Jsou tenisté racionální

Vysoká škola ekonomická v Praze Národohospodářská fakulta Jsou tenisté racionální PRÁCE STUDENTŮ MAGISTERSKÉHO STUDIA Eva Foksová Počet znaků: 35 474 Kontakt: e-mail: foksovae@seznam.cz telefon: 721 367 804 Číslo bankovního účtu: 35 6988990207/0100 Podpis autora:

JSOU TENISTÉ RACIONÁLNÍ Eva Foksová* Abstrakt Cílem této práce je ověřit na reálných datech hypotézy vycházející z ekonomické teorie a tyto teorie na základě empirického testování zamítnout či potvrdit. Práce se zabývá testováním hypotézy vycházející z oblasti teorie her a testuje, zda tenisté hrají podle teorie minimaxu. V práci analyzuji data pro silné a slabé hráče na podání a ověřuji, které skupiny hráčů se ve svých hráčských strategiích více přibližují předpokladům teorie minimaxu. Konkrétně jsou testovány dílčí hypotézy: i) pravděpodobnost výhry z podání napravo je stejná jako pravděpodobnost výhry z podání nalevo, zároveň ii) tato hypotéza bude platit spíše pro hráče silnější na podání proti slabším hráčům, než když proti sobě nastoupí stejně silní hráči a iii) výsledky v ženských zápasech, budou v závislosti na předpokladu, že ženy nevynikají výrazným podáním, horší v oblasti teorie minimaxu, než výsledky z mužských utkání. Pro analýzu výše zmíněných hypotéz byly použity data z Grandslamových turnajů z let 2011 a 2012. Hypotézy byly testovány pro mužská i ženská data. Na základě výsledků v této práci, jež byly získané na základě analýzy reálných dat, byly potvrzeny stanovené hypotézy. Abstract The aim of this thesis is on real data to verify the hypothesis of economic theory and this theory to confirm or reject. This thesis deals with testing of hypothesis based on the game theory and tests whether tennis players play according to the minimax theory. In this thesis I analyse the data for strong and weak players, considering their service, and verify which group of players more converge in their strategies toward minimax theory assumptions. Specifically, I test following hypotheses: i) the probability of the winning from the right side serve equals the probability of the winning from the left side serve, ii) this hypothesis will hold true rather in case of stronger players serving against weaker players than in case of equally strong players playing against each other and iii) the results of the women's matches, will be based on the assumption that women do not have so strong serve, worse in minimax theory than the results of the male game. The analysis of the above mentioned hypotheses was performed on the data from the Grand Slam tournaments in the years 2011 and 2012. Hypotheses are tested using both male and female data. The results obtained from analysis of the data confirm the hypotheses. Klíčová slova: Teorie minimaxu, tenisové podání, tenis Keywords: Minimax theory, tennis serves, tennis JEL classification: C72, C79, D01 *Absolventka oboru Ekonomická analýza na Národohospodářské fakultě Vysoké školy ekonomické v Praze 1

OBSAH ÚVOD... 3 1 PŘEDCHOZÍ LITERATURA, TEORETICKÝ RÁMEC... 4 1.1. PŘEDCHOZÍ LITERATURA... 4 1.2. TEORETICKÝ RÁMEC... 4 2 DATA... 8 3 TESTOVÁNÍ SMÍŠENÝCH STRATEGIÍ NA ZÍSKANÝCH DATECH... 9 3.1. VÝSLEDKY TESTU... 9 3.2. SROVNÁNÍ MUŽSKÝCH A ŽENSKÝCH VÝSLEDKŮ... 18 ZÁVĚR... 19 SEZNAM LITERATURY... 20 2

ÚVOD Racionalita je základním axiomem ekonomické disciplíny. V této práci se pokusím zjistit, zda se chovají racionálně tenisoví hráči, a to na základě ověření ekonomické teorie minimaxu na reálných datech z tenisových zápasů. Tedy, pokusím se ověřit, jestli je strategické chování tenisových hráčů v souladu s tím, co předpovídá teorie. Teorie her je vědní disciplína, která se prolíná téměř všemi vědními obory a koncept rovnováhy ve smíšených strategiích je jejím základním prvkem. S vývojem tohoto vědního oboru vzniklo mnoho teoretických modelů strategického chování subjektů, jejichž předpoklady a teoretické výstupy se staly objektem testování, ve snaze je potvrdit či vyvrátit na empirických datech. Nejdříve probíhaly experimenty, kterých se účastnili zejména studenti. Výsledky těchto experimentů sice, na základě studií, vycházely v souladu s teoretickými modely, tyto modely ovšem nebyly statisticky významné a dalo by se říct, že platnost modelů přímo nepotvrzovaly. V pozdějších letech začali autoři studií testovat tyto teorie na reálných datech ze sportu, neboť sportovní utkání jsou vhodná pro testování hráčských strategií z jejich podstaty, kdy se jednotliví hráči snaží optimalizovat své strategické chování za dosažením úspěchu. Studie testující strategické chování hráčů na reálných datech přinášely statisticky významnější výsledky. Jednotlivé studie ovšem také nebyly jednoznačné, a pokud si přímo neodporovaly, tak jejich statistická významnost byla odlišná. V této práci se pokusím provést ověření minimaxové teorie na reálných datech z tenisu a přinést další empirický důkaz této teorie a tedy podpořit hypotézu strategického chování v běžném lidském konání. V práci se zaměřím zejména na heterogenitu, tedy rozdílnost ve výkonnosti jednotlivých hráčů, když předpokládám, že pro různé typy hráčů by měl model poskytovat rozdílné výsledky. Struktura práce je následující. V kapitole 1 poskytnu přehled předchozí literatury a teoretický rámec daného modelu, kapitola 2 popisuje data, ze kterých jsem vycházela, a kapitola 3 obsahuje samotné testování mnou navržených modelů. 3

1 PŘEDCHOZÍ LITERATURA, TEORETICKÝ RÁMEC 1.1 PŘEDCHOZÍ LITERATURA Jedním z prvních ekonomů, kteří teorii minimaxu zkoumali na empirických datech, byl O Neill (1986). Výsledkem jeho studie byly hodnoty blízko předpovědi teorie minimaxu, kdy odchylky od rovnováhy nebyly statisticky významné. Na O Neillovu studii reagovaly studie Browna a Rosenthala (1990), Rapoporta a Boebela (1992), nebo studie Mookherjee a Sophera (1994). Všechny výše zmíněné experimenty byly prováděny v laboratorních podmínkách, na jednoduše pochopitelných hrách. Všech experimentů se účastnili studenti. Ačkoli závěrem většiny těchto studií bylo potvrzení teorie minimaxu, výsledky byly nejednoznačné a teorii minimaxu nepotvrzovaly přesvědčivě. Jako první provedli testování této hypotézy na skutečných datech ze sportu Walker a Wooders (2001) s tvrzením, že vysoce motivovaní a zkušení hráči mohou lépe potvrdit teorii minimaxu než studenti v laboratorních experimentech. Walker a Wooders (2001) použili data z tenisových utkání. Svůj test provedli na 10 zápasech 1 z mužských Grandslamových turnajů a posledního turnaje Masters v daném roce. Výsledkem jejich testování bylo potvrzení hypotézy minimaxu. Výsledky Walkera a Wooderse se navíc přiblížily více hodnotám teorie minimaxu, než výsledky O Neilla. Na studii Walkera a Wooderse přímo reagovali a navázali Hsu et al. (2003, 2007). Pokusili se o přehodnocení výsledků Walkera a Wooderse sesbíráním většího počtu dat. Analýza podpořila teorii minimaxu, která nemohla být na základě jejich dat zamítnuta (stejně jako v případě Walkera a Wooderse), ovšem našli zde menší statistickou významnost modelu. Další studií, která se zabývala testováním minimaxové teorie na datech z tenisu a která tuto teorii potvrdila, byla studie Wilese (2006). Ve své práci budu vycházet ze studie Walkera a Wooderse (2001), Hsu, Huang a Tanga (2003, 2007) a Willese (2006), kteří testovali, jestli tenisté hrají podle minimaxových strategií. Tyto studie jsou založeny na předpokladu, že podání je důležité pro získání vítězného bodu. Hypotézy, které se pokusím ověřit, vycházejí ze stejné metodologie se změnou předpokladu, že pokud bude podávat silnější hráč proti slabšímu, bude v oblasti minimaxu dosahovat lepších výsledků, než když proti sobě nastoupí hráči o stejné síle, tzn., že v případě souboje mezi nerovnými soupeři bude mít podání větší vliv, jelikož podání silnějšího hráče bude agresivní a těžce vybratelné a hra pro něj bude snadněji ukončitelná. 1.2 TEORETICKÝ RÁMEC Model, který navrhli Walker a Wooders (2001) a který je východiskem pro tuto práci, představuje jednoduchou hru s nulovým součtem se dvěma hráči, podávajícím a přijímajícím. Podávající i přijímající hráč se snaží maximalizovat svoje výplaty, a jelikož se jedná o hru s nulovým součtem, oba současně minimalizují výplaty svého protihráče. Model, tak jak jej navrhli Walker a Wooders a ze kterého bude vycházet i můj test je znázorněn na obrázku 1. 1 Měli určitá kritéria pro výběr hráčů: vítězství v zápase bylo důležité pro oba hráče, hráči si byli dobře známí a zápasy byly dost dlouhé na to, uhrát dostatečný počet bodů. 4

Obrázek 1: Obecná hra s nulovým součtem Přijímající L P Podávající L π LL π LP P π PL π PP Každý bod v zápase začíná podáním jednoho hráče. Na základě předpokladů tohoto modelu může podávající hráč umístit své podání buď na levou, nebo pravou stranu hráče přijímajícího 2. Zároveň, s výše popsaným rozhodováním podávajícího hráče, může přijímající hráč hádat, jestli bude podání umístěno na jeho levou nebo pravou ruku a na základě toho se více připravit hrát na jednu nebo druhou stranu. Pravděpodobnost, že podávající hráč nakonec získá vítězný bod, je dána výplatami π sr v obrázku 1. Index s představuje volbu podávajícího hráče, zda umístí své podání na levou (L) nebo pravou (P) stranu přijímajícího hráče. Index r představuje odhad přijímajícího hráče, zda si myslí, že bude podání zahráno doleva (L) nebo doprava (P). Jelikož se jedná o hru s nulovým součtem, pak pravděpodobnost získání vítězného bodu pro přijímajícího hráče je doplněk do 1, tedy 1 - π sr. Pro podávajícího hráče platí následující nerovnosti: π LL < π PL; π PP < π LP; π LL < π LP; π PP < π PL. Předpoklad, který z popsaných nerovnic vyplývá je následující: i. Každý bod je v tenise hrán jako hra s nulovým součtem s maticí 2x2 s jedinou rovnováhou ve smíšených strategiích (Walker a Wooders 2001). V této jediné rovnováze je pak pravděpodobnost, že podávající hráč podá doleva dána rovnicí: S L = (π PL -π PP )/(π PL +π LP -π LL -π PP ). Pravděpodobnost, že jeho podání půjde na pravou stranu přijímajícího je tedy (1-S L ). Pravděpodobnost, že přijímající hráč bude předpokládat, že podání půjde na jeho levou ruku, je odvozeno stejným způsobem a je dáno rovnicí: A L = (π LP -π PP) /(π PL +π LP -π LL -π PP ). Pokud tedy existuje předpoklad, že oba hráči hrají podle rovnovážné strategie, pak pravděpodobnost, že hráč, který je na podání, získá vítězný míč, můžeme vyjádřit rovnicí: V = (π LP π PL -π LL π PP )/(π PL +π LP -π LL -π PP ). To, jaké výplaty nakonec ve hře nastanou, je ovlivněno různými faktory. Mezi nejvýznamnější faktory, které ovlivňují hodnotu výplat, patří schopnosti jednotlivých hráčů. Ve hrách s různými hráči nastávají různé pravděpodobnosti. Jiné výplaty mohou být i ve hrách mezi hráči, kteří už spolu někdy hráli (důvodem může být rozdílný hrací povrch, jiné povětrnostní podmínky, jiná forma jednotlivých hráčů, ). Hodnoty výplat se pak mění i v rámci jednoho utkání. Navíc podávající hráč 2 Umístění podání na střed není v tomto modelu uvažováno, protože množství takto umístěných podání je zanedbatelné. 5

musí své podání hrát střídavě do deuce-court 3 a do ad-court 4 a jelikož jsou jednotlivé schopnosti hráčů rozdílné, jsou pravděpodobnosti výplat pro získání bodu z deuce-court odlišné od pravděpodobnosti získat bod z ad-court. V jednom zápase jsou pak nejméně čtyři odlišné možnosti hry, podle toho, který z hráčů je na podání a jestli podává do deuce-court nebo ad-court. Nyní můžeme odvodit další předpoklady (Walker a Wooders 2001): ii. iii. V tenisovém zápase existují čtyři možnosti hry definované podávajícím hráčem, a jestli byl vítězný bod z deuce-court nebo ad court. Pro testování rovnováhy musí hráč hrát každý bod tak, jako by to byl jediný bod hry, tzn., že jeho hra by měla být nezávislá na skóre a na výsledcích, které byly zahrány v předchozích fázích hry. V tenisovém zápase nemůžeme pozorovat volbu přijímajícího hráče. Jediné co je pozorovatelné je, kam bylo umístěno podání a který hráč získal vítězný bod. Pokud pak hráči hrají podle teorie minimaxu, očekávaná výplata každého hráče z hraní hry vlevo musí být stejná jako jeho očekávaná výplata ze hry vpravo. Studie Walkera a Wooderse (2001) vychází z toho, že podání je důležité pro získání vítězného bodu. V této práci budu předpokládat stejnou hypotézu, na které provedu stejný test s tím rozdílem, že budu vycházet z dat ze zápasů hráčů, jejichž síly na podání jsou rozdílné. V rámci testování smíšených strategií zavedu ještě jeden předpoklad: iv. Předpoklad rovnováhy ve smíšených (minimaxových) strategiích bude platit více pro hráče silnější na podání ve hře proti hráči slabšímu na podání. Ve své hypotéze budu předpokládat, že ve hře dvou hráčů, z nichž jeden je silnější na podání, bude tento hráč dosahovat výsledků, které se budou více přibližovat teorii minimaxu, než když proti sobě budou stát hráči se srovnatelným podáním. Budu vycházet z předpokladu, že podání je důležité pro získání vítězného bodu a že na základě teorie minimaxu je hráč indiferentní zahrát svoje podání vlevo nebo vpravo, protože pravděpodobnost výhry z levé i z pravé strany je stejná. To znamená, že pokud proti sobě budou hrát dva hráči, z nichž jeden bude silnější a bude mít rychlé a agresivní podání, a druhý bude celkově slabší, podání bude mít větší vliv na získání vítězného bodu pro silného hráče. Jeho agresivní podání bude těžce vybratelné a případná následná výměna pro něj bude snadněji ukončitelná. Pokud proti sobě budou naopak stát hráči, kteří budou stejně silní, podání bude mít na získání vítězného bodu menší vliv a výsledek bude spíše ovlivněn následnou výměnou. 5 3 Deuce-court je pravá strana hřiště v případě přijímajícího hráče, do které je umístěno podání v případě shody (deuce), tedy za stavu 40 40 a hráč, aby vyhrál, musí uhrát dva vítězné body. 4 Ad-court je zkráceně Advantage court a jedná se o levou stranu kurtu pro přijímajícího hráče. Do té části kurtu se podává, pokud má jedna strana výhodu. 5 Na základě konzultací s členy Českého tenisového svazu, tenisovým novinářem, Lukášem Březinou a na základě informací získaných ze sportovních článků (http://www.tyden.cz/rubriky/sport/tenis/proc-je-v-tenise-dulezite-rychle-podani_20562.html) a odborné tenisové literatury (Linhartová 2009) je podání při dnešním pojetí hry nejdůležitějším krokem k úspěchu hráčů. V dnešním tenise je významně kladen důraz na rychlost podání. Podání je první míč, který je uveden do hry a jako jediný míč není ovlivněn soupeřem a ovlivňuje další vývoj hry. Pokud je podání dostatečně rychlé a dobře umístěné, dává hráči možnost vyvíjet soustavný tlak na soupeře, získat přímý bod z podání nebo 6

V následující části práce budu vycházet z následujících předpokladů. A. Podání bude důležitějším faktorem pro získání vítězného bodu, pokud bude podávat silnější hráč proti slabšímu než v opačném případě nebo než v případě, kdy proti sobě budou hrát hráči přibližně o stejné síle. B. Jestliže model skutečně vysvětluje chování hráčů, v oblasti teorie minimaxu by měli silnější hráči proti slabším dosahovat lepších výsledků. C. Jestliže tomu tak nebude, potom Walkerův a Woodersův model není platný, přestože je v souladu s daty. Je známo, že tenistky obecně nevynikají výrazným podáním, 6 proto se ve své analýze zaměřím i na srovnání výsledků v mužských a ženských zápasech. Výsledky ze ženských zápasů v oblasti minimaxu by měly být, na základě výše zmíněného předpokladu, horší než z mužských zápasů. Hypotézy, které jsou testovány v další části práce, jsou tedy následující. 1) Pravděpodobnost výhry z podání napravo je stejná jako pravděpodobnost výhry ze hry nalevo, tedy že existuje taková pravděpodobnost p, kdy p = p L = p P. 2) Výše zmíněná hypotéza bude platit spíše pro hráče silnější na podání proti slabším hráčům, než když proti sobě nastoupí stejně silní hráči. 3) Výsledky v ženských zápasech, budou v závislosti na předpokladu, že ženy nevynikají výrazným podáním, horší v oblasti teorie minimaxu, než výsledky z mužských utkání. Tyto hypotézy budu testovat na datech ze zápasů soupeřů, kteří budou rozdílně silní a kteří budou silní srovnatelně a následně pro potvrzení hypotézy porovnám dosahované výsledky. Test provedu jak pro mužské hráče, tak pro ženské hráčky. se dobře připravit na koncový úder. V případě, že se tedy podání podaří, může hráč diktovat průběh hry. Naopak, pokud se podání nezdaří, je podávající hráč v nevýhodě a může se ocitnout v roli bránícího hráče. 6 Na základě konzultací se členy Českého tenisového svazu 7

2 DATA Získat data z tenisových utkání není v posledních letech složité, protože vznikají rozsáhlé statistiky, které jsou dostupné široké veřejnosti. Moje data byla získána ze zápasů z Grandslamových turnajů v letech 2011 a 2012. Pro potvrzení svojí hypotézy jsem vybírala zápasy, ve kterých proti sobě stál na jedné straně hráč, který je silný na podání a na druhé straně hráč, který tak silný není. Zároveň jsem použila i zápasy s hráči o stejné síle (slabý slabý, silný silný), pro porovnání výsledků. Hráči, kteří jsou silní na podání, byli vybráni po odborné konzultaci s tenisovými komentátory a trenéry 7. V mužské kategorii se jednalo o hráče, jejichž průměrná rychlost podání dosahovala hodnoty kolem 180 až 200 km/h. U žen byly vybrány hráčky, jejichž podání mělo průměrnou rychlost mezi 150 km/h až 170 km/h. Jednalo se o Grandslamová utkání, a proto předpokládám, že hráči měli dostatečnou motivaci vyhrát. Dále předpokládám, stejně jako Walker a Wooders (2001), že zápasy byly dost dlouhé na to, aby bylo možné získat potřebný počet bodů a aby na základě statistického pozorování bylo možné zamítnout minimaxovou hypotézu. V každém tenisovém zápase existují čtyři herní možnosti, kam umístit podání a tedy čtyři modelové hry. 8 Můj dataset se skládá z 21 mužských zápasů a 16 ženských zápasů, takže dohromady se jedná o 148 modelových her. V mužském datasetu se vyskytuje 11 zápasů, kde proti sobě stojí hráči o nestejné síle na podání a 10 zápasů s hráči, jejichž podání je srovnatelné. Pro ženské zápasy se jedná o 8 zápasů, kde proti sobě stojí hráčky o nestejné síle na podání a 8 zápasů s hráčkami, jejichž podání je srovnatelné. Dále byly zjišťovány následující informace: Směr podání Jestli podávající nakonec získal bod nebo ne Data jsou shrnuta v tabulkách 1, 2 pro mužské zápasy a v tabulkách 5 a 6 pro zápasy ženské. V mém datasetu uvažuji pouze podání, která šla vpravo (P) nebo vlevo (L). Podání směřující na střed byla vyloučena. Dále uvažuji jak první tak druhé podání. 7 Informace mi poskytli členové Českého tenisového svazu a tenisový novinář, Lukáš Březina. 8 Do deuce-court vlevo nebo vpravo nebo do ad-court vlevo nebo vpravo. 8

3 TESTOVÁNÍ SMÍŠENÝCH STRATEGIÍ NA ZÍSKANÝCH DATECH Tabulka 1 obsahuje data z 10 zápasů, kdy proti sobě nastoupili stejně silní hráči na podání, tzn., že tito hráči buď měli oba silné podání, nebo oba měli slabé podání. Tabulka 2 představuje data z dalších 11 mužských zápasů, ve kterých proti sobě nastoupili hráči, jejichž podání bylo na rozdílné úrovni (jeden měl silné rychlé podání, zároveň se většinou pohyboval v žebříčku ATP na vyšších místech a druhý měl slabé, pomalé podání). Tabulka 3 obsahuje data z 8 ženských zápasů, kde proti sobě nastoupily hráčky o stejné síle, a tabulka 4 shrnuje a vyhodnocuje data z 8 ženských zápasů s nerovnými soupeřkami. Každý zápas jsem testovala samostatně, to znamená, že pro každou část zápasu jsem uvažovala nulovou hypotézu, že pravděpodobnost výhry pro podávajícího hráče z jeho podání vlevo je stejná jako pravděpodobnost získat vítězný bod, pokud bude podávat vpravo. Následně jsem porovnala výsledky z jednotlivých zápasů. Pro vyhodnocení jednotlivých částí zápasů jsem použila test rovnosti pravděpodobnosti vítězství pomocí Pearsonova testu rovnosti dvou rozdělní (Mood, Graybill, Boes (1974)) a p hodnotu. Pearsonův test pro každou část dílčího zápasu jsem odvodila z následujícího vzorce Q = [ (!!"!!!!)!! {!,!} + (!!!!!!!!! )!!!!!! (!!!) kde index j představuje, zda šlo podání vlevo nebo vpravo, N S značí počet vítězných podání a N F je počet neúspěšných podání, n představuje celkový počet podání směřující na levou nebo na pravou stranu. Pravděpodobnost p = (N LS + N RS )/(n L + n R ). Protože v tomto případě není p známé, ale odhadnuté, je Pearsonův test rozdělen asymptoticky jako chi-kvadrát s jedním stupněm volnosti. ], 3.1. VÝSLEDKY TESTU V následujících tabulkách jsou představeny výsledky testování. První sloupec označuje, na kterém Grandslamovém turnaji byl zápas hraný. Druhý sloupec označuje, kteří dva hráči nastoupili proti sobě a třetí sloupec značí, stranu kurtu, na kterou šlo podání ( ad-court, nebo deuce-court ). V dalších sloupcích je znázorněn počet podání, která šla vpravo (P), nebo vlevo (L) a jejich relativní vyjádření. Sloupec počet vyhraných podání říká, kolik podání pro každý směr bylo vyhráno. Relativní vyjádření vyhraného podání pro každý směr je zobrazeno ve sloupci míra vítězství. Hráč, který zápas vyhrál je vyznačen tučně. Hráč, který je v daném zápase tím, který je silnější na podání, je označen kurzívou v případě tabulek 2 a 4. V tabulce 1 a 3 je zanesen předpoklad, že hráči, kteří proti sobě nastoupili, jsou stejně silní. V této tabulce jsou pouze tučně vyznačeni hráči, kteří vyhráli daný zápas. 9

Tabulka 1: Výsledky testu pro hráče o stejné síle na podání Zápas Podávající Kurt Podání Relativní vyjádření Počet vyhraných podání Míra vítezství P L P+L P L P L P L Pears. statistika p - hodnota US Open Djokovic A 19 21 40 47,5% 52,5% 14 16 73,7% 76,2% 0,033 0,855 US Open Djokovic D 25 30 55 45,5% 54,5% 20 23 80,0% 76,7% 0,089 0,766 US Open Federer A 21 31 52 40,4% 59,6% 16 23 76,2% 74,2% 0,027 0,870 US Open Federer D 35 20 55 63,6% 36,4% 24 13 68,6% 65,0% 0,074 0,786 Australian Open Djokovic A 36 16 52 69,2% 30,8% 24 11 66,7% 68,8% 0,022 0,882 Australian Open Djokovic D 34 27 61 55,7% 44,3% 23 17 67,6% 63,0% 0,146 0,702 Australian Open Nadal A 22 37 59 37,3% 62,7% 16 19 72,7% 51,4% 2,612 0,106 Australian Open Nadal D 18 45 63 28,6% 71,4% 13 32 72,2% 71,1% 0,008 0,930 Wimbledon Nadal A 12 26 38 31,6% 68,4% 10 18 83,3% 69,2% 0,842 0,359 Wimbledon Nadal D 11 18 29 37,9% 62,1% 10 13 90,9% 72,2% 1,453 0,228 Wimbledon Fish A 23 28 51 45,1% 54,9% 16 15 69,6% 53,6% 1,355 0,244 Wimbledon Fish D 24 25 49 49,0% 51,0% 12 16 50,0% 64,0% 0,980 0,322 French Open Murray A 34 16 50 68,0% 32,0% 21 9 61,8% 56,3% 0,138 0,710 French Open Murray D 29 19 48 60,4% 39,6% 19 15 65,5% 78,9% 1,002 0,317 French Open Troicki A 11 58 69 15,9% 84,1% 6 33 54,5% 56,9% 0,021 0,885 French Open Troicki D 43 19 62 69,4% 30,6% 34 12 79,1% 63,2% 1,743 0,187 Australian Open Berdych A 34 31 65 52,3% 47,7% 25 19 73,5% 61,3% 1,111 0,292 Australian Open Berdych D 32 33 65 49,2% 50,8% 22 22 68,8% 66,7% 0,032 0,857 Australian Open Nadal A 17 39 56 30,4% 69,6% 14 26 82,4% 66,7% 1,427 0,232 Australian Open Nadal D 11 49 60 18,3% 81,7% 6 35 54,5% 71,4% 1,183 0,277 Wimbledon Llorda A 13 20 33 39,4% 60,6% 7 13 53,8% 65,0% 0,411 0,522 Wimbledon Llorda D 13 19 32 40,6% 59,4% 10 13 76,9% 68,4% 0,276 0,599 Wimbledon Djokovic A 19 11 30 63,3% 36,7% 15 9 78,9% 81,8% 0,036 0,850 Wimbledon Djokovic D 19 12 31 61,3% 38,7% 13 11 68,4% 91,7% 2,273 0,132 Wimbledon Gulbis A 29 32 61 47,5% 52,5% 21 26 72,4% 81,3% 0,672 0,412 Wimbledon Gulbis D 28 27 55 50,9% 49,1% 24 18 85,7% 66,7% 2,763 0,096 ** Wimbledon Tursunov A 22 24 46 47,8% 52,2% 15 17 68,2% 70,8% 0,038 0,845 Wimbledon Tursunov D 21 24 45 46,7% 53,3% 16 19 76,2% 79,2% 0,057 0,811 US Open Hass A 26 19 45 57,8% 42,2% 16 14 61,5% 73,7% 0,729 0,393 US Open Hass D 25 26 51 49,0% 51,0% 17 21 68,0% 80,8% 1,094 0,296 US Open De Veigy A 10 25 35 28,6% 71,4% 7 19 70,0% 76,0% 0,135 0,714 US Open De Veigy D 8 23 31 25,8% 74,2% 5 13 62,5% 56,5% 0,087 0,768 Australian Open Becker A 17 13 30 56,7% 43,3% 10 7 58,8% 53,8% 0,074 0,785 Australian Open Becker D 12 24 36 33,3% 66,7% 8 17 66,7% 70,8% 0,065 0,798 Australian Open Baghdatis A 16 13 29 55,2% 44,8% 14 9 87,5% 69,2% 1,459 0,227 Australian Open Baghdatis D 10 19 29 34,5% 65,5% 7 14 70,0% 73,7% 0,045 0,833 French Open Clement A 31 19 50 62,0% 38,0% 16 13 51,6% 68,4% 1,366 0,242 French Open Clement D 38 12 50 76,0% 24,0% 28 8 73,7% 66,7% 0,223 0,637 French Open Berrer A 19 32 51 37,3% 62,7% 13 24 68,4% 75,0% 0,259 0,611 French Open Berrer D 28 30 58 48,3% 51,7% 17 18 60,7% 60,0% 0,003 0,956 Celkem 895 1 012 1 907 46,9% 53,1% 624 690 69,7% 68,2% 26,363 0,952 10

Tabulka 2: Výsledky testu pro hráče o nestejné síle na podání Zápas Podávající Kurt Podání Relativní vyjádření Počet vyhraných podání Míra vítezství P L P+L P L P L P L Pears. statistika p- hodnota US Open Lopez A 11 15 26 42,3% 57,7% 9 13 81,8% 86,7% 0,115 0,735 US Open Lopez D 8 25 33 24,2% 75,8% 6 20 75,0% 80,0% 0,091 0,763 US Open Ito A 22 5 27 81,5% 18,5% 16 2 72,7% 40,0% 1,964 0,161 US Open Ito D 17 10 27 63,0% 37,0% 10 7 58,8% 70,0% 0,337 0,561 US Open Rodick A 17 6 23 73,9% 26,1% 15 5 88,2% 83,3% 0,094 0,759 US Open Rodick D 15 12 27 55,6% 44,4% 10 9 66,7% 75,0% 0,222 0,637 US Open Sock A 8 6 14 57,1% 42,9% 7 3 87,5% 50,0% 2,363 0,124 US Open Sock D 8 13 21 38,1% 61,9% 4 9 50,0% 69,2% 0,777 0,378 US Open Rodick A 32 8 40 80,0% 20,0% 23 7 71,9% 87,5% 0,833 0,361 US Open Rodick D 9 20 29 31,0% 69,0% 6 14 66,7% 70,0% 0,032 0,858 US Open Russell A 20 3 23 87,0% 13,0% 11 3 55,0% 100,0% 2,218 0,136 US Open Russell D 7 4 11 63,6% 36,4% 4 3 57,1% 75,0% 0,351 0,554 Australian Open Djokovic A 9 10 19 47,4% 52,6% 5 6 55,6% 60,0% 0,038 0,845 Australian Open Djokovic D 6 17 23 26,1% 73,9% 4 13 66,7% 76,5% 0,221 0,638 Australian Open Lorenzi A 7 9 16 43,8% 56,3% 6 2 85,7% 22,2% 6,349 0,012 * Australian Open Lorenzi D 10 3 13 76,9% 23,1% 5 0 50,0% 0,0% 2,438 0,118 Australian Open Rodick A 10 10 20 50,0% 50,0% 8 9 80,0% 90,0% 0,392 0,531 Australian Open Rodick D 19 11 30 63,3% 36,7% 17 10 89,5% 90,9% 0,016 0,900 Australian Open Kunitsyn A 7 14 21 33,3% 66,7% 5 12 71,4% 85,7% 0,618 0,432 Australian Open Kunitsin D 9 15 24 37,5% 62,5% 5 10 55,6% 66,7% 0,296 0,586 Wimbledon Ward A 5 11 16 31,3% 68,8% 5 8 100,0% 72,7% 1,678 0,195 Wimbledon Ward D 15 15 30 50,0% 50,0% 12 13 80,0% 86,7% 0,240 0,624 Wimbledon Llodra A 12 21 33 36,4% 63,6% 10 19 83,3% 90,5% 0,366 0,545 Wimbledon Llodra D 16 22 38 42,1% 57,9% 12 17 75,0% 77,3% 0,026 0,871 Wimbledon Berdych A 13 8 21 61,9% 38,1% 12 6 92,3% 75,0% 1,212 0,271 Wimbledon Berdych D 15 8 23 65,2% 34,8% 15 7 100,0% 87,5% 1,960 0,161 Wimbledon Voladnri A 9 21 30 30,0% 70,0% 7 12 77,8% 57,1% 1,155 0,282 Wimbledon Volandri D 0 20 20 0,0% 100,0% 0 9 0,0% 45,0% n.a n.a. Wimbledon Rodick A 13 14 27 48,1% 51,9% 12 12 92,3% 85,7% 0,297 0,586 Wimbledon Rodick D 10 15 25 40,0% 60,0% 8 14 80,0% 93,3% 1,010 0,315 Wimbledon Hanescu A 8 28 36 22,2% 77,8% 3 22 37,5% 78,6% 4,946 0,026 * Wimbledon Hanescu D 23 15 38 60,5% 39,5% 13 10 56,5% 66,7% 0,391 0,532 Wimbledon Berdych A 10 13 23 43,5% 56,5% 9 11 90,0% 84,6% 0,144 0,704 Wimbledon Berdych D 11 10 21 52,4% 47,6% 10 9 90,9% 90,0% 0,005 0,943 Wimbledon Benneteau A 14 10 24 58,3% 41,7% 5 6 35,7% 60,0% 1,386 0,239 Wimbledon Benneteau D 18 15 33 54,5% 45,5% 12 8 66,7% 53,3% 0,609 0,435 French Open Reister A 8 9 17 47,1% 52,9% 3 5 37,5% 55,6% 0,554 0,457 French Open Reister D 12 15 27 44,4% 55,6% 7 12 58,3% 80,0% 1,501 0,221 French Open Troicki A 14 14 28 50,0% 50,0% 14 13 100,0% 92,9% 1,037 0,309 French Open Troicki D 8 12 20 40,0% 60,0% 7 9 87,5% 75,0% 0,469 0,494 French Open Federer A 10 16 26 38,5% 61,5% 8 13 80,0% 81,3% 0,006 0,937 French Open Federer D 16 8 24 66,7% 33,3% 14 6 87,5% 75,0% 0,600 0,439 French Open Teixeira A 2 28 30 6,7% 93,3% 1 14 50,0% 50,0% 0,000 1,000 French Open Teixeira D 8 14 22 36,4% 63,6% 1 6 12,5% 42,9% 2,163 0,141 Celkem silní 284 295 579 49,1% 50,9% 234 242 82,4% 82,0% 9,187 0,992 Celkem slabí 237 263 500 47,4% 52,6% 142 167 59,9% 63,5% 32,333 0,054 11

Tabulka 3: Výsledky testu pro hráčky o stejné síle na podání Zápas Podávající Kurt Podání Relativní vyjádření Počet vyhraných podání Míra vítezství P L P+L P L P L P L Pears. statistika p - hodnota US Open S. Willams A 8 10 18 44% 56% 5 5 62,5% 50,0% 0,281 0,596 US Open S. Willams D 11 5 16 69% 31% 7 4 63,6% 80,0% 0,428 0,513 US Open Stosur A 6 8 14 43% 57% 3 6 50,0% 75,0% 0,933 0,334 US Open Stosur D 2 15 17 12% 88% 2 12 100,0% 80,0% 0,486 0,486 French Open Li A 15 12 27 56% 44% 12 8 80,0% 66,7% 0,617 0,432 French Open Li D 10 14 24 42% 58% 8 10 80,0% 71,4% 0,229 0,633 French Open Schiavone A 10 14 24 42% 58% 5 9 50,0% 64,3% 0,490 0,484 French Open Schiavone D 19 9 28 68% 32% 14 5 73,7% 55,6% 0,920 0,337 Australian Open Lisicki A 10 12 22 45% 55% 5 7 50,0% 58,3% 0,153 0,696 Australian Open Lisicki D 11 6 17 65% 35% 7 4 63,6% 66,7% 0,016 0,901 Australian Open Sharapova A 25 9 34 74% 26% 15 9 60,0% 100,0% 5,100 0,024 * Australian Open Sharapova D 18 9 27 67% 33% 10 5 55,6% 55,6% 0,000 1,000 Wimbledon Bartoli A 18 14 32 56% 44% 12 10 66,7% 71,4% 0,083 0,773 Wimbledon Bartoli D 18 12 30 60% 40% 16 10 88,9% 83,3% 0,192 0,661 Wimbledon S. Willams A 15 18 33 45% 55% 9 14 60,0% 77,8% 1,224 0,269 Wimbledon S. Willams D 12 19 31 39% 61% 6 15 50,0% 78,9% 2,820 0,093 ** Wimbledon Bartoli A 16 20 36 44% 56% 12 11 75,0% 55,0% 1,541 0,214 Wimbledon Bartoli D 15 20 35 43% 57% 8 8 53,3% 40,0% 0,614 0,433 Wimbledon Lisicki A 20 14 34 59% 41% 11 7 55,0% 50,0% 0,083 0,774 Wimbledon Lisicki D 32 8 40 80% 20% 25 5 78,1% 62,5% 0,833 0,361 Australian Open Watson A 23 17 40 58% 43% 14 12 60,9% 70,6% 0,406 0,524 Australian Open Watson D 26 16 42 62% 38% 13 9 50,0% 56,3% 0,155 0,694 Australian Open Johansson A 17 8 25 68% 32% 9 5 52,9% 62,5% 0,202 0,653 Australian Open Johansson D 19 12 31 61% 39% 10 7 52,6% 58,3% 0,097 0,756 French Open Rezai A 12 2 14 86% 14% 5 1 41,7% 50,0% 0,049 0,825 French Open Rezai D 10 3 13 77% 23% 7 2 70,0% 66,7% 0,012 0,913 French Open Begu A 3 13 16 19% 81% 1 8 33,3% 61,5% 0,788 0,375 French Open Begu D 7 8 15 47% 53% 6 3 85,7% 37,5% 3,616 0,057 ** US Open Peng A 14 11 25 56% 44% 6 6 42,9% 54,5% 0,337 0,561 US Open Peng D 22 10 32 69% 31% 16 6 72,7% 60,0% 0,518 0,472 US Open Benešová A 8 7 15 53% 47% 6 5 75,0% 71,4% 0,024 0,876 US Open Benešová D 3 7 10 30% 70% 2 5 66,7% 71,4% 0,023 0,880 Celkem 455 362 817 56% 44% 287 233 63,1% 64,4% 23,270 0,870 12

Tabulka 4: Výsledky testu pro hráčky o nestejné síle na podání Zápas Podávající Kurt Podání Relativní vyjádření Počet vyhraných podání Míra vítezství Pears. statistika p - hodnota P L P+L P L P L P L Wimbledon Schiavone A 23 21 44 52,3% 47,7% 12 15 52,2% 71,4% 1,717 0,190 Wimbledon Schiavone D 24 15 39 61,5% 38,5% 16 10 66,7% 66,7% 0,000 1,000 Wimbledon Dokic A 9 25 34 26,5% 73,5% 7 17 77,8% 68,0% 0,305 0,581 Wimbledon Dokic D 15 25 40 37,5% 62,5% 10 17 66,7% 68,0% 0,008 0,931 Wimbledon Rezai A 13 11 24 54,2% 45,8% 9 6 69,2% 54,5% 0,548 0,459 Wimbledon Rezai D 13 15 28 46,4% 53,6% 7 11 53,8% 73,3% 1,152 0,283 Wimbledon S. Williams A 16 15 31 51,6% 48,4% 12 4 75,0% 26,7% 7,242 0,007 * Wimbledon S. Williams D 15 20 35 42,9% 57,1% 12 18 80,0% 90,0% 0,700 0,403 Wimbledon Wimbledon Date - Krumm Date - Krumm A 26 28 54 48,1% 51,9% 12 18 46,2% 64,3% 1,795 0,180 D 33 20 53 62,3% 37,7% 22 5 66,7% 25,0% 8,651 0,003 * Wimbledon Lisicki A 17 23 40 42,5% 57,5% 14 13 82,4% 56,5% 2,973 0,085 ** Wimbledon Lisicki D 25 14 39 64,1% 35,9% 14 11 56,0% 78,6% 1,987 0,159 Australian Open Stosur A 13 7 20 65,0% 35,0% 11 4 84,6% 57,1% 1,832 0,176 Australian Open Stosur D 8 9 17 47,1% 52,9% 5 6 62,5% 66,7% 0,032 0,858 Australian Open Dushevina A 8 9 17 47,1% 52,9% 7 5 87,5% 55,6% 2,082 0,149 Australian Open Dushevina D 4 9 13 30,8% 69,2% 1 6 25,0% 66,7% 1,935 0,164 Australian Open Petrova A 9 3 12 75,0% 25,0% 8 2 88,9% 66,7% 0,800 0,371 Australian Open Petrova D 2 13 15 13,3% 86,7% 1 7 50,0% 53,8% 0,010 0,919 Australian Open Molik A 6 2 8 75,0% 25,0% 3 1 50,0% 50,0% 0,000 1,000 Australian Open Molik D 9 7 16 56,3% 43,8% 6 5 66,7% 71,4% 0,042 0,838 French Open Stosur A 4 7 11 36,4% 63,6% 3 4 75,0% 57,1% 0,351 0,554 French Open Stosur D 11 10 21 52,4% 47,6% 9 8 81,8% 80,0% 0,011 0,916 French Open Benešová A 4 13 17 23,5% 76,5% 3 6 75,0% 46,2% 1,022 0,312 French Open Benešová D 9 10 19 47,4% 52,6% 0 9 0,0% 90,0% 15,390 0,000 * French Open Hradecká A 13 20 33 39,4% 60,6% 10 12 76,9% 60,0% 1,015 0,314 French Open Hradecká D 10 14 24 41,7% 58,3% 6 9 60,0% 64,3% 0,046 0,831 French Open Sevastova A 15 17 32 46,9% 53,1% 8 10 53,3% 58,8% 0,098 0,755 French Open Sevastova D 12 15 27 44,4% 55,6% 8 6 66,7% 40,0% 1,899 0,168 US Open S. Williams A 10 3 13 76,9% 23,1% 8 2 80,0% 66,7% 0,231 0,631 US Open S. Williams D 3 7 10 30,0% 70,0% 3 7 100,0% 100,0% 0,000 1,000 US Open Krajicek A 3 2 5 60,0% 40,0% 1 1 33,3% 50,0% 0,139 0,709 US Open Krajicek D 4 1 5 80,0% 20,0% 1 0 25,0% 0,0% 0,313 0,576 Celkem slabé 183 209 392 46,7% 53,3% 105 123 57,4% 58,9% 35,376 0,004 * Celkem silné 203 201 404 50,2% 49,8% 144 132 70,9% 65,7% 18,947 0,271 Pozn.: * představuje zamítnutí nulové hypotézy na 5-ti % hladině významnosti ** představuje zamítnutí nulové hypotézy na 10-ti % hladině významnosti Tabulka 1 představuje výsledky pro hráče o stejné síle na podání. Na základě Pearsonova testu a p hodnoty lze tedy hypotézu, že tenisoví hráči hrají podle smíšených strategií, zamítnout pouze v jednom případě. Celková p hodnota, vypočtená ze součtu veškerých Pearsonových statistik (26,363) se 40 stupni volnosti je 0,952. Na základě této statistiky nezamítáme hypotézu, že tenisoví hráči hrají podle smíšených strategií. Pro ženské zápasy jsou výsledky Pearsonovy statistiky a p 13

hodnoty pro stejně silné hráčky na podání shrnuty v tabulce 3. V tomto případě hypotézu, že hráčky hrají podle smíšených strategií lze zamítnout ve třech případech. Celková p hodnota vypočtená na základě součtu veškerých Pearsonových statistik (23,270) s 32 stupni volnosti se pohybovala na úrovni 0,870, což znamená, že ani v případě ženských hráček nezamítáme hypotézu, že tenisové hráčky hráli v souladu s rovnováhou ve smíšených strategiích. Výsledky tohoto testu následně porovnám s výsledky, které byly provedeny v předchozích studiích, konkrétně ve studii Walkera a Wooderse (2001) a Hsu et al. (2007). Toto porovnání považuji za relevantní, jelikož v obou výše zmíněných studiích proběhl test na hráčích o relativně stejné síle. 9 Na základě výsledků testů v mé práci lze konstatovat, že test v mojí práci potvrdil silněji hypotézu, že tenisoví hráči hrají v souladu s teorií minimaxu. Tabulka 2 shrnuje výsledky pro dva proti sobě hrající mužské soupeře, jejichž síla na podání není stejná. Při analýze výsledků jednotlivých dílčích zápasů lze pozorovat, že hypotéza p L = p P pro hráče silné na podání hrající proti slabým hráčům nebyla ani jednou zamítnuta. Naopak pro slabé hráče v tomto případě byla hypotéza rovnováhy ve smíšených strategiích zamítnuta celkově ve dvou případech. V zápase Berdycha proti Volanderimu nemohla být Pearsonova statistika a p hodnota vyhodnocena pro případ, kdy Volandri podával proti Berdychovi do deuce-court v důsledku matematické nerealizovatelnosti, kdy nelze dělit nulou. Z poměrů míry vítězství lze však předpokládat, že by i v tomto případě byla hypotéza rovnováhy ve smíšených strategiích zamítnuta. Tato část zápasu Volanderiho proti Berdychovi byla z výše uvedeného důvodu vyloučena i z dalších propočtů. Z tabulky 2 a z jednotlivých dílčích částí zápasů je dále patrné, že v případě, kdy proti sobě hrají rozdílně silní hráči, jsou výsledky jednotlivých typů hráčů rozdílné. Hráči, kteří jsou silní na podání, hrají proti slabým podle teorie smíšených strategií. Naopak v případě slabých hráčů na podání jsou výsledky značně odlišné, a i když byla hypotéza rovnováhy ve smíšených strategií zamítnuta jen ve dvou případech, výsledky ukazují, že se tito hráči vzdalují od výsledků, které jsou v souladu s teorií. Téměř ve všech případech byly výsledky pro hráče silné na podání lepší, než pro hráče slabé, což dokazuje i výsledná p hodnota vypočítaná pro silné a slabé hráče. Výsledná p hodnota pro silné hráče vyšla 0,992 a vypočítala jsem ji jako sumu Pearsonových testů pro jednotlivé dílčí části hry pro silné hráče s dvaceti dvěma stupni volnosti. P hodnota pro slabé hráče vyšla 0,054 vypočtená stejným způsobem s dvaceti jedna stupni volnosti, protože dílčí část zápasu Volanderiho proti Berdychovi byla vyřazena z dalšího testování. Na základě tohoto souhrnného testu hypotéza, že hráči hrají v souladu s teorií smíšených strategií, byla pro slabé hráče zamítnuta. Z výše znázorněných tabulek vyplývá, že silní hráči hrají více v souladu s teorií, pokud hrají proti slabým hráčům, než když proti sobě hrají dva hráči o stejné síle. V případě hráčů silných na podání proti slabým hráčům je výsledná p hodnota 0,992, pokud proti sobě stojí dva hráči o stejné síle, je výsledná p hodnota na úrovni 0,952. Tyto výsledky potvrzují mnou stanovenou hypotézu, že hráči silnější na podání hrají více v souladu s rovnováhou ve smíšených strategiích, než když proti sobě nastoupí dva stejně silní hráči. Následně provedu stejnou analýzu odděleně pro ženské zápasy. Výsledky testu pro hráčky s rozdílnou silou jsou znázorněny v tabulce 4. Pro silné hráčky byla hypotéza rovnováhy ve smíšených strategiích zamítnuta ve dvou případech. Pro slabé hráčky byla tato hypotéza zamítnuta také ve dvou případech. Výsledná p hodnota pro slabé hráčky vyšla 0,004. V tomto případě tedy došlo k zamítnutí hypotézy, kdy tato data nejsou konzistentní s teorií. Pro silné hráčky na podání 9 Jednalo se o vysoce hodnocené profesionální hráče, přičemž ve studii Shih-Hsun et al. (2007) vycházely z posledních třech finálových zápasů turnajů. 14

proti slabým se celková p hodnota pohybovala na úrovni 0,271 a vyšla tedy lépe než pro slabé hráčky a nedošlo tedy k zamítnutí hypotézy, že hráčky hrají podle smíšených strategií. Stejně jako v případě mužské části testu jsem analyzovala hypotézu, zda silnější hráčky proti slabším hrají více v souladu s rovnováhou teorie minimaxu, než když proti sobě nastoupí stejně silné hráčky. Na rozdíl od mužských výsledků však tento test nebyl tak statisticky významný a tato hypotéza nebyla pro ženská data potvrzena. Na základě výsledků z tabulek 1 4 lze vypozorovat další dílčí závěry týkající se rovnováhy ve smíšených strategiích a hráčských strategií podle jednotlivých typů hráčů. Z výše uvedeného textu vyplývá a je potvrzena hypotéza, že hráč silný na podání hrající proti slabému hraje spíše podle rovnováhy ve smíšených strategií, než když proti sobě nastoupí dva hráči o stejné síle. V následující části provedu analýzu pouze u silných hráčů, kdy se pokusím zjistit, zda tato hypotéza platí i v případě pokud porovnám výsledky pro silného hráče hrajícího proti slabšímu se zápasy, v nichž proti sobě nastoupili hráči stejně silní na podání, ovšem pouze hráči označeni jako silní. Analýzu provedu pouze pro mužskou část dat, protože v případě ženských dat, byla tato hypotéza zamítnuta. Výsledky shrnuje následující tabulka. Tabulka 5: Výsledky testu pro silné hráče v různých typech zápasů Pearsonova statistika p - hodnota Silný - silný 17,294 0,836 Silný - slabý 9,187 0,992 Z tabulky 5 je patrné, že hypotéza, že silný hráč mixuje lépe proti slabšímu soupeři, než když proti sobě hrají stejně silní soupeři, nebyla zamítnuta ani v případě pokud budeme uvažovat pouze silné hráče. Nyní se zaměřím na hráče slabé na podání. Z výsledků uvedených ve výše zmíněných tabulkách vyplývá, že pro slabé hráče spíše platí, že proti stejně silným hráčům (resp. stejně slabým hráčům) hrají více podle smíšených strategií (tzn., více se přibližují rovnováze v teorii smíšených strategií) než když hrají proti silným hráčům. Tento předpoklad ověřuje a znázorňuje následující tabulka. 15

Tabulka 6: Výsledky testu pro slabé hráče na podání když hrají proti slabému hráči a proti silnému hráči Zápas Podávající Kurt Podání Relativní vyjádření Počet vyhraných podání Míra vítezství P L P+L P L P L P L Pears. statistika p - hodnota Australian Open Chella A 17 12 29 58,6% 41,4% 10 9 58,8% 75,0% 0,815 0,367 Australian Open Chella D 12 12 24 50,0% 50,0% 7 9 58,3% 75,0% 0,750 0,386 Australian Open Russell A 9 16 25 36,0% 64,0% 4 10 44,4% 62,5% 0,762 0,383 Australian Open Russell D 16 9 25 64,0% 36,0% 12 7 75,0% 77,8% 0,024 0,876 Australian Open Benneteau A 29 33 62 46,8% 53,2% 20 20 69,0% 60,6% 0,471 0,492 Australian Open Benneteau D 31 45 76 40,8% 59,2% 18 28 58,1% 62,2% 0,133 0,716 Australian Open Simon A 28 32 60 46,7% 53,3% 16 16 57,1% 50,0% 0,306 0,580 Australian Open Simon D 35 34 69 50,7% 49,3% 22 21 62,9% 61,8% 0,009 0,925 French Open Volandri A 11 35 46 23,9% 76,1% 7 23 63,6% 65,7% 0,016 0,900 French Open Volandri D 9 18 27 33,3% 66,7% 7 10 77,8% 55,6% 1,271 0,260 French Open Clement A 15 21 36 41,7% 58,3% 9 10 60,0% 47,6% 0,538 0,463 French Open Clement D 16 28 44 36,4% 63,6% 14 21 87,5% 75,0% 0,978 0,323 US Open Ito A 19 17 36 52,8% 47,2% 14 14 73,7% 82,4% 0,390 0,532 US Open Ito D 22 22 44 50,0% 50,0% 18 16 81,8% 72,7% 0,518 0,472 US Open Starace A 15 23 38 39,5% 60,5% 7 17 46,7% 73,9% 2,897 0,089 ** US Open Starace D 19 24 43 44,2% 55,8% 14 18 73,7% 75,0% 0,010 0,922 Celkem "slabí" 3,585 0,893 US Open Rodick A 32 8 40 80,0% 20,0% 23 7 71,9% 87,5% 0,833 0,361 US Open Rodick D 9 20 29 31,0% 69,0% 6 14 66,7% 70,0% 0,032 0,858 US Open Russell A 20 3 23 87,0% 13,0% 11 3 55,0% 100,0% 2,218 0,136 US Open Russell D 7 4 11 63,6% 36,4% 4 3 57,1% 75,0% 0,351 0,554 Wimbledon Berdych A 10 13 23 43,5% 56,5% 9 11 90,0% 84,6% 0,144 0,704 Wimbledon Berdych D 11 10 21 52,4% 47,6% 10 9 90,9% 90,0% 0,005 0,943 Wimbledon Benneteau A 14 10 24 58,3% 41,7% 5 6 35,7% 60,0% 1,386 0,239 Wimbledon Benneteau D 18 15 33 54,5% 45,5% 12 8 66,7% 53,3% 0,609 0,435 Wimbledon Berdych A 13 8 21 61,9% 38,1% 12 6 92,3% 75,0% 1,212 0,271 Wimbledon Berdych D 15 8 23 65,2% 34,8% 15 7 100,0% 87,5% 1,960 0,161 Wimbledon Voladnri A 9 21 30 30,0% 70,0% 7 12 77,8% 57,1% 1,155 0,282 Wimbledon Volandri D 0 20 20 0,0% 100,0% 0 9 0,0% 45,0% n.a n.a. US Open Lopez A 11 15 26 42,3% 57,7% 9 13 81,8% 86,7% 0,115 0,735 US Open Lopez D 8 25 33 24,2% 75,8% 6 20 75,0% 80,0% 0,091 0,763 US Open Ito A 22 5 27 81,5% 18,5% 16 2 72,7% 40,0% 1,964 0,161 US Open Ito D 17 10 27 63,0% 37,0% 10 7 58,8% 70,0% 0,337 0,561 Celkem slabí 8,020 0,331 Pro hráče Russella, Benneteaua, Volandriho a Ita jsem dále provedla test, ve kterém první hrají proti silnému hráči (výsledky jsou přebrané z tabulky 2). Tyto výsledky jsou ve spodní části tabulky. Dále jsem vybrala zápasy, kde hrají proti slabému hráči (výsledky tohoto testu jsou v horní části tabulky). Z horní části tabulky je patrné, že hypotéza rovnováhy ve smíšených strategiích byla zamítnuta pouze v jednom případě, což opět potvrzuje, že tenisoví hráči hrají podle smíšených strategií. V případě výše vyjmenovaných hráčů lze pozorovat, že pokud hrají proti stejně silným soupeřům, pak se více přibližují rovnováze ve smíšených strategiích (p hodnoty v těchto zápasech 16

jsou mírně statisticky významnější než v případě, kdy slabí hráči hrají proti silným hráčům). Výsledky p hodnot jsou shrnuty v následující tabulce. Tabulka 7: Srovnání výsledků slabého hráče proti hráči slabému a silnému Protihráč Slabý hráč Kurt Pears. statistika p-value Slabý Russell Ad 0,762 0,383 Slabý Russell Deuce 0,024 0,876 Silný Russell Ad 2,218 0,136 Silný Russell Deuce 0,351 0,554 Slabý Benneteau Ad 0,471 0,492 Slabý Benneteau Deuce 0,133 0,716 Silný Benneteau Ad 1,386 0,239 Silný Benneteau Deuce 0,609 0,435 Slabý Volandri Ad 0,016 0,900 Slabý Volandri Deuce 1,271 0,260 Silný Volandri Ad 1,155 0,282 Silný Volandri Deuce n.a n.a. Slabý Ito Ad 0,390 0,532 Slabý Ito Deuce 0,518 0,472 Silný Ito Ad 1,964 0,161 Silný Ito Deuce 0,337 0,561 To, že slabý hráči mixují lépe proti stejně slabým spoluhráčům, než proti silnějším soupeřům potvrzuje i souhrnná statistika. Celková p - hodnota pro vybrané slabé hráče proti slabým hráčům na podání představuje 0,893 a v případě, kdy tito hráči hrají proti silným hráčům, je p hodnota na úrovni 0,331. Stejnou analýzu jsem provedla také na datech ze ženských zápasů. Výsledky shrnuje následující tabulka. Tabulka 8: Srovnání výsledků slabého hráče proti hráči slabému a silnému Protihráč Slabý hráč Kurt Pearson p-value Slabý Rezai Ad 0,049 0,825 Slabý Rezai Deuce 0,012 0,913 Silný Rezai Ad 0,548 0,459 Silný Rezai Deuce 1,152 0,283 Slabý Benešová Ad 0,024 0,876 Slabý Benešová Deuce 0,023 0,880 Silný Benešová Ad 1,022 0,312 Silný Benešová Deuce 15,390 0,000 Analýzu jsem provedla pro dvě hráčky, které jsem vytipovala jako slabé na podání, a to Benešovou a Rezai. Obě tyto hráčky, pokud hrály proti slabé hráčce, dosahovaly výsledků více se blížícím rovnováze v teorii minimaxu, než když tyto soupeřky nastoupily proti silné hráčce. Z výsledků je patrné, že rozdíly ve výsledcích na ženských datech jsou pro slabé hráčky významnější než pro slabé 17

hráče v mužské kategorii. Pro ženské zápasy tedy vyplývá, že hráčky hrají podle smíšených strategií v souladu s teorií, pokud proti sobě nastoupí soupeřky o stejné síle (ať silné nebo slabé). V případě že silná hráčka nastoupí proti slabé, není zamítnuta hypotéza smíšených strategií, ovšem není tak statisticky významná, jako když proti sobě nastoupí dvě hráčky o stejné síle, to znamená, že hypotéza, která byla potvrzena u mužských zápasů, tedy, že silní hráči na podání hrají podle smíšených strategií spíše, když nastoupí proti slabšímu soupeři, než soupeři o stejné síle, nebyla potvrzena. Poslední analýzu, kterou na datech z mužských a ženských zápasů provedu odděleně, bude srovnání zápasů, kdy proti sobě nastoupili stejně silní hráči. Z tabulky jedna jsem odděleně pro silné a slabé hráče vypočítala souhrnnou Pearsonovu statistiku, jejíž výsledky shrnuje následující tabulka. Tabulka 9: Srovnání výsledků pro hráče o stejné síle rozdílného typu Pearsonova statistika p - hodnota Silný - silný 17,294 0,836 Slabý - slabý 9,069 0,911 Na základě Pearsonova testu je patrné, že pro zápasy, v nichž proti sobě nastoupili stejně silní hráči, se více k rovnováze ve smíšených strategiích blíží data pro slabé hráče, jejichž p hodnota je 0,911, oproti silným hráčům s celkovou p hodnotou na úrovni 0,836. Pro ženské zápasy tato analýza dopadla obdobně, kdy pro slabé hráčky hrající proti sobě byla p hodnota na úrovni 0,904 a pro silné hráčky na úrovni 0,650. Výsledky pro data z ženských zápasů jsou shrnuty v tabulce níže. Tabulka 10: Srovnání výsledků pro hráčky o stejné síle rozdílného typu Pearsonova statistika p - hodnota Silná - silná 17,044 0,650 Slabá - slabá 6,226 0,904 U slabých hráček se potvrdilo stejně jako u slabých hráčů, že lépe mixují, tedy hrají více v souladu s teorií minimaxu, pokud nastoupí proti hráčkám o stejné síle, než když hrají se silnější hráčkou. 3.2. SROVNÁNÍ MUŽSKÝCH A ŽENSKÝCH VÝSLEDKŮ Na základě předpokladu, že ženy obecně tolik nevynikají výrazným podáním, se v následující části pokusím ověřit hypotézu, že výsledky pro data z ženských zápasů budou horší než výsledky pro data z mužských zápasů. Z výše uvedených tabulek a výsledků pro jednotlivé typy hráčů vyplývá, že ve všech případech byly výsledky (na základě souhrnných Pearsonových statistik) pro ženská data horší, co se týká rovnováhy v teorii smíšených strategií než pro mužská data. Vzhledem k těmto výsledkům lze konstatovat, že muži mixují lépe, tedy hrají více v souladu s rovnováhou ve smíšených strategiích, než ženy a nelze tedy zamítnout tuto hypotézu. Tento důkaz potvrzuje předpoklad, že v ženském tenise není podání tak důležité, jako v zápasech mužských. 18

ZÁVĚR Hlavním cílem této práce bylo testování ekonomické teorie rovnováhy ve smíšených strategiích na reálných datech z tenisových zápasů. Analýza dat z mužských i ženských zápasů prokázala, že tenisoví hráči i hráčky hrají v souladu s teorií minimaxu. Mnou zjištěné výsledky byly navíc statisticky významnější než výsledky, které poskytly studie Walkera a Wooderse (2001) a Hsu et al. (2007). Dále jsem se ve své práci zaměřila na skupiny hráčů podle síly jejich podání na hráče silné na podání a hráče slabé na podání. Následující hypotéza, kterou jsem v práci testovala, vycházela z předpokladu, že hráči silnější na podání hrají více v souladu s teorií, než když proti sobě hrají hráči o stejné síle. Tato hypotéza byla potvrzena pro data z mužských zápasů. Pro data z ženských zápasů tato hypotéza nebyla potvrzena, když na základě analýzy dat mixovaly lépe hráčky, které byly stejně silné, než hráčky silné na podání, které hrály proti slabým hráčkám na podání. Na základě dalších druhotných analýz bylo vyhodnoceno, že hráči silní na podání, když hrají proti slabým hráčům, mixují lépe, než když proti sobě stojí jacíkoli jiní hráči. Naopak, pro slabé hráče platí, že mixují lépe, tedy hrají více v souladu s teorií minimaxu, pokud nastoupí proti stejně silným (resp. slabým) hráčům. Stejný závěr platí také pro data z ženských zápasů. Z výše uvedených výsledků tedy vyplývá, že ženské hráčky hrají více v souladu s teorií minimaxu, pokud hrají proti stejně silných soupeřkám (slabá-slabá, silná-silná). Pro mužská data toto platí pouze pro slabé hráče. Silní hráči na podání mixují nejlépe v nerovných soubojích, proti slabým soupeřům na podání. V souladu s předpokladem, že pro ženský tenis není podání tolik důležité, jsem na základě analýzy dat nezamítla tuto hypotézu, když výsledky minimaxu vyšly ve všech testech pro ženské hráčky hůře než pro mužské hráče. Na základě výše provedených analýz nebyly zamítnuty mnou stanovené hypotézy, i když pro ženská data nebyly tak statistiky významné. 19

SEZNAM LITERATURY BROWN, J., ROSENTHAL, R.W.: Testing the Minimax Hypothesis: A Reexamination of O Neill s Game Experiment, Econometrica, Vol. 58, 1990, pp. 1065 1081. LINHARTOVÁ, D.: Tenis, Grada Publishing, a.s., Praha, 2009, 104 str., ISBN 978-80-247-2703-5 MOOKHERJEE, D., SOPHER, B.: Learning Behavior in an Experimental Matching Pennies Game, Games and Economic Behavior, Vol 7, 1994, pp. 62 91. O NEILL, B.: Nonmetric Test of the Minimax Theory of Two-person Zerosum Games, Proc. Natl. Acad. Sci., Vol. 84, 1987, pp. 2106-2109. RAPOPORT, A., BOEBEL, R.: Mixed Strategy in strictly competitive games: A futher test of minimax hyphotehesis, Games and Economic Behavior, Vol 4, 1992, pp. 261 283. HSU, S-H., HUANG, CH-Y., TANG, CH-T.: Equilibrium or simple rule at Wimbledon? An empirical study, working paper, 2003. HSU, S-H., HUANG, CH-Y., TANG, CH-T.: Minimax Play at Wimbledon: Comment, The American Economic Review, Vol. 97, No. 1, 2007, pp. 517-523. WALKER, M., WOODERS, J.: Minimax Play at Wimbledon, The American Economic Review, Vol. 91, No. 5, 2001, pp. 1521-1538. WILES, J.: Mixed Strategy Equilibrium in Tennis Serves, working paper, Duke University, 2006. 20