Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Transkript

1 Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze (po provedení pokusu) rozhodnout, zda je pravdivé. Náhodné jevy budeme značit velkými písmeny. Příklad: Jev, který nemůže nastat, nazýváme nemožný (např. padnutí sedmičky při hodu kostkou). Jev, který vždy nastane, nazýváme jistý (např. padnutí čísla menšího než sedm při hodu kostkou). Průnikem jevů A a B je takový jev C, který nastane při současném nastoupení jevů A a B. Zapisujeme C = A B. Př. Nechť jev A znamená zakoupení výrobku první jakosti, jev B = zakoupení výrobku modré barvy. Potom jev C = A B označuje zakoupení výrobku první jakosti modré barvy. Sjednocením jevů A a B vzniká jev C, který nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů A, B. Zapíšeme C = A B. Př. Nechť A = padne dvojka při hodu kostkou, B = padne jednička při hodu kostkou. Potom jev C = A B = padne číslo menší než 3 při hodu kostkou (neboli padne nebo 2). Jev A je doplňkovým jevem k jevu A, jestliže nastane právě tehdy, když nenastane jev A. Př. Jestliže při hodu kostkou označíme jako jev A padnutí šestky, potom jev A bude padnutí čísla menšího než šest. Je zřejmé, že tyto jevy budou navzájem disjunktní, tedy A A.

2 Pravděpodobnost náhodného jevu je objektivní vlastnost každého jevu bez ohledu na to, zda ji umíme určit. Formálně můžeme pravděpodobnost definovat pomocí třech axiómů: ) Každému náhodnému jevu A je přiřazena nezáporná pravděpodobnost P(A). 2) Pravděpodobnost sjednocení disjunktních jevů je součet pravděpodobností těchto jevů A B = Ø P(A B) = P(A) + P(B) 3) Pravděpodobnost jistého jevu je (00%). Z výše uvedených axiómů vyplývá, že pravděpodobnost nemožného jevu je rovna nule a pro libovolný jev A platí: 0 P(A). Klasická definice pravděpodobnosti Máme-li takový náhodný pokus, u něhož jsou výsledky stejně možné, je jich konečný počet a vzájemně se vylučují, potom číselnou hodnotu pravděpodobnosti jevu A určíme podle vzorce: m PA, n kde m je počet výsledků, které mají za následek nastoupení jevu A, n je počet všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady k procvičení: ) V loterii je 000 losů, z nichž 00 vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že na zakoupený los vyhrajeme? 2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne sudé číslo? 3) Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajeme ve sportce první cenu, vyplníme-li jednu sázenku (tj. uhádneme všech tažených čísel ze 9 čísel)? ) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami bude součet bodů 2? ) Ve třídě je 0 žáků, z toho 2 dívek. Náhodně vylosujeme 2 žáky. Jaká je pravděpodobnost, že to bude chlapec a dívka? ) Jaká je pravděpodobnost vyhrát třetí cenu ve sportce (uhodnout čísel ze tažených)? 7) V krabici je bílých koulí a černé koule. Náhodně vybereme 3 koule. Jaká je pravděpodobnost, že a) nebude vybrána žádná bílá koule, b) bude vybrána právě jedna bílá koule, c) budou vybrány maximálně dvě bílé koule?

3 Podmíněná pravděpodobnost Máme dva jevy A a B. Podmíněná pravděpodobnost jevu A vzhledem k jevu B je pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastoupí jev B. Značíme ji P(A/B). Příklad: V obchodním skladu je celkem 00 výrobků, z nichž 0 má drobnou technickou vadu. Náhodně vybereme výrobek a zajímá nás pravděpodobnost, zda je daný výrobek bezvadný (označíme jev A). Pak P(A) = 0,9. Připusťme novou informaci, že všechny vadné výrobky jsou od jednoho dodavatele (který dodal pouze vadné výrobky), zatímco výrobky od ostatních dodavatelů jsou bezvadné. Jako jev B označíme, že vybraný výrobek vyrobil dodavatel, který zaslal vadné výrobky. Potom P(A/B) = 0. Nyní úlohu obrátíme. P(B) = 0,. Pokud víme, že nastane jev A, je P(B/A) = 0. Závislost dvou jevů Dva jevy A a B jsou nezávislé, jestliže pravděpodobnost jednoho jevu nezávisí na nastoupení jevu druhého, tedy: P(A) = P(A/B) a současně P(B) = P(B/A). V opačném případě říkáme, že jevy A a B jsou závislé. Příklad 8 Příklad 9 Označme jev A při hodu kostkou padne šestka, jev B při hodu kostkou padne sudé číslo. Jsou tyto jevy závislé nebo nezávislé? Údaje o 00 narozených dětech jsou uspořádané do tabulky. Náhodně vybereme jedno dítě. Označíme jako jev A vybrání dítěte s hmotností do 3 kg a jako jev B vybrání dítěte do výšky 0 cm. Rozhodněte, zda jevy A a B jsou jevy závislé. Pravděpodobnost průniku dvou jevů P ( A B) PA PB / A PB PA / B P( A B) P Jsou-li jevy A a B nezávislé, pak A PB Příklad 0 V klobouku je 0 lístků, na kterých jsou jména chlapců a dívek. Lístky řádně promícháme a dva z nich vybereme. Jaká je pravděpodobnost, že na obou lístcích jsou jména chlapců? Příklad Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo sudé a současně dělitelné třemi?

4 Pravděpodobnost sjednocení jevů Jsou-li jevy A a B disjunktní ( A B ), pak pravděpodobnost jejich sjednocení je rovna součtu pravděpodobností těchto jevů, tedy P(A B) = P(A) + P(B). Nejsou li jevy A a B disjunktní ( A B ), pak pro pravděpodobnost jejich sjednocení platí: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Příklad 2 Příklad 3 Příklad Pravděpodobnost úspěchu vojenské operace při prvním pokusu je 80%, při druhém pokusu 90%. Jaká je pravděpodobnost alespoň jednoho úspěchu, jestliže výsledek prvního pokusu neovlivňuje pravděpodobnost výsledku druhého pokusu? Přístroj je sestaven ze tří nezávisle pracujících částí. Ve sledovaném časovém intervalu je pravděpodobnost poruchy každé části 0,. Jaká je pravděpodobnost, že a) ani jedna část nebude mít poruchu, b) všechny části budou mít poruchu, c) právě jedna část bude mít poruchu, d) alespoň jedna část bude mít poruchu? Ve třídě je 70% chlapců. S vyznamenáním studuje 20% chlapců a 0% dívek. Náhodně vybereme jednoho žáka. Jaká je pravděpodobnost, že studuje s vyznamenáním? Nezávislé pokusy Náhodné pokusy považujeme za nezávislé, jestliže pravděpodobnost výsledku kteréhokoli pokusu nezávisí na výsledcích pokusů ostatních. Typickými příklady nezávislých pokusů jsou házení kostkou, otáčení ruletou, výroba na automatickém stroji, apod. Provádíme n nezávislých pokusů. Pravděpodobnost jevu A je p, pravděpodobnost jeho doplňku A je p. Hledáme pravděpodobnost, že při n nezávislých pokusech nastane jev A právě x - krát. Příklad Jaká je pravděpodobnost, že při pěti hodech kostkou padne jednou šestka? Označme jev A padne šestka, pak P(A) =. Dále označme A jev šestka padne při prvním hodu (a pak už nepadne). Pak P A 0, Nyní označme A 2 jev šestka padne pouze při druhém hodu. 2 Pak P A 0, 08037

5 Nyní označme A 3 jev šestka padne pouze při třetím hodu. 3 Pak P A 0, Jistě není třeba vysvětlovat, co že to označíme jako jevy A a A a taktéž jaká bude jejich pravděpodobnost. Výsledná pravděpodobnost bude rovna součtu všech těchto dílčích pravděpodobností, neboť jevy A až A jsou navzájem disjunktní (nemohou nastat současně). 2 cca P() PA PA... PA 0, % Obecným vyjádřením této problematiky je tzv. Bernoulliho schéma. Označíme-li symbolem P(x) pravděpodobnost, že při n nezávislých pokusech jev A nastane právě x-krát, dostaneme: P n x x nx x p p, kde p PA Zkusíme vyřešit příklad pomocí Bernoulliho schématu. n = (kostkou házíme pětkrát) x = (šestka má padnout jen jednou) p = p P = 0, % cca Příklad ) Příklad 7) Příklad 8) Příklad 9) Student píše test s dvaceti úlohami. U každé úlohy vybírá právě jednu ze čtyř odpovědí. Nic neumí a volí zcela náhodně. Aby prošel, musí správně zodpovědět alespoň osm úloh. a) S jakou pravděpodobností student projde? b) Na kolik úloh s největší pravděpodobností student správně odpoví? Jaká je pravděpodobnost, že při -ti hodech kostkou padne šestka a) jednou, b) třikrát, c) aspoň jednou, d) dvakrát, a to při prvním a druhém hodu? Test obsahuje 0 otázek a na každou z nich jsou možné odpovědi. Správnou odpověď má student zaškrtnout. Jaká je pravděpodobnost, že student zodpoví správně alespoň otázek, jestliže látku vůbec nezná a volí odpovědi náhodně? Je známo, že určitý lék úspěšně léčí dané onemocnění v 90% případů. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň čtyři z pěti pacientů budou vyléčeni? Příklad 20) Pravděpodobnost vypěstování zdravé rostliny ze semene je 0,3. Zasadíte 0 semen. Jaká je pravděpodobnost, že vypěstujete zdravých rostlin?

6 Příklad 2) Pravděpodobnost, že dítě zdědí určitou chorobu, je 20%. Jaká je pravděpodobnost, že v rodině s pěti dětmi a) žádné nezdědí chorobu, b) právě jedno zdědí chorobu, c) maximálně dvě zdědí chorobu, d) všechny zdědí chorobu? Příklad 22) Příklad 23) Rozhodněte, který z následujících jevů je pravděpodobnější. a) Při šesti hodech hrací kostkou padne aspoň jednou. b) Při dvanácti hodech hrací kostkou padne aspoň dvakrát. c) Při osmnácti hodech hrací kostkou padne aspoň třikrát. Automat vyrobí za minutu 0 součástek. Pravděpodobnost vyrobení vadné součástky je 0,0. Po kolika minutách bude pravděpodobnost, že byl vyroben alespoň jeden zmetek, rovna minimálně 0,8? Po kolika minutách bude pravděpodobnost, že bude vyroben právě jeden zmetek, 00%? Řešení příkladu : n = 20 (20 úloh = 20 náhodných pokusů, neboť student jest dutý jak bambus) p = 0,2 (vybírá právě jednu ze čtyř odpovědí) p = 0,7 (no comment) a) X = 8, 9, 0,..., 20 (musí správně zodpovědět alespoň 8 úloh z dvaceti) Řešení provedeme v Excelu. Šance, že student projde, je desetiprocentní. X n X P(X) , , , , , , ,7E-0 0 3,2E-0 8 3,9E ,799E ,E ,7E- 20 9,09E-3 celkem 0,089 b) Zajímá nás, pro jaké X bude P(X) největší. Odhadoval bych to na 3 úlohy. Použijeme znovu Microsoft Excel.

7 X n X P(X) 0 0, , , , , , , , , , , , Jak je vidět, mýlil jsem se. Pravděpodobnost narůstá až do X =, poté klesá. Student s největší pravděpodobností trefí odpovědí.