4. podzimní série. Množiny

Transkript

1 4. podzimní série Téma: Datumodeslání: Množiny ½¼º Ð Ò ¾¼½½ ½º ÐÓ Ó Ýµ Do jedné nejmenované čajovny chodí každý víkend několik pravidelných hostů. Každý z nich má nějakéoblíbenédruhyčaje zelený,černýnebobílý.někteřízhostůsidávajívždytensamý druhčaje,jinímajívoblibědvadruhyaněkteřísirádiobjednajíkterýkolivčaj.alčasivšimla, žeprávě4zpravidelnýchhostůjsoutací,kteřísibuďbílýčajnedávajínikdy,nebohostřídají sjednímjinýmdruhemčioběmaostatními.dálejecelkem8těch,kteřízelenýčajpijívždy neboalespoňobčas,akonečně9hostůsisicenikdyzelenýčajnedá,alejinakmajírádijakčerný, takbílý.alčubyteďzajímalo,kolikhostůnepijenicjinéhonežčernýčaj.pomůžetejí? ¾º ÐÓ Ó Ýµ Jardasenaštvalnamnožinu M= {,,...,}azačalznívyhazovatčísla.ylotovšaktěžší, nežčekal kdyžzm vyhodilnějakéčíslorůznéod,mohlpotomvyhoditpouzečíslosním soudělné nebo jedničku. Pokud vyhodil jedničku, mohl jako další číslo vyhodit jakékoliv jiné. KoliknejvícčíselmohlJardazMvyhodit? º ÐÓ Ó Ýµ Při svých toulkách rovinou objevil Olin pozoruhodnou množinu bodů, která byla osově souměrná podle úplně všech přímek v rovině. Určete všechny neprázdné množiny, které mohl Olin najít. Čísla,,...,0rozházímedotřírůznobarevnýchkyblíčků bílého,modréhoačerveného. Kolikazpůsobymůžemečíslarozházet,pokudžádnýznichneníprázdnýadvěposobějdoucí čísla nikdy nejsou v témže kyblíčku? Jedántrojúhelník ACanajehokružniciopsanébod Xrůznýodvrcholů A,, C.Označme D, E paty kolmic vedených z bodu X postupně na přímky A, C. Určete množinu středů kružnic opsaných trojúhelníkům XDE pro všechny přípustné body X. Mějme n-prvkovoumnožinukladnýchreálnýchčísel A={a, a,..., a n}.dokažte,žepokud vezmeme všechny možné neprázdné podmnožiny A a sečteme jejich prvky, dostaneme alespoň n(n+)různýchčísel. Kennyho množina přirozených čísel K má následující vlastnosti: (i) K, (ii) pokud x K,taktaké4x K, (iii) pokud x K,taktaké x K, vlastnostímnožinplyne,žetatočíslamusíbýtnutněrůzná.

2 kdesymbol k značídolníceloučástčísla k,tj.největšíceléčíslo,kteréjemenšíneborovno k. Dokažte, že K je množina všech přirozených čísel. Jedána n-prvkovámnožina M přirozenýchčíselapřirozenéčíslo msplňující m n+. Dokažte,žeexistujealespoň n m+ podmnožin Msesoučtemprvků dělitelným m. Součetprvkůprázdnémnožinyje0.

3 Řešení 4. podzimní série. úloha Do jedné nejmenované čajovny chodí každý víkend několik pravidelných hostů. Každý z nich mánějakéoblíbenédruhyčaje zelený,černýnebobílý.někteřízhostůsidávajívždyten samýdruhčaje,jinímajívoblibědvadruhyaněkteřísirádiobjednajíkterýkolivčaj.alčasi všimla,žeprávě4zpravidelnýchhostůjsoutací,kteřísibuďbílýčajnedávajínikdy,neboho střídajísjednímjinýmdruhemčioběmaostatními.dálejecelkem8těch,kteřízelenýčajpijí vždyneboalespoňobčas,akonečně9hostůsisicenikdyzelenýčajnedá,alejinakmajírádi jakčerný,takbílý.alčubyteďzajímalo,kolikhostůnepijenicjinéhonežčernýčaj.pomůžete jí? (Alča Skálová) Inspirováno řešením Lenky Staré: adanéinformacemůžemevyjádřitpomocívennovýchdiagramů.písmena, a Čvobrázku značímnožinylidí,kteřípijípořadězelený,bílýačernýčaj Č Č Č a)4lidínepijesamotnýbílýčaj,jinakpijílibovolnékombinacečajů,b)8 lidípijevlibovolnékombinacizelenýčaj,c)9lidípijebílýičerný,alene zelený čaj. Hledaný počet lidí získáme odečtením velikostí množin na obrázcích b) a c) od velikosti množinynaobrázkua).jelikož4 8 9=5,takhostů,kteřímajírádijenčernýčaj,jepět.. úloha Jardasenaštvalnamnožinu M= {,,...,}azačalznívyhazovatčísla.ylotovšaktěžší, nežčekal kdyžzm vyhodilnějakéčíslorůznéod,mohlpotomvyhoditpouzečíslosním soudělné nebo jedničku. Pokud vyhodil jedničku, mohl jako další číslo vyhodit jakékoliv jiné. KoliknejvícčíselmohlJardazMvyhodit? (Jarda Jardáč Hančl) Pokud bude Jarda vyhazovat čísla v pořadí 5,0,,4,6,8,,9,3,,7, může jich vyhodit celkem jedenáct. Dokažme, že všech dvanáct čísel Jarda vyhodit nemůže. Všimněmesi,žečísla7ajsounesoudělnásevšemiostatnímičíslyzM.Těsněpřednimia těsněponichmůžetedyjardavyhoditpouzečíslo.toznamená,žepokudchcejardavyhodit sedmičkui jedenáctku,musítěsněposoběvyházetčísla7,,,anebočísla,,7.takči takužnemůžepředtímanipotévyhoditžádnéjinéčíslo.všechdvanáctčíseltedyzmvyhodit nelze a jedenáct je hledané maximum.

4 3. úloha Při svých toulkách rovinou objevil Olin pozoruhodnou množinu bodů, která byla osově souměrná podle úplně všech přímek v rovině. Určete všechny neprázdné množiny, které mohl Olin najít. (Alexander Olin Slávik) Ukážeme, že pokud nějaká neprázdná množina M vyhovuje podmínkám ze zadání, pak už donínutněpatřívšechnybodyroviny.množina M jeneprázdná,existujetedynějakýbod X, kterýjínáleží.volmenynívrovinělibovolnýbod Y různýod X.Protožeje Mosověsouměrná podlevšechpřímekvrovině,jesouměrnáipodleosyúsečky XY.Vosovésouměrnostipodletéto osysevšakbod Xzobrazínabod Y,tudížibod Y musínáležet M.Protožebod Y bylvolen libovolně,patřído Mkaždýbodrůznýod X(asamozřejmědonípatříiX).Dostávámetedy, že jediná množina, která může vyhovovat zadaným podmínkám, je celá rovina a ta podmínky zřejmě splňuje. 4. úloha Čísla,,...,0rozházímedotřírůznobarevnýchkyblíčků bílého,modréhoačerveného. Kolikazpůsobymůžemečíslarozházet,pokudžádnýznichneníprázdnýadvěposobějdoucí čísla nikdy nejsou v témže kyblíčku? (Lenka Slavíková) Uvažujme najprv iba druhú podmienku. Čísla budeme rozdeľovať postupne od po 0. Pre jednotku máme na výber zo všetkých troch kýblikov. Pre každé ďalšie číslo je vždy v niektorom kýbliku číslo o jedna menšie, teda na výber nám ostanú len dva kýbliky. Všetkých 0 čísel pretoviemerozdeliť3 =3 00 spôsobmi. Teraz uplatníme prvú podmienku. istíme, koľko z predošlých rozdelení necháva jeden kýblik prázdny(viac ich vďaka druhej podmienke byť nemôže). Pre jednotku máme opäť na výber ztrochkýblikovapredvojkuzdvoch.všetkyostatnéčíslaužsújasnedané,pretoženesmúísť kpredcházajúcemučísluaninaplniťdoposiaľprázdnykýblik.tonámdáva3 009 zlých rozdelení. Rozdelenívyhovujúcichzadaniujeteda3 00 6=6( 009 ). 5. úloha Jedántrojúhelník ACanajehokružniciopsanébod Xrůznýodvrcholů A,, C.Označme D, E paty kolmic vedených z bodu X postupně na přímky A, C. Určete množinu středů kružnic opsaných trojúhelníkům XDE pro všechny přípustné body X. (Michal Kenny Rolínek)

5 C X E S A D ezadánívyplývá,žeúhel DXjepravý,aprotobod DpodleThaletovyvětyležínakružnici sprůměrem X.Obdobněnaníležíibod E.Toznamená,žeprolibovolnouvolbubodu X je středem kružnice opsané trojúhelníku XDE střed úsečky X. Označme ho S. Ekvivalentně tedy hledáme množinu středů všech možných úseček X. od S příslušný danému X získáme pomocí stejnolehlosti se středem v bodě a koeficientem.hledanoumnožinoujeobrazkružniceopsanétrojúhelníku ACbezbodů A,, C(tj.obraz množiny všech možných X) v této stejnolehlosti. Obráceně ke každému bodu S této množiny lze najítbod Xpomocístejnolehlostisestředemvbodě akoeficientem. 6. úloha Mějme n-prvkovoumnožinukladnýchreálnýchčísel 3 A={a, a,..., a n}.dokažte,žepokud vezmeme všechny možné neprázdné podmnožiny A a sečteme jejich prvky, dostaneme alespoň n(n+)různýchčísel. (PepaTkadlec) udeme-li hovořit o součtu nějaké množiny, máme na mysli součet jejích prvků. V nkrocíchzkonstruujeme n(n+)neprázdnýchpodmnožin A,okterýchnásledněukážeme, že mají po dvou různé součty, čímž budeme hotovi. V prvním kroku konstrukce uvažme všechny jednoprvkové podmnožiny(těch je n). Ve druhém kroku uvažme všechny dvouprvkové podmnožiny, které obsahují největší číslo(těch je n ). Obecně v k-tém kroku uvažme ty k-prvkové podmnožiny množiny A, které obsahují k největšíchčíselaktomujednodalší(těchje n k+).vposledním, n-témkrokuuvažmevsouladu s předchozím popisem celou množinu A. Tímjsmevybralicelkem n+(n )+ += n(n+)množin.teďukážeme,žetyto množiny mají po dvou různé součty. Prvněsiuvědomíme,želibovolnédvěmnožinyvybranévrámcijednohokrokuselišívprávě jednomprvku.jelikožprvkymnožiny Ajsoupodvourůznáčísla,jsouisoučtykaždýchdvou množin(v rámci jednoho kroku) různé. bývá si povšimnout, že množina vybraná v(k + )-tém kroku obsahuje krom k největších čísel množiny A ještě jedno kladné číslo. Její součet je proto větší než součet libovolné k-prvkové množiny,tedyivětšínežsoučetkaždémnožinyvybranévkroku k-témnebonižším.tímjsme již zaručili různost součtů všech vybraných množin. Jsme hotovi. 3 vlastnostímnožinplyne,žetatočíslamusíbýtnutněrůzná.

6 7. úloha Kennyho množina přirozených čísel K má následující vlastnosti: (i) K, (ii) pokud x K,taktaké4x K, (iii) pokud x K,taktaké x K, kdesymbol k značídolníceloučástčísla k,tj.největšíceléčíslo,kteréjemenšíneborovno k. Dokažte,že Kjemnožinavšechpřirozenýchčísel. (Michal Kenny Rolínek) V množině K jistě jiná než přirozená čísla nejsou. Prospordálepředpokládejme,žeexistuje n N,kteréneležívK.Díky(iii)potomnemůže býtvkanižádnépřirozenéčíslo czintervalu n,(n+),jinakby n= c K.Stejnou úvahoupročíslaztohotointervaluzjistíme,žeprvky Knejsouaničíslazintervalu n 4,(n+) 4. Triviálníindukcídostáváme,že Kneprotínážádnýintervaltvaru n k,(n+), k k N. Nadruhoustranuz(i)a(ii)plyne,že Kobsahujevšechnypřirozenémocninyčtyř.Prospor tedy stačí najít mocninu čtyř v některém z intervalů výše uvedeného tvaru. Protože n+ >,můžemenajít t Ntakové,že n n+ n «t >4. Označíme-liteď4 m největšímocninučísla4menšínež n t,pak n t 4 m+ =4 4 m <4 n t <(n+) t. Našlijsme(m+)-toumocninučtyřvt-témintervalu,čímžjespordokonán. 8. úloha Jedána n-prvkovámnožina M přirozenýchčíselapřirozenéčíslo msplňující m n+. Dokažte,žeexistujealespoň n m+ podmnožin Msesoučtemprvků 4 dělitelným m. (Michal Kenny Rolínek) Řešení podle Dominika Lachmana: Mějmenějaké mapřeveďmesičíslazn-prvkovémnožiny Mnazbytkypoděleníčíslem m. Definujme a i pro iod0do m jakopočetpodmnožin,proněžplatí,žesoučetjejichprvků dávápodělení mzbytek i.chcemeukázat,že a 0 n m+. Dokážemesilnějšítvrzení.Tvrdíme,žepokud a min značíhodnotunejmenšíhonenulového a i a P početnulových a i,pak a min n m++p. Tonámspoluspozorováním,že a 0 jenenulové(atedyalespoňtakvelkéjako a min )anerovností n m++p n m+ dápožadovanývýsledek.prodůkazpostupujmeindukcípodle n. Pro n=0je a 0 =avšechnaostatní a i =0.Jeproto a min = a 0 =ap= m askutečně platí 0 m++(m ). Teďzvýšíme nojedna.označme M množinu,kterávzniknesjednocenímmnožiny M a nějakéhoprvku x.označme a i (pro iod0do m )početpodmnožinmnožiny M,jejichž 4 Součetprvkůprázdnémnožinyje0.

7 součetprvkůdávápoděleníčíslem mzbytek i.označmetaké nové hodnoty a min, P jako a min, P. Podmnožiny M dávajícízbytek ipoděleníčíslem mjsoudvoutypů ty,kteréneobsahují x, aty,které xobsahují.těchprvníchje a i,těchdruhýchje a i x,kdeindexuvažujemecyklicky, tj.modulo m.prokaždé i=0,..., m tedydostáváme a i = a i+ a i x.(množinučísel a i pro i=0,..., m vjistépředstavězískámetak,žemnožinučísel a i pootočíme oxasečteme samu se sebou.) názorněnízměnčísel a i načísla a i přidávámeprvek x= pro m = 9.Kmnožině M = {,7} Učinímeteďdvěpozorováníohodnotách a min, P. Jednaksivšimneme,žeplatí a min a min.tentofaktjejednoduchýmdůsledkemtoho,že každénenulové a i vzniklosoučtemčísel a ia a i x,znichžalespoňjednomuselobýtnenulové. Nadruhoustranuplatí,že P P.Pokudtotiž a i =0,pakmuselobýtia i=0.situacidále rozdělíme na dva případy. (i) P < P,čili P P :Vtomtopřípaděmámetriviálně a min a min n m++p = (n+) m++(p ) (n+) m++p. (ii) P = P:Díkypředpokladusemuselokekaždémunulovému a i přičístnulové a i x,a tedysekekaždémunenulovému a i muselopřičístnenulové a i x.tímpádemsehodnota a min alespoňzdvojnásobila,mymáme a min a min n m++p = (n+) m++p = (n+) m++p adůkazjeukonce.