Historie matematiky. I

Historie matematiky. I Jindřich Bečvář Hrdinský věk řecké matematiky In: Jindřich Bečvář (editor); Eduard Fuchs (editor): Historie matematiky. I. Seminář pro vyučující na středních školách, Jevíčko, 19.8.-22.8.1993, Sborník. (Czech). Brno: Jednota českých matematiků a fyziků, 1993. pp. 20--107. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400590 Terms of use: Jednota českých matematiků a fyziků Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://project.dml.cz

20 Pythagoras a hudba

21 HRDINSKÝ VĚK ftecké MATEMATIKY JINDŘICH BEČVÁŘ Nepomlouvejme fragmenty: mají strhující kouzlo krásných mramorových soch zmrzačených. Sen století doplnil scházející gesto Venušino i přerušený rytmus básníkovy myšlenky. Tak teče dál tvůrčí proud, který vytryskl z velké řecké duše za onéch dávných dnů: směšujeme s ním tvůrčí proud svůj. Romain Rolland 1. Historie Řecké dějiny jsou nám poměrně známé. Spokojíme se tedy jen stručným přehledem významných politických a kulturních událostí. Čtenář bude mít jistě možnost nahlédnout do některé populárně odborné knížky (viz literatura). 3000 nejstarší osídlení Tróje 2000 příchod indoevropských kmenů 1700 rozkvět Kréty 1500-1200 rozkvět Mykén 1240-1200 egejské stěhování, vpád Dórů do Řecka, řecká výprava proti Tróji? Homéros (Ilias, Odysseia) 11.- 8. stol. geometrický styl 8.- 6. stol. vznik městských států, velká řecká kolonizace 776 první Olympijské hry asi 700 Hésiodos (Zrození bohů - Theogoniá, Práce a dny - Erga kai hémerai) 7.- 6. stol. raná řecká tyrannis 7.-6. stol archaické umění po 624 zákony Drakontovy 594/3 Solónovy reformy 561/60-528/7 Peisistratova tyrannis Peloponnéský spolek 510 konec tyrannidy v Athénách 508/7 Kleisthenovy reformy 500-449 řecko-perské války (490 - Marathón, 480 - Thermopyly, Salamis) 525/4-456/5 Aischylos (Peršané, Oresteia atd.) 5107-420? Feidiás (sochařská výzdoba Parthenónu) 497/6-406 Sofoklés (Aniigona, Élektra, Oidipús král atd.) 4807-406 Eurípidés (Orestes, Médeia, Ifigénie, Kyklóp atd.) 5.~ 4. stol. klasický styl

22 5007-429 Periklés, rozkvět athénské demokracie 431-404 Peloponnéská válka 445-380? Aristofanés (Ptáci, Jezdci, Žáby atd.) 359-336 vláda Filippa Makedonského 336-323 vláda Alexandra Velikého 4. stol. Aitólský spolek, později achajský spolek 3.-1. stol. helénistické umění 146 př. Kr. válka mezi achajským spolkem a Římany, vyvrácení Korintu, konec samostatného Řecka 2* Hrdinský věk řecké matematiky Dějiny řecké (a římské) filozofie zahrnují dobu delší než tisíc let: od 6. stol. př. Kr. až do poloviny 6. stol. n. 1. Nejstarší období, které začíná šestým a končí čtvrtým stoletím před Kristem, je tzv. období předsókratovské filozofie. Je charakterizováno osvobozením od tradičních náboženských představ, úsilím o přírodovědný (byť naivní) výklad světa, hledáním pralátky (arché) či základních prvků-živlů (stoicheion) apod.; často hovoříme o řecké přírodní nebo řecké kosmologické filozofii. Druhé období, jehož hlavními představiteli jsou Sokrates, Platón a Aristoteles a které končí Aristotelovou smrtí (322 př. Kr.), je do značné míry charakterizováno obratem k člověku (antropologická filozofie), k jeho postavení ve světě a ve společnosti, zájmem o politické uspořádání obce, o gnoseologické problémy apod. V této době byly vytvořeny velké filozofické systémy hledající odpovědi na všechny typy filozofických otázek, vznikly jednotlivé filozofické discipliny jako je logika, metafyzika, etika, estetika, pedagogika apod. Ve třetím, tzv. poaristotelském období, které sahá až k úplnému rozpadu antického světa (r. 529 dal císař Justinián uzavřít Akademii), zcela ustupuje zájem o přírodovědné bádání. Pozornost je věnována zejména etice a hledání smyslu lidské existence. Někdy hovoříme o helénistické filozofii. Podobným způsobem je členěna i antická věda. V knížce [21] B. Farringtona (1891-?) jsou dějiny řecké vědy děleny (zhruba ve shodě s obecně uznávanými názory) na tři období. První začíná zrozením řecké filozofie a končí smrtí Aristotela, druhé období je vymezeno založením Alexandrie (332 př. Kr.) a dobytím Východu Římany na začátku křesťanské éry, třetí končí zánikem antického světa. Za nejdůležitější dobu je považováno 6.~ 4. století, kdy se poprvé utvářel vědecký pohled na svět a vznikal jeho přírodovědecký výklad. Toto období nazval W. A. Heidel (1868-1941) hrdinským věkem (viz [26]). Druhým nejvýznamnějším obdobím je interval zhruba 320-120 př. Kr., kdy se konstituovaly jednotlivé vědní obory a věda začala být uspořádaným souborem poznatků. Tato doba je charakterizována vznikem rozsáhlých vědeckých spisů; někdy se hovoří o věku učebnic. Hrdinským věkem řecké matematiky budeme rozumět (podle Heidel a) období 6.- 4. stol. př. Kr. Jeho začátek odpovídá vzniku prvních řeckých filozofických škol, které významným způsobem přispěly k rozvoji matematiky, konec

23 je zhruba vymezen vystoupením Platóna, Aristotela a sepsáním Eukleidových Základů. V těchto třech stoletích je objevena řada velmi významných matematických poznatků, přístupů a metod; tyto výsledky jsou postupně tříděny, přepracovávány a dotvářeny; v dalším období jsou pak zpracovány do ucelených teorií a sepsány v obsáhlých dílech (práce Eukleida, Archiméda, Apollónia a dalších). 3. Prameny Ze 6.- 5. stol. př. Kr. nemáme z řecké filozofie a vědy téměř žádné původní prameny. Jedinou výjimkou je lékařství; ze začátku 5. století se dochovala sbírka spisů hippokratovské školy. Z del filozofů a matematiků té doby máme jen zlomky, které zapsali po kratší či delší době jejich následovníci. Částečně či úplně se nám zachovaly až spisy Platóna (427-347), Aristotela (384-322), Eukleida (3657-300?) a pozdějších myslitelů. Řada velmi zajímavých pasáží, které se týkají matematiky, je v Platónových dialozích. Rovněž u Aristotela nacházíme mnoho informací o vývoji řeckého myšlení v předchozích staletích. I tyto odstavce podstatným způsobem přispívají k utváření našeho pohledu na řeckou matematiku 6.- 5. století. Eukleidovy Základy (řecky Stoicheia, latinsky Elementa), které jsou nejstarším zcela zachovalým dílem řecké matematiky, jsou do značné míry kompilací děl předchozích matematiků. Jsou nejen vynikajícím matematickým dílem, ale i východiskem k úvahám o matematických znalostech, které byly získány v dlouhém období před Eukleidem. V českém překladu Františka Servíta (1848-1923) byly Eukleidovy Základy vydány roku 1907. Ve druhé polovině 4. stol. př. Kr., ještě před Eukleidem, napsal Aristotelův žák Eudémos z Rhodu Dějiny matematiky. Dějiny geometrie a Dějiny astronomie. Tato díla byla bohužel ztracena. Radu informací o životě a díle starých řeckých myslitelů podává i slavný římský řečník a státník Marcus Tullius Cicero (106-43) ve svých filozofických spisech, např. v Tuskulských hovorech (lat. Tusculanae disputaiiones) z let 45-44 (viz [11]). Dalším pramenem pro studium řeckého myšlení je spis O životě, názorech a výrocích mužů, kteří vynikli ve filozofii [17], který sepsal Diogenés Laertios (3. stol. n. 1.). Diogenés nebyl původním myslitelem. Podařilo se mu však shromáždit určitý objem antického kulturního dědictví a uchovat je dalším generacím. Jeho spis je povrchní a nekritická kompilace, která byla vytvořena na základě řady starších pramenů. Autor je pečlivě cituje - uvádí přes tisíc odkazů na více než 250 autorů; z velké části to však bohužel nejsou primární informace. V předmluvě píše o původu a rozdělení řecké filozofie a sledu filozofických škol, v deseti knihách jsou pak zařazeny vlastní životopisy slavných myslitelů (od Thaleta až po Epikura). Velká pozornost je věnována biografiím, často však nevýznamným podrobnostem.

24 Diogenés měl snad v úmyslu sepsat jakési dějiny řecké filozofie. Hlubší souvislosti jednotlivých filozofických názorů a proudů však nebyl schopen pochopit a postihnout. Přesto si v pozdějších dobách jeho dílo získalo značnou oblibu. Patrně proto, že populárním a nenáročným způsobem seznamovalo čtenáře s řeckou filozofií a že řadu informací ze života slavných myslitelů podávalo formou epigramů či anekdot. Vzhledem k nedostatku kvalitnějších pramenů je přes všechny nedostatky Diogenův spis cenným pramenem pro studium počátků řeckého filozofického, vědeckého a tedy i matematického myšlení. Další významnější zdroje jen stručně vyjmenujeme: Hérón Alexandrijský (1. stol. př. Kr.?) popisuje vývoj některých geometrických pojmů. Geminos (2. poh 1. stol. př. Kr.), autor spisu Šest knih o matematických teoriích, přináší rovněž nějaké informace o vývoji řecké matematiky. P. M. Vitruvius (2. pol. 1. stol. př. Kr.), římský stavitel a architekt, uvádí ve svém díle Deset knih o architektuře (latinsky De archiiectura libri decem), které máme k dispozici v českém překladu, i určitý soubor teoretických poznatků a mj. i zajímavé informace o antické matematice. Pappos Alexandrijský (konec 3. stol. n. 1.?) zachoval ve svém díle Mathématikai synagogai mnoho údajů historického charakteru. lamblichos (? -330?) je autorem několika pojednání o pythagorejcích, některá se však nezachovala. Serénos z Antinoie (4. stol.) sepsal řadu komentářů ke klasikům, podobně Eutokios (kolem r. 500) a Simplikios (6. stol.). Matematik a filozof Proklos (410-485), reprezentant novoplatónské filozofie, napsal komentáře k Platónovým dialogům a komentáře k první knize Eukleidových Základů. Použil řadu zdrojů, zejména Eudémův náčrt vývoje řecké matematiky v nejstarším období a Geminovy práce s historickými údaji a doplnil své komentáře pojednáním o významu díla Eukleidova. Uvážíme-li, že se nám fragmenty z děl řeckých myslitelů (ale i jejich pozdější spisy) zachovaly jen díky mnohonásobným přepisům, je třeba pečlivě zvažovat míru jejich věrohodnosti. Rukopisy, které máme k dispozici, pocházejí většinou až z prvního tisíciletí našeho letopočtu. Byly však podrobně zkoumány, kriticky hodnoceny a rekonstruovány; díky velikému úsilí celé generace historiků matematiky máme dnes poměrně věrohodné verze dochovaných klasických děl řecké matematiky. O řeckých filozofech a myslitelích, kteří žili před Sokratem, říká britský badatel R. M. Hare toto: Zda je nazveme filosofy, či nikoli, není důležité; toto slovo má širší a užší význam. Z jejich prací přetrvává nanejvýše několik zlomků a skoro všechny naše informace o nich pocházejí z mnohem pozdějších pramenil. Tak se předsokratikové, jak jsou tito filosofové souhrnně nazýváni, stali vhodným bojištěm pro badatele. Z těchto sporů ale vzešlo pouze minimálně poznatků, na které se můžeme s důvěrou spolehnout, že jsou pravdivé. ([23], str. 23)

25 4. Původ řecké matematiky Je nepochybné, že klasická řecká matematika (a věda vůbec) vyšla z poznatků, které byly získány v předcházejících staletích zejména v Egyptě a MezopotámiL Názory na to, jaké množství poznatků Řekové převzali a co sami vytvořili, se dosti rozcházejí; oscilují mezi dvěma krajními názory: Řekové vše podstatné sami vytvořili - Řekové vše převzali. Řecký historik Hérodotos (4847-430?), otec dějepisu", píše ve svých Dějinách o egyptském králi Sesóstrisovi: Tento král prý rozdělit půdu mezi všechny Egypťany a každému přidělil stejně velký čtverhranný díl; podle toho pak určil daně a nařídil, aby byly odváděny ročně. Jestliže řeka někomu kus pozemku urvala, přišel ke králi a oznámil, co se stalo. Král poslal své lidi, aby věc zhlédli a vyměřili, o kolik se pozemek zmenšil, aby pak jeho majitel platil nařízenou daň úměrně podle zbylé výměry. Myslím, že tak vzniklo zeměměřičství a dostalo se do Řecka. Nástroj pro určování ročních období, sluneční hodiny a rozdělení dne na dvanáct dílů poznali Rekové od Babyloňanů. ([29], kniha II, odst. 109, str. 134) I podle Prokla vznikla geometrie v Egyptě z ustavičné potřeby přeměřovat půdu po každoročních záplavách způsobených rozvodněným Nilem. Do Řecka prý přinesl geometrické znalosti Thalés, který jako první pokročil v abstrakci. Rozhodný krok však učinil Pythagoras, který začal vědu budovat na základních principech". Další informace obdobného charakteru nacházíme u Aristotela, Platóna a dalších filozofů. Často se tvrdí, že egyptská a babylónská matematika měla zcela praktický a konkrétní ráz a že teprve Řekové začali matematická tvrzení dokazovat. Odpůrci tohoto názoru se odvolávají na Démokrita, který se zmiňuje o tom, že egyptští spojovací provazů, tzv. harpedonapté, prováděli důkazy: Já jsem ze všech svých vrstevníků prošel největší část země, zkoumaje největší věci, spatřil jsem nejvíce podnebí a zemí, slyšel jsem nejvíce moudrých lidí a v skládání čar s důkazem mě ještě nikdo nepředsiihl, ani takzvaní egyptští spojovací provazů. A s nimi jsem byl v cizině pět let, navštíviv je po všech ostatních učencích. ([59], str. 74) Snad má pravdu francouzský filozof a historik vědy Arnold Reymond (1874 1958), když říká: Ve srovnání s empirickými a zlomkovitými vědomostmi, jež lidé na Východě pracně nasbírali za dlouhá staletí, je řecká věda pravým zázrakem. Zde lidská mysl po prvé pochopila, že lze stanovit omezený počet zásad a vyvodit z nich jistý počet pravd, které jsou jejich nutným následkem. ([21], díl I, str. 21) Zdá se nepochybné, že v 6.- 4. stol. př. Kr. byly nahromaděné matematické poznatky (empirické i teoretické) zpracovány a přetvořeny v exaktní vědu. Postupně byly vymezovány základní matematické pojmy (bod, přímka, rovina,..., číslo, poměr atd.); již tato skutečnost svědčí o rozvíjejícím se abstraktním

26 myšlení. Byly zformulovány axiómy, postuláty, logické principy odvozování a začala uvědomělá výstavba matematického světa ze základních prvků podle pravidel daných axiómy a postuláty. Objevila se a byla rozvinuta idea důkazu. Velkou roli zřejmě sehrál jakýsi princip minimalizace výchozích pojmů, předpokladů a postupů, který je v té době vlastní řecké filozofii; ta tehdy zahrnovala veškerou vědu. V 6.- 4. stol. př. Kr. došlo v Řecku k obrovskému rozmachu matematiky, k výraznému kvalitativnímu skoku. Je možné, že opravdové vzepětí trvalo kratší dobu a že v následujících staletích byly získané výsledky domýšleny, kompletovány, tříděny a zpracovávány do ucelených teorií. Bouřlivý vývoj matematiky byl vnímán jako výrazný úspěch lidského myšlení vůbec. Matematika měla tehdy velikou prestiž. Proto také bylo nad Platónovou Akademií napsáno: Nevstupuj, kdo neovládáš geoinetrii! Geometrie byla chápána jako kultivace myšlení, byla zahrnována do všeobecného rozhledu vzdělaného člověka, geometrické principy byly viděny a nacházeny i ve společnosti a politice. Pěknou úvahou o počátcích řeckého myšlení je studie [71] známého francouzského hellénisty J-P. Vernanta (nar. 1914); ukazuje úzký vztah zrození řecké filozofie a vzniku klasické řecké poliš a úzké sepětí politického a geometrického myšlení. Filosof, jenž nechal napsat na práh Akademie, že nikdo nemá vstupovat, kdo není geometr, dosvědčuje úzké sepětí mezi geometrickým a politickým myšlením Reků, jejich společný počátek a shodnou orientaci. V dialogu Gorgias Sokratovými ústy pranýřuje Platón Killikta a v jeho osobě všechny, kdo nechtějí studovat geometrii, svazuje úzce znalost isotés, geometrické shodnosti, základu fyzikálního světa, s dikaiosyné a sófrosyné, s politickými ctnostmi, na nichž nový řád obce spočívá: Říkají moudří mužové, Killikie, že i nebe a země, bozi i lidé mají mezi sebou společenství (koinonia), přátelství (filia), uspořádanost (homoiotés), uměřenost (sófrosyné) a spravedlnost (dikaiotés), a proto nazývají, milý druhu, tento svět kosmem, řádem, a ne neuspořádaností ani nevázaností. Ale ty, jak se mi zdá, přes všechnu svou moudrost si těchto věcí nevšímáš a nepozoruješ, že geometrická rovnost má velký význam i mezi bohy i mezi Udmi, kdežto podle tvého mínění je třeba pěstovat zásadu,míti více'; nedbáš totiž geometrie/' ([71], str. 84-85) 5. První filozofové Vlastní výklad začneme ve fascinujícím 6. stol. př. Kr., kdy se v tehdejších nejvýznamnějších civilizacích objevili filozofové a myslitelé, kteří svým učením a působením ovlivnili světové dění a myšlení na celá příští staletí a tisíciletí. V Číně to byli Lao c' (609-517) a Konfucius (551-479), v Indii Mahávíra (599-527), zakladatel džinismu, a Buddha (563-483), v židovském světě proroci Jeremiáš (kolem r. 600) a Ezechiel (kolem r. 580), v Persii možná Zarathustra (6. stol.?), v Řecku první filozofové: Thalés, Anaximandros, Anaximenés, Pythagoras, Hérakleitos a další.

Nejstarší řecká věda a filozofie se zrodila na pobřeží Malé Asie v Iónii, v tehdejších největších, nejvýznamnějších a nejbohatších obchodních centrech, přístavních městech Milétu a Efesu. Zde se intenzivně střetávala vzdělanost a ještě nepříliš diferencovaná věda a kultura egyptská, babylónská a řecká. První filozofové se vymanili z tradičního náboženství, opustili mytologický výklad vzniku světa a jeho běhu. Pokusili se podat ryze přírodovědecký výklad vesmíru a tak na místo mýtu nastoupila kosmologie. Snažili se vysvětlit mnohotvárnost světa z jediné pralátky, která však nebyla chápána jen jako mrtvá hmota, ale nesla v sobě život i pohyb, a z jediného principu. Snažili se nalézt zákonitosti v chaosu jevů, pociťovali potřebu racionálního zdůvodňování a logického uspořádání myšlenek. V některých směrech je jejich snaha ještě značně naivní, ale sympaticky sebevědomá. Protože je větší část díla těchto filozofů zaměřena na výklad přírodního dění, hovoříme o iónské přírodní filozofii. Hlavními představiteli Milétské školy byli Thalés (625?~545?), Anaximandros (6107-546) a Anaximenés (585?-528). Thalés je považován za prvního řeckého filozofa, za jednoho ze sedmi mudrců. Snad byl fénického původu; působil jako obchodník, inženýr, politický činitel, matematik a astronom. Zdá se, že navštívil Babylónii, kde se seznámil s periodicitou slunečních a měsíčních zatmění (tzv. perioda saros); úspěšně předpověděl zatmění Slunce roku 585 př. Kr. V Egyptě prý nabyl matematických znalostí; vypočítával výšku pyramid podle délky jejich stínů (patrně užil podobnosti trojúhelníků). Nechybělo mu ani praktické uvažování. Když očekával velkou úrodu oliv, zakoupil všechny lisy v Milétu a zbohatl na jejich pronajímání. Jako politik usiloval o spojení iónských osad na pobřeží Malé Asie. Thalés prý sepsal dílo nazvané O přírodě (řecky Peri fyseós). Za základní pralátku, ze které všechno vzniká a do které vše zaniká, považoval vodu. Vždyť voda má skupenství plynné, kapalné i pevné, z vlhka se rodí život, bez vody život zaniká atd. Vše ostatní vzniká z vody zřeďováním a zhušťováním. V matematice se Thaletovi přisuzují následující výsledky: průměr dělí kruh na dvě poloviny, úhly při základně rovnoramenného trojúhelníka jsou shodné, vrcholové úhly jsou shodné, všechny úhly nad průměrem jsou pravé (tzv. Thaletova věta). Vůbec však nevíme, jaký charakter tyto výsledky měly; nevíme, zda byly jen zformulovány, či dokázány a jak. Zdá se, že Thalés dobře ovládl pojem podobnosti trojúhelníků a využíval ji nejen k měření výšky pyramid, ale i ke zjišťování vzdálenosti lodí na moři (viz [85], str. 32). Užíval prý kružítko a úhloměr. Pamfila praví, ze se Thalés naučil geometrii od Egypťanů a ze první vepsal do kruhu pravoúhlý trojúhelník a obětoval vola. Druzí to říkají o Pythagorovi. ([85], str. 32) Anaximandros, žák Thaleta, byl filozof, astronom, geograf. Za pralátku, původ a princip všeho považoval jakousi neomezenou neurčitou látku - apeiron. Z ní jakýmsi procesem vydělování vznikají věci. Bedlivě pozoroval a zkoumal přeměnu, pomíjivost, vznikání a zanikání, vydělování protikladů. Svět je podle něho jediným velikým bojem o bytí. 27

28 Anaximandros prohlásil neomezené za počátek a základní prvek jsoucna.... A z čeho věci vznikají, do toho též zanikají podle nutnosti, nebot si za své bezpráví navzájem platí pokutu a trest podle určení času.... Nevykládá vznik věcí proměnou živlů, nýbrž tím, ze se věčným pohybem vylučují protivy. ([85], str. 33) Anaximandros nechal postavit ve Spartě gnómon (tyč či sloupek postavený kolmo k vodorovné ploše) k měření času a ke stanovení rovnodenností a slunovratů, nakreslil mapu tehdejšího světa, vytvořil model sféry (patrně globus s hvězdnou oblohou), znal pojem ekliptiky - odlišil ji od nebeského rovníku. Vytvořil poměrně složitou teorii vzniku a vývoje světa, zformuloval geocentrický pohled na uspořádání vesmíru (sluneční soustavy). Zemi považoval za válec, který se volně vznáší ve středu vesmíru, kde je stejnými silami ze všech stran držen (předjímání gravitačních sil?). Jeho výška měří třetinu průměru. Anaximandros se snažil určit poměr rozměrů Slunce, Měsíce a Země. Podobně jako Thalés prý sepsal dílo O přírodě a snad i dílo o elementární geometrii. Byl to prý Anaximandros, který jako první užil termínu arché pro pralátku, počátek, elementární princip. Rozešel se s poetickým stylem předchůdců, autorů theogónií, a začal psát v próze. Anaximenés, žák Anaximandra, považoval za arché jakýsi neurčitý vzduch - oživující dech. Symbolem života je pro něho dýchání, uvažuje i o dýchání celého světa. Nebeská tělesa jsou plochá a ve vzduchu se vznášejí. Ostatní látky (voda, země atd.) vznikají zhuštováním vzduchu, či jeho zředěním (oheň). Anaximenés... prohlásil vzduch za počátek jsoucna, nebot z něho vše vzniká a do něho se zase rozkládá, Jako naše duše, u praví, jsouc vzduchem nám vládne, tak dech a vzduch objímá celý svět u. ([85], str. 36) Hérakleitos z Efesu (5407-480?) se po nezdaru v politice uchýlil do azylu Artemidina chrámu. Často je nazýván zádumčivýrn, vzteklým, plačtivým, ale hlavně temným filozofem. I on napsal filozofické dílo O pfírodě. Podle Hérakleita je svět věčný, ale vše plyne (panta rhei) a je pomíjivé, nic netrvá; vše je způsobeno bojem protikladů (suché - vlhké, mužské - ženské atd.), které však nemohou existovat jeden bez druhého a nelze je od sebe odloučit. Zdá se, že to byl Hérakleitos, kdo prvně užil slovo logos (slovo, rozum, řád,...). Podle některých výroků se zdá, že nedůvěřoval příliš smyslům.... oči a uši jsou špatní svědkové... Nelze vstoupit dvakrát do téže řeky... Do týchž řek vsťupujem i iievstupujem, jsme i nejsme. Oheň je základním prvkem, vše je obměnou ohně a vše se děje zřeďováním a zhuštováním... Všechno se děje v protivě a vše teče jako řeka, vše je ohraničeno a jeden je svět. Vzniká z ohně a opět je spalován v určitých obdobích střídavě po celý věk; děje se to podle sudby. Tento svět, týž pro všechny, nestvořil žádný z bohů ani z lidí, ale vždy byl, jest a bude věčně živým ohněm, rozněcujícím, se podle míry a hasnoucím podle míry. ([85], str. 63, 57, 55. Viz též [28], str. 46, 72)

29 Poznamenejme, že podle legendy byl Efesos založen, když se naplnila věštba a při pečení ryby vznikl požár. Slavný Artemidin chrám v Efesu, jeden ze sedmi divů světa, byl roku 356 př. Kr. vypálen Hérostratem, který chtěl tímto činem učinit své jméno nesmrtelným. Město Efesos je tedy s ohněm osudově spjato. O Hérakleitovi a jeho díle viz [28] a [40]. V malém řeckém městě Elea v jižní Itálii (dnes Velia) vznikla další filozofická škola. Jejím zakladatelem byl myslitel a rapsód (tj. básník a pěvec) Xenofanés z Kolofónu (565?-470?); nejdůležitějšími představiteli tzv. eleatů byli Parmenidés (540?-450?) a Zénón (4807-430?). Parmenidés, autor básně O přírodě, navázal na Xenofanovy myšlenky o jediném nehybném a neměnném jsoucnu, souvislé látce, která je všude stejná, nevznikla, ani nezanikne. Toto jsoucno vyplňuje prostor, který je od látky neoddělitelný; proto neexistuje ani prázdno, ani pohyb, ani dění. Do příkrého protikladu staví rozumové a smyslové poznání; smysly nepřinášejí věrohodné poznání, ale jen pravděpodobné, či dokonce jen nejisté zdání (osleplé oči, zalehlé uši). K nepochybné pravdě, pravému vědění vede jen myšlení, rozum. Třeba je říkat a myslit, že jsoucí jest, nebot bytí jest, kdežto nic věru není. To na mysli míti ti káži, od této cesty zkoumání chci tebe odvrátit předem. Parmenidés... tvrdé, že vedle jsoucího není nejsoucí ničím, nutně se domnívá, že jsoucí je jedno a že není nic jiného... Pokud je však nucen řídit se jevy a pokud myslí, že je jedno podle rozumu, ale mnohé podle smyslového vnímání, potud uznává dvě příčiny a dva počátky, teplo a chladno, a zve je ohněm a zemí. Z toho pak řadí teplo k jsoucímu a druhé k nejsoucímu. ([85], str. 67, 71) Parmenidovy názory hájí proti námitkám, které vyvolaly, jeho žák Zénón. Argumentuje způsobem, který v matematice odpovídá důkazu sporem: přijímá názory Parmenidových odpůrců (prostor může být oddělen od látky, existuje pohyb,...) a odvozuje z nich absurdní tvrzení. Nejznámější z jeho tzv. apórií, slepých uliček rozumu, jsou Achilles a želva, Letící šíp, Dichotomie a Stadion. Zénón pozdvihl umění důkazu na takovou úroveň, že se tvrdilo, že Zénón vynalezl dialektiku. Uveďme svědectví Simplikia: Ve svém spise obsahujícím četné důkazy dovozuje po každé, že ten, kdo uznává mnohost, nutně mluví věci sobě odporující. Tak jeden je důkaz, kde dovozuje, že je-li jsoucen mnoho, jsou zároveň i veliká, i malá, tak veliká, že jsou nekonečně veliká, a tak malá, že nemají vůbec žádnou velikost. Při tom pak dokazuje, že nemá-li co ani velikost, ani tlouštku, ani hmotu, nemůže io vůbec býi. ([85], str. 73) Dále uveďme tyto tři zlomky z Aristotela: Čiyři jsou Zénónovy důkazy o pohybu, kieré působí obtíže těm, kdo je chtějí vyvracet. První je, že není pohybu, ježio to, co se pohybuje, musí dojíi dříve do poloviny cesty, než dojde k cíli... nelze projít nekonečným počtem míst nebo se dotknout nekonečného počtu míst v konečném čase.

30 Druhý důkaz je t.zv. Achilleus. Je to ten, ze nejpomalejší tvor nemůže být v běhu nikdy dostižen nejrychlejším, nebof pronásledující musí dříve dojít tam, odkud vyběhl prchající, takže pomalejší je nutně vždy o něco napřed. Třetí dilkaz je..., že pohybující se šíp stojí... nebof je-li vše vždy v klidu nebo v pohybíi, (a nehýbá-li se), cokoli je v stejném prostoru, a je-li konečně to, co se pohybuje, v jednom okamžiku (vždy v stejném prostoru), pak je letící šíp nepohnutý. ([85], str. 75) Nelze předpokládat, že by Zénón nevěřil v existenci pohybu. Smyslem jeho apórií bylo poukázat na to, že není obtížné nalézt v názorech protivníků rozpory, a zdůraznit, že věci jsou složitější, než se při prvním pohledu jeví. Zénón tak předložil k úvaze a diskusi problémy, které patří dodnes k vážným otázkám filozofie, matematiky i fyziky. Jde o problémy zacházení s nekonečnem", které jen stručně nastíníme pomocí protikladů konečné - nekonečné, diskrétní - spojité, nekonečně malé - nekonečně velké apocl. Těmito otázkami se však v tomto článku zabývat nebudeme. Chtěli jsme jen poukázat na rozvoj abstraktního myšlení a důkazové techniky. Empedoklés (4907-430?), odchovanec eleatů, filozof, lékař, básník, věštec, autor básnického díla O přírodě působil v Akragantu (dnešní Agrigento na Sicílii). Za základní prvky bere čtyři živly, kořeny všech věcí] jsou to země, voda, vzduch a oheň. Tyto čtyři zcela rovnoprávné prvky se věčně spojují a rozdělují. Vznik věcí je podmíněn jejich slučováním, zánik jejich rozlučováním. Dvě hybné síly, které spojování a rozlučování způsobují, jsou láska a svár; těmito silami je svět oživen. Teorii čtyř živlů převzal Platón; Aristoteles k nim později přidal éter. Pěkný esej Empedoklés z Akragantu napsal roku 1918 významný francouzský spisovatel a humanista Romain Rolland (1866-1944). Nejprve poslyš, které jsou čtyři kořeny všeho: zářivý Zeus [oheň] a Béra [vzduch], jež přináší život, a Hádés [země], konečně Nestis [voda], lidské jež prameny slzami živí. ([85], str. 85-86) Jednou kořeny Láskou se spoj^ljí v jednotný útvar, po druhé zase všechno to rozdělí nenávist Sváru... ([85], str. 89) Anaxagorás z Klazomen (5007-428), filozof, matematik a přírodovědec, současník a přítel Perikla, působil v Athénách. Byl obviněn z bezbožnosti, souzen a vypovězen z Athén. Svět si představuje zbudovaný z nekonečného množství malých částeček - semen věcí mnoha druhů (spermata chrématón, resp. homoiomereiai). Původní chaotická směs semen se v uspořádaný svět změnila působením rozumu (mís), který je nejjemnější ze všech látek; vzniklým vírem se odloučily vzduch, voda, země i oheň. Anaxagorás... říká, že je neomezený počet počátků. Nebof praví, že téměř všechny stejnorodé částky, jako voda nebo oheň, tak vznikají a zanikají jenom slučováním a rozlučováním a že jinak ani nevznikají ani nezanikají, nýbrž věčně trvají. ([85], str. 110)

Anaxagorás... pokládá za prvky stejnorodé částky, jako např. maso, kosi a každou takovou věc. Vzduch a oheň pokládá za směsi všech těchto i všech ostatních semen, neboť jeden i druhý je spojen ze všech neviditelných stejnorodých věci. Proto z nich také všechno vzniká; oheň a ether nazývá totiž Anaxagorás stejně. ([85], str. 110) A jakmile počal duch hýbat věcmi, odlučoval se ode všeho, co se hýbalo, a čím duch pohnul, vše to se rozloučilo. Když pak se věci hýbaly a rozlučovaly, působilo otáčení ještě mnohem větší rozlučování. ([85], str. 107) Řečtí atomisté Leukippos (5007-440?) a Démokritos z Abdér (4607-370) uznali bytí nejsoucna, tj. prázdný prostor, uznali pohyb, změnu, vznik i zánik. Za základní prvky jsoucna pokládali nepatrné, neviditelné a nedělitelné částečky - atomy. Atomy jsou různě veliké a různě hmotné, neměnné a nezničitelné, jsou odděleny prázdným prostorem a jsou v neustálém pohybu. Vznik a zánik věcí je spojováním a rozlučováním atomů, vše se děje dle osudu a zákona. Svět vznikl vířivým pohybem atomů, které se postupně spojily ve větší celky, tělesa a světy. O atomistech viz [59]. Říkali totiž, že počátky věcí jsou neomezené co do počtu, a pokládali je za nerozřezatelné, nedělitelné a neporušitelné, ježto jsou tuhé a nemají v sobě prázdno, neboť dělení, jak říkali, se děje tam, kde je v tělesech prázdno. A tyto atomy se pohybují v neomezeném prázdnu, jsouce od sebe odděleny a lišíce se tvary, velikostí, polohou a uspořádáním. Vzájemně se dostihují, srážejí a jedny při setkání odskakují, druhé se navzájem splétají pro souhlas tvarů, velikosti, polohy a uspořádání, u sebe trvají, a tak vznikají složené věci. ([59], str. 54) Tento odstavec o prvních filozofech starého Řecka zdaleka nepostihuje filozofickou problematiku 6.-4. století př. Kr., ani nevyčerpává učení a význam těch myslitelů, o kterých jsme se zde zmínili. Snaží se jen zdůraznit některé filozofické otázky, které byly v předsókratovské době v Řecku diskutovány. Považujeme totiž za nutné a užitečné upozornit na paralelu filozofického a matematického bádání té doby. Řecká přírodní filozofie uvažuje o budování" přírody, světa, kosmu - z jedné pralátky, příčiny, počátku (arché) nebo několika málo prvků, živlů (stoicheia) - Thalés: voda, Anaximandros: apeiron, Anaximenés: vzduch - oživující dech, Hérakleitos: oheň, Empedoklés: oheň, voda, země, vzduch, Anaxagorás: semena věcí, Leukippos a Démokritos: atomy,... - pomocí jednoho či dvou principů - Thalés, Anaximandros, Anaximenés: zředbvání a zhušťování, vydělování, Hérakleitos: vzplanutí a uhasínání či střetávání protikladů, Empedoklés: láska a svár, Anaxagorás: hybný princip - nús,... S jistou mírou nepřesnosti se dá říci, že výsledky tohoto bádání završuje Aristoteles; již před ním však nastává v řecké filozofii tématický obrat působením Sokrata (469-399). 31

32 Velmi podobný trend se projevuje v řecké matematice. Nejprve Pythagoras buduje (aritmetický) svět ze základních prvků - přirozených čísel (násobků čísla 1) pomocí principu poměrů a úměr. Tento pokus ještě není úspěšný - po objevu nesouměřitelnosti úseček je nastoupena jiná cesta. Řecká geometrie je pak vytvářena - ze základních prvků - bodů - pomocí dvou základních principů, na kterých jsou založeny eukleidovské konstrukce (neboli konstrukce pravítkem a kružítkem) a které jsou popsány v Eukleidových postulátech: - je možno sestrojit přímku, jsou-li dány její dva body, - je možno sestrojit kružnici, je-li dán její střed a jeden její bod. V řecké přírodní filozofii i v řecké matematice je cítit jakýsi duch minimalizace, snaha o nalezení pokud možno malého počtu výchozích prvků i principů. V geometrii je tato snaha jasně dokumentovatelná. Výchozí prvky, body, jsou objekty jednoho jediného druhu, výchozí principy jsou dva - sestrojení přímky a kružnice; oba tyto objekty je možno zadat minimálním možným počtem bodů - dvěma. Dalším velmi významným aspektem budování řeckého geometrického světa je jeho přísná logická výstavba z minimálního objemu výchozích předpokladů. Charakterem celé stavby je to, čemu dnes říkáme axiomatická teorie. Kolem roku 300 př. Kr, shrnuje Eukleidés výsledky práce svých předchůdců (zejména Hippokrata, Theaitéta, Eudoxa a Archyta, využívá však i Aristotela) ve slavném díle Základy. Je náhoda, že řecký název Stoicheia je užíván ve filozofii pro základní prvky - živly? Prvkem (stoicheion) se nazývá to, z čeho se něco skládá jako z první složky a jež se, co se týče druhu, nedá děliti v jiný druh. Tak prvky hlasti jest to, z čeho se hlas skládá a v co se posledně rozkládá, a to tak, že se již nedá rozkládat v jiné druhově různé hlasy. I když je tu další dělení, tedy jsou to části stejného druhu,... Podobně se mluví také o prvcích geometrických důkazů a vůbec o prvcích důkazů. První důkazy totiž, jež jsou opět obsaženy ve více důkazech, nazývají se prvky důkazů. Takového druhu jsou v sylogismech první soudy, jež se získávají ze tří pojmů s pomocí jednoho středního. Odtud se označení prvek" přenáší na to, co jsouc jedno a malé prospívá mnohému. Proto se prvkem nazývá také to, co je malé, jednodtiché a nedělitelné. Odtud pochází, že se to, co je v nejvyšší míře obecné, pokládá za prvek, poněvadž každé z nich, jsouc jedno a jednoduché, jest obsaženo v mnoha věcech, bud! ve všech nebo ve většině jich. Proto také někteří míní, že jednotka a bod jsou počátky.... v každém případě prvek znamená něco prvního, co je ve věcech obsaženo. (Aristoteles [1], str. 129-130, 1014 a, b) Budování geometrického světa v matematice bylo zřejmě úspěšnější než budování veškerého jsoucna v řecké přírodní filozofii. Snad proto se řecká matematika i po Eukleidovi dále úspěšně rozvíjí, zatímco o řecké přírodní filozofii to říci nelze. A snad i proto mela matematika ve 4. stol. př. Kr. takový respekt. Již jsme uvedli, že nad Platónovou Akademií byl prý nápis: Nevstupuj, kdo neovládáš geometrii!

33 6. Pythagorejci Řeckou matematiku podstatně ovlivnila škola pythagorejská. Jejím zakladatelem byl Pythagoras (570?-500?), politik, filozof, myslitel a matematik. Pocházel z ostrova Samos, který je nedaleko Milétu i Efesu. Později přesídlil do Krotónu v jižní Itálii, kde založil filozofickou školu, která však měla rovněž charakter náboženské školy či sekty a politické strany, Z Krotónu byli pythagorejci vyhnáni, Pythagoras snad zemřel v Metapontu. Působení pythagorejské školy mělo obrovský vliv na další vývoj filozofie a vědy, rozhodnou měrou předznamenalo rozvoj řecké matematiky. Cicero o Pythagorovi říká: Když přišel za vlády Tarquinia Pyšného do Itálie, upoutal Velké Řecko jak svým učením, tak i svou osobností, a ještě řadu století později bylo jméno pýthagorovců tak vážené, ze to vypadalo, jako by na světě nebyli žádní jiní mudrci. ([11], str. 46) Podle Cicerona byl Pythagoras vynálezcem slova filosofie; své názory na filozofování prý vysvětloval takto: Podle mého názoru je lidský život podoben jedné z těch slavností, které se konají za účasti celého Řecka a jsou spojeny s výpravnými hrami. Tam někteří hledají slávu a čestný věnec v sportovním zápolení, jiné tam přivádí zisk a výdělek při kupování a prodávání, a je také určitá skupina Udí - ta je nejušlechtilejší -, kteří se neshánějí ani po potlesku, ani po výdělku, ale přicházejí tam jako diváci a pozorně si prohlížejí, co a jak se tam děje. A stejné je to i s lidským životem. I my jsme vyšli do tohoto života z jiného života a z jiné přirozenosti, jako bychom šli z nějakého města někam na hlučný trh, a ted f někteří sloužíme slávě, jiní penězům; vzácní jsou takoví, kteří všechno ostatní nepovažují za nic a bedlivě pozorují podstatu světa. Těm říkám milovníci moudrosti, to je totiž význam slova filosofové. A jako na oné slavnosti je pro svobodného člověka nejdůstojnější jen se dívat a nehledat žádný zisk, tak v životě pozorování a poznávání přírody daleko vyniká nad všechny ostatní činnosti. ([11], str. 206-207) Pythagoras prohlásil, že základem jsoucna je číslo (arithmos). Pochopil nutnost kvantitativního popisování jevů a vztahů, uvědomil si obrovskou roli čísel. Předpokládal harmonickou stavbu světa, která je popsatelná čísly. Jsou mu přisuzovány tyto výroky: Co je nejmoudřejší? - Číslo a potom ten, kdo dal věcem jména.... Co je nejkrásnější? - Harmonie. Co je nejmocnější? - Myšlenka.... číslu se podobá všechno. ([85], str. 40-41) Aristoteles se o pythagorejském pojetí jsoucna vyjadřuje takto: A ježto viděli v číslech stavy a poměry harmonií a ježto se jim zdálo, že se i vše ostatní podobá celou svou přirozeností číslům a že čísla jsou první z celé přírody, usoudili, že prvky čísel jsou též prvky všech věcí a že celý vesmír je harmonií a číslem. ([85], str. 184)

34 Pythagorejci prosazovali studium tzv, kvadrivia, které sestávalo z geometrie, aritmetiky, astronomie a hudby. Toto pojetí kvadrivia se zachovalo až do přelomu středověku a novověku, kdy bylo studováno na prvních univerzitách (na fakultách sedmi svobodných umění) vedle tzv. trivia (gramatika, rétorika, dialektika). Podstatnou měrou k tomu přispěl A. M. T. S. Boethius (4807-525), poslední Říman a první scholastik", autor slavného díla Filozofie utěšitelka (lat. ConsotaUo philosophiae), který studium kvadrivia propagoval. Napsal spisy o čtyřech matematických" disciplínách - aritmetice, geometrii, astronomii a hudbě. Jeho latinsky psaný výklad vycházel z děl řeckých klasiků. V 7. století se však ztratilo Boethiovo pojednání o astronomii a z jeho spisu o geometrii zbyly jen zlomky. Přežila jen Institutio arithmetica a Institutio musica. Později se k těmto dílům přidávaly cizí spisy o geometrii a astronomii, aby bylo kvadrivium zachováno. Mezi jednotlivými složkami kvadrivia cítili řečtí myslitelé úzké souvislosti. Uvědomme si nejprve několik bezprostředních vztahů geometrie a aritmetiky (kam tehdy patřily i první poznatky z teorie čísel): Pythagorova věta na jedné straně a pythagorejské trojice čísel na straně druhé; pravidelné mnohoúhelníky a mnohostěny a vyplňování roviny a prostoru těmito objekty na jedné straně a figurální čísla a jejich postavení ve světě (přirozených) čísel na straně druhé; v geometrii, stejně jako v aritmetice, hrál velkou roli pojem podobnosti - dnes již chápeme podobnost jen v geometrii. Popišme krátce původní pythagorejský pohled na svět čísel a veličin. Číslo 1 nebylo chápáno jako číslo, ale jako stavební kámen aritmetiky (základní jednotka číselného množství), ale i geometrie (bod, základní jednotka obsahu plochy či objemu); přirozená čísla 2, 3, 4, 5,... byla chápána jako souhrny jednotek. Kladná racionální čísla byla představována pomocí poměrů přirozených čísel; je pravděpodobné, že byla chápána i jako násobky menších jednotek, které vznikly rozdělením původní jednotky na určitý počet stejně velkých částí. Pythagorejci se zprvu domnívali, že s tímto světem čísel a veličin vystačí; teprve později - po objevu nesouměřitelnosti úseček - se přesvědčili o opaku. Původní pythagorejský pohled na čísla odpovídá pohledu dítěte. Dítě samo vlastním uvažováním k iracionálním číslům nedojde a ani dojít nemůže; jejich existence je mu ve škole poměrně brzy dána na vědomí - většinou na jednom jediném příkladu (iracionalita s/2). Pythagoras změnil geometrickou vědu v podobu svobodné nauky tím, ze obecně zkoumal její základy a ze probíral její poučky nehmotně a pomyslně; nalezl také nauku o irracionálních číslech a složení světových tvarů, [těmito tvary jsou snad míněna tzv. platónská tělesa, tj. pravidelné mnohostěny]... Zdá se, že si Pythagoras nade všechno vážil nauky o číslech..., připodobňoval věci k číslům. ([85],str, 41-42) Hudbu chápali pythagorejci v úzkém vztahu k matematice. Vyslovili zákon o úměrnosti výšky tónu délce struny nebo výšce vzduchového sloupce. Tento zákon jistě intuitivně znali a využívali již dlouhá staletí výrobci hudebních nástrojů. Zdá se však, že teprve pythagorejci tento zákon exaktně zformulovali.

35 (O několik století později vyslovil Archimédés ze Syrakús (287?-~212) některé jednoduché zákony mechaniky, např. zákony o rovnováze. Také tyto zákony musely být intuitivně známé a využívané při praktické činnosti již dlouhá staletí. Uvědomme si, že i pro studenty matematiky na vysoké škole není jednoduché přesně formulovat definici pojmu či vyslovit matematické tvrzení, i když třeba pojem dobře znají a tvrzení v praxi úspěšně využívají.) obr. 1 Pythagorejci vyslovili i tzv. zákon harmonie. K danému tónu, který je vytvořen např. chvějící se strunou, získáme tón, který s ním ladí, když strunu seškrtíme tak, aby poměr délek vzniklého úseku a celé struny byl vyjádřen pomocí malých přirozených čísel. Oktávě odpovídá poměr 1 : 2, tj. strunu seškrtíme přesně v polovině, kvintě odpovídá poměr 2 : 3, tj. strunu seškrtíme ve dvou třetinách, kvartě odpovídá poměr 3 : 4, tj. strunu seškrtíme ve třech čtvrtinách (viz obr. 1). Uvědomme si ještě, že platí rovnost 1-3 1 2 "~ 4 * 3 ' kterou můžeme chápat jako vztah mezi oktávou, kvartou a kvintou. Hudební úměrou byla ve starém Řecku nazývána čtveřice (12, 9, 8,6). Poměry 6 : 12, 8 : 12 a 9 : 12 totiž dávají po řadě oktávu, kvintu a kvartu. Číslo 9 je navíc aritmetickým průměrem čísel 6, 12 a číslo 8 je harmonickým průměrem čísel 6 a 12 (harmonický průměr čísel a, b je dán zlomkem r ). Toto aritmetické pojetí hudby bylo doplněno i o geometrické aspekty. Čtveřice (12,9,8,6) má totiž úzký vztah ke krychli, neboť ta má 6 stěn, 8 vrcholů, 12 hran a 9 rovin souměrnosti. Historku o tom, jak pythagorejci objevili matematické zákonitosti hudebních intervalů vypráví Boethius (viz [21], díl I, str, 52-53). Upozorňujeme čtenáře na pěkný článek B. Riečana [58] o matematickém popisu tónů. V kosmologii opustili pythagorejci geocentrismus. Do středu vesmíru umístili centrální oheň; kolem něho se rovnoměrným pohybem na deseti sférách pohybují hvězdy, pět planet, Slunce, Měsíc, Země a Protizemě. Dokonalost vesmíru se projevuje jednak v jeho tvaru (je to koule), v rovnoměrnosti pohybů, v počtu sfér (desítka je symbolem dokonalosti - proto byla patrně vymyšlena Protizemě) a i v tom, že poloměry sfér (a rovněž rychlosti pohybů) jsou v poměru malých přirozených čísel, které odpovídají hudebním poměrům. Pohyb sfér způsobuje dokonale krásnou hudbu, vnímanou snad jen rozumem. K těmto představám pythagorejců se tedy vztahují známá slovní spojení harmonie kosmu a hudba sfér.

36 Ocitujme zprávu o učení pythagorejce Filoláa (5. stol. př\ Kr.): Filolaos učí, ze je uprostřed kolem středu oheň a nazývá jej krbem, vesmíru, Diovým příbytkem, matkou bohů, oltářem a svazkem i měrou přírody. A opět jiný oheň je nahoře, vše obklopující. Ale první od přírody je střed; kolem něho krouží deset božských těl: obloha, pět oběžnic, za nimi slunce, pod ním měsíc, pod ním země, pod ní proiizemě a za nimi za všemi oheň, mající v středu úlohu krbu. ([85], str. 192) Aristoteles o pythagorejcích říká:.., poněvadž se zdá, že desítka jest číslo dokonalé, zahrnujíc všechna čísla základní, jest prý podle nich také deset obíhajících těles na nebi; ale poněvadž je jich vidět pouze devět, vyplňují počet protizemí jako tělesem desátým. ([1], str. 46)... domnívají se též, že jsou rychlosti nebeských těles v souzvučném poměru podle svých vzdáleností. Proto říkají, že vzmká harmonický zvuk nebeských těles pohybujících se v kruhu. ([85], str. 187) Fascinováni světem čísel, která hrají tak důležitou úlohu ve světě, dospěli pythagorejci až k číselnému mysticismu. Jednotlivá čísla měla podle pythagorejců zvláštní význam a moc. Sudá čísla byla ženská, lichá mužská, číslo 4 představovalo spravedlnost, číslo 5 manželství apod. Číslo 10 představovalo dokonalost a veškeré jsoucno, Je totiž 1 + 2 + 3 + 4 = 10, přitom číslo 1 představuje základní jednotku, ale i bod, číslo 2 představuje základní jednotku sudých čísel, ale i to, že dva různé body určují přímku, číslo 3 představuje trojúhelník, ale i to, že tři body neležící v přímce určují rovinu, číslo 4 představuje čtyřstěn, ale i to, že čtyři body neležící v rovině reprezentují prostor. Pythagorejci vyznávali deset základních protikladů (omezené - neomezené, sudé - liché, jedno - mnohé, pravé - levé, mužské - ženské, klid - pohyb, rovné - křivé, světlo - tma, dobré - zlé, čtverec - obdélník (viz [85], str. 185, viz též [1], str. 46-47)). Protiklady však zároveň vytvářely harmonii, soulad. Nechme ještě jednou promluvit pythagorejce Filoláa: Činy a podstatu čísla je třeba pozorovat podle síly, která je v desítce, neboť síla čísla a zvláště desítky je veliká, vše plnící, vše působící a je počátkem i vůdkyní božského, nebeského % lidského života a se vším se stýká.... Bez ní je vše neomezené, nejisté a nejasné. Neboť povaha čísla dává poznání a každého vede i poučuje o každé nejasné a neznámé věci. Neboť nikomu by nebyla Žádná z věcí jasná, ani sama o sobě, ani ve vztahu k jiné, kdyby nebylo čísla a jeho podstaty. Avšak číslo, uvádějíc v duši všechny věci v soulad s vjemem, činí je poznatelnýym a navzájem souhlasnými po způsobu gnámonu, tím že ztělesňuje a rozlučuje poměry věcí - každý zvlášť - neomezených i omezujících. Povahu čísla a jeho mocnou sílu bys mohl vidět nejen v démonských a božských věcech, nýbrž též ve všech lidských činech a slovech i ve všech řemeslných dílech i v hudbě. Povaha čísla a harmonie nepřipouštějí nikterak klam, neboť jim není vlastní; klam a závist náleží k povaze neomezeného, nesmyslného a nerozumného. Klam nikterak nevane do čísla, neboť klam je nepřátelský a protivný jeho povaze, zato pravda je vlastní rodu čísla a s ním srostlá. ([85], str. 191)

37 Zájem o číselný mysticismus a podobné otázky stále trvá. Nová Akropolis, filosofická škola na klasický způsoby pořádala dne 25. 4. 1994 v Praze přednášku Symbolismus čísel, Numerologie. (Geneze čísel a forem. Číslo - základ Univerza. Zlaté číslo v mikrokosmu a makrokosmu.)". Magickým obrazcem byl pro pythagorejce pravidelný pětiúhelník. Snad proto, že jeho úhlopříčky jsou děleny svými průsečíky v poměru zlatého řezu, nebo proto, že konstrukce pravidelného pětiúhelníka pravítkem a kružítkem byla obrovským úspěchem tehdejší geometrie; možná však, že ze zcela jiného důvodu (obrazce pětiúhelníka se objevovaly na řeckých vázách již v 7. stol. př. Kr.). Na závěr tohoto odstavce o pythagorejcích ocitujme Z. Kratochvíla: Náhled i výklady náhledem umožněné, to vše se stává součástí nauky a, MATHÉMA. Běžná řečtina pak zná slovo MATHÉSIS, poučení, naučení a. MATHÉMA je pak to, co je k naučení" čili nauka í. MATHÉMATIKOS znamená původně náležející k poučení (nauce) a, at už se jedná o učedníka nebo o pojednání, např. naučná řeč a, MATHÉMATIKOS LOGOS (v tomto významu ještě u Aristotela). MATHÉMATIKA, což je plurál středního rodu, pak znamená všechny ty věci, které jsou této naučné povahy. Význam pythagorejských učedníků" čili matematiků spolu s jejich onentací zájmu způsobil, že slovo matematika" od té doby znamená především zabývání se čísly a geometrickými objekty. Právě tohle je v pythagorejském pojetí io nejlepší učení a cesta k moudrosti, neboť Část toho, co zkoumáme, totiž čísla, pak můžeme využít k výkladu řady jiných témat zkoumání. ([46], str.30) Připomeňme ještě, že existuje knížka s provokujícím názvem Was Pythagoras Qunese? (viz [67]). 7, Pythagorova věta Je možné, že Pythagorova věta byla známa již ve starém Egyptě; egyptští spojovací provazů snad vytyčovali pravý úhel pomocí smyčky provazu, na které bylo 12 uzlů ve stejných vzdálenostech od sebe. Pokud tomu tak bylo, pak používali k vytýčení pravého úhlu pythagorejský trojúhelník se stranami 3,4,5. V Mezopotámii byla Pythagorova věta známa asi tisíc let před Pythagorem. Byla chápána jako vztah mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníka; svědčí o tom úlohy, které z té doby pocházejí. Nevíme, zda byl v Mezopotámii objeven její důkaz. Byly však nalezeny některé pythagorejské trojice čísel; patrně byly vyčteny z tabulek druhých mocnin, které byly v Mezopotámii hojně užívané. V Řecku prý Pythagorovu větu i její důkaz objevil sám Pythagoras a jako výraz vděčnosti za tento objev obětoval bohům hekatombu, tj. 100 volů. (Tento příklad vyzývá k následování; nejsou však již bohužel bohové, kteří by takovéto oběti přijímali.) Můžeme se jen domýšlet, jak asi vypadaly původní důkazy Pythagorovy věty. Není vyloučeno, že byla tato proslulá poučka ve speciálním případě (pro pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník) vyčtena z kachlíkování či dláždění (viz dále obr. 2). Je možné, že právě tento pohled přispěl k tomu, že byla Pythagorova věta chápána jako vztah mezi obsahy tří čtverců. Je však rovněž možné, že k tornu došlo až při rozvoji řecké geometrické algebry.

38 Obr. 2 může znázorňovat část dláždění, které je sestavené ze stejně velkých rovnoramenných pravoúhlých trojúhelníků. Je ihned vidět, že dva malé čtverce nad odvěsnami AB a BC trojúhelníka ABC sestávají dohromady ze čtyř trojúhelníků a že čtverec AKLC nad přeponou AC je rovněž sestaven ze čtyř trojúhelníků. (Čtverec nad přeponou AC má tedy dvakrát větší obsah než čtverec nad odvěsnou AB.) Na obr. 2 je tedy řešen problém zdvojení" čtverce, který je diskutován v Platónově dialogu Menón. ( viz [56], str. 88-94 a 122-123, resp. [57]). A в / obr. 2 obr. 3 Poznamenejme ještě, že každé dítě se setká s obr. 2 a tedy se speciálním případem Pythagorovy věty, když skládá ze čtvercového listu papíru tzv. parníček (vhodná možnost pro zpestření výuky!). Na obr. 2 se však můžeme podívat i jinak. Ke dvěma čtvercům nad odvěsnami AB a BC trojúhelníka ABC je třeba přidat další čtyři trojúhelníky, abychom dostali velký čtverec PQRS. Rovněž ke čtverci nad přeponou AC je třeba přidat čtyři stejně velké trojúhelníky, abychom dostali čtverec PQRS. Podíváme-li se na obr. 3, můžeme předchozí myšlenku použít pro důkaz Pythagorovy věty v obecném případě. Ke dvěma čtvercům nad odvěsnami AB a BC je třeba přidat čtyři trojúhelníky shodné s trojúhelníkem ABC, abychom dostali celý čtverec PQRS. Rovněž ke čtverci nad přeponou AC je třeba přidat čtyři takovéto trojúhelníky, abychom dostali celý čtverec PQRS. V Eukleidových Základech je však jiný důkaz Pythagorovy věty; i ten je však založen na porovnávání obsahů geometrických objektů (viz [20], kniha I, věty 47, 48). Uvažujme pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C a čtverce nad jeho stranami. Vše je znázorněno na obr. 4. Naše úvahy budou postupovat v následujících krocích: a) Trojúhelníky LAB a CAN jsou shodné (věta sus). b) Obsah trojúhelníka LAB je roven polovině obsahu čtverce LACK (LA je základna a CA příslušná výška trojúhelníka LAB). c) Obsah trojúhelníka CAN je roven polovině obsahu obdélníka ANYX (AN je strana a XA příslušná výška trojúhelníka CAN).