$ x. $ z. divg # G. z divg + 0. rotg # G. Dt DT. x y. z y x z y

Podobné dokumenty





13) 1. Číselné obory 1. 1, 3







Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.


Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek



SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz

OBSAH 1 Důležité pokyny a upozornění týkající 5 Používání varné desky se bezpečnosti a životního prostředí 6 Obsluha trouby 2 Obecné informace







Diferenciální počet funkcí více proměnných









VYŘAZOVACÍ SEZNAM MAJETKU K


Ý Á Í ŘÁ Č Á






Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

ú é š ě á é í í í é ří ří š ě ě é č ú é š ě í í í ě í í ě č í í á ří í á ý č é ú í ěří á í í í ž ý í ě í č í ů í é á í í ý ů é é ě í í ý ří í ř ů é í




ž ř áú č é ř č ř á ý é ř ýš ů á ý ě ž ť é á ě ý ě ý é ž řó é ý é ď ý č š é č š ž á é é á ýó č á ú ť č é ó óř č ý ý ě ž ů á ě š ě ž ý ř ě ň š ýš ž ý ž

M a l t é z s k é n á m. 1, P r a h a 1







Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy., pak - skalární součin vektorů u,

í í ú ř Í ř í á í é é é Í á ý ň ř í š í č í í á í í é í í í á á ó ě Í í ě í í í í í řá ů čč ř č á í í í ě á ě ě í á í š ť Í ě Í ř ě í ě č Í ř é č š ě


řž ý ř é ý é ý Í ř é Ž ř Ž ř š é řž ť Č Č Č řž ť Č řž ř ť ř řž é é Ž Š Š ŽÍ ů é š é ý š Š Ž ř é ý řž říž řž řž Ž ř ý ř ů Ž Í Ž ř é š ů Š š é ý ý ř ř ž






PaedDr. Jindřich Marek: Prapor z žižkovského muzea









1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v


má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,






Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26









A BCDE F ABCD EF C ABCD EF C ABCD EF C


% & % '! "#$%& & ' () ;-17IH 8K ()*+", : ;!"#&' <=-( () \] ,AB9:; 68MI E <887 % 768Y= > "#AB CD E 887 % DE =& L & AB CDE68+!F







Transkript:

t x, y, z t x F x, y, z, t # #,,, #,,, y F x y z t z F3 x y z t x y z u #, v #, w # t t t u x v y w z # t t t 3 #, # t t #, # # t u f x, y, z, t v f x, y, z, t w f3 x, y, z, t # # # u v w #, #, 3 # t t t dx # udt, dy # vdt, dz # wdt

DF F # u F v F w F Dt t $ x $ y $ z DF( x, t DF( X, T # Dt DT % F F F grdf # ( ',, & x y z divg # G $ G x y $ Gz x y z divg + % rotg # G, G G, G G z y x z y ', G (,, x & y z z x x y -- SF nds # ---V div FdV -- SGndS # ---VgrdGdV - CF ds # --S rot F nds R p # m. T

.. $ div. u t # D. #,. divu Dt. $. u $. v $. w # t x y z.u D. u #, grdp $ K,. u divu Dt Du #, grdp $ K % D. Du Du Dt.. u $. #. ( & Dt Dt Dt u $ $ $ #, u u v u w u p t x y z x $ K x.. v $ $ $ #, u v v v w v p t x y z y $ K y.. w $ $ $ #, u w v w w w p t x y z z $ K z.... D % p. u $. ( e. u u e Dt & #, / % ' & $ $ ( div #. # R p # m. T. # f p u $ e xyz,,.. x, y, z # % x ( ', x % $ y (, & ' y % $ z (, & ' z K x K y K z t x t x & t x p #,. x % x ( ', x % $ y (, & ' y % $ z (, & ' z p K #, x K y K z t y t y & t y. y % x ( ', x % $ y (, & ' y % $ z (, & ' z p K #, x K y K z t z t z & t z. z

u# f x, y, z, t v# f x, y, z, t w# f3 x, y, z, t u# f x, y, z v# f x, y, z w# f x y z 3,, u//dx dx dy # # u v dx u dz w # dy dz v # w # dt r % # # w, v u, w v ', u( rotu,, & y z z x x y r //dx r # u # grd3 F #,grdv

(u,v,w (x,y,z x+dx,y+dy,z+dz u+du,v+dv,w+dw u du # x dx u y dy u $ $ z dz v dv # x dx v y dy v $ $ z dz w dw # x dx w y dy w $ $ z dz u v w sxx # syy # szz # u v v w w u,, sxy # syz szx x y z y $, # x z $, # y x $ z du # sxxdx $ sxydy $ szxdz$ ydz, zdy dv # sxydx $ syydy $ syzdz$ zdx, xdz dw # szxdx $ syzdy $ szzdz$ xdy, ydx. % x x #. ' $ $ & x y x x y z. % y y #. ' $ $ & x y y x y z x ( z y ( z. % z z z ( z # x $ y z. ' $ & x y z

A,, #, B b, b, b # 3 3 AB b $ b $ b 3 3 # A% B b & b, b& b, b & b AB A% B 3 3 3 3 Du & p $K Dt ' grd u $ u grd u grdp $ K t ' u # $ $ grd u v w x y z u grd # u grd ( u u + & % r, u $ grd ( u + & u % r &, grdp $ K t ' & & grd & & & ' p f p grd p grd P p Pp ( ( ( grdp p P p ' K &grd- u & grd ( P t $ - $ u + $ u % r,

u grd P $ -# P $ - const, r u & ( grd P t $ $ - rot grd. # u = grd. u # (. grd. grd/ t t t + (. grd/ $ $ $ P - u t +. $ $ P $ - t F t u # & ( P $ - $ u + $ u %, r grd ( P $ $ + r, P $ - $ const u P $ - $ const u ' const p P ' p ' $ - $ u const -gz p gz const ' $ $ u u + ' p$ u p p p ' u

P $ const u P p ' ' A & p / ' A & p / p & P p & / ' / p & / ' / / p / $ const u & / p & / p & / p p $ & / ' & / ' u u p ( & ( & / p / ' / p+ dp c d' u c p ' c ( & ( & / p / p + ( u & ( / p. 36c / p + & / p ' & / +. 857 + + / ' A & p u p ( p / ' log p + u c dp p c c d' ' ( p log/ p + ( p u. 44c log/ p +

u/c p/p C# 3 ds u C 33S dsn rotu ', p, u,. r, rotu u grd. (. ( u / x / v / /. / y w / +. / z +

. t $ $ P $ - F t u # D' &' divu Dt ' $ ( / $ ( + / $ ( '. '. / '. t x x y y + z z + p, u,. u grd.. t $ $ $ - Ft u ' # 4. p. $. $. x y z..... $. u. x. x.x uvw,, # bc,, #. x $ by $ cz

. x$ y (, r 56, ( r r r. (.. / $ / sin5 $ r + r sin5 5 5 + r sin 5 6 ( r r r. / r +. r m r. r m r m.& $ c r m vr r m Q 33 dsvr 47r 47m r u. mx x x $ y $ z 3 / # v. my y x $ y $ z 3 / # w. mz z x $ y $ z 3 / #

.& x $ y $ z, z. Ux & m r m. Ux & x $ y $ z mx u. U x $ x $ y $ z 3 / # v. my y x $ y $ z 3 / # w. mz z x $ y $ z 3 / #. & x x $ y $ z, z

m m. Ux & $ r r. Ux & m x$ x # $ y $ z mx x u. U x $ $ x$ x y z my v. y x$ x y z w. z x$ x mz $ # # $ $ # # $ $ # m x& x # $ y $ z # mx& x & x& x # $ y $ z # 3 / 3 / my & x$ x # $ y $ z # 3 / 3 / & mz 3 / 3 / # $ y $ z # x$ x # $ y $ z #. & x $ x$. y z x&. y z # $ $ # $ $, z ( ( m m. / & + / m lim lim OO 8 8 / r r x x$ x # $ y $ z & m x& x # $ y $ z + 9xx & x $ y $ z $ 9xx $ 9x x $ y $ z x $ y $ z # # # $ $ O( 9x ( lim /& x 8 / mx 8: mxx x $ y $ z # & : x r + 3 / 3

x rcos5 cos5 &: r x u. x & : 3: $ x $ y $ z 3 x $ y $ z # xy v. y 3: x $ y $ z # 5 / xz w. z 3: x $ y $ z # 5 / # / 5 /.& x z x $ y $ z 3, / #

z x iy i# z re r cos# irsin# x rcos# y rsin# r x y # rctn y x df f z z $ f z f z zr $ f z f lim ( & ( lim ( & ( dz & z% & z & zr % & zr x f $ lim ( z & zi f ( z f & zi % i& zi i y z f( z n z$ z n$ ' ( n f( z n z$ z n$ ' ( n + z p Ft, ' ( $ - t $. u p const, u - - - x y

u - x v - y / u / y v $ / x $ u v / / x y x y y x /( xy, const ' ( / Q ds ds un vn ds y n x n ds dy dx ' ( $ / 4 / 3 6 / 4 un 3 6 5 y ds x ds 5 C C x y C x y C C d ' ( - - - - 7 ' ( 4 3 6 4 ds ds ue ve ds 3 6 x e y e 5 ds dx dy ue x ds y ds 5 C C x y C x y C C d - / u - x / y v - y $ / x z x iy f - i/ df f df u iv w dz x i dy $ dz df C Cdf Cd- i Cd/ 7 iq dz f Uz Ux iuy

-Ux /Uy u U v p U const, p const f Az n # 8 / strem z re i# n in# n n f Ar e Ar cosn# iar sin n# n - Ar cosn# n / Ar sin n# df naz n$ dz df n$ n$ u na z nar dz grd 3 r n vr - nar n r $ cos # - n$ v# $ nar sin n# r # r n q n9 q p n p p $ n A, r n n $ 4 6 r # 5

f i: log z $ :# i: logr -$:# /: logr vr - r - : v# $ r # r u : r p p $, : r r y u / y r y : : x y r x v $ / $ x r x : : x y 7 d- $ :# d $ 8: C C

f m log z m log r im# -mlogr /m# m vr - r r - v# r # u m r x u - x : x y y v - y : x y Q d/ md# 8m C C

z$ z f m ' z$ ( $ m ' z ( m m z $ / log log log log / z $ ; 3 = 4? = m< 5 >= 3 = @@@@ % % $ A L z z m z % m% A A A f z r e $ i# A A $ $ $ cos# $ i sin# r r df A r $ $ i r $ A cos# A sin # dz z A cos# A r cos # $ Ar A' x $ y ( u 4 r r x y A sin # Axy v r x y u A r ' ( ' (

$ n ' ( $ n f cnz n ibn r e n ibn r cosn# $ isin n# n n n $ n ' ( - r cosn# b sin n# n $ n / r b cosn# $ sin n# ' ( n n - $ n$ n vr nr n n bn n r $ cos # sin # n r n n $ in# $ n ' ( ' ( - $ n$ U cos# $ n ' ncosn# bnsin n# ( r r n $ U, ( nb, b ( nb n n ' (

f c $ U z U f Uz z U x - Ux x y U y / Uy $ x y U u - U x x y U x $ ' x y ( ' ( ' ( p p U $ x $ y $,, x y ' ( ' ( U U x $ $ y x y U xy v - y $ x y ' (

f U Uz z 7 8 z df u iv U U $ $ i dz z u 7 8z 7 z $ i C U $ 7 4 48 48U5 7 7 7 9 ' ( C $ 4 48U x, y 4 $ 3 5 6 48U 48U 5 7 7 ' ( 4 48U x, y $ 48U 5 7 7 7 4 B 48U ' x, y( $ 4 $ $ 3 5 6 48U 48U 5 74. 8U 736. 8U 748U 768U

U 7 - Ur cos# cos# $ r 8 # U v# $ U sin# $ sin# $ r # r 8r qr U 7 sin# 8,, 4 p p $ q p $ U 7 sin# 85 P$Cpnds Px 8 d ; =, p $ U 4 < # 5 >= 7 cos sin 8? = = U Py 8 ; =, d p $ U 4? = # # < # d U 5 >= =, 8 # #, 7 7 sin sin sin 7 8 8 P y U x 7 y - Ux $ x y 8 rctn x U y / Uy $ x y ' ( ' ( u U U x $ $ y x y ' ( 7 x y 8 log 7 y 8 x y p p, U $,u v $ U xy ' x y ( 7 $ 8 x x y

' l Yc $ Y # Y % # & Y, Y # & Y Y & Y thick # &.5.5 -.5 - -.5 ( - - -.5 - -.5.5.5 ( C L L U l/

C D D U l/ C M M U l / z # z x # iy + #i, + x + # + #,, y, & + #, R - Re i # $ + # Rcos-% x + # Rcos-# $ + # Rcos- % # $, # Rsin-% $, # Rsin-% y, # Rsin-& + # Rcos-, Rsin- $ % # $ # %.5.5 $+ /, / % R. -.5 - +,, Rcos., Rsin. x & Rcos. # Rcos-# -.5 -.5 - -.5.5.5 $ % $ & % $ & Rcos. # Rcos-% $ & Rcos. # Rcos- % # $ Rsin. # Rsin-% sin. # $, # Rsin-% sin-& $ & Rcos. # Rcos- % # $ Rsin. # Rsin-% y R R

z cos- cos-# isin- 3 z - - - z 3b# 3-3 -3 - - 3 b - - - 4 4 6 cos # i3b& 5 - b 6 sin 5 - bcos - # ibsin - b z - - - z bcos-3# b # ibsin- #, -3 - -3 - - 3 - - $ % & 3 #, bsin- #, 3 b 4 6 5 4 bcos-# ibsin- # i, b #, 6 #, bsin- #, 5 z - - -3-3 - - 3 - - - -

z $ & b$ & cos-% % 3# bb $ & % $ & cos-% # # ibsin-3& bb $ & % $ & cos-% # 3 4 6 5 4 6 5 bcos-# ibsin- # + b# + z - - -3-3 - - 3 - - - - z $ bcos- # + % # 3 # ibsin- #, 3 $ % & 3 $ bcos- # + % # bsin- #, $ % $ bcos- # + % # bsin- #, $ % 4 6 5 4 6 5 bcos-# ibsin- # + # i, bsin- #, 4 3 bcos- # + 6 5 z - - -3-3 - - 3 - - - - k z& z# & 4 3 6 k # 5

' z - - - - - - - - z - - - - - - - - ' & ( ' e i f( ' U ' & f( U e i ( df (' U d ' df ( & i( Ue U cos( & iu sin( d u' U v' u Ucos( v Usin( 3 z 3 3 ' - - ( -3-3 - - 3 - - - ( -3-3 -3 - - 3-3 - - 3 -

i( & i( e 4 f U3 e # 6 5 & w df df dz 4 3 6 u & iv dz d d 5 i( & i( i( $ % df & i( e 4 U e & d 3 6 dz & 5 d w U e & e & 5 5 4 3 - - -3-4 4 3 - - -3-4 -5-6 -4-4 6-5 -6-4 - 4 6 5 4 3 - - -3-4 -5-6 -4-4 6

i( & i( e 4 f U3 e # 6 i 5 # 8 log 7 z # & i( i( $ % # U e & e i w & 8 7 & i( i( 8 U e & e i 7 847 U sin( $ % # 5 4 3 - - -3-4 -5-6 -4-4 6

L U8 47 U sin( C L U L U 47 sin( U 7 sin( 4 / 4 / df f 9 9uv, 9 p dz X &: dyp Y : dxp X & iy & i: dzp z x & iy p p & ww i X & iy : dzww i X iy dz df & 4 : dz 5 M z Mz : $ xdx # ydy% p : d$ zz% p ; M dzz df = 4? = z & Re< : dz 5 >= =

dq de # & pd% ( $ ' dq de pd # & % ( $ ' dq TdS de cv dt ds c dt p V T T d # & % ( $ ' p RT ds c V p dp c V R + d # & % ( $ ' c c R p V S, S cv log p, cp log p # S, S - exp% $ - c p cv c V & ( ' D, divu Dt D u, p Dt grd

D # p u & E, u grdp, divu Dt $ ' D # u & u p Dt $ ', grd DE,p D # & % ( Dt Dt $ ' DQ Dt DE p D # & % ( Dt Dt $ ' DS Dt p # S, S - exp% $ c V & ( ' D, divu u Dt x u.. Ax ( dydz. dx ua, C ua const x uad Adu uda p # S, S - exp% $ c V p S S, #, - - exp % $ c S & ( ' V & ( ' -, # S, S & d d c --, + exp% ( -, + d $ ' d d -, V

d du da -, u A P p u P const udu dp P dp p dp dp p d d d -, M du d u -, M u du da M, u A + u A A/ A A

ua A A A # & u % ( $ ', -,, # S, S & - - # exp% $ c ( & % ( # V ' $ ' $ % & ( ' A A,, -, -, # & - # & u % $ ( ' M % $ ( ' u const -, - u -, -, -, +, # -, & % M ( $ - - ' - A # -, & -, + % M ( A M $ - - ',, # -, & - % M ( $ - - ' -,, p # -, & - % M ( p $ - - ' u # -, & M% M ( $ - - ',

- 4... 7M. 83+, A. 7 M. 83 A M.. 7M. 83 5 + +, 5.. 7M. 83+, 35 M. 7M. 83+, p p u 6 3 5. 5 A 4 3 A A A p p u u p p.5.5.5 3 M

p p

f( x, y f x y f x y b (, c (, Fxy (, x xy y b # 4c b # 4c $ c, b, F f( x, y f( x, y x y f ( x, y f ( x iy f ( x # iy b # 4c c, b, F f( x, y f( x, y x y b # 4c %, b, c #, F f( x, y f( x, y x y f( x, y f ( x y f ( x# y

& r rotu u = grd' D ( #( divu Dt D u # p Dt ( grd p grdp grd( ( p ( D u # grd( Dt ( u u Du D u Dt Dt # ( +, u grd( divu. ( ( t - D u ( + u Dt t, div. ( - u ' P const t P p ( ' u t t P ( t ( t ' t u t P t ( ( t

' u u grd u divu t t /' ' ' grd + grd' grd grd' t t ' grd' t # const /' ' ' grd + grd' grd grd' t t ' grd' t # const u = grd' d ( ( d # p S# S ( exp+ c V,. -,. -,. - /' grd' grd grd' grd' # const u = grd'

d ( ( d # p S# S ( exp+ c V,. - u, + #. ' v, + #. ' w, + #. ' uv ' # - - - # vw ' # wu ' x y z xy yz zx u, + #. ' uv ' # - + # v,. ' x xy - y D u v u, v u v # M 4 4 + # -. #, +. - # u # # D$ M $ D M D% M %

M $ M % r( ur u ( r r r m ur ( ( r u ( m u r u r # # u m r ( ( r M u r + #, p. - + (,. - +, ( p. - # 3 M 4 ( 3 ( 4 p p u r r r, 5 - # # # #, 5 # M # 3 M 4 # M3 M 4 M - # #, 5 - # 3 M 4 #, 5 - #, 5 - # 6 7

.5.5 M< M> p/p u/u.5 (8( 9.5 / /.5.5 (8( 9 u/u p/p 3 4 5 6 3 4 5 6 r/r r/r u r : u r : u u # # u : r M u + #, p. - + (,. - +, ( p. - # 3 M 4 ( 3 ( 4, 5 - # # # #, 5 # M -

; p p u r r r # 3 M 4 # M3 M 4 M # #, 5 - # 3 M 4 #, 5 - #, 5 -.5 M> M<.5 p/p (8( 9 /.5 u/u.5.5.5 3 r/r /' ' ' ' x y z F u ['] ' v ' w ' uv ' vw ' wu ' x y z xy yz zx

OM ( f t # &f 6 7 f Cexp #& t f f C t f #& f f # C& t t f t # f f & C 6 & t 7 f3 & f f3 C & t t 6 # # 6 7 f C # t 6 t7 # 6 t7 5 3 C t 4 3 & & & L 6 exp # & 3 6 7 /' F[ '] '' ' ' L /' /' F[ ' ] /' F[ ' ]

U U x u< U %% v, w M < u 6 7 ' # ' ' M x y z ' Ux = u U =, v =, w = x y z M U > < > 6 7 = # = = M > x y z M > $ x,y,z?@a@b? x, A Cy, B Cz C # M > = ( xyz,, D= E(?, A, B = E = E = E? A B

z g( x, y n g, +. g, - +. x y - # g + x # g y,. - # u g # v g x w y g~v~w w< U g x = E U g(?a, / C B DC? B g( DC?A, / C DC > u U # # u< U %% v, w u U = x p p +,. - > > # p F U = 5F # U = < 3# 6 # 7 < # p > 4F > x F > x C p p p p # > > = # U U x # = ( ( U x > > >

> p> ( > D = E CpE # U B D C DC D D C C DC C M > % M B 6 > # 7 M> # = = = x y z = B = = x y z

( x, y ( r, z = x + iy = re i x = r cos y = rsin r = x r x + y r y = cos x + sin y r = x r x + y r y = #sin x + cos y $ ' $ ' & r $ cos sin ' & x & = & % & #sin cos ( & % r ( % & y ( $ cos % &#sin sin ' cos ( # $ cos #sin' = % & sin cos ( $ ' $ & x $ cos #sin' & & = % & sin cos ( & & % & y ( % r ' r ( x = cos r # sin r y = sin r + cos r u = x v = y = cos r # sin r = sin r + cos r

x = cos r + r sin r # r sin cos r + sin cos r + r sin = sin y r + r cos r + r sin cos r # sin cos r + r cos x + = y r + r r + r = r $ r ' r r % & r ( + r = v r = cosu + sinv v = #sinu + cosv v r = cos cos r # sin cos r v = #sin cos r + sin sin r $ r r ' % & r ( + r + sin sin r + sin cos r + cos sin r + cos cos r = r = r