příklad. (U38) Třeba dělám projekty, že měli obsah, tak vystřihovali nejrůznější inzeráty, přinášeli, plocha bytu, koupím, aby měli představu. A já kladu otázky, já nevím třeba: kupuju byt a má šedesát metrů čtverečních. Je to hodně nebo málo? To je tedy hodně. [Přehrává odpověď ze třídy]. No to je šest krát deset. A teď to nakrokuju. Paní učitelko, to není moc. [...] Co je problém, aby děti vůbec pochopily, co je to hektar. [...] To já jsem [...] měla změřeno, to jsem dělala s dětma, to bylo přibližně před školou takhle sto metrů a to jsme měřili, takže to mělo asi osum tisíc k tramvaji a to byl přibližně hektar. [...] tady to náměstíčko není celej hektar, to mělo sedum něco, no ale to jsme dělali tak, to byl ten projektovej den, že oni opravdu měřili, z okna si řekli asi takhle obdélníky a spočetli. Pak jsme vzali mapu, kde mohli mít míry, a měřili a pak jsme vlezli do katastru nemovitostí a našli jsme si přímo a tam nám to přesně vylezlo, kolik to má. [...] Já jsem říkala děti, není kubík jako kubík. Když půjdete koupit dřevo, řeknete dejte mi kubík, dá vám co? Metr krychlovej. A když jdete k doktorovi a řekne píchni mu kubík, tak vám nepíchne metr krychlovej, ale centimetr krychlovej. (U42) Jen jedna z učitelek uvádí, že využívá význam, který mají žákům známé předpony na velikost jednotky. [...] protože ty předpony nám přímo říkají kolik. A hekto a někdo mi řek: a paní učitelko, hekto, ještě se užívá litr někde jinde. Já říkám ano, slyšíte v rozhlase ano, [...] hektopascal, to je sto pascalů, a to je tlak. (U42) Zlomky Tato oblast aritmetiky byla jednoznačně nejvíce zmiňována jako problematická (celkem 23 učitelů). Stejně jako u desetinných čísel učitelé potvrzují nejen to, že zlomky působí žákům problémy při samotném probírání látky, 73

74 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů ale také že se stávají překážkou v dalších tématech, konkrétně v rovnicích, při úpravě algebraických nebo aritmetických výrazů a také při použití zlomkových částí jednotek v geometrii, např. 1/3 metru. Empirický výzkum v didaktice matematiky potvrzuje jak obtížnost oblasti, tak trvalost i následky obtíží. 6 Z psychologického hlediska jde totiž o větší kognitivní zátěž, přičemž výzkum zdůrazňuje, že největší překážkou je formální zápis zlomku a desetinného čísla (Geary et al., 2008). Žáci totiž dokáží provádět operace na částech celku (bez formálního zápisu) již v předškolním a raném školním věku (Mix, Levine, Huttenlocher, 1999; cit. v Geary et al., 2008). a) Problémy a jejich příčiny U zlomků působí problém zejména osvojení si základních početních operací, tedy násobení (a později mocniny), dělení, sčítání a odčítání, ale také jiné operace využívající podstaty ekvivalence dvou zlomků, jako je krácení zlomků nebo převod mezi zlomkem a smíšeným číslem. Učitelé se shodují v tom, že žáci si osvojí operace každou zvlášť, ale jejich kombinace (například násobení a sčítání v jedné úloze nebo v jednom souboru úloh) jim dělá problémy. 7 V této souvislosti také mluví o problémech s pořadím operací, tj. použití distributivního zákona. Také často zmiňují krátkodobost tohoto osvojení, která se projevuje u pozdějších témat a úloh. Následující citát vhodně reprezentuje výpovědi ostatních. Sčítání zlomků dalo trochu zabrat, ale naučili se to. Odčítání se také naučili. Když to ale později přijde všechno dohromady, tak už neumí nic. Problém jsou smíšená čísla, jak jim tam vyjdou větší čísla, tak je problém. Když potom přidáte násobení a spojíte to se sčítáním a odčítáním, tak... I když teď ta sedmička to má takové živé a zatím si to pamatují a chyb tolik nedělají. Ale když jsme to dělali v 8. ročníku, tak oni nejsou schopní najít společného jmenovatele, sečtou jmenovatele a jdou od příkladu. 8 Nebo také násobí při roznásobení závorky, že násobí přes plus, krátí přes plus. Zkrátka v 8. ročníku už to zapomněli. (U36) 6 V českém prostředí se problematice zlomků věnuje dlouhodobě M. Tichá. V materiálu (Tichá, Macháčková, 2006) čtenář najde nejčastější chyby žáků spolu s jejich příčinami a návrhem reedukace. 7 Žádný z učitelů nezmínil jako možnou příčinu žákovských obtíží např. u sčítání zlomků vliv předchozích znalostí znalost práce s přirozenými čísly může fungovat jako překážka epistemologického původu (žáci mohou mít tendenci sčítat zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele). 8 Učitelé používají termín příklad i tam, kde my bychom použily slovo úloha. Termín příklad si vyhrazujeme pro řešenou vzorovou úlohu, zatímco úlohu řeší žák. Výroky učitelů jsme však v tomto smyslu terminologicky neměnili. 74

75 3.2 Aritmetika Učitelé hojně komentovali i problémy s představou toho, co zlomek znamená. Zde byla několikrát zmíněna funkce zlomku jako operátoru dělení a jako čísla. S tím dále souvisí i představa o vztahu mezi zlomky a desetinným číslem. Když máme 8/100, tak mi potom píšou 8,100. Ale myslím, že to dělali sedmáci, když bylo 7/2, tak psali 7,2. Tady v 6. ročníku jsou jen desetinný, tak to ještě vydělí, ale v té sedmičce už to napíší takto. (U36) A oni neumějí, oni osm děleno třemi ti řeknou, že je dva a zbytek dva, takže dvě celé dva. [...] já jsem řekla, dobře, vezměte to tak, že je to osm děleno třemi a že to můžete napsat zlomkem. Problém ale je, že jim to nic neříká. (U56) Oni si tam samozřejmě ty zlomky malují, ale už si neodnesou, že jednu část lze vyjádřit různými zlomky. (U57) Zlomky jsou (spolu se slovními úlohami, viz oddíl 3.4) učiteli identifikovány jako oblast, které se žáci snaží vyhýbat. 9 Tato tendence se obecně neprojevuje v době, kdy jsou zlomky a operace s nimi probírány, ale později, kdy jsou součástí složitější nebo abstraktnější matematické struktury nebo úkonu (např. v rovnicích nebo u lomených výrazů). Já nevím, nelíběj se jim. Jakmile někde vidí zlomek, když mají počítat se zlomkem, tak je to pro ně šílená práce, protože vědí, že přijdou komplikace. Ono se vám líp počítá s celým číslem, než když tam máte zlomek, a navíc když vám vypadne, jak mám sčítat zlomky. Tady platí jiný pravidla než při násobení, pak ještě musíte dát pozor na přednost početních operací. To je jedno k druhýmu a kdo si není jistej v kramflecích, tak ví, že tam udělá chybu. (U52) Oni nenáviděj zlomky, nesnášej zlomky, oni se jim vyhejbaj. Takže na to jsem narazila i já teďka v devítce, když jsme brali pravděpodobnost a brali jsme i kombinatoriku. Tak tam zapisovat některý ty věci do zlomku je pro ně výhodnější, protože se jim to pokrátí, ale oni by to radši prali přes desetinný čísla, aby měli komplikovanější ten výpočet jenom kvůli tomu, aby to měli bez zlomku. (U32) Protože oni potom dělají... třeba v těch rovnicích jim vyjde nějaké 1/3 a oni nedojdou k 1/3, ale dojdou k nějakému číslu s 0,333 3, zaokrouhlí to a dávají do zkoušky a ona mi nevyšla zkouška. Opravdu mají tendenci dojít k tomu desetinnýmu číslu. (U48) 9 Je zajímavé, že se nám nepodařilo najít specifický výzkum týkající se postojů ke zlomkům. Většina výzkumů potvrzuje obtížnost práce se zlomky a racionálními čísly vůbec, a to ve všech věkových kategoriích. Zřejmě ale souvisí tento fenomén s self-efficacy žáka (vnímaná vlastní účinnost), viz např. (Schunk, 1996; cit. v Geary et al., 2008). Žák promítá na základě své zkušenosti kognitivní náročnost práce se zlomky do předjímaného neúspěchu. 75

76 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů Příčiny neúspěchu žáků učitelé identifikují zejména jako neznalost předchozí látky (dělitelnost, násobilka), ale také konceptuální osvojení (viz výše). Z rozhovorů ovšem vyplývá, že žákovské konceptuální osvojení u zlomků je vnímáno různě: někteří učitelé je vnímají naopak jako neproblematické a za příčinu označují spíše nesoustředěnost, nepřemýšlení a zapomínání nebo nedostatek procvičení, neupevnění (U54), po zavedení látky. Na tomto místě přičiníme poznámku o 1. stupni. Jak je vidět z kap. 2, učitelky z 1. stupně zlomky za kritickou oblast nepovažují. Je to dáno tím, že, pokud se tam zlomky vůbec probírají (zlomky totiž na nějakou dobu vypadly zrvpprozv 10 ), pak se jedná jen o jejich základní pochopení na modelech, případně výpočet 1/4 z nějakého čísla (viz následující oddíl) a sčítání a odčítání zlomků se stejným jmenovatelem. Nějaký problém v oblasti zlomků vidí jen 3 učitelky z 26, zatímco 8 jich explicitně uvedlo, že zlomkům žáci rozumějí. b) Didaktické postupy a techniky Konceptuální porozumění Kritická oblast zlomky je příznačná tím, že učitelé často (v jedenácti případech) zmiňují různé modely, které používají pro reprezentaci konceptu zlomků jako částí celku. Shodují se v tom, že názornost je zde důležitá, a uvádějí konkrétní modely. Jejich výpovědi se liší ve dvou aspektech: a) Kolik různých modelů zmiňují: někteří učitelé používají zejména žáky oblíbený koláčový model, resp. model pizzy, někteří zmiňují celou škálu modelů: od reálných modelů, jako je chleba, koláč nebo čokoláda, přes geometrické, tj. úsečku, čtverec, obdélník, tzv. zlomkovou zeď i krychli; je zajímavé, že diskrétní model počet žáků ve třídě uvádí jen jedna učitelka. (Je třeba zdůraznit, že právě řečené nutně neznamená, že právě/pouze zmíněné modely učitelé používají.) b) Co pomocí těchto modelů modelují: několik učitelů zmínilo důležitost modelů (používají model koláče nebo zlomkovou zeď) pro uchopení ekvivalence a principu krácení zlomků. Modelování základních operací se zlomky, sčítání a vazbu na společného jmenovatele zmiňuje pouze U48, a to na modelu koláče. Stejně tak princip násobení zlomku popisuje pouze U41, tentokrát na modelu čokolády. (V obou případech se 10 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. 76

77 3.2 Aritmetika nejedná o nic, co by přesahovalo techniky předložené tradičně učebnicemi, proto je zde neuvádíme.) Na špatné pochopení, jež může vzniknout modelováním zlomků, zejména kmenových, upozorňuje tento citát: U zlomků jsem se strašně dohadovala třeba s prvním stupněm, že řekli, že zlomek je část celku, ano, čtvrtina je část celku, ale zlomek je třeba 7/3, a to není část celku. Takže já se potom i s učitelkami dohaduju prosím vás radši jim to nezavádějte, radši jim to neříkejte, nebo přijďte a řekneme si spolu tu definici, aby to už teda věděli. [...] a oni [žáci] dojdou sami k tomu, že [...] vlastně zlomek není část celku, ale je to dvojice čísel. A teď to jedno číslo mi udává, na kolik částí rozdělím ten celek, a druhé číslo, kolik těch částí mám. No a oni potom dojdou i sami k tomu, že když mám těch 7/3, tak že když 3/3 mi dá celek, tak že vlastně mám celek a ještě něco, část třetího. (U46) Na důležitost pojmu základ upozorňuje U42 a zároveň uvádí svůj didaktický postup založený na slovních úlohách: [...] základní věci u procent a základní věci u zlomků je odhadnout, co je základ. Dám vám příklad. Povídá učitelka učitelce, třeba: přišlo tam [...], přišlo tam patnáct dětí, no vždyť to je čtvrtina. Kolik dětí mělo přijít? Tak řeknu šestnáct dětí, to je čtvrtina. Kolik dětí mělo přijít? A někdo řekne: šestnáct děleno čtyřma to je divný, někdo šestnáct krát čtyři. To je základ. A já řeknu: děti, přišlo šestnáct dětí, ale jenom čtvrtina mohla něco. Kolik je to dětí? [Učitelka uvádí podobné úlohy na procenta a slevy.] Nebo: Zmenši číslo deset o polovinu. Dostanete pět. Zvětši číslo pět o polovinu. Dostanete sedm a půl. [...] Otázka základu a části je naprosto základní. (U42) Učitelka U41 se zamýšlí nad tím, zda problém chápání zlomku jako racionálního čísla (spojeného s obrazem na číselné ose) může být zapříčiněn právě používáním typické reprezentace jednoho nebo druhého (pak by se jednalo o překážku didaktického původu). Je pravda, že jednu desetinu coby desetinné číslo většinou zobrazím na číselné ose, ale jednu desetinu coby zlomek už udělám jako nějaký rovinný útvar a vyznačím tam deset dílů a jeden vybarvím. Přitom je to totéž a člověk reprezentuje ty desetinný čísla v rovinných útvarech, jenom když se dělají ty jednotky, ty převody jednotek ty desetiny, tisíciny, jinak asi ne. Ale je to totéž. (U41) Procedurální zběhlost Obecně lze usuzovat, že dotazovaní učitelé nevnímají využití názorných modelů u operací se zlomky jako důležité nebo účinné. Dobře to ilustrují citáty 77

78 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů učitelek z 1. stupně, které mluví o výpočtu určité části z čísla a o čistě mechanickém nácviku algoritmu. [...] zase se musí naučit systém, když máš jednu třetinu z dvanácti. Já jsem je vždycky učila celek a jedu jako do kruhu. Takže 12 děleno třemi jsou 4, takže takhle do kruhu, abych žádné číslo nevynechala. Když máš třeba 5/6 ze 72, jedem do kruhu. 72 děleno šesti, výsledek krát 5, dole dělím nahoru násobím. [Tazatel: To moc nechápu, ten kruh.] Tady máš 2/5 z deseti. Kruh dělám na zadání toho příkladu. Protože oni neví, kde začít, z čeho. Musí začít z celku. A jede dolů, protože neví, jak to mají počítat. A to samé jsme říkali u těch nerovnic, když máš 5 8=x, když převádíš mínus, jdeš na druhou stranu, já říkám: to znamínko dostane ránu na tom rovná se, musí se změnit. Tak to pak pochopí, že je to změna, když jdu na druhou stranu. (U13) To se učej, 3/4 ze 100 i to už se učej. [...] Šikovnej si řekne 100 děleno čtyřmi krát 3. Musí se to naučit automaticky. Musíte jim ukázat, jak to mají dělat, tak teď máme šipky na tabuli. Takhle a zase nahoru. Všechno jim nejdřív na tabuli ukážeme a nakreslíme. Nejdřív mají ten názornej příklad a pak si to musí zautomatizovat. (U20) Naopak jiné dvě učitelky 1. stupně zdůrazňují nutnost pochopení algoritmu pomocí modelů. Nedělají jim problémy zlomky, [...] ale zase jedině přes názornost. S tím teda jediným způsobem, že máme barevné papíry, zase musíme značit celek a vlastně týden věnujeme tomu, že přes názornost nějakým způsobem se dostáváme k jednotlivým částem, takže už umí na konci čtvrté třídy třeba vypočítat, já nevím, tři osminy z 24, protože tím vybarvováním a tím názorem k tomu dospějou. (U04) Pak jim v těch zlomcích dělá problémy 3/4 z něčeho. Pro někoho je to tak podivná představa, že budeme tady si malovat a budeme krájet ty jablka a budeme stříhat koláče, jinak to nejde. (U16) Každopádně i učitelé, kteří jako podstatné uvádějí konceptuální zvládnutí, se shodují v tom, že upevnění dovednosti provádění operací je nezbytné a spočívá zejména v procvičování, ať již ve škole nebo v podobě domácích úkolů. 78 Procvičujeme to na jednodušších příkladech. Tady v učebnici jich je málo, tak beru příklady odjinud. Tady jsem jednoznačně zastáncem toho, že se to musí naučit na dril, tak čerpám příklady ze starých sbírek. Příklady jim ofotím, půjčím jim to, propočítávají to, jsou z toho domácí úkoly, přijdou se zeptat, když tomu nerozumí, a potom jim z toho dám písemku. [...] Dám jim volnost, ať si to počítají sami, teď záleží na nich, jestli se tomu budou nebo nebudou věnovat. (U36)

79 3.2 Aritmetika Pravidelné rozcvičky se zlomky a operacemi s nimi jsou praktikovány i v souvislosti s výše popsaným fenoménem fóbie ze zlomků a mohou přispívat k rozvoji sklonu k produktivní činnosti. My děláme na začátku každý hodiny rozcvičky a já jim do rozcvičky dávám zlomky, procenta, všechno, z čeho by mohli mít tu fobii, tak oni jsou tím praný každou matematiku. Oni nemaj čas si něco takovýho vypěstovat. (U52) Motivace Další dva učitelé zmiňují praktiky související s budováním pozitivního přístupu ke zlomkům: vyvarování se negativních komentářů (ze stran učitele, ale i rodiny a okolí) a naopak používání pozitivních výrazů nebo povzbuzení. Zdůraznění užitečnosti (jak v kontextu úspěchu v matematice získání dobrých známek, tak v kontextu běžného života) práce se zlomky je spolu s pozitivním postojem ke zlomkům vyjádřeno v následujícím citátu: Co se týče zlomků. Říkám jim, že to je kapitolka, kde si mohou nahnat známky. Pokud vyvinou poctivou práci, tak bez problémů si známky naženou. [...]Potom už je vrcholem složený zlomek. Ptám se jich, jestli vědí, proč jsem jim zrovna ten příklad dal do písemky. Protože v něm je všechno. Já si ověřím dělení, na základě dělení si ověřím násobení, v čitateli jste měli něco sečíst, máš tam desetinné číslo,smíšenéčíslo,převod,všechno. [...]Říkám,žejetojakobarák,kdesestaví cihlička k cihličce. Proč se učíš novou věc? To se neučíš pro mě nebo pro rodiče, abychom ti zabili odpoledne. Učíš se to proto, že ti ta nová věc zjednodušuje tu starou. Když toto pochopíš, tak máš vyhráno. Protože se budeš chtít to naučit. [...] Asi těžko někdo z vás sní celý chleba [...]. Tzn., že nemůžeme pracovat jen s celky, ale musíme pracovat i s částmi a lidé si pro zápis části vymysleli tento zápis a říkají tomu zlomky. [...] používám jedině praxi. Jak jste slyšela, tak [zlomek] musí být v základním tvaru, protože až přijdeš do prodejny a řekneš prodavačce místo toho, že chceš půlku chleba, 5/10 chleba, tak ho po tobě hodí. (U39) Celá čísla Jedenáct učitelů označilo za problematické téma záporných čísel. a) Problémy a jejich příčiny Učitelé se shodují v tom, že se jedná většinou o problém se znaménkem u provádění operací 11 auúpravy číselných výrazů se závorkami (tj. 11 Připomeňme, že jde o situaci, kdy se parita výsledku operace na dvou číslech mění v závislosti na operaci, tj. ( a) ( b) =c a( a) +( b) = d, kdea, b, c, d jsou kladná reálná čísla. 79

80 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů u aplikace distributivního zákona 12 ). Podobně jako u zlomků se žáci jsou schopni naučit jednotlivé operace zvlášť, dohromady se jim však pletou. Musím říct, že představa, kdy pracujeme na teploměru nebo s hloubkou vody apod., tak ta nedělá problémy. [Žáci jsou] schopni docela určit i opačná čísla, ale problém nastává, když začneme provádět matematický operace s celými čísly. Dokud se jenom sčítá a odčítá, tak je to v pořádku, jsou schopní se naučit určitý algoritmus a funguje to. Ve chvíli, kdy přibereme násobení a dělení, tam ten algoritmus, kdy oni pracují s mínusem, je úplně jiný, a začne se jim to strašně plést a jsou schopný mi říct, že když sčítají dvě záporná čísla, že výsledek bude kladný, protože přeci mínus a mínus mi dá plus. A to je poznatek, který oni mají z násobení, a tam to začnou takhle zaměňovat a začínají docela velký problémy. (U33) Několik učitelů zasadilo problém do kontextu (navazující) práce s druhými mocninami (viz obr. 3.1) nebo pozdější algebraické aplikace v práci s výrazy (viz oddíl 3.3), ale také úprav rovnic. Obr. 3.1: Druhá mocnina celého čísla (U44) Ke konceptuálnímu porozumění (významu záporných čísel, ne principu pravidel u operací) se v negativním smyslu vyjádřily pouze dvě dotazované, a to ve spojení s řešením slovních úloh, konkrétně s matematizací reálných situací (viz oddíl 3.4). Naopak např. učitelka U33 považuje porozumění záporným číslům za dobré (viz výše). Za příčiny chyb u provádění operací v oboru celých čísel učitelé opět shodně uvádějí nedostatečné procvičení, nepozornost, zbrklost, zapomínání pravidel. S posledním souvisí i několikrát zmíněná didaktická poznámka, že operace násobení a dělení nemají vhodný model v praktickém životě či vůbec nemají nějaký názorný model (na rozdíl od operací sčítání a odčítání, které lze modelovat např. na teploměru či číselné ose) Tedy a (b + c) =(a b)+(a c), kde a, b, c jsou celá čísla. 13 Pokud se sčítání a odčítání celých čísel zavádí pomocí pohybu na číselné ose, pak je možné pomocí tohoto modelu zavést i násobení kladného a záporného čísla (např. 3 ( 1) se interpretuje jako opakované sčítání, tedy znamená to tři krát krok dozadu, výsledek ( 1) 3 musí být díky komutativitě násobení stejný). Pravidlo pro znaménko součinu dvou záporných čísel se zpravidla vyvozuje strukturálně pomocí číselné řady. Stručně řečeno, 80

81 3.2 Aritmetika b) Didaktické postupy a techniky Konceptuální porozumění a procedurální zběhlost Z rozhovorů vyplývá, že pro zavedení pojmu záporné číslo učitelé používají převážně tři modely, z nichž dva jsou reálné: teploměr, platební bilance a číselná osa. 14 Zvláště poslední dva modely učitelé používají také při zavádění nebo upevňování konceptu operace sčítání a odčítání celých čísel. Někteří vysvětlují operace pomocí posunutí po číselné ose. Cílem je rychlé provedení operace: Potom třeba odčítání, když se dostáváme do záporných čísel. Tak zobrazujeme na ose [ukazuje]: 3 mínus 5, dostávám se do záporných čísel. Ukazuji to na číselné ose. Posuneme se přesně o ty jednotky doleva, to číslo [výsledek] pak přečteme. Potom už to musí být rutina, že to číslo vlastně otočí a odečtou a dají znaménko. To jim dělá potom problémy, i u celých čísel. Že 3 minus 5 musí odečíst 5 minus 3 a dát záporné znaménko, takhle v rychlosti. Aby se to naučili. Aby to chápali, ale aby se to naučili používat pohotově. To je taky trochu kámen úrazu. (U49) Jiní učitelé modelují sčítání a odčítání na reálném modelu financí. Potom se jde na sčítání, odčítání. Tento způsob vysvětlování 15 mi vůbec nevyhovuje. Absolutní hodnoty jim tam nemotám, spíše jdeme přes dluhy. Mám dluh, půjčím si, kolik budu mít. Aby to měli logicky, aby to pro ně bylo blízké, protože většinou sečtou 5 3=2. (U36) Procvičování Všichni učitelé, kteří se s námi podělili o didaktické zkušenosti z výuky v oboru celých čísel, uvedli, že procvičování, tj. dostatečně dlouhý čas strávený žáky nad samotnými výpočty, je jedinou možnou cestou k získání dovednosti práce s celými čísly. Jelikož konceptuální vysvětlení operace násobení chápou učitelé jako nepraktické a/nebo neefektivní (viz výše zmínka o nemožnosti využití modelu), mluví spíše o procvičení aplikace pravidel. U operací násobení a dělení a distributivního zákona uvádějí pomůcky, jakými tato pravidla pomáhají žákům ovládnout. Většinou se jedná o mnemotechnické když např. 3 ( 3) = 9, 2 ( 3) = 6, 1 ( 3) = 3, 0 ( 3) = 0, pak musí být 1 ( 3) = 3, 2 ( 3) = 6 atd. Dobře je to vidět, pokud se tyto výpočty současně ukazují na číselné ose. 14 Všechny můžeme považovat za izolované modely ve smyslu teorie M. Hejného s tím, že zejména poslední má potenciál stát se modelem generickým, tedy takovým, který žákovi umožní efektivně provádět některé operace i poté, kdyby zapomněl vyvozený algoritmus tím, že se vrátí k tomuto generickému modelu a znovu si algoritmus oživí. 15 Odkaz na učebnici nakladatelství Prometheus, autorské dvojice O. Odvárko, J. Kadleček, v níž jsou tyto operace zavedeny pomocí absolutní hodnoty. 81

82 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů nebo grafické pomůcky typu tradiční znaménkové tabulky 16 (viz obr. 3.2), barevné zvýrazňování apod. Obr. 3.2: Znaménková tabulka (U44) [Tazatel: A chápou podstatu, proč mínus a mínus dá plus?] [...] tak jsem to nikdy nedělal. Já jsem to suše řekl. Že mínus a mínus dá plus. [...] Protože tady nějak rozebírat, proč a jak, je skoro až zavádějící nad tím takto přemýšlet, prostě některé věci jim řeknu hotově, že to tak prostě je, a vlastně nad tím nepřemýšlíme. (U44) Mínus mění znaménka v závorce atd. Jinak to nejde, než že se to dělá pořád do kolečka. Že dvě znaménka musí být oddělena závorkou... Vždycky jim říkám přes tužky. Dvě vám dají plus, tři vám dá plus a jedno mínus [manipuluje s tužkami ve vzduchu svisle a vodorovně jako u znamének], tak si to stále ukazujeme, aby to viděli. (U36) Motivace Učitelé uvádějí, že reálný model financí a finančních transakcí je u žáků nejúspěšnější, pokud jde o motivaci k pochopení a práci s celými čísly, zejména u provádění jednoduchých operací. U procvičování úprav číselných výrazů zmiňuje učitelka, že je složité děti motivovat k samotné úpravě. V tomto případě žákům sdělí, že jde o důležitou propedeutiku pro práci s algebraickými výrazy. Několik učitelů také uvádí zdůraznění ekonomičnosti úprav a matematiky obecně Související výzkum Podíváme-li se na výsledky našich žáků v šetření TIMSS zhlediska jednotlivých úloh, pak ze 44 úloh, které byly autory v úvodu zmíněného 16 Jak je řečeno v poznámce výše, pravidla lze do jisté míry ozřejmit strukturálně

83 3.2 Aritmetika článku (Rendl, Vondrová, v tisku) klasifikovány jako úlohy z oblasti Číslo, bylo celkem 11 zařazeno mezi tzv. slabé a velmi slabé. 18 Z nich se 6 týkalo zlomků, zbytek desetinných čísel. 19 Ovšem podíváme-li se až na úroveň konkrétních úloh v dalších oblastech, pak vidíme, že neúspěch řešení těchto úloh mohl být způsoben také nesprávně aplikovanými pravidly pro operace se zápornými čísly (např. při dosazení záporného čísla do algebraického výrazu) či pro neschopnost práce se zlomky (při úpravách algebraických výrazů). Nyní se podíváme na výsledky vybraných výzkumů týkajících se aritmetiky. a) Racionální čísla U racionálních čísel, stejně jako u jiných oblastí matematiky, je konceptuální porozumění faktorem ve zvládnutí početních úkonů. Zároveň však provádění těchto úkonů podporuje porozumění samotnému konceptu (Rittle-Johnson, Koedinger, 2009). Jak vyznívá i z výpovědí našich učitelů, intuitivní porozumění zlomku ještě neznamená, že žák zvládne jeho formální matematickou formu. Obě didaktické oblasti (představu a proceduru) je nutno propojit a propojovat opakovaně. Pozitivní důsledky opakovaného střídání koncept početní operace ve výuce prokazují ve své studii například B. Rittle-Johnson a K. Koedinger (2009): v jejich experimentech 20 se experimentální skupina žáků během šesti vyučovacích hodin věnovala střídavě konceptuálnímu porozumění desetinných míst a početním operacím (sčítání a odčítání) s desetinnými čísly. V kontrolní skupině byl žákům nejdříve představen koncept desetinných míst a teprve poté následovaly hodiny s početními úkony sčítání a odčítání. Experimentální skupina prokázala významně vyšší zlepšení v testu na operace s desetinnými čísly. Jiný výukový přístup byl předmětem experimentální výuky v jedné třídě ve studii (Lachance, Confrey, 2001). Porozumění desetinnému zápisu nebylo 18 Průměrná odchylka úspěšnosti našich žáků od úspěšnosti mezinárodního souboru v rámci TIMSS 2007 činila +9,4 %. Tato hodnota byla v článku vzata za standard českých žáků. Následně byl porovnán výkon českých žáků u jednotlivých úloh s jejich standardem. Za jejich slabiny jsou považovány úlohy, v nichž se jejich výsledky odlišují od mezinárodního souboru o méně než 5 %. V intervalu 0 až +5 % jsou úlohy označeny jako slabé, při záporné odchylce pak jako velmi slabé. 19 Celkově však oblast Čísla nedopadla pro české žáky v mezinárodním srovnání nijak špatně. Průměrná úspěšnost byla 54,4 % (což je o 11,2 % více než mezinárodní průměr), přičemž nejúspěšnější oblast Procenta měla průměrnou úspěšnost 61,2 % (členění úloh do oblastí podle (Rendl, Vondrová, v tisku)). 20 Experimenty proběhly dva, na dvou různých školách, oba se žáky 6. ročníku (n =77 a n = 26). 83

84 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů probíráno jako zvláštní téma, ale bylo založeno na řešení tří otevřených problémů. Žáci na nich pracovali ve skupinách, přičemž řešení úloh bylo založeno na pojmech poměr a podíl. Jeden z problémů se např. týkal vážení. Skupiny žáků dostaly čtyři závaží různého tvaru a bylo jim řečeno, že závaží představují váhový systém pro fiktivní zemi. Mezi závažími byl multiplikativní vztah, např. 1 kruh vážil tolik jako 2 tyčky, 3 kruhy tolik jako 1 obdélník apod. Žáci pak měli pomocí kuchyňských vah na tyto vztahy přijít a vytvořit průvodce pro turisty, který by systém vah vysvětloval. Žáci vytvořili různé zápisy, což vedlo k diskusím ohledně společného základu číselných systémů a následné práci v soustavách o jiném základu než 10 (2, 4 a 6). Tím si žáci vytvářeli hlubší porozumění řádům. Ve druhé úloze Desetinný závod měli žáci používat desetinný zápis v kontextu měření a ve třetí úloze Domino měli žáci řešit úlohy s desetinnými čísly za použití proporcionálního uvažování. V post-testu, který sestával z úloh, které byly použity v souvisejících již publikovaných výzkumech a nebyly explicitně součástí experimentální výuky, žáci dosahovali výjimečně dobrých výsledků (oproti pre-testu) v oblasti porozumění významu desetinného zápisu, uspořádání desetinných čísel, převodů mezi zlomky a desetinnými čísly a výpočtů s desetinnými čísly. O didaktických metodách v oblasti zlomků existuje opravdu velké množství výzkumných prací. Zde se zmíníme jen o těch, jejichž odraz můžeme najít ve výpovědích našich učitelů. Poučný je pro nás soubor výzkumně podložených doporučení pro výuku z metaanalýzy zmíněné v úvodu (Geary et al., 2008): Je třeba se vyvarovat přílišného důrazu na reprezentaci zlomků jako částí celku (pomocí modelů, jako je pizza nebo čokoláda), aniž by se žáci dostatečně zabývali situacemi, kdy jde o zlomek větší než jedna. Reprezentace obrázkem by měla být doprovázena i reprezentací na číselné ose. Pochopení zlomků menších než jedna a operací s nimi se nemusí nutně přenést na zlomky větší než jedna. Práce se zlomky většími než jedna by se měla explicitně učit. Vliv dvou proměnných, a to používání různých modelů zlomků a odlišných výukových přístupů, na porozumění zlomkům zjišťovali R. Keijzer a J. Terwel (2003). V experimentální skupině (n = 10) dostali žáci 6. ročníku tyčku a měli měřit různé předměty a tyto míry zapisovat (společně tak dospívali k formálnímu zápisu zlomků). Postupně byli vedeni k používání centrál- 84

85 3.2 Aritmetika ního modelu pro zlomky, a sice modelu číselné osy. K porozumění byli žáci vedeni společnou diskusí. Ve srovnatelné kontrolní skupině (n = 10) byl jako centrální zvolen koláčový model a učení bylo víceméně individuální. V obou případech bylo cílem uvažování o zlomcích jako číslech bez opory modelu. Výsledky obou skupin žáků byly porovnávány během celého roku z hlediska obecných matematických dovedností (ty byly u obou skupin žáků srovnatelné) a z hlediska porozumění zlomkům zde byly výsledky experimentální skupiny signifikantně lepší. Reprezentace zlomků na číselné ose je v praxi nedostatečně používána (jak zmiňuje i citát U41 na s. 77), což zřejmě neumožňuje efektivně pracovat s epistemologickými překážkami, jakmile se začne používat matematický zápis zlomku: žák přenáší znalosti z oboru celých nebo přirozených čísel na obor racionálních čísel (např. 5 > 4, ale 1 4 > 1 5 ). Právě zde výzkum ukazuje, že číselná osa je pojítkem mezi konceptuálním pochopením a procedurální zběhlostí. K hlubšímu konceptuálnímu porozumění a potažmo i úspěchu v řešení úloh přispívá i opakované používání jednotlivých zlomkových částí (tj. desetin, setin, atd.) ve verbálním projevu u práce s desetinnými čísly, tj. například jedna celá čtyři desetiny a pět setin namísto jedna celá čtyřicet pět setin, společně s propojením obrazu tohoto čísla na číselné ose. Z hlediska výše řečeného je zajímavý následující experiment (Saxe, Diakow, Gearhart, 2012). Pro experimentální skupinu žáků 5. ročníku (celkem 11 tříd) byla připravena výuka, v níž žáci probírali současně celá čísla a zlomky a byla v ní spojujícím prvkem obou celků právě číselná osa. Žáci řešili řadu podnětných úloh, které byly řešitelné pomocí číselné osy prostřednictvím číselné osy pronikali současně do vlastností zlomků a celých čísel a učili se s nimi operovat. Podrobný popis výuky je nad rámec tohoto textu, dodejme jen, že důraz byl kladen na společnou tvorbu matematických definic, zobecňování a řešení problémů, tedy žáci hráli ve výuce velmi aktivní roli. Ukázalo se, že experimentální skupina žáků dosáhla oproti kontrolní skupině (celkem 8 tříd) lepších výsledků ve znalostech celých čísel a zlomků jak na konci experimentu, tak na konci školního roku. Prohloubily se jejich znalosti jak u úloh zahrnujících číselnou osu, tak u ostatních úloh. Učitelé v našem výzkumu zmiňovali nemožnost vhodného modelování operace dělení zlomků. 21 S. Bulgar (2003) použila úspěšně jak v experimentu, 21 F. Kuřina (2011a) zadal skupině učitelů základní školy úkol, aby našli reálnou situaci pro dělení zlomku zlomkem. Jen 35 % učitelů takovou situaci vytvořilo. Problém je podle autora v tom, že na situaci nejde přirozeně aplikovat dělení na části, které předpokládá přirozená čísla. Existují však kontexty, v nichž se taková situace modelovat dá. Např. 85

86 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů tak ve výuce úlohy, 22 jejichžpomocísižáci5.ročníkusamivytvořípředstavu o dělení přirozeného čísla zlomkem. V následné studii (Bulgar, 2009) sledovala, jak se chápání dělení zlomků u žáků vyvíjí v čase. V 6. ročníku žáci řešili podobné otevřené úlohy, které tentokrát vedly i k dělení zlomku zlomkem (aniž by algoritmus dělení zlomků byl formálně vyučován). Autorka dospívá k názoru, že žáci za daných podmínek dokázali i v rámci běžné školní třídy řešit úlohy na dělení zlomků způsoby, které jsou matematicky správné. Porozumění žáků z 5. ročníku bylo dostatečně hluboké na to, aby se k němu žáci dokázali vrátit i v 6. ročníku a úspěšně je využili u jiných úloh, a to i takových, které byly formulovány symbolicky. J. Yim (2010) studoval schopnost úspěšných žáků 5. ročníku, kteří ještě neumí dělit zlomky, řešit úlohy, v nichž byl dán zlomkem obsah obdélníku a jedna jeho strana a měla se najít délka druhé strany. Žáci si vytvořili různé strategie, které reprezentovali obrázkem. Následně autor zjišťoval, zda dokáží tyto strategie zapsat i symbolicky, což zvládlo šest z devíti žáků. Ukázalo se, že existuje cesta, jak dát operaci dělení zlomků význam, ovšem o výzkumu, který by prokazoval, že to je proveditelné i s běžnou školní třídou, zatím nevíme. A konečně dotazovaní učitelé zdůrazňovali důležitost motivace ve smyslu povzbuzení, ale také zařazování krátkých úloh v průběhu pozdějších témat a ročníků. To vede ke zvýšení pocitu self-efficacy u jednotlivých žáků a tedy podle výsledků výzkumu zvláště v této oblasti, i k vyšší úspěšnosti (Geary et al., 2008). b) Celá čísla V prvé řadě historie matematiky ukazuje a výzkum to potvrzuje, že přehnaná snaha vztahovat operace s celými čísly k reálným modelům není ani účinná ani přirozená. Záporná čísla totiž nemají praktický, intuitivní význam. Existují jako protiklad reprezentace reálné kladné veličiny (tj. množství, délky atd.). Operace s nimi jsou dokonce kontra-intuitivní 23 (tradičně je citován případ 3 < 2, ale ( 3) 2 > 2 2 ). Jak shrnuje Fischbein (1987), pěkný model pomocí rozlévání džusu do skleniček různého objemu najdeme v učebnici autorů M. Komana a M. Tiché vydané Matematickým ústavem AV. 22 Žáci dostali mašle různých délek. Jejich úkolem bylo zjišťovat, kolik mašlí různých délek mohou odstřihnout. Např. červené mašle jsou po šesti metrech a mají se z nich ustřihnout mašle délky půl metru, dvě třetiny metru apod. Žáci vše zapisují do tabulky. 23 E. Fischbein (1987) charakterizuje intuitivní složku matematických znalostí jako znalosti, které přijímáme okamžitě, přímo a s důvěrou a které považujeme za zřejmé. U těchto znalostí máme pocit, že není třeba důkaz a že nemusíme hledat alternativní reprezentace, interpretace či řešení. E. Fishbein rozlišuje mezi primárními intuicemi, které si vytváříme 86

87 3.2 Aritmetika záporná čísla jsou prvním setkáním žáků s formálním systémem ve výuce matematiky. Modely zahrnující číselnou osu a pohyb po ní, model příjmů a dluhů, model teploměru atd. fungují intuitivně na úrovni aditivních operací, ale reálné modely selhávají při operacích násobení a dělení (což reflektují i někteří učitelé v našem výzkumu). H. Freudenthal (1999) doporučuje tuto formální charakteristiku nezastírat (používání krkolomných modelů je podle něj pro žáka stejně intuitivně nepřijatelné; viz také např. (Streefland, 1996; Linchevski, Williams, 1999)). Naopak ji doporučuje použít jako první ukázku abstraktnosti matematiky ještě před tím, než se objeví algebra. Ať je model pro záporná čísla jakýkoli, myšlenkový proces spojený s rozšířením oboru čísel by měl být proveden vědomě a odůvodnění, proč se tak děje, by mělo být vědomě přijato žákem (Freudenthal, 1999). Dodejme, že z našich rozhovorů není zcela jasné, zda je toto uvědomění součástí výuky v praxi. Učitelé nezmiňují ani samotné strukturální odvození např. násobení dvou záporných čísel a někteří se vyjadřují, že se odvozením nezabývají nebo že jim připadá příliš komplikované a neefektivní. L. Linchevski a J. Williams (1999) s Freudenthalovým názorem polemizují, ovšem také zdůrazňují, že použité modely musejí popisovat realitu, která je pro žáky smysluplná a v níž již záporná čísla v nějaké podobě existují. Dodávají, že pravidla práce s čísly v tomto modelu se musí dát zjistit bez zbytečné mentální akrobacie. Vytvořili výukovou sekvenci pro zavedení záporných čísel a jejich sčítání a odčítání, kterou postupně precizovali v sérii experimentů se skupinami žáků. Podstatou jejich přístupu bylo využití modelu abacus. V jedné variantě přístupu žáci hráli hru, kdy na tzv. dvojitém abaku 24 zaznamenávali počet lidí přicházejících na diskotéku různými dveřmi a zase z diskotéky odcházejících. Musejí překonat překážku, která vznikne tím, že jsou stojánky již plné, kdy musejí žáci odebírat žetony, ale tak, aby situace byla stále stejná, tj. počet lidí na diskotéce se nezměnil. Žáci se pak dostávají i do situace, kdy musejí probíhající změny zaznamenat symbolicky. Druhý výukový přístup byl založen na jednoduché hře s dvěma kostkami různých barev, kdy číslo, které padlo na jedné kostce, se zaznamenávalo na jednom abaku a číslo z druhé kostky na druhém abaku. Soutěžily na základě životních zkušeností, a sekundárními intuicemi, které získáme, když se teoretické matematické znalosti stanou intuitivními. Primární intuice jsou extrémně resistentní ke změně a často koexistují vedle těch, které jsou z hlediska matematického akceptovatelné. Z toho pak plynou nekonsistence v reakcích žáků. Tak by se dal vysvětlit např. fakt zmíněný v oddíle 3.2.2, kde žáci zapisovali zlomek 7/2 nesprávně jako 7,2. Jejich primární intuice týkající se desetinných čísel byla silnější než poznatek o symbolickém zápisu zlomku. 24 Sestával ze dvou stojánků, každý na jinak barevné žetony. 87

88 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů spolu dva týmy žáků. Postupně byla přidána třetí kostka, která ukazovala, zda se mají čísla sčítat nebo odčítat. V tomto modelu žáci začali brzy operovat se zápornými čísly, tedy sčítat je a odčítat. Cílem experimentů (Linchevski, Williams, 1999) nebylo potvrdit, který přístup je vhodnější, ale zjistit, zda je možné zavést záporná čísla a aditivní operace tak, aby byly poznatky v souladu s intuicí. Autoři dospěli k názoru, že oba přístupy byly pro porozumění problematice vhodné, nicméně v obou intuice v určitém místě selhává. U prvního experimentu je to v okamžiku, kdy se zavádí odčítání, které bylo definováno jen jako sekundární pojem, jako inverzní operace ke sčítání. U druhého přístupu se tak děje už dříve, kdy se náhodně týmům přiřazují znaménka. Ani jeden z modelů se nedá intuitivně rozšířit na operace násobení a dělení, které se zřejmě musí zavést algebraicky. Nicméně autoři vyjadřují své přesvědčení, že i tak jsou oba modely cenné, protože přinášejí intuitivní poznání alespoň v určité podobě. Rozšíření oboru přirozených čísel na čísla celá s sebou tedy nese nutnost práce se znaménkem mínus v novém významu (například jako opak přirozeného čísla, jako informace o orientaci vektoru změny, kromě již známého symbolu pro operaci odčítání) a s pravidly, jako je distributivní zákon. Tato pravidla jsou pak platná (a jejich nezvládnutí je překážkou k dalšímu rozvoji a úspěchu žáka) prakticky po většinu studia školní matematiky. Co se tedy týče problémů se zvládnutím procesu operací na celých číslech s použitím systému, v podstatě můžeme odkázat na didaktické poznatky spojené s těmi, které diskutujeme i dále, u práce s algebraickými výrazy. 3.3 Algebra algebraické výrazy Z algebraicky zaměřených témat (např. rovnice, funkce, výrazy atd.) učitelé jednoznačně nejčastěji zmiňují jako problematickou práci s algebraickými výrazy (tj. jejich úpravy a operace s nimi). S proměnnými či jejich propedeutikou se žáci seznamují již od nižších ročníků. Téma práce s algebraickými výrazy je (podle výpovědí učitelů) rozděleno do dvou menších tematických celků, které se probírají ve dvou různých ročnících: v prvním celku jde o základní úpravy jednodušších výrazů (sčítání, odčítání, násobení, dělení) a v druhém zejména o aplikování celočíselných mocnin, mocnin dvojčlenu, rozklad a vytýkání. O úpravách lomených výrazů mluví učitelé zvlášť. Určování hodnoty výrazu (tzn. dosazení ) se ve výpovědích učitelů neobjevilo, pokud nešlo přímo o aplikaci vzorců např. v geometrii. 88

89 3.3 Algebra algebraické výrazy a) Problémy a jejich příčiny Z konceptuálního hlediska je abstrakce jako charakteristický prvek algebraického myšlení výrazně spojena s ontogenetickými překážkami, což také několik učitelů přirozeně komentuje. Mluví převážně o sžití se, zvyku, tedy časovém prostoru, který žáci potřebují k tomu, aby byli v práci s výrazy úspěšní. Než se sžijí s tím, že je to něco nového. Až do té algebry se pracuje pořád s něčím konkrétním tři jablka a tři bonbóny, ale pak najednou přijdou písmenka a oni si to pod nimi neumí představit. To, že se jde z té konkrétní k té abstraktní matematice. Například nejdřív se počítá povrch, objem s jasnými čísly, ale pak u těch obecnějších úloh je to jen s písmenky, a to je pro ně nepředstavitelná věc. (U36) Speciálně algebra je asi úplně nejtěžší. Protože je to pro ně něco nového, neznámého. Časem si zvyknou a pak ta úspěšnost je. Ale ze začátku je to obrovský problém. (U47) Pouze jeden z učitelů k ontogenetickým důvodům přidává jako příčinu neúspěchu v oblasti práce s výrazy ještě didaktickou překážku, tedy přímo učební plán. Algebra... mít procesy na takové úrovni, že mohu zobecňovat... mám tolik modelů, že to zobecním... problém vidím v tom, že každý do tohoto bodu dojde jindy, ale my učitelé to zadáváme všem najednou. (U56) Představa toho, co znamená symbol proměnné (většinou písmenko), je u dotazovaných učitelů často spojována s konceptuálním porozuměním proměnné na úrovni operací s jednoduchými výrazy. Máme třeba příklad 3b + 5b. Oni řeknou, že je to osm bé na druhou. Tak já na to: takže 3 jitrnice a 5 jitrnic je 8 jelítek? Oni se chechtají. (U47) Kromě ontogenetické připravenosti žáka učitelé jednoznačně zmiňují problémy žáků s komplexností procesů, tzn. že řešení algebraických úloh zahrnuje několik operací, že je třeba uplatnit distributivní zákon (roznásobit, vytknout). Pro ilustraci uvádíme citát týkající se druhého z obou tematických celků....ale musejí umět pracovat s těmi jednoduchými výrazy, aby dokázali s nimi sčítat, odčítat, dělit, násobit, číst tady takový ty pravidla, ty různý vzorce na rozklad, to je docela taky maglajz, protože se jim to všechno motá dohromady, (a + b) 2,(a b) 2,a 2 b 2. (U40) Ovšem také se často objevuje zmínka o návaznosti na předchozí aritmetické prvky, jako jsou operace se zlomky (hledání společného jmenovatele), celými a desetinnými čísly (vlastnosti operací, operace s koeficienty). 89

90 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů Jak již bylo řečeno, učitelé vnímají obecně příčiny obtíží v podobě ontogenetické nepřipravenosti žáků, ale také si uvědomují výše zmíněné epistomologické překážky. Až na případ lomených výrazů (viz níže) v rozhovorech nezpochybňují didaktické zpracování tématu. Opět se objevují zmínky o zapomínání (zejména u vzorců na mocniny mnohočlenů, pořadí operací aj.), což je pochopitelné, když bereme v potaz, že zmíněné dva tematické okruhy navazují po delším časovém období. Učitelé opakovaně vidí téma algebraických výrazů jako didakticky náročné zhlediskamotivace žáků a odůvodnění důležitosti umět s nimi pracovat, zejména v případě některých úprav, konkrétně vytýkání a rozkladu na součin. Zvláště lomené výrazy označilo několik učitelů (základních škol) za neodůvodnitelné nebo neaplikovatelné. Tady [u operací sčítání a násobení] zatím oni se až tak neptají, je baví to, že si to můžou nahradit něčím, co je jim trošku přístupnější [...]Jsou docela štastný, že se v tom postupně začínají orientovat. Ale většinou se začínají ptát v momentě, kdy se začíná vytýkat před závorku nebo se začínají používat vzorce atd. A s tím já mám trošku problém. Říkám jim vždycky, když se to naučíš teď, bude se ti snáz učit látka v 9. ročníku, lomené výrazy a pak, protože nevím, kam kdo z vás postoupí na střední školu. Někdo to bude potřebovat na gymnáziu k výpočtu, někdo to bude potřebovat na průmyslovce, někdo to bude potřebovat někde jinde, tak zkrátka proto se to učíme. Ale teď v tuto chvíli k praktickému životu to moc nebude. (U30) Pokud nemají [vztah k matematice], je to pro ně strašně nezáživné učivo. Pro někoho ne, pro mě třeba celej život to bylo bezvadný, protože ze strašně dlouhýho výrazu potom člověk dostane jedno číslo, jedno písmenko a je to úplně úžasný. Ale pro někoho to je strašně nezáživné, musí se to naučit cvikem, drilem... Tady strašně těžko hledám... takovou tu motivaci... [Na otázku, zda se to dá spojit s něčím praktickým ze života:] No, samozřejmě někdy v nějakých vzorečcích z fyziky apod., ale strašně málo. Pro ně je to věc, která je připravuje na studium na střední škole a na vysokých školách, tam se to velice těžko do toho běžného života odráží. (U33) Dodejme, že důležitá aplikace algebraického zápisu, tj. matematizace textu nebo situace, byla zmíněna ve spojení s algebrou sporadicky, učitelé ji automaticky spojují s učivem slovní úlohy. Je otázkou, do jaké míry tato oddělenost tematických celků způsobuje neúspěšné zvládnutí nejen konceptu proměnné, ale i zvládnutí práce s výrazy. Algebra je často citována jako kritické místo pro naše žáky ve výzkumu TIMSS Analýza na úrovni konkrétních úloh (Rendl, Vondrová, v tisku) do určité míry potvrzuje stížnosti dotazovaných učitelů na nedostatky v oblasti úprav algebraických výrazů. Nadstandardních výsledků dosáhli naši 90

91 3.3 Algebra algebraické výrazy žáci v pěti úlohách: úpravy mnohočlenů sčítáním a násobením a výběr výrazu, který vyjadřuje jednoduché vztahy ve slovně popsané reálné situaci. Naopak špatných výsledků dosáhli u úlohy, kde se měl odečíst dvojčlen v závorce (práce se zápornými čísly), a zejména u dvou úloh, kde se používají písmena k označení stran útvaru, resp. úseček, a má se vyjádřit obsah útvaru, resp. délka úseček. Problémem zřejmě byl i fakt, že v úloze nejsou použita klasickypísmena a, b, c, ale výrazytypu x+2. To poukazuje na nedostatečnou zkušenost s aplikací výrazů v geometrickém kontextu a navádí k interpretaci výpovědí učitelů ve smyslu, že geometrické přístupy (viz oddíl 3.3) jsou při práci s algebraickými výrazy používány v praxi jen málo. Zmíněná analýza řešení úloh TIMSS 2007 dále ukázala, že slabých výsledků dosáhli naši žáci u úloh, v nichž mají do rovnice, resp. do výrazu dosadit dvojice hodnot, aby ověřili platnost rovnosti. Dále se jako problematický jeví koncept uspořádané dvojice, kdy žáci nechápou, že musí dosadit obě čísla z uspořádané dvojice, a to v určitém pořadí. Konečně, výrazněji pod mezinárodním průměrem jsou výsledky českých žáků ve dvou úlohách, kde je třeba do algebraického výrazu dosadit za každou z dvojice proměnných algebraický výraz složený z čísla a proměnné. O dosazování do výrazů ať už čísel či výrazů s proměnnou 25 se učitelé v našem výzkumu jako o kritickém místu nezmínili. Podobně se v jejich výrocích neobjevuje další důležitá oblast, která se jako obtížná projevila v TIMSS 2007, a to oblast Posloupnosti. V této oblasti jde o úlohy využívající k vytvoření posloupnosti čísel skládání grafických prvků do stále složitějších (nebo přinejmenším větších) útvarů a kladou [se] u nich otázky na třech úrovních: většinou první z trojice úloh vyžaduje doplnění počtu prvků, které vzniknou v nejbližších dalších členech posloupnosti; druhá úloha požaduje vyjádření (vypočítání) počtu prvků v konkrétních vzdálených členech posloupnosti; třetí úloha pak vyžaduje obecné vyjádření počtu prvků pro n-tý člen posloupnosti (Rendl, Vondrová, v tisku). Ukazuje se, že výkony českých žáků se zhoršují na přechodu od názorné představivosti k pochopení závislosti a zejména na přechodu od pochopení funkční závislosti k jejímu algebraickému vyjádření (je otázkou, zda by žáci dokázali pravidlo formulovat slovně; na to se však TIMSS úlohy neptaly). Úlohy na zobecňování představují jednu z cest k algebře jako zobecněné aritmetice (např. Radford, 2011), ovšem v našich učebnicích se tento přístup prakticky neobjevuje. 25 Otázka je, zda se žáci vůbec s dosazováním výrazů s proměnnou setkávají. RVP pro ZV je v tomto ohledu formulován značně vágně. 91

92 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů b) Didaktické postupy a techniky Algebraická podstata proměnné Nejčastěji zmiňovaný didaktický postup u práce s proměnnými je jednoznačně analogie jablíčka a hruštičky, tj. nahrazování písmen abstraktních proměnných konkrétním předmětem (nebo přesněji jeho názvem, abstraktní představou nebo fyzickým obrazem). Na tuto praktiku lze nahlížet v několika rovinách. V první řadě učitelé zmiňují, že jim slouží pro názornost, pro pomoc s překonáním počáteční ontogenetické překážky, k nabytí sebedůvěry (např. díky vazbě na jednoduché učivo z 1. stupně) aj. Pro ně je to úplně nová věc, se kterou se ještě nesetkali. Proto je nutné to zlehčit. Když tam je 3b + 2d, tak říkám máme tři banány a tak. Vloni jsem si ve své třídě oblíbila klobásky a jitrničky, před tím to zas bylo něco jiného. Oni si musí tu abstraktnost převést do něčeho konkrétnějšího. Pak se jim to podle mě tak těžké nezdá. (U47) Mám ověřenou dobrou fintu, že tý neznámý je dobrý dávat začáteční písmenka. Sud S a voda V, protože když si daj x, y, tak to pak můžou prohodit a odpovědět obráceně, tak to je taková finta. (U44) S tím souvisí zavádění významu proměnné jako schránky, nejen jako symbolu. Nejlépe to vystihuje následující citát: Že by [pojmenování proměnné] mělo vzniknout právě, že už mě nebaví psát, kolik peněz to stálo. Protože: peníze rovná se počet kusů krát cena za jeden kus, a teď mě už to tedy nebaví, tak já napíšu Kč = Ks krát cena, resp. to céčko. Tímhle tím způsobem si myslím, že by měly vznikat vůbec ty neznámý nebo ty proměnný. [Tazatel: Já jsem právě viděl na té předchozí hodině, že se těm písmenkům vyhýbáš. Ve fyzice takový ten klasický vzoreček, s, v, t. A ty jim to říkáš slovně.] A to je velký neduh té matematiky, strašlivý. My jsme zvyklí to používat a oni ne. My je převálcujeme, oni prostě nemají šanci k tomu přijít, a to pak jim dělá strašný problém v té osmičce. (U56) Souvislost s aritmetikou Tento typ komentářů se vyskytuje u tematického celku výrazy minimálně. Několikrát se objevuje přiblížení podstaty operací pomocí izolovaných modelů s celočíselnými hodnotami namísto proměnných, tedy číselných výrazů. Jde buď o odvozování, nebo o ověřování obecných modelů např. pro distributivní zákon, krácení, určení společného jmenovatele, vytýkání atd. 92 Začíná se s čísílkama. Ono se to tam i trošku zdůvodňuje, snažíme se zdůvodnit, začíná se záporný číslo, vlastně ty znamínka, což jsou v těch výrazech potom

93 3.3 Algebra algebraické výrazy problém, tak vlastně nejdřív jednoduché. 5 3 umí, pak se jim to přehodí 3 + 5, 5 ( 3) a tak dále, 3 + ( 2), že vlastně u těch záporných to začíná, pak se tam sem tam dá nějaká závorka, pak se pomalinku prodlužují ty výrazy a tak dále. Pak se tam dá plus i krát, obojí, že krát má přednost, zase se trénuje ta priorita těch operátorů a tak dále. Ale všecko je to na číslech, aby si to pořád uměli dopočítat. Takže když potom přijdou výrazy, tak už by měli všecky ty pravidla znát pro úpravu výrazů. (U41) Proč to nejde krátit? Vysvětluju to hodně na číslech a pak to zobecňuju. [...] Dám jim tam třeba toto [obr. 3.3a]. Nejdříve si spočítáme správný výsledek, který se může zkrátit, a teď jim řeknu, jaký by to byl nesmysl, když by se to krátilo třeba ta čtyřka s osmičkou, naschvál to udělám a oni vidí, že ten výsledek je úplně jiný a že to je nesmysl. A pak jim tam namísto toho plus dám násobení, řeknu jim výsledek [obr. 3.3b]. A teď jim ukážu, že když se to krátí, ten výsledek se jakoby nemění [obr. 3.3c]. A ještě mají možnost vybrat si, jestli krátí tu osmičku tady, nebo tady. A najednou vidí, že přestože tam jsou jiná čísla, tak ten výsledek je stejný. A když to na těch číslech se to znovu zopakuje, pak jim tam dám třeba toto [obr.3.3d].tam užtonenívidětproč neboco,[...]alejájimřeknu Pozor, vzpomeň si na ty čísla, že to nejde, že to můžeš udělat, až když tam je krát. (U56) a b c d Obr. 3.3: Aritmetické souvislosti jako propedeutika algebry (U56) Geometrické souvislosti Operace s dvojčleny učitelé obecně označují za obtížné v tom smyslu, že příslušné vzorce žáci zapomínají. Celkově se v rozhovorech objevily dva přístupy k odvození či ověření vztahů: geometrický model 26 (ten uvádí jedna učitelka) a algebraické odvození pomocí konkrétních výrazů. Učitelé ovšem sami konstatují, že samotný přístup k odvození nezabrání zapomenutí. Pouze dva respondenti zmínili, že při zavádění konceptu rozklad mnohočlenu na dvojčleny nebo vytýkání pracují obousměrně, aby zdůraznili, že jde o operace reciproké k násobení. 26 Tento model tradičně spočívá ve vyjádření vztahu (a + b) 2 jako obsahu čtverce se stranou o velikosti (a + b), kde a, b jsou reálná čísla označující délku úsečky v jednotkách. 93

94 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů Spojení algebraických výrazů s geometrickým prostředím zmiňuje celkem pět učitelů. Jedna učitelka se zmiňuje o motivaci pro praktickou aplikaci práce s výrazy (druhá a třetí mocnina v planimetrii a stereometrii). Tři z nich mluví o tom, že využívají předchozích žákovských znalostí vzorců (tj. algebraických výrazů s proměnnými/veličinami) pro jednodušší překonání počáteční ontogenetické překážky, tedy pro uchopení konceptu proměnné nebo základních operací s proměnnými. Specifickým příkladem může být následující odvození vytýkání pomocí vzorce pro obvod obdélníku. [Vytýkání] je takový kritický moment v těch výrazech vůbec, protože si myslím, že když to nevytknou, tak už to potom neudělají vůbec. Tam zase jen postupně: Vzpomeňte si na obdélník, že on to áčko má vždy proti sobě a to béčko také a že když chci obvod, tak tam jsou 2 áčka a 2 béčka, a co jsme dělali v tom vzorci? Že tu dvojku jsme dali před to. To je ten princip toho vytýkání a teď na to uděláme spoustu příkladů. Pak to pochopí na jiných písmenkách, až to dospěje k tomu, že se může vytýkat třeba celá závorka. Takže když je ta závorka stejná, tak se vytkne ta závorka. (U47) Motivace v podobě modelu reálných situací je, jak uvádíme v předchozím textu, podle učitelů málokdy možná. Jedinými modely jsou planimetrické a stereometrické vztahy (zvláště pro výpočet obsahu, povrchu a objemu). Dvě učitelky se odkazují na vztahy mezi fyzikálními veličinami. Mimomatematické techniky Několik učitelů zmiňuje, že pro lepší názornost při práci s výrazy používá vizuální techniky, jako je barevné odlišení nebo velká tiskací písmena. Jediný, co tam je [netriviální], je vytýkání. Takže používám barevné křídy. To, co je stejné, vezmu a vytknu; to neberu, že jsou nějaké speciální postupy, to je normální, i v učebnici je to tak vysvětlené. (U46) Související výzkum Jak bylo uvedeno, učitelé často pro přiblížení významu operací s proměnnými používají metafory ( jablka, hrušky ). U operace sčítání a odčítání členů se stejnou proměnnou o stejném řádu je metafora účinná ( jablka a hrušky nelze sčítat). Na druhou stranu může vést k problémům např. při násobení ( jablka a hrušky lze mezi sebou násobit). Je také třeba dbát na to, aby se rozlišila proměnná jako zkratka pro jednotku (pět jablek, tj. 5j, kdej označuje jedno jablko) a proměnná jako jiná číselná hodnota, počet předmětů/jednotek (pět korun za jablko, tj. 5j korun za j jablek, j označuje neznámý nebo proměnný počet jablek), což je důležité pro správnou 94

95 3.3 Algebra algebraické výrazy matematizaci situací (tj. zvláště u slovních úloh). Prázdná políčka (různých tvarů), otazníky a podobné symboly jako krabičky pro množství jsou v tomto případě didakticky méně zavádějící. Na nebezpečí metafory jablíčka a hrušky 27 upozorňuje hned několik studií (např. McNeil et al., 2010; Tirosh, Even, Robinson, 1998). V oblasti algebry badatelé a didaktici především varují před takovými přístupy, kvůli nimž budou žáci vnímat práci s výrazy jako mechanickou manipulaci, která má význam sama pro sebe. Taková situace znemožňuje žákům chápat matematiku jako smysluplnou činnost (tj. omezuje tendenci k produktivní činnosti). V této souvislosti je zajímavý výzkum (Demby, 1997), v němž autorka sledovala, jak 13letí až 15letí žáci chápou proces úpravy výrazů. Mimo jiné zjistila, že žáci nevidí oba výrazy po úpravě jako ekvivalentní. Když se jich zeptala, zda dostanou stejnou hodnotu výrazu, pokud do obou výrazů dosadí stejné číslo, řada z nich odpověděla, že neví, nebo že o tom nikdy nepřemýšleli. Někteří dokonce řekli, že ne, protože oba výrazy se liší. Ve většině případů se představa žáků a jejich individuální strategie k řešení nachází někde mezi syntaktickou (manipulace se symboly) a sémantickou (operace, kde proměnné a operace mají svůj význam, např. aritmetický). Autorka došla k závěru, že strategie a chápání úkonu úpravy výrazů nejsou přímo závislé na didaktických prostředcích: například pouze jeden žák zmínil při řešení geometrický model (dřívko jako velikost x, čtvercová destička jako x 2 ), který je běžně užíván v učebnicích v dané zemi. Podle výzkumných studií představuje konceptuální složka důležitý komplement procedurálních dovedností. Odvození a zobecnění z operací na konkrétních aritmetických případech, stejně jako dosazení hodnot do výrazů pro kontrolu, v podstatě žákovi pomáhají nejen s tím, jak úlohu vyřešit (tedy jak má upravit výraz), ale také proč to právě tak má být. Přičemž na druhou stranu připomínají primární význam proměnné jako symbolu pro množinu konkrétních číselných hodnot. Tento přístup by však neměl být jediný. Např. E. Gray a D. Tall (1994) ukazují, že žákova cesta od aritmetiky k algebře není vždy přímočará a některé aritmetické analogie mohou být zavádějící (například žák, který je zvyklý vnímat jako proces sčítání spíše než jako výsledek tohoto procesu, bude mít těžkosti s interpretací výrazu 2a +3b). R. Banerjee a K. Subramaniam (2012) vytvořili a ověřovali 28 přístup k výuce algebry pomocí analogie s aritmetikou, přičemž důraz byl kladen na struk- 27 V anglických textech je tento fenomén označován jako přístup fruit salad. 28 Nejedná se o výzkum typu experimentální versus kontrolní skupina, ale o výzkum typu design experiment (Cobb et al., 2003). V průběhu dvou let proběhlo pět výukových experimentů, z nichž každý trval devadesátiminutových jednotek. V rámci těchto 95

96 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů turu číselných výrazů a explicitní vtažení žáků do diskusí o této struktuře, o možných úpravách výrazů a omezeních těchto úprav (např. pro úpravu číselných výrazů stačí použít znalost přednosti operací, to u algebraických výrazů nestačí). Pochopení úprav číselných výrazů mělo dát základ pro pochopení úprav algebraických výrazů. Podstatnou složkou výuky bylo dále zobecňování a číselné řady. Opět se ukázala nutnost vzájemně provázaného rozvoje konceptuální (porozumění struktuře výrazů) i procedurální složky poznatků (úpravy výrazů). Výukový přístup zahrnoval úlohy, které vedly např. ke schopnosti rozlišit strukturu výrazu, což umožnilo žákům tento výraz vhodně upravit, k diskusím o tom, zda jsou dva výrazy ekvivalentní, což žáky zase vedlo k nutnosti flexibilních úprav apod. Autoři konstatují, že na konci výuky dokázali žáci využít své chápání struktury výrazu k flexibilní práci s aritmetickými výrazy a ke zvažování rovnosti výrazů, chápali, že ekvivalentní úpravy vedou k sobě rovným výrazům, věděli, jaké podmínky jsou nutné pro zachování rovnosti výrazů, při řešení úloh využívali jak porozumění procedurám, tak porozumění struktuře výrazů, a konečně používali podobné úvahy v aritmetických i algebraických výrazech. Žáci nevykazovali obtíže v oblasti algebraických výrazů známé z odborné literatury (v článku citované). I výsledky metaanalýzy (Geary et al., 2008) potvrzují, že konceptuální porozumění i procedurální dovednost jdou ruku v ruce. Jako nejefektivnější se tedy jeví, alespoň v první části učebního procesu, vhodně vybrané příklady úloh, které mají žákům nejen poskytnout příležitost k vysvětlení a použití pravidla, ale které také obsahují konceptuální pojmy. Dlouhodobost procedurální i konceptuální zběhlosti je ovšem jasně závislá na tom, jak často a kdy se jedinec setkal s algebrou Slovní úlohy Z výroků učitelů je zřejmé, že až na malé výjimky za slovní úlohy považují úlohy s kontextem. Proto i v tomto oddíle budeme slovními úlohami myspěti experimentů se postupně vyvíjel zmiňovaný přístup k výuce algebry, přičemž po každém experimentu se porozumění žáků ověřovalo testem a rozhovory. Výsledky tohoto testování ovlivnily obsah a způsob výuky v dalším výukovém experimentu. Posledních tří výukových experimentů se ve dvou skupinách účastnili žáci 6. ročníku dvou sousedních škol(16plus17žáků). 29 Tato na první pohled přirozená závislost byla potvrzena i empiricky. Výzkum (Bahrick, Hall, 1991) ukázal na vzorku lidí ve věku let, že úspěch v testu z učiva středoškolské algebry byl dán jak časem od absolvování posledního algebraického předmětu, tak počtem celkové dotace relevantních hodin (absolvovaných semestrů). 96

97 3.4 Slovní úlohy let (pseudo-)reálné úlohy, ne všechny úlohy zadané slovy (např. úlohy typu myslím si číslo, zvětším ho o... ). Devatenáct učitelů se domnívá, že slovní úlohy představují kritické místo. Často zmiňovali konkrétní typy slovních úloh, které se na základní škole probírají, tedy slovní úlohy na směsi, úlohy na společnou práci a úlohy o pohybu. a) Problémy a jejich příčiny Za kritické považují učitelé nedostatky v konceptuálním porozumění, tedy nepochopení textu ve smyslu utvoření si představy o situaci a podstatě problému, který text popisuje. Dále byly nejčastěji zmiňovány problémy s matematizací, tj. převodem textu do matematického jazyka, a neschopnost udělat zápis slovní úlohy. Překvapivě jen pět učitelů zmínilo neschopnost interpretovat výsledek v kontextu úlohy či reálného života. Učitelé se zpravidla vyjádřili i k příčinám obtížnosti slovních úloh. Ty můžeme rozdělit na příčiny související se samotnou látkou, příčiny, které souvisejí se žáky samotnými (včetně vnějších vlivů rodiny a společnosti na jejich přístup k řešení slovních úloh), a konečně na příčiny didaktické povahy. Jednou z příčin je podle učitelů charakter samotných úloh, zmínili například, že úlohy na společnou práci jsou nudné a náročné. Problémem je také pseudo-reálnost zadání. Ten předpoklad, že jdeme stejnou rychlostí, pracujeme stále stejně, je ze života nepřirozený a někdy to děti strašně těžko přijímají, tuhle formulaci úloh. [...] Ale to když jdu 100 kilometrů stále stejným krokem, stále stejným tempem, to asi nepřijmou tolik. (U56) Podle jiných učitelů jsou náročné takové slovní úlohy, které se nedají zařadit do určitého typu. Pokud je žák může zařadit, použije standardní postup, s čímž už nemá problém. Když už se dělají potom úlohy o společné práci a o pohybu, tak už to je dril a už podle toho jedou, kdežto tady to jsou obecné úlohy typu: Zvětši číslo o..., Ten je starší,...; což činí problém, protože si to nedokáží představit. (U36) Ale ty úlohy jsou tak různorodý, že univerzální postup jim člověk může těžko říct, každá ta úloha je trošičku třeba jiná, tam to chce fakt nápad vymyslet, jak se odpíchnout. (U40) Další velkou skupinou příčin tvoří charakteristiky žáka. V různých obměnách učitelé zdůrazňovali, že žáci nejsou schopni a často ani ochotni přečíst si pečlivě a opakovaně text, a to až do konce. Přičítají to mimo jiné tomu, že dnešní děti málo čtou a nemají vůli dokončit náročný úkol. 97

98 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů Vždy první věc, což je nejdůležitější a děti to moc neberou, je takové seznámení se s textem. Děti toto neřeší. Něco si přečíst, dokonce víckrát a snažit se pochopit o co se jedná, to prostě děti neřeší. [...] oni to vůbec nepřečtou nebo to jen přelítnou a už začnou něco dělat. (U35) Třeba ten text oni nejsou schopni si přečíst rychle anebo dvakrát a každé to slovíčko. Ono tam může být jedno slovíčko a ono vás to hodí úplně někam jinam a řešíte ten příklad jinak, než se to vlastně vůbec chce. A to si myslím také, že je hodně kámen úrazu. (U45) Dva učitelé se domnívají, že pro slovní úlohy je nutné mít určité vrozené nadání, stejně tak je však nutná i píle. Je pochopitelně důležité, kdo se s tím narodil, jestli mu je dáno, nebo ne. Tam ta logika. Tam člověk vždycky říká, že chápu, že někdo bude slovní úlohy řešit těžko nebo vůbec, navíc když dojde na nějaké úlohy o pohybu, společná práce to už jsou z toho úplně hotoví. (U35) Ale na druhou stranu vidím na svědomitých žácích, nejsou to žádní Einsteini, nic takového, ale díky svědomitosti a píli teď to řeknu šeredně se na tu dvojku matematiku naučí a zvládnou ji. (U39) Roli ve schopnosti řešit slovní úlohy hraje i rodina a širší společnost. Žáci na jedné straně nemají podle učitelů díky dnešnímu životnímu stylu dostatek životních zkušeností, jež jsou nezbytné pro vytvoření si představy o kontextu problému, který mají řešit, na druhé straně řešení slovních úloh předem vzdávají, protože jsou ovlivněni postojem rodiny a společnosti (viz podrobněji kap. 5 a 7). Chybí taková ta realita, aby měli představu, kolik ta tuna vlastně je. Kdyby jim to vyšlo, tak si musí říct, že to je asi hloupost. [...] Jak jsou dnes ty děti chráněni dospělými, rodiči, od takového běžného všedního života, jak většinu času tráví bohužel doma, někde možná sedí a koukají na něco, tak chybí spojení se životem. Málokterý kluk jde dneska s tátou pomáhat. (U38) Já jsem přesvědčená, že to je i daný vztahem společnosti k matematice, ještě navíc k těm slovním úlohám... jako když matematika je hrůzná, ale slovní úlohy to je prostě šílená hrůza. A ty děti si to přináší. (U48) Hodně dětí říká: mně nejde matematika, mně nejdou slovní úlohy. Ale spousta jich to vzdává předem, aniž by si úlohy přečetly, protože se toho bojí. I maminka řekne: jo, slovní úlohy, na to jsem nikdy nebyla. Kolem slovních úloh panuje strach. (U47) Další skupina příčin žákovských obtíží by se dala zařadit na pomezí charakteristik žáka a jeho přístupu k učení a didaktických příčin. Např. 98

99 3.4 Slovní úlohy podle některých učitelů se řada žáků snaží naučit řešení slovních úloh mechanicky či nejsou schopni použít jiné než vzorové řešení. To může být způsobeno i didaktickými přístupy učitele, který klade důraz na procedurální stránku vyučování, vede žáky k procedurám a zanedbává konceptuální porozumění. Může to být způsobeno i tím, že učitelé nedají možnost žákům vytvořit si představu o situaci a přemýšlet o vhodném způsobu řešení, ale provedou rozbor za ně. 30 Žáci pak mají tendenci se tak u slovních úloh chovat vždy. Tady je problém v tom, že i ty lepší děti těm úlohám nerozumí, nechápou, co tam znamená to a to, ale schematicky se to naučí. Oni dosadí [...] a kolikrát to i vyřeší, ale když se člověk zeptá na jednotlivé části, co je to x, cojetox/10 že to je za jednotku času, tak už to je trochu mimo. Vědí, že tam je něco plus něco a potom to nějak sestaví do rovnice. (U35) Uvědomit si, co je tam jinak, protože většinou to jakoby šablonujou na tu základní úlohu, kterou uměj dobře, když [objekty] jedou proti sobě, nebo za sebou, ale když je tam něco řečeno jinak, najednou musej fakt hodně přemýšlet. [...] To myslím jako vzorovej příklad, kterej uměj dobře, řekl bych někdy až mechanicky. (U44) Já myslím, že je tam velká překážka při zpracování toho textu. Oni nedokážou vytáhnout z toho to podstatný. Oni vždycky čekají, až jim to někdo předžvejká a přetlumočí, a pak až jsou ochotní se tím zabývat. Nebo si na to možná zvykli, že dřív nebo později jim z toho to podstatné já nebo někdo jinej vytáhne. (U57) Je zajímavé, že slovní úlohy příliš nepřispěly ke špatnému výsledku našich žáků v šetření TIMSS Z 36 úloh, které autoři klasifikovali jako slovní (Rendl, Vondrová, v tisku), bylo slabých nebo velmi slabých jen 6 a průměrná úspěšnost našich žáků byla 50,5 % (o 13,9 % více než mezinárodní průměr). Celkem 23 z 36 slovních úloh bylo zařazeno v kognitivní doméně Používání znalostí. Jejich průměrná úspěšnost byla u našich žáků o 13 % vyšší než u mezinárodního souboru. Oproti tomu ve zbylých ne-slovních úlohách této kognitivní domény byla průměrná úspěšnost našich žáků oproti mezinárodnímu souboru vyšší jen o 7 %. Tedy v oblasti slovních úloh nedosahovali naši žáci vzhledem k mezinárodnímu průměru nijak špatné výsledky (což samozřejmě neznamená, že v jejich řešení neměli žádné problémy). 30 Příklady takového přístupu k řešení slovní úlohy jsou např. v článcích (Novotná, Hošpesová, 2007; Vondrová, 2012). 99

100 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů b) Didaktické postupy a techniky Motivace Dva učitelé navrhují v první řadě demystifikovat slovní úlohy, motivovat žáky a odstranit jejich strach před slovními úlohami, a to zejména zdůrazněním spojení s reálným životem. 31 Je to práce učitele, aby [žáci] neviděli ve slovní úloze nějakého strašáka, který spadl z vesmíru a působí jim pětky, ale aby viděli, že to je jakýsi text, nějaká reálná situace, kterou je díky matematice jako nástroji potřeba řešit, přetavit si to a potom zase lidsky odpovědět. (U39) To, co se snažím nedělat, je říci: Tak, a teď budeme dělat celou hodinu slovní úlohy. Jako bych odtrhnul úroveň počítání a teď už ji máme zvládnutou, tak můžeme řešit slovní úlohy. Dělám to občas naopak. Začínám úlohami, situacemi z běžného života a z toho potom odvozujeme nějaké výpočty. U slovních úloh se to dá zvládnout, já třeba vždycky z výletu přivezu spoustu materiálů pro slovní úlohy, třeba na Ještědu převýšení po rekonstrukci, má to nějakou vazbu na to, že jsme tam byli. (U50) Další navrhované postupy lze rozdělit do dvou skupin podle toho, na co se při nich učitelé primárně soustřeďují. Konceptuální porozumění Do první skupiny patří postupy, v nichž učitelé vedou žáky k důkladnému pochopení textu a toho, co úloha žádá, a k představě toho, co asi má vyjít. Přitom pomáhá i rozvoj čtenářské gramotnosti v českém jazyce (byl zmiňován např. projekt Čteme rádi), snaha představit si celou situaci, číst si text opakovaně, poslouchat čtení textu učitelkou, dělat společný zápis úlohy, odpovídat na kontrolní a návodné otázky učitele a v neposlední řadě nechat žáky nejdříve počítat úlohu podle sebe. Vždycky jim říkám: zavřete si oči a v duchu si představte, co po vás ta úloha chce. [...]Tojsoutykupecképočty,tenlogickýúsudek.Vždyckyříkám: Zkuste odhadnout, kolik by to mělo vyjít. (U38) Dělám to krok po kroku a dělám to hodně frontálně, protože když někomu něco doseblikne, tak to je zajímavý, tak to doseblikne i druhýmu třeba. Takže hodně to dělám frontálně a hodně se ptám a hodně na to navádím. A když nevěděj, tak to teda řeknu sám, ale jsem rád, když na to přicházej. (U44) 31 Je zajímavé, že učitelé 1. stupně se o problematice reálnosti slovních úloh prakticky nezmiňovali (viz také oddíl 2.5). Je však možné, že se to rozumí samo sebou, že poměrně jednoduché slovní úlohy z 1. stupně učitelé formulují ze života. 100

101 3.4 Slovní úlohy Já vždycky říkám, děcka, jednou si to přečteme spolu, pak si to ještě přečte každý sám nejméně jednou. Vždycky se jim snažím vnutit, aby tu úlohu četli hodně krát, aby ji četli tak dlouho, než ji pochopí. Aby věděli, o co tam jde. (U53) Ale hlavně mně dá nejvíc práce, aby vydrželi [s důrazem] do konce, aby vydrželi, aby si počkali, co na nich vlastně člověk vůbec chce, co znají. Takže [...] já jim čtu ty úlohy, protože oni jakmile to mají na papíře, tak někdo je rychlejší a tamty už po něm koukaj a nesoustředí se, takže já jim to přečtu, protože tím musí poslouchat všichni. [...] pokladník vyplatil 1350 Kč dvacetikorunama, padesátikorunama kolik bylo kterých, když jich bylo dohromady padesát? O co tam šlo? A oni řeknou: O padesát bankovek. Říkám: Ne! O co tam šlo? Musí dospět k tomu, že to jsou dvacetikoruny a padesátikoruny a že mě zajímá, kolik je těch dvacetikorun a kolik těch padesátikorun. A zase, když mám dvacetikorunu, tak mám pořád jenom dvacet korun, když mám dvě dvacetikoruny, tak zase já je nutím dvakrát [důrazně] dvacet, protože když jich mám iks, tak iks krát dvacet nebo 20 aby se jim to tam nepletlo, že teda čtyřicet. (U46) Takže já to vykládám, ale formou vhodných otázek, abych je dovedla k tomu postupu. A pak to dáme společně dohromady. (U47) Procedurální zběhlost: Vzorové a typové úlohy Druhá skupina postupů, které učitelé využívají, do značné míry klade důraz na vzorové úlohy a rozdělení slovních úloh do základních typů. To žákům podle nich umožní, aby po vyřešení několika úloh stejného typu byli schopni podle nich řešit další úlohy. (To však neznamená, že by učitelé vyžadovali jen ten způsob řešení, který žákům předkládají.) Někteří učitelé zmiňují i v souvislosti se slovními úlohami dril či nutnost procvičování. V jednom případě se objevuje i kladný vliv skupinové práce. Ty vzorové úlohy spočívají v tom, že jim říkám, že máme několik takových možností, které se v úlohách opakují. Např. pohyb ze dvou míst proti sobě, dále z jednoho místa jedou stejným směrem a nějak se dohánějí, tím si myslím, že to jsou vzorové úlohy. Říkám jim, že je potom jedno, jestli tam jede kolo, traktor nebo vojenská jednotka, ale ta podstata tam je vždycky stejná. Takové úlohy vždycky spočítáme a podle toho se snažíme vždycky řešit další. (U35) Trochu je problém u složitějších [úloh], protože si musí uvědomit druhy úloh. Když už se dělají potom úlohy o společné práci a o pohybu, tak už to je dril a už podle toho jedou. (U36) Dávám jim takový šablony a ty jednotlivý metody jim řeknu, [...] ale potom, když to řeší sami, tak je mi to vlastně úplně jedno, jak to kdo řeší, a je vidět, že každý je individualita a řeší to prostě úplně jinak. (U44) 101

102 3 Kritická místa matematiky na 2. stupni základní školy v diskurzu učitelů Když si vysvětlíme základní princip těch úloh a jakým způsobem je použít a jak by měla vypadat ta struktura úlohy, tak pak se rozdělíme do skupin a každá ta skupinka řeší buď svoji dávku úloh, nebo řeší všichni tu samou. Ale tím, že si pomáhají, tak oni si zvolí jednoho zapisovače, jednoho takového, ten mozek, který řeší, nebo dva ty mozky, kteří řeší, a pomáhají si navzájem. A daleko bych řekla snadněji a rychleji na některé úlohy přijdou. (U30) Jeden učitel zřejmě používá učebnici, která neřadí úlohy do typů, ale promíchává je. To mu nevyhovuje, zdá se mu to složité, a proto si vytváří vlastní sady typových úloh. Jsou tu zbytečně složité příklady. [...] Zdá se mi, že je tu skákání z jednoho do druhého. Hned pohybovka, na práci,... Mám jich tam např. deset k jednomu [tématu]. (U37) Do této skupiny didaktických postupů patří i takové, které kladou důraz na vedení žáků k určitému schématu řešení úlohy tedy využívání všech kroků řešení slovní úlohy včetně zápisu. Podle učitelů to je důležité u složitějších slovních úloh. (Za určitou procedurální zdatnost lze v tomto smyslu považovat i používání tabulek, viz další odstavec.) Tak dotlačit je k těm jednoduchejm [úlohám], kde vědí, co se tam vlastně děje: Tak si to zapiš. Pak když ti dám těch rohlíků 120 a ne jednu čokoládu, ale různých komodit, tak si to musíš umět zapsat. Takže na těch jednoduchých příkladech je na to navést. (U48) Konceptuální porozumění: Grafické znázornění situace Řešení slovních úloh podle typů učitelé často doprovázejí grafickým znázorněním situace, např. u úloh na směsi či úloh o pohybu. Pokud si žáci mají obrázek udělat sami, nutí je to důkladně se seznámit s textem. Prostě náčrtky: Malujte si to. Malujte si to velký, nemaluj to jenom, že máš mít náčrtek, ale fakt, ať vidíš, co v tom děláš. S tím mají velký problém, o tom přemýšlet sám nad tím přemýšlím, nedělám to jenom proto, abych splnil povinnost. [...] Ale i bonbóny, jestli sypu červený, modrý, jedny jsou za 10 Kč, druhý za 15 Kč, tak si to můžu nějak namalovat, můžu si to nějak znázornit graficky to jim pomáhá, když se to povede. (U48) Učitelé preferují tabulky jako názorný způsob řešení složitějších slovních úloh. Kromě toho tabulky a nákresy podle nich do jisté míry umožňují řešení úloh mechanizovat (když se žáci naučí pravidla pro konstrukci tabulek). 102 Dělám to jedině přes tabulky, jinak jim to ani neukazuju. Plnění bazénu to dělám taky přes tabulku, ne jak je to tady, to se mně vůbec nelíbí. Všechno tabulkami. Potom směsi také přes tabulku, a malují i drobné obrázky, mícháš

103 3.4 Slovní úlohy toto [jednu směs] a toto [druhou směs] a potom máš to, co ti vznikne. Myslím, že [postup] je jednoduchý a přehledný. (U37) No když třeba máte, že vyjede jeden z místa A adruhýzmístab, takžemáte jedno auto, druhý auto, jedou proti sobě, tak kde se potkají. [Obr. 3.4 vlevo.][dále vysvětluje postup zapisování tabulky: Obr. 3.4 vpravo.] Takže něco mají zadáno, třeba toto auto jede 40 km/h, tohle by jelo třeba 80 km/h a teď mají spočítat, [...]na kterém kilometru se setkají. Takže kdy se setkají jsou-li oba dva stejně na trati, tak je to x. (U45) Obr. 3.4: Schéma slovní úlohy o pohybu (U45) Naopak mezi návrhy, jak vést žáky k řešení slovních úloh s pochopením, se neobjevila metoda dramatizace situace (Hejný, Kuřina, 2009) ani některé techniky, které podporují čtení textu s porozuměním. Např. v zadání slovní úlohy se vynechají některé údaje, slovní úloha obsahuje více údajů, než je nezbytné, slovní úloha obsahuje antisignál 32 apod Související výzkum Dotazovaní učitelé kladou důraz na řešení vzorových slovních úloh a zejména na řešení typů úloh. Podíváme-li se na výzkumy v této oblasti, vidíme různorodé výsledky. Jedním z výsledků metaanalýzy výzkumů (zmíněné v úvodu) týkajících se slovních úloh (Gersten et al., 2008) je, že schopnost řešit slovní úlohy lze u žáků se speciálními vzdělávacími potřebami a žáků slabších v matematice rozvinout tzv. explicitní výukou ( explicit instruction ), která má tyto charakteristiky: učitelé poskytnou žákům prostřednictvím série příkladů jasné 32 Tedy slovo, které svou podstatou navádí na nějakou matematickou operaci a přitom správné řešení vyžaduje operaci inverzní (Hejný, Kuřina, 2009). Někteří učitelé 1. stupně podle svých slov naopak vedou žáky k vyhledávání signálních slov v úlohách (viz oddíl 2.5), aniž by si zřejmě uvědomovali nebezpečí z toho plynoucí. 103