ÍNDICE
8 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV Problema.3... Solución roblema.3... Problema.4... Solución roblema.4... Problema.5... Solución roblema.5... Problema.6... Solución roblema.6... Problema.7... Solución roblema.7... Problema.8... Solución roblema.8... Problema.9... Solución roblema.9... Problema.0... Solución roblema.0... CAPÍTULO 3. COMPETENCIA PERFECTA Y MONOPOLIO... INTRODUCCIÓN... Problema 3.... Solución roblema 3.... Problema 3.... Solución roblema 3.... Problema 3.3... Solución roblema 3.3... Problema 3.4... Solución roblema 3.4... Problema 3.5... Solución roblema 3.5... Problema 3.6... Solución roblema 3.6... Problema 3.7... Solución roblema 3.7... Problema 3.8... Solución roblema 3.8... Problema 3.9... Solución roblema 3.9... Problema 3.0... Solución roblema 3.0... Problema 3.... Solución roblema 3.... Problema 3.... Solución roblema 3.... 55 55 57 58 63 63 67 68 7 7 74 74 79 80 8 8 85 87 9 9 93 93 96 97 99 00 05 06 09 0 3 4 4 8 8 3 8 8 3 3
ÍNDICE 9 Problema 3.3... Solución roblema 3.3... Problema 3.4... Solución roblema 3.4... Problema 3.5... Solución roblema 3.5... Problema 3.6... Solución roblema 3.6... Problema 3.7... Solución roblema 3.7... CAPÍTULO 4. COMPETENCIA IMPERFECTA... INTRODUCCIÓN... Problema 4.... Solución roblema 4.... Problema 4.... Solución roblema 4.... Problema 4.3... Solución roblema 4.3... Problema 4.4... Solución roblema 4.4... Problema 4.5... Solución roblema 4.5... Problema 4.6... Solución roblema 4.6... Problema 4.7... Solución roblema 4.7... Problema 4.8... Solución roblema 4.8... Problema 4.9... Solución roblema 4.9... Problema 4.0... Solución roblema 4.0... Problema 4.... Solución roblema 4.... Problema 4.... Solución roblema 4.... Problema 4.3... Solución roblema 4.3... 36 37 39 39 4 4 45 45 47 48 53 55 57 57 67 67 70 70 7 7 74 74 77 77 8 8 85 85 88 88 9 9 94 95 97 97 99 99
Caítulo EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO
INTRODUCCIÓN
6 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV etencia erfecta. Uno de los consumidores tiene caacidad ara determinar los recios mientras que el otro sigue siendo recio-acetante. En esta situación se calcula la asignación de equilibrio general cometitivo y la ótimo aretiana, y se comrueba que no coinciden. Por último se obtiene un nuevo equilibrio donde ninguno de los consumidores tiene oder de decisión sobre el recio ara comararlo con la situación anterior. El Problema.5 es un ejercicio de equilibrio en la roducción. Un único factor se utiliza ara roducir dos bienes según unas funciones de roducción dadas. Se calculan las condiciones de eficiencia y la frontera de osibilidades de roducción. El Problema.6 lantea el caso de una economía donde se roducen dos bienes a través de tecnologías Cobb-Douglas. Se derivan las condiciones de eficiencia y la curva de contrato entre industrias. En el Problema.7 ya se introduce conjuntamente el intercambio y la roducción en un ejercicio de equilibrio. Eisten dos bienes que son argumentos de la función de utilidad del único consumidor de esta economía. Uno de los bienes no es roducible, uede consumirse directamente o utilizarse como factor de roducción, or las dos emresas de esta economía, ara fabricar el otro bien. A artir de este lanteamiento y de los datos roorcionados en el enunciado se obtiene la asignación de equilibrio, la frontera de osibilidades de roducción y la asignación ótimo aretiana. El Problema.8 es un nuevo roblema de equilibrio en una economía de intercambio y roducción. En este caso sólo eiste un consumidor y sin embargo hay tres bienes, de los cuales, uno de ellos no se uede roducir, mientras que los otros dos sí. Definidas las funciones de roducción, se obtienen las asignaciones ótimo aretianas y se demuestran que son iguales a las de equilibrio general cometitivo. La eculiaridad de este roblema reside en que el beneficio de una de las emresas no es nulo y debe incororarse a las dotaciones iniciales del consumidor.
Problema. + $ $ Solución roblema. + + +
8 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV L(, λ) ln + ln λ( + 3 ) Las condiciones de rimer orden (c..o.) de este roblema de maimización condicionada son: L() λ 0 L() λ 0 L() + 3 0 λ () () (3) Oerando con las c..o. () y () se tiene la siguiente relación: Sustituyendo esta eresión en la restricción resuuestaria (o, lo que es lo mismo, en la tercera c..o.) se tiene: + 3 0 de donde oerando se obtiene la función de demanda del consumidor del bien, que es: 05, + 5, Y, or tanto, la función de demanda del consumidor del bien será: 05, + 5, Por su arte, el consumidor se enfrenta a un roblema simétrico de maimización condicionada que es el siguiente: Ma s.a: U ( ) ln + ln + 3 +
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO 9 De las dos rimeras c..o. se obtiene la siguiente relación: y sustituyendo en la restricción resuuestaria, se obtienen las funciones de demanda de ambos bienes del consumidor, que son: b) Las funciones de eceso de demanda nos informan, ara cada vector de recios, del eceso de las cantidades demandadas sobre las cantidades ofrecidas (en este caso las dotaciones iniciales), esto es: i i i z ( ) ( ) j, ; i, j j 5, + 05, 5, + 05, j donde i j () es la función de demanda del consumidor i-ésimo del bien j,y $ i j son las dotaciones iniciales del consumidor i-ésimo del bien j. Alicando esta fórmula a los resultados del aartado anterior se derivan las funciones de eceso de demanda de cada consumidor, que son: z ( ) 05, + 5, 5, 05, 05, 05, z( ) + 5, 3 5, z ( ) 5, + 05, 3 05, 5, 5, z ( ) 05, 5, + 05, c) Para calcular el equilibrio de esta economía basta con saber que el equilibrio uede definirse como aquella situación en la que todos los ecesos de demanda de cada bien son nulos. Es decir, el equilibrio debe cumlir: i z ( ) z ( ) 5, 05, + 05, 5, 0 i i 05, 5, z( ) z( ) 5, + 05, 0 i (4) (5)
0 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV Con una de estas dos ecuaciones es suficiente ara calcular el recio de equilibrio ya que, or la ley de Walras se sabe que en una economía con dos bienes cuando el mercado de uno de ellos está en equilibrio, el otro también lo estará. Por tanto, ara calcular el recio de equilibrio oeramos con cualquiera de estas ecuaciones. Por ejemlo, a artir de la ecuación (4) se tiene que: de donde se obtiene que *. Con este recio de equilibrio ya odemos calcular los demás datos que se iden en el enunciado. Las cantidades de equilibrio se calculan sustituyendo or su valor de equilibrio. A artir de las cantidades de equilibrio así calculadas, obtenemos el nivel de utilidad de equilibrio de los consumidores or una simle sustitución. Los resultados son: * * * * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( U ) ( U ), 386 0 Problema. Considere una economía de intercambio uro con dos consumidores ( y ) recio-acetantes y dos únicos bienes y. Las referencias de ambos consumidores son idénticas y vienen reresentadas or las siguientes funciones de utilidad: donde i y i son las cantidades de los bienes y y del consumidor i-ésimo. Las dotaciones iniciales de cada consumidor son, resectivamente, $ (, 3) y $ (3, ). Se ide: a) Obtenga la eresión de la curva de contrato. b) Rereséntela gráficamente en una caja de Edgeworth. c) La asignación de equilibrio del ejercicio anterior es una asignación ótimo aretiana (OP)? Justifique su resuesta. Solucion roblema. i i i i i U (, ) ln + ln i, a) La curva de contrato, o conjunto de asignaciones Pareto eficientes, es el lugar geométrico de los untos en los que la situación de un consumidor no uede mejorarse sin emeorar la situación del otro. Por tanto, en dichos untos se roduce la tangencia de las curvas de utilidad de ambos consumidores. Para que dicha tangencia se cumla se debe cumlir que: RMS () RMS ( )
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO Es decir: U ( ) U ( ) U ( ) U ( ) lo que alicado a los datos del roblema resulta en la siguiente condición: () Para calcular los untos interiores de la caja de Edgeworth de la curva de contrato (es decir, cantidades estrictamente ositivas de ambos bienes ara ambos consumidores), lo único que hay que tener en cuenta son las dotaciones iniciales o cantidades eistentes de ambos bienes. Esto es, sabemos que: Por lo que: + 4 + 4 4 4 y sustituyendo estas eresiones en (), se obtiene la eresión de la curva de contrato: Es decir, o lo que es lo mismo: ( 4 ) ( 4 ) y 4 4 Es relevante darse cuenta de que ara obtener la curva de contrato sólo se requiere información de las referencias de los consumidores y de las dotaciones iniciales totales de cada bien. La curva de contrato no deende de la distribución inicial de la riqueza.
PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV b) En este caso, la curva de contrato es la diagonal rincial de la caja de Edgeworth (véase el Gráfico..a). 4 O 3 Curva de contrato 0 O 0 3 4 Gráfico..a c) Sí. En una economía como la descrita en el enunciado se cumle que en el equilibrio cometitivo alcanzado la situación de cualquiera de los dos consumidores no se uede mejorar sin que emeore la del otro. Es decir, el equilibrio cometitivo es una asignación ótimo aretiana. Problema.3 Considere una economía de intercambio uro con dos consumidores ( y ) recio-acetantes y dos únicos bienes y. Las referencias de dichos consumidores vienen reresentadas or las siguientes funciones de utilidad: U (, ) U (, ) Donde los subíndices hacen referencia a los bienes y los sueríndices a los consumidores (ejemlo: es la cantidad del bien consumida or el individuo ). En dicha economía hay unas dotaciones iniciales $ y $ del bien y resectivamente. La distribución de dichas dotaciones iniciales es la siguiente: $ ($, $ ) y $ ($, $ ). Suonga ara simlificar que el bien es numerario ( ). Se ide: a) Obtenga la eresión de la curva de contrato. b) Obtenga el recio de equilibrio general cometitivo (EGC) de esta economía.
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO 3 c) Suonga que las dotaciones iniciales son: $ (3, 4) y $ (3, ). Calcule la eresión de las asignaciones ótimo aretianas y la asignación de equilibrio cometitivo (recio, cantidades y niveles de utilidad). d) Suonga que eiste un criterio or el cual la sociedad determinase que uno de los ótimos aretianos es el «mejor», or ejemlo, la asignación (, ) y (4, 4). Elicite una distribución inicial de la riqueza que conduzca a que dicha asignación ueda alcanzarse como equilibrio cometitivo de esta economía. Solución roblema.3 a) La curva de contrato, como es sabido, es el lugar geométrico de los untos donde se roduce la tangencia de las curvas de utilidad de ambos consumidores. Por tanto se debe cumlir que: RMS U ( ) U ( ) () RMS ( ) U ( ) U ( ) Esta eresión, ara los datos del roblema, resulta: Para calcular los untos interiores de la caja de Edgeworth de la curva de contrato se debe tener en cuenta las dotaciones iniciales de ambos bienes. Por los datos del enunciado sabemos que: + + Sustituyendo estas eresiones en la ecuación anterior, obtenemos la eresión de la curva de contrato:
4 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV La curva de contrato se odría igualmente haber eresado en términos del consumidor. En este caso quedaría: b) Para calcular la asignación de equilibrio cometitivo debemos resolver los roblemas de otimización de ambos consumidores. El consumidor maimizará su utilidad dada su restricción resuuestaria, esto es: Ma s.a: U( ) + + Cuya función auiliar de Lagrange es: L() λ( + ) Las condiciones de rimer orden de este roblema de maimización condicionada son: L() λ L() λ 0 0 L() + 0 λ () () (3) Oerando con las c..o. () y () obtenemos la siguiente relación: Sustituyendo esta condición en la c..o.(3) tenemos: + + y, oerando, resulta la función de demanda del consumidor del bien, que es: +
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO 5 Por su arte, la función de demanda del consumidor del bien será: + El consumidor se enfrenta a un roblema simétrico de maimización condicionada que es el siguiente: Ma s.a: U( ) + + Oerando de la misma manera que ara el consumidor, obtenemos las funciones de demanda de ambos bienes del consumidor, que son: Para calcular el recio de equilibrio cometitivo basta con saber que será aquel en el que la oferta de ambos bienes sea igual a la demanda (es decir, ecesos de demanda nulos). Además, or la ley de Walras al eistir en esta economía únicamente dos bienes es suficiente con trabajar con la función de eceso de demanda de uno de ello. Por ejemlo, ara el bien : i z z ( ) ( ) + + + 0 i Reordenando términos y teniendo en cuenta que, $ $ + $,y,$ $ + $, la eresión anterior queda: + + + 0 de donde, desejando, se obtiene el recio de equilibrio cometitivo: *
6 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV c) Ahora se nos dan nuevos datos en el roblema, en concreto, datos sobre los valores de las dotaciones iniciales $ (3, 4) y $ (3, ). En los aartados a) y b) se ha calculado todo lo que se ide ara el caso general. Por tanto, ara resonder a este aartado, basta con sustituir las dotaciones iniciales or los valores fijados. En concreto, se tendrán que hacer las siguientes sustituciones: ($, $ ) (3, 4), ($, $ ) (3, ) y ($, $ ) (6, 6). Los resultados son los siguientes: 6 ( 6 ) ( 6 ) 6 Esta es la eresión de la curva de contrato eresada en términos de las cantidades del consumidor. La eresión de dicha curva en términos del consumidor sería: Obsérvese que en este caso la curva de contrato es la diagonal rincial de la caja de Edgeworth. El recio de equilibrio será: * 6 6 Con lo que las cantidades de equilibrio quedan: * * ( ) ( ) 35, * * ( ) ( ) 5, y sustituyendo en las funciones de utilidad se obtienen los niveles de utilidad de equilibrio de ambos consumidores: * ( U ), 5 * ( U ) 65, La curva de contrato y el equilibrio alcanzado uede verse en el Gráfico.3.a. d) Se suone ahora que esta sociedad determina que uno de los ótimos aretianos es el «mejor», la asignación (, ) y (4, 4), y se quiere alcanzar dicha asignación como equilibrio cometitivo. En rinciio cabe reguntarse si esto es osible. La resuesta es sí. Ello se debe a la eistencia de una relación imortante entre el equilibrio y los ótimos. Cualquier asignación ótimo aretiana se uede alcanzar como equilibrio cometitivo si se uede elegir la distribución ini-
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO 7 cial de la riqueza entre los consumidores. Para dar resuesta a este aartado solamente hay que tener resentes los resultados anteriores. En rimer lugar hay que darse cuenta de que la curva de contrato será la misma, ya que, como se ha dicho, la eresión de la curva de contrato sólo deende de las referencias de los individuos y de las dotaciones iniciales totales de la economía (no de su distribución). Por tanto, se busca situarse en el unto (, ) de la curva de contrato, o lo que es lo mismo, sobre el unto (4, 4) de la curva de contrato. También es fácil ercibir que el recio de equilibrio será el mismo, ya que dicho recio sólo deende de las dotaciones totales de bienes: Con lo que la familia de las rectas de balance de este caso viene reresentado or la función: + y + y y * 6 6 y como queremos alcanzar como asignación cometitiva el unto (, ) habrá que distribuir la riqueza inicial de tal modo que los consumidores uedan alcanzar ese unto como equilibrio general cometitivo. En términos gráficos (véase el Gráfico.3.a), estamos buscando la eresión de aquella recta de balance que, 6 O 5 Curva de contrato 4 (3,4) 3 (,3) Equilibrio c) (3,5;3,5) Equilibrio d) (,) a 0 O 0 3 4 b 5 6 Gráfico.3.a
8 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV siendo aralela a la recta «a» (aralela orque la inclinación de la misma o recio de equilibrio no ha cambiado del aartado c) al d)), ase or el unto (, ). Esta recta de balance es: Eresión que equivale a la recta «b» del Gráfico.3.a. Esta es la solución. Cualquiera de los infinitos untos contenidos en la recta anterior constituye unas dotaciones iniciales del consumidor (y, en consecuencia, del consumidor ) que lograrán que el equilibrio cometitivo se sitúe en el ótimo aretiano deseado. Un ejemlo sería: (, ) ( 3, ) (, ) ( 53, ) 4 que lleva a la asignación de equilibrio deseada y donde los consumidores tienen unos niveles de utilidad U 4 y U 6. Problema.4 Suonga una economía de intercambio uro con dos consumidores ( y ) y dos únicos bienes y. Las referencias de dichos consumidores vienen reresentadas or las siguientes funciones de utilidad: U (, ) U (, ) ( ) donde los subíndices hacen referencia a los bienes y los sueríndices a los consumidores. Las dotaciones iniciales son $ (40, 60) y $ (40, 0). Se ide: a) Suonga que el consumidor tiene caacidad ara determinar los recios mientras que el consumidor es recio-acetante. Obtenga el equilibrio cometitivo en este caso (recios, cantidades y niveles de utilidad). b) La asignación de equilibrio del aartado a) es una asignación ótimo aretiana? Razone su resuesta. c) Calcule la asignación de equilibrio (cantidades y niveles de utilidad) ara el caso de que ambos consumidores fueran recio-acetantes y comárela con los resultados del aartado a).
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO 9 Solución roblema.4 a) Cuando uno de los consumidores es recio-determinante el mecanismo es el siguiente. El consumidor (recio-acetante), ante cualquier recio relativo que determine el consumidor, se situará en su unto corresondiente de su curva de oferta-demanda. Por lo tanto, el consumidor recio-determinante tomará este hecho como un dato y fijará el recio que le ermita, situándose sobre la curva de oferta-demanda del consumidor, colocarse en la curva de indiferencia más alejada del origen. Es decir, el consumidor maimizará su utilidad sujeto a la curva de oferta-demanda del consumidor. Por lo tanto, lo rimero que hay que calcular es la curva de oferta-demanda del consumidor. Ésta se calcula a artir de su roblema de maimización condicionada: Ma s.a: U( ) ( ) + 40 + 0 La función auiliar de Lagrange es, en este caso: L() ( ) λ( + 40 0 ) Las dos rimeras condiciones de rimer orden son: lo que roorciona: L() ( ) λ 0 L() λ 0 Para calcular la curva de oferta-demanda de este consumidor basta con sustituir esta eresión de los recios en la restricción resuuestaria. Si se dividen ambos miembros de la restricción entre : + 40 + 0 ( 40) 0