V tabulce jsou uvedeny roční náklady na údržbu (v dolarech) a cena domu (v tis. dolarů).

Transkript

1 1. Příklad V tabulce jsou uvedeny roční náklady na údržbu (v dolarech) a cena domu (v tis. dolarů). Náklady Cena a.) Modelujte závislost nákladů na údržbu na ceně regresní přímkou. b.) Ověřte pomocí testu, zda se jedná o významnou závislost (α = 0,05). c.) Zhodnoťte kvalitu modelu pomocí koeficientu determinace. d.) Interpretujte věcně hodnotu regresního koeficientu b 1. e.) Odhadněte střední hodnotu nákladů u domů za 80 tis. dolarů. File New Data (Finish) a.) y = - 160,35 + 7,5737x b.) Pr > F = <.0001; tedy je menší než 0,05 model jako celek má smysl (alespoň jedna proměnná je významně odlišná od nuly) Pr > t = 0,0045 resp. <.0001; tedy je menší než 0,05 jak proměnná b0, tak b1 jsou významně odlišné od nuly a mají v modelu smysl. c.) Koeficient determinace = R 2 = R-square = 0, ,97% celkové variability je vysvětleno tímto modelem. d.) S každým tisícem dolarů, o který je dům dražší, stoupají roční náklady na údržbu o 7,5737 dolarů e.) Doplněním: y = -160,35 + 7,5737*80 = 445, 56 dolarů. 2. Příklad Máte tento výstup ze SAS modelující závislost mezi mediánem ceny domu v Bostonu (v tis. dolarech) a počtem pokojů: Analysis of Variance Source DF Sum of Mean F Value Pr > F Squares Square

2 Model 1 Error 504 Corrected Total Root MSE R-Square Dependent Mean Adj R-Sq Coeff Var Parameter Estimates Variable DF Parameter Standard t Value Pr > t Estimate Error Intercept Rooms a.) Dopočítejte teoretický a reziduální součet čtverců. b.) Vypočítejte hodnoty testových kritérií pro celkový F-test a jednotlivé t-testy, proveďte dané testy na 1% hladině významnosti. c.) Vypočítejte mediánovou cenu domu s 5 pokoji. a.) Teoretický součet čtverců Model SoS. = R 2 *Total SoS = 0,4835*42716 = Reziduální součet čtverců Error SoS = Total SoS Model SoS = = b.) F test F = 471,79 F 0,99 [1;504] = 6,635 Spadá do kritického oboru, zamítáme nulovou hypotézu, že se všechny proměnné rovnají nule. Prokázali jsme, že alespoň jedna proměnná v modelu je statisticky významně odlišná od nuly. t-testy t = t 0,99 [504] = 2,457 (přibližně, hodnota pro t[30])

3 Obě hodnoty padají do kritického oboru, tedy zamítáme pro oba parametry nulovou hypotézu, že se jeho hodnota rovná nule. Prokázali jsme, že na hladině významnosti 0,1 jsou parametry b 0 a b 1 statisticky významně odlišné od nuly. c.) y = -34, ,10211*5 = 10,84. Mediánová cena domu s pěti pokoji v Bostonu je dolarů. Za pozornost stojí nesmyslnost tohoto modelu ceny domů se třemi a méně pokoji by dle něj měly být záporné. Tudíž ani vyhovující výsledky t-testů nezajišťují smysluplnost modelu (!). 3. Příklad U automobilu byla měřena spotřeba benzínu v závislosti na rychlosti. (Ke stažení Auta) Rychlost (km/h) Spotřeba (l/100 km) 5,7 5,4 5,2 5,2 5,8 6 6,8 8,1 a.) Vyrovnejte data regresní přímkou a regresní parabolou. b.) Ověřte kvalitu modelů na hladině významnosti 0,05 a porovnejte je. c.) Ověřte význam kvadratického členu v modelu paraboly na hladině významnosti 0,01. d.) Proveďte odhad spotřeby při rychlosti 80km/h. a.) přímka: y = 3,63 + 0,0319x parabola: y = 9,76 0,14845x + 0,00120x 2 Pro vytvoření paraboly je potřeba vytvořit kromě proměnných y a x ještě proměnnou x 2, jejíž hodnoty získáme umocněním hodnot x. Následně do modelu zařadíme jako vysvětlující proměnné x i x 2. b.) Pro porovnávaní kvality modelů užíváme upravený koeficient determinace, který najdeme v řádku Adj R-Sq. Pouze pokud bychom jej neměli, užívali bychom čistý koeficient determinace (R-Square) Přímka: 0,5652 Parabola: 0,9772 Model paraboly vysvětluje mnohem více z celkové variability vzhledem k množství užitých proměnných (tj. upravený koeficient determinace je vyšší) než model přímky, je tudíž považován za užitečnější.

4 c.) t-test pro proměnnou x 2 vychází příznivě (Pr > t = 0,0001, což je méně než 0,01) d.) y = 9,76 0,14846*80 + 0,00120*80 2 = 5, Příklad Sestrojte regresní model závislosti pracovní neschopnosti (v procentech pracovních dní za rok) na průměrném věku zaměstnanců a podílu žen (v procentech) na celkovém počtu zaměstnanců v podnicích určitého odvětví. Neschopnost Průměrný věk Podíl žen a.) Ověřte vhodnost zařazení proměnných do modelu na hladině významnosti 0,05. b.) c.) d.) Odhadněte parametry lineární regresní funkce a tuto zapište. Posuďte kvalitu modelu. Odhadněte roční procento pracovní neschopnosti v podniku s průměrným věkem zaměstnanců 39 let, kde pracuje 42% žen. Do vysvětlujících proměnných se zařadí obě dvě uvažované proměnné. Vzniká model: y = -3, ,01006x 1 + 0,16040x 2. Dle t-testů do modelu nepatří proměnná x 1. Adj. R-Sq = 0,9358. Upravíme model tak, že proměnnou x 1 vyřadíme. y = -2, ,15625x 2

5 T-testy i F-test vychází v pořádku. Adj. R-Sq = 0,9416. Model je dokonce možno považovat za kvalitnější z hlediska vysvětlené variability v poměru k počtu zařazených proměnných. R-Square = 0,9481. Tento model vysvětluje celkem 94,81% celkové variability, testy parametrů taky vycházejí v pořádku. Předchozí model vysvětloval 95,01% celkové variability, ale jednalo se o statisticky neprůkazný model, větší podíl vysvětlené variability je způsoben zařazením dalších proměnných. Teoreticky lze zařazením libovolných (!) dodatečných proměnných nakonec vysvětlit 100% variability (stačí mít tolik proměnných, kolik je pozorování), ale kvalita takovéhoto modelu by zjevně byla nulová. Proto se pro hodnocení užívá Adj R-Sq. d.) y = -2, ,15625*42 = 3, Opět je potřeba být opatrný při hodnocení schopnosti modelu předvídat, protože tvrdí, že při nulovém podílu žen by průměrná pracovní neschopnost byla záporná, což je logický nesmysl.