1. série. Pohádky. Téma: Datumodeslání:



Podobné dokumenty
1. jarní série. Barevné úlohy

1 Zadání Zadání- Náboj 2010 Úloha1.Kvádrsdélkamihran1, a,2amápovrch54.najdětehodnotučísla a.

Intervalové stromy. Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme. 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti.

Školní kolo soutěže Mladý programátor 2014, kategorie C

Výsledek. Nejméně 14 kostek, nejvíce 38. Návod. Když se podíváme na stavbu shora, vidíme následující tabulku:

ILUSTRAÈNÍ TEST LIBERECKÝ KRAJ

Kategorie mladší. Řešení 1. kola VI. ročník

4. podzimní série. Množiny

2.1 Zobrazování prostoru do roviny

Úloha 1A (5 bodů): vyhovuje Úloha 2A (6 bodů): Obrázek 1 Přelévání mléka

Matematický KLOKAN 2005 (A) (B) (C) (D) (E) (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 (E) 1

Obří prvky: jak postavit větší kostky

Kolekce ArrayList. Deklarace proměnných. Import. Vytvoření prázdné kolekce. napsal Pajclín

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla

Ukazovatel stavu - ukazuje stav zápasu viditelný pro hráče a diváky, ukazuje hrací čas, skóre, počet time-outů a aktuální čtvrtinu Ukazatelé faulů -

Teoretické řešení střech (Josef Molnár, Jana Stránská, Diana Šteflová) 1. Všeobecné poznatky

Mezinárodní barvářské zkoušky alpského brakýře jezvčíkovitého. 1 Práce na stopě

le není žádný neuklizený pokoj, kdepak. Je to většinou neprostupná změť obrovských stromů s propletenými korunami a dlouhatánskými liánami nad

2 Spojité modely rozhodování

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Hra obsahuje: Příprava na hru: Desková hra pro odvážné dobrodruhy s chladnou hlavou č e s k ý n á v o d

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Hloubka ostrosti trochu jinak

Slavnostní nebo také besední či táborové ohně mají dávat především světlo, přílišný žár není nutný. Používají se při slavnostních událostech.

I. kolo kategorie Z5

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.

Úhly a jejich vlastnosti

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

8. Stereometrie 1 bod

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Kolik otáček udělá válec parního válce, než uválcuje 150 m dlouhý úsek silnice? Válec má poloměr 110 cm a je 3 m dlouhý.

Fyzika v přírodě. výukový modul pro 9. ročník základní školy

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech

Varování! Hry jsou nevhodné pro děti do 3 let. Výrobce: BEX Sport AB, Švédsko. Dovozce: STOA-Zahradní minigolf s.r.o.

Kapka kapaliny na hladině kapaliny

TVORBA VÝROBNÍ DOKUMENTACE CV

Návody k domácí části I. kola kategorie C

1. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí.

2. Podle předlohy na straně 121 zhotovíme šablonu, podle níž z oranžové plsti vystřihneme zobák.


OBRÁBĚNÍ DŘEVA. Mgr. Jan Straka

5.2.7 Zobrazení spojkou I

StatSoft Odkud tak asi je?


Euklidovský prostor Stručnější verze

Síla, skládání sil, těžiště Převzato z materiálů ZŠ Ondřejov -

Internetová matematická olympiáda listopadu 2008

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

Otázky z kapitoly Základní poznatky

NICK A TESLA A ARMÁDA BĚSNÍCÍCH ROBOTŮ

Teorie informace a kódování (KMI/TIK)

ÚKOLY PRO STAVITELE HRADU

Technologický postup Realizace staveb z gabionových svařovaných stavebních konstrukcí

P1 Formule ve sněhu. P2 Double Cola

Technologický postup realizace staveb z gabionových stavebních konstrukcí systému Algon

Květina v zrcadle. Řešení: 0,5 + 0,5 + 2 = 3 m

Otázka: Jak poznáme, že je ve skořápce vejce trhlina, i když ji neobjevíme očima?

K čemu je prezentér. Dalším benefitem prezentéru je pak prostý fakt, že nejste uvázáni u notebooku jako pes u

Poté hráči spočtou své Body prestiže a vítězem se stává ten, kdo jich nashromáždil nejvíce.

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

O dělitelnosti čísel celých

Popis zateplovacího systému

KOSTKY. počítačová stavebnice. Ing. Hana Vláčilová

Skořepina v SolidWorks

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

Školní kolo soutěže Baltík 2010, kategorie C, D

Mezinárodní programátorská soutěž Baltík 2005 úlohy školního kola

12. Aproximační algoritmy

Ukázka zpracována s využitím školního vzdělávacího programu Cesta pro všechny Základní škola praktická Rožnov pod Radhoštěm

Rozmístěte na šachovnici 6 6 čtyři tchýně 1 tak, aby se navzájem neohrožovaly a právě jedno volné pole zůstalo neohrožené.

I. kolo kategorie Z9

SDH Stachy. Dětský hasičský pětiboj, který se koná dne 13. července 2013 na autobusovém nádraží Stachy PRAVIDLA

SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ ÚLOH DEMOTESTU V KATEGORII BENJAMIN. soutěže BOBŘÍK INFORMATIKY U každé otázky najdete znění správné odpovědi a zdůvodnění.

Fyzikální veličiny. Převádění jednotek

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

MATEMATIKA 1 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006

KUBA. Pravidla přeložil Bednin (připomínky posílejte na

Pohádkové postavy práce s textem

NÁMĚSTÍ HRANICE U AŠE

S = 2. π. r ( r + v )

Elekronické vypínací hodiny

2.3 Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou Tlak ve vzduchu vyvolaný tíhovou silou... 5

Nejnižší počet bodů pro cenu

Když už má vykopané cesty, může postavit domyr opět přesně podle obrázku. Domy se objeví najednou. Program opět čeká.

1,0 m při obnově a s použitím technických opatření

TAJ MAHAL MOCNÍ MAHARADŽOVÉ HONOSNÉ PALÁCE

REKTIFIKACE DVOUSLOŽKOVÉ SMĚSI, VÝPOČET ÚČINNOSTI

POROTHERM překlad VARIO

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

přirozený algoritmus seřadí prvky 1,3,2,8,9,7 a prvky 4,5,6 nechává Metody řazení se dělí:

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

DYNAMICKÉ PROGRAMOVÁNÍ A PROBLÉM BATOHU

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

TEST PRO VÝUKU č. UT 1/1 Všeobecná část QC

FUTSAL 3х3 a 4х4 (Mikrofutsal)

Příklady: 7., 8. Práce a energie


Úloha 2. Obdélník ABCDprotínákružnicivbodech E, F, G, H jakonaobrázku.jestližeplatí AE =3, DH =4a GH =5,určete EF. G C

Transkript:

Téma: Datumodeslání: º Ò ¾¼¼ 1. série Pohádky ½º ÐÓ Ó Ýµ ¾º ÐÓ Ó Ýµ Princezna si dělá pořádek ve svých truhličkách. Vysype na stůl do dvou hromádek drahokamy º ÐÓ Ó Ýµ naprvníjichje17,nadruhé10.pokaždé,kdyžnaberezjednéhromádkydorukykameny(vždy vezmepřesnětři)achcejedátnadruhou,přiletídrakadvakamenyspolkne.princeznapak smutně položí zbylý kámen na druhou hromádku. Může princezna vytvořit dvě hromádky po osmi kamenech? Vkrálovskéhodovnísínimajístůlpokrytýubrusemsvyšívanoučtvercovousítí12 12.Na některých čtvercích stojí překážky. Nejmladší princ má dřevěného vojáčka, kterého rád staví doprostřed některého z rohových políček. Vojáček postupuje dopředu, dokud nedojde k políčku, naněmžjepřekážka.přednímsezastaví,otočíseo90stupňůdopravaajdedál(může-li; nemůže-li,znovuseotočí,... ).Taktochodí,alepochvíliobvyklezestoluspadne.Poraďte princi, jak překážky rozmístit, aby vojáček mohl po stole chodit a nikdy nespadl. V Kocourkově chtějí postavit dům tvaru krychle bez vnitřních místností. Ve stavebninách jsou však k dostání pouze vykousnuté cihly o objemu tři(jako na obrázku). Je možné těmito cihlami vyplnitdůmorozměrech3 3 3? Lordchodíváužlétakaždýdennalovkachen.Prvníhočervnasevrátilzlovuapyšněpovídá svékuchařce: Dnesjsemulovilvíckachennežpředdvěmadny,ikdyžméněnežpředtýdnem. Totéžřeklponávratuidruhéhočervna,itřetího,...Koliknejvícedníposobětakmohlmluvit? Lordmásvoučestanikdybynelhal. Očarovaný jeden metr dlouhý vlas princezny Zlatovlásky se volně vznáší ve vzduchu uprostřed Černého sálu. Drobným nedopatřením se na vlas dostali mravenci. Ti po něm lezou jedním ze dvou možných směrů rychlostí jeden centimetr za vteřinu. Když se dva potkají, srazí se, každý se otočí a jde zpátky(opačným směrem než předtím). Když mravenec dojde na konec vlasu, spadne. Jak nejdéle může trvat, než všichni popadají?

V podzámčí žije hospodář, který vlastní krávu, tři dřevěné kolíky, malý kovový kroužek a dlou- hatánské lano. Lano může rozstříhat na libovolně mnoho kusů, které může přivazovat krávě na krk,kekolíkůmakekroužku.neumísvazovatkusylanajentakksobě,alemůželanoprovlékat kroužkem 1 (kolikrátchce).krávapocházízcirkusuaumípřeskočitčipodléztkaždýprovaz, takže ji omezují pouze lana, co má na krku. Poraďte hospodáři, jak krávu uvázat, aby vypásla přesně půlkruh o poloměru 20 metrů(ven z půlkruhu se nesmí dostat). V lese nejtemnějším z nejtemnějších rostou tenké stromy, z nichž každý je nižší než 1003 metry. Žádnédvastromyodsebenejsoudál,nežkolikčinírozdíljejichvýšek.Dokažte,žecelýtemný les je možné obehnat zdí dlouhou 2007 metrů. Kouzelníkůvučeňmázaúkolrozmístitvěženatrojrozměrnoušachovnici n n ntak,aby každé volné políčko nějaká věž ohrožovala. Věž ohrožuje všechna políčka ve svém řádku a sloupci na témže patře šachovnice a všechna políčka přímo pod sebou i nad sebou(tj. všechna políčka vestejnémvertikálnímsloupci).poraďtemu,jakto(prodané n)udělat,abypřitompoužilco nejméně věží. Řešení 1. série 1. úloha Princezna si dělá pořádek ve svých truhličkách. Vysype na stůl do dvou hromádek drahokamy naprvníjichje17,nadruhé10.pokaždé,kdyžnaberezjednéhromádkydorukykameny(vždy vezmepřesnětři)achcejedátnadruhou,přiletídrakadvakamenyspolkne.princeznapak smutně položí zbylý kámen na druhou hromádku. Může princezna vytvořit dvě hromádky po osmi kamenech? Mohli bychom vyzkoušet všechny možné způsoby přesouvání kamenů, ale naštěstí existuje kratšířešení:označmesi h 1 a h 2 početkamenůnaprvníadruhéhromádcevnějakéchvíli.na začátkujetedy h 1 =17ah 2 =10.Podívejmese,jaksezměnísoučet h 1 + h 2 poté,coprincezna jednou přesune kameny. Bez újmy na obecnosti(druhý případ je skoro stejný) ať přesouvá z první hromádkynadruhou.kdyžnaberetřikameny,zmenšíse h 1 otři.drakpakdvakamenyspolkne, takže h 2 sezvýšípřesněojedna.dostáváme,žesoučet h 1 + h 2 sezměnilo 3+1= 2,tedy kleslodva.jinaksesoučetměnitnemůže. Nazačátkujesoučetlichý17+10=27.Kdybyprinceznaonyhromádkyvytvořitmohla, muselabyumětz27dostatpomocíodčítání2číslo8+8=16,kteréjesudé.aletonejde zbytek h 1 + h 2 podělenídvěma(učeněsemuříká parita )zůstáváceloudobustejný.proto vytvořit dvě stejné hromádky není možné. 2. úloha Vkrálovskéhodovnísínimajístůlpokrytýubrusemsvyšívanoučtvercovousítí12 12.Na některých čtvercích stojí překážky. Nejmladší princ má dřevěného vojáčka, kterého rád staví 1 Lanoprovlečenékroužkemseodlanapřivázanéhokekroužkulišítím,žepoprovlečeném laně kroužek volně klouže.

doprostřed některého z rohových políček. Vojáček postupuje dopředu, dokud nedojde k políčku, naněmžjepřekážka.přednímsezastaví,otočíseo90stupňůdopravaajdedál(může-li; nemůže-li,znovuseotočí,... ).Taktochodí,alepochvíliobvyklezestoluspadne.Poraďte princi, jak překážky rozmístit, aby vojáček mohl po stole chodit a nikdy nespadl. Poradíme princi, aby překážky uspořádal jako na obrázku na další straně(jak je vidět, nemusí princ ani používat celý stůl). Potom bude možné vojáčka snadno přimět, aby chodil donekonečna: Stačí ho na začátku natočit jako na obrázku. Orientace vojáčka je vyznačena šipkami. 3. úloha V Kocourkově chtějí postavit dům tvaru krychle bez vnitřních místností. Ve stavebninách jsou však k dostání pouze vykousnuté cihly o objemu tři(jako na obrázku). Je možné těmito cihlami vyplnitdůmorozměrech3 3 3? Odpověď zní ano, ukážeme si jednu z možností, jak cihly použít. Oba obrázky znázorňují stejnou situaci; vyber si ten, který se ti zdá přehlednější.

9 9 7 8 9 6 8 8 6 3 3 7 2 2 7 1 1 6 3 5 5 2 4 5 1 4 4 4. úloha Lordchodíváužlétakaždýdennalovkachen.Prvníhočervnasevrátilzlovuapyšněpovídá svékuchařce: Dnesjsemulovilvíckachennežpředdvěmadny,ikdyžméněnežpředtýdnem. Totéžřeklponávratuidruhéhočervna,itřetího,...Koliknejvícedníposobětakmohlmluvit? Lordmásvoučestanikdybynelhal. Abychom dokázali, že lordův výrok nemůže být pravdivý po sedm dní, znázorněme si všechny dny, které budeme brát v úvahu, body popsanými daným datem a spojme je šipkami, přičemž šipkavždymíříodedne,kdyulovilméněkachen,kedni,kdyulovilkachenvíce.dostanemetak následující diagram: 31 2 4 6 30 1 3 5 7 Řetězec šipek je uzavřený. Protože každá šipka vyjadřuje nerovnost, znamená to, že předpoklad,žebylordopakovalsvůjvýroksedmdní,bylnepravdivý(prožádná a, b, cpřirozená nemůžeplatit a < b < c < a).

Uvažujme nyní pouze šest dní. Není těžké najít příklad, který vyhovuje požadovaným podmínkám. Výrokjepravdivýpošestdní 1.až6.června. Označme x npočetkachen,kterélordulovil n-téhodne,počínaje30.květnem.... 30 31 1 2 3 4 5 6 7...... x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9... Zlordových(pravdivých)výrokůvíme,že x 1 > x 3 > x 5 > x 7 a x 2 > x 4 > x 6 > x 8. Dálezvýrokuze6.červnavíme,že x 1 > x 8.Dohromadydostanemesériinerovností: x 2 > x 4 > x 6 > x 8 > x 1 > x 3 > x 5 > x 7. Řekneme-li, že lord ulovil 31.května jednu kachnu (x 2 = 1), a nahradíme-li znaménka > výrazem +1=,dostanemesouborhodnot:... 30 31 1 2 3 4 5 6...... 5 1 6 2 7 3 8 4... Potomstačíříci,žekaždýdenvtýdnupřed30.květnemulovilvíceneždevětkachen(aby platila druhá část každého výroku), a naše řešení pro šest dní funguje. Největší počet po sobě následujících dní, během nichž mohly být lordovy výroky pravdivé, je tedyšest.prosedmdnítonaopakužnikdymožnénení. 5. úloha Očarovaný jeden metr dlouhý vlas princezny Zlatovlásky se volně vznáší ve vzduchu uprostřed Černého sálu. Drobným nedopatřením se na vlas dostali mravenci. Ti po něm lezou jedním ze dvou možných směrů rychlostí jeden centimetr za vteřinu. Když se dva potkají, srazí se, každý se otočí a jde zpátky(opačným směrem než předtím). Když mravenec dojde na konec vlasu, spadne. Jak nejdéle může trvat, než všichni popadají? Úloha je trochu triková. Mravence budeme považovat za nerozlišitelné to nebude mít vliv na to,zajakdlouhopopadají.kdyžsedvamravenciodsebeodrážejí,představímesimístotoho,že jenom projdou skrz sebe(vůbec se neodrazí) to můžeme, když máme mravence nerozlišitelné. Potom se všichni mravenci pohybují po vlasu rovně, odkud plyne, že každý mravenec může na vlasu zůstat nejdéle 100 vteřin(než dojde z jednoho kraje na druhý). Tohoto času lze dosáhnout právě v případě, že nějaký mravenec bude začínat na jednom konci vlasu a mířit ke druhému konci. 6. úloha V podzámčí žije hospodář, který vlastní krávu, tři dřevěné kolíky, malý kovový kroužek a dlouhatánské lano. Lano může rozstříhat na libovolně mnoho kusů, které může přivazovat krávě na krk,kekolíkůmakekroužku.neumísvazovatkusylanajentakksobě,alemůželanoprovlékat kroužkem 2 (kolikrátchce).krávapocházízcirkusuaumípřeskočitčipodléztkaždýprovaz, takže ji omezují pouze lana, co má na krku. Poraďte hospodáři, jak krávu uvázat, aby vypásla přesně půlkruh o poloměru 20 metrů(ven z půlkruhu se nesmí dostat). 2 Lanoprovlečenékroužkemseodlanapřivázanéhokekroužkulišítím,žepoprovlečeném laně kroužek volně klouže.

Uvědomme si, že když krávu uvážeme k více provazům, výsledná oblast, kam se dostane bude průnikem všech oblastí, kam by se dostala jen s jedním uvázaným provazem. Bude nám tedy stačit pokud najdeme několik(třeba dvě) oblastí, jejichž průnikem je právě daný půlkruh. A T B kráva X S Y Mějmetedydanýpůlkruhsestředem S,hraničnímprůměrem XY aoznačme T středhraničního oblouku XY (viz obrázek). Jeden způsob uvázání se nabízí hned: zabodnout kolík do bodu Skněmupřivázatlanodélkypoloměrudanéhopůlkruhu(tedy20m)anadruhýkonec přivázatkrávu.tímkrávuomezímenakruhsestředem Sapoloměrem20m.Nyníještěmusímenajítoblast,nakterouumímekrávuomezitavekteréležídanýpůlkruh,aleneležídruhá polovinakruhu.ktomubudemepotřebovatdvělana:jednodélky40m(průměrkruhu)adruhé délky20m.sestrojímebody A, Btak,aby XSTAaSY BTbylyčtverce(budoutedymítstranu 20m).Dobodů AaB zabodnemekolíky,mezikterénatáhnemelano(délky40m)ananěj navlečemekroužek.ktomuuvážemelanodélky20m(druhýkonecopětkrávěkekrku).tímto úvazem omezíme krávu na oblast, jejíž každý bod je vzdálen od úsečky AB nejvýše 20 m. Snadno nahlédneme, že průnikem našich dvou oblastí je daný půlkruh. 7. úloha V lese nejtemnějším z nejtemnějších rostou tenké stromy, z nichž každý je nižší než 1003 metry. Žádnédvastromyodsebenejsoudál,nežkolikčinírozdíljejichvýšek.Dokažte,žecelýtemný les je možné obehnat zdí dlouhou 2007 metrů. Představme si, že stromy budeme spojovat čárami tak, že začneme u nejnižšího, z něj povedeme čáru do druhého nejnižšího, z něj do dalšího, atd., až skončíme u nejvyššího stromu(uvědom si,žežádnédvastromynemůžoumítstejnouvýšku).délkaúsekumezikaždýmidvěmaposobě jdoucími stromy je nejvýše rovna rozdílu jejich výšek, postupným sčítáním tedy dostaneme, že délka celé lomené čáry je menší nebo rovna než rozdíl výšek nejvyššího a nejnižšího stromu, což jepodlezadáníméněnež1003. Postavíme-li nyní zeď těsně podél lomené čáry, bude nám stačit, když bude víc než dvakrát delší než tato čára (jednou na cestu od nejnižšího stromu k nejvyššímu a podruhé na cestu zpátky).aprotožeje2007 > 2 1003,zeďdélky2007stačí.(Ještějedobrésiuvědomit,že případné křížení lomené čáry vůbec ničemu nevadí.)

8. úloha Kouzelníkůvučeňmázaúkolrozmístitvěženatrojrozměrnoušachovnici n n ntak,aby každé volné políčko nějaká věž ohrožovala. Věž ohrožuje všechna políčka ve svém řádku a sloupci na témže patře šachovnice a všechna políčka přímo pod sebou i nad sebou(tj. všechna políčka vestejnémvertikálnímsloupci).poraďtemu,jakto(prodané n)udělat,abypřitompoužilco nejméně věží. Dokážeme,ženejmenšípotřebnýpočetvěžíje n2 2 prosudé na n2 +1 proliché n. 2 Nejdřívsiuvědomme,žetolikvěžístačí.Ktomusenámbudehoditznázorňovatvěževkrychli pomocí tabulky n n, která bude odpovídat jedné(dolní) vrstvě krychle. Každé políčko této tabulky bude buďto prázdné, což znamená, že nad tímto políčkem není žádná věž, nebo bude obsahovatněkterázčísel1,2,..., n,kterávyjadřují,vkterýchvrstváchjsounadtímtopolíčkem věže. Pro malá n jdou věže rozmístit takto: 1-2 1 - - 3 2-2 3 1 - - - - 4 3 - - 3 4 2 1 - - 1 2 - - - - 5 3 4 - - 4 5 3 - - 3 4 5 2 1 - - - 1 2 - - - Rozmysli si, že ohrožená jsou skutečně všechna políčka a že podobně jdou věže rozmístit pro jakékoli n. Ateďvzhůrunadůkaz,žeméněvěžínestačí.Předpokládejme,žejevkrychlirozmístěno V věží, které ohrožují všechna políčka. Vyberme vrstvu A, která obsahuje nejméně věží, tento počet značme a. Bez újmy na obecnosti(búno) předpokládejme, že je rovnoběžná s rovinou xy. Označme a 1 početřádků,kterétěchto avěžíohrožujevesměruosy x,aa 2 početřádků,které tytověžeohrožujívesměruosy y.búnoještěpředpokládejme,že a 1 a 2 ;zřejměplatí a a 1 a a a 2.Vevrstvě Atytověženeohrožují(n a 1 )(n a 2 )krychliček,kterémusíbýtohroženy nějakouvěžívesměruosy z.uvažujmevšech nvrstevrovnoběžnýchsrovinou xz.vn a 1 znich, kteréneobsahujížádnouvěžza,musíbýtdohromadyaspoň(n a 1 )(n a 2 )věží;vkaždéze zbývajících a 1 vrstevjeaspoň avěží(vrstvu Ajsmetotižvybralitak,abyobsahovalanejméně věží ze všech vrstev), celkem tedy máme V (n a 1 )(n a 2 )+aa 1 (n a 1 ) 2 + a 2 1= n2 2 +(2a 1 n) 2. 2 Pravástranajeaspoň n2 2 prosudé na n2 +1 2 proliché n,cožjsmechtělidokázat.