M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

Transkript

1 M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Pythagorova věta Pythagorova věta Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: a 2 = c. c a b 2 = c. c b Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: a 2 + b 2 = c. c a + c. c b = c. (c a + c b) = c. c = c 2 Platí také věta obrácená: CBD Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c 2 = a 2 + b 2, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A B C takový, aby při vrcholu C byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a = a b = b Pro přeponu trojúhelníka A B C platí Pythagorova věta: c 2 = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 = c 2 Z toho vyplývá, že c = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A B C (sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C (který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat. Ukázkové příklady: Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. 2 c = a + b 2 = = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. 1 z 29

3 ± Pythagorova věta - procvičovací příklady ,4 m cm ,06 cm 7. 0,6 cm ,9 cm ,78 cm cm 2 2 z 29

4 m ± Eukleidovy věty Eukleidovy věty 1. Věta o výšce Pata výšky C rozdělí stranu c na dvě části: c a, c b. Tvrzení: Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem CC B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: v c b ca = v Þ v 2 = c. c a Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem: v c a cb = v Þ v 2 = a b c. c b Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše. 2. Věta o odvěsně 3 z 29

5 Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: c b b = Þ b 2 = cb c b c. Rovněž by se dalo vyjádřit: c a a = Þ a 2 = ca c a c. Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše. Ukázkové příklady Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x 2 = 10, resp. x 2 = Zvolíme-li x = v, c a = 2, c b = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí c a + c b = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C X pak odpovídá hledané x = Ö10 Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: 4 z 29

6 Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x 2 = 10, resp. x 2 = Zvolíme-li x = a, c a = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö10 ± Eukleidovy věty - procvičovací příklady 1. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö17. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö28. Kontrolu správnosti 5, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti 3, z 29

7 9. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö14. Kontrolu správnosti 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö12. Kontrolu správnosti 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö10. Kontrolu správnosti 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö23. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö15. Kontrolu správnosti 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti 2, z 29

8 ± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v 2 = c a. c b neboli v = c a. c b Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad 1: Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r 1. Pak má platit: 2 2 r r 1 = 2 r r 1 =. r 2 Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah a = b c x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad 2: Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 2Ö2 cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah: 7 z 29

9 3 = x Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: x = a b 2 Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x = a neboli b = a a b a x ± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady 1. Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d 2, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. 8 z 29

10 2. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö23. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti 4, Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti 2, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö10. Kontrolu správnosti 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö28. Kontrolu správnosti 5, ± Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů 9 z 29

11 Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit. ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady ,8 m , cm 2 10 z 29

12 ,075 cm cm cm ,7 cm 2 11 z 29

13 cm ,18 cm krát / ,1 % m ,35 m 12 z 29

14 a = 110, b = 70, c = 60, d = 50, e = 60, f = 70, g = 60, h = ,, m 2 ; 160 m z 29

15 krát ABD řešení: 10,5 cm; 1,5 cm o = 24 cm; S = 41,6 cm obdélníků 14 z 29

16 Kč ,9 % dlaždic cm trojúhelníků ,2 m ,, 15 z 29

17 cm ,8 % v = 6,06 cm ABD řešení: 16 z 29

18 ,5 cm cm b) z 29

19 Zmenšení obsahu o 20 % Zmenšení obvodu o 11,11 % ,3 cm Ne m ,14 cm , resp z 29

20 ,, cm ,08 m 2, 800 cm cm BC = 10 cm, obsah je 54 cm Oba obsahy jsou shodné 19 z 29

21 Poloměr kružnice opsané: 4,62 cm Poloměr kružnice vepsané: 2,31 cm 60,5 % m , 2 m AF = 5 cm, BC = 1 cm z 29

22 Není zavlažováno 61,81 m 2, třetí strana pole je 33,94 m z 29

23 ,74 cm ,25 cm cm cm ,5 ha z 29

24 v = 4,33 cm ,32 cm Čtverec má větší obsah než obdélník ,8 cm ,4 m cm ,7 m cm 2 23 z 29

25 ,6 dm Tupoúhlý ,9 cm z 29

26 cm 2 26 cm m / m m 2 25 z 29

27 mm cm 2 26 z 29

28 cm cm cm m 27 z 29

29 Nemohou m 28 z 29

30 z 29

31 Obsah Pythagorova věta 1 Pythagorova věta - procvičovací příklady 2 Eukleidovy věty 3 Eukleidovy věty - procvičovací příklady 5 Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná 7 Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady 8 Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady 9 Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady :39:51 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (