Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transkript

1 Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Necht jsou v okolí bodu [1, 2, 0] pomocí soustavy rovnic xy + xz + yz 2z = 2, y 2 + z 2 xy + e xz = 3 definovány funkce y(x) a z(x). Najděte jejich druhé derivace y (1) a z (1). Pomocí substituce u = xy 2 a v = y x najděte souřadnici y T Ω R 2, která je dána nerovnostmi těžiště homogenní oblasti jestliže víte, že její obsah je 9. 1 xy 2 8, x 27y 27x, Necht jsou i, j, resp. k jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci silového pole f = zi + xj + 2yk po křivce dané parametrickými rovnicemi x = ln t, y = t, z = 1 t, 1 t 2, která je orientovaná ve směru rostoucího parametru t. Najděte hmotnost plochy S, která je daná rovnicemi a jejíž hustota je ρ(x, y, z) = z. z 2 = x 2 y 2, y 2 + z 2 2y, x, z 0

2 Ukázka 2 Necht má funkce f(x, y) spojité parciální derivace n tého řádu. Napište Taylorův polynom stupně n této funkce se středem v bodě [ x 0, y 0 ]. Najděte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2, kde x, y, z > 0. z Necht je funkce z = z(x, y) definována v okolí bodu [1, 1, 1] jako řešení rovnice Najděte její parciální derivaci x 2 y 2 + z x 2 + y 2 + z 2 + xz + yz = 3. 2 z (1, 1). x y Najděte souřadnici x T homogenního tělesa T R 3, které je dáno nerovnostmi 9x 2 + 4y 2 z 2, 0 z 3, x 0, jestliže víte, že jeho objem je V = 3 π. 4 Najděte křivkový integrál (x dx + z dy 2y dz), kde C je křivka daná rovnicemi C x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 2 + y 2 = y, která leží v prvním oktantu, tj. x, y, z 0, a začíná v bodě [0, 0, 1]. Najděte obsah plochy S, která je dána parametrickými rovnicemi x = uv, y = 1 2 (u2 v 2 ), z = 1 2 (u2 + v 2 ), u 2 + v 2 2, u, v 0.

3 Ukázka 3 Jak najdete objem rovnoběžnostěnu, jehož strany jsou vektory u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) a w = (w 1, w 2, w 3 )? Necht je funkce f(x, y) definována vztahem f(x, y) = F ( u(x, y), v(x, y) ), kde funkce F (u, v) má spojité druhé parciální derivace a Vyjádřete 2 f x y u(x, y) = ln ( x x 2), v(x, y) = x 2 + xy + y 2. pomocí parciálních derivací funkce F (u, v). Necht je funkce y(x) definována v okolí bodu [1, 0] rovnicí ln x 2 + y 2 = arctg y x. Najděte její Taylorův polynom druhého řádu se středem v bodě x = 1. Necht je I = 0 e x2 dx. Pak platí rovnost I 2 = 0 e x2 dx 0 e y2 dy = kde Ω R 2 je dána nerovnostmi x, y > 0. Pomocí substituce do polárních souřadnic najděte integrál I. Ω e x2 y 2 dx dy, Najděte délku křivky C, která je dána parametrickými rovnicemi x = t 1 + t, y = t, t R. 2 Necht jsou i, j, resp. k jednotkové vektory ve směru souřadných os x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = xi + yj + zk plochou S, která je dána vztahy z = 1 x 2 + y 2, 0 z 1 a je orientována tak, že třetí složka vektoru její normály je kladná.

4 Ukázka 4 Necht má vektorová funkce f(x, y, z) spojité parciální derivace. Co je div f(x, y, z)? V bodě A = [1, 1, 2] najděte parametrické rovnice tečny ke křivce C, která v okolí bodu A je dána jako řešení soustavy rovnic z 2 xy + yz + x sin(x + y) = 3, xy + xz + yz + 1 = 0. Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = 2x 2 3xy 2y 2 za podmínky x 2 + y 2 = 40. Pomocí substituce x = r cos 2 ϕ, y = r sin 2 ϕ, kde r > 0 a 0 < ϕ < 1 π, najděte obsah 2 oblasti Ω R 2, která je určena nerovnostmi ( ) 4 x + y 4xy, x, y 0. Najděte hmotnost křivky C, která je dána parametrickými rovnicemi x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, 0 < t <, jestliže je její lineární hustota ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Najděte plošný integrál ( ) (x 2 + yz) dy dz + (y 2 + xz) dz dx + (z 2 + xy) dx dy, S kde S je kladně orientovaná hranice polokoule x 2 + y 2 + z 2 1, z 0.

5 Ukázka 5 Necht má vektorová funkce f(x, y, z) spojité parciální derivace. Co je rot f(x, y, z)? Napište rovnici tečné roviny v bodě A = [2, 1, 1] k ploše S, která je v okolí bodu A definována rovnicí xy ln(x z 2 ) + ze x(y+z) = 1. Jaké rozměry má otevřená vana, která má průřez půlkruh a daný povrch stěn S = 27π m 2 a která má největší objem? Najděte objem tělesa T R 3, které je dáno nerovnostmi x 2 + y 2 2z, z 4 x 2 + y 2. Najděte potenciál vektorového pole ( ) x f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ), y 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ), z 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 a pomocí toho spočítejte práci pole f po křivce C, která začíná v bodě A = [2, 1, 2], končí v bodě B = [4, 0, 3] a neprochází počátkem souřadnic. Najděte obsah plochy S, která je dána parametrickými rovnicemi x = 2r cos 2 ϕ, y = r sin 2 ϕ, z = r, 0 ϕ 1 2 π, 0 < r < 1.

6 Ukázka 6 Jak spočítáte množství kapaliny, které proteče za jednotku času rovnoběžníkem se stranami a = (a 1, a 2, a 3 ) a b = (b 1, b 2, b 3 ), jestliže je rychlost proudění kapaliny v = (v 1, v 2, v 3 ). Najděte derivaci funkce f(x, y) = x 2 y + ln ke grafu funkce y = 3 x v bodě A. x + y v bodě A = [1, 1] ve směru normály x2 + y2 Necht je funkce z = z(x, y) definována v okolí bodu [1, 1, 1] jako řešení rovnice yz 3 + x 2 z + xy 2 y 2 = 0. Najděte její Taylorův polynom druhého řádu se středem v bodě [1, 1]. Na plochu S R 2, která je dána nerovnostmi 3x 2 + 2y 2 6, x y 2, x, y > 0, působí tlak p(x, y) = 2y. Najděte celkovou sílu F, která působí na plochu S, tj. integrál F = p(x, y) dx dy. S Najděte souřadnici y T těžiště homogenní křivky C, která je dána parametrickými rovnicemi x = cos t, y = sin t, z = 1 ln cos t, 0 t 1 3 π, jestliže víte, že její délka je ln ( ). Necht jsou i, j, resp. k jednotkové vektory ve směru souřadných os x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yi xj + z 2 k plochou S, která je popsána parametrickými rovnicemi x = r cos t i + r sin t j + r 2 k, 0 < t < π, 0 < r < 1, a je orientována tak, že třetí složka vektoru její normály je kladná.