Jak pracovat s absolutními hodnotami

Transkript

1 Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné. Je-li číslo a kladné, pak jeho absolutní hodnota je rovna jemu samému, tedy a = a. Pokud je číslo a záporné, pak jeho absolutní hodnota je rovna číslu opačnému, tedy a, značíme a = a. Absolutní hodnota nuly je rovna nule, tedy 0 = 0. Absolutní hodnota čísla tedy pouze zapomíná případné znaménko. Zde uvádím několik příkladů: 5 = 5, 15 = 15, =, 7 = 7. S absolutní hodnotou obecného výrazu je to poněkud těžší. Zkusme si to ukázat na příkladu: Mějme výraz v = x. Je zřejmé, že pokud za proměnnou x dosadíme číslo, dostaneme nulu. Číslo je tedy nulovým bodem výrazu v. Je zřejmé, že pokud za x dosadíme libovolné číslo větší než, výraz bude mít vždy kladnou hodnotu (např. pro x = to bude hodnota 1, pro x = 7 to bude číslo 5). Pro čísla menší než pak bude hodnota výrazu v záporná (pro x = 0 bude hodnota v rovna, pro x = 5 bude hodnota v rovna 7. Pokud tedy v příkladu z minulého odstavce dosadíme za x číslo větší než, je zřejmé, že absolutní hodnota výrazu se bude rovnat samotnému výrazu, tedy v = v. V případě dosazení čísla menšího než se bude absolutní hodnota v rovnat hodnotě opačného výrazu k výrazu v, tedy platí v = v, tedy x = (x ) = x + (u všech členů výrazu jsme zaměnili znaménka). A přesně z tohoto principu vychází naše postupy při kreslení grafu funkce i řešení rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou. 1

2 Postup řešení všech těchto úloh spočívá v nalezení nulových hodnot všech výrazů v absolutních hodnotách. Znamená to tedy nalézt čísla taková, aby se jednotlivé výrazy v absolutních hodnotách po dosazení těchto čísel rovnaly nule. V našich případech, kdy výrazy v absolutních hodnotách budou lineární, najdeme pro každý výraz pouze jeden nulový bod. Těmito body si rozdělíme osu x na dílčí intervaly a úlohu řešíme v každém intervalu zvlášt. Nyní se poměrně detailně podíváme na postup řešení tří základních úloh. Kreslení grafu funkce Zadání: Načrtněte graf funkce dané předpisem y = x+ + x Jak bylo naznačeno v minulých odstavcích, začneme tak, že si najdeme nulové body jednotlivých výrazů. Řešíme tedy lineární rovnice, kdy na levé straně rovnice se nachází výraz v absolutní hodnotě (nyní již však bez absolutní hodnoty) a na pravé nula. Pojd me si tedy najít nulové body obou výrazů v absolutních hodnotách. Začneme nulovým bodem prvního výrazu, tedy x+. Jak bylo řečeno výše, jde vlastně o to vyřešit lineární rovnici x+ = 0. Po odečtení čísla od obou stran rovnice dostáváme tvar x =. Z toho plyne, že nulovým bodem výrazu x+ je číslo, tedy pokud do výrazu x+ dosadíme za x číslo, dostaneme nulu. Podobně z rovnice x 1 = 0 dostaneme po přičtení jedničky k oběma stranám informaci, že nulovým bodem výrazu x 1 je číslo 1. Máme tedy dva výrazy v absolutních hodnotách a jim přísluší nulové body a1.důležitéjesijevypsatvpořadíodnejmenšíhoponejvětší. Tyto nulové body nám rozdělí množinu všech reálných čísel na tři intervaly: interval ( ; ), který obsahuje všechna čísla menší než, interval ; 1), který obsahuje všechna čísla větší nebo rovna a menší než 1, a interval 1; ), který obsahuje čísla větší nebo rovna 1.

3 . Nyní musíme zjistit, zda jednotlivé výrazy v absolutních hodnotách nabývají v daných intervalech kladných či záporných hodnot. Začneme tak, že si sestavíme tabulku, kde horní záhlaví (záhlaví sloupců) budou tvořit jednotlivé výše zmíněné intervaly a levé záhlaví (záhlaví řádků) pak jednotlivé výrazy, které se vyskytují v absolutních hodnotách (nyní již bez absolutních hodnot). Tabulka tedy bude vypadat takto: x+ x 1 ( ; ) ; 1) ; ) Do každé buňky vložíme znaménko + nebo podle toho, zda daný výraz bude pro čísla z daného intervalu kladný nebo záporný. A jak to zjistíme? Jednoduše: stačí dosadit za proměnnou x libovolné číslo z tohoto intervalu. Pozor: do výrazu nikdy nedosazujte jeho hraniční bod, pro ten dostanete nulu, nedá se tedy pak rozhodnout, zda výraz v tomto intervalu nabývá kladných či záporných hodnot. Nejdříve si vyplníme první řádek, tedy zjišt ujeme znaménko výrazu x+ pro čísla v jednotlivých intervalech. Vybíráme tedy libovolná čísla z daných intervalů. Na volbě čísla nezáleží, nebot znaménko je stejné pro všechna čísla z tohoto intervalu. Z prvního intervalu můžeme za x dosadit libovolné číslo, vyberme si třeba 5. Po dosazení čísla 5 za x do výrazu x+ dostáváme výraz 5+. Je zřejmé, že výsledkem je číslo, tedy výsledek je záporný (v tabulce označíme znaménkem ). Z druhého intervalu vezmeme např. číslo 0. Po dosazení nuly dostáváme 0+, což se rovná. Výsledek je tedy kladný (v tabulce označíme +). Z třetího intervalu vezmeme např. číslo 4. Výsledek je 4 + =, je tedy kladný (v tabulce označíme taktéž +). Pojd me vyplnit druhý řádek, tedy řádek pro výraz x 1. Po dosazení čísla 5 z prvního intervalu dostáváme výsledek, tedy záporné číslo (v tabulce označíme ), po dosazení čísla 0 z druhého intervalu dostáváme 1, tedy záporné číslo (v tabulce označíme ) a po dosazení čísla 4 z třetího intervalu dostáváme, tedy kladné číslo (v tabulce označíme +). Výsledná tabulka tedy bude vypadat takto: ( ; ) ; 1) 1; ) x+ + + x 1 +

4 . Nyní v každém intervalu sestavíme výslednou funkci. Pokud je v políčku odpovídajícím danému výrazu a danému intervalu ve výše uvedené tabulce znaménko +, výraz pouze opíšeme, a to včetně znaménka, které mu předcází, pokud je tam znaménko, před výrazem změníme znaménko. Výrazy již nebudeme psát do absolutních hodnot, ale do závorek. V prvním intervalu je u obou výrazů znaménko, tedy před oběma výrazy měníme znaménko. Výsledná funkce tedy bude vypadat následovně: y = (x+) (x 1). Tento výraz ještě můžeme dále upravovat: y = x x+1 y = x 1. Vidíme, že výsledkem v intervalu ( ; ) je lineární funkce y = x 1. Ve druhém intervalu je u prvního výrazu znaménko + a u druhého. První výraz tedy opíšeme, u druhého změníme znaménko a výsledek dále upravujeme. Dostáváme: y = (x+) (x 1) y =. Ve třetím intervalu jsou pak u obou výrazů znaménka +, takže výrazy opíšeme: y = (x+)+(x 1). y = x Nyní nakreslíme graf spočtených funkcí v daných intervalech. Víme, že ve všech intervalech nám vyšly lineární nebo konstantní funkce, jejichž grafemjevždypřímka.tajedánavždydvěmabody.pozor:přikreslení grafů nezasahujte čarami za hranice intervalů, v nichž funkci kreslíme. Začněme prvním intervalem ( ; ). V něm tedy máme funkci y = x 1. Grafem libovolné lineární funkce je přímka. Každá přímka je dána dvěma body. Zvolíme si tedy dvě čísla z tohoto intervalu, např. 5 a, a dosadíme za x do rovnice y = x 1. Víme, že y = ( 5) 1 = a y = ( ) 1 = 5. Známe tedy x-ovou a y- souřadnici bodů A a B, kde A = [ 5,] a B = [,5]. Zakreslíme tedy 4

5 tyto body do kartézské soustavy souřadnic a vedeme jimi polopřímku, která povede končí u čísla na ose x (kreslíme přeci graf pouze v intervalu ( ; )). y A B x V druhém intervalu ;1) taktéž zvolíme dvě čísla, např. 1 a 0. Protože rovnice v tomto intervalu má tvar y =, y-ová souřadnice pro každý bod tohoto intervalu bude. Máme tedy body C = [ 1;] a D = [0;]. Taktéž je naneseme do soustavy souřadnic a nakreslíme úsečku, která jimi prochází, ale končí na úrovni čísel a 1 na ose x. y A B C D x V třetím intervalu 1; ) zvolíme např. čísla a 4. Dosazením za x do rovnice x + 1 dostáváme y-ové souřadnice 5 a, tedy body E = [;5] a F = [4;]. Opět je naneseme do soustavy souřadnic a spojíme polopřímkou, která začíná na úrovni čísla 1 na ose x. Graf funkce je hotov. 5

6 y A F B E C D x Řešení rovnic Zadání: Vyřešte rovnici x 1 + x 4 + x+ = 10. Postup řešení této úlohy je velice obdobný řešení předchozí úlohy: 1. Nejprve najdeme nulové body jednotlivých výrazů. Aby byl výraz x 1 roven nule, je třeba za x dosadit 1, tedy toto číslo je nulovým bodem prvního výrazu v absolutní hodnotě. Nulovým bodem výrazu x 4 je číslo 4 a nulovým bodem výrazu x + je číslo. Čísla si opět uspořádáme podle velikosti a vidíme, že nám rozdělí osu x na intervaly ( ; 4), 4; ), ; 1) a 1; ).. Nyní opět sestavíme tabulku, kde výrazy budou tvořit levé záhlaví a intervaly horní: x 1 x 4 x+ ( ; 4) 4; ) ; 1 ) 1 ; ) Do jednotlivých výrazů budeme dosazovat postupně čísla ze všech intervalů, tedy např. 5,, 0 a 1, tím zjistíme, že výrazy v daných intervalech nabývají těchto znamének: ( ; 4) 4; ) ; 1) 1; ) x 1 + x 4 + x Nyní se podíváme, jak vypadají rovnice v jednotlivých intervalech. Pokud je v předchozí tabulce v daném intervalu u výrazu +, opíšeme jej

7 (bez absolutní hodnoty, ale včetně předcházejícího znaménka), pokud je u něho znaménko, zaměníme znaménko před ním. Vše, co není v absolutní hodnotě, opíšeme. V prvním intervalu měníme znaménka u prvního a posledního výrazu, druhý zůstává stejný (protože, v prvním sloupci tabulky je u prvního a třetího výrazu a u druhého +). Dostáváme tedy rovnici, kterou ihned vyřešíme (pozor: zajímají nás pouze řešení v daném intervalu): (x 1)+( x 4) (x+) = 10 x+1 x 4 x = 10 4x 5 = 10 4x = 15 x = 15 4 =,75. Vyšlo nám, že x je rovno hodnotě,75. Tato hodnota však nepatří do intervalu ( ; 4), nebot je větší než 4. Proto není řešením této rovnice. V tomto intervalu nemá rovnice žádné řešení. Ve druhém intervalu, tedy 4; ), jsou všechny tři výrazy záporné, tedy měníme všechna znaménka: (x 1) ( x 4) (x+) = 10 x+1+x+4 x = 10 x+ = 10 x = 7 x = 7 =,5 Nyní se musíme podívat, zda výsledek patří do intervalu, v němž nyní rovnici řešíme. Protože,5 je opravdu mezi 4 a, máme první řešení rovnice. Ve třetím intervalu 1; 1 ) jsou první dva výrazy záporné (měníme u nich znaménka) a třetí kladný (znaménko zůstává). Tedy: (x 1) ( x 4)+(x+) = 10 x+1+x+4+x+ = 10 7 = 10 7

8 Vidíme, že jsme dostali nesmyslnou rovnost 7 = 10, tedy v tomto intervalu rovnice nemá žádné řešení. A zbývá nám poslední interval 1 ; ). Rovnici sestavíme stejně, pokud máme ve čtvrtém sloupci u daného výrazu +, opíšeme jej, pokud, změníme znaménko před ním. Dostáváme tedy: (x 1) ( x 4)+(x+) = 10 x 1+x+4+x+ = 10 4x+5 = 10 4x = 5 x = 5 4 Vyšlo nám tedy číslo z tohoto intervalu, je tedy řešením zadané rovnice. Na závěr je třeba shrnout všechna řešení: v prvním intervalu nám vyšlo číslo mimo interval, tedy toto není řešením rovnice, ve druhém intervalu nám vyšlo číslo,5, které do intervalu patří, ve třetím intervalu nám nevyšlo žádné řešení a ve čtvrtém číslo 1, 5, které do intervalu patřilo. Rovnice má tedy dvě řešení, a to čísla,5 a 1,5. 4 Řešení nerovnic Zadání: Vyřešte následující nerovnici: x+1 +x x <. 1. Začneme úplně stejně: určíme nulové body výrazů v absolutních hodnotách: Jsou to čísla 1 a.. Nakreslíme si tabulku a vyplníme ji znaménky + a : ( ; ) ; 1) 1; ) x+1 + x +. A nyní řešíme nerovnice v jednotlivých intervalech. Podobně jako v předchozích dvou příkladech nejprve sestavíme nerovnici na základě předchozí tabulky. Poté nerovnici upravíme tak, abychom měli na jedné straně proměnnou a na druhé čísla. Tím dostaneme, jakých hodnot musí proměnná nabývat, aby byla nerovnice pravdivá. Pozor: nesmíme však 8

9 zapomínat, že řešíme rovnici v daném intervalu, tedy námi nalezená řešení z něho nesmí vyskočit. V intervalu ( ; ) tedy dostáváme nerovnici, kterou dále upravujeme: (x+1)+x ( x ) < x 1+x+x+ < x+ < x < 4 Protože všechna nalezená řešení pro tento tvar nerovnice leží v daném intervalu, můžeme prohlásit, že všechna čísla z intervalu ( ; 4) jsou řešeními původní rovnice. V intervalu ; 1) taktéž sestavíme a vyřešíme nerovnici: (x+1)+x+( x ) < x 1+x x < x 4 < x < x > Řešení nerovnice tedy musí být větší než, ale menší než 1, nebot nyní hledámeřešení pouzevintervalu, 1), jednáse tedyointerval (, 1). V intervalu 1; ) dostáváme nerovnici: (x+1)+x+( x ) < x < x < 0 Vyšlo nám, že x musí být menší než 0, avšak v úvahu připadají pouze řešení z intervalu 1; ), tedy výsledkem je interval 1, 0). Řešením celé původní nerovnice je sjednocení všech dílčích intervalů, tedy ( ; 4) ( ; 1) 1;0) = ( ; 4) ( ;0).

10 Kvadratické funkce, rovnice, nerovnice Petr Matyáš 1 Lineární funkce Funkce je matematický předpis, který každému reálnému číslu přiřadí maximálně jedno jiné číslo. Jak již tato definice říká, někdy přiřadit nemusí. Příkladem funkce, která nepřiřadí číslo každému číslu, je funkce f(x) = 1. x Ta nepřiřadí žádné číslo nule, nebot dělit nulou nelze. Kvadratická funkce je pak taková funkce, jejíž předpis se dá reprezentovat obecným vzorcem f(x) = ax +bx+c, kde a, b a c jsou libovolná reálná čísla a a 0. Čísla b a c mohou být nulová. Zde uvádím několik příkladů: f(x) = x (zde je a = 1, b = 0 a c = 0), f(x) = x +1 (zde je a = 1, b = 0 a c = 1), f(x) = x x (zde je a =, b = a c = 0), f(x) = 4x +x 1 (zde je a = 4, b = a c = 1). Protože v předpisu kvadratické funkce se objevují pouze operace sčítání a násobení a druhá mocnina, je tedy každému číslu jednoznačně přiřazeno jiné. Nejčastější úlohou týkající se kvadratických funkcí je nakreslit její graf. Grafem kvadratické funkce je parabola, což je křivka, která se bez příslušné šablony nedá přesně zakreslit. Její graf budeme pouze črtat. Jak parabola vypadá, si můžete prohlédnout na prvním obrázku: 1

11 y B x A Naobrázkujsouparabolydvě,modrátvořígraffunkcef(x) = x azelená pak graf funkce g(x) = x. Na modré parabole jsou vyznačeny body [,], [0,0] a [,], které prokazatelně musí na grafu ležet, nebot ( ) =, 0 = 0 a =. Bod, který je na grafu funkce f(x) nejníže a na grafu funkce g(x) nejvýše, se nazývá vrchol. Parabola se vždy od vrcholu rozšiřuje směrem dolů, nebo směrem nahoru. Nahoru se rozšiřuje v případě, kdy je koeficient a z obecného předpisu kladný (to je číslo u x ), dolů pak, je-li a záporný. Absolutní hodnota koeficientu a nám udává, jak rychle se bude parabola rozevírat. Podívejme se na druhý graf, kde jsou uvedeny grafy funkcí f(x) = 1 x (modrý graf), g(x) = x (zelený graf) a h(x) = x (červený graf). Vidíme, že všechny tři grafy prochází bodem [0,0], první graf dále body [±,] a [±4,8], druhý graf body [±,4] a [±,] a třetí pak body [±1,] a [±,8].

12 y B x A Parabola reprezentující graf kvadratické funkce však nemusí mít vrchol v počátku kartézské soustavy souřadnic (bod [0, 0]), ale v kterémkoliv jiném bodě. Souřadnice vrcholu se dají snadno určit pomocí vzorečku: V = [ b b,c a 4a Nyní zbývá určit, zda se parabola bude otevírat dolů, nebo nahoru. Pokud je a kladné, otevírá se od vrcholu nahoru, pokud záporné, otevírá se dolů. Posledním úkolem je zjistit rychlost rozevírání. Protože chceme graf pouze načrtnout, stačí nám zakreslit vrchol a dva body, které mají x-ovou souřadnici o 1 a menší a body, které ji mají o 1 a vyšší, a těmito body proložit graf. Pojd me si ukázat příklad. Příklad: Načrtněte graf funkce f(x) = x x. Nejprve najdeme souřadnice vrcholu paraboly. K tomu nám slouží výše uvedený vzoreček: V = [ b ] b,c a 4a = ]. [ ] ( ), = [1, 4] Dále najdeme body A a B, které budou mít o 1 a nižší x souřadnici a body C a D, které budou mít x=ovou o 1 a vyšší. x-ové souřadnice bodů jsou tedy jasné, y-ové se spočítají dosazením x-ových do předpisu funkce (tedy do výrazu x x ). Body budou mít tedy tyto souřadnice: A = [ 1,( 1) ( 1) ] = [ 1,0] B = [0],0 0 ] = [0, ]

13 C = [, ] = [, ] D = [, ] = [,0] Tyto body zaneseme do kartézské soustavy souřadnic a proložíme jimi křivku. Náčrtek grafu je hotov. Výsledek ukazuje třetí graf: y A D x B V C Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice má tvar ax +bx+c = 0. Kvadratické rovnice lze řešeit pomocí diskriminantu a některé i pomocí jednodušších Vietových vzorců..1 Řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminantu První možnost řešení takovéto rovnice (často se pro tato řešení používá výraz kořen) je založená na využití tzv. diskriminantu. Ten vypočítáme pomocí vzorečku D = b 4ac. Vlastní kořeny se pak vypočítají pomocí vzorečku: x 1, = b± D. a Z těchto vzorečků vyplývá, že rovnice nemůže mít žádné řešení, pokud diskriminant vyjde záporný, nebot odmocnina ze záporného čísla není v oboru reálných čísel definována. Pokud je nulový, rovnice má jedno řešení, pokud je kladný, rovnice má dvě řešení. Pojd me si 4

14 Příklad: Vyřešte rovnici x x. Řešení spočívá v pouhém dosazení do vzorečků: D = b 4ac = ( ) 4 1 ( ) = 4+1 = 1 x 1, = b± D = ± 1 a 1 x 1 =,x = 1 = ±4 Příklad: Vyřešte rovnici Opět spočítáme diskriminant: x +x+. D = b 4ac = (1) 4 = 1 4 = Diskriminant je záporný, tedy rovnice nemá řešení.. Řešení kvadratických rovnic pomocí Vietových vzorců Vietovy vzorce se dají použít pouze u některých kvadratických rovnic takových, že a = 1. Určují vztahy mezi kořeny a koeficienty b a c: x 1 +x = b x 1 x = c Pomocí Vietových vzorců můžeme řešit rovnici ve dvou krocích: nejprve si najdeme všechny dvojice celých čísel, jejichž součin je roven koeficientu c, pak z těchto dvojic vybereme tu, kde součet čísel je roven hodnotě b. Tato dvě čísla jsou pak řešeními této rovnice. Příklad: S využitím Vietových vzorců vyřešte rovnici x +x 4 = 0. Hledáme tedy nejprve takové dvojice celých čísel, jejichž součin je roven 4: 4 = 1 4 = 1 ( 4) = 1 = ( 1) = 8 = ( 8) = 4 = 4 ( ). 5

15 Nyní pojd me prověřit všechny dvojice. Aby daná dvojice obsahovala řešení rovnice, musel by součet jejích členů být roven : 1+4 = 1 4 = +1 = 10 1 = = 5 8 = 5 4+ = 4 = Rovnice má tedy řešení x 1 = 4 a x =. Vztah kvadratických funkcí a kvadratických rovnic Vúvodutohototextujsmesikresliligraffunkcef(x) = x x.dálejsme pak hledali řešení rovnice x x = 0. Všimněme si, že levá strana rovnice odpovídá předpisu funkce f(x). Připomeňme si, že rovnice měla řešení 1 a. Pokud se podíváte na graf funkce f(x), nelze si nevšimnout, že právě v bodech, které mají x-ové souřadnice 1 a, graf funkce protíná osu x. y-ová souřadnice je nulová, odpovídá to funkční hodnotě funkce f(x) a zároveň to plyne z toho, že se jedná o řešení rovnice, kde pravá strana je nulová. 4 Kvadratické nerovnice Poslední část tohoto textu se týká nerovnic. Kvadratická nerovnice má tedy tvar ax +bx+c 0, kde se místo symbolu vyskytují znaménka, <, >,, nebo. Jinak se s nimi pracuje úplně stejně. V první řadě najdeme čísla, pro která levá strana má nulovou hodnotu (tato čísla označme x 1 a x ), tedy řešíme rovnici, kdy levá strana je rovna nule. To umíme pomocí diskriminantu. Nyní je třeba určit, zda tyto krajní

16 body patří do množiny řešení (pokud nerovnice obsahuje znaménko nebo, pak ano, v ostatních případech ne). Dále je třeba se zamyslet, která část grafu se vyskytuje pod osou x a která nad ní. Čísla, která nám vyjdou jako řešení rovnice odpovídají x-ovým souřadnicím bodů, v nichž parabola reprezentující graf dané funkce protíná osu x. Pokud je koeficient a kladný, pak úsek mezi oběma těmito body leží pod osou x a krajní úseky nad ní. Je-li a záporné, pak úsek mezi x 1 a x leží nad osou x a krajní úseky pod osou x. Příklad: Vyřešte následující nerovnici: x +4x 4 > 0. Nejprve zjistíme kořeny přidružené rovnice x +4x 4 = 0. Diskriminant je roven 4. Kořeny pak jsou tyto: x 1 = a x =. Protože je a =, tedy kladné číslo, je funkční hodnota vyšší pro čísla menší než x 1 a pro čísla větší než x. Protože je v nerovnici ostrá nerovnost, krajní body nejsou řešeními. Výsledkem je tedy množina (, ) (, ). Na závěr si ještě ukážeme mezní případ nerovnice, kdy graf funkce osu x neprotíná. Příklad: Vyřešte následující nerovnici: x +x+ 0. Nejprve zjistíme kořeny přidružené rovnice x +x+ = 0. Diskriminant je 11. Tato rovnice nemá řešení. Z toho plyne, že graf funkce neprotíná osu x. Množina všech řešení dané nerovnice tedy může být bud prázdná nebo rovná množině reálných čísel. Protože je ale a = 1, tedy jde o kladné číslo, parabola se rozevírá směrem nahoru, celý graf je tedy nad osou x a proto množina všech řešení této nerovnice je rovna R. 7

17 Lineární funkce, rovnice, nerovnice a jejich soustavy Petr Matyáš 1 Lineární funkce Funkce je matematický předpis, který každému reálnému číslu přiřadí maximálně jedno jiné číslo. Jak již tato definice říká, někdy přiřadit nemusí. Příkladem funkce, která nepřiřadí číslo každému číslu, je funkce f(x) = 1 x. Ta nepřiřadí žádné číslo nule, nebot dělit nulou nelze. Lineární funkce je pak taková funkce, jejíž předpis se dá reprezentovat obecným vzorcem f(x) = ax+b, kde a a b jsou libovolná reálná čísla a a 0. Číslo b může být nulové. Zde uvádím několik příkladů: f(x) = x (zde je a = a b = ), f(x) = x (zde je a = 1 a b = ), f(x) = 7x (zde je a = 7 a b = 0), f(x) = 1 x (zde je a = 1 a b = ). Protože v předpisu lineární funkce se objevují pouze operace sčítání a násobení, je tedy každému číslu jednoznačně přiřazeno jiné. Nejčastější úlohou týkající se lineárních funkcí je nakreslit její graf. Jak již název tohoto typu funkcí napovídá (linea znamená latinsky linka, přímka), je jejich grafy jsou tvořeny přímkou. Každá přímka je určena dvěma body. Každý bod má x-ovou a y-ovou souřadnici. Musíme tedy najít dva body, kterými přímka tvořící graf této funkce prochází. Jejich x-ové souřadnice si zvolíme libovolné, y-ové dopočítáme dosazením x-ových hodnot do předpisu funkce. Pojd me si to ukázat na příkladu: 1

18 Příklad: Nakreslete graf funkce f(x) = x. Předpis této funkce odpovídá funkci lineární (a = a b = ), tedy jejím grafem bude přímka. Přímka je určena dvěma body. Tyto body označíme A = [x a,y a ] a B = [x b,y b ]. Zvolíme si dvě libovolné x-ové hodnoty, např. x a = 1 a x b =. Nyní pojd me dopočítat y-ové souřadnice: y a = x a = ( 1) = = 5, y b = x b = = =. Graf funkce nakreslíme tak, že do kartézské soustavy souřadnic zakreslíme oba body (A = [ 1, 5] a B = [,]) a těmito body proložíme přímku. y B x A Lineární rovnice Rovnice je dvojice matematických výrazů s neznámými, které jsou spojeny znaménkem =. Neznámá v nich může být jedna, nebo více. Řešit rovnici znamená nalézt takovou hodnotu či takové hodnoty, které je možné dosadit za neznámé tak, aby rovnost platila. S rovnicí můžeme provádět libovolné matematické úpravy: sčítáníá, odčítání, násobení (nenulovým číslem) či dělení. Zásadně však provádíme danou operaci s oběma stranami. Máme-li rovnici s jednou neznámou, snažíme se výrazy s proměnnou pomocí výše uvedených operací osamostatnit na levé straně, zatímco výrazy bez proměnné na pravé straně:

19 Příklad: Vyřešte následující rovnici: 5x+ = x 4. Začneme tak, že od obou stran odečteme x, čímž dostáváme: 5x+ x = x 4 x x+ = 4. Vidíme, že všechny výrazy s proměnnou x se nám dostaly nalevo, tedy vpravo se již proměnná x nevyskytuje. Na levé straně nám však překáží číslo. Odečteme jej, a to od levé i od pravé strany (každou operaci provádíme s oběma stranami). Dostáváme: x+ = 4 x =. Abychom dostali na levé straně pouze výraz x, musíme ji vydělit trojkou. Stejnou hodnotou ale musíme vydělit i stranu pravou. Dostáváme: x =. Nedílnou součástí každého řešení rovnice je zkouška. Výslednou hodnotu nejprve dosadíme za x na levé straně rovnice a vypočítáme výsledek, dále dosadíme za x na pravé straně rovnice a výsledné hodnoty porovnáme. Jsouli stejné, máme správný výsledek, v opačném případě jsme někde udělali chybu. Příklad: Proved te zkoušku u rovnice 5x+ = x 4, víte-li, že nám vyšlo x =. Nejprve si vezmeme levou stranu rovnice: Nyní vezmeme stranu pravou: L = 5x+ = 5 ( )+ = 10+ = 8. P = x 4 = ( ) 4 = 4 4 = 8. Lineární rovnice lze také řešit graficky. Podíváme-li se na rovnici z minulého příkladu, vidíme, že její levá i pravá strana odpovídá předpisu lineární funkce. Hledáme tedy takovou hodnotu x, kdy obě funkce budou mít stejnou funkční hodnotu y. Tedy hledáme takový bod A = [x,y], kterým prochází grafy obou funkcí.

20 Příklad: Řešte graficky následující lineární rovnici: 5x+ = x 4. Začneme tak, že si nakreslíme grafy funkcí f(x) = 5x + (ta odpovídá levé straně rovnice) a g(x) = x 4 (odpovídá pravé straně). Graffunkcef(x)procházíbodyA = [ 1, ]ab = [1,7].x-ovésouřadnice jsme si zvolili libovolně, y-ové dopočítali dosazením x-ových do předpisu funkce. Graf této funkce v obrázku zobrazíme modře. Graffunkceg(x)procházíbodyC = [ 1, ]ad = [,].x-ovésouřadnice jsme si opět zvolili libovolně a y-ové dopočítali dosazením x-ových do předpisu funkce. Graf této funkce v obrázku zobrazíme zeleně. y B D x A C Po zakreslení do obrázku vidíme, že grafy funkcí se protínají v bodě [, 8]. x-ová souřadnice odpovídá řešení naší rovnice, y-ová pak výsledku zkoušky. Můžete porovnat s předchozím příkladem..1 Speciální případy lineárních rovnic Zde uvedená rovnice měla právě jedno řešení. A tak to bude u většiny rovnic, se kterými se setkáte. Mohou však nastat další dva případy, a to že rovnice má bud nekonečně mnoho řešení nebo nemá žádné. Pojd me si to ukázat na příkladech. Příklad: Řešte rovnici x+ = x 1. Tuto rovnici začneme řešit stejně jako v předchozím případě. Zbavíme se tedy výrazu x na pravé straně. Dostáváme: x+ x = x 1 x 4

21 = 1 Toto je zcela jasně nesmyslná rovnost, tedy rovnice nemá řešení. Příklad: Řešte rovnici x+ = (5x+1) (x ). Nejprve je třeba si pravou stranu upravit: x+ = (5x+1) (x ) x+ = 5x+1 x+ x+ = x+ Po odečtení x od levé i pravé strany dostáváme: x+ x = x+ x = Toto je zcela vždy pravdivá rovnost. Platí pro každou hodnotu x, proto má nekonečně mnoho řešení. Řešením je libovolné x. Řešení soustav lineárních rovnic Lineární rovnice, z nichž se soustava skládá, zpravidla obsahují více neznámých. Existují dvě nejčastěji používané metody řešení těchto soustav. Obě jsou založené na podobném principu: dočasně se jedné proměnné zbavit a následně vypočítat druhou. První se pak v obou případech dopočítá z libovolné původní rovnice. Nedílnou součástí řešení soustav oběma metodami je zkouška. Nyní si pojd me představit obě metody:.1 Metoda sčítací Účelem této metody je sečíst obě rovnice tak, aby nám jedna neznámá vypadla. Výsledkem tedy bude pouze jedna rovnice o jedné neznámé. Někdy však sečtením obou rovnic žádná neznámá nevypadne, pak je třeba jednu nebo obě rovnice vynásobit nějakou konstantou, aby byly koeficienty u obou neznámých stejné, až na znaménko, které musí být opačné. Pojd me si ukázat oba případy na konkrétních příkladech. 5

22 Soustava lineárních rovnic, kde stačí rovnice sečíst: Řešte soustavu lineárních rovnic: x+y = 1 x y = Po sečtení obou rovnic dostáváme jednu: x+y +x y = 1 5x = 10 x = Pouhým sečtením se nám podařilo eliminovat proměnnou y a vznikla nám jedna rovnice s jednou neznámou, kterou již umíme vyřešit. Výsledkem je číslo. Soustava lineárních rovnic, kde stačí rovnice sečíst: Řešte soustavu lineárních rovnic: x+y = 1 x y = Po sečtení obou rovnic dostáváme jednu, a tu ihned vyřešíme: x+y +x y = 1 5x = 10 x = Známe tedy hodnotu jedné neznámé, a to x. Nyní vypočtenou hodnotu dosadíme libovolné rovnice (třeba hned do první) a vypočítáme hodnotu proměnné y: x+y = 1 ( )+y = 1 4+y = 1 y = Nyní máme hodnoty obou neznámých. Zbývá nám tedy pouze provést zkoušku. Tu provedeme tak, že získané hodnoty dosadíme do obou rovnic: L 1 = x+y = ( )+ = 4+ = 1 P 1 = 1 L = x y = ( ) = = P = Protože platí L 1 = P 1 a L = P, víme, že naše řešení je správné.

23 Soustava lineárních rovnic, kde nestačí rovnice sečíst: Řešte soustavu lineárních rovnic: 4x+y = x+5y = 4 Po sečtení obou rovnic dostáváme jednu: 10x y = V ní se však vyskytují obě neznámé, tedy nelze zjistit jejich hodnoty. Musíme postupovat maličko jinak. V první řadě je třeba, aby u jedné z neznámých byly stejné koeficienty, pouze s odlišným znaménkem. To dostaneme tak, pokud první rovnici vynásobíme a druhou. 1x+y = 1x 10y = 8 Nyní již pokračujeme stejně jako u minulého příkladu. Rovnice sečteme a výrazy s proměnnými převedeme na levou stranu a bez proměnných na pravou: y = y = Dále dosadíme např. do první rovnice (můžeme ale samozřejmě i do druhé, je to jedno, dostaneme stejný výsledek) a dostáváme: Opět musíme provést zkoušku: 4x+y = 4x+ = 4x+ = 4x = 4 x = 1 L 1 = 4x+y = 4 ( 1)+ = 4+ = P 1 = L = x+5y = ( 1)+5 = +10 = 4 P = 4 Protože L 1 = P 1 a L = P, víme, že jsme soustavu vyřešili správně. 7

24 . Metoda dosazovací Druhou možností, jak soustavu lineárních rovnic řešit, je metoda dosazovací. Její princip spočívá v tom, že si z jedné rovnice vyjádřím jednu proměnnou, tedy rovnic přepíšu do tvaru, kdy na levé straně bude samotná proměnná a na straně druhé výraz s druhou proměnnou. Tímto výrazem pak nahradím výskyt oné proměnné v druhé rovnici. Pojd me si to ukázat na příkladu: Příklad: Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí dosazovací metody: x+y = 1 x y = Nejprve si z první rovnice soustavy vyjádříme proměnou y. Na levé straně nám překáží výraz x, tak ho od obou stran odečteme. Dostáváme: x+y x = 1 x y = 1 x Tento výraz dosadíme za proměnnou y do druhé rovnice (nikdy nedsmíme do té samé, z níž jsme si ji vyjádřili): x y = x ( 1 x) = x+1+x = 5x+1 = 5x = 10 x = Dále již pokračujeme zcela stejně jako u předchozí metody.. Speciální případy soustav lineárních rovnic Stejně jako jedna lineární rovnice i soustava lineárních rovnic může mít právě jedno řešení, ale také nemusí mít žádné nebo jich může mít nekonečně mnoho (jiná možnost neexistuje, soustava lineárních rovnic nikdy nemůže mít právě dvě řešení). Pokud má však nekonečně mnoho řešení, neznamená to, že za x a y mohu dosadit libovolná čísla. Mezi takovými čísly existuje jistá závislost, kterou můžeme podchytit pomocí parametrů. Pojd me se podívat na příklad: 8

25 Příklad: Řešte soustavu lineárních rovnic: x y = 4x+y = Po vynásobení první rovnice dvěma a sečtení dostáváme rovnici: 0 = 0, tedy víme, že máme nekonečně mnoho řešení. Jak již bylo uvedeno výše, nenímožnézaxay dosaditlibovolnáčíslatak,abyoběrovniceplatily.pokud si za x dosadíme 1 a za y, dostáváme 1 = a to se rozhodně nerovná. Řešení si tedy můžeme vyjádřit parametricky. Za proměnnou y si tedy zvolíme parametr t. Platí tedy y = t. Tento výraz pak dosadíme do libovolné rovnice a vyjádříme si z toho proměnnou x. x t = x = +t x = +t Chceme-li získat konkrétní řešení, můžeme za t zvolit libovolná čísla. Pro t = 1 dostáváme: x = x = +t = +1 = 4 = y = 1 Pro t = 1 dostáváme: x = x = +t = +( 1) = = 1 y = 1 A takto bychom mohli vypisovat další a další řešení a nikdy bychom neskončili. Proto je dobré vyjádřit řešení pomocí parametru t. Příklad: Řešte soustavu lineárních rovnic: x y = x 4y = 5 Začneme tak, že si první rovnici vynásobíme. Získáváme soustavu: x+4y = 4 x 4y = 5 Po sečtení dostáváme nám známý případ 0 = 1, což je neplatná rovnost. Soustava tedy nemá řešení.

26 4 Soustavy tří rovnic o třech neznámých Jen nepatrně složitější je postup řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých. Tuto soustavu převedeme opět pomocí sčítací nebo dosazovací metody na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pojd me si to předvést na příkladech. Příklad: Pomocí sčítací metody vyřešte následující soustavu lineárních rovnic: x+y z = x+4y +z = x+y +z = Z této soustavy musíme získat dvě rovnice, které budou obsahovat pouze dvě neznámé. Zkusíme si odstranit neznámou x. Protože máme využít sčítací metodu, vynásobíme si první rovnici a druhou opíšeme. Následně obě sečteme: x+y z = x 1y z = 10y 8z = 1 A máme první rovnici bez proměnné x. Nyní eliminujeme x z druhé a třetí rovnice. Druhou rovnici si vynásobíme a dtřetí opíšeme. Následně je sečteme: x 8y 4z = x+y +z = y z = 0 Nyní tedy řešíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých: 10y 8z = 1 y z = 0 To už umíme. Z této soustavy bychom dostali hodnoty neznámých y a z. Hodnotu neznámé x bychom dostali po dosazení známých hodnot ostatních neznámých do první rovnice zadané soustavy. Čtenáři si jistě s řešením této soustavy poradí sami. Pro kontrolu uvádíme, že řešení je x =, y = a 4. Nyní si ještě ukážeme příklad soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých, která má nekonečně mnoho řešení. 10

27 Příklad: Pomocí sčítací metody vyřešte následující soustavu lineárních rovnic: x+y z = 10 x+y 4z = 8 4x y +8z = 4 Nejprve první rovnici vynásobíme a přičteme k ní rovnici druhou, čímž dostaneme: y = 1 Nyní první rovnici vynásobíme 4 a přičteme k ní rovnici třetí. Dostaneme: y = Z obou rovnic plyne, že y = 4. Za y dosadíme do libovolných dvou rovnic (např. první a druhé) a řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: Po úpravě dostáváme: x+1 z = 10 x+1 4z = 8 x z = x 4z = 4 Po vynásobení první rovnice a sečtení dostáváme rovnici 0 = 0, tedy soustava má opravdu nekonečně mnoho řešení. Za z si dosadíme parametr t. To dosadíme do první rovnice, kterou následně upravíme: x t = Řešení je tedy: x = +t x = +t y = 4 z = t 11

28 Vlastnosti funkcí Petr Matyáš 1 Funkce Funkce f(x) je matematický předpis, který každému reálnému číslu x přiřadí maximálně jedno jiné číslo y. Jak již tato definice říká, někdy přiřadit nemusí. Příkladem funkce, která nepřiřadí číslo každému číslu, je funkce f(x) = 1 x. Ta nepřiřadí žádné číslo nule, nebot dělit nulou nelze. Neformálně řečeno je předpis funkce jakýsi postup, jak na základě zadané hodnoty x vypočítat hodnotu y, platí, že y = f(x). Zde uvádíme několik příkladů funkcí: f(x) = 7, f(x) = x x, f(x) = x+1, f(x) = x, f(x) = 1 x +1. Definice pojmů S teorií funkcí se váže mnoho pojmů, které je třeba zadefinovat. Každý pojem zadefinujeme formálně, ale zároveň se pokusíme lidsky vysvětlit, co vlastně ona strohá definice říká. Definice: Graf funkce f(x) je množina bodů A = [A x,a y ] takových, že platí rovnost A y = f(a x ). Protože každá funkce, se kterými se budeme v matematice na této škole setkávat, je definovaná pro nekonečně mnoho čísel, bude graf obsahovat nekonečně mnoho bodů. Bude se tedy jednat jednu či více přímek, polopřímek, úseček či křivek zakreslených do kartézské soustavy souřadnic. 1

29 Každý bod v kartézské soustavě souřadnic je zadán dvěma souřadnicemi x-ovou a y-ovou. Chceme-li zakreslit libovolný bod grafu, zvolíme si x-ovou souřadnici a y-ovou dopočítáme. Příklad: Nalezněte souřadnice alespoň tří bodu, které leží na grafu funkce f(x) = x + x 1. Nalezneme body A = [a x,a y ], B = [B x,b y ] a C = [C x,c y ], kde si zvolíme A x =, B x = 1 a C x = 4. y-ové souřadnice dopočítáme podle předpisu funkce f(x): A y = A x +A x 1 = ( ) + ( ) 1 = 7 B y = B x +B x 1 = = 4 C y = C x +C x 1 = = 55 Nalezené body jsou tedy A = [,7], B = [1,4] a C = [4,55]. Postup kreslení grafu formou nanášení jednotlivých bodů je však v praxi nepoužitelný, nebot těchto bodů je nekonečně mnoho. Různé typy funkcí však mají speciální typy grafů, které se dají snadno narýsovat či alespoň načrtnout. Např. grafem lineární funkce je přímka, grafem lineární funkce s absolutní hodnotou je lomená čára, grafem kvadratické funkce je parabola, apod. Postup kreslení lineárních funkcí, lineárních funkcí s absolutními hodnotami a kvadratických funkcí naleznete v dalších materiálech, které jsou součástí tohoto projektu. Definiční obor a obor hodnot funkce Jak již bylo řečeno výše, funkce některým číslům x přiřadí právě jedno číslo y. Čísla, pro která je funkce definovaná, tedy kterým druhé číslo přiřadí, se nazývá vzor. Číslo, které je jinému přiřazeno, se nazývá obraz. Definiční obor: Definičním oborem funkce f(x) nazveme množinu všech vzorů, pro které je definován nějaký obraz. Definiční obor funkce f(x) označíme D(f). Víme, že operace sčítání, odčítání, násobení a mocnění jsou definovány pro libovolná čísla x. Pro operaci dělení však toto neplatí. Dobře vím, že nulou nelze dělit. Budeme-li tedy mít funkci f(x) = 1, číslo 0 není vzorem x pro žádný obraz, nebot výraz f(0) = 1 není definovaný, proto 0 nemůže být 0 prvkem D(f), tedy D(f) = R {0}. Možná si vzpomenete, že odmocňovat lze pouze nulu nebo kladné číslo. Odmocnina ze záporného čísla není definována. Proto pro funkci f(x) = x musí být větší nebo rovno nule.

30 Toto jsou v tuto chvíli jediné funkce, které umíme intuitivně používat a které mají nějaká omezení. Obor hodnot: Oborem hodnot funkce f(x) nazveme množinu všech obrazů, k nimž existuje vzor. Obor hodnot funkce f(x) značíme H(f). Oborem hodnot je tedy množina všech čísel, na která funkce nějaké číslo zobrazí. Ukvadratickéfunkcef(x) = x víme,ževýsledkemnikdynebudezáporné číslo (druhá mocnina záporného čísla, tedy součin dvou stejných záporných čísel, je vždy kladný), proto H(f) = R + U obecné kvadratické funkce f(x) = ax + bx + c je obor hodnot dán intervalem V y, ), pokud a > 0, jinak je to interval (,V y, kde V y je y-ová souřadnice vrcholu paraboly. U funkcí s absolutní hodnotou je třeba dát pozor na fakt, že absolutní hodnota je vždy kladné číslo. U racionálních lomených funkcí pak výsledek zlomku nikdy není nula. Pojd me si ukázat pár příkladů: Příklad: Určete D(f) a H(f) funkce f(x) = x +x. Předpis funkce f(x) obsahuje pouze mocninu, součin, součet a rozdíl. Tyto operace jsou definovány pro všechny reálná čísla, proto zde nemáme žádné omezení a tedy D(f) = R. Pro určení oboru hodnot je třeba zjistit souřadnice vrcholu paraboly: [ V = b ] b,c = [ 1, 4]. a 4a Protože a je kladné (parabola se rozevírá nahoru, tedy vrchol je nejnižším bodem), platí rovnost H(f) = 4, ). Příklad: Určete D(f) a H(f) funkce f(x) =. x+1 Předpis funkce obsahuje zlomek. Čitatel tedy nesmí být roven nule. Platí tedy x+1 0, z čehož plyne, že x 1. Tedy D(f) = R { 1}. Protože zlomek nikdy nenabývá hodnoty 0 a předpis kromě zlomku nic jiného neobsahuje, platí H(f) = R {0}. Příklad: Určete D(f) a H(f) funkce f(x) = x Předpis funkce obsahuje pouze operace sčítání, odčítání a absolutní hodnoty. Tyto operace nemají žádná omezení, tedy D(f) = R. Výraz v absolutní hodnotě (bez ohledu na to, co v ní je), je vždy větší nebo roven nule. My k tomuto výrazu přičítáme ještě 5. Platí tedy H(f) = 5, ).

31 4 Funkce konstantní, rostoucí a klesající Definice: Funkce f(x) je konstantní, právě když pro všechna x 1,x R platí f(x 1 ) = f(x ). Předpis konstantní funkce vypadá takto: f(x) = k, kde k je libovolné reálné číslo. Graf je složen z bodů [x,k], kde x je libovolné reálné číslo a k je pevně daná konstanta z předpisu funkce. Příkladem může být funkce f(x) = 5. Graf pak obsahuje body [0,5],[ 1,5],[1,5], apod. Grafem tedy je přímka rovnoběžná s osou x procházející bodym [0, 5]. Definice: Funkce f(x) je rostoucí, právě když pro všechna x 1,x R, kde x 1 < x platí f(x 1 ) < f(x ). Definice říká, že funkce je rostoucí, právě když platí čím větší x, tím větší y. Graf takové funkce směrem zleva doprava stoupá. Definice: Funkce f(x) je klesající, právě když pro všechna x 1,x R, kde x 1 < x platí f(x 1 ) > f(x ). Definice říká, že funkce je klesající, právě když platí čím větší x, tím menší y. Graf takové funkce směrem zleva doprava klesá. Příklady všech tří typů funkcí můžete vidět na dalších obrázcích: y x V 4

32 y x y x V První obrázek ukazuje graf funkce f(x) =. Je jím přímka rovnoběžná s osou x. Funkce je tedy konstantní (graf směrem zleva doprava neklesá ani nestoupá). Druhý obrázek ukazuje graf funkce f(x) = x. Je jím křivka, která se směrem doprava zvedá. Funkce je tedy rostoucí. Třetí obrázek ukazuje graf funkce f(x) = x+. Je jím přímka, která se směrem doprava snižuje. Funkce je tedy klesající. Jakužtotakbývá,nicneníčernobílé.Můžememítifunkci x 1 + x+, jejíž graf ukazuje další obrázek: 5

33 y x O funkci nemůžeme říct, že by byla rostoucí, klesající, ani konstantní. Můžeme však říci, že je klesající na intervalu (,, konstantní na intervalu,1 a rostoucí na intervalu 1, ). 5 Lichá a sudá funkce Definice: Funkce f(x) je lichá, pokud pro každé reálné číslo x platí, že f( x) = f(x). Tato definice říká, že pokud u libovolného čísla změníme znaménko, výsledek bude stejný, až na znaménko, které bude opačné. Zda je funkce lichá, lze jednoduše zjistit z grafu. Ten totiž u liché funkce musí být symetrický podle středu kartézské soustavy souřadnic. Příklad: Funkce f(x) = x+1 není lichá, nebot f() = 4 a f( ) =. Hodnoty se liší nejen ve znaménku. Příklad: Funkce f(x) = x je lichá, nebot f(x) = x x x a f( x) = ( x) ( x) ( x) = x x x. Hodnoty jsou tedy stejné, až na znaménko, ve kterém se liší. Stejně tak je lichá každá funkce f(x) = x n, kde n je liché číslo. Další obrázky ukazují grafy funkcí f(x) = x, která je lichá (graf je symetrický podle středu) a g(x) = x + 1, která není lichá. Kam by se graf této funkce zobrazil při středové souměrnosti podle středu S, ukazuje zelená přímka.

34 y x y x Definice: Funkce f(x) je sudá, pokud pro každé reálné číslo x platí, že f( x) = f(x). Tato definice říká, že pokud u libovolného čísla změníme znaménko, výsledek bude vždy stejný, včetně znaménka. Zda je funkce sudá, lze jednoduše zjistit z grafu. Ten totiž u sudé funkce musí být symetrický podle osy y. Příklad: Funkce f(x) = x 1 není sudá, nebot f(1) = a f( 1) = 4. Hodnoty nejsou stejné, tedy se nemůže jednat o Příklad: Funkce f(x) = x + je sudá, nebot f(x) = x x+1 a f( x) = ( x) ( x) + 1 = x x + 1 = f(x) (součin dvou záporných čísel je vždy kladný). Sudá je každá funkce f(x) = x n, kde n je sudé číslo. 7

35 Další obrázky ukazují grafy funkcí f(x) = x, která je sudá (graf je symetrický podle osy y) a g(x) = x + 4x +, která není śudá. Kam by se graf této funkce zobrazil při osové souměrnosti podle osy y, ukazuje zelená parabola. Na tomto příkladu je krásně vidět, že kvadratická funkce je sudá, pouze když má vrchol na ose y, tedy platí, že b = 0. y x y x Funkce však nemusí být ani sudá, ani lichá. Např. právě x + 4x +, jejíž graf je zobrazen na posledním obrázku. Ta není středově symetrická ani podle středu S, ani osově symetrická podle osy y. Proti tomu funkce f(x) = 0 je sudá i lichá najednou. 8

36 Funkce prostá a na Definice: Funkcef(x)jeprostá,pokudplatíformulef(x) = f(y) x = y. Definici čteme tak, že funkce je prostá, právě když z rovnosti funkčních hodnot dvou vzorů plyne rovnost vzorů. Nemůže se tedy stát, že by funkce f(x) přiřadila dvěma různým číslům stejný výsledek. Že je funkce prostá, můžeme přečíst i z jejího grafu: nesmí se stát, že by nějaká rovnoběžka s osou x graf protínala alespoň dvakrát. Příklad: Funkce f(x) = x +x+4 není prostá, nebot f(0) = 4 a zároveň f( ) = 4, tedy pro dvě různá čísla dostáváme stejný výsledek. Příklad: Funkce f(x) = x 1 je prostá, nebot vzor pro daný obraz dostaneme tak, že k němu přičteme jedničku. Přičtením jedničky ke dvěma různým číslům nemůžeme dostat stejné výsledky. Definice: Funkce f(x) je na, právě když H(f) = R. Funkce je tedy prostá, pokud se zobrazí na celou množinu reálných čísel, tedy pokud pro každé reálné číslo nalezneme vzor, který se na něj zobrazí. Příklad: Funkce f(x) = x +x+4 není na, nebot se žádné číslo nezobrazí na jedničku (rovnoběžka z osou x procházející bodem [0, 1] graf funkce neprotíná. Na dalším obrázku je zeleně vyznačen obor hodnot. Je zřejmé, že nepokrývá celou množinu reálných čísel. Příklad: Funkce f(x) = x 1 je na, pro libovolný obraz y jsme schopni najít takové x, aby f(x) = y. Platí, že x = x+1, nebot f(x) = f(y +1) = (y+1) 1 = y. A protože y je libovolné reálné číslo, umíme pro každý obraz najít vzor. 7 Vlastnosti běžných funkcí 7.1 Konstantní funkce Konstantní funkce je dána předpisem f(x) = k, kde k je pevně daná konstanta.tatofunkcepřiřadíkaždémuxstejnéčíslok (je-lik =,pakkaždému x přiřadí šestku). Platí tedy D(f) = R a H = {k}. Funkce je již dle svého názvu konstatní. Funkce je sudá, protože její graf je symetrický podle osy y, alternativní zdůvodnění je, že pro všechna x platí f(x) = f(x) = k (každému číslu

37 kladnému i zápornému přiřadí konstantu k). Funkce není lichá, nebot není symetrická podle středu, např. bod [0,k] se zobrazí na bod [0, k], který ale neleží na grafu funkce. Funkce není prostá, protože f(1) = k a f() = k, tedy dvě různá čísla vrací stejný výsledek, alternativně to lze zdůvodnit, že přímka rovnoběžná s osouxaprocházejícíbodem[0,k]másgrafemspolečnýchvícebodůnežjeden (v tomto případě dokonce nekonečně mnoho bodů, nebot tato rovnoběžka je zároveň grafem funkce). 7. Lineární funkce Lineární funkce je dána předpisem f(x) = ax+b, kde a 0. Protože součin a součet je defimnován pro libovolná čísla, platí, že D(f) = R. Dále uvažujme libovolné y, pak jsme schopni pro něho najít takové x, aby platilo f(x) = y. Toto číslo bude mít tvar y b a, nebot : f( y b y b ) = a +b = y b+b = y. a a Protože jsme tedy našli vhodné x pro každé y, platí H(f) = R. Pokud a < 0, pak funkce f(x) bude klesající, pokud a > 0, pak f(x) je rostoucí. Toto se dá dokázat matematicky, ale pro Vás bude nejjednodušší si zkusit grafy několika lineárních funkcí nakreslit. Funkce není sudá, protože není symetrická podle osy y, to jsou pouze přímky na ni kolmé, a ty reprezentují konstantní funkce. Lineární funkce může být lichá, ale to pouze v případě, kdy středem prochází. To nastane v případě, kdy b = 0. Lineární funkce je prostá. Představme si dvě čísla x 1 a x. Z definice musí z rovnosti obrazů plynout rovnost vzorů. Pojd me se podívat, zda tomu tak opravdu je: f(x 1 ) = f(x ) ax 1 +b = ax +b ax 1 = ax x 1 = x. V prvním kroku jsme použili obecný předpis lineární funkce, pak jsme od obou stran odečetli b a obě strany vydělili a (to můžeme, nebot z definice a 0. Z rovnosti obrazů tedy plyne rovnost vzorů. Funkce je též na, nebot H(f) = R. 10

38 7. Kvadratické funkce Kvadratická funkce je dána předpisem f(x) = ax + bx + c. Některé její vlastnosti se odvíjejí od polohy vrcholu. Ten má tyto souřadnice: [ V = [V x,v y ] = b ] b,c. a 4a Protože předpis funkce obsahuje pouze operace sčítání, násobení a mocnění, je možné vypočítat funkční hodnotu pro všechna čísla. Proto D(f) = R. Pokudjea > 0,pakseparabolareprezentujícígraffunkcef(x)rozevírásměrem nahoru, tedy funkčními hodnotami f(x) mohou být pouze čísla větší než V y, tedy H(f) = V y, ). Pokud je ovšem a < 0, pak se parabola rozevírá směrem dolů a vrchol je nejvyšším bodem. Pak je V y nejvyšší možnou funkční hodnotou. Platí tedy H(f) = (,V y. Pokud je a > 0, pak funkce klesá od až k V x. V intervalu V x, ) zase roste. Je-li a < 0, na intervalu (,V x roste a na intervalu V x, ) klesá. Kvadratická funkce není lichá, protože není symetrická podle středu. Sudá být může, a to pouze v případě, kdy vrchol leží na ose y, tedy jeho x-ová souřadnice je nulová, což nastává pouze v případě, že b = 0. Kvadratická funkce není prostá, protože každá přímka, která protíná levé rameno paraboly, nutně protíná i pravé, tedy má s grafem dva společné body. Funkce není na, nebot D(f) R. 11

39 Goniometrické funkce a jejich využití při řešení trojúhelníků Petr Matyáš 1 Úhlová a oblouková míra Velikost úhlu se běžně udává dvěma způsoby: nejvíce zažitý je údaj ve stupních tak, jak jej intuitivně známe (celý kruh má 0, jeden stupeň má 0 minut). Toto označení se nazývá úhlová míra. Úhel však lze popsat i délkou oblouku, který daný úhel vytyčí na jednotkové kružnici (tedy na kružnici o poloměru např. 1 cm). Víme, že obvod kruhu se dá vypočítat pomocí vzorečku: O = πr. Tedycelájednotkovákružniceměříπ.Tedyπ odpovídá180.jednotkouobloukové míry jsou radiány. Mezi jednotlivými jednotkami lze snadno převádět pomocí trojčlenky. Vybrané převody uvádíme v této tabulce: Reprezentace částí stupně V matematice je přirozené reprezentovat části stupně pomocí minut. Stupeň má stejně jako hodina 0 minut. Většina kalkulaček však s minutami pracovat neumí, takže je třeba reprezentovat části stupně pomocí desetinného čísla. Např. 1 0 není rovno 1., ale 1.5, nebot 0 minut není třetina, ale polovina stupně. Jak se tedy převádí mezi jednotlivými reprezentacemi částí stupňů? Převod z minut na desetinné číslo spočívá pouze ve vydělení d počtu minut číslem 0. Stupně π π π π π π Radiány 0 π π 4 4 Tabulka 1: Převody mezi úhlovou a obloukovou mírou 1

40 ϕ (stupně) π π π π ϕ (radiány) 0 4 sin(ϕ) Tabulka : Základní hodnoty funkce sin Příklad: Najděte desetinné číslo reprezentující Desetinnou část čísla získáme tak, že 4 minut vydělíme 0: 4/0 = 0.4. Při počítání sinu tohoto úhlu tedy do kalkulačky nesmíme zadat 45.4, ale Převod z desetinného čísla na minuty provádíme zcela analogicky. Tentokrát není třeba 0 dělit, ale násobit. Samozřejmě násobíme pouze desetinnou část. Příklad: Převed te.45 na stupně a minuty. Počet minut získáme tak, že desetinnou část vynásobíme 0: Výsledek tedy je = 7. Goniometrické funkce Existuje mnoho goniometrických funkcí. V praxi si však vystačíme pouze s osmi funkcemi: sin, cos, tan, cot a funkce k těmto inverzní: arcsin, arccos, arctan a arccotg..1 Funkce sin Funkce sinus je definována pro libovolný úhel, tedy definičním oborem je celá množina R. Oborem hodnot je interval 1, 1. Graf funkce sin ukazuje první obrázek. Pro rychlou a efektivní práci je nutné si zapamatovat hodnoty na některých úhlech. Tyto hodnoty ukazuje tabulka. Funkční hodnoty pro některé úhly jsou v tabulce uvedeny v poněkud obskurní podobě: např. sin0 = 1, což odpovídá hodnotě 1. Důvod pro tento zápis je prostý: všimněme si, že zlomky jsou pro všechny úhly stejné,

41 π π 0 π π π π 5π Obrázek 1: Graf funkce sin liší se pouze hodnotou pod odmocninou v čitateli. Tato hodnota se pohybuje od 0 do 5. Díky tomu je opravdu snadné si tyto hodnoty zapamatovat. Na obrázku 1, který ukazuje graf funkce sin si můžete všimnout, že po každých 180 protne osu x, tedy sin(ϕ) = 0 pro ϕ = k 180, kde k Z. Dalším důležitým faktem je, že pro dva úhly, které se od sebe liší o 0, je funkční hodnota stejná. O takových funkcích říkáme, že jsou periodické. Perioda funkce sin je 0. Platí tedy, že sin(ϕ) = sin(ϕ+k 0 ) pro k Z. Dále si všimněte, že všechny oblouky jsou stejné a ještě k tomu symetrické. Díky těmto informacím lze snadno dopočítat i další hodnoty, např.: sin(10 ) = sin(0 ) =, nebot jdeme-li od 0 o 0 vlevo nebo vpravo, musíme dojít na stejnou hodnotu, sin(10 ) = 0, nebot 10 = 7 180, sin(5 ) = sin(45 ) =, nebot od 180 jsme po ose x k 5 urazili stejnou vzdálenst jako od 0 k 45, tedy stejnou vzdálenost musíme urazit i ve směru osy y, avšak v intervalu (180,0 ) jsou hodnoty funkce sin záporné.. Funkce cos Grafem funkce cos je taktéž sinusoida, pouze o 0 doleva. Funkce má tedy stejný definiční obor i obor hodnot jako funkce sin. Graf funkce cos ukazuje

42 π π 0 π π π π 5π Obrázek : Graf funkce cos ϕ (stupně) π π π π ϕ (radiány) 0 4 sin(ϕ) cos(ϕ) Tabulka : Základní hodnoty funkce cos obrázek Funkce cos má tedy také periodu 0, avšak osu x protíná pro x-vé hodnoty 0 + k 180, kde k Z. Hodnoty 1 dosahuje pro úhly k 0 a 1 pro hodnoty 180 +k 0, kde k Z. Základní hodnoty funkce cos ukazuje tabulka. Je dobré si všimnout, že hodnoty v posledním řádku jou stejné jako u funkce sin, pouze v opačném pořadí. Dále si pojd me spočítat hodnoty funkce cos pro některé tupé úhly. cos(10 ) = cos(0 ) = 1 od0 sepox-ovéoseposouvámestejně daleko jako k 0, tedy i po y-ové ose se musíme posunout o stejnou vzdálenost. Protože jsou však hodnoty funkce cos pro úhly z intervalu (0,70 ) záporné, i tato hodnota musí být záporná. cos(0 ) = cos(0 ) = díky periodě 0 můžeme od 0 odečíst 0, čímž dostáváme právě 0. 4