1 Cvičení z předmětu KMA/PST2 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) získat ze dvou napsaných písemek dohromady alespoň dva příklady. Literatura: Budíková, M., Mikoláš, Š., Osecký, P.: Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika. Sbírka příkladů. MU Brno. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. ZČU Plzeň, 2004, online. Domácí úkoly: DÚ 1 (bodové a intervalové odhady): Necht X 1,..., X 10 je náhodný výběr z N(100, 100). Jaké rozdělení má výběrový průměr? [X N(100, 10)] Necht jsou dány dva nezávislé náhodné výběry, první pochází z rozdělení N(2; 1,5) a má rozsah 10, druhý pochází z rozdělení N(3, 4) a má rozsah 5. Jaká je pravděpodobnost, že výběrový průměr prvního výběru bude menší než výběrový průměr druhého výběru? Výsledek vyjádřete pomocí distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Sb. Budíková: str. 77, 13.5; str. 78, př. 13.8 Sb. Friesl: str. 101, př. 8.2-8.6; str. 106, př. 8.15, 8.16 [Φ(1,05)] Společnost, která doporučuje zásilky ve velkém městě tvrdí, že doručí zásilku za 28 minut. Pro ověření tohoto předpokladu náhodně vybereme 100 zásilek, u kterých zaznamenáme čas dodání. Výběrový průměr vypočítaný z tohoto výběrového souboru je 31,5 minut. Z minulosti víme, že směrodatná odchylka času doručení je 5 minut. Na základě těchto předpokladů proved te ověření uvedeného předpokladu pomocí 95%ního intervalu spolehlivosti.
2 [(30,52;32,48)] Mlékárna má zájem o udržování dolní hranice variability obsahu tuku ve svém mléku. Jestliže předpokládaný obsah tuku je 2 %, potom aktuální obsah tuku v kartónu mléka by se neměl příliš odchylovat od této hodnoty. Je příputná směrodatná odchylka 0,10%, ale větší směrodatná odchylka není přijatelná. Vybrali jsme náhodně 20 kartonů mléka a naměřili jsme tyto procentuální hodnoty obsahu tuku v mléku: 1,83; 2,22; 1,98; 1,88; 1,95; 1,78; 2,03; 2,23; 1,63; 1,84; 2,00; 2,07; 2,02; 2,05; 2,12; 1,91; 2,06; 2,5; 1,89; 1,91. Vypočítejte 95%ní interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku (za předpokladu normality). [(0,14;0,27)] Na výběrovém souboru 22 aut, přistavených ke generální opravě, byly naměřeny počty ujetých kilometrů (v tisících): 150, 112, 140, 137, 182, 188, 157, 152, 155, 161, 145, 151, 201, 177, 190, 135, 148, 164, 129, 148, 169, 172. Určete výběrové charakteristiky počtu ujetých kilometrů autem před jeho generální úpravou. Za předpokladu, že počet ujetých kilometrů má normální rozdělení, určete 95 %-ní interval spolehlivosti pro µ. [x. = 157,4 tisíc;s. = 21,65 tisíc; µ 147,8; 167 ] U jistého měřícího zařízení má být posouzena jeho přesnost. Proto na něm byla několikrát nezávisle změřena délka téhož výrobku. Výsledky měření v cm byly: 15,15; 15,20; 15,04; 15,14; 15,22 Předpokládáme, že tyto výsledky jsou číselné realizace náhodného výběru rozsahu 5 z rozložení N(µ, σ 2 ). Sestrojte 95 %-ní interval spolehlivosti pro rozptyl σ 2.
3 [0,0018 < σ 2 < 0,0405 s pravděpodobností 0,95] Sponzor televizních pořadů pro děti chce vědět, kolik času tráví děti sledováním televize, protože na těchto informacích závisí typy a počty programů. Náhodným výběrem 100 dětí se zjistilo, že sledování televize věnují týdně průměrně 27,5 h se směrodatnou odchylkou 8 h. Za předpokladu, že počet hodin strávený za týden sledováním televize se řídí normálním rozložením, sestrojte 95%-ní empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu hodin strávených týdně sledováním televize. [25,93h < µ < 29,07h s pravděpodobností 0,95] Na jisté velké americké univerzitě bylo r. 1969 náhodně vybráno 5 profesorů a nezávisle na tom 5 profesorek a byl zjištěn jejich roční příjem (v tisících dolarů). Muži: 16, 19, 12, 11, 22; ženy: 9, 12, 8, 10, 16. Předpokládáme, že uvedené údaje tvoří realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z rozložení N(µ 1, σ 2 1) a N(µ 2, σ 2 2). a) Sestrojte 95%-ní empirický interval spolehlivosti pro podíl rozptylů příjmů mužů a žen. b) Pokud bude uvedený interval spolehlivosti obsahovat 1, sestrojte 95%-ní interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot příjmů mužů a žen. [a) 0,22 < σ 2 1/σ 2 2 < 20,64 s pravděpodobností 0,95, b) 0,788 < µ 1 µ 2 < 10,788 s pstí 0,95] Bylo zkoušeno 100 náhodně vybraných ocelových tyčí k určení meze průtažnosti daného druhu oceli. Zpracováním výsledků byly určeny výběrové charakteristiky x = 286,4Nmm 2 a s 2 = 121,00N 2 mm 4. Určete bodové a intervalové odhady µ a σ se spolehlivostí 0,99 za předpokladu, že náhodný výběr pochází z normálního rozdělení. [µ = 286,4Nmm 2, σ = 11,0Nmm 2, µ 283,5; 289,3, σ 9,3; 13,4 ]
4 Náhodný výběr o rozsahu n = 32 má výběrový průměr x = 15,344 a pochází z rozdělení N(µ; 7,4). Určete bodový a intervalový odhad střední hodnoty µ se spolehlivostí 0,99. [µ = 15,344; µ 14,12; 16,58 ] Pomocí přístroje, jehož systematická chyba je nulová a náhodné chyby měření mají normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ = 10mm, byla 25krát změřena určitá konstantní veličina. Určete její intervalový odhad se spolehlivostí 99%, když aritmetický průměr jejich naměřených hodnot je 100mm. [ 94,846; 105,154 mm] Při orientačních zkouškách mechanických vlastností drátu byly změřeny pevnosti (kpa): 6,5; 7,3; 7,0; 6,8; 7,2. Předpokládejme, že rozdělení pevnosti drátu je normální. Vypočtěte intervalový odhad střední hodnoty pevnosti se spolehlivostí 0,95. [ 6,56; 7,36 kp a] Bylo získáno 50 hodnot náhodné veličiny s rozdělením N(µ, σ 2 ) s aritmetickým průměrem x = 610 a disperzí s 2 = 2770,4. Určete intervalové odhady µ pro α = 0,1; 0,05; 0,01. [ 597,52; 622,47 ; 595,04; 624,96 ; 590,05; 629,95 ] Stanovte intervalový odhad parametru µ normálního rozdělení se spolehlivostí 99% ze vzorku: 26,4; 28,3; 25,1; 27,4; 26,9. [ 24,37; 29,27 ]
5 Bylo provedeno 5 nezávislých a stejně přesných měření ke stanovení impedance: 4,781; 4,792; 4,795; 4,779; 4,769 Ω. Stanovte intervalový odhad střední hodnoty impedance se spolehlivostí 99% za předpokladu normálního rozdělení. [ 4,761; 4,805 Ω] Z 15 nezávislých měření byl vypočten bodový odhad střední hodnoty 424,7ms 1 a směrodatné odchylky 8,7ms 1 maximální rychlosti letadla. Určete intervalový odhad střední hodnoty a směrodatné odchylky se spolehlivostí 95% za předpokladu normálního rozdělení. [µ 419,88; 429,52 ms 1, σ 6,37; 13,72 ms 1 ] Najděte intervalový odhad se spolehlivostí 95% střední meze kluzu oceli, má-li normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ = 150kp/cm 2, jestliže při 20 zkouškách bylo zjištěno x = 2850kp/cm 2. [ 2784; 2916 kp/cm 2 ] Najděte intervalový odhad se spolehlivostí 99% střední hodnoty normálního rozdělení, jestliže při 10 zkouškách bylo zjištěno x = 2,063 a s 2 = 8,6. [ 0,95; 5,076 ] Bylo ověřeno, že rozdělení procenta niklu je v legované litině normální. Na základě 18 analýz byl vypočten rozptyl náhodného výběru s 2 = 0,1289. Stanovte intervalový odhad rozptylu σ 2 se spolehlivostí 0,95. [ 0,073; 0,289 ] Směrodatná odchylka náhodného výběru z normálního rozdělení je σ = 0,02. Určete rozsah n náhodného výběru tak, aby se spolehlivostí 0,95 (0,99) aproximoval jeho výběrový průměr střední hodnotu s chybou menší než 0,005.
6 [n 62 (107)] Během tří měsíců bylo analýzami vzorků získáno 250 údajů o obsahu uhlíku v surovém železe v jisté slévárně. Z těchto údajů byl vypočten rozptyl s 2 = 0,2705, který vzhledem k velkému počtu analýz považujeme za (skutečný) rozptyl náhodného výběru. Kolik analýz musíme měsíčně provést, aby aritmetický průměr aproximoval střední obsah uhlíku v surovém železe v surovém železe se spolehlivostí 95% s přesností 0,15? [n 47] Z dřívějších měření bylo zjištěno, že náhodná veličina má normální rozdělení, σ 2 = 0,27. Kolik měření musíme provést, chceme-li zaručit přesnost intervalového odhadu střední hodnoty a) 0,15 se spolehlivostí 0,95; b) 0,05 se spolehlivostí 0,95; c) 0,10 se spolehlivostí 0,99; d) 0,10 se spolehlivostí 0,95; e) 0,15 se spolehlivostí 0,99; f) 0,05 se spolehlivostí 0,99; [a)47; b)415; c)180; d)104; e)80; f)717] Realizací náhodného výběru s normálním rozdělením se směrodatnou odchylkou σ = 16 bylo získáno 900 údajů. Určete délku intervalového odhadu střední hodnoty µ se spolehlivostí 0,90. [25] [1,7547] Zkoumal se vliv kouření na nervovou soustavu. U 16 osob se měřil počet chvění ruky před kouřením x i a po vykouření y i jedné cigarety za stejnou časovou jednotku. Výsledky měření jsou: x i 44 28 54 37 62 40 44 49 y i 50 37 63 52 83 48 43 55 x i 53 23 69 51 42 51 60 45 y i 47 25 71 58 47 51 66 52 Určete 99% interval spolehlivosti pro rozdíl µ 2 µ 1
7 [(1,37;10,63)] DÚ 2 (testy o parametrech normálního rozdělení): Sb. Budíková: str. 82, kapitola 14 (ty příklady, které jsme nestihli na cvičení). Sb. Friesl: str. 112, př. 9.4-9.6; str. 115, př. 9.9, 9.10; str. 120, př. 9.18, 9.19 Realizací náhodného výběru z normálního rozdělení byl získán statistický soubor: x j 2 1 0 1 2 3 f j 1 4 7 3 3 2 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že µ = 0,1. [ x = 0,45; s 2 = 1,9447; t = 1,1224; t 0,975 = 2,093; hypotézu nezamítáme ] Linka autobusové dopravy měla na určité trase průměrnou dobu jízdy 12 minut. Na trase byly provedeny změny. K posouzení toho, zda tyto změny ovlivnily dobu jízdy, bylo při devíti zkušebních jízdách dosaženo těchto časů (v minutách): 12,5, 13,5, 11,9, 12,2, 13,0, 14,3, 12,2, 11,8, 14,0. Testujte za předpokladu normality na hladině 0,05, že došlo ke zmenšení průměrné jízdní doby. [H 0 : µ 12 proti H 1 : µ > 12, t-test: x = 12,8, s 2 = 1,495, t = 1,963] U 25 náhodně vybraných dvoulitrových lahví s nealkoholickým nápojem byl zjištěn přesný obsah nápoje. Výběrový průměr činil x = 1,99 l a výběrová směrodatná odchylka s = 0,1 l. Předpokládáme, že objem nápoje v láhvi je náhodná veličina s normálním rozdělením. Na hladině testu 0,05 ověřte tvrzení výrobce, že zákazník není znevýhodněn. [H 0 : µ 2 proti H 1 : µ < 2, t-test: t = 0,5]
8 Požadovaná střední hodnota obsahu legujícího prvku ve tvárné litině je 4,2% a směrodatná odchylka 0,4%. Ve 20 vzorcích byly analýzou zjištěny tyto skutečné obsahy (%): 4,5; 4,3; 4,1; 4,9; 4,6; 3,2; 4,4; 5,1; 4,8; 4,0; 3,7; 4,4; 3,9; 4,1; 4,2; 4,1; 4,7; 4,3; 4,2; 4,4. Na hladině testu 5% testujte hypotézy, že základní soubor, z něhož vzorky pocházejí, má (a) požadovanou střední hodnotu; (b) stejnou variabilitu. [(a) t = 1,033; t 0,975 = 2,093; hypotézu nezamítáme ] [(b) z = 22,25; χ 2 0,025 = 8,91; χ 2 0,975 = 32,9; hypotézu nezamítáme ] Na základě statistického souboru o rozsahu 10 a s rozptylem s 2 = 2,0 testujte na hladině významnosti 0,01 hypotézu, že základní soubor má rozptyl σ 2 = 0,2. [t = 90; χ 2 0,005. = 1,73; χ 2 0,995 = 23,6; hypotézu zamítáme ] Pro posouzení přesnosti dvou měřících metod bylo provedeno 8 měření a určeny rozdíly dvojic odpovídajících si výsledků. Tak byla určena průměrná odchylka x = 0,244 a směrodatná odchylka s = 0,192. Zjistěte na hladině testu 0,05, zda obě metody můžeme považovat za stejně přesné. [t = 3,594; t 7;0,975 = 2,365; hypotézu zamítáme ] Realizacemi dvou nezávislých náhodných výběrů s rozsahy n 1 = 40 a n 2 = 50 ze základních souborů s normálním rozdělením s (známými) rozptyly σ 2 X = 80 a σ 2 Y = 100 byly získány výběrové průměry x = 130 a ȳ = 140. Na hladině testu 0,01 testujte hypotézu, že základní soubory mají stejné střední hodnoty. [u = 5; u 0,995 = 2,576; hypotézu zamítáme ]
9 Realizací náhodného výběru o rozsahu n 1 = 50 byl získán výběrový průměr x = 20,1 mm rozměru ložisek vyrobených na automatu I a realizací náhodného výběru rozsahu n 2 = 50 byl získán výběrový průměr ȳ = 19,8 mm rozměru ložisek vyrobených na automatu II. Známé rozptyly základních souborů s normálním rozdělením jsou σ 2 X = 1,750 mm 2 a σ 2 Y = 1,375 mm 2. Na hladině testu 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty rozměrů jsou u obou automatů stejné. [u = 1,2; u 0,975 = 1,960; hypotézu nezamítáme ] Byla naměřena doba reakce na světelný signál náhodně vybrané skupiny řidičů profesionálů a skupiny řidičů amatérů. Počty řidičů ve skupinách a výběrové charakteristiky doby reakce (v sekundách) jsou: Profesionálové: n P = 10; x P = 0,34; s P = 0,1817; Amatéři: n A = 20; x A = 0,42; s A = 0,2429; Za předpokladu, že doba reakce má normální rozdělení, testuje významnost rozdílu mezi dobami reakce obou skupin řidičů. [Rozdíly výběrových rozptylů nejsou statisticky významné.] Výrobce elektrických baterií udává, že baterie má průměrnou životnost 10 hodin. Na výběrovém souboru 11 baterií byly zjištěny tyto hodnoty životnosti (v hodinách): 9,5 10,5 8,9 9,2 10 8,5 9,2 8,8 10 9,5 9,2 Určete x a s pro dobu životnosti. Testujte na hladině 0,05 hypotézu, že průměrná hodnota životnosti je rovna té uváděné výrobcem. [x. = 9,39; s. = 0,59; H 0 zamítáme.] V restauraci U bílého koníčka měřili ve 20 případech čas obsluhy zákazníka. Výsledky v minutách: 6 8 11 4 7 6 10 6 9 8 5 12 13 10 9 8 7 11 10 5 V restauraci Zlatý lev bylo dané pozorování uskutečněno v 15 případech s těmito výsledky: 9 11 10 7 6 4 8 13 5 15 8 5 6 8 7 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty doby obsluhy jsou v obou restauracích stejné.
10 [t = 0,1237, t 33;0,975 = 2,0345, H 0 nelze zamítnout.] Na 10 automobilech stejného typu se testovaly dva druhy benzínu lišící se oktanovým číslem. U každého automobilu se při průměrné rychlosti 90 km/h měřil dojezd (tj. dráha, kterou ujede na dané množství benzínu) při použití každého z obou druhů benzínu. Výsledky: č. auta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 benzín A 17,5 20 18,9 17,9 16,4 18,9 17,2 17,5 18,5 18,2 benzín B 17,8 20,8 19,5 18,3 16,6 19,5 17,5 17,9 19,1 18,6 Za předpokladu, že dojezd se řídí normálním rozložením, testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že se středních hodnoty dojezdu při dvou druzích benzínu neliší. [Párový t-test, t = 7,9148, t 9;0,975 = 2,2621, H 0 zamítáme.] Pevnost vlákna bavlněné příze lze pokládat za náhodnou veličinu s rozložením N(µ, σ 2 ). Je-li σ 2 > 0,36 kg 2, vznikají potíže při tkaní. Při zkoušce 11 náhodně vybraných vláken byly zjištěny hodnoty jejich pevnosti a vypočten empirický rozptyl s 2 = 0,92 kg 2. Na hladině testu 0,05 je třeba zjistit, zda je příze vyhovující. [Testujeme H 0 : σ 2 0,36 proti H 1 : σ 2 > 0,36; z = 25,5556 χ 2 10;0,95 = 18,3070, zamítáme H 0 na hladině testu 0,05.] Podle údajů na obale čokolády by měla být její čistá váha alespoň 125g. Výrobce dostal několik stížností od kupujících, v kterých tvrdili, že váha čokolád je nižší než uvádí výrobce. Z tohoto důvodu pracovník oddělení kontroly náhodně vybral 50 výrobků a zjistil, že průměrná váha je 122g. Předpokládejme, že směrodatná odchylka váhy je 8,6g. Můžeme na hladině testu 0,01 považovat stížnosti kupujících za opodstatnělé? [ano, nebot U = 2,467 2,326 = u 0,99 ]
11 Výrobce uvádí, že průměrná životnost jím vyráběných reflektorů je alespoň 70 hodin. Konkurenční firma se domnívá, že je ve skutečnosti nižší, a proto se rozhodla dokázat, že výrobcovo tvrzení není správné. Náhodně vybrala 20 reflektorů a zjistila, že jejich průměrná životnost byla 67 hodin a standardní (směrodatná) odchylka 5 hodin. Na hladině testu 0,05 ověřte, zda výrobcovo tvrzení je skutečně nesprávné? [ano, nebot T = 2,68 t 0,95;19 = 1,729] Podle vyjádření zástupce obchodní školy, píšou absolventky školy na stroji průměrnou rychlostí alespoň 90 slov za minutu. Určitý zaměstnavatel se domnívá, že současné absolventky píšou menší průměrnou rychlostí. K ověření byl vybrán náhodný výběr 15 posledních absolventek a každé byl dán test zaměřený na zjištění rychlosti psaní na stroji. Byly naměřeny tyto rychlosti: 76 80 100 78 75 89 81 86 91 90 102 67 84 66 69. a) Ověřte na hladině testu 0,05, zda má pravdu zástupce školy. b) Vypočítejte 95%-ní interval spolehlivosti pro průměrnou rychlost psaní na stroji absolventek školy. [a) ne, nebot T = 2,72 t 0,05;14 = 1,761, b) (76,18; 88,36)] Standardní (směrodatná) odchylka obsahu určité látky v tabletkách, které vyrábí farmaceutický podnik, nesmí překročit hodnotu 0,45 mg. Když překročí tuto hodnotu, musí se provést korekce v nastavení výrobní linky. Kontrolor náhodně vybral 25 tablet a zjistil, že rozptyl obsahu sledované látky je 0,2583. Jaký provede závěr, když připouští pravděpodobnost chyby I. druhu 0,05? [Korekce není potřeba, nebot z = 30,61 χ 2 24;0,95 = 36,4151] Při přebírání zásilek chemikálií požadujeme, aby rozptyl procenta nečistot v těchto zásilkách nepřekročil hodnotu 4. Náhodně bylo vybráno 20 zásilek a výběrový rozptyl procentuálního obsahu nečistot v něm činil 5,62. Na hladině významnosti 0,1 testujte hypotézu H 0 : σ 2 4 proti opačné alternativě. [Nezamítáme H 0, nebot Z = 26,695 χ 2 0,9;19 = 27,20]
12 Na dvou úsecích báňského závodu se sledovala popelnatost uhlí. Na prvém úseku se odebralo 21 vzorků s následujícími výsledky: 12,9 14,3 15,5 14,0 13,0 13,5 14,7 13,3 13,8 12,2 14,4 15,0 14,1 14,5 13,5 16,0 13,0 14,0 16,6 17,5 14,5. Na druhém úseku se odebralo 10 vzorků s následujícími vzorky: 13,5 15,5 15,0 13,5 16,1 16,0 16,2 16,9 15,9 17,4. a) Je staticky významný rozdíl v popelnatosti uhlí na jednotlivých úsecích? b) Určete 95% interval spolehlivosti pro neznámý rozdíl v popelnatosti uhlí µ 2 µ 1. [F-testem ověříme, že σ 2 1 = σ 2 2; zamítneme hypotézu H 0 : µ 1 = µ 2 proti opačné alternativě, nebot T = 2,63 t 0,975;29 = 2,04; b) (0,29; 2,31)] Při určování obsahu niklu v oceli byly užity dvě různé metody. První metoda při provedení 12 analýz dala rozptyl naměřených hodnot s 2 X = 0,0224 a druhá metoda dala rozptyl při provedení 8 analýz s 2 Y = 0,0263. Testujte za předpokladu normality na hladině testu 0,05 nulovou hypotézu, že obě metody jsou vzhledem k rozptylu stejně přesné. [F = 0,85, nulovou hypotézu nezamítáme] Po opravě byl seřízen balící automat na maso. Na 10%-ní hladině významnosti ověřte hypotézu, že seřízením automatu nedošlo ke změně průměrné hmotnosti balených porcí. Nejdříve ověřte hypotézu o shodě rozptylů. Abychom tyto hypotézy ověřili, vybrali jsme před seřízením automatu náhodně 7 balíčků a zjistili jejich průměrnou hmotnost 57 kg a výběrový rozptyl 10,67. Po seřízení jsme opět náhodně vybrali 6 balíčků a zjistili průměrnou hmotnost 51 kg a rozptyl 1,60. Jaké další předpoklady musí být splněny, abychom mohli uvedené testy provést? (Test shody středních hodnot provedeme přibližným t-testem) [Test o shodě rozptylů i shodě středních hodnot zamítáme.]
13 DÚ 3 (testy alternativního rozdělení a testy dobré shody): Sb. Friesl: str. 121, př. 9.20 (test alternativního rozdělení) Cestovní kancelář předpokládá, že 70% zákazníků, kteří mají zájem o pobytový zájezd k moři, si objedná polopenzi. Pro ověření tohoto předpokladu náhodně vybrala 50 zájemců o tento druh zájezdu a zjistila, že 28 z nich chtělo objednat polopenzi. Můžeme na hladině významnosti a) 0,05, b) 0,01 považovat předpoklad cestovní kanceláře za správný (alt. rozd.)? [a) ne, nebot U = 2,16 > u 0,975 = 1,96; b) ano, nebot U = 1,994 > u 0,995 = 2,576] Asociace malých luxusních hotelů uveřejnila v jednom časopise zprávu, v které uvádí, že podíl všech hotelů v USA dosahujících standardů Asociace je 0,0096. Tuto zprávu management hotelů popřel a chtěl dokázat, že podíl hotelů, které bychom mohli kvalifikovat jako nadstandardní je vyšší než 0,0096. Z tohoto důvodu pronajal nezávislou agenturu, jejíž pracovníci navštívili 1000 náhodně vybraných hotelů v různých částech USA a zjistili, že 11 z nich splňuje kritéria Asociace pro zařazení do nadstandardní skupiny. Můžeme na základě výsledku tohoto výběrového zjišt ování určit závěr, že v USA je podíl hotelů splňujících standard Asociace vyšší než 0,0096, když použijeme hladinu testu 0,1 (alt. rozd.)? [testovací statistika U = 0,454. Oblast zamítnutí W na hladině testu α = 0,1 je U u 1 α = u 0,90 = 1,28. Protože U < 1,28, H 0 nezamítáme] Vedení supermarketu chce zavést do prodeje nový výrobek. Podle předpokladu by o něj mělo zájem 20% zákazníků. Pro upřesnění tohoto odhadu byl proveden mezi zákazníky průzkum, zda o tento výrobek budou mít zájem. Ze 400 náhodně vybraných zákazníků odpovědělo 62 kladně. Je třeba otestovat, zda se předpoklad shoduje s průzkumem (alt. rozd.). [Hodnota testového kritéria je u = 2,25 a kvantil u 0,975 = 1,96. Protože se hodnota testového kritéria realizovala v kritickém oboru, nulovou hypotézu zamítneme na hladině testu 5%.]
14 Předpovědi o výnosech z jedné akcie jsou prováděny pravidelně mnoha finančními analytiky. V náhodném výběru 600 předpovědí bylo zjištěno, že 382 z těchto předpovědí překročilo skutečnou hodnotu výnosů. Testujme nulovou hypotézu, že skutečný poměr té části předpovědí, které překračují aktuální hodnoty dosažené na burze je 0,5 proti oboustranné alternativě na hladině testu 0,05. (Touto hypotézou očekáváme, že finanční analytici nemají tendenci značně podhodnocovat nebo nadhodnocovat své předpovědi o výnosech.) [Alt. rozd., testujeme H 0 : p = 0,5 proti H A : p 0,5; u = 6,712, u 0,975 = 1,96, zamítáme H 0 na hladině 0,05.] Sb. Friesl - příklady 9.11, 9.12 (testy dobré shody) Řetězec cukráren, který nabízí 4 druhy zmrzliny, otevřel provozovnu v nové lokalitě. Ve stávajících provozovnách řetězce byla dosud struktura prodeje podle druhů zmrzliny následující: vanilková 62%, čokoládová 18%, jahodová 12%, pistáciová 8%. Po otevření provozovny v nové lokalitě máme záznam o následujícím prodeji: vanilková 120, čokoládová 40 jahodová 18, pistáciová 22. Testujte shodu struktury prodeje v nové lokalitě oproti dosavadním prodejům řetězce. [Test dobré shody, z = 4,32, χ 2 3;0,95 = 7,82, H 0 nelze zamítnout na hladině testu 0,05.] Dle oficiální studie je rozdělení počtu počítačů v českých domácnostech dáno následující tabulkou: počet počítačů 0 1 2 3 více než 3 procentuální podíl 10 16 55 11 8 Náhodným výběrem 600 rodin v Olomouckém kraji jsme obdrželi následující hodnoty počet počítačů 0 1 2 3 více než 3 četnost 66 119 340 60 15 Odpovídá struktura počtu počítačů v domácnostech v Olomouckém kraji celostátním výsledkům?
15 [Test dobré shody, z = 29,65, χ 2 4;0,95 = 9,49, H 0 zamítáme na hladině testu 0,05.] Výrobce tvrdí, že 50% výrobků je I. jakosti, 20% II. jakosti, 20% III. jakosti a 10% IV. jakosti. Náhodně bylo vybráno 500 výrobků, z toho bylo 269 I. jakosti, 112 II. jakosti, 74 III. jakosti a 45 IV. jakosti. Ověřte na hladině testu 0,01, zda má výrobce pravdu. [Test dobré shody, z = 10,144, H 0 nelze zamítnout na hladině 0,01.] Ověřte na hladině testu 0,01, zda má náhodná veličina X hustotu { 1 + x pro x 1, 0), f(x) = 1 x pro x 0, 1. Realizace náhodného výběru z rozdělení X byla přitom roztříděna následovně: třída interval n i třída interval n i 1. 1; 0,6) 5 4. 0,2; 0,6) 27 2. 0,6; 0,2) 20 5. 0,6; 1 8 3. 0,2; 0,2) 40 [Test dobré shody, z = 2,611, H 0 nelze zamítnout na hladině 0,01.] DÚ 4 (kontingenční tabulky): Sb. Friesl, str. 118, př. 9.13-9.17; str. 122, př. 9.25, 9.26. Na souboru náhodně vybraných pacientů, trpících určitou chorobou, bylo zjišt ováno, zda proti ní byli očkováni a jaký průběh choroba má při očkování a bez očkování. Výsledky jsou v tabulce. Posud te, zda průběh choroby závisí na tom, zda pacient byl očkován. pacient \ průběh lehký těžký očkován 60 12 neočkován 24 66 [z = 51,45; očkování ovlivňuje průběh nemocí.]
16 Výzkumná agentura zjišt ovala na souboru 128 náhodně vybraných osob, zda při nástupu nové vlády jí důvěřovali a zda po její roční vládě ji stále důvěřují. Na základě získaných údajů, uvedených v tabulce, rozhoděte o tom, zda zjištěná změna názorů je statisticky významná. (McNemarův test) dřívější názor \ nynější názor důvěřuji nedůvěřuji důvěřoval jsem 48 26 nedůvěřoval jsem 14 40 [z = 3,6; významná změna názorů se neprokázala.] Úkolem bylo porovnat obtížnost dvou otázek. Na každou otázku odpovídalo 40 náhodně vybraných studentů, odpovědi byly hodnoceny dvěma stupni, správně nebo chybně. Testujeme hypotézu, že otázky jsou stejně obtížné. číslo otázky 1 2 správně 21 27 chybně 19 13 [Protože z = 1,875 < χ 2 0,95(1) = 3,84, nezamítáme na hladině testu 0,05 hypotézu, že pravděpodobnost správné odpovědi nezávisí na volbě otázky.] V podniku byla zkoušena nová technologie výroby a porovnávána se starou. Pro starou technologii bylo z 1000 výrobků 741 výrobků I. jakosti, 248 výrobků II. jakosti a 11 zmetků. Pro novou technologii ze 100 výrobků 85 bylo I. jakosti, 15 výrobků II. jakosti a žádný zmetek. Nová technologie má tedy nižší podíl zmetků i výrobků II. jakosti. Vedení podniku však chce mít dostatečnou záruku, že takto příznivé výsledky nejsou náhodné. Lze na hladině testu α = 0,01 zamítnout hypotézu, že kvalita výrobku nazávisí na volbě technologie? [Řešíme pomocí kontingenční tabulky 2 3; pro nízké očekávané hodnoty zmetků nutno sdružit na 2 2; testová statistika je 5,77 < χ 2 1;0,99; hypotézu nezamítáme.]
17 ([Anděl (2005)], str. 282) U 6800 mužů byla zjišt ována barva očí a barva vlasů. Výsledky jsou uvedeny v následující tabulce. barva očí \ barva vlasů světlá kaštanová černá zrzavá světle modrá 1768 807 189 47 šedá nebo zelená 946 1387 746 53 tmavohnědá 115 438 288 16 Testujte na hladině 0,05 hypotézu, že barva očí a barva vlasů u mužů jsou nezávislé statistické znaky. [test nezávislosti, z = 1073,51, χ 2 6;0,95 = 12,59, H 0 zamítáme] Průzkum, provedený u čtenářů časopisů A, B, C současně zjišt oval jejich vzdělání - ZŠ, SŠ a VŠ. Z výsledků, uvedených v kontingenční tabulce, rozhodněte na hladině testu 0,05 o tom, zda volba časopisu závisí na vzdělání. vzdělání \ časopis A B C ZŠ SŠ VŠ 75 75 50 40 70 40 35 5 10 [test nezávislosti, z = 32,889, H 0 zamítáme] ([Anděl (2005)], str. 283) V severozápadním Skotsku byla provedena studie, která měla prokázat, zda je procentuální zastoupení krevních skupin na celém území homogenní či nikoli. V oblasti Eskdale bylo náhodně vybráno 100 osob, v oblasti Annandale 125 osob a v oblasti Nithsdale 253 osob (viz tabulka). Testujte na hladině 0,05 hypotézu, že rozdělení krevních skupin je ve všech třech oblastech stejné. oblast \ krevní skupiny A B 0 AB Eskdale 33 6 56 5 Annandale 54 14 52 5 Nithsdale 98 35 115 5
18 [test homogenity, z = 10,45, χ 2 6;0,95 = 12,59, H 0 nelze zamítnout] ([Anděl (2003)], str. 182) Bylo zkoumáno, zda podání určitého léku má jako vedlejší účinek změnu rychlosti srážení krve. Proto bylo náhodně vybráno 100 pacientů. U každého z nich se zjistilo, zda má rychlou či pomalou srážlivost krve. Pak byl pacientům podán zmíněný lék a v přiměřené době byla znovu vyšetřena srážlivost krve. Výsledky jsou uvedeny v tabulce níže. Testujte na hladině 0,05 hypotézu, zda podání léku ovlivňuje srážlivost krve. před \ po pomalá rychlá pomalá 24 28 rychlá 12 36 [McNemarův test, z = 6,4, χ 2 1;0,95 = 3,84, H 0 zamítáme] U 24 náhodně vybraných teenagerů se zjišt ovalo, zda má pohlaví vliv na skutečnost, že respondenti drží dietu. Zjištěné výsledky jsou uvedeny v tabulce. Má se na hladině testu 0,1 ověřit hypotéza, že pohlaví a držení diety na sobě nezávisí. dieta \ pohlaví muž žena ano 1 9 ne 11 3 [Fisherův faktoriálový test, H 0 zamítáme] DÚ 5 (regresní analýza): V tabulce jsou roční náklady na údržbu domu (v $) a jeho cena (v tisících $). Vyjádřete závislost nákladů na údržbu domu na jeho ceně regresní přímkou. Odhadněte střední hodnotu nákladů na údržbu domu, mající cenu 80 tisíc $ a její 95 %-ní interval spolehlivosti. Náklady 835 63 240 1005 184 213 313 658 195 545 Cena 136 24 52 143 42 43 67 106 61 99
19 [Ŷ (x) = 160,347 + 7,574x; Ŷ (80) = 445,5; Y (80) 402,7; 488,4.] Pro hodnoty [2,1], [3,2], [4,4], [5,4] spočtěte metodou nejmenších čtverců odhady koeficientů regrese y i = β 0 +β 1 x i +ε i (i = 1,..., n), vyrovnané hodnoty, rezidua, reziduální rozptyl (S 2 ), 95%-ní interval spolehlivosti pro β 0, β 1 a pro hodnotu β 0 + 4β 1. Lze na hladině testu 0,05 zamítnout hypotézu β 1 = 0? [ β 1 = 1,1; β 0 = 1,1; ŷ 1 = 1,1; ŷ 2 = 2,2; ŷ 3 = 3,3; ŷ 4 = 4,4; e 1 = 0,1; e 2 = 0,2; e 3 = 0,7; e 4 = 0,4; s 2 = 0,35; 5,283 < β 0 < 3,083; 0,038 < β 1 < 2,238; 1,906 < β 0 + 4β 1 < 4,694 ; hypotézu β 1 = 0 nelze zamítnout, nebot pro β 1 = 0 je t 1 = 4,158 < t 2;0,975 ] Měřením byly získány hodnoty: x 40 64 34 15 57 45 y 33 46 23 12 56 40 Určete regresní funkci y = β 0 + β 1 x, bodový odhad rozptylu σ 2, intervalový odhad koeficientu β 1 se spolehlivostí 0,95 a testujte hypotézu β 1 = 0 na hladině testu 0,05. [y = 1,3082 + 0,8543x; σ 2 = 39,8439; β 1 0,404; 1,305, hypotézu zamítáme] Měřením byla získána data: x 60 32 15 1 15 30 55 y 781 824 840 855 868 882 897 Odhadněte lineární regresní funkci y = β 1 + β 2 x, bodový odhad σ 2, intervalový odhad regresního koeficientu β 2 se spolehlivostí 0,95 a bodový a intervalový odhad hodnoty y pro x = 30 a x = 15. [y = 850,4 + 0,991x; s 2 = 46,67; β 2 0,808; 1,179 ; y( 30) = 820,7; y( 30) 812,05; 829,16 ; y(15) = 865,3; y(15) 859,94; 870,73 ]
20 Měřením byly získány hodnoty: x 0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 4,50 5,10 6,10 6,70 7,50 y 0,017 0,046 0,075 0,110 0,142 0,167 0,188 0,224 0,262 0,282 Určete regresní funkci y = β 0 +β 1 x, testujte hypotézu β 0 = 0 na hladině testu 0,05 a vypočítejte intervalový odhad koeficientu β 1 se spolehlivostí 0,95. [y = 0,012009+0,039686x; σ 2 = 0,0000207; β 1 0,038066; 0,041064, hypotézu o β 0 zamítáme] Při sledování závislosti veličiny Y na veličině x byly získány následující hodnoty: x 3,4 4,3 5,4 6,7 8,7 10,6 y 4,5 5,8 6,8 8,1 10,5 12,7 Určete regresní funkci y = β 0 + β 1 x, bodový odhad y(5,4) a intervalové odhady β 0, β 1, y(5,4) se spolehlivostí 0,95. [y = 0,77 + 1,12x; y(5,4) = 6,82; β 0 0,31; 1,24 ; β 1 1,05; 1,19, y(5,4) 6,41; 7,23 ] Empirickým zkoušením byly určeny rychlosti reakce Y při šesti různých teplotách: t 400 452 493 528 561 604 y 3,23 7,80 15,43 24,21 37,95 60,09 Určete odhad regresní funkce y = γ exp( β ), T = t + 273, a intervalový T odhad regresního koeficientu β se spolehlivostí 0,95. [y = 1,018 10 6 exp( 8,52197.103 T ); β 8,7604 10 3 ; 8,2836 10 3 ]
21 Vyrovnejte data v tabulce funkcí u(t) = γ 0 t γ 1. Určete pak hodnotu u(2) a její 95%-ní interval spolehlivosti. t 0,15 0,5 1 3 6 12 24 y 4,1 4,6 5,7 6,4 9,3 9,8 10,1 [û(t) = 5,6853t 0,2002 ; û(2) = 6,531; u(2) 6,422; 6,639 ] Určete odhady koeficientů regresní funkce y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 vyrovnávající data v tabulce a její index determinace. x 1i 4 8 7 5 5 4 11 6 16 9 10 x 2i 7 5 14 8 5 4 9 8 10 5 12 y i 12 38 20 20 27 20 49 26 83 51 38 [ β 0 = 4,080, β 1 = 6,005, β 2 = 1,969, R 2 = 0,983] Byl zkoumán vztah mezi užíváním hormonální antikoncepce a infarktem myokardu. Údaje od 224 žen jsou uvedeny v následující tabulce. antikoncepce \ infarkt ano ne ano 23 34 ne 35 132 Určete odhad poměru šancí, odhady regresních parametrů (plus test o nulovosti parametru β 1 ) a nakonec též intervalový odhad poměru šancí. DÚ 6 (ANOVA): [ ω(1)/ ω(0) = 2,5505]
22 Jsou známy měsíční tržby (v tisících Kč) tří prodavačů za dobu půl roku. 1. prodavač 12 10 9 10 11 9 2. prodavač 10 12 11 12 14 13 3. prodavač 19 18 16 16 17 15 Na hladině testu 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty tržeb všech tří prodavačů jsou stejné. Pokud zamítneme nulovou hypotézu, zjistěte, tržby, kterých dvou prodavačů se liší na hladině testu 0,05. [y 1. = 10,17, y 2. = 12, y 3. = 16,83, y.. = 13 S e = 27,7, S A = 142,3, S T = 170, F A = 38,58 F 2,15 (0,95) = 3,6823, H 0 tedy zamítáme na hladině testu 0,05. Výsledky zapíšeme do tabulky ANOVA Zdroj variability Součet čtverců Stupně volnosti podíl F A S A S A /f A skupiny S A = 142,3 f A = 2 = 71,17 = 38,58 f A S e /f e S e reziduální S e = 27,7 f e = 15 = 1,84 - f e celkový S T = 170 f T = 17 - - Nyní pomocí Tukeyovy metody zjistíme, které dvojice prodavačů se liší na hladině testu 0,05. Srovnávaní prodavači Rozdíly Y k. Y l. Pravá strana vzorce 1,2 1,83 2,04 1,3 6,67 2,04 2,3 4,83 2,04 Pravá strana: q 1 α (k,n k) S q = q 0,95 (3,15) 1,84 6 = 3,67 1,84 6 = 2,03, kde S 2 = Se n k = 1,84. Na hladině testu 0,05 se liší tržby prodavačů 1,3 a 2,3.]
23 Je dáno pět nezávislých náhodných výběrů o rozsazích 5, 7, 6, 8, 5, přičemž i-tý výběr pochází z rozdělení N(µ i, σ 2 ), i = 1,..., 5. Byl vypočten celkový součet čtverců S T = 15 a reziduální součet čtverců S e = 3. Na hladině testu 0,05 testujte hypotézu o shodě středních hodnot. [n = 5 + 7 + 6 + 8 + 5 = 31, k = 5, S A = S T S e = 15 3 = 12 F = S A/(k 1) = 12/4 = 26, F S e/(n k) 3/26 4,26(0,95) = 2,9752 Protože F F 4,26 (0,95), H 0 zamítáme na hladině testu 0,05.] Studenti byli vyučováni předmětu za využití pěti pedagogických metod: tradiční způsob, programová výuka, audiotechnika, audiovizuální technika a vizuální technika. Z každé skupiny byl vybrán náhodný vzorek studentů a všichni byli podrobeni témuž písemnému testu. Na hladině testu 0,05 testujte hypotézu, že znalosti všech studentů jsou stejné a nezávisí na použité pedagogické metodě. V případě zamítnutí nulové hypotézy zjistěte pomocí Scheffého a Tukeyho metody, které výběry se liší na hladině testu 0,05. metoda počet bodů tradiční 76,2 48,3 85,1 63,7 91,6 87,2 programová 85,2 74,3 76,5 80,3 67,4 67,9 72,1 60,4 audio 67,3 60,1 55,4 72,3 40,0 audiovizuální 75,8 81,6 90,3 78,0 67,8 57,6 vizuální 50,5 70,2 88,8 67,1 77,7 73,9 [Všech pět náhodných výběrů má rozložení blízké normálnímu rozložení. Levenův test shody rozptylů má testové kritérium 0,1238, počet stupňů volnosti je 4 a 26, tedy na hladině testu 0,05 hypotézu o shodě rozptylů nezamítáme. Analýza rozptylu má testové kritérium 1,6236, počet stupňů volnosti je 4 a 26, odpovídající P-hodnota je 0,1983, tedy na hladině testu 0,05 hypotézu o shodě středních hodnot nezamítáme. Znamená to, že na hladině testu 0,05 se neprokázaly odlišnosti ve znalostech studentů. ] Pan Novák může cestovat z místa bydliště do místa pracoviště třemi různými způsoby: tramvají (způsob A), autobusem (způsob B) a metrem s následným přestupem na tramvaj (způsob C). Máme k dispozici
24 jeho naměřené časy cestování do práce v době ranní špičky (včetně čekání na příslušný spoj) v minutách. Způsob A: 32 39 42 37 34 38 Způsob B: 30 34 28 26 32 Způsob C: 40 37 31 39 38 33 34 Pro všechny tři způsoby dopravy vypočtěte průměrné časy cestování. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že průměrná doba cestování do práce nezávisí na způsobu dopravy. V případě zamítnutí nulové hypotézy zjistěte, které způsoby dopravy do práce se od sebe liší na hladině významnosti 0,05. [Průměrné časy cestování pro tři způsoby dopravy jsou 37 min, 30 min, 36 min. Všechny tři náhodné výběry mají rozdělění blízké normálnímu rozdělení. Levenův test shody rozptylů má testové kritérium 0,1054, počet stupňů volnosti je 2 a 15, odpovídající p-hodnota je 0,9007, tedy na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě rozptylů nezamítáme. Analýza rozptylu má testové kritérium 6,7151, počet stupňů volnosti je 2 a 15, odpovídající p-hodnota je 0,0083, tedy na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě středních hodnot zamítáme. Scheffého metoda mnohonásobného porovnávání prokázala na hladině významnosti 0,05 rozdíl mezi způsoby A a B a mezi způsoby B a C.] Pro posouzení výkonnosti manuálního pracovníka během dne byl proveden experiment, při němž byla v různou denní dobu u několika pokusných osob měřena schopnost koncentrace (počet správně provedených úkonů za standardních podmínek). Výsledky testu jsou: Ráno 162 162 150 151 164 155 155 Dopoledne 158 154 150 160 165 156 149 Odpoledne 149 150 146 158 154 152 148 Večer 160 149 158 155 153 158 152 V noci 148 150 160 156 159 156 163 S pomocí jednofaktorové analýzy rozptylu (AR) testujte na hladině testu 0,05, zda podmínky pro koncentraci manuálního pracovníka mají souvislost s denní dobou. Aplikací Scheffého a Tukeyho metody navíc zjistěte, které dvojice skupin se od sebe na uvedené hladině testu liší. Předpoklad shody rozptylů ověřte Bartlettovým testem.
25 [souvislost koncentrace s denní dobou se neprokázala, nebot F = 1,548 < F 0,95;4;30 = 2,6896] Pokuste se prokázat na 5%-ní hladině významnosti, že směnový výkon dělníka závisí na osvětlení pracoviště (za předpokladu normality a shody rozptylů). Výsledky jsou zaznamenány u 16 náhodně vybraných osob v následující tabulce: Přímé osvětlení 64 54 60 50 Kombinované osvětlení 59 67 72 69 74 67 Nepřímé osvětlení 60 63 57 66 62 64 [ano, nebot F = 6,457 > F 0,95;2;13 = 3,82] Lékař předpokládá, že délka doby bez pocitu bolesti po podání utišujícího léku nezávisí na druhu medikamentu, ale na skutečnosti, že byla nějaká tableta podána. Tento čas byl nyní změřen na 15 pacientech, rozdělených do třech skupin: placebo: 2,2, 0,3, 1,1, 2,0, 3,4; medikament A: 2,8, 1,4, 1,7, 4,3; medikament B: 1,1, 4,2, 3,8, 2,6, 0,5, 4,3. Testujte lékařovu hypotézu na 5% hladině (předpokládáme normální rozdělení doby bez bolesti jakož i stejné rozptyly u jednotlivých výběrů). [F = 0,65] V teorii financí se považuje za efektivní takový trh s aktivami, na kterém se položky stejné kvality nebo jiných atributů (např. riziko v případě obchodu s akciemi) prodávají za stejné ceny. Petrochemická společnost chce zjistit, zda obchod s nezpracovanou ropou, při kterém se platí v hotovosti, je efektivní nebo ne. Pracovník pověřený vypracováním této analýzy, se rozhodl pro trh s ropou v Rotterdamu, kde si vybral druh ropy A. Protože rozdíly v poloze místa prodeje z důvodu rozdílných dopravních nákladů a rozdíly v druzích ropy z důvodu rozdílů v jejich
26 kvalitě mohou způsobit rozdíly v jejich cenách, obě skutečnosti fixoval a soustředil se jen na jedno místo a jeden druh: Rotterdam a druh A. Kromě toho je potřebné, aby se v sledovaném období nezměnila oficiálně platná cena ropy, což bylo splněné v březnu daného roku. V tomto měsíci pracovník náhodně vybral 8 dní, v kterých zjistil ceny ropy pocházející ze 4 exportujích zemí. Údaje (v $ za barel) jsou v tabulce: VB 17,88 18,00 17,99 18,00 17,90 17,80 18,00 17,98 Mexiko 17,77 18,00 18,01 18,12 18,20 18,01 17,75 18,00 SAE 18,48 18,30 18,22 18,56 18,10 18,10 18,35 18,01 Oman 18,23 18,20 18,15 18,14 18,11 18,05 18,01 17,94 Jaký můžeme udělat závěr o efektivnosti trhu s ropou? (Použijte jednofaktorovou AR, předpoklad o shodě rozptylů ověřte Bartlettovým testem). [F = 8,671 > F 0,95;3;28 = 2,947; průměrné ceny se nerovnají; 17,94 17,98 18,26 18,10] DÚ 7 (Korelační analýza): Data (1;4), (2;2), (3;0) jsou výběrem rozsahu 3 z dvourozměrného rozdělení. a) Spočtěte výběrovou kovarianci. b) Ověřte, že r = 1 a zdůvodněte proč. [b) všechny výběrové hodnoty leží na klesající přímce] Uvažujte hodnoty x i = i 6 a y i = x 2 i že r = 0. b) Nakreslete body (x i, y i ). pro i = 1, 2,..., 11. a) Ukažte, [b) body paraboly; korelační koeficient je přitom charakteristikou pouze lineární závislosti mezi statistickými znaky]
27 V obchodě se setkáváme s takovými druhy zboží, které se mohou při spotřebě vzájemně zastupovat. Příkladem mohou být některé druhy tuků, moučných výrobků aj. Z údajů o roční spotřebě (v kg) dvou takových druhů zboží A (x i ) a B (y i ) získaných u náhodně vybraných n = 2000 domácností jsme určili: xi = 120 000, y i = 80 000, x i y i = 4 560 000, Z těchto údajů vypočítejte: x 2 i = 8 000 000, y 2 i = 3 650 000 a) výběrové střední hodnoty a rozptyly b) výběrovou kovarianci a korelační koeficient [a) x = 60, ȳ = 40, s 2 X = 400, s 2 Y = 225; b) s X,Y = 120; r = 0,4] Pro data, která jsou výběrem o rozsahu n = 5 z rozdělení náhodného vektoru (X, Y, Z), spočtěte výběrovou varianční a výběrovou korelační matici. Vyjde li některý nediagonální prvek v korelační matici roven 1 nebo 1, zdůvodněte proč. Data jsou (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 4, 1), (4, 6, 2), (5, 8, 2). S = 5/2 5 3/2 5 10 3 3/2 3 1, R X = 1 1 3/ 10 1 1 3/ 10 3/ 10 3/ 10 1 Výběrový korelační koeficient r X,Y = 0,72 je vypočítaný z náhodného výběru rozsahu n = 35 z dvojrozměrného normálního rozdělní. Na hladině významnosti 0,01 testujte hypotézu H 0 : ρ = 0 proti alternativě H 1 : ρ 0. [H 0 zamítáme] Výběrový korelační koeficient r X,Y = 0,7 byl vypočten z náhodného výběru rozsahu n = 84 z dvojrozměrného normálního rozdělení. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu H 0 : ρ = 0,5 proti alternativě H 1 : ρ 0,5. Počítejte s využitím Z transformace.
28 [U = 2,88, H 0 zamítáme] Při zkoumání závislosti hodinové výkonnosti dělníka (Y ) na jeho věku (X 1 ) a době zapracovatelnosti (X 2 ) byly zjištěny následující údaje: věk (v letech) doba zapracovatelnosti (v letech) výkon za hodinu (v kusech) 43 6 67 40 8 65 49 14 75 46 14 66 41 8 77 41 12 84 48 16 69 34 1 60 32 5 70 42 7 66 a) Určete výběrové párové koeficienty a testujte hypotézy o nulové hodnotě těchto korelačních koeficientů na hladině testu α = 0,05. [0,2287; 0,4538; 0,8470; statisticky významný je jen třetí koeficient korelace] b) Určete výběrové parciální koeficienty korelace ρ Y,X1.X 2, ρ Y,X2.X 1 a testuje hypotézy o nulové hodnotě těchto korelačních koeficientů na hladině testu α = 0,05. [-0,3286; 0,5026; nejsou statisticky významné] c) Určete výběrový vícenásobného koeficientu korelace ρ Y,(X1,X 2 ) a testujte hypotézu o jeho nulové hodnotě na hladině testu α = 0,05. [0,5401; není statisticky významný, nebot f = 1,441 < F 2;7;0,95 = 4,737] d) Testujte na hladině α = 0,05 vzájemnou nezávislost uvedených statistických znaků. Realizací náhodného výběru z dvourozměrného normálního rozdělení byl získán vzorek o rozsahu n = 44 s koeficientem korelace r = 0,7417. Na hladině testu 0,01 testujte hypotézu, že náhodné veličiny jsou nezávislé. [H 0 : ρ = 0; t. = 6,110; u 0,995 = 2,576; hypotézu zamítáme]
29 V dílně pracuje 15 dělníků, u nichž byl zjištěn počet směn odpracovaných za měsíc (znak X) a počet zhotovených výrobků (znak Y ). Vypočtěte výběrový koeficient korelace mezi X a Y a na hladině 0,01 testujte za předpokladu normality hypotézu o nezávislosti veličin X a Y. X 20 21 18 17 20 18 19 21 20 14 16 19 21 15 15 Y 92 93 83 80 91 85 82 98 90 60 73 86 96 64 81 [Výběrový koeficient korelace je 0,927, testová statistika se realizuje hodnotou 8,597, kritický obor je W = (, 3,012 3, 012, ). Hypotézu o nezávislosti veličin X a Y zamítáme na hladině testu 0,01.] DÚ 8 (Neparametrické metody): Deset náhodně vybraných osob mělo nezávisle bez předcházejícího nácviku odhadnout, kdy od daného signálu uplyne jedna minuta. Byly získány následující výsledky (v sekundách): 53, 48, 45, 55, 63, 51, 66, 56, 50, 58. Testujte na hladině 0,05 hypotézu H 0 : x 0,5 = 60 proti oboustranné alternativě. Použijte a) znaménkový test, b) Wilcoxonův test. Proved te i asymptotické verze obou testů. [a) k 1 = 1 < Y = 2 < k 2 = 9, H 0 nezamítáme (ani asymptotickým testem); b) min(s +, S ) = 7 < w 10 (0,05) = 8, H 0 zamítáme (též asymptotickým testem)] Na 15 vzorcích asfaltu AP-80 se zjišt oval bod měknutí (ve stupních Celsia) s těmito výsledky: 46,8 47,3 46,5 48,1 47,5 47,7 47,6 47,5 46,9 47,3 47,5 47,9 47,1 47,4 48,0 a) Určete empirickou distribuční funkci. b) Kolmogorovým-Smirnovovým testem testujte na 5% hladině testu nulovou hypotézu, že jde o výběr z normálního rozdělení. [b) H 0 zamítáme]
30 Sledoval se účinek dvou různých umělých hnojiv na váhu květáku v gramech. Na dvou pokusných polích se proto vypěstovalo po 25 kusech květáku a každé pole se pohnojilo jedním ze sledovaných způsobů. Po sběru květáku se každý kus vážil. Výsledky jsou: Váha květáku v g 250 300 350 400 450 500 550 600 Četnost při 1. způsobu hnojení n 1 0 2 1 2 5 8 6 1 Četnost při 2. způsobu hnojení n 2 1 0 2 0 6 9 5 2 Na 5 % hladině testujte nulovou hypotézu, že oba soubory pocházejí se stejného základního souboru. [ano, Wilkoxonův dvouvýběrový test, D = 0,08 d 0,95 = (1/25 ln(2/0,05)) = 0,385] Součástí zkoušek při zavádění nového technologického postupu byla dvě statisticky nezávislá měření na dvou různých strojích s následujícími výsledky: 1. série 76,5 82,4 92,4 80,0 78,3 99,2 79,1 2. série 89,3 83,2 86,3 83,4 78,6 Rozhodněte, zda obě série měření je možno považovat za náhodné výběry ze stejného základního souboru. [ano, Wilcoxonův dvouvýběrový test] Následující tabulka uvádí produktivitu práce v tis. Kč na 1 pracovníka (veličina X), rentabilitu z nákladů v % (Y ) a míru zisku v % (Z) pro 14 výrobních podniků:
31 Podnik x i y i z i Bohumín 124 15,9 14,9 Hostivař 92 24,6 16,0 Kyjov 108 18,6 17,1 Libčice 72 4,9 3,5 Nymburk 61 9,0 4,6 Prostějov 99 6,7 6,5 Turnov 68 4,2 3,7 Vamberk 104 9,4 7,6 Žatec 89 12,3 9,7 Ždánice 86 15,0 8,8 Krupka 74 12,3 6,4 Brezová 73 9,2 5,6 Hlohovec 108 11,2 9,7 Stará L ubovňa 67 6,1 4,1 Testujte statistickou nezávislost všech tří dvojic veličin na 5% hladině testu. [r S (X, Y ) = 0,657, r S (X, Y ) = 0,833, r S (Y, Z) = 0,903, Spearmanův korelační koeficient, zamítneme nulové hypotézy o nezávislosti, nebot r 0,025 = 0,545] Při měření velikosti odpadu u deseti obráběných kusů byly získány hodnoty odpadu materiálu (v g): 4,1 4,0 3,8 3,9 3,8 3,8 3,5 3,7 4,0 4,0 Určete x a s pro velikost odpadu obráběného materiálu. Testujte, zda velikost odpadu má normální rozdělení (Kolmogorov-Smirnov). Testujte významnost rozdílu mezi výběrovým průměrem x a předpokládanou hodnotou odpadu 4 g. [ x = 3,86; s = 0,178; má normální rozdělení; rozdíl je statisticky významný (t-test)] U 10 náhodně vybraných vzorků benzínu byly zjištěny následující hodnoty oktanového čísla:
32 98,2 96,8 96,3 99,8 96,9 98,6 95,6 97,1 97,7 98,0 Na hladině testu 0,05 testujte hypotézu, že medián oktanového čísla je 98 proti oboustranné alternativě. [Použijeme jednovýběrový Wilcoxonův test. Testová statistika se realizuje hodnotou 12, tabelovaná kritická hodnota pro α = 0, 05 a n = 9 je 5. Protože 12 > 5, H 0 nezamítáme na hladině testu 0,05.] Majitel obchodu chtěl zjistit, zda velikost nákupů (v dolarech) placených kreditními kartami Master/EuroCard a Visa jsou přibližně stejné. Náhodně vybral 7 nákupů placených Master/EuroCard: a 9 placených Visou: 42 77 46 73 78 33 37 39 10 119 68 76 126 53 79 102 Lze na hladině významnosti 0,05 tvrdit, že mediány nákupů placených těmito dvěma typy karet se shodují? [Dvouvýběrový Wilcoxonův test, H 0 nezamítáme na hladině testu 0,05.] Na 12 vzorcích byla sledována jistá charakteristika, na každém vzorku vždy před tepelnou úpravou a znovu po této úpravě. Úkolem je zjistit, zda vliv tepelné úpravy na sledovanou charakteristiku je statisticky prokazatelný na hladině testu 0,05. Pro níže uvedená data použijte a) znaménkový b) Wilcoxonův párový test. Data jsou rozdíly mezi charakteristikou před úpravou a po úpravě každého vzorku: 4,2; -0,4; 3,5; 5,3; 3,1; -2,7; -0,1; 0,9; 2,6; 1,4; -0,7; 2,9. [a) nulovou hypotézu nelze zamítnout; b) hodnota S + = 65 (popř. S = 13) je statisticky významná]
33 Dvanáct různých softwarových firem nabízí programy pro vedení účetnictví. Programy byly posouzeny dvěma odbornými komisemi a bodově ohodnoceny. Výsledky v první a druhé komisi: (6, 4), (7, 5), (1, 2), (8, 10), (4, 6), (2,5; 1), (9, 7), (12, 11), (10, 8), (2,5; 3), (5, 12), (11, 9). Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a testujte nezávislost uvažovaných statistických znaků. [0,715] Vypočtěte Spearmanův korelační koeficient mezi rentabilitou nákladů v % (Y ) a mírou zisku v % (Z) pro 14 výrobních podniků a testujte hypotézu o nezávislosti. Y : 15,9, 24,6, 18,6, 4,9, 9,0, 6,7, 4,2, 9,4, 12,3, 15,0, 12,3, 9,2, 11,2, 6,1; Z: 14,9, 16,0, 17,1, 3,5, 4,6, 6,5, 3,7, 7,6, 9,7, 8,8, 6,4, 5,6, 9,7, 4,1. [r S = 0,903] Dva lékaři hodnotili stav sedmi pacientů po témž chirurgickém zákroku. Postupovali tak, že nejvyšší pořadí dostal nejtěžší případ. číslo pacienta 1 2 3 4 5 6 7 hodnocení 1. lékaře 4 1 6 5 3 2 7 hodnocení 2. lékaře 4 2 5 6 1 3 7 Užitím vhodného koeficientu vyšetřete nezávislost hodnocení obou lékařů. [r S = 0,857] Byly sledovány výnosy čtyř odrůd brambor A, B, C, D. Každá odrůda byla pěstována na 7 stejně velkých polích. Výnosy uvedené v t/ha jsou zaznamenány v tabulce: Odrůda/Výnosy A 19,3 18,0 21,6 22,4 20,9 20,1 24,0 B 23,1 26,5 25,2 25,0 24,3 21,4 26,7 C 23,7 20,8 19,8 24,1 22,2 22,6 22,9 D 17,2 16,6 16,9 17,7 21,3 15,2 19,0
34 Testujte hypotézu, že všechny čtyři výběry pochází z rozdělení se stejnou distribuční funkcí. Pro případná mnohonásobná porovnávání použijte Neményiovu metodu. [Q = 18,369] Výrobce koláčů v prášku má 4 nové recepty a chce zjistit, zda se jejich kvalita liší. Upekl proto 5 koláčů od každého druhu a dal je porotě k ohodnocení. Recept/Ohodnocení A 72 88 70 87 71 B 85 89 86 82 88 C 94 94 88 87 89 D 91 93 92 95 94 Na hladině 0,05 testujte hypotézu, že se recepty neliší. Pro případná mnohonásobná porovnávání použijte Neményiovu metodu. [Q = 12,45, Neményiho metoda prokázala, že se na hladině testu 0,05 liší recepty A a D.] Pro soubor dat 0,621; 0,503; 0,203; 0,477; 0,710; 0,581; 0,329; 0,480; 0,554; 0,382 testujte hypotézu, že jde o výběr z rovnoměrného rozdělení na intervalu (0, 1). [d 10 = 0,290]